Soal Transformasi Fourier [PDF]

Citation preview

1. Isyarat kotak yang periodis terlihat seperti pada Gambar berikut. Tentukan koefisien Fourier-nya. Jawab:



Isyarat iniperiodisdenganperiode fundamental T0, sehingga frekuensidasarnya adalah ω0 = 2πf0 dan f0 = 1/T0. Persamaan (1) dipakai untukmenghitungkoefisienderet Fourier dari fungsi x (t). Interval yang dipakai adalah (- T 0/ 2< t0). Dengan batasbatas integrasi tersebut dan menerapkan pada () maka untuk k = 0 didapatkan, +T 1



2T 1 a0 = ∫ dt= 1 T 0 −T 1 T0



Sepertidisebutkansebelumnya,



a



Untuk k≠0 didapatkan, +T 1



ak =



1 −1 e− jk ω t +T 1 ∫ e− jk ω t dt= jkω T 0 −T 1 T −T 1 0 0



ak =



2 e kω0 T 0



ak =



2 sin k ω 0 T 1 sin k ω 0 T 1 = k ω0 T 0 kπ



0



[



jkω0 T 1



k ≠ 0, ω0 T 0=π



0



− jkω 0 T 1



−e 2j



]



|



0



adalah nilai rata-rata x(t).



(a)



(b)



(c) Gambar 3. Koefisien deret Fourier untuk isyarat kotak periodis dengan (a) T0=4T1, (b) T0=8T1, (c) T0=16T1 2. Isyarat kotak diskret periodis terlihat seperti pada Gambar berikut. Tentukan koefisien Fourier-nya.



Gambar Isyarat kotak diskret periodis Jawab:



a



Komponen dc = a0 =



1 N



+N1



∑



x [ n]=



n=−N 1



0



adalah:



2 N 1 +1 N



Koefisien Fourier secara umum adalah, 1 ak = N



N1



∑



− jkn



e



( 2Nπ )



n=−N 1



Persamaan di atas dapat diuraikan menjadi



ak =a0 +



1 N



[



N1



− jkn(



∑e n=1



cos ( α )=



[



−N



− jkn(



+∑ e



2π ) N



n=−1



N1



ak =a0 +



2π ) N



2π



2π



−N



− jkn ( ) − jkn( ) 1 N N e +∑ e ∑ N n=1 n =−1



]



e + jα + e− jα 2



[



N1



+ jkn(



2π ) N



− jkn(



ak =a0 =



+2 ∑ e N n=1



+e 2



ak =a0 =



+2 ∑ cos ( kn 2 π /N ) N n=1



2π ) N



]



N1



N1



Na k =( 2 N 1+ 1 ) +2. ∑ cos ( kn 2 π /N ) n=1



(a)



(b)



]



(c) Gambar. Koefisien Deret Fourier untuk isyarat kotak diskret dengan (2N1+1)=5, dan (a) N=10, (b) N=20, dan (c) N=40.



3. Terdapat isyarat kotak dengan persamaan sebagai berikut, 1, x ( t )= |t|