Solusi Soal Imo Bilangan [PDF]

Citation preview

NAMA



: UBAY DILLAH



NIM



: 157785041



1966 IMO Problem 4 Prove that for every natural number n, and for every real number x 



k ,( t  0,1,..., n; k any 2t



integer).



1 1 1   ...   cot x  cot 2 n x sin 2 x sin 4 x sin 2 n x 1966 IMO Problem 4 Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n dan untuk setiap bilangan real x 



k 2t



(t = 0, 1,…,n; k suatu bilangan bulat).



1 1 1   ...   cot x  cot 2 n x n sin 2 x sin 4 x sin 2 x Penyelesaian:



1 1 1   ...   cot x  cot 2 n x . n sin 2 x sin 4 x sin 2 x



Akan dibuktikan bahwa Pola 1:



1  cot x  cot 2 x sin 2 x



Bukti:



1 1  sin 2 x 2 sin x cos x



2 cos 2 x  2 cos 2 x  1  2 sin x cos x











2 cos 2 x 2 cos 2 x  1   2 sin x cos x 2 sin x cos x 



cos x cos 2 x  sin x sin 2 x







1 1  tan x tan 2 x



 cot x  cot 2x



1



Pola 2:



1  cot 2 x  cot 4 x sin 4 x



Bukti:



1 1  sin 4 x 2 sin 2 x cos 2 x







2 cos 2 2 x  2 cos 2 2 x  1 2 sin 2 x cos 2 x











2 cos 2 2 x 2 cos 2 2 x  1   2 sin 2 x cos 2 x 2 sin 2 x cos 2 x 



cos 2 x cos 4 x  sin 2 x sin 4 x







1 1  tan 2 x tan 4 x



 cot 2x  cot 4x



Pola 3:



1  cot 4 x  cot 8 x sin 8 x



Bukti:



1 1  sin 8 x 2 sin 4 x cos 4 x







2 cos 2 4 x  2 cos 2 4 x  1 2 sin 4 x cos 4 x







2 cos 2 4 x 2 cos 2 4 x  1  2 sin 4 x cos 4 x 2 sin 4 x cos 4 x







cos 4 x cos 8 x  sin 4 x sin 8 x







1 1  tan 4 x tan 8 x











 cot 4x  cot 8x .



: .



2



Pola n:



1  cot 2 n1 x  cot 2 n x ? n sin 2 x



Bukti:



1 1  n n 1 sin 2 x 2 sin 2 x cos 2 n1 x







2 cos 2 2 n1 x  2 cos 2 n1  1 2 sin 2 n1 x cos 2 n1 x











2 cos 2 2 n1 x 2 cos 2 n1  1   2 sin 2 n1 x cos 2 n1 x 2 sin 2 n1 x cos 2 n1 x cos 2 n1 x cos 2 n x   sin 2 n1 x sin 2 n x 



1 1  n 1 tan 2 x tan 2 n x



 cot 2 n1 x  cot 2 n x



Gimana cara membuktikannya dengan induksi? Apakah berikut ini benar?? 1. Untuk n  1



1 1  sin 2 x 2 sin x cos x



2 cos 2 x  2 cos 2 x  1  2 sin x cos x











2 cos 2 x 2 cos 2 x  1   2 sin x cos x 2 sin x cos x 



cos x cos 2 x  sin x sin 2 x







1 1  tan x tan 2 x



 cot x  cot 2x



2. Untuk n  k



1 1  k k 1 sin 2 x 2 sin 2 x cos 2 k 1 x



2 cos 2 2 k 1 x  2 cos 2 k 1  1  2 sin 2 k 1 x cos 2 k 1 x



3















2 cos 2 2 k 1 x 2 cos 2 k 1  1  2 sin 2 k 1 x cos 2 k 1 x 2 sin 2 k 1 x cos 2 k 1 x







cos 2 k 1 x cos 2 k x  sin 2 k 1 x sin 2 k x







1 1  k 1 tan 2 x tan 2 k x



 cot 2 k 1 x  cot 2 k x



3. Untuk n  k  1



1 1  k 1 k 11 sin 2 x 2 sin 2 x cos 2 k 11 x







2 cos 2 2 k 11 x  2 cos 2 k 11  1 2 sin 2 k 11 x cos 2 k 11 x











2 cos 2 2 k 11 x 2 cos 2 k 11  1   2 sin 2 k 11 x cos 2 k 11 x 2 sin 2 k 11 x cos 2 k 11 x cos 2 k 11 x cos 2 k 1 x   sin 2 k 11 x sin 2 k 1 x 



1 1  k 11 tan 2 x tan 2 k 1 x



 cot 2 k 11 x  cot 2 k 1 x



Dengan menggunakan rumus diatas kita dapat membuktikan bahwa:



1 1 1 1    ...   cot x  cot 2 x  cot 2 x  cot 4 x  cot 4 x  cot 8 x  sin 2 x sin 4 x sin 8 x sin 2 n x ...  cot 2 n1 x  cot 2 n1 x  cot 2 n x  cot x  cot 2 n x



4