STATPROB (Printable) [PDF]

Citation preview

Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



KATA PENGANTAR



Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat-Nya sehingga sehingga dikat MKDT BEM FTUI 2020 ini dapat terselesaikan dengan baik dan tepat pada waktunya. Tak lupa juga kami menyampaikan banyak terima kasih kepada teman-teman yang telah membantu menyelesaikan diktat ini atas bantuannya yang telah berkontribusi dalam pengerjaan diktat ini dengan memberikan materi soal dan pembahasan untuk diktat MKDT BEM FTUI 2020 ini. Kami berharap agar diktat ini dapat benar-benar membantu mahasiswa dan memberikan manfaat terutama untuk mahasiswa tingkat 1 dalam rangka persiapan menghadapi Ujian Tengah Semester dan Akhir Semester ini. Semoga diktat MKDT BEM FTUI 2020 ini dapat menambah pengetahuan dan dapat melatih mahasiswa untuk terbiasa mengerjakan soal agar nanti pada saat ujian dapat mengerjakan soal dengan baik dan benar. Adapun karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, kami menyadari masih terdapat kekurangan dalam penyusunan diktat ini yang perlu kami perbaiki. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun ke arah penyempurnaan diktat ini, sangat kami harapkan dan kami terima dengan terbuka agar dapat kami jadikan evaluasi dan pelajaran untuk diktat yang lebih baik lagi. Sebelumnya kami juga mohon maaf apabila ada kekurangan dalam penyusunan diktat ini.



Tertanda,



BEM FTUI 2020



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



i



PENERBIT BEM FTUI 2020



PENULIS VALEN BEFRI HAREFA, DTMM’17 ANDREW, DTMM’17



CETAKAN PERTAMA, JUNI 2019 CETAKAN KEDUA, JUNI 2020



DISCLAIMER Buku ini hanya sebagai fasilitas penunjang belajar, segala bentuk kecurangan penggunaan buku diluar tanggung jawab penulis dan penerbit.



Diktat ini adalah aset BEM FTUI yang digunakan untuk mahasiswa FTUI. Memperbanyak dan menyebarluaskan Diktat ini termasuk pelanggaran.



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



ii



DAFTAR ISI BAB 1: PENDAHULUAN ............................................................................................. 1 A. DEFINISI DAN PENGERTIAN...........................................................................1 B. METODE PEMECAHAN MASALAH SECARA STATISTIK ........................2 BAB 2: STATISTIK DESKRIPTIF ..............................................................................5 A. PENGUMPULAN, PENGORGANISASIAN, DAN PENYAJIAN DATA ......5 B. DISTRIBUSI FREKUENSI DAN PRESENTASI GRAFIK ............................. 6 C. UKURAN PEMUSATAN.....................................................................................7 D. UKURAN PENYEBARAN ..................................................................................9 BAB 3: KONSEP DASAR PROBABILITAS ........................................................... 17 A. DEFINISI DAN PENGERTIAN.........................................................................17 B. HUKUM-HUKUM PROBABILITAS PERISTIWA MAJEMUK ....................18 C. TEKNIK ENUMERASI ......................................................................................20 BAB 4: DISTRIBUSI PROBABILITAS ....................................................................23 A. VARIABEL ACAK ............................................................................................. 23 B. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT ........................................................23 C. DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU ......................................................26 BAB 5: DISTRIBUSI TEORETIS ACAK DISKRIT .................................................29 A. DISTRIBUSI BERNOULLI ...............................................................................29 B. DISTRIBUSI BINOMIAL ...................................................................................29 C. DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF ................................................................ 31 D. DISTRIBUSI GEOMETRIK ..............................................................................32 E. DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK...................................................................33 F. DISTRIBUSI POISSON .....................................................................................34 BAB 6: DISTRIBUSI TEORETIS VARIABEL ACAK KONTINU ......................... 37 A. DISTRIBUSI NORMAL .....................................................................................37 B. DISTRIBUSI GAMMA .......................................................................................39 C. DISTRIBUSI EKSPONENSIAL .......................................................................39 D. DISTRIBUSI CHI KUADRAT ...........................................................................40 E. DISTRIBUSI WEIBULL.....................................................................................42



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



iii



BAB 7: DISTRIBUSI SAMPLING ............................................................................ 45 A. DISTRIBUSI SAMPLING................................................................................. 45 B. DISTRIBUSI MEAN-MEAN SAMPLING ....................................................... 45 C. DISTRIBUSI PROPORSI SAMPLING ........................................................... 46 D. DISTRIBUSI PERBEDAAN DAN PENJUMLAHAN DARI SAMPLING ... 46 BAB 8: ESTIMASI ...................................................................................................... 47 A. PERTIMBANGAN LEBAR INTERVAL ......................................................... 47 B. TINGKAT KEPERCAYAAN ............................................................................ 47 C. ESTIMASI MEAN POPULASI ........................................................................ 48 D. ESTIMASI PROPORSI POPULASI ............................................................... 50 E. ESTIMASI VARIANS POPULASI .................................................................. 51 F. PENENTUAN UKURAN SAMPEL ................................................................. 51 BAB 9: UJI HIPOTESIS SAMPEL TUNGGAL ...................................................... 53 A. PROSEDUR UJI HIPOTESIS ......................................................................... 53 B. UJI HIPOTESIS MEAN SAMPEL TUNGGAL .............................................. 55 C. UJI HIPOTESIS PRESENTASE DENGAN SAMPEL TUNGGAL ............ 56 D. UJI HIPOTESIS VARIANS DENGAN SAMPEL TUNGGAL ..................... 56 E. NILAI P PADA UJI HIPOTESIS ..................................................................... 56 BAB 10: UJI HIPOTESIS SAMPEL GANDA ......................................................... 61 A. PROSEDUR UJI HIPOTESIS ......................................................................... 61 B. UJI HIPOTESIS MEAN DENGAN SAMPEL GANDA ................................. 61 C. UJI HIPOTESIS PRESENTASE DENGAN SAMPEL GANDA ................. 62 BAB 11: REGRESI LINIER....................................................................................... 63 A. PERSAMAAN REGRESI LINIER SEDERHANA......................................... 63 SOAL UTS-UAS DAN PEMBAHASAN .................................................................. 65 DAFTAR TABEL DISTRIBUSI ................................................................................. 91 BIOGRAFI AUTHOR.................................................................................................. 95



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



iv



BAB 1: PENDAHULUAN A. DEFINISI DAN PENGERTIAN Statistik → metode ilmiah dalam mengumpulkan, mengklasifikasikan, meringkas, menyajikan, dan menganalisis data guna mendukung pengambilan kesimpulan yang valid dan berguna sehingga dapat menjadi dasar pengambilan keputusan yang masuk akal. Populasi → kumpulan dari keseluruhan pengukuran, objek, atau individu yang sedang dikaji. Sampel → sebagian daru suatu populasi. Parameter → angka yang menggambarkan karakterisitik populasi. Kalau untuk menggambarkan sampel namanya bukan parameter, tapi statistik Variabel → simbol atau lambang yang dapat bernilai berapapun dari sekumpulan nilai yang telah dijelaskan terlebih dahulu. Variabel terdiri atas dua, yaitu : a. Variabel diskrit → variabel yang angkanya bulat (tidak bisa bilangan koma atau pecahan). Contohnya jumlah anak dalam satu keluarga bisa 0, 1, 2, 3, dst. Jumlah anak kan tidak mungkin bilangan koma seperti 2,5 makanya jumlah anak itu masuk dalam variabel diskrit. Data yang digambarkan oleh variabel diskrit adalah data diskrit yang dilakukan dengan pencacahan (counting/enumeration) b. Variabel kontinu → variabel yang angkanya boleh koma. Contohnya tinggi badan orang (dalam cm) bisa 163,25; 170; 155,69; 169,2; dst. Data yang digambarkan variabel kontinu namanya data kontinu yang datanya didapat dengan cara pengukuran (measurement) Statistik deskriptif/deduktif → statistik deskriptif penelitian hanya menggambarkan keadaan data apa adanya melalui parameterparameter seperti mean, median, modus, distribusi frekuensi dan ukuran statistik lainnya. Konsepnya, data dari umum jadi khusus.



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



1



Statistik inferensial/induktif → proses pengambilan kesimpulan mengenai parameter populasi. Kesimpulan diperoleh dari data sampel yang dikit jadi kesimpulan yang lebih umum untuk populasi. Contohnya quick count pemilu. Quick count mengambil TPS sampel dari populasi TPS untuk menggambarkan hasil pemilu secara general/umum. Konsepnya, data khusus jadi umum. Statistik diperlukan untuk menggambarkan hubungan-hubungan antara variabel-variabel sebagai contoh konsultan manajemen perusahaan membandingkan data pengembalian investasi kliennya dari dua tahun yang berbeda, atau sebagai alat bantu pengambilan keputusan, sebagai contoh pengambilan kesimpulan bahwa penentuan kualitas produk melalui jalur produksi.



B. METODE PEMECAHAN MASALAH SECARA STATISTIK 1. Identifikasi Masalah Mendefinisikan tujuan yang ingin dicapai, cara pengumpulan data, dll. 2. Pengumpulan fakta-fakta yang ada Fakta diperoleh lewat data yang akurat, singkat, dan lengkap. Data diperoleh dari data internal dan eksternal. Data internal diambil dari tempat dilakukan penelitian, contohnya data-data di perusahaan tempat kita meneliti. Data eksternal diambil dari luar tempat penelitian, seperti perusahaan lain dengan produk sejenis, badan pemerintahan atau nonpemerintah, dll. 3. Pengumpulan data baru Kalau data internal dan data eksternal tidak ada, kita harus cari datanya sendiri (data baru). Data baru ini biasa diambil dari sampel tapi harus tetap mewakili populasi. a. Judgement sample : sampel didasarkan atas keahlian seseorang mengenai populasi yang dikaji. Jadi, cukup nanya seseorang yang sudah ahli saja karena menurut kita data dari dia udah valid dan dapat mewakilkan populasi.



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



2



b. Probability sample : pengambilan sampel yang memberikan kesempatan yang sama untuk diambil kepada setiap elemen populasi. Ada beberapa jenis probability sample, yaitu : ▪ Simple Random sample : mengambil sample secara acak ▪ Systematic sample : data dinomorin dan diurutkan lalu diambil sample nomor berapa. Contohnya ada 50 orang mau diambil 10 orang jadi sampel. Sampel yang dipilih tiap nomor kelipatan 5. Jadi, sampel yang terpilih nomor 5,10, 15, …, 50. ▪ Stratified sample : Populasi dibagi jadi kelompok homogen (strata) dahulu. Sampel nanti diambil dari tiap-tiap kelompok/strata. ▪ Cluster sample : Populasi dibagi jadi kelompok berdasarkan area atau cluster (tidak perlu homogen). Beberapa cluster dipilih jadi sampel lalu anggota cluster tersebut dipilih lagi buat jadi sampel. 4. Pengklasifikasian dan peringkasan data Data diidentifikasi yang karakternya sejenis dan diatur agar rapi. Contohnya data produksi dapat diklasifikasikan menurut proses pembuatan, lokasi pabrik, pembuatnya, dll. Peringkasan dapat dilakukan dengan membuat tabel, ukuran penyebaran, ukuran pemusatan, dll. 5. Penyajian dan analisis data Informasi tersaji dalam bentuk tabel, diagram, dan ukuranukuran kuantitatif. Analisis data dilakukan dengan mengananlisis tabel, diagram, atau ukuran kuantitatif yang ada. Menggunakan ukuran-ukuran deskriptif sebagai dasar untuk membuat statistik yang relevan. 6. Pengambilan keputusan Keputusan diambil berdasarkan hasil analisis data dan keputusan harus sesuai dengan tujuan yang mau dicapai. Kebenaran pilihan tersebut bergantung pada kualitas informasi dan kualitas analisis.



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



3



Skema yang diberikan diatas dapat membantu proses pengambilan keputusan yang berdasarkan hasil analisi data.



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



4



BAB 2: STATISTIK DESKRIPTIF A. PENGUMPULAN, PENGORGANISASIAN, DAN PENYAJIAN DATA Pengumpulan data → data dikumpulkan dalam bentuk data kualitatif atau kuantitatif Data kualitatif adalah data yang bukan angka dan tidak dapat dilakukan operasi matematik seperti tambah kurang kali bagi. Ada dua tipe, yaitu : a. Data nominal adalah pengambilan data terhadap suatu objek hanya menghasilkan satu dan hanya satu-satunya kategori pada objek tersebut, sebagai contoh jenis kelamin, dan tempat kelahiran, dll. b. Data ordinal adalah pengambilan data terhadap suatu objek yang menghasilkan lebih dari satu kategori, contohnya pengukuran kepuasan pelanggan terhadap suatu produk makanan (sangat suka, suka, kurang suka, tidak suka). Data kuantitatif adalah data berbentuk angka/data numerik yang dapat dilakukan operasi matematika. Ada dua tipe, yaitu : a. Data diskrit adalah data yang diperoleh dari pencacahan atau enumerasi yang harus bilangan bulat b. Data kontinu adalah data yang diperoleh dari pengukuran dan berbentuk data interval maupun data rasio. Data interval jarak antara dua titik pada skala diketahui. Data rasio juga sama tetapi punya ttik 0 mutlak. Contohnya suhu saat air bentuk cair. Pada skala Celsius 0-100°C dan skala Fahrenheit 32-212°F. Ini merupakan data interval (ada jaraknya) tapi bukan data rasio karena 0 pada Celsius dan Fahrenheit berbeda, bukan 0 mutlak. Setelah melakukan pengumpulan data, data akan diorganisasikan supaya rapi agar dapat menyimpulkan informasi yang diperoleh. Terminologi yang sering digunakan pada proses pengorganisasian data ialah:



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



5



a. Data mentah adalah data yang belum diorganisasikan secara numerik. Data mentah belum memiliki banyak arti bagi pembaca sehingga belum dapat digunakan untuk menyimpulkan informasi. b. Jajaran data atau data array adalah data mentah yang sudah diatur dengan urutan numerik naik (ascending) yakni dari nilai terkecil hingga terbesar, ataupun dengan urutan numerik turun (descending) yakni dari nilai terbesar sampai terkecil. Pada tahap akhir dilakukan penyajian data dengan tujuan meringkas dan menyiapkan hubungan-hubungan antar variabel sehingga mudah dimengerti dan penyajian dapat berbentuk historgram, pie chart, poligon, ogif, dll.



B. DISTRIBUSI FREKUENSI DAN PRESENTASI GRAFIK Distribusi frekuensi adalah jajaran data yang sudah dikelompokkan ke dalam sejumlah kelas. Untuk menyiapkan jajaran data yang akan dikelompokkan penting untuk menentukan banyaknya data yang termasuk ke dalam masing-masing kelas. Apabila frekuensi kelas dinyatakan dalam bentuk presentase, maka disebut sebagai distribusi frekuensi relatif. Tinggi Badan (cm) 150-159 160-169 170-179 180-189 Total



Frekuensi (f) 13 21 12 4 50



Persentase 26% 42% 24% 8% 100%



Contoh tabel distribusi frekuensi



Untuk dapat menentukan banyaknya kelas perhitungan dapat dengan memanfaatkan rumus Struges, yaitu: 𝑘 = 1 + 3,3 log 𝑛 Yang mana 𝑘 menunjukkan banyaknya kelas dan 𝑛 menunjukkan jumlah data yang diobservasi.



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



6



Sedangkan untuk menentukan interval kelas, dapat menggunakan rumus berikut: 𝐼=



𝑅 𝑘



Yang mana nilai 𝐼 adalah interval kelas, nilai 𝑅 menungjukkan jangkauan dan 𝑘 menunjukkan banyaknya kelas. Selanjutnya penentuan batas-batas kelas; untuk tepi bawah kelas, maka batas bawah dikurang 0,5. Untuk tepi bawah atas, maka batas atas ditambah 0,5. Panjangnya interval kelas adalah tepi atas kelas dikurang dengan tepi bawah kelas. Interval kelas : 150-159, 160-169, …, 180-189. Ini masuk interval kelas tertutup. Kalau interval kelas terbuka misalnya 189 keatas. Batas kelas (class limit) : 150 batas bawah, 159 batas atas, dst Batas kelas nyata (class boundary) atau yang disebut dengan tepi batas: 149,5 batas bawah nyata ; 159,5 batas atas nyata, dst Nilai tengah : batas atas tambah batas bawah dibagi 2



C. UKURAN PEMUSATAN Rata-rata (Average) •



Data tidak berkelompok 𝑥̅ =



∑𝑛 𝑖 𝑥𝑖



𝜇𝑥 = •



𝑛 ∑𝑁 𝑖 𝑥𝑖



(untuk sampel)



𝑁



(untuk populasi)



Data berkelompok 𝑥̅ =



∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑚,𝑖



𝜇𝑥 =



𝑛 ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑚,𝑖 𝑁



(untuk sampel) (untuk populasi)



𝑥̅ = mean aritmetik dari suatu sampel 𝜇𝑥 = mean aritmetik dari suatu populasi



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



7



𝑥𝑖 = nilai dari data (variabel x) 𝑥𝑚,𝑖 = nilai tengah dari interval kelas 𝑓𝑖 = frekuensi 𝑛 = banyaknya data x dalam suatu sampel 𝑁 = banyaknya data x dalam suatu populasi Terdapat juga rumus untuk perhitungan mean aritmetik terbobot: ∑𝑛𝑖=1 𝑤𝑖 𝑥𝑖 𝑥̅𝑤 = 𝑛 ∑𝑖−1 𝑤𝑖 𝑥̅𝑤 = mean aritmetik terbobot 𝑤𝑖 = faktor pembobotan Median (Nilai tengah) 𝑛 − ∑ 𝑓𝑙 𝑥̃ = 𝐿𝑖 + (2 )𝑐 𝑓𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 𝐿𝑖 = batas bawah nyata di kelas yang jadi tempat mediannya (Ʃ𝑓)𝑙 = jumlah frekuensi kelas yang lebih rendah dari kelas yang jadi tempat median 𝑐 = lebar interval kelas 𝑓𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 = frekuensi kelas median 𝑛 = banyaknya data



Modus ∆1 𝑥̂ = 𝐿𝑖 + ( )𝑐 ∆1 + ∆2 𝐿𝑖 = batas bawah nyata di kelas yang jadi tempat modusnya 𝛥1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya 𝛥2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



8



𝑐 = lebar interval kelas median Kuantil (Kuartil, Desil, Persentil) 𝑖 − ∑ 𝑓𝑙,𝑖 𝑟 𝐾𝑖 = 𝐿𝑖 + ( )𝑐 𝑓𝑘𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙 𝐾𝑖 = kuantil (ganti K dengan Q untuk kuartil, D untuk desil, P untuk persentil) 𝐿𝑖 = batas bawah nyata dari kelas kuantil 𝑟 = konstanta (kuartil = 4, desil = 10, persentil = 100) 𝑓𝑘𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙 = frekuensil kuantil 𝑓𝑙,𝑖 = jumlah frekuensi sebelum kelas kuantil



D. UKURAN PENYEBARAN Range → selisih data terbesar dan terkecil (R = xmax-xmin) Jangkauan persentil 10-90 → selisih persentil 90 dan 10 (RP10-90=P90-P10) Simpangan kuartil : 𝑄𝑑 =



𝑄3 − 𝑄1 2



Simpangan mutlak rata-rata (mean deviation) 𝑀𝐷𝑥 = 𝑀𝐷𝑥 =



∑|𝑥𝑖 − 𝑥̅ | (𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑘𝑒𝑙𝑜𝑚𝑝𝑜𝑘) 𝑛



∑ 𝑓𝑖 |𝑥𝑚,𝑖 − 𝑥̅ | (𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑘𝑒𝑙𝑜𝑚𝑝𝑜𝑘) 𝑛



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



9



Deviasi standar (simpangan baku) •



Data tidak berkelompok 𝑠𝑥 = √



𝜎𝑥 = √ •



∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 (𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙) 𝑛−1



∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 (𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖) 𝑁



Data berkelompok 𝑠𝑥 = √ 𝜎𝑥 = √



∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑚,𝑖 − 𝑥̅ )2 (𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙) 𝑛−1



∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑚,𝑖 − 𝜇𝑥 )2 (𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖) 𝑁



Varians merupakan kuadrat dari deviasi standard. Untuk varians kombinasi : 2 𝑠𝑥,𝑐 =



2 ∑ 𝑁𝑖 𝑆𝑥,𝑖 ∑ 𝑁𝑖



Koefisien Variasi 𝑉𝑥 = 𝜈𝑥 =



𝑠𝑥 (𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙) 𝑥̅



𝜎𝑥 (𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖) 𝜇𝑥



Momen Misalkan diberikan variable x dengan harga-harga: x1, x2, …, xn, maka dapat didefinisikan kuantitas yang disebut momen ke-r sebagai :



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



10



𝑥1𝑟 + 𝑥2𝑟 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑟 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖𝑟 = 𝑛 𝑛



̅̅̅ 𝑥𝑟 =



Momen ke-r simpangan terhadap mean 𝑚𝑟,𝑥 =



∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )𝑟 𝑛



Momen ke-r simpangan terhadap sembarang asal A 𝑚′ 𝑟,𝑥 =



∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝐴)𝑟 𝑛



Untuk data berkelompok : ̅̅̅ 𝑥𝑟 =



𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑥𝑚,𝑖 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑥𝑚,𝑖 𝑓1 𝑥𝑚,1 + 𝑓2 𝑥𝑚,2 + ⋯ + 𝑓𝑘 𝑥𝑚,𝑘 = = 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑘 𝑛 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑟



𝑚𝑟,𝑥 =



∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑥𝑚,𝑖 − 𝑥̅ ) ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖



𝑟



∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑥𝑚,𝑖 − 𝑥̅ ) = 𝑛



𝑟



𝑚′ 𝑟,𝑥 =



∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑥𝑚,𝑖 − 𝐴) ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖



𝑟



=



∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑥𝑚,𝑖 − 𝐴) 𝑛



Hubungan antar momen 𝑚2 = 𝑚2′ −(𝑚1′ )2 𝑚3 = 𝑚3′ − 3𝑚1′ 𝑚2′ + 2(𝑚1′ )3 𝑚4 = 𝑚4′ − 4𝑚1′ 𝑚3′ + 6(𝑚1′ )2 𝑚2′ + 3(𝑚1′ )4



Contoh : Momen simpangan terhadap mean yang pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari data terkelompok yang terdiri dari 100 data dengan lebar interval kelas 𝑐 = 100 dan memiliki 𝑥̅ = 1197,5, rata-rata dapat dihitung sebagai berikut:



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



11



Perhitungan secara langsung: 𝑥𝑚,𝑖



(𝑓𝑖 )



𝑓𝑖 (𝑥𝑚,𝑖 − 𝑥̅ )



949,5 1049,5 1149,5 1249,5 1349,5 1449,5 Ʃ



4 19 29 28 13 7 100



-992 -2812 -1392 1456 1976 1764 0



2



𝑓𝑖 (𝑥𝑚,𝑖 − 𝑥̅ ) 246016 416176 66816 75712 300352 444528 1549600



3



𝑓𝑖 (𝑥𝑚,𝑖 − 𝑥̅ ) -6,1e+07 -6,2e+07 -3207168 3937024 45653504 1,12e+08 35798400



4



𝑓𝑖 (𝑥𝑚,𝑖 − 𝑥̅ ) 1,51e+10 9,12e+09 1,54e+08 2,05e+08 6,94e+09 2,82e+10 5,98e+10



Maka : 1



𝑚1,𝑥



∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑥𝑚,𝑖 − 𝑥̅ ) 0 = = =0 𝑛 100 2



𝑚2,𝑥



∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑥𝑚,𝑖 − 𝑥̅ ) 1549600 = = = 15496 𝑛 100 3



𝑚3,𝑥 =



∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑥𝑚,𝑖 − 𝑥̅ ) 35798400 = = 357984 𝑛 100 4



𝑚4,𝑥 =



∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑥𝑚,𝑖 − 𝑥̅ ) 5,98 ∙ 1010 = = 5,98 ∙ 108 𝑛 100



Momen dalam bentuk tidak berdimensi 𝑎𝑟,𝑥 =



𝑚𝑟,𝑥 𝑚𝑟,𝑥 𝑚𝑟,𝑥 = = 𝑟 𝑠𝑟 (√𝑚2,𝑥 )𝑟 (√𝑚2,𝑥 ) 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑠 = √𝑚2,𝑥



Skewness (Kemiringan) Skewness adalah derajat ketidaksimetrisan atau penyimpangan dari kesimetrisan suatu distribusi. Kemiringan dapat menceng kanan (positif) dan menceng kiri (negatif)



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



12



Faktor koefisien kemencengan (Faktor Skewness Pearson) : 𝑆𝑓,𝑥 = ➢ ➢ ➢



3(𝑚𝑒𝑎𝑛 − 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛) 𝑚𝑒𝑎𝑛 − 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑠 = 𝑠 𝑠



Jika 𝑆𝑓,𝑥 = 0, kurvanya simetris Jika 𝑆𝑓,𝑥 > 0, kurvanya menceng ke kanan (positif) Jika 𝑆𝑓,𝑥 < 0, kurvanya menceng ke kiri (negatif)



Faktor koefisien kuartil dan persentil : 𝑆𝑓,𝑄𝑑 = 𝑆𝑓,𝑃10−90 =



(𝑄3 − 𝑄2 ) − (𝑄2 − 𝑄1 ) 𝑄3 − 2𝑄2 + 𝑄1 = 𝑄3 − 𝑄1 𝑄3 − 𝑄1 (𝑃90 − 𝑃50 ) − (𝑃50 − 𝑃10 ) 𝑃90 − 2𝑃50 + 𝑃10 = 𝑃90 − 𝑃10 𝑃90 − 𝑃10



Koefisien momen kemencengan 𝑎3,𝑥 =



➢ ➢ ➢



𝑚3,𝑥 𝑚3,𝑥 𝑚3,𝑥 = = 3 𝑠 (√𝑚2,𝑥 )3 3 (√𝑚2,𝑥 )



Jika 𝑎3,𝑥 = 0, kurvanya simetris Jika 𝑎3,𝑥 > 0, kurvanya menceng kanan Jika 𝑎3,𝑥 < 0, kurvanya menceng kiri



Kurtosis (Keruncingan)



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



13



Kurtosis adalah derajat runcing atau cepernya kurva. Kurva dengan puncak tinggi (runcing) disebut leptokurtic sedangkan yang puncaknya rata/ceper disebut platykurtic. Kurva yang tidak runcing tidak ceper disebut mesokurtic.



Koefisien momen keruncingan 𝑎4,𝑥 = ➢ ➢ ➢



𝑚4,𝑥 𝑚4,𝑥 = 2 𝑠4 𝑚2,𝑥



Jika 𝑎4,𝑥 > 3, kurvanya leptokurtic Jika 𝑎4,𝑥 < 3, kurvanya platykurtic Jika 𝑎4,𝑥 = 3, kurvanya mesokurtic



Koefisien persentil kurtosis 𝜅=



𝑄𝑑 1/2(𝑄3 − 𝑄1 ) = 𝑃90 − 𝑃10 𝑃90 − 𝑃10



Contoh Soal dan Pembahasan: 912 924 931 939 1020 1021 1028 1040 1042 1042



1051 1051 1055 1055 1058 1062 1065 1077 1081 1083



1090 1094 1095 1106 1110 1124 1133 1136 1141 1141



1141 1146 1146 1150 1152 1152 1156 1158 1160 1161



1162 1163 1170 1171 1175 1181 1185 1185 1186 1192



1196 1197 1200 1205 1208 1209 1216 1217 1218 1218



1225 1231 1233 1233 1235 1246 1249 1250 1254 1258



1264 1270 1273 1273 1274 1275 1285 1289 1290 1298



1302 1303 1312 1314 1316 1327 1333 1338 1341 1361



1368 1393 1399 1406 1416 1437 1449 1464 1482 1492



Buat data array, tentukan interval kelas, mean aritmetik, median dan modus data berkelompok, serta desil ke-2.



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



14



Data 900-999 1000-1099 100-1199 1200-1299 1300-1399 1400-1499 Total



Jumlah 4 19 29 28 13 7 100



Persentase 4% 19% 29% 28% 13% 7% 100%



Interval kelas dapat ditentukan dengan memanfaatkan rumus: 𝐼=



𝑅 1492 − 912 = = 96.9 = 100 𝑘 6



Dengan interval kelas 100, maka kita dapat plot tabel sebagai berikut: 900 + (100 − 1) = 999 1000 + (100 − 1) = 1099 1100 + (100 − 1) = 1199 … 1400 + (100 − 1) = 1499 Setelah melakukan plotting menjadi tabel berkelompok, selanjutnya kita dapat mencari nilai mean aritmetik, median, modus data berkelompok dan desil ke-2. 𝑥̅ =



∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑚,𝑖 (4)(949,5) + (19)(1049,5) + ⋯ + (7)(1449,5) = = 1197,5 𝑛 4 + 19 + ⋯ + 7 𝑛 100 − ∑ 𝑓𝑙 − 23 2 𝑥̃ = 𝐿𝑖 + ( ) 𝑐 = 1099,5 + ( 2 ) 100 = 1192,6 𝑓𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 29 ∆1 10 𝑥̂ = 𝐿𝑖 + ( ) 𝑐 = 1099,5 + ( ) 100 = 1190,4 ∆1 + ∆2 10 + 1



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



15



2 200 ) 𝑛 − ∑ 𝑓𝑙,2 ( ) − 52 10 𝐷2 = 𝐿𝑙,2 + ( ) 𝑐 = 1199,5 + ( 10 ) 100 = 1198,35 𝑓𝑘𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙,2 28 (



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



16



BAB 3: KONSEP DASAR PROBABILITAS A. DEFINISI DAN PENGERTIAN Probabilitas adalah ukuran numerik tentang seberapa sering peristiwa tertentu akan terjadi. Semakin besar nilai probabilitas menyetakan bahwa peritiwa tersebut akan sering terjadi. Ruang sampel → himpunan yang isinya kemungkinan hasil dari suatu eksperimen. Kejadian → himpunan bagian dari kemungkinan hasil dalam suatu ruang sampel. Probabilitas → bilangan antara 0 dan 1 yang menggambarkan kemungkinan suatu kejadian. 0 mustahil terjadi, 1 pasti terjadi 𝑃(𝐴) =



𝑓𝐴 𝑁



𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴) 𝑓𝐴 = banyaknya kejadian



𝑁 = banyak cara kejadian A dapat terjadi



Derajat keyakinan → keyakinan terhadap suatu kejadian berdasarkan pendapat ahli Perisitiwa majemuk → gabungan dua atau lebih peristiwa Probabilitas bersyarat → probabilitas peristiwa A terjadi setelah peristiwa B terjadi.



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



17



𝑃(𝐴|𝐵) =



𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵)



Peristiwa saling bebas → peristiwa A tidak memengaruhi probabilitas peristiwa B 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) 𝑑𝑎𝑛 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵) Peristiwa saling meniadakan (mutually exclusive) → peristiwa A dan B tidak mungkin terjadi secara bersamaan.



𝑃(𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑃(𝐴|𝐵) = 0 𝑃(𝐵|𝐴) = 0



B. HUKUM-HUKUM PROBABILITAS PERISTIWA MAJEMUK a. Hukum perkalian 1. Peristiwa saling bebas 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 … ) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶) ∙ … Contoh : 40 % handphone merek X rusak saat masa garansi 20% laptop merek Y rusak saat masa garansi Jika seseorang beli handphone merek X dan laptop merek Y secara bersamaan, maka probabilitas keduanya rusak saat masa garansi adalah 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = 0.4 × 0.2 = 0.08 Peristiwa ini saling bebas karena rusaknya handphone tidak mempengaruhi kerusakan laptop atau sebaliknya 2. Peristiwa tidak saling bebas 𝑃(𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴|𝐵) ∙ 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴) ∙ 𝑃(𝐴)



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



18



Contoh : Dari gejala yang ditunjukkan pada komputer yang akan diperbaiki, seorang ahli perangkat keras komputer memastikan bahwa kerusakan disebabkan oleh hanya salah satu dari keempat blok rangkaian pada mainboardnya. Untuk itu dia berencana memeriksa satu-persatu keempat blok tersebut. Berapakah probabilitas bahwa sekurangkurangnya mekanik tersebut harus melakukan pemeriksaan tiga blok rangkaian sampai dia dapat menentukan blok rangkaian yang rusak? Logika masalah di atas adalah sang mekanik harus melakukan pemeriksaan berikutnya jika pada pemeriksaan sebelumnya dia mendapatkan blok rangkaian yang tidak rusak. Jika ditetapkan peristiwa X = {pemeriksaan pertama memperoleh blok tidak rusak} dan peristiwa Y = {pemeriksaan kedua memperoleh blok tidak rusak}, maka P(X) = 3/4. Jika pada pengecekan pertama sang mekanik memperoleh blok tidak rusak, maka dari tiga blok rangkaian yang belum diperiksa masih terdapat dua blok yang tidak rusak, sehingga P(Y/X) = 2/3. Jadi pemeriksaan ketiga harus dilakukan setelah pemeriksaan pertama dan kedua memperoleh blok yang tidak rusak. Dari hukum perkalian didapatkan: 2 3 6 𝑃(𝑋 𝑑𝑎𝑛 𝑌) = 𝑃(𝑋 ∩ 𝑌) = 𝑃(𝑌/𝑋) ∙ 𝑃(𝑋) = ( ) ( ) = = 0,5 3 4 12 b. Hukum penjumlahan Peristiwa atai kejadian bersama atau probabilitas kejadian majemuk (Bila A dan B kejadian semabrang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A dan B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada keduanya)



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



19



𝑃(𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) Namun apabila dua kejadian saling lepas, maka rumus yang berlaku adalah sebagai berikut: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶)



C. TEKNIK ENUMERASI Permutasi → pemilihan diambil r objek dari n objek dengan memperhatikan urutan susunannya 𝑃𝑟𝑛 =



𝑛! (𝑛 − 𝑟)!



Kombinasi → pemilihan diambil r objek dari n objek tanpa memperhaikan urutan susunannya 𝐶𝑟𝑛 =



𝑛! 𝑟! (𝑛 − 𝑟)!



Contoh Soal dan Pembahasan: Perhatikan struktur yang dilas. Kegagalan dari struktur terjadi jika salah satu atau lebih dari ketiga sambungan las terebut putus. Jika probabilitas dari putusnya masing-masing sambungan las P(L1) = P(L2) = P(L3) = 0,001 dan diasumsikan saling bebas, tentukan probabilitasnya.



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



20



𝑃(𝐿1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐿2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐿3) = 𝑃(𝐿1 ∪ 𝐿2 ∪ 𝐿3) = 𝑃(𝐿1) + 𝑃(𝐿2) + 𝑃(𝐿3) − 𝑃(𝐿1 ∩ 𝐿2) − 𝑃(𝐿1 ∩ 𝐿3) − 𝑃(𝐿2 ∩ 𝐿3) + 𝑃(𝐿1 ∩ 𝐿2 ∩ 𝐿3) = 0,001 + 0,001 + 0,001 − (0,001)(0,001) − (0,001)(0,001) − (0,001)(0,001) + (0,001)(0,001)(0,001)



= 0,003



Berapakah probabilitas mendapatkan dadu dengan nilai total 7 atau 11 bila dadu yang dilempar adalah sepasang? Asumsi kejadian A adalah kejadian dimana sepasang dadu mempunyai nilai total 7, sehingga A = {(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)} Asumsi kejadian B adalah kejadian dimana sepasang dadu mempunyai nilai total 11, sehingga B = {(5,6),(6,5)} Maka dari itu probabilitas untuk memperoleh nilai dadu dengan total nilai 7 dan 11 adalah 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 6 2 8 = + −0= (6)(6) (6)(6) 36



Terjadi 3 transaksi saham, transaksi pertama melakukaan transaksi beli, dan pada transaksi kedua dan ketiga bisa melakukan transaksi beli atau jual (bebas dari pengaruh transaksi pertama). Apabila P(Jual) sama dengan 0,35 dan P(Beli) sama dengan 0,25 tentukanlah peluang



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



21



dilakukannya jual dan beli secara berturut-turut pada transaksi kedua dan ketiga? 𝑃(𝐽𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑛 𝐵𝑒𝑙𝑖) = (0,35)(0,25) = 0,0875



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



22



BAB 4: DISTRIBUSI PROBABILITAS A. VARIABEL ACAK Variabel acak → nilai numerik tunggal untuk setiap hasil eksperimen probabilitas Variabel acak diskrit → variabel acak yang dapat dicacah Variabel acak kontinu → variabel acak yang tak terhingga banyaknya. Diperoleh dari hasil pengukuran



B. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT •



•



Fungsi probabilitas Jika variabel acak X memiliki keluaran/nilai yang mungkin x1,x2,x3,…,xn lalu dilist pada nilai probabilitas yang berkaitan, yaitu P(X=x1), P(X=x2),…,P(X=xn), inilah yang disebut distribusi probabilitas diskrit. P(X=x) dapat ditulis juga p(x) yang bacanya “probabilitas X menyandang nilai x”. Ini dinamakan fungsi probabilitas. Fungsi distribusi kumulatif Fungsi distribusi kumulatif adalah jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari x. 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∑ 𝑝(𝜉) 𝜉≤𝑥



Mean distribusi 𝜇𝑥 = ∑ 𝑥 𝑝(𝑥) Varians distribusi 𝜎𝑥2 = ∑(𝑥 − 𝜇𝑥 )2 𝑝(𝑥)



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



23



Contoh: Pada sebuah eksperimen untuk menghilangkan probabilitas dari satu kali melempar dua buah dadu secara bersamaan diperoleh berikut ini distribusi probabilitas dari jumlah mata dadu yang muncul: Ruang sampel mungkin: (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (5,1) (5,2) (6,1) (6,2)



eksperimen adalah pasangan mata dadu yang (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)



(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)



(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)



(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)



1 36 1 2 3 𝐹(3) = ∑ 𝑝(𝑥) = 𝑝(2) + 𝑝(3) = + = 36 36 36 𝑥 2,575. Maka H0 Diterima. Hal ini berarti klain manajer pemasaran dapat diterima (tidak bisa ditolak) dengan risiko kesalahan (tingkat kepentingan) mencapai 0,01.



Pemilik sebuah usaha tambang batu granit mengatakan bahwa rata-rata per hari dapat ditambang 4500kg batu granit dari lahan tambang milik perusahaannya. Seorang calon investor mencurigai angka tersebut sengaja dibesar-besarkan untuk menarik minat investor baru. Kemudian ia mengambil sampel sealma 40 hari dan mendapati bahwa rata-rata perhari batu granit yang ditambang adalah 4460kg dengan standar deviasi 250kg. Terbuktikah kecurigaan calon investor tersebut? Perlu dipahami bahwa uji hipotesis yang harus dilakukan adalah uji satu ujung untuk mengetahui apakah rata-rata yang sesungguhnya kurang dari rata-rata yang diasumsikan. Uji tersebut dilakukan dengan langkahlangkah sebagai berikut: a. Hipotesis: 𝐻0 : 𝜇 = 4500



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



58



𝐻1 : 𝜇 < 4500 b. 𝛼 = 0,01 (pemisalan dipilih tingkat kepentingan 1%) c. 𝑛 = 40 > 30 → digunakan distribusi z d. Batas-batas daerah penolakan uji ujung kiri: 𝛼 = 0,01 → 𝑧0,01 Dari tabel distribusi normal, batas yang bersesuaian adalah −𝑧0,01 = −2,325 e. Aturan keputusan: Tolak H0 dan terima H1 jika 𝑅𝑈𝑧 < -2,325. Jika tidak demikian, terima H0 f. Rasio uji: 𝑥̅ − µ𝐻0 4460 − 4500 𝑅𝑈𝑧 = = = −1,012 𝜎 250 √𝑛 √40 g. Pengambilan keputusan: Karena 𝑇𝑅𝑧 berada di 𝑅𝑈𝑧 > -2,325. Maka H0 diterima. Hal ini berarti klaim pemilik tambang tidak bisa ditolak dengan risiko kesalahan 0,01.



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



59



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



60



BAB 10: UJI HIPOTESIS SAMPEL GANDA A. PROSEDUR UJI HIPOTESIS 1. Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternatif Uji hipotesis ini menggunakan uji dua varians. 𝐻0 ∶ 𝜎12 = 𝜎22 2 2 𝐻1 ∶ 𝜎1 ≠ 𝜎2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜎12 > 𝜎22 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜎12 < 𝜎22 2. Pemilihan tingkat kepentingan (α) 3. Penentuan distribusi pengujian yang digunakan Distribusi yang digunakan adalah distribusi F dan seluruh nilai F > 0 Derajat kebebasan (df) = n-1 4. Pendefinisian daerah-daerah penolakan 5. Pernyataan aturan keputusan 6. Perhitungan uji rasio (RU) 𝑠12 𝑅𝑈𝐹 = 𝐹𝑡𝑒𝑠𝑡 = 2 𝑠2 7. Pengambilan keputusan secara statistic



B. UJI HIPOTESIS MEAN DENGAN SAMPEL GANDA 1. Uji t-pasangan untuk populasi saling tergantung 𝐻0 ∶ 𝜇𝑑 = 0 𝐻1 ∶ 𝜇𝑑 ≠ 0 (𝑢𝑗𝑖 𝑑𝑢𝑎 𝑢𝑗𝑢𝑛𝑔) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜇𝑑 > 0 (𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑢𝑗𝑢𝑛𝑔) 𝑑̅ − 𝜇𝑑 𝑅𝑈𝑡 = 𝑡𝑡𝑒𝑠𝑡 = 𝑠𝑑 /√𝑛 2 ∑(𝑑 − 𝑑̅ ) √ 𝑠𝑑 = 𝑛−1 𝑑 = perbedaan nilai pasangan data (sebelum dan sesudah) 2. Uji z untuk populasi yang saling independent 𝐻0 ∶ 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1 ∶ 𝜇1 ≠ 𝜇2 (𝑢𝑗𝑖 𝑑𝑢𝑎 𝑢𝑗𝑢𝑛𝑔) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜇𝑑 > 𝜇2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜇2 < 𝜇2 Jika σ1 dan σ2 telah diketahui,



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



61



𝑅𝑈𝑧 = 𝑧𝑡𝑒𝑠𝑡 = 𝜎𝑥̅1 −𝑥̅2 = √



𝑥̅1 − 𝑥̅2 √𝜎𝑥̅1−𝑥̅2



𝜎12 𝜎22 + 𝑛1 𝑛2



Jika σ1 dan σ2 tidak diketahui tapi ukuran sampel > 30 𝑥̅1 − 𝑥̅2 𝑅𝑈𝑧 = 𝑧𝑡𝑒𝑠𝑡 = 𝜎̂𝑥̅1−𝑥̅2 𝜎̂𝑥̅1−𝑥̅2 = √



𝑠12 𝑠22 + 𝑛1 𝑛2



3. Uji t sampel ukuran kecil untuk populasi yang independent jika uji F-nya menunjukkan 𝜎12 ≠ 𝜎22 𝑥̅1 − 𝑥̅2 𝑅𝑈𝑡 = 𝑡𝑡𝑒𝑠𝑡 = 𝑠2 𝑠2 √( 1 ) + ( 2 ) 𝑛1 𝑛2 4. Uji t sampel ukuran kecil untuk populasi yang independent jika uji F-nya menunjukkan 𝜎12 = 𝜎22 𝑥̅1 − 𝑥̅2 𝑅𝑈𝑡 = 𝑡𝑡𝑒𝑠𝑡 = 𝑠 2 (𝑛 − 1) + 𝑠22 (𝑛2 − 1) 1 1 √ 1 1 √ + 𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝑛1 𝑛2 𝑑𝑓 = 𝜈 = 𝑛1 +𝑛2 − 2



C. UJI HIPOTESIS PRESENTASE DENGAN SAMPEL GANDA 𝐻0 ∶ 𝜋1 = 𝜋2 𝐻1 ∶ 𝜋1 ≠ 𝜋2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜋1 > 𝜋2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜋1 < 𝜋2 𝑝1 − 𝑝2 𝑅𝑈𝑧 = 𝑧𝑡𝑒𝑠𝑡 = 𝜎̂𝑝1−𝑝2 𝜎̂𝑝1−𝑝2 = √



𝑝1 (100 − 𝑝1 ) 𝑝2 (100 − 𝑝2 ) + 𝑛1 𝑛2



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



62



BAB 11: REGRESI LINIER A. PERSAMAAN REGRESI LINIER SEDERHANA 𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑦̂ = nilai estimate variabel yang terikat 𝑎 = titik potong garis regresi pada sumbu y 𝑏 = gradien garis regresi 𝑛(∑ 𝑥𝑦) − (∑ 𝑥) (∑ 𝑦) 𝑏= 𝑛(∑ 𝑥 2 ) − (∑ 𝑥)2 (∑ 𝑦)(∑ 𝑥 2 ) − (∑ 𝑥) (∑ 𝑥𝑦) 𝑎= 𝑛(∑ 𝑥 2 ) − (∑ 𝑥)2 Contoh Soal dan Pembahasan: Hubungan antara kompetensi (X) dan kinerja pegawai (Y) yang diambil secara acak sebanyak 15 orang. Tabel yang merepresentasikan yakni berikut. Tentukanlah persamaan regresi linear yang menunjukkan hubungan X dan Y. X 40 55 32 55 50 52 61 44 30 22 40 64 58 48



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



Y 4 16 12 24 15 24 22 17 4 14 24 26 20 9



63



44 14 Pertama-tama urutkan dan kerjakan tabel yang diberikan menjadi berbentuk sebagai berikut: X Y X2 XY 22 14 484 308 30 4 900 120 32 12 1024 384 40 4 1600 160 40 24 1600 960 44 17 1936 748 44 14 1936 616 48 9 2304 432 50 15 2500 750 52 24 2704 1248 55 16 3025 880 55 24 3025 1320 58 20 3364 1160 61 22 3721 1342 64 26 4096 1664 695 245 34219 12092 Setelah memperoleh total nilai dari keempat data diatas, maka dapat dilanjutkan dengan memanfaatkan rumus sebagai berikut: 𝑎=



(∑ 𝑦)(∑ 𝑥 2 ) − (∑ 𝑥) (∑ 𝑥𝑦) (245)(34219) − (695)(12092) = = −0,67 𝑛(∑ 𝑥 2 ) − (∑ 𝑥)2 15(34219) − (695)2



𝑏=



𝑛(∑ 𝑥𝑦) − (∑ 𝑥) (∑ 𝑦) 15(12092) − (695)(245) = = 0,367 𝑛(∑ 𝑥 2 ) − (∑ 𝑥)2 15(34219) − (695)2



Dengan demikian, persamaan regresi linear Y atas X untuk soal diatas adalah: 𝑌̂ = 𝑎 + 𝑏 𝑋 ̂ 𝑌 = −0,67 + 0,367 𝑋



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



64



SOAL UTS-UAS DAN PEMBAHASAN Soal UTS : 1. A company requires to determine how long it will take to assemble a new product. Samples were randomly assigned to 13 selected employees and the company measured the time needed for each empliyee to assemble the product (rounded up to minute). Data: 16; 8; 11; 9; 14; 22; 20; 16; 30; 25; 19; 16; 15 (in minutes) Calculate the mean, median, mode, range, variance (s2), standard deviation (s) [2018] Penyelesaian: Data Terurut sebagai berikut: 8



9



11



14



15



16



rata-rata



17



st.dev



6.244998



range



22



interval



5



kelas



4



mode



16



median



15.5



16



16



19



22



25



30



mean: 221 / 13 = 17 menit median: (16+16)/2= 16 menit mode: 16 menit ( 3 datum) varians: 468 / 12 = 39 menit2 standar deviasi: √39 = 6,24 menit Perhitungan memanfaatkan rumus-rumus yang telah diberikan, dan sedikit tips, perhitungan dapat dilakukan dengan shortcut yang ada pada kalkulator saintifik.



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



65



2. Suppose an insurance company categorizes people into three classes: low risk, medium risk, and high risk treatment. Based on the data it is known that the chance of someone issues a claim with low, medium, and high risk treatment are 0,05; 0,15; and 0,3 respectively. Demographic population data shows that the population is consist of 20% low risk, 50% medium risk and 30% high risk potential treatment. If it is known that during one year a policy holder does not issue any claim, what is the percentage that he/she is categorized in the low risk group by the insurance company? [2018] Penyelesaian: Risk



Claim



No



%pops



Low



0.05



0.95



20%



Med



0.15



0.85



50%



Hidh



0.3



0.7



30%



(0.95)(0.2)



P(𝑁𝑜𝑡 𝑙𝑜𝑤 𝑟𝑖𝑠𝑘) = (0.95)∗(0.2)+(0.85∗(0.5)+(0.3)∗(0.7) = 0.23 3. An outbreak of an air-borne disease has spread in Village X. Because of the diffuculty in accessing medical services, the chance of a patient will survive the desease is only 30%. If there are 20 people infected by the desease, then determine: [2018] a. Probability of at least 10 people shall survive b. Probability of 4 to 8 people shall survive c. Probability of 5 people shall survive Penyelesaian: Digunakan probablitas Poisson 𝜆(𝐶ℎ𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑟𝑣𝑖𝑣𝑒) = 30% ∗ 20 = 6 X= 0,1,2,3,…,7 e.g. Case with chance of only 1 survivor



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



66



𝑃(𝑥, 𝜆) = 10



0.04



11



0.023



12



0.011



13



0.0052



14



0.0023



15



0.0009



16



0.0003



17



0.0001



18



0.00004



19



0.00001



20



0.000003



a.



𝜆𝑥 𝑒 −𝜆 𝑥!



=



61 𝑒 −6 1!



= 0.015



Chance of at least 10 survivors



𝑃(10 − 20) = 𝑃(10,6) + 𝑃(11,6) + 𝑃(12,6) + 𝑃(13,6) + ⋯ + 𝑃(20,6) 𝑃(10 − 20) = 0.082



b. Chance of at 4-8 survivors



c.



4



0.13



5



0.16



6



0.16



7



0.14



8



0.1



𝑃(4 − 8) = 𝑃(4,6) + 𝑃(5,6) + 𝑃(6,6) + 𝑃(7,6) + (8,6) 𝑃(4 − 8) = 0.13 + 0.16 + 0.16 + 0.14 + 0.1 = 0.7 𝑃(4 − 8) = 0.7



Chance of exactly 5 survivors 𝑃(5) = 0.16



4. The average pipe length of 500 samples produced is 50,2 centimenters and the standard deviation is 0,5 centimeters. The pipe is considered as good quality if it has length in the range of 49,6 centimeters – 50,8 centimeters, otherwise the pipe is considered as low quality. What is the probability that the length of a randomly selected pipe will exceed 50,5 centimeters by using normal distribution? [2018] Penyelesaian:



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



67



𝑃(𝑋 > 50.5) = P(X > (50.5 – 50.2)/0,5)) 𝑃(𝑋 > 50.5) = P(Z > 0.6)) = 1 – P(Z < 0.6)= 0.2743 5. Sebuah data hasil rekap semua komponen penilaian mata kuliah “Biologi untuk Teknik” terhadap 60 mahasiswa dalam satu kelas yang telah dikelompokkan sebagai berikut [2018] Kelompok Nilai Jumlah 1 50.0 – 54.9 2 2 55.0 – 59.9 1 3 60.0 – 64.9 12 4 65.0 – 69.9 19 5 70.0 – 74.9 16 6 75.0 – 79.9 6 7 80.0 – 84.9 3 8 85.0 – 85.9 1 a. Hitung mean, standar deviasi dari rekap data tersebut b. Sajikan plot grafik histogram distribusi dari data tersebut Penyelesaian: Mean 70,25 Standard Deviasi 5,389 Kurtosis -0,672 Skewness 0,540



Histogram 20 15 10 5 0



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



68



6. Sebuah studi lalu lintas menunjukkan bahwa 60% kecelakaan terjadi di malam hari, 52% kecelakaan berkaitan dengan alkohol, 37% kecelakaan terjadi di malam hari dan berkaitan dengan alkohol. Pertanyaan: [2018] a. Berapa probablitas (menggunakan teori Bayes) terjadinya sebuah kecelakaan di malam hari dengan kondisi awal kecelakaan tersebut berkaitan dengan alkohol? b. Berapa probabilitas (menggunakan teori Bayes) terjadinya sebuah kecelakaan disebabkan oleh alkohol dengan kondisi awal bahwa terjadinya di malam hari? Penyelesaian: Dengan memanfaatkan formulasi bayes, sebagai berikut: 𝑃(𝐵3 )𝑃(𝐴\𝐵3 ) 𝑃(𝐵3 \𝐴) = )𝑃(𝐴\𝐵 ) 𝑃(𝐵1 1 + 𝑃(𝐵2 )𝑃(𝐴\𝐵2 ) + 𝑃(𝐵3 )𝑃(𝐴\𝐵3 ) Sehingga: 2



alkohol



0.37



0.22



bukan alkohol



0.63



0.38



alkohol



0.15



0.06



bukan alkohol



0.85



0.34



0.22



0.60 malam hari



0.4 bukan malam hari



a) alkohol sbg kondisi awal sample space prob kec malam kondisi alkohol



0.28 >> (0.22+0.06) 0.79 >> (0.22/0.28)



b) malam hari sbg kondisi awal sample space prob kec karna alkohol kondisi malam



0.60 >> (0.22+0.38) 0.37 >> (0.22/0.38)



7. Berdasarkan data historis, diperkirakan 30% kegagalan pekerjaan pemasangan pipa pada pabrik kimia disebabkan oleh kesalahan operator. Tentukan: [2018] a. Apakah bentuk distribusi probabilitas dari kasus ini b. Berapakah probabilitas bahwa dari 20 kegagalan pekerjaan pipa selanjutnya, 10 disebabkan oleh kesalahan operator c. Berapakah probabilitas bahwa dari 20 kegagalan tersebut, tidak lebih dari 4 kegagalan disebabkan oleh kesalahan operator



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



69



Penyelesaian: a. Distribusi binomial, dimana b(x; 20, 0.3) b. P(X>= 10) = 1-P(X 30 digunakan distribusi z d. batas-batas daerah penolakan uji dua ujung (two tailed) 𝑎 𝛼 = 0,01 → = 0,005 → ±𝑧0,005 2 dari tabel distribusi normal batas yang bersesuaian adalah + z0,005 = + 2,575 e. aturan keputusan : tolak 𝐻0 dan terima H1 jika 𝑅𝑈𝑧 < 2,575 atau 𝑅𝑈𝑧 > + 2,575 awawajika tidak demikan terima H0



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



80



f.



rasio uji



14 −3 𝑝 − 𝜋ℎ0 𝑝 − 𝜋ℎ0 500 𝑇𝑅 = = = 𝛿𝑝 √𝜋(100 − 𝜋) √3(100 − 3) 𝑛 500 = − 0,262 g. pengambilan keputusan karena nilai 𝑅𝑈𝑧 > - 2,575 maka H0 diterima. ini pendapat khkilmuwan tersebut cukup memadai dengan resiko kesalahan 1% (tingkat kepentingan 0,01) 20. PT Unilever memproduksi kaleng untuk bahan makanan. Dari suatu sampel acak terdiri dari 16 produk kaleng yang diproduksi pada jam kerja shift siang, varians diameternya adalah 17,39 mm. Kemudian dari produksi pada jam kerja shift malam diambil 13 sampel secara acak dan diukur diameternya memiliki varians 12,83 mm. Dengan menggunakan uji hipotesis pada tingkat kepentingan 0,05 tentukan apakah varians populasi produksi shift siang dan malam sama? [2019] Penyelesaian: a. hipotesis H0 : 𝑠12 = 𝑠22 H1 : 𝑠12 ≠ 𝑠22 b. resiko kesalahan (tingkat kepentingan) 𝛼 = 0,05 c. pengujian mempergunakan distribusi F karena varians dan sample shift siang lebih besar daripada sample shift malam maka : 𝑛1 = 13 ; 𝑑𝑓1 𝑣1 = 𝑛1 – 1 = 12 𝑛2 = 16 ; 𝑑𝑓2 𝑣2 = 𝑛2 – 1 = 15 d. batas-batas daerah penolakan uji dua ujung (two tailed) 𝑎 𝛼 = 0,05 → = 0,025 → ±𝐹0.025,15,12 2 e. aturan keputusan tolak 𝐻0 dan terima 𝐻1 jika 𝑅𝑈𝑓 > 2,963. jika tidak demikian terima 𝐻0 𝑅𝑈𝑓 = f.



𝑠12 𝑠22



rasio uji 𝑅𝑈𝑓 =



𝑠12 17,39 2 = 12,83 = 1,355 𝑠2



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



81



g. pengambilan keputusan karena 𝑅𝑈𝑓 < 2,963 maka 𝐻0 diterima, berarti tidak ada perbedaan signifikan terhadap variabilitas hasil produksi pada jam kerja shift siang maupun shift malam dengan resiko kesalahan 5% (tingkat kepentingan 0,05). 21. 600 produksi manufaktur berat rata-rata 6,02 N dan standar deviasi 1,30 N. Tentukan probabilitas bahwa suatu sampel acak terdiri dari 100 cetakan yang dipilih akan mempunyai berat total antara 5,96 sampai 6,00 N. [2019] Penyelesaian: 𝜇𝑥̅ = 𝜇 = 6,02 Ϭ = 1,3 𝑁 = 600 𝑛 = 100



𝜎𝑥̅ =



𝜎



𝑁−𝑛 1,3 600 − 100 √ = = 0.11 √𝑛 𝑁 − 1 √100 600 − 1 √



Jika 100 sampel cetakan memiliki berat total 596 N sampai 600 N maka meannya adalah 5,96 N dan 6,00 N Probabilitas mean tersebut dapat dicari dengan menggunakan tabel distribusi normal dimana score z didefinisikan sebagai: 𝑥̅ − µ𝑥 𝑍𝑥̅ = 𝜎𝑥 Maka: = 𝑃(5,96 ≤ 𝑍𝑥̅ ≤ 6,00) = 𝑃(5,96 − 6,000,11 ≤ 𝑍𝑥 ≤ 6,00 − 6,020,11 ) = 𝑝(−0,36 ≤ 𝑍𝑥̅ ≤ −0.18) = ɸ(−0,18) − ɸ(−0,36) = 0,4286 – 0,3594 = 0.0692



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



82



22. Seorang insinyur muda ingin mengestimasi waktu rata-rata yang dibutuhkan mesin untuk menghasilkan suatu produk. Sampel acak ditentukan sejumlah 40 produk yang menunjukan bahwa rata-rata waktu yang dibutuhkan adalah 1,25 menit tiap produk dihasilkan. Deviasi standar dari waktu produksi adalah 0,3 menit dengan tingkat kepercayaan 95 persen. Maka tentukan estimasi interval yang terjadi. [2019] Penyelesaian: n = 40 x̅ = 1,25 σ = 0,3 Tingkat Kepercayaan = 95% Sampel dengan populasi tak hingga, maka error standard-nya: 𝜎 0,30 𝜎𝑥 = = = 0,04 √𝑛 √40 Dengan tingkat kepercayaan 95% nilai z = 1,96 jadi estimate intervalnya adalah: 𝑥̅ − 𝑧𝜎𝑥̅ ˂ 𝜇𝑥̅ ˂ 𝑥̅ + 𝑧𝜎𝑥̅ 1,25 – (1,96)(0,040) < 𝜇𝑥̅ < 1,25 + (1,96)(0,040) 1,1716 < 𝜇𝑥̅ < 1,32843 Waktu rata-rata untuk memproduksi 1 produk adalah 1,1716 menit sampai 1,3284 menit. 23. Manajer bagian kendali mutu perusahaan suku cadang mesin mobil memilih secara acak sejumlah 100 piston untuk mengestimasi persentase produksi piston yang layak pakai. Berapakah probabilitasnya bahwa proporsi dari sampel yang memenuhi tersebut berada dalam kisaran 5 persen dari proporsi populasinya? [2019] Penyelesaian: n = 100 piston Asumsi N = 1000 piston Kisaran= 5% 𝜇_𝑝 = 𝜋 = 0,1



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



83



𝜎𝑝 = √



𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 =



𝜋(1 − 𝜋) 0,1(1 − 0,1) =√ = 0,03 𝑛 100



1 2𝑛



1 = 0,005 2(100) 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 = 0,05 − 0,005 = 0,045 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 − 𝜋 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 = 1 − 𝑃(𝑍𝑝 ≤ ) 𝜎0 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 = 1 − 𝑃(𝑍𝑝 ≤ −1,83) 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 = 0,9664 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 =



24. Kekuatan rusak (breaking strength) sebuah paku keliling memiliki mean 10.000 N/m2 dan deviasi standar 500 N/m2. [2019] a. Berapakah probabilitas mean kekuatan rusak dari sebuah sampel acak yang terdiri dari 40 paku keliling akan berada antara 9.900 hingga 10.200 N.m2? b. Jika sampelnya berukuran 15, tentukan probabilitas bahwa yang akan ditanyakan pada a dapat dihitung dengan informasi yang diberikan Penyelesaian: 𝜇𝑥=10.000 a.



𝜎𝑥 =



𝑠 √𝑛



=



500 √40



= 79,1



𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 ∶ 𝑃(9900 ≤ 𝑧 ≤ 10200) 9900 − µ𝑥 10200 − µ𝑥 𝑃( ≤𝑧≤ ) 𝜎𝑥 𝜎𝑥 9900 − 10000 10200 − 10000 𝑃( ≤𝑧≤ ) 79,1 79,1 𝑃(−1,26 ≤ 𝑧 ≤ 2,52) 𝜙(2,52) − 𝜙(−1,26) Probabilitas: 0,8903 b.



𝜎𝑥 =



𝑠 √𝑛



=



500 √15



= 129,1



𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 ∶ 𝑃(9900 ≤ 𝑧 ≤ 10200)



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



84



9900 − µ𝑥 10200 − µ𝑥 𝑃( ≤𝑧≤ ) 𝜎𝑥 𝜎𝑥 9900 − 10000 10200 − 10000 𝑃( ≤𝑧≤ ) 129,1 129,1 𝑃(−0,77 ≤ 𝑧 ≤ 1,55) 𝜙(1,55) − 𝜙(−0,77) Probabilitas: 0,7188 25. Sebuah sampel acak yang terdiri dari 110 sinyal radar yang dikirimkan dari daerah tertentu menghasilkan pantulan radar balik dalam jangka waktu rata-rata 0,81 detik dan deviasi standar 0,34 detik. Hitunglah estimasi interval dari rata-rata waktu pantul pupulasinya dengan tingkat kepercayaan 99%. [2019] Penyelesaian: 𝑛 = 110 𝑥̅ = 0,81 𝜎𝑥 = 0,34 𝛼 = 1 − 0,99 = 0,01 𝑍0,01 = 2,575 𝜎𝑥 0,34 𝜎𝑥̅ = = = 0,0324 √𝑛 √110 Estimasi interval: 𝑥 − 𝑍0.01 𝜎𝑥̅ < 𝜇𝑥 < 𝑥̅ + 𝑍0.01 𝜎𝑥̅ 0,81 − (2,575)(0,324) < 𝜇𝑥 < 0,81 + (2,575)(0,324) 0,72657 < 𝜇𝑥 < 0,89343 26. Dalam sebuah artikel mengenai kinerja kiln (tungku pemroses bahan keramik) dilaporkan informasi sebagai berikut. Kekuatan terhadap 168 batang keramik yang diproses dengan kiln tersebut mempunyai rata-rata 89,10 MPa dan deviasi standar 3,73 MPa. [2019] a. Hitunglah estimasi interval dari kekuatan retak rata-rata sesungguhnya (populasi) dengan tingkat kepercayaan 99%. b. Andaikan seorang peneliti berdasarkan data sebelumnya meyakini bahwa deviasi standar populasi



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



85



adalah 4 MPa. Berdasarkan hal tersebut berapakah jumlah (ukuran) sampel yang harus digunakannya untuk membuat estimasi interval atas kekuatan retak rata-rata sesungguhnya dalam kisaran ±0,5 MPa dengan tingkat kepercayaan 95% Penyelesaian: 𝑛 = 168 𝑥̅ = 89,10 a. 𝜎𝑥 =3,73 𝛼 = 1 − 0,99 = 0,01 𝑍0.01 = 2,575 𝜎𝑥 3,73 𝜎𝑥̅ = = = 0,2878 √𝑛 √168 Estimasi interval: 𝑥̅ − 𝑍0,01 𝜎𝑥̅ < 𝜇𝑥 < 𝑥̅ − 𝑍0,01 𝜎𝑥̅ 89,10 − (2,575)(0,2878) < 𝜇𝑥 < 89,10 + (2,575)(0,2878) 88,359 < 𝜇𝑥 < 89,841 b. 𝜎𝑥 = 4 𝛼 = 1 − 0,95 = 0,05 𝑍0,05 = 1,960 0,5 = 𝜎𝑥̅ 𝑍0,05 0,5 = 𝜎𝑥̅ (1,960) 𝜎𝑥̅ = 0,255 𝜎𝑥 𝜎𝑥̅ = √𝑛 𝜎𝑥̅ √𝑛 = 𝜎𝑥 4 √𝑛 = 0,255 √𝑛 = 15,16 𝑛 = 246 27. Sejenis minyak aditif dikatakan oleh pembuatnya mampu mengurangi pemakaian bahan baka mobil. Misalkan 13 mobil yang dipilih secara acak diperiksa dengan memberikan 10 liter bahan



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



86



bakar dan aditifnya.ternyata rata-rata jarak tempuh sampai bahan bakar habis adalah 68 km, sedangkan pabrik minyak aditif telah mengklaim bahwa dengan menggunakan aditif itu, jarak tempuhnya akan mencapai 75km. jika deviasi standarnya 15 km, apakah kesimpulan yang dapat diambil dari klaim tersebut? [2019] Penyelesaian: Asumsi tingkat kepercayaan 95%. Metode dua ujung: 𝑥̅ = 68 𝑘𝑚 𝑠 = 15 𝑘𝑚 Hipotesis 𝐻0 : 𝜇 = 75 𝑘𝑚 𝐻1 : 𝜇 ≠ 75 𝑘𝑚 Distibusi sampel 𝑛 = 13 < 30 → 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑔𝑢𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 𝑡 Tingkat kepentingan 𝑣 = 𝑑𝑓 = 𝑛 − 1 𝑣 = 13 − 1 = 12 𝛼 = 0,05 𝛼 = 0,025 2 ±𝑡12,0.025 = ±2,179 Aturan keputusan Tolak 𝐻0 dan terima 𝐻1 jika nilai 𝑅𝑈𝑡 < −2,179 atau 𝑅𝑈𝑡 > 2,179. Jika tidak demikian terima 𝐻0 . Rasio uji: 𝑥̅ − µ𝐻0 68 − 75 = = −1,683 𝑠 15 √𝑛 √13 Pengambilan keputusan: Karena nilai −2,179 < 𝑅𝑈𝑡 < 2,179 maka 𝐻0 diterima. Berarti klaim pabrik minyak aditif benar dengan resiko kealahan 0,05. 𝑅𝑈𝑡 =



28. Tiga puluh lima buah pengencangan kuningan (brass fastener) diuji rusak (failure test) dan tegangan rusaknya dicatat. Perhitungan deviasi standarnya menghasilkan nilai 3,5 kN. Apakah



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



87



dengan ini cukup bukti untuk menyatkan bahwa klaim perusahaan pembuat yang menyatakan deviasi standarnya 3kN adalah salah? [2019] Penyelesaian: Asumsi tingkat kepercayaan: 0,05 𝜎 = 3 𝑘𝑁 𝑠 = 3,5 𝑘𝑁 𝑛 = 35 Metode Satu Ujung (Ujung Kanan) Hipotesis 𝐻0 : 𝜎 = 3 𝐻1 : 𝜎 > 3 Distribusi sampel Distribusi chi-kuadrat: derajat kebebasan (𝑑𝑓), 𝑣 = 𝑛 − 1 = 35 − 1 = 34 Tingkat kepentingan 2 𝛼 = 0,05 ; 𝑛 = 34 → 𝑋34,0.05 = 48,602 Aturan keputusan Tolak 𝐻0 dan terima 𝐻1 jika 𝑅𝑈𝑋 2 > 48,602. Jika tidak demikian terima 𝐻0 . Rasio uji: 𝑅𝑈𝑋 2 =



(𝑛 − 1)𝑠 2 (34)(3,5)2 = = 46,3 𝜎2 32



Pengambilan keputusan: Karena 𝑅𝑈𝑋 2 < 48,602 maka 𝐻0 diterima. Berarti klaim perusahaan benar. 29. PT Ball Bearing memproduksi bantalan-bantalan peluru yang digunakan pada traktor dan perlatan lainnya. Dari suatu sampel acak yang terdiri dari 16 bantalan peluru yang diproduksi pada jam kerja shift siang, varians diameternya adalah 17,39 mm. kemudian dari produksi pada jam kerja shift malam dpilih sampel acak sebanyak 13 dan diukur diamaternya memiliki varians 12,83 mm. Dengan menggunakan uji hipotesis pada tingkat kepentingan 0,05



Akademis dan Keprofesian BEM FTUI 2020



88



tentukan apakah varians populasi produksi shift siang dan malam sama? [2019] Penyelesaian: Tingkat kepercayaan: 0,05 𝑆12 = 17,39 𝑛1 = 16 𝑆22 = 12,83 𝑛2 = 13 Metode Dua Ujung Hipotesis 𝐻0 : 𝜎12 = 𝜎22 𝐻1 : 𝜎12 ≠ 𝜎22 Tingkat kepentingan 𝛼 = 0,05 𝛼 = 0,025 2 𝑑𝑓1 , 𝑣1 = 𝑛1 − 1 = 16 − 1 = 15 𝑑𝑓2 , 𝑣2 = 𝑛2 − 1 = 13 − 1 = 12 *𝑑𝑓1 dipilih sebagai pembilang karena besar varian (𝑆12 ) lebih besar dari varian dari 𝑑𝑓2 . 𝐹0.025,15,12 ≈ ±3,179 (Hasil interpolasi) Aturan keputusan Tolak 𝐻0 dan terima 𝐻1 jika 𝑅𝑈𝑋 2 < −3,179 atau 𝑅𝑈𝑋 2 > 3,179. Jika tdak demikian terima 𝐻0 . Rasio uji: 𝑅𝑈𝐹 =



𝑠12 17,39 = = 1,355 𝑠22 12,83



Pengambilan keputusan: Karena −3,179 < 𝑅𝑈𝑋 2