Symmetry Methods for Differential Equations: A Beginner’s Guide 9780521497039 [PDF]

Citation preview

‫روﺷﻬﺎی ﺗﻘﺎرﻧ در ﺑﺮرﺳ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫راﻫﻨﻤﺎی ﻣﻘﺪﻣﺎﺗ‬ ‫اﺛﺮ‪:‬‬



‫ﭘﯿﺘﺮ ا‪ .‬ﻫﺎﯾﺪون‬



‫ﺗﺮﺟﻤﮥ‪:‬‬



‫ﻣﻬﺪی ﻧﺠﻔ ﺧﻮاه‪،‬‬ ‫ﻣﺮﯾﻢ ﻋﺒﺪاﻟﺼﻤﺪی‪ ،‬اﻟﻬﻪ اﻓﺘﺎده‪ ،‬ﭘﺮواﻧﻪ اﺣﻤﺪی‪،‬‬ ‫ﻧﺮﮔﺲ ﭘﻮر رﺳﺘﻤ ‪ ،‬ﻣﺤﺒﻮﺑﻪ ﺳﺎﻣﺎﻧ ﭘﻮر‬



‫‪١‬‬



‫‪ ١‬آﺧﺮﯾﻦ ﺑﺮوز رﺳﺎﻧ ‪ ٢ :‬ﺧﺮداد ‪١٣٩٢‬‬ ‫‪Copyright: Mehdi Nadjafikhah‬‬ ‫‪e-mail : m_nadjafi[email protected]‬‬ ‫‪Web : http://webpages.iust.ac.ir/m_nadjafikhah‬‬



‫دﯾﺒﺎﭼﻪ‬ ‫ﻣﺸ ﻠ ﮐﻪ در ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ وﺟﻮد دارد‪ ،‬اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ زﻣﺎﻧ ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ای را ﻣ ﺷﻮد ﺣﻞ‬ ‫ﮐﺮد ﺑﻨﺪرت ﭼﺮاﯾ ﻧﺤﻮه ﺣﻞ آﻧﺮا ﻣ ﭘﺮﺳﯿﻢ‪ .‬ﻣﻔﻬﻮم ﮔﺮوه ﺗﺒﺪﯾﻼت ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ را‬ ‫ﻧﺎوردا ﻣ ﮐﻨﺪ ﻓﻬﻢ ﻫﻤﺰﻣﺎن اﻏﻠﺐ ﺗ ﻨﯿ ﻫﺎی ﺣﻞ را ﻣﻤ ﻦ ﻣ ﺳﺎزد‪.‬‬ ‫در اﯾﻦ ﮐﺘﺎب ﺳﻌ ﺷﺪه ﺗﺎ دﻟﯿﻠ ﻣﺨﺘﺼﺮ و ﺟﺎﻣ ﺑﺮای اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوﻫﻬﺎی ﯾ‬



‫‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی در ﺣﻞ‬



‫ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮﻧﺴﯿﻞ اراﺋﻪ ﺷﻮد‪ .‬روش اراﺋﻪ ﺑ ﻮﻧﻪای اﺳﺖ ﮐﻪ رﺿﺎﯾﺖ رﯾﺎﺿﯿﺪاﻧﺎن ﮐﺎرﺑﺮدی و ﻣﻬﻨﺪﺳﺎﻧ ﮐﻪ‬ ‫اﺻﻠ ﺗﺮﯾﻦ ﻧ ﺮاﻧﯿﺸﺎن ﯾﺎﻓﺘﻦ راهﺣﻠﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ اﺳﺖ را ﻓﺮاﻫﻢ ﻧﻤﺎﯾﺪ‪ .‬در اﯾﻨﺠﺎ ﻓﻘﻂ ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت‬ ‫اﺳﺎﺳ ﻻزم ﺑﺮای ﺗﻮاﻧﻤﻨﺪ ﮐﺮدن ﺧﻮاﻧﻨﺪه در اﺳﺘﻔﺎده از روش ﮔﺮوﻫﻬﺎ در ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ را ﻣﺪ‬ ‫ﻧﻈﺮ ﻗﺮار دادهاﯾﻢ و ﻋﻤﺪاً ﻫﻤﻪ ﻧﺘﺎﯾ ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه را ﺑﺨﺎﻃﺮ اﯾﻨ ﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ اراﺋﻪ دﻻﯾﻞ ﻏﯿﺮ ﺿﺮوری ﺑﯿﺸﺘﺮی‬ ‫ﻣ ﺷﻮد اراﺋﻪ ﻧ ﺮدهاﯾﻢ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺘﺎب »ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ از دﯾﺪ ﮔﺮوه ﻫﺎ«‬ ‫اﺛﺮ »ل ‪ .‬د‪ .‬دﯾ ﺴﻮن« ﻫﻨﻮز ﺑﻪ اﻧﺪازهی زﯾﺎدی ﻗﺎﺑﻞ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ اﺳﺖ و ﺑﺮای ﺧﻮاﻧﻨﺪه ﻋﻼﻗﻪﻣﻨﺪ ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﮐﺮدن‬ ‫ﺑﯿﺸﺘﺮ ﻣﻮﺿﻮع‪ ،‬ﺗﻮﺻﯿﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﯾ ﮐﺘﺎب »ج ‪ .‬و ‪ .‬ﺑﻠﻮﻣﻦ» و‬ ‫»ج ‪ .‬د‪ .‬ﮐﻮل« ﺗﺤﺖ ﻋﻨﻮان »روﺷﻬﺎی ﺗﻘﺎرﻧ در ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ» و ﻧﯿﺰ ﮐﺘﺎب »ﺧﻮاص ﮔﺮوﻫ‬



‫ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ» ﻧﻮﺷﺘﻪ »ل ‪ .‬ب ‪ .‬اوزﯾﺎﻧﯿ ﻮف« ﺷﺎﻣﻞ ﭼﻨﺪﯾﻦ ﮐﺎرﺑﺮد و ﻣﺜﺎل ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ در اﯾﻨﺠﺎ‬ ‫آﻧﻬﺎ را اراﺋﻪ ﻧ ﺮدهاﯾﻢ‪.‬‬ ‫دو ﻓﺼﻞ اول ﻣﻘﺪﻣﺎﺗ اﺳﺖ‪ .‬ﻓﺼﻞ اول ﻣﻘﺪﻣﻪای ﺑﺎ ﻣﺜﺎﻟﻬﺎی ﺳﺎده در ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ و ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﯾ اﺳﺖ‪ .‬در ﻓﺼﻞ دوم ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﮔﺮوه ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی و‬ ‫ﺳﺮﯾﻬﺎی ﻟ آورده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻫﻤﺎﻧ ﻮﻧﻪ ﮐﻪ روﺷﻬﺎی ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻧﯿﺎز ﺑﻪ اﺑﺘ ﺎر ﺧﺎﺻ‬ ‫دارﻧﺪ‪ ،‬روش ﮔﺮوﻫ ﻧﯿﺰ ﺑﻪ آن ﻧﯿﺎزﻣﻨﺪ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﺷﺮوع ﺑﺮﺧ از آﺷﻨﺎﯾ ﻫﺎ ﺑﺎ روش ﮔﺮوﻫ ‪ ،‬ﺳﻌ‬ ‫ﮐﺮدهاﯾﻢ ﮐﻪ ﺗﺠﺮﺑﯿﺎﺗﻤﺎن را در ﻣﻌﺎدﻻت ﺧﻄ ﺑ ﺎر ﺑﺒﺮﯾﻢ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻻ ﻫﻤﻪ ﻣ داﻧﻨﺪ ﮐﻪ ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺧﻄ ﺑﺮای )‪ y(x‬ﺗﺤﺖ ﺗﺒﺪﯾﻞ )‪ x1 = f (x‬و ‪y1 = g(x)y‬‬ ‫ﺧﻄ ﺑﺎﻗ ﻣ ﻣﺎﻧﺪ و ﻓﺼﻞ ‪ ٣‬را ﺑﻪ ﻧﺘﺎﯾ آن اﺧﺘﺼﺎص دادهاﯾﻢ‪ .‬در ﻓﺼﻮل ‪ ۴‬و ‪ ۵‬ﺳﻌ ﮐﺮدهاﯾﻢ ﻧﻈﺮﯾﻪ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺮای روش ﮔﺮوﻫ را ﺑﺎ ﻧﺘﺎﯾ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه در ﻓﺼﻞ ‪ ٣‬ﻣﺮﺗﺒﻂ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬از اﯾﻦ ﻧﻈﺮ اﯾﻦ ﮐﺘﺎب ﻣﺘﻔﺎوت‬ ‫از ﺑﻘﯿﻪ ﮐﺘﺎﺑﻬﺎ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ و ﻣﻌﺘﻘﺪﯾﻢ ﮐﻪ ﺷﻤﺎری از ﻧﺘﺎﯾ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه ﺑﺎﻻﺧﺺ در ﻓﺼﻞ ‪ ٣‬ﺟﺪﯾﺪﻧﺪ‪.‬‬ ‫دو ﻓﺼﻞ ﻧﻬﺎﯾ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﯾ اﺧﺘﺼﺎص داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺨﺶ اﻋﻈﻢ اﯾﻦ‬ ‫ﻧﻈﺮﯾﻪ ﺑﺎ ارﺟﺎع ﺑﻪ اﻧﺘﺸﺎر واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﯾ ﺗﻮﺿﯿ داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻧﻈﺮﯾﻪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﯾ ﺧﻄ در ﻓﺼﻞ ‪ ۶‬ﺑﺮای اﻧﺘﺸﺎر ﮐﻼﺳﯿ ﯾﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ اﻧﺘﻘﺎل ﺣﺮارت‬ ‫و ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﻮﮐﺮ‪-‬ﭘﻼﻧ ﻣﻌﺮﻓ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻻت ﻏﯿﺮ ﺧﻄ در ﻓﺼﻞ ‪ ٧‬ﻣ ﭘﺮدازﯾﻢ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﯾ روﯾ ﺮد ﮔﺮوﻫ ﮐﺎراﯾ ﮐﻤﺘﺮی دارد ﭼﻮن ﺑﺮای ﻣﺸ ﻼت ﻣﻘﺪار ﻣﺮزی ﻧﺎوردا‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در اﯾﻦ ﺟﺎ ﻣﺎ اﺳﺎﺳﺎً ﻓﻘﻂ ﻧﺎوردا ﺑﻮدن ﻣﻌﺎدﻟﻪ و دﯾﺪﮔﺎه ﮔﺮوﻫ را ﮐﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺑﺰار ﺳﯿﺴﺘﻤﺎﺗﯿ‬ ‫ﺑﺮای اﺳﺘﻨﺒﺎط راه ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻ ت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﯾ داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ ،‬را در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ ﮐﺘﺎب ﻣﺮﺟ ﺗﺪرﯾﺲ درﺳ در دوره ﮐﺎرﺷﻨﺎﺳ ارﺷﺪ در داﻧﺸ ﺎه وﻻﻧ ﻨ ﺑﻪ ﻣﺪت ﭼﻨﺪﯾﻦ ﺳﺎل‬ ‫ﺑﻮده اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد زﯾﺎدی ﻣﺴﺎﻟﻪ و ﻣﺜﺎل ﺑﻪ آن اﻓﺰودهاﯾﻢ‪ .‬ﻋﻼوه ﺑﺮ اﯾﻦ از ﻣﺴﺎﺋﻞ اﻧﺘﻬﺎیِ ﻫﺮ ﻓﺼﻞ‪ ،‬ﺑﻤﻨﻈﻮر‬ ‫ﺗﻔﻬﯿﻢ آﺳﺎن ﻧﺘﺎﯾ اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﮐﻪ در ﻣﺘﻦ اراﺋﻪ ﺷﺪهاﻧﺪ‪ ،‬اﺳﺘﻔﺎده ﮐﺮدهاﯾﻢ و در ﺑﻌﻀ‬ ‫ﻣﻮاﻗ از اﯾﻦ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺑﺮای اراﺋﻪ ﺧﻼﺻﻪ ﺗﺌﻮریﻫﺎﯾ ﮐﻪ ﭘﯿﺸﺘﺮ از اﯾﻦ ﺑﻨﺤﻮی ﮐﺎﻣﻞ در ﻣﺘﻦ ﺗﻮﺻﯿﻒ ﺷﺪهاﻧﺪ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮدهاﯾﻢ‪.‬‬ ‫ﭼﻨﺪﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ در ﺧﺼﻮص ﭘﺎﺳ ﻫﺎ و ﻧ ﺎت ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻣﺴﺎﺋﻞ در اﻧﺘﻬﺎی ﻫﺮ ﻓﺼﻞ و در اﻧﺘﻬﺎی ﮐﺘﺎب‬ ‫آورده ﺷﺪه اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺮای اﯾﺠﺎد ﻣﺘﻨ ﻗﺎﺑﻞ اﺳﺘﻔﺎده ﺑﺮای داﻧﺸﺠﻮﯾﺎن ﻓﺎرغ‪-‬اﻟﺘﺤﺼﯿﻞ و در ﺣﺎل ﻓﺎرغ‪-‬‬ ‫اﻟﺘﺤﺼﯿﻠ در رﺷﺘﻪ رﯾﺎﺿﯿﺎت‪ ،‬ﻋﻠﻮم و ﻣﻬﻨﺪﺳ ﻃﺮاﺣ ﺷﺪهاﻧﺪ‪ .‬در اﯾﻦ ﮔﻮﻧﻪ ﻧﻈﺎمﻫﺎ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬



‫ﮐﻤﺎﮐﺎن ﻧﻘﺶ اﺳﺎﺳ ﺑﺎزی ﮐﺮده و ﻣﺘﻦ ﺣﺎﺿﺮ ﺳﻌ ﻣ ﮐﻨﺪ از ﻓﺮﺿﯿﺎت ﭘﺎﯾﻪای ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ را‬ ‫ﺑﻮﺟﻮد ﻣ آورﻧﺪ ﺑﺮای ﺣﻞ آﻧﻬﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﯾﺪ‪ .‬ﺗﺌﻮری ﻣﻮﺟﻮد ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﮔﺮوﻫﻬﺎی‬ ‫ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺑﻪ ﻫﯿ ﻋﻨﻮان ﮐﺎﻣﻞ ﻧﯿﺴﺖ و ﺑﺴﯿﺎری از ﻧﻮاﻗﺺ اﯾﻦ ﻣﻮﺿﻮع در ﻣﺘﻦ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫وﻗﺘ اﯾﻦ روش ﮐﺎراﯾ دارد ﺑﺴﯿﺎر آﺳﺎن ﺑﻮده و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ زﻣﯿﻨﻪ داﻧﺸ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻫﺮ ﻓﺮدی در زﻣﯿﻨﻪ رﯾﺎﺿﯿﺎت‬ ‫ﮐﺎرﺑﺮدی ﺑﺎﯾﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣﺤﺪودﯾﺘﻬﺎی )روش ﮔﺮوه( ﻫﺮ ﭼﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻤﺎﮐﺎن اﯾﻦ روش اﯾﺪه ﺑﺴﯿﺎر ﺟﺎﻟﺒ‬ ‫ﺟﻬﺖ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﺤﺴﻮب ﻣ ﺷﻮد‪ .‬اﻣﯿﺪوارﯾﻢ اﯾﻦ ﮐﺘﺎب ﻣﻔﯿﺪ واﻗ ﺷﺪه و اﻃﻼﻋﺎت‬ ‫ﻗﺒﻠ ﺷﻤﺎ را ﮐﺎﻣﻞ ﮐﻨﺪ‪.‬‬



‫داﻧﺸ ﺎه وﻻﻧ ﻨ‬ ‫‪١٩٩٢‬‬



‫‪،‬‬



‫ﻓﻬﺮﺳﺖ ﻣﻄﺎﻟﺐ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ ١‬آﺷﻨﺎﯾ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرن‬ ‫‪١.١‬‬ ‫‪٢.١‬‬ ‫‪٣.١‬‬ ‫‪۴.١‬‬



‫ﺗﻘﺎرن اﺷﯿﺎء ﻣﺴﻄﺤﻪ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺳﺎدهﺗﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪. . . . . . . . . . .‬‬ ‫ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ‪. . . . . .‬‬ ‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪٩‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١۴‬‬ ‫‪١٨‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ ٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬ ‫‪١.٢‬‬ ‫‪٢.٢‬‬ ‫‪٣.٢‬‬ ‫‪۴.٢‬‬ ‫‪۵.٢‬‬ ‫‪۶.٢‬‬



‫ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ روی ﺻﻔﺤﻪ ‪. . . . .‬‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ‪. . . . . . . . . .‬‬ ‫ﭼ ﻮﻧ ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ‪. . . . . . . . . .‬‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ و روشﻫﺎی اﺳﺘﺎﻧﺪارد ‪. . . . .‬‬ ‫‪. . . . . . . .‬‬ ‫ﻣﻮﻟﺪ ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ ٣‬ﭼ ﻮﻧ‬ ‫‪١.٣‬‬ ‫‪٢.٣‬‬ ‫‪٣.٣‬‬ ‫‪۴.٣‬‬



‫‪. . . . . . .‬‬ ‫‪. . . . . . .‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ‬ ‫‪. . . . . . .‬‬ ‫‪. . . . . . .‬‬ ‫‪. . . . . . .‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪٢١‬‬ ‫‪٢٧‬‬ ‫‪٣١‬‬ ‫‪٣۴‬‬ ‫‪٣٧‬‬ ‫‪۴٠‬‬



‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺒﯿﻦ ﺑﺮای ﺗﻘﺎرن ﻫﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺧﻄ ‪. . . . .‬‬ ‫اﺛﺒﺎت ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ‪. . . . . . . . . . . .‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ ۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ١.۴‬ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﺑ ﺎرﺑﺮدن ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ‬ ‫‪ ٢.۴‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ٣.۴‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪۵‬‬



‫‪۴۵‬‬ ‫‪۴٨‬‬ ‫‪۵٣‬‬ ‫‪۵۵‬‬



‫‪۵٩‬‬ ‫‪۶۴‬‬ ‫‪۶٨‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ ۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫‪ ١.۵‬ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ و ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ٢.۵‬ﺟﺒﺮﻟ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪ ای ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ٣.۵‬اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﮔﺎم ﺑﻪ ﮔﺎم از ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪. . . . . . . . . . . .‬‬



‫‪٧٣‬‬ ‫‪٧٧‬‬ ‫‪٨۵‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ ۶‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻟ ﮔﺮوهﻫﺎی‬ ‫ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫‪ ١.۶‬روش ﻣﻘﺪﻣﺎﺗ ‪ :‬اﺳﺘﻔﺎده از ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮی ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ٢.۶‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺟﺪﯾﺪ ﺑﺪﺳﺖآﻣﺪه در روﻧﺪ ﮐﺎﻫﺶ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ٣.۶‬اﻧﺘ ﺮالﮔﯿﺮی ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪ ٣‬دارای ﺟﺒﺮﻟ )‪. . . . . . . sl(2‬‬



‫‪٨٩‬‬ ‫‪٩۴‬‬ ‫‪٩۶‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ ٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬ ‫‪١.٧‬‬ ‫‪٢.٧‬‬ ‫‪٣.٧‬‬ ‫‪۴.٧‬‬



‫اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ‪. . . . .‬‬ ‫‪. .‬‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی و ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ‬ ‫ﻓﺎﮐﺘﻮرﻫﺎی اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ‪. . . . . . . .‬‬ ‫دﺳﺘ ﺎه ﻫﺎﯾ ازﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ ٨‬ﭼ ﻮﻧﻪ ﺗﻘﺎرن ﻫﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﯾ‬ ‫ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ را ﺑﯿﺎﺑﯿﻢ‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪١٠٣‬‬ ‫‪١١٠‬‬ ‫‪١١۵‬‬ ‫‪١١٩‬‬



‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ‬



‫‪ ١.٨‬ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺟﺰﺋ ﻋﺪدی ﺑﺎ دو ﻣﺘﻐﯿﺮ واﺑﺴﺘﻪ ‪١٢٧ . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ٢.٨‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺷﺪه ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ ﻋﻤﻮﻣ ‪١٣۶ . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ٣.٨‬ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﺟﺒﺮ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮی ‪١٣٨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ ٩‬روشﻫﺎﯾ ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎی دﻗﯿﻖ ﻣﻌﺎدﻻت ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت‬ ‫ﺟﺰﺋ‬ ‫‪ ١.٩‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا ی ﮔﺮوﻫ ‪١۴٣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ٢.٩‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﺟﺪﯾﺪ از ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻣﻌﻠﻮم دﯾ ﺮ ‪١۴٩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ٣.٩‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻏﯿﺮ ﮐﻼﺳﯿ ‪١۵٢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ ١٠‬دﺳﺘﻪﺑﻨﺪی ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬ ‫‪ ١.١٠‬ﻫﻢ ارزی ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا ‪١۵٩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬



‫‪ ٢.١٠‬ﭼ ﻮﻧ دﺳﺘﻪﺑﻨﺪی ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرﻧ ‪١۶١ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ٣.١٠‬دﺳﺘ ﺎﻫﻬﺎی ﺑﻬﯿﻨﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا ‪١۶٧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ ١١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫‪ ١.١١‬ﺑﺮﺧ ﮐﺎرﺑﺮدﻫﺎی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ‪١٧١ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬



‫‪ ٢.١١‬ﭼ ﻮﻧ ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ‪١٧٢ . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ٣.١١‬ﻃﺒﻘﻪ ﺑﻨﺪی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ‪١٧۵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ۴.١١‬ﻣﺜﺎﻟﻬﺎ ‪١٧٨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬



‫راﻫﻨﻤﺎی ﺟﻮاﺑﻬﺎ و راه ﺣﻞﻫﺎی ﺟﺰﺋ ﺑﺮﺧ از ﻣﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ﻓﺼﻞ اول ‪.‬‬ ‫ﻓﺼﻞ دوم ‪.‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ﺳﻮم ‪.‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‬ ‫ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ ‪.‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ ‪.‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ ‪.‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ﻫﺸﺘﻢ‬ ‫ﻓﺼﻞ ﻧﻬﻢ ‪.‬‬ ‫ﻓﺼﻞ دﻫﻢ ‪.‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪١٨٣‬‬ ‫‪١٨٣‬‬ ‫‪١٨۴‬‬ ‫‪١٨۵‬‬ ‫‪١٨۵‬‬ ‫‪١٨۶‬‬ ‫‪١٨۶‬‬ ‫‪١٨٧‬‬ ‫‪١٨٧‬‬ ‫‪١٨٨‬‬ ‫‪١٨٨‬‬



‫ﮐﺘﺎب ﻧﺎﻣﻪ‬ ‫‪١٨٩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪١‬‬ ‫آﺷﻨﺎﯾ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرن‬ ‫و ﯽ ﺰی را ﯽ ﻢ‪ ،‬آن را ﯽ ﻢ‪) .‬ج‪.‬پ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪١.١‬‬



‫اﺳﺘﯿﻮارت( ‪١‬‬



‫ﺗﻘﺎرن اﺷﯿﺎء ﻣﺴﻄﺤﻪ‬



‫ﺑﺮرﺳ ﺗﻘﺎرن اﺷﯿﺎء ﺳﺎده ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ در ﺗﻔﻬﯿﻢ ﺗﻘﺎرن ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻔﯿﺪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﺗﻘﺮﯾﺒ ‪ ،‬ﻣﻨﻈﻮر‬ ‫از ﯾ ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای ﯾ ﺷ ﻫﻨﺪﺳ ﻣﻔﺮوض‪ ،‬ﺗﺒﺪﯾﻠ اﺳﺖ ﮐﻪ آن ﺷ را ﻇﺎﻫﺮاً ﺑﺪون ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣ ﮔﺬارد‪ .‬ﺑﺮای‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‪ ،‬ﻧﺘﯿﺠﻪ دوران ﯾ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻮازی اﻻﺿﻼع ﺣﻮل ﻣﺮﮐﺰش و ﺑﻪ ﻃﻮر ﭘﺎدﺳﺎﻋﺘ ﺮد را ﺑﺮرﺳ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﺑﻌﺪ از دوران ‪ 2π/3‬ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣ آﯾﺪ ﮐﻪ آن ﺷﺒﯿﻪ ﺑﻪ ﺧﻮدش ﻗﺒﻞ از دوران اﺳﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ اﯾﻦ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﯾ ﺗﻘﺎرن‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺬﮐﻮر ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫دورانﻫﺎی ‪ 4π/3‬و ‪ 2π‬ﻫﻢ ﺗﻘﺎرن ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻮازی اﻻﺿﻼع ﻫﺴﺘﻨﺪ؛ در ﺣﻘﯿﻘﺖ‪ ،‬دوران ‪ 2π‬ﻣﻌﺎدل ﺑﺎ‬ ‫اﻧﺠﺎم ﻧﺪادن ﻫﯿ ﮐﺎری اﺳﺖ! زﯾﺮا ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ را ﺑﻪ ﺧﻮدش ﻣ ﻧ ﺎرد‪ .‬اﯾﻦ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﮐﻪ ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ را ﺑﻪ ﺧﻮدش‬ ‫ﻣ ﻧ ﺎرد‪ ،‬ﺗﻘﺎرﻧ ﺑﺮای ﻫﺮ ﺷ ﻫﻨﺪﺳ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ آن اﺻﻄﻼﺣﺎ ﺗﻘﺎرن ﺑﺪﯾﻬ ﻣ ﮔﻮﯾﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻻ از ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای دﺳﺘﻪ ﺑﻨﺪی اﺷﯿﺎء ﻫﻨﺪﺳ اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺜﻠﺚ رﺳﻢ ﺷﺪه در‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ ١.١‬از ﯾ ﻣﺎده ﺻﻠﺐ ﺑﺎ ﺟﻬﺖ ﻏﯿﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺸﺨﯿﺺ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﻣﺜﻠﺚﻫﺎ ﺑﻪ ﺳﺮﻋﺖ ﺑﺎ آزﻣﺎﯾﺶ‬ ‫ﭘﯿﺪا ﻣ ﺷﻮﻧﺪ اﯾﻦ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻮازی اﻻﺿﻼع دارای ﺗﻘﺎرن ﺑﺪﯾﻬ ‪ ،‬دورانﻫﺎی ﺗﻮﺻﯿﻒ ﺷﺪه در ﺑﺎﻻ و اﻧﻌ ﺎس‬ ‫اﻃﺮاف ﺳﻪ ﻧﯿﻢﺳﺎز در ﺷ ﻞ ‪ (a)-١١.‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ اﯾﻦ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻮازی اﻻﺿﻼع دارای ﺷﺶ ﺗﻘﺎرن‬ ‫ﻣﺠﺰا ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوی اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ در ﺷ ﻞ ‪ (b)-١١.‬دارای دو ﺗﻘﺎرن اﺳﺖ‪ ١) :‬اﻧﻌ ﺎس و )‪ ٢‬ﺗﻘﺎرن ﺑﺪﯾﻬ ‪.‬‬ ‫ﻧﻬﺎﯾﺘﺎً ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎ ﺳﻪ ﺿﻠ ﻧﺎﻣﺴﺎوی در ﺷ ﻞ ‪ (c)-١١.‬ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻘﺎرن ﺑﺪﯾﻬ دارد‪ .‬ﻣﺤﺪودﯾﺖﻫﺎی ﻣﻌﯿﻨ روی‬ ‫ﺗﻘﺎرنﻫﺎی اﺷﯿﺎء ﻫﻨﺪﺳ وﺟﻮد دارد‪ :‬اول آﻧ ﻪ ﻫﺮ ﺗﻘﺎرﻧ ﺑﺎﯾﺪ دارای ﻣﻌ ﻮﺳ ﯾ ﺘﺎ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﮐﻪ ﺧﻮدش ﻧﯿﺰ‬ ‫ﺗﻘﺎرن اﺳﺖ‪ .‬ﺗﺮﮐﯿﺐ ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺎرن و ﻣﻌ ﻮﺳﺶ روی ﻫﻢ اﺷﯿﺎء را ﺑﺪون ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣ ﮔﺬارد‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل ﻓﺮض‬ ‫‪١‬‬



‫]‪Justice Potter Stewart: Jacoblellis v. Ohio, 378 U.S. 184, 197 [1964‬‬



‫‪٩‬‬



‫‪ .١.١‬ﺗﻘﺎرن اﺷﯿﺎء ﻣﺴﻄﺤﻪ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١‬آﺷﻨﺎﯾ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرن‬



‫ﺷ ﻞ ‪ :١.١‬ﭼﻨﺪ ﻣﺜﻠﺚ و ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ آﻧﻬﺎ‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ ‪ Γ‬ﯾ دوران از ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻮازی اﻻﺿﻼع ﺑﻪ اﻧﺪازه ‪ 2π/3‬را ﻧﺸﺎن دﻫﺪ ﭘﺲ ‪) Γ−1‬ﻣﻌ ﻮس ‪ (Γ‬ﯾ‬ ‫دوران ﺑﻪ اﻧﺪازه ‪ 4π/3‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺮای ﺳﺎدﮔ ﺗﻮﺟﻪ ﺧﻮد را ﺑﻪ ﺗﻘﺎرنﻫﺎﯾ ﮐﻪ ﻫﻤﻮار ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻣﻌﻄﻮف ﻣ ﮐﻨﯿﻢ )اﯾﻦ ﭘﯿﺶ ﻓﺮض ﺗ ﻨﯿ‬ ‫ﭼﻨﺪان ﻣﺤﺪودﯾﺘ اﯾﺠﺎد ﻧﻤ ﮐﻨﺪ و ﺑﺮای ﺑﺮرﺳ ﻣﺜﺎلﻫﺎی ﮐﺎرﺑﺮدی ﺗﺮ و ﻣﺤﺴﻮس ﺗﺮ وﺿ ﺷﺪه اﺳﺖ(‪.‬‬



‫اﮔﺮ ‪ x‬ﻣﻮﻗﻌﯿﺖ ﯾ‬



‫ﻧﻘﻄﻪ دﻟﺨﻮاه از ﺷ را ﻧﺸﺎن دﻫﺪ و اﮔﺮ )‪ Γ : x 7→ xˆ(x‬ﯾ‬



‫ﺗﻘﺎرن دﻟﺨﻮاه ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧ ﺎه‬ ‫‪Γ−1‬‬



‫ﻫﻢ ﯾ‬ ‫ﻓﺮض ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﺗﺎﺑ ˆ‪ x‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ x‬دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻌﻼوه‪ ،‬از اﯾﻨ ﻪ‬ ‫ﺗﻘﺎرن اﺳﺖ‪ x ،‬ﻫﻢ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ˆ‪ x‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪ .‬از اﯾﻦ رو ‪ Γ‬ﯾ ∞ ‪−C‬دﯾﻔﺌﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢ‬ ‫اﺳﺖ؛ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾ ﺮ‪ ،‬ﻧ ﺎﺷﺘ ﻣﻌ ﻮسﭘﺬﯾﺮ و ﻫﻤﻮار اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﻌ ﻮﺳﺶ ﻫﻢ ﻫﻤﻮار ﻣﯿﺒﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻫﻨﺪﺳ‬



‫ﺗﻘﺎرنﻫﺎ ﺑﺎﯾﺴﺘ ﺣﺎﻓﻆ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺑﺎﺷﻨﺪ؛ در واﻗ ﻫﺮ ﺷ ء ﻫﻨﺪﺳ ﻣﻌﻤﻮﻻ دارای ﯾ‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ ﻫﻮﯾﺖ آن را ﻣﺸﺨﺺ ﻣ ﻧﻤﺎﯾﺪ‪.‬‬ ‫در ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﺑﺎ ﻣ ﺎﻧﯿ ﮐﻼﺳﯿ ‪ ،‬ﺳﺎﺧﺘﺎر ﭼﯿﺰی ﻣﺜﻞ رواﺑﻂ ﺑﻨﯿﺎدی و ﻣﻌﺮف ﺑﺮای ﺷﯿ ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﻣﯿﺒﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺮ اﯾﻦ اﺳﺎس‪ ،‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﺜﻠﺚ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﺜﻠﺜ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه از ﯾ ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ ﻣﯿﺸﻮد‬ ‫ﺑﺮرﺳ ﻧﻤﻮد‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ ﺗﺒﺪﯾﻼﺗ ﮐﻪ ﯾ ﻣﺜﻠﺚ ﺻﻠﺐ ﻣﻔﺮوض را ﺑﺎﻗ ﻣ ﮔﺬارﻧﺪ‪ ،‬آنﻫﺎﯾ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ ﺣﺎﻓﻆ‬ ‫ﻓﺎﺻﻠﻪی ﻣﯿﺎن ﻫﺮ دو ﻧﻘﻄﻪ واﻗ ﺑﺮ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ اﻧﺘﻘﺎلﻫﺎ‪ ،‬دورانﻫﺎ و اﻧﻌ ﺎسﻫﺎ‪ .‬اﯾﻦ ﺗﺒﺪﯾﻼت ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﻣﻤ ﻦ ﻣﯿﺒﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬زﯾﺮا ﺳﺎﯾﺮ ﺗﺒﺪﯾﻼت ﺗﻮاﻧﺎﯾ ﻧ ﻬﺪاری ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺻﻠﺐ را ﻧﺪارﻧﺪ‪.‬‬ ‫از ﻃﺮﻓ ‪ ،‬اﮔﺮ ﻣﺜﻠﺚﻫﺎ از ﯾ ﻣﺎده ﻻﺳﺘﯿ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﻣﺜﻞ ﭘﺎکﮐﻦ‪ ،‬دﺳﺘﻪی ﺗﺒﺪﻻت ﺣﺎﻓﻆ ﺳﺎﺧﺘﺎر‬ ‫ﺑﺰرﮔﺘﺮ اﺳﺖ و ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﺟﺪﯾﺪی ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﭘﯿﺪا ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﯾ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎ ﺳﻪ ﺿﻠ ﻧﺎﻣﺴﺎوی را‬ ‫ﻣ ﺗﻮان ﮐﺶ داد ﺑﻪ ﺗﻮی ﯾ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻮازی اﻻﺿﻼع‪ ،‬آن ﮔﺎه دوران ‪ 2π/3‬ﺣﻮل ﻣﺮﮐﺰ و ﻧﻬﺎﯾﺘﺎً ﮐﺸﯿﺪه ﺷﺪن‬ ‫ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺷ ﻞ اﺻﻠ اش‪ .‬آﺷ ﺎرا‪ ،‬اﯾﻦ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﯾ ﺗﻘﺎرن از ﻣﺜﻠﺚ ﺻﻠﺐ ﻧﯿﺴﺖ؛ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪ ،‬ﺳﺎﺧﺘﺎر در ﻧﻈﺮ‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه ﺑﺮ ﯾ ﺷ ﻫﻨﺪﺳ ﻣﻔﺮوض‪ ،‬ﻣﯿﺘﻮاﻧﺪ ﺗﺎﺛﯿﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﺟﻬ ﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﺗﻘﺎرنﻫﺎی آن اﺷﯿﺎء داﺷﺘﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺧﻼﺻﻪ اﯾﻨ ﻪ‪ ،‬ﺗﻘﺎرن ﻋﺒﺎرت از ﺗﺒﺪﯾﻠ اﺳﺖ ﺻﺎدق در ﺷﺮاﯾﻂ ﺑﻪ ﺷﺮح ذﯾﻞ‪:‬‬ ‫‪ (S١‬ﺑﺎﯾﺪ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺣﺎﻓﻆ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ (S٢‬ﺑﺎﯾﺪ ﺗﺒﺪﯾﻞ‪ ،‬دﯾﻔﺌﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ (S٣‬ﺑﺎﯾﺪ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺷ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ را ﺑﻪ ﺧﻮدش ﺑﻨ ﺎرد ]ﯾ‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ ) ˆ‪ ( xˆ, y‬ﻏﯿﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪[.‬‬ ‫‪١٠‬‬



‫ﺷ ء ﻣﺴﻄﺤﻪ در ﺻﻔﺤﻪ )‪ (x, y‬و ﺗﺼﻮﯾﺮش در‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١‬آﺷﻨﺎﯾ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرن‬



‫‪ .١.١‬ﺗﻘﺎرن اﺷﯿﺎء ﻣﺴﻄﺤﻪ‬



‫ﺷ ﻞ ‪ :٢.١‬دوران در داﯾﺮه واﺣﺪ‬ ‫از اﯾﻦ ﭘﺲ‪ ،‬ﺗﻮﺟﻪ ﺧﻮد را ﺑﻪ ﺗﺒﺪﯾﻼﺗ ﮐﻪ در ﺷﺮط ‪ S١‬و ‪ S٢‬ﺻﺪق ﮐﻨﺪ ﻣﻌﻄﻮف ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت‪،‬‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻠ ﺗﻘﺎرن ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣﯿﺸﻮد ﮐﻪ ﻋﻼوه ﺑﺮ آﻧﻬﺎ در ﺷﺮط ‪ S٣‬ﻧﯿﺰ ﺻﺪق ﮐﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﺮ ﻣﺜﻠﺚ ﺻﻠﺐ ﻣﻔﺮوض‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ای ﻣﺘﻨﺎﻫ از ﺗﻘﺎرنﻫﺎ دارد‪ .‬اﺷﯿﺎء زﯾﺎدی دارای ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ‬ ‫از ﺗﻘﺎرنﻫﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل داﯾﺮه واﺣﺪ ﺻﻠﺐ ‪ x2 + y2 = 1‬دارای ﺗﻘﺎرن زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫)‪Γε : (x, y) 7−→ ( xˆ, yˆ ) = (x cos ε − y sin ε, x sin ε + y cos ε‬‬ ‫ﺑﺮای ﻫﺮ ]‪ .−ε ∈ (−x, x‬در ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻗﻄﺒ ﭼﻨﯿﻦ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫))‪Γε : (cos θ, sin θ) 7−→ (cos(θ + ε), sin(θ + ε‬‬ ‫در ﺷ ﻞ ‪ ٢.١‬ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬از اﯾﻦ رو اﯾﻦ ﺗﺒﺪﯾﻞ ‪ ،‬ﯾ دوران ﺑﻪ اﻧﺪازه ‪ ε‬ﺣﻮل ﻣﺮﮐﺰ داﯾﺮه اﺳﺖ ﮐﻪ‬ ‫ﺣﺎﻓﻆ ﺳﺎﺧﺘﺎر اﺳﺖ )دورانﻫﺎ ﺻﻠﺐ ﻫﺴﺘﻨﺪ( و ﻫﻤﻮار و ﻣﻌ ﻮسﭘﺬﯾﺮﻧﺪ )ﻣﻌ ﻮس ﯾ دوران ‪ ،ε‬دوران‬ ‫‪ −ε‬اﺳﺖ( ﺑﺮای اﺛﺒﺎت ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن )‪ (S٣‬ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ‪ xˆ2 + yˆ 2 = x2 + y2‬و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫‪x2 + y2 = 1‬‬



‫وﻗﺘ ﮐﻪ‬



‫‪xˆ2 + yˆ 2 = 1‬‬



‫داﯾﺮه واﺣﺪ ﺗﻘﺎرنﻫﺎی دﯾ ﺮی ﻫﻢ دارد‪ ،‬ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻧﻌ ﺎس ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻫﺮ ﺧﻂ ﮔﺬرﻧﺪه از ﻣﺮﮐﺰ‪ .‬ﺑﻪ راﺣﺘ ﻣ ﺗﻮان‬ ‫ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ ﻫﺮ اﻧﻌ ﺎﺳ ﺑﺎ اﻧﻌ ﺎس زﯾﺮ ﻫﻢ ارز اﺳﺖ‪:‬‬ ‫)‪Γπ : (x, y) 7−→ (−x, y‬‬



‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻃﺮح ﮐﻠ دوراﻧﻬﺎ‬



‫‪Γε‬‬



‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ از ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ‪ Γε‬ﯾ ﻣﺜﺎل از ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ دﺳﺘﻪ از ﺗﻘﺎرنﻫﺎ‬ ‫ﺑ اﻧﺪازه ﻣﻔﯿﺪﻧﺪ و ﮐﻠﯿﺪی ﺑﺮای ﺟﻮابﻫﺎی ﺣﻘﯿﻘ از ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﯾ ﺷ‬ ‫ﮐﻪ ﺷﺎﻣﻞ زﯾﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ‪ RN‬اﺳﺖ ﯾ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ از ﺗﻘﺎرنﻫﺎی زﯾﺮ را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫‪s = 1, · · · , N‬‬



‫)‪Γε : x s 7−→ xˆ s (x1 , · · · , x s ; ε‬‬



‫ﮐﻪ ‪ ε‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺣﻘﯿﻘ اﺳﺖ و ﺷﺮاﯾﻂ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﺑﺮﻗﺮارﻧﺪ‪:‬‬ ‫‪ Γ0 (L١‬ﺗﻘﺎرن ﺑﺪﯾﻬ اﺳﺖ‪ xˆ s = x s :‬وﻗﺘ ‪.ε = 0‬‬ ‫‪Γε (L٢‬ﯾ‬



‫ﺗﻘﺎرن ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ‪ ε‬در ﻫﻤﺴﺎﯾ‬



‫ای از ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪١١‬‬



‫‪ .٢.١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺳﺎدهﺗﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١‬آﺷﻨﺎﯾ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرن‬



‫‪ Γδ Γε = Γδ+ε (L٣‬ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ δ‬و ‪ ε‬ﺑﻪ اﻧﺪازه ﮐﺎﻓ ﻧﺰدﯾ‬ ‫‪ (L۴‬ﻫﺮ ﯾ‬



‫ﺻﻔﺮ‪.‬‬



‫از ﺗﻮاﺑ ‪ xˆ s‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺳﺮی ﺗﯿﻠﻮر در ‪) ε‬در ﻫﻤﺴﺎﯾ‬ ‫‪s = 1, · · · , N‬‬



‫از ‪ (ε = 0‬ﻣ ﺗﻮان ﺑﺴﻂ داد‪:‬‬



‫) ‪xˆ s (x1 , · · · , x s ; ε) = x s + ε ξ s (x1 , · · · , x s ) + o(ε2‬‬



‫ﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ‪ Γε‬ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﻣﻮﺿﻌ ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺗﺸ ﯿﻞ ﻣﯿﺪﻫﺪ‪ .‬ﻗﺴﻤﺖ‬ ‫ﻣﻮﺿﻌ )ﮐﻪ ﻣﻌﻤﻮﻻ از اﯾﻦ ﭘﺲ ﺣﺬف ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﮐﺮد( از اﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﺖ ﻣ آﯾﺪ ﮐﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻧﯿﺎز اﺳﺖ ﮐﻪ ﺷﺮاﯾﻂ در‬ ‫ﯾ ﻫﻤﺴﺎﯾ از ‪ ε = 0‬ﺑﺮرﺳ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﻌﻼوه‪ ،‬ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﺑﺰرﮔ اﻧﺪازه ﻫﻤﺴﺎﯾ ﺑﻪ ‪s = 1, · · · , N ، xˆ s‬‬ ‫ﺑﺴﺘ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬از ﮐﻠﻤﻪ ﮔﺮوه ﺑﻪ اﯾﻦ دﻟﯿﻞ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮدﯾﻢ ﮐﻪ ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ‪ Γε‬در ﺷﺮاﯾﻂ ﯾ ﮔﺮوه‬ ‫ﺻﺪق ﻣﯿ ﻨﻨﺪ‪ ،‬ﻓﺎﺻﻠﻪ از ﺑﯿﻦ ﺑﺮود‪ .‬ﺑﺎزاء ‪ ε‬ﻫﺎی در ﻫﻤﺴﺎﯾ از ﺻﻔﺮ‪ .‬ﺑﺨﺼﻮص‪ ،‬ﺷﺮط )‪ (L٢‬ﺗﻀﻤﯿﻦ‬ ‫‪ .Γ−1‬ﺷﺮاﯾﻂ )‪ (L١‬ﺗﺎ )‪ (L۴‬ﺗﺎ اﻧﺪازه ای ﻣﺤﺪودﻧﺪ‪ ،‬دﻟﯿﻞ آن اﻣ ﺎن اﺳﺘﻔﺎده ﺑﻬﺘﺮ از‬ ‫ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ‪ε = Γ−ε‬‬ ‫آﻧﻬﺎ در راﺑﻄﻪ ﺑﺎ ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ و ﭘﺮﻫﯿﺰ از ﻣﺸ ﻼت اﺣﺘﻤﺎﻟ ﺑﻌﺪی اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺑﻪ ﻃﻮر ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی واﺑﺴﺘﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬در ﺣﺎﻟ‬ ‫ﮐﻪ ﺧﻮاﻫﯿﻢ دﯾﺪ ﺑﺮﺧ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی اﺷﯿﺎء ﺑﺨﺼﻮﺻ ‪ ،‬ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻧﺎ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی واﺑﺴﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ؛‬ ‫اﯾﻦ ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ را ﻧﻤ ﺗﻮان ﺑﺎ ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﺸﺎن داد‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﺗﻘﺎرنﻫﺎی‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻮازی اﻻﺿﻼع ﺳﺎﺧﺘﺎر ﮔﺮوه دووﺟﻬ ‪ D3‬دارد‪ .‬در ﺻﻮرﺗﯿ ﻪ دو ﺗﻘﺎرن ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوی اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ‬ ‫ﮔﺮوﻫ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣﯿ ﻨﻨﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ‪ Z2‬اﯾﺰوﻣﻮرف اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑﻪ دﻻﯾﻞ زﯾﺎدی ﻣﻔﯿﺪﻧﺪ‪ ،‬ﭼﻨﺎن ﮐﻪ در ﭘﺎﯾﺎن ﮐﺘﺎب ﺷﺮح آن ﺧﻮاﻫﺪ آﻣﺪ‪ .‬اﻣﺎ‪ ،‬ﺗﺎ آﻧﺠﺎ‬ ‫ﻫﻤﻪ ﮐﻮﺷﺶ ﻣﺎن را ﺑﺮرﺳ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﻄﻮف ﻣﯿ ﻨﯿﻢ‪ ،‬ﭼﺮا ﮐﻪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ و ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ اﺳﺘﻔﺎده از آﻧﻬﺎ راﺣﺘﺘﺮ‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﯿﺸﺘﺮ اوﻗﺎت ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﺧﻮد ﺗﻮاﺑ ‪ xˆ s‬ﺗﻮﺟﻪ ﻧﻤﻮده‪ ،‬ﺑﺎ آﻧﻬﺎ ﮐﺎر ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ ،‬و در اﯾﻦ ﺑﯿﻦ ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻤﺘﺮی ﺑﻪ‬ ‫ﺳﺎﺧﺘﺎر ﮔﺮوﻫﺎی ﻣﻨﺒﻌﺚ از آﻧﻬﺎ دارﯾﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪ ،‬ﺑﻪ ﺟﻬﺖ آﺳﺎﻧﺘﺮ ﺷﺪن ﮐﺎرﻫﺎ‪ ،‬ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﻓﺮﻣﻮﻟﻬﺎﯾ ﭼﻮن‬ ‫· · · = ) ‪Γε : (x1 , · · · , xN ) 7−→ ( xˆ1 , · · · , xˆ N‬‬ ‫را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺧﻼﺻﻪ · · · = ) ‪ ( xˆ1 , · · · , xˆ N‬ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﻢ‪ .‬اﺳﺘﻔﺎده از اﻧﺪﯾﺴﻬﺎی ﺑﺎﻻ و ﯾﺎ ﭘﺎﯾﯿﻦ در ﺑﯿﺎن اﺣ ﺎم‬ ‫ﻣﻔﯿﺪ اﺳﺖ‪ ،‬اﻣﺎ در ﻣﺜﺎﻟﻬﺎ ﺗﺎ آﻧﺠﺎﯾ ﮐﻪ اﻣ ﺎن دارد از ذﮐﺮ آﻧﻬﺎ اﺟﺘﻨﺎب ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪ .‬ﻣﺜﻼ‪ ،‬از ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی‬ ‫· · · ‪ x, y,‬ﺑﺠﺎی · · · ‪ x1 , x2 ,‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٢.١‬‬



‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺳﺎدهﺗﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫ﺗﻘﺎرن ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )ﯾﺎ ﺑﻪ اﺧﺘﺼﺎر )‪ ODE‬ﭼﯿﺴﺖ؟ ﺑﺮای ﺷﺮوع ﭘﺎﺳ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺳﺆال‪،‬‬ ‫ﺳﺎدهﺗﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﺑﺮرﺳ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ ،‬ﯾﻌﻨ‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪= 0.‬‬ ‫‪dx‬‬



‫) ‪(١.١‬‬



‫ ‬ ‫{‬ ‫ﺟﻮاب اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺧﻄﻮط }‪ y(x) = c c ∈ R‬اﺳﺖ‪ ،‬ﮐﻪ ﺻﻔﺤﮥ )‪ (x, y‬را ﭘﺮ‬ ‫ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.١‬ﺑﻄﻮر ﻫﻨﺪﺳ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﻫﻤﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾﺶ ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﻣ ﺷﻮد؛ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻫﺮ ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﻔﺮوض‪ ،‬ﺑﺎﯾﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺟﻮاب را ﺑﻪ‬ ‫ﺧﻮدش ﺑﻨ ﺎرد‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر رﺳﻤ ﺗﺮ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن )‪ (S٣‬اﻟﺰام ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب در‬ ‫ﺻﻔﺤﮥ )‪ (x, y‬ﺑﺎﯾﺪ از ﺗﺼﻮﯾﺮش در ﺻﻔﺤﮥ ) ˆ‪ ( xˆ, y‬ﻏﯿﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺟﺪا ﻧﻤﻮدن ﺑﺎﺷﺪ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫) ‪(٢.١‬‬



‫‪dy‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪dx‬‬



‫ﻫﺮ ﮔﺎه‬ ‫‪١٢‬‬



‫ˆ‪dy‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ˆ‪x‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١‬آﺷﻨﺎﯾ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرن‬



‫‪ .٢.١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺳﺎدهﺗﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫ﺷ ﻞ ‪ :٣.١‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی )‪ (١.١‬ﺗﻮﺳﻂ ﯾ‬



‫ﺗﺠﺎﻧﺲ )‪ (۵.١‬ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺷﺪه اﻧﺪ‪.‬‬



‫ﯾ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻫﻤﻮار ﻣﻔﺮوض ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه ﺑﺮ ﺻﻔﺤﻪ در ﺻﻮرﺗ ﻣﻌ ﻮسﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ ژاﮐﻮﺑﯿﻦ آن ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪ ،‬ﺷﺮط دﯾ ﺮ زﯾﺮ اﻋﻤﺎل ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫) ‪(٣.١‬‬



‫‪xˆ x yˆ y − xˆy yˆ x , 0‬‬



‫ˆ‪∂ x‬‬ ‫)در ﺳﺮﺗﺎﺳﺮ ﮐﺘﺎب اﻧﺪﯾﺲ ﭘﺎﯾﯿﻦ ﻧﺸﺎﻧ ﺮ ﻣﺸﺘﻖ ﺟﺰﺋ اﺳﺖ؛ ﻣﺜﻼ ‪ xˆ x‬ﺑﻪ ﻣﻌﻨ‬ ‫‪∂x‬‬ ‫ﺟﻮاب ﻣﻔﺮوض ﺑﻪ ﯾ ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب )اﺣﺘﻤﺎﻻ ﻣﺘﻔﺎوت( ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد؛ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪:‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ( ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ‬



‫) ‪(۴.١‬‬



‫)‪yˆ (x, c) = cˆ (c‬‬



‫‪∀c ∈ R‬‬



‫ﮐﻪ در اﯾﻨﺠﺎ ‪ x‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از ˆ‪ x‬و ‪ c‬در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪ اﺳﺖ‪ ،‬ﮐﻪ ﺑﺎ ﻣﻌ ﻮﺳ ﯿﺮی از )‪ xˆ = xˆ(x, c‬ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی زﯾﺎدی دارد؛ ﯾ از آﻧﻬﺎ را در ﺷ ﻞ ‪ ٣.١‬ﻣﺸﺨﺺ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻫﻢ وﺟﻮد دارﻧﺪ؛ ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻧﻌ ﺎﺳﻬﺎﯾ در ﻣﺤﻮرﻫﺎی ‪ x‬و ‪ . y‬ﺗﺠﺎﻧﺲ ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ از ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(۵.١‬‬



‫‪ε∈R‬‬



‫)‪( xˆ, yˆ ) = (x, eε y‬‬



‫]در ﺷ ﻞ ‪ ٣.١‬ﺗﻨﻬﺎ ﺗﺄﺛﯿﺮ )‪ (۵.١‬روی ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻌﺪاد ﮐﻤ از ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ‬ ‫ﻫﻤﮥ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب را ﺑﺘﻮان ﻧﺸﺎن داد‪ ،‬آﻧ ﺎه ﻫﺮ دو ﻧﯿﻤﻪ ﺷ ﻞ ﯾ ﺴﺎن ﻣ ﺷﺪﻧﺪ‪ [.‬ﺑﻌﻼوه‪ ،‬ﻫﺮ اﻧﺘﻘﺎل‬ ‫) ‪(۶.١‬‬



‫‪ε1 , ε2 ∈ R‬‬



‫) ‪( xˆ, yˆ ) = (x + ε1 , y + ε2‬‬



‫ﻧﯿﺰ ﯾ ﺗﻘﺎرن اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﻫﻤﻪ اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎ ﺑﻪ دو ﭘﺎراﻣﺘﺮ ‪ ε1‬و ‪ ε2‬واﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﺻﻔﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ‪ ،ε1‬ﮔﺮوه‬ ‫ﻟ ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی از اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎ در ﺟﻬﺖ ‪ y‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ‪ ،‬ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی از اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎی‬ ‫در ﺟﻬﺖ ‪ x‬ﺑﺎ ﺻﻔﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ‪ ε2‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﻣﺠﻤﻮﻋﮥ اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎی )‪ (۶.١‬ﯾ ﮔﺮوه ﻟ دو‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی اﺳﺖ‬ ‫ﮐﻪ از آن ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺮﮐﯿﺒ دو ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی از اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎی ﭘﺎراﻣﺘﺮه ﺷﺪه ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ ε1‬و ‪ ε2‬ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﻣ ﮔﺮدد‪ .‬ﺗﻘﺮﯾﺒﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ‪−R‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی را ﻣ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﯾ ﺗﺮﮐﯿﺐ از ﺗﻘﺎرن‬ ‫ﻫﺎ ‪ R‬ﮔﺮوه ﻫﺎی ﻟ ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺑﻪ ﮐﺎر ﺑﺮد‪.‬‬ ‫ﻫﻤﮥ ﮔﺮوﻫﻬﺎی ﻟ ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﻣﻔﯿﺪ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‪ ،‬اﻧﺘﻘﺎل )‪ (۶.١‬ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب ‪ y = c‬را‬ ‫ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨ ‪ yˆ = c + ε2‬ﻣ ﻧ ﺎرد‪ .‬روﺷﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ اﮔﺮ ‪ ،ε2 = 0‬ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب ﺑﺎ ﯾ ﺗﻘﺎرن ﺑﻪ ﺧﻮدش‬ ‫ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬زﯾﺮا اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎ در ﺟﻬﺖ ‪ x‬ﻧﻘﺎط ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨ ﺛﺎﺑﺖ=‪ y‬را در راﺳﺘﺎی ﻫﻤﯿﻦ ﺧﻂ ﺣﺮﮐﺖ‬ ‫‪١٣‬‬



‫‪ .٣.١‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١‬آﺷﻨﺎﯾ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرن‬



‫ﻣ دﻫﻨﺪ‪ .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب را ﺑﻪ ﺧﻮدش ﻣ ﻧ ﺎرد اﺻﻄﻼﺣﺎ ﺑﺪﯾﻬ ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﺣﺘ اﮔﺮ‬ ‫ﻧﻘﺎط ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب را ﺣﺮﮐﺖ دﻫﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.١‬ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﺳﺎده اﺳﺖ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻫﻤﮥ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾﺶ را ﻣ ﺗﻮان ﯾﺎﻓﺖ‪ .‬ﺑﺎ‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ ﮔﯿﺮی از )‪ (۴.١‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ x‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪yˆ x (x, c) = 0,‬‬



‫‪∀c ∈ R.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪ ،‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ )‪ ،(٣.١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی )‪ (١.١‬ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬ ‫) ‪(٧.١‬‬



‫‪gy , 0,‬‬



‫‪( xˆ, yˆ ) = ( f (x, y), g(y)),‬‬



‫‪f x , 0,‬‬



‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﮐﻪ ‪ f‬و ‪ g‬ﺗﻮاﺑﻌ ﻫﻤﻮار از ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎﯾﺸﺎن ﻓﺮض ﺷﺪهاﻧﺪ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ‬ ‫ﺧﺎﻧﻮادهیای ﺑﺴﯿﺎر ﺑﺰرگ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ دارد‪) .‬ﺷ ﻔﺖ اﯾﻨ ﻪ‪ ،‬ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اوﻟ ﭼﻨﯿﻦ‬ ‫اﺳﺖ‪(.‬‬ ‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (١.١‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ ،(٢.١‬و ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘ ﯿﺮی از آن ﻗﺎدر ﺑﻪ ﻧﺘﯿﺠﻪﮔﯿﺮی )‪(٧.١‬‬ ‫ﻫﺴﺘﯿﻢ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻣ ﺗﻮان اﯾﻦ ﻧﺘﺎﯾ را ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎ از )‪ (٢.١‬ﺑﺪﺳﺖ آورد‪ .‬روی ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب‪ y ،‬ﺗﺎﺑﻌ‬ ‫از ‪ x‬اﺳﺖ‪ ،‬و از اﯾﻨﺮو )‪ xˆ(x, y‬و )‪ yˆ (x, y‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﻮاﺑﻌ از ‪ x‬ﺑ ﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ‪ ،‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫از ﻗﺎﻋﺪه زﻧﺠﯿﺮهای ﻣﺸﺘﻖ‪ ،‬از )‪ (٢.١‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪dx‬‬



‫وﻗﺘ ﮐﻪ‬



‫ˆ‪dyˆ D x y‬‬ ‫=‬ ‫‪=0‬‬ ‫ˆ‪d xˆ D x x‬‬



‫ﮐﻪ ‪ D x‬ﻣﺸﺘﻖ ﮐﻠ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ x‬اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(٨.١‬‬



‫‪D x = ∂ x + y′ ∂y + y′′ ∂y′ + · · · .‬‬



‫‪dy‬‬ ‫∂‬ ‫)در ﺳﺮﺗﺎﺳﺮ ﮐﺘﺎب‪ ،‬از ﻧﻤﺎد ‪ ∂ x‬ﺑﺮای ﻧﺸﺎن دادن ؛ از ﻧﻤﺎد ‪ y′‬ﺑﺮای ﻧﺸﺎن دادن‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫)‪ (٨.١‬ﺑﻪ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣ ﺷﻮد‬ ‫‪yˆ x + y′ yˆ y‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪xˆ x + y′ xˆy‬‬



‫وﻗﺘ ﮐﻪ‬



‫ﻫﻢ و ﻏﯿﺮه(‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬



‫‪y′ = 0‬‬



‫ﯾﻌﻨ اﯾﻨ ﻪ ‪ .ˆy x / xˆ x = 0‬از اﯾﻨﺮو )‪ (٧.١‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺰﯾﺖ اﺳﺘﻔﺎده از ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن در ﻓﺮم )‪ (٢.١‬اﯾﻦ‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ اﻃﻼﻋﺎت ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻘﺎرنﻫﺎ را ﺑﺪون داﻧﺴﺘﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻣ ﺗﻮان ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫آورد‪ .‬اﯾﻦ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﯾ از ﻧﺘﺎﯾ اﺳﺎﺳ در روﻧﺪ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻔﺮوض اﺳﺖ‪ ،‬ﺑ‬ ‫آﻧ ﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی آن را ﺑﺪاﻧﯿﻢ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٣.١‬‬



‫ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ‪ y′ = 0‬ﺑﻪ راﺣﺘ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺠﺴﻢ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﭼﺮا ﮐﻪ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب آن ﺧﻄﻮط ﻣﻮازی ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ‬ ‫در ﺣﺎﻟﺖ ﮐﻠ ‪ ،‬ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﭘﯿﭽﯿﺪهﺗﺮ از آن اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺎ دﯾﺪن‬ ‫ﺗﺼﻮﯾﺮی از ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاﺑﺶ ﻣﻘﺪور ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ وﺟﻮد‪ ،‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺣ ﻢ ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﻫﺮ ﺗﻘﺎرﻧ ﺑﺎﯾﺪ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب در ﺻﻔﺤﮥ )‪ (x, y‬را ﺑﻪ ﯾ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪای ﻣﺸﺨﺺ از ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی در ﺻﻔﺤﮥ‬ ‫) ˆ‪ ( xˆ, y‬ﺑﻨ ﺎرد‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٩.١‬‬



‫‪dy‬‬ ‫‪= ω(x, y).‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪١۴‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١‬آﺷﻨﺎﯾ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرن‬



‫‪ .٣.١‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫)ﺑﺮای ﺳﺎدﮔ ﺑﯿﺸﺘﺮ در ﺑﺤﺚ‪ ،‬ﺗﻮﺟﻬﻤﺎن را ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﻧﻮاﺣ ای از ﺻﻔﺤﻪ ﻣﺤﺪود ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ‪ ω‬ﺑﺮ آﻧﻬﺎ ﺗﺎﺑﻌ‬ ‫ﻫﻤﻮار اﺳﺖ؛ اﻟﺒﺘﻪ‪ ،‬ﭼﻨﯿﻦ وﺿﻌﯿﺘ در ﺑﺴﯿﺎری از ﻣﺴﺎﯾﻞ ﻋﻤﻠ ﺑﻪ وﺟﻮد ﻣ آﯾﺪ‪ (.‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای )‪٩.١‬‬ ‫( ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‬ ‫) ‪(١٠.١‬‬



‫‪dy‬‬ ‫)‪= ω(x, y‬‬ ‫‪dx‬‬



‫ﻫﻤﭽﻮن ﻗﺒﻞ‪ y ،‬را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از ‪) x‬و ﯾ‬ ‫ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﭘﺲ )‪ (١٠.١‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ‬



‫ˆ‪dy‬‬ ‫) ˆ‪= ω( xˆ, y‬‬ ‫ˆ‪d x‬‬



‫وﻗﺘ‬



‫ﺛﺎﺑﺖ اﻧﺘ ﺮاﻟ ﯿﺮی( ﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب ﻓﺮض‬



‫‪D x yˆ yˆ x + y′ yˆ y‬‬ ‫=‬ ‫) ˆ‪= ω( xˆ, y‬‬ ‫‪D x xˆ xˆ x + y′ xˆy‬‬



‫وﻗﺘ‬



‫‪dy‬‬ ‫)‪= (x, y‬‬ ‫‪dx‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪ ،‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول )‪ (٩.١‬ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫‪yˆ x + ω(x, y)ˆyy‬‬ ‫‪= ω( xˆ, yˆ ),‬‬ ‫‪xˆ x + ω(x, y) xˆy‬‬



‫) ‪(١١.١‬‬



‫ﮐﻪ در ﻫﺮ دو‪ ،‬ﺑﺎﯾﺪ ﻧ ﺎﺷﺖ ‪ ω‬دﯾﻔﺌﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻫﻢ ارز اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﺣﻞ )‪ (١١.١‬اﻣ ﺎن ﯾﺎﻓﺘﻦ ﻫﻤﻪ و ﯾﺎ‬ ‫ﺣﺪ اﻗﻞ ﺑﺮﺧ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﻔﺮوض ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ‪ .‬ﯾ راه اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﮔﻤﺎﻧﻪ‬ ‫زﻧ ﮐﻨﯿﻢ‪ ،‬ﯾﻌﻨ ‪ ،‬ﺑﻪ ﺟﺴﺘﺠﻮی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺨﺼﻮﺻ ﺑ ﺮدﯾﻢ‪.‬‬ ‫‪ ١.١‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ زﯾﺮ را ﺑﺮرﺳ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪=y‬‬ ‫‪dx‬‬



‫) ‪(١٢.١‬‬



‫ﺷﺮط )‪ (١١.١‬ﺣ ﻢ ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﺑﺎﯾﺴﺘ ﻫﺮ ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای )‪ (١٢.١‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ‬ ‫)و ﯾﺎ ﺑﻪ اﺧﺘﺼﺎر )‪ PDE‬ﺻﺪق ﮐﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪yˆ x + yˆyy‬‬ ‫‪= yˆ .‬‬ ‫‪xˆ x + y xˆy‬‬ ‫ﺑﺠﺎی ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ ‪ ،‬ﺗﺮﺟﯿ ﻣ دﻫﯿﻢ ﺑﺮرﺳ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﺑﺨﺼﻮص اﺳﺎﺳﺎ دارای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﻣﺎ ﮔﻤﺎﻧﻪ زﻧ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ ،‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ و ﯾﺎ ﺧﯿﺮ! ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‪ ،‬آﯾﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾ‬ ‫وﺟﻮد دارﻧﺪ ﮐﻪ ‪ y‬را ﺑﻪ ﺧﻮدش ﺑﻨ ﺎرد؟ اﮔﺮ ﭼﻨﯿﻦ اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ﺑﺎﯾﺪ‬ ‫‪( xˆ, yˆ ) = ( xˆ(x, y), y),‬‬ ‫و ﺷﺮط )‪ (١١.١‬ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﯾﺮ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣ ﮔﺮدد‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪= y.‬‬ ‫‪xˆ x + y xˆy‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ )‪ ،((٣.١‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪xˆ x + y xˆy = 1,‬‬



‫‪xˆ x , 0.‬‬ ‫‪١۵‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١‬آﺷﻨﺎﯾ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرن‬



‫‪ .٣.١‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫ﺷ ﻞ ‪ :۴.١‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی‪y′ = y‬‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی زﯾﺎدی از اﯾﻦ ﻧﻮع وﺟﻮد دارد؛ ﺳﺎدهﺗﺮﯾﻦ آﻧﻬﺎ‪ ،‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ‬ ‫) ‪(١٣.١‬‬



‫)‪( xˆ, yˆ ) = (x + ε, y‬‬



‫‪ε∈R‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﭘﯿﺸﺘﺮ‪ ،‬دﯾﺪﯾﻢ ﮐﻪ اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎی در ﺟﻬﺖ ‪ ،x‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺪﯾﻬ ‪ y′ = 0‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ :‬اﻣﺎ‪ ،‬آﯾﺎ اﯾﻦ ﻣﻮﺿﻮع در‬ ‫ﻣﻮرد ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻔﺮوض )‪ (١٢.١‬ﻧﯿﺰ ﺑﺪﯾﻬ اﺳﺖ؟ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (١٢.١‬را ﺑﻪ راﺣﺘ ﻣ ﺗﻮان‬ ‫ﯾﺎﻓﺖ؛ در واﻗ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‬ ‫‪c1 ∈ R.‬‬



‫‪y = c1 e x‬‬



‫ﻫﺮ اﻧﺘﻘﺎل ﺑﻪ ﺷ ﻞ )‪ ، (١٣.١‬ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب ﺑﺎ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ‪ c1‬را ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨ زﯾﺮ ﻣ ﻧ ﺎرد‪:‬‬ ‫ˆ‪yˆ = y = c1 e x = c1 e xˆ−ε = c2 e x‬‬



‫ﮐﻪ‬



‫‪c2 = c1 e−ε‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪ ،‬اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎی در ﺟﻬﺖ ‪ x‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻏﯿﺮ ﺑﺪﯾﻬ از )‪ (١٢.١‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﭼﺮا ﮐﻪ )اﻏﻠﺐ( ‪) .c1 , c2‬اﻟﺒﺘﻪ‪،‬‬ ‫‪ ε = 0‬ﻟﺰوﻣﺎً ﺑﻪ ﺗﻘﺎرن ﺑﺪﯾﻬ ﻣ اﻧﺠﺎﻣﺪ(‪ .‬ﺟﺎﻟﺐ اﯾﻨ ﻪ‪ ،‬ﺑﺮﺧ از ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻫﺮ‬ ‫اﻧﺘﻘﺎل ﺑﻪ ﺧﻮدﺷﺎن ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﻧﻈﯿﺮ ‪ .y = 0‬ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاﺑ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﯾ ﺗﻘﺎرن ﻣﻔﺮوض ﺑﻪ‬ ‫ﺧﻮدﺷﺎن ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﻧﺎوردا ﺗﺤﺖ ﺗﻘﺎرن ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﻫﻤﺎن ﻃﻮری ﮐﻪ در ﺷ ﻞ ‪۴.١‬‬ ‫ﻣﺸﻬﻮد اﺳﺖ‪ ،‬ﺟﻮاب ‪ ،y = 0‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب ‪ y = c1 e x‬را اﻓﺮاز ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻫﯿ ﺗﻘﺎرن اﻧﺘﻘﺎﻟ‬ ‫) ‪ (١٣.١‬ﻗﺎدر ﻧﯿﺴﺖ ﮐﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﺑﺎ ‪ c1 > 0‬را ﺑﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﺑﺎ ‪ c1 < 0‬ﺑﻨ ﺎرﻧﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﭼﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺨﺼﻮص‪ ،‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾ دارد ﮐﻪ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی در ﻧﯿﻢ ﺻﻔﺤﮥ ﺑﺎﻻﯾ و ﭘﺎﯾﯿﻨ را ﺑﺎ ﻫﻢ‬ ‫ﺗﻌﻮض ﮐﻨﺪ‪.‬‬ ‫;)‪( xˆ, yˆ ) = (x, −y‬‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪای از ﭼﻨﯿﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾ اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﺗﻘﺎرن‪ ،‬ﻧﻤﻮﻧﻪای از ﯾ‬ ‫‪١۶‬‬



‫ﺗﻘﺎرن ﮔﺴﺴﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬



‫‪ .۴.١‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١‬آﺷﻨﺎﯾ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرن‬



‫ﺗﺎ اﯾﻨﺠﺎ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳ ﺗﻘﺎرن ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺴﯿﺎر ﺳﺎده ﭘﺮداﺧﺘﯿﻢ؛ اﻣﺎ روش ﺑﺎﻻ در ﯾﺎﻓﺘﻦ‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﭼﻨﺎن ﻗﻮی ﻫﺴﺖ ﮐﻪ از آن ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﻘﺮﯾﺒﺎ ﻫﻤﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺘﻮان اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد‪.‬‬ ‫در اﯾﻨﺠﺎ‪ ،‬ﺑﻪ ذﮐﺮ ﭼﻨﺪ ﻣﺜﺎل ﭘﯿﭽﯿﺪهﺗﺮ ﻣ ﭘﺮدازﯾﻢ‪.‬‬ ‫‪ ٢.١‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ رﯾ ﺎﺗ‬ ‫‪dy y + 1 y2‬‬ ‫=‬ ‫‪+ 2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬



‫) ‪(١۴.١‬‬



‫ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﭘﯿﭽﯿﺪه ﻣ آﯾﺪ‪ ،‬اﻣﺎ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ اش )ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ در ﻓﺼﻞ ﺑﻌﺪ ﺧﻮاﻫﯿﻢ دﯾﺪ( ﮐﺎﻣﻼ ﺳﺎده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺷﺎﻣﻞ ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﻣﻌ ﻮﺳﻬﺎ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪( x‬‬ ‫) ‪y‬‬ ‫= ) ˆ‪( xˆ, y‬‬ ‫‪,‬‬ ‫) ‪(١۵.١‬‬ ‫‪1 − 4x 1 − 4x‬‬ ‫ﺑﺮای اﺛﺒﺎت اﯾﻦ ﻣﻮﺿﻮع‪ ،‬ﮐﺎﻓ اﺳﺖ )‪ (١۵.١‬را در ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن )‪ (١١.١‬ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‪ ،‬و ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ‬ ‫‪ ω‬ﺳﻤﺖ راﺳﺖ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ (١۴.١‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﯾﻦ اﻧﻌ ﺎﺳﻬﺎ‪ ،‬اوﻟﯿﻦ ﻣﺜﺎل ﻣﺎ از ﯾ ﮔﺮوه ﻟ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ اﺳﺖ‬ ‫ﮐﻪ ﺑﺮای ﻫﻤﮥ ‪ ε‬ﻫﺎی ﺣﻘﯿﻘ ﺧﻮﺷﺘﻌﺮﯾﻒ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪) .‬ﺷﻌﺎع ﻫﻤ ﺮاﯾ ﺳﻮی ﺗﯿﻠﻮر ﺣﻮل ‪ ،ε = 0‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‬ ‫‪1‬‬ ‫((‪.‬‬ ‫|‪|x‬‬ ‫‪ ٣.١‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫) ‪(١۶.١‬‬



‫‪dy y3 + x2 y − y − x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫=‬ ‫‪dx xy2 + x3 + y − x‬‬



‫را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب آن در ﺷ ﻞ ‪ ۵.١‬ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ؛ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ آن‪،‬‬ ‫ﻣ ﺗﻮان ﺣﺪس زد ﮐﻪ اﺣﺘﻤﺎﻻ دوراﻧﻬﺎی ﺣﻮل ﻣﺒﺪأ ﺗﻘﺎرن ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮ ﻋﻬﺪه ﺷﻤﺎ ﺗﺎ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ دورانﻫﺎی‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪( xˆ, yˆ ) = x cos ε − y sin ε, x sin ε + y cos ε‬‬ ‫) ‪(١٧.١‬‬ ‫ﯾ‬



‫ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫ﺑﺨﺶ ‪۴.١‬‬ ‫ﻟ‬



‫‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی )‪ (١۶.١‬را ﺗﺸ ﯿﻞ ﻣ دﻫﻨﺪ‪.‬‬



‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬



‫ﻋﻨﻮان اﯾﻦ ﺑﺨﺶ از ﻣﺸﺎﻫﺪه ﺣ ﻢ ﺷ ﻔﺖ اﻧ ﯿﺰ ﻣﺸﺮوح در ذﯾﻞ ﺑﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﯾ‬ ‫ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﻏﯿﺮ ﺑﺪﯾﻬ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ) ‪ (٩.١‬را ﺑﺘﻮاﻧﯿﻢ‬ ‫ﺑﯿﺎﺑﯿﻢ‪ .‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت‪ ،‬از اﯾﻦ ﮔﺮوه ﻟ ﺑﺮای ﺗﻌﯿﯿﻦ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ آن ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﻔﺮوض‬ ‫ﻣ ﺗﻮان اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد‪ .‬اﯾﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ‪ ،‬دﻟﯿﻠ ﺑﺮ ﺳﻮدﻣﻨﺪی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ اﺳﺖ؛ و در اﯾﻦ ﺑﯿﻦ ﺗﻨﻬﺎ از ﺗﺎﺑ )‪ω(x, y‬‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﺷﻮد‪ .‬اﯾﺪه اﺻﻠ اﯾﻦ ﻣﻄﻠﺐ را در ذﯾﻞ ﺗﺸﺮﯾ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و ﺟﺰﺋﯿﺎت ﺑﯿﺸﺘﺮ را ﺑﻪ ﻓﺼﻞ ﺑﻌﺪ ﻣﻮﮐﻮل‬ ‫ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫اﺑﺘﺪا‪ ،‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی )‪ (١٩.١‬ﺷﺎﻣﻞ ﮔﺮوه ﻟ اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎی در ﺟﻬﺖ ‪ y‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(١٨.١‬‬



‫‪(x, yˆ ) = (x, y + ε).‬‬ ‫‪١٧‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١‬آﺷﻨﺎﯾ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرن ‪ .۴.١‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ‬



‫ﺷ ﻞ ‪ :۵.١‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی )‪(١۶.١‬‬



‫‪١٨‬‬



‫‪ .۴.١‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١‬آﺷﻨﺎﯾ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرن‬



‫در اﯾﻦ ﺻﻮرت‪ ،‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن )‪ (١١.١‬ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ در ﻣ آﯾﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(١٩.١‬‬ ‫ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ ε‬در ﻫﻤﺴﺎﯾ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪:‬‬



‫‪ω(x, y) = ω(x, y + ε),‬‬ ‫ای از ﺻﻔﺮ‪ .‬ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘ ﯿﺮی از ) ‪ (١٩.١‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ ε‬در ‪ ،ε = 0‬ﻧﺘﯿﺠﻪ زﯾﺮ‬ ‫‪ωy (x, y) = 0.‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪ ،‬ﮐﻠ ﺗﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ای ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾﺶ ﺷﺎﻣﻞ ﮔﺮوه ﻟ اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎی )‪ (١٨.١‬ﺑﺎﺷﺪ‪،‬‬ ‫ﺑﺸ ﻞ زﯾﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪= ω(x).‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﻧﯿﺰ ﻣ ﺗﻮان ﺣﻞ ﻧﻤﻮد‪ :‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ آن ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫∫‬ ‫‪y = ω(x)dx + c.‬‬ ‫) ‪(٢٠.١‬‬ ‫)ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ را ﺣﻞ ﺷﺪه ﻣ داﻧﯿﻢ ﮐﻪ ﭘﺎﺳ اراﺋﻪ ﺷﺪه ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﯾ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺟﻮاب ﺧﺼﻮﺻ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ‪ ،c = 0‬ﺗﺤﺖ اﻧﺘﻘﺎل ﺑﻪ ﺟﻮاب زﯾﺮ‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪yˆ = ω(x)dx + ε = ( xˆ)d xˆ + ε‬‬



‫ﺳﺮی اﻧﺘ ﺮال ﻣﻮﮐﻮل ﺷﺪه‬



‫ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ ،‬ﮐﻪ ﺟﻮاﺑ ﺧﺼﻮﺻ ﺑﺎ ‪ c = ε‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪ ،‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫ﻣﻮﺟﻮد‪ ،‬ﻣ ﺗﻮان ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ را از ﺣﺮﮐﺖ دادن ﯾ ﺟﻮاب ﺧﺼﻮﺻ آن ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪.‬‬ ‫در اﯾﻦ ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﮔﺮوه ﻟ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﺑﺎ اﯾﺠﺎد ﺗﻐﯿﯿﺮ در ﺛﺎﺑﺖ اﻧﺘ ﺮال ﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب ﻋﻤﻞ ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﭘﺲ آﺷ ﺎر ﺷﺪ ﮐﻪ‪ ،‬ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اوﻟ ﮐﻪ دارای ﮔﺮوه ﻟ از اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎی )‪(١٨.١‬‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﻪ آﺳﺎﻧ ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ اﺳﺖ‪ .‬آﯾﺎ اﯾﻦ روﻧﺪ ﺑﺮای ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫دﯾ ﺮ ﻧﯿﺰ درﺳﺖ اﺳﺖ؟ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺘﻘﺎرن ﻣﺪور )‪ (١۶.١‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ ،‬ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬ ‫ﺟﻮاﺑﻬﺎی آن در ﺷ ﻞ ‪ ۵.١‬ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻃﺒﯿﻌ اﺳﺖ ﮐﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را در‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻗﻄﻌ )‪ (r, θ‬ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ‬ ‫‪x = r sin θ‬‬



‫‪x = r cos θ‬‬



‫ﺑﺎز ﻧﻮﯾﺴ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺣﺎﺻﻞ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺳﺎده‬ ‫) ‪(٢١.١‬‬



‫‪dr‬‬ ‫) ‪= r(1 − r2‬‬ ‫‪dθ‬‬



‫اﺳﺖ‪ ،‬ﮐﻪ ﺑﻼﻓﺎﺻﻠﻪ ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ اﺳﺖ‪ .‬از ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻗﻄﺒ ‪ ،‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬



‫‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی از دورانﻫﺎی ) ‪ (١٧.١‬در‬



‫‪ˆ = (r, θ + ε).‬‬ ‫)‪(ˆr, θ‬‬ ‫در ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺟﺪﯾﺪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دوراﻧ اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎﯾ در ‪ θ‬ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻪ آﺳﺎﻧ‬ ‫ﺣﻞ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪١٩‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١‬آﺷﻨﺎﯾ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرن ‪ .۴.١‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ‬ ‫اﯾﺪه ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺮای ﻫﻤﮥ ﮔﺮوﻫﻬﺎی ﻟ ﯾ ‪-‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﮐﺎر ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬در ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﻣﺨﺘﺼﺎﺗ ﻣﻨﺎﺳﺐ‪،‬‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﺑﺎ ‪ ε‬ﺑﻪ اﻧﺪازه ﮐﺎﻓ ﻧﺰدﯾ ﺑﻪ ﺻﻔﺮ ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﻣ ﺷﻮﻧﺪ ﺑﺎ اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎ )ﺑﻪ ﺟﺰ در ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ( ﻫﻢ‬ ‫ارز ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﯾ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺎﻗ ﻣ ﻣﺎﻧﺪ‪ :‬دﺳﺘ ﺎه ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻣﻨﺎﺳﺐ ﭼﯿﺴﺖ؟ ﺑﺮای ﻣﺜﺎل دﺳﺘ ﺎه ﻣﺨﺘﺼﺎﺗ‬ ‫اﺧﺘﺼﺎﺻ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١۴.١‬واﺿ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ ﺛﺎﺑﺖ ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﮔﺮوه ﻟ ﺧﻮدش ﺟﻮاﺑ ﺑﺮای اﯾﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ دارد ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ در ﻓﺼﻞ ﺑﻌﺪ ﺧﻮاﻫﯿﻢ دﯾﺪ‪.‬‬



‫ﺗﻤﺮﯾﻦﻫﺎ‬ ‫‪dy y‬‬ ‫=‬ ‫‪ ١.١‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫‪dx x‬‬ ‫را ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﺪ ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﯿﺪ؟‬



‫را ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﭼﻨﺪ ﻧﻮع ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای اﯾﻦ‬



‫‪dy 1 − y2‬‬ ‫=‬ ‫‪ ٢.١‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه ﺑﻪ ﺻﻮرت )‪ ( xˆ, yˆ ) = (e x x, y‬ﯾ ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫اﺳﺖ؛ ﮐﻪ ‪ .ε ∈ R‬اﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ را ﺑﻪ ﻃﻮر ﻫﻨﺪﺳ ﺗﻮﺻﯿﻒ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﯾﻨﻬﺎ ﭼ ﻮﻧﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ؟‬ ‫‪ ٣.١‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ دورانﻫﺎی )‪ (١٧.١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١۶.١‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ ۴.١‬ﻣﻘﺪار ‪ α‬را ﻃﻮری ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ‪ ( xˆ, yˆ ) = x + 2ε, yeaα‬ﺗﻘﺎرﻧ ﺑﺮای ‪= y2 eaε + y + e x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﮐﻪ ‪ ε ∈ R‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫∫‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪ ۵.١‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ‪ ε ∈ R‬ای ‪ ( xˆ, yˆ ) = x, y + ε exp F(x)dx‬ﯾ ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫‪dy‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ارﺗﺒﺎط ﻣﯿﺎن اﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ و ﻗﺎﻋﺪه‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺧﻄ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول )‪= F(x)y + G(x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫اﺻ ﺧﻄ ﺑﻮدن را ﺗﻮﺿﯿ دﻫﯿﺪ‪.‬‬



‫‪٢٠‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪٢‬‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬ ‫ﯿﻼب ی ی ‪БЗ‬رگ از ﻨﺎ ﻊ ﻮﭼﮏ ﺸﺎء ﯽ ﺮ ﺪ‪.‬‬ ‫)وﯾ ﯿﺎم‬



‫ﺑﺨﺶ ‪١.٢‬‬



‫ﺮ‪ :‬ﻪ ﺰ ی ﻮب‪ ،‬ﯾﺎن ﻮش دار ﺪ(‬



‫ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ روی ﺻﻔﺤﻪ‬



‫ﺗﺎ ﮐﻨﻮن ﻣﺎ ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻌﺪاد ﮐﻤ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول وﯾﮋه را ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ ﺑﺮرﺳ ﮐﺮدﯾﻢ‪:‬‬



‫) ‪(١.٢‬‬



‫‪dy‬‬ ‫)‪= w(x, y‬‬ ‫‪dx‬‬



‫ﻫﺪف اﯾﻦ ﻓﺼﻞ ﺗﻮﺳﻌﻪ ﺗ ﯿﻨ ﻬﺎﯾ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺮای ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.٢‬ﻗﺎﺑﻞ اﺟﺮا اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﯾ آزﻣﻮن ﺑﺴﺘﻪ از روﺷ ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ روی ﺻﻔﺤﻪ ﻋﻤﻞ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ ﺷﺮوع ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬اﯾﺪهﻫﺎی اﺻﻠ ﻣﺸ ﻞ‬ ‫ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ و ﻣ ﺗﻮان آﻧﻬﺎ را ﺑﺎ ﮐﻤ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺧﯿﻠ ﺳﺎده ﺳﺎﺧﺖ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ وﺟﻮد اﯾﻦ اﯾﺪهﻫﺎ‬ ‫ﻋﻤﻮﻣ ﻫﺴﺘﻨﺪ و در ﻧﻬﺎﯾﺖ در اﯾﻦ ﻓﺼﻞ ﻣﺎ از آن ﺑﺮای ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﻪ ﺑﺎ روشﻫﺎی‬ ‫اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﺣﻞ ﻧﻤ ﺷﻮﻧﺪ اﺳﺘﻔﺎده ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﮐﺮد‪.‬‬ ‫˜‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ )‪ y = f (x‬ﺟﻮاﺑ از )‪ (١.٢‬اﺳﺖ و ﯾ ﺗﻘﺎرن وﯾﮋه اﯾﻦ ﺟﻮاب را ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨ )ˆ‪yˆ = f ( x‬‬ ‫ﻣ ﻧ ﺎرد‪ .‬ﮐﻪ ﺟﻮاﺑ از‪:‬‬ ‫ˆ‪dy‬‬ ‫‪= w( xˆ, yˆ ).‬‬ ‫ˆ‪d x‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺗﺎﺑ ˜‪ f‬ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﺗﻘﺎرن‪ ،‬ﻣﻨﺤﻨ )‪ y = f (x‬را ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﻘﺎط ) ˆ‪ −( xˆ, y‬ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ در آن‬ ‫) ‪(٢.٢‬‬



‫‪yˆ = yˆ (x, f (x)).‬‬ ‫‪٢١‬‬



‫‪xˆ = xˆ(x, f (x)),‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫‪ .١.٢‬ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ روی ﺻﻔﺤﻪ‬



‫ﮐﻪ ﯾ ﻣﻨﺤﻨ در ﺻﻔﺤﻪ ) ˆ‪ ( xˆ, y‬اﺳﺖ ﮐﻪ در ﻓﺮم ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ اول از )‪ (٢.٢‬را‬ ‫ﺑ ﻮﻧﻪ ای ﺣﻞ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ‪ x‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از ˆ‪ x‬ﺑﺪﺳﺖ آﯾﺪ و ﻧﺘﯿﺠﻪ آﻧﺮا در ﻣﻌﺎدﻟﻪ دوم )‪ (٢.٢‬ﺟﺎﯾ ﺬاری‬ ‫ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫) ‪(٣.٢‬‬



‫‪f˜( xˆ) = yˆ (x( xˆ), f (x( xˆ))).‬‬



‫اﮔﺮ ﺗﻘﺎرن ﺑﻪ ﯾ‬



‫ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧ ﺎه ˜‪ f‬ﯾ‬



‫ﺗﺎﺑ از ˆ‪ x‬و ﭘﺎراﻣﺘﺮ ‪ ε‬اﺳﺖ‪.‬‬



‫‪ ١.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫‪dy 2y‬‬ ‫=‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬



‫) ‪(۴.٢‬‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫) ‪(۵.٢‬‬



‫‪y = cx2‬‬



‫روی رﺑ ‪ x > 0‬و ‪ y > 0‬ﻣﺘﻤﺮﮐﺰ ﻣ ﺷﻮﯾﻢ ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب )‪ (۵.٢‬ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﯾ‬ ‫وﯾﮋه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎ در اﯾﻦ ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرن ﮔﺴﺴﺘﻪ زﯾﺮ ﺑﻪ ﺧﻮدش ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪x 1‬‬ ‫) ‪(۶.٢‬‬ ‫‪( xˆ, yˆ ) = , .‬‬ ‫‪y y‬‬



‫‪c>0‬‬



‫ﻣﺨﺼﻮﺻﺎً‪ ،‬ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ‪ c = c1‬ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨ زﯾﺮ ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) ˆ‪( xˆ, y‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪c1 x c1 x2‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬



‫‪1‬‬ ‫)ˆ‪(c1 x‬‬



‫= ‪ x‬و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب ‪ y = c1 x2‬ﺑﻪ‪:‬‬ ‫‪yˆ = c1 xˆ2 .‬‬



‫ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (۴.٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾ ﺮی ﻫﻢ دارد‪ ،‬ﺷﺎﻣﻞ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬ ‫از ﺗﺠﺎﻧﺲ ﻫﺎ ﺑﺼﻮرت‬ ‫) ‪(٧.٢‬‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫‪( xˆ, yˆ ) = (eε x, cε y).‬‬



‫ﻫﺮ ﺗﻘﺎرن از اﯾﻦ ﺷ ﻞ ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب ‪ y = c1 x2‬را ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨ ‪:‬‬ ‫‪( xˆ, yˆ ) = (eε x, c1 e−ε x2 ).‬‬ ‫ﻣ ﻧ ﺎرد‪ .‬ﺑﺎ ﺣﻞ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ x‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ ˆ‪ x = e−ε x‬و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺟﻮاب ﺗﺒﺪﯾﻞ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫‪yˆ = c1 e−3ε xˆ2 .‬‬ ‫ﺻﻔﺤﮥ )‪ (x, y‬و ﺻﻔﺤﮥ ) ˆ‪ ( xˆ, y‬ﺷﺎﻣﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب ﻣﺸﺎﺑﻬ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺠﺎی اﺳﺘﻔﺎده از دو‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ ﻫﻤﺴﺎن‪ ،‬ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ آﻧﻬﺎ را ﺑﺎ ﻫﻢ ادﻏﺎم ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬آﻧ ﺎه از اﯾﻦ ﺗﻘﺎرن ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﯾ ﻧ ﺎﺷﺖ از ﺻﻔﺤﮥ‬ ‫‪٢٢‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫‪ .١.٢‬ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ روی ﺻﻔﺤﻪ‬



‫ﺗﻘﺎرن )‪ (٧.٢‬روی ﯾ‬



‫ﺷ ﻞ ‪ :١.٢‬ﻋﻤﻞ ﯾ‬



‫ﺟﻮاب از )‪(۴.٢‬‬



‫)‪ (x, y‬ﺑﻪ ﺧﻮدش ﺗﻠﻘ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﻪ آن ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺎرن روی ﺻﻔﺤﮥ )‪ (x, y‬ﻣ ﮔﻮﯾﻨﺪ‪ .‬ﺑﺨﺼﻮص ﻧﻘﻄﻪ ﺑﺎ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت )‪ (x, y‬ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪای ﮐﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎﺗﺶ‪:‬‬ ‫‪( xˆ, yˆ ) = ( xˆ(x, y), yˆ (x, y)).‬‬ ‫اﺳﺖ ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب )‪ y = f (x‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪای از ﻧﻘﺎط ﺑﺎ ﻣﺨﺘﺼﺎت ))‪ (x, f (x‬اﺳﺖ‪ .‬آن ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﻧﻘﺎط ﺑﺎ ﻣﺨﺘﺼﺎت ))ˆ‪ ( xˆ, f˜( x‬ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﮐﻪ ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب )‪ y = f˜(x‬اﺳﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ اﮔﺮ‬ ‫‪ ، f˜ = f‬ﻣﻨﺤﻨ )‪ y = f (x‬ﺗﺤﺖ اﯾﻦ ﺗﻘﺎرن ﻧﺎوردا اﺳﺖ ‪ .‬ﯾ ﺗﻘﺎرن ﺑﺪﯾﻬ اﺳﺖ اﮔﺮ ﻋﻤﻞ آن ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ‬ ‫ﺟﻮاب را ﻧﺎوردا ﺑﺎﻗ ﮔﺬارد‪.‬‬ ‫ﺗﺬﮐﺮ‪ :‬ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻻزم ﺑﺎﺷﺪ روی زﯾﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪای از ﺻﻔﺤﻪ ﻣﺘﻤﺮﮐﺰ ﺷﻮﯾﻢ ‪ ،‬اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ ﯾﺎ ﺗﻘﺎرن روی ﺗﻤﺎم ﺻﻔﺤﻪ ﺧﻮش ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ ٢.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬در ﻣﺜﺎل ﻗﺒﻞ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﻮﻧﺎﮔﻮﻧ از ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ زﯾﺮ ﺑﺮرﺳ ﺷﺪ‪:‬‬ ‫‪y > 0.‬‬



‫‪,‬‬



‫‪x>0‬‬



‫‪dy 2y‬‬ ‫‪= ,‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬



‫داﻧﺴﺘﯿﻢ ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﻪ ﺷ ﻞ )‪ (٧.٢‬ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب ‪ y = c1 x2‬را ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨ ‪ yˆ = c1 e−3ε xˆ2‬در ﺻﻔﺤﮥ‬ ‫) ˆ‪ ( xˆ, y‬ﻣ ﻧ ﺎرﻧﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻋﻤﻞ ﯾ ﺗﻘﺎرن )‪ (٧.٢‬روی رﺑ ‪ x > 0‬و ‪ y > 0‬ﺟﻮاب ‪ y = c1 x2‬را ﺑﻪ ﺟﻮاب‬



‫‪ y = c1 e−3ε x2‬ﻣ ﻧ ﺎرد ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ در ﺷ ﻞ ‪ ١.٢‬ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻘﺎرن ﮔﺴﺴﺘﻪ )‪ (٧.٢‬ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ‬ ‫ﺟﻮاب ‪ y = c1 x2‬را ﺑﻪ ﺧﻮدش ﻣ ﻧ ﺎرد و از اﯾﻨﺮو )‪ (۶.٢‬ﯾ ﺗﻘﺎرن ﺑﺪﯾﻬ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪی ﻋﻤﻞ ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ روی ﻧﻘﺎﻃ در ﺻﻔﺤﻪ ﻣﻔﯿﺪ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺪار ﯾ‬ ‫ﮔﺮوه ﮔﺬرﻧﺪه از )‪ ،(x, y‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﻘﺎﻃ اﺳﺖ ﮐﻪ )‪ (x, y‬را ﺑﺘﻮان ﺑﺎ ﯾ اﻧﺘﺨﺎب از ‪ ε‬ﻧ ﺎﺷﺖ‪ .‬ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﻧﻘﺎط روی ﻣﺪار ﮔﺬرﻧﺪه از )‪ ،(x, y‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫) ‪(٨.٢‬‬



‫‪( xˆ, yˆ ) = ( xˆ(x, y; ε), yˆ (x, y; ε)),‬‬



‫ﮐﻪ در آن‪:‬‬ ‫) ‪(٩.٢‬‬



‫‪( xˆ(x, y; o), yˆ (x, y; o)) = (x, y).‬‬ ‫‪٢٣‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫ﻣﺪار ﯾ‬



‫ﺷ ﻞ ‪ :٢.٢‬ﻗﺴﻤﺘ از ﯾ‬



‫‪ .١.٢‬ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ روی ﺻﻔﺤﻪ‬



‫ﺑﻌﺪی‬



‫ﻣﺪار ﮔﺬرﻧﺪه از ﯾ ﻧﻘﻄﻪ ﯾ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﻤﻮار اﺳﺖ ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ در ﺷ ﻞ ‪ ٢.٢‬ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ﭼﻪ‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﯾ ﯾﺎ ﭼﻨﺪ ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎوردا ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻫﺮ ﮐﺪام از آﻧﻬﺎ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﺑﻪ ﺧﻮدﺷﺎن ﻧ ﺎﺷﺘﻪ‬ ‫ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎوردا ﯾ ﻣﺪار ﺻﻔﺮ ﺑﻌﺪی از ﮔﺮوه ﻟ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ ٣.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ از ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١۶.١‬ﺷﺎﻣﻞ دوراﻧﻬﺎی زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪( xˆ, yˆ ) = (x cos ε − y sin ε, x sin ε + y cos ε).‬‬ ‫ﮐﻪ در ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻗﻄﺒ ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ در ﻣ آﯾﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪ˆ = (r, θ + ε).‬‬ ‫)‪(ˆr, θ‬‬ ‫√‬ ‫ﻣﺪار ﮔﺬرﻧﺪه از ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ )‪ (x0 , y0 ) , (0, 0‬داﯾﺮه ‪ r = x02 + y20‬اﺳﺖ در ﺻﻮرﺗﯿ ﻪ )‪ (0, 0‬ﺑﻪ ﺧﻮدش‬ ‫ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﯾ ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎوردا اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻋﻤﻞ ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ روی ﯾ ﻣﺪار را ﺑﻪ ﯾ‬ ‫دﯾ ﺮ‪ ،‬ﻫﺮ ﻣﺪار ﺗﺤﺖ ﻋﻤﻞ ﮔﺮوه ﻟ ﻧﺎوردا اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﮐﻨﻮن ﻣﺪار ﮔﺬرﻧﺪه از ﯾ ﻧﻘﻄﻪای ﮐﻪ ﻏﯿﺮ ﻧﺎوردا ﻣﺜﻞ )‪ (x, y‬را ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس ﺑﻪ ﻣﺪار‬ ‫در ﻧﻘﻄﻪ ) ˆ‪ ( xˆ, y‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از ) ˆ‪ (ξ( xˆ, yˆ ), η( xˆ, y‬ﮐﻪ در آن‪:‬‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ روی ﻫﻤﺎن ﻣﺪار ﻣ ﻧ ﺎرد‪ .‬ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت‬



‫) ‪(١٠.٢‬‬



‫ˆ‪dy‬‬ ‫‪= η( xˆ, yˆ ).‬‬ ‫‪dε‬‬



‫‪,‬‬



‫ˆ‪d x‬‬ ‫) ˆ‪= ξ( xˆ, y‬‬ ‫‪dε‬‬



‫ﺑﻮﯾﮋه‪ ،‬ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس در )‪ (x, y‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫ (‬ ‫) ‬ ‫ ˆ‪dy‬‬ ‫ ˆ‪d x‬‬ ‫ ‪ ε=0 ,‬‬ ‫= ))‪(ξ(x, y), η(x, y‬‬ ‫) ‪(١١.٢‬‬ ‫‪dε‬‬ ‫‪dε ε=0‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﺮای ﻣﺮﺗﺒﻪ اول در ‪ ، ε‬ﺳﺮی ﺗﯿﻠﻮر ﺑﺮای ﻋﻤﻞ ﮔﺮوه ﻟ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫) ‪(١٢.٢‬‬



‫‪yˆ = y + εη(x, y) + o(ε2 ).‬‬ ‫‪٢۴‬‬



‫‪xˆ = x + εξ(x, y) + o(ε2 ),‬‬



‫‪ .١.٢‬ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ روی ﺻﻔﺤﻪ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫ﯾ ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎوردا ﺑﺎ ﻫﺮ ﺗﻘﺎرن ﻟ ﺑﻪ ﺧﻮدش ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪ ،‬از )‪ (١٢.٢‬ﻧﻘﻄﻪ )‪ (x, y‬ﻧﺎوردا اﺳﺖ‬ ‫اﮔﺮ ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس‪ ،‬ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﮐﻪ ﻫﺴﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(١٣.٢‬‬



‫‪ξ(x, y) = η(x, y) = 0.‬‬



‫در ﺣﻘﯿﻘﺖ اﯾﻦ ﺷﺮط ﻻزم‪ ،‬ﮐﺎﻓ ﻧﯿﺰ ﻫﺴﺖ‪ ،‬ﮐﻪ ﻣ ﺗﻮان آﻧﺮا ﻣ ﺮراً ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘ ﯿﺮی از )‪ (١٢.٢‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ε‬‬ ‫و ﻗﺮار دادن ﺻﻔﺮ ﺑﺠﺎی ‪ ε‬اﺛﺒﺎت ﮐﺮد‪ .‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﺮدارﻫﺎی ﻣﻤﺎس ﺑﺮای ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﺧﺎص ﻣﺜﺎﻟ از ﯾ‬ ‫ﻣﯿﺪان ﺑﺮداری ﻫﻤﻮار اﺳﺖ‪ ،‬زﯾﺮا ﺑﺮدارﻫﺎی ﻣﻤﺎس ﺑﻪ ﻃﻮر ﻫﻤﻮار ﺑﺎ )‪ (x, y‬ﺗﻐﯿﯿﺮ ﭘﯿﺪا ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬ ‫درک )‪ (١.٢‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﻮﺻﯿﻔ از ﯾ ﺟﺮﯾﺎن ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ از ذرات روی ﺻﻔﺤﻪ ﻣﻔﯿﺪ اﺳﺖ‪ .‬در اﯾﻦ ﻗﯿﺎس‪،‬‬ ‫‪ ε‬زﻣﺎن و ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس در ﯾ ﻧﻘﻄﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ‪ ،‬ﺳﺮﻋﺘ از ذره در اﯾﻦ ﻧﻘﻄﻪ اﺳﺖ؛ ﻣﺪار ﻣﺴﯿﺮ ﮔﺬرﻧﺪه از ذره‬ ‫اﺳﺖ ﻧﻘﺎط ﻧﺎوردا ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ اﯾﻦ ﺟﺮﯾﺎن ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﮔﺮ ﯾ ﻣﺪار از ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ ‪ C‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺘﻘﺎﻃ در ﯾ ﻧﻘﻄﻪ ﻋﺒﻮر ﮐﻨﺪ آﻧ ﺎه ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ وﺟﻮد دارﻧﺪ‬ ‫ﮐﻪ )‪ (x, y‬را ﺑﻪ ﻧﻘﺎﻃ ﮐﻪ روی ‪ C‬ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ ﻣ ﻧ ﺎرﻧﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﯾ ﻣﻨﺤﻨ ﻧﺎورداﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ ﻫﯿ‬ ‫ﻣﺪاری از آن ﻧ ﺬرد‪) .‬واژه اﮔﺮ ﺑﺮ ﺟﺎ ﻣ ﻣﺎﻧﺪ زﯾﺮ ﻫﺮ ﻣﺪار ﻧﺎورداﺳﺖ(‪ .‬ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾ ﺮ ‪ c‬ﯾ ﻣﻨﺤﻨ‬ ‫ﻧﺎورداﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ﻣﻤﺎس ﺑﻪ ‪ C‬در ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ )‪ (x, y‬ﺑﺎ ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس ))‪ (ξ(x, y), η(x, y‬ﻣﻮازی ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ ﺷﺮط را ﻣ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻃﻮر رﯾﺎﺿ ﺑﺎ ﻣﻌﺮﻓ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺑﯿﺎن ﮐﺮد‪:‬‬ ‫‪Q(x, y, y′ ) = η(x, y) − y′ ξ(x, y).‬‬



‫) ‪(١۴.٢‬‬



‫اﮔﺮ ‪ C‬ﻣﻨﺤﻨ )‪ y = y(x‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻤﺎس ﺑﻪ ‪ C‬در ))‪ (x, y(x‬در اﻣﺘﺪاد ))‪ (1, y′ (x‬اﺳﺖ ﮐﻪ اﯾﻦ ﻣﻮازی ﺑﺎ‬ ‫))‪ (ξ(x, y), η(x, y‬اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ‪:‬‬ ‫) ‪(١۵.٢‬‬



‫روی‪c‬‬



‫‪Q(x, y, y′ ) = 0‬‬



‫اﯾﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﺎ را ﻗﺎدر ﻣ ﺳﺎزد ﮐﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردای )‪ (١.٢‬را ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﯿﻢ ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ ﻣ ﺑﯿﻨﯿﻢ‪ .‬روی‬ ‫ﻫﻤﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی )‪ (١.٢‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻫﻢ ارز اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫) ‪(١۶.٢‬‬



‫‪¯ y) = Q(x, y, w(x, y)) = η(x, y) − w(x, y)ξ(x, y).‬‬ ‫‪Q(x,‬‬



‫])‪¯ y‬‬ ‫‪ Q(x,‬را ﻣﺸﺨﺼﻪ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﻣ ﮔﻮﯾﯿﻢ[‪ .‬ﯾ‬ ‫) ‪(١٧.٢‬‬



‫‪¯ y) = 0‬‬ ‫‪Q(x,‬‬



‫ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب )‪ y = f (x‬ﻧﺎورداﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ‪:‬‬ ‫وﻗﺘ‬



‫)‪y = f (x‬‬



‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﺑﺪﯾﻬ ﻫﺴﺘﻨﺪ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ )‪¯ y‬‬ ‫‪ Q(x,‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﯾ ﺴﺎن ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﮐﻪ ﻫﺴﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(١٨.٢‬‬



‫‪η(x, y) ≡ w(x, y)ξ(x, y).‬‬



‫اﮔﺮ ‪ Q¯ y , 0‬آﻧ ﺎه ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی )‪ y = f (x‬ﮐﻪ در )‪ (١٧.٢‬ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﺪ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ‪ .‬ﻫﺮ ﭼﻨﯿﻦ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨ ﯾ ﺟﻮاب ﻧﺎوردا از )‪ (١.٢‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﻌﺪاً ﻧﺸﺎن داده ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ از )‪ (١٧.٢‬ﻣ ﺗﻮان‬ ‫ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﻫﻤﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﻏﯿﺮ ﺑﺪﯾﻬ ﻣﻔﺮوض ﻧﺎوردا ﻫﺴﺘﻨﺪ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﺮد‪ .‬ﺑﺪون‬ ‫ﻧﯿﺎز ﺑﻪ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی‪.‬‬ ‫‪ ۴.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪:‬‬ ‫) ‪(١٩.٢‬‬



‫‪dy‬‬ ‫‪=y‬‬ ‫‪dx‬‬



‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻘﯿﺎﺳ ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ دارد‪:‬‬ ‫) ‪(٢٠.٢‬‬



‫‪( xˆ, yˆ ) = (x, eε y).‬‬ ‫‪٢۵‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫‪ .١.٢‬ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ روی ﺻﻔﺤﻪ‬



‫ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس در )‪ (x, y‬ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻖ ﮔﯿﺮی )‪ (٢٠.٢‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ ε‬در ‪ ε = 0‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٢١.٢‬‬



‫‪(ξ(x, y), η(x, y)) = (0, y).‬‬



‫از )‪ ،(١٣.٢‬ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ روی ﺧﻂ ‪ y = 0‬ﺗﺤﺖ ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ )‪ (٢٠.٢‬ﻧﺎورداﺳﺖ‪ .‬روی ﺟﻮاﺑﻬﺎی‬ ‫)‪ (١٩.٢‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪:‬‬ ‫‪¯ y) = η(x, y) − yξ(x, y) = y.‬‬ ‫‪Q(x,‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ اﯾﻦ ﮔﺮوه ﻟ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻏﯿﺮ ﺑﺪﯾﻬ روی ﺟﻮاﺑﻬﺎی )‪ (١٩.٢‬ﻋﻤﻞ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬از )‪ (١٧.٢‬ﺗﻨﻬﺎ ﺟﻮاب‬ ‫ﻧﺎوردا ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از ‪ ،y = 0‬ﮐﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﻠ از ﻧﻘﺎط ﻧﺎوردا ﺳﺎﺧﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫دﯾ ﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی )‪ (١٩.٢‬در اﯾﻨﺠﺎ آورده ﺷﺪه اﺳﺖ‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪( xˆ, yˆ ) = eε x, exp{(eε − 1)x}y .‬‬ ‫) ‪(٢٢.٢‬‬ ‫ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس در )‪ (x, y‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫) ‪(٢٣.٢‬‬



‫‪(ξ(x, y), η(x, y)) = (x, xy).‬‬



‫ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ روی ﺧﻂ ‪ x = 0‬ﻧﺎورداﺳﺖ‪ .‬ﺑﻌﻼوه‪:‬‬ ‫‪¯ y) = η(x, y) − yξ(x, y) = 0,‬‬ ‫‪Q(x,‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ )‪ (٢٢.٢‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﺑﺪﯾﻬ روی ﺟﻮاﺑﻬﺎی )‪ (١٩.٢‬ﻋﻤﻞ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ ۵.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ رﯾ ﺎﺗ ‪:‬‬ ‫) ‪(٢۴.٢‬‬ ‫ﯾ‬



‫)‪(x , 0‬‬



‫‪2y 1‬‬ ‫‪− ,‬‬ ‫‪x x3‬‬



‫‪y′ = xy2 −‬‬



‫ﮔﺮوه ﻟ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻘﯿﺎﺳ ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ دارد‪:‬‬ ‫‪( xˆ, yˆ ) = (eε x, e−2ε y).‬‬



‫ﻣﯿﺪان ﺑﺮداری ﻣﻤﺎس ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫‪(ξ(x, y), η(x, y)) = (x, −2y).‬‬ ‫و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﻫﺴﺖ‪:‬‬ ‫‪¯ y) = 1 − x2 y2 .‬‬ ‫‪Q(x,‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻟﺬا ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻏﯿﺮ ﺑﺪﯾﻬ ﻫﺴﺘﻨﺪ و دو ﺟﻮاب ﻧﺎوردا ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ وﺟﻮد دارد‪:‬‬ ‫‪y = ±x−2‬‬ ‫ﺑﯿﺸﺘﺮ روﺷﻬﺎی ﺗﻘﺎرﻧ ﺑﺠﺎی ﺣﻮد ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ از ﺑﺮدارﻫﺎی ﻣﻤﺎس اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﻨﺪ ‪ ،‬اﮔﺮ ﭼﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ را‬ ‫ﻣ ﺗﻮان از ﺑﺮدارﻫﺎی ﻣﻤﺎس ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی از ﺟﻔﺖ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١٠.٢‬ﺑﺎ ﭘﯿﺮوی‬ ‫از ﺷﺮاﯾﻂ اوﻟﯿﻪ )‪ (٩.٢‬ﺑﺎزﺳﺎزی ﮐﺮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )ﺑﻄﻮر ﻣﻮﺿﻌ ( ﯾ راﺑﻄﻪ ﯾ ﺑﻪ ﯾ ﻣﯿﺎن ﻫﺮ ﮔﺮوه ﻟ‬ ‫ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی و ﻣﯿﺪان ﺑﺮداری ﻣﻤﺎﺳﺶ وﺟﻮد دارد‪.‬‬ ‫‪٢۶‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫‪ .٢.٢‬ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ‬



‫‪ ۶.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻣﯿﺪان ﺑﺮداری ﻣﻤﺎس )‪ (٢١.٢‬ﻫﻢ ﺑﻪ ﻫﻤﯿﻦ ﻃﺮﯾﻖ ﺑﺎزﺳﺎزی ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری ﮐﺮدن )‪ (٢١.٢‬ﺑﺘﻮی )‪ (١٠.٢‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫ˆ‪dy‬‬ ‫ˆ‪= y‬‬ ‫‪dx‬‬



‫ˆ‪dy‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪dx‬‬



‫ﮐﻪ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ اش ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫‪yˆ (x, y; ε) = B(x, y)e x .‬‬



‫‪xˆ(x, y; ε) = A(x, y),‬‬



‫آﻧ ﺎه ﺑﺎ ﻗﺮار دادن ‪ ε = 0‬و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺷﺮط اوﻟﯿﻪ )‪ (٩.٢‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ ﮐﻪ‪:‬‬ ‫)‪( xˆ, yˆ ) = (x, eε y‬‬ ‫ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺑﺎ )‪ (٢٠.٢‬اﺳﺖ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٢.٢‬‬



‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ‬



‫در ﺑﺨﺶ ‪ ۴.١‬ﻓﻬﻤﯿﺪﯾﻢ ﮐﻪ ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.٢‬ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾﺶ ﺷﺎﻣﻞ ﺗﺒﺪﯾﻼت‪:‬‬ ‫) ‪(٢۵.٢‬‬



‫)‪( xˆ, yˆ ) = (x, y + ε‬‬



‫ﻫﺴﺘﻨﺪ را ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎ ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﺑﺪﺳﺖ آورد‪ .‬ﻋﻤﻮﻣﺎً اﮔﺮ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﮐﻪ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﯾﻼت )ﺗﺤﺖ ﯾ ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺨﺘﺼﺎﺗ ( ﻫﻢ ارز ﻫﺴﺘﻨﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ آن ﺑﺮﺣﺴﺐ از ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺟﺪﯾﺪ ﺣﻞ ﮐﺮد‪ .‬ﭼ ﻮﻧﻪ ﻣ ﺗﻮان اﯾﻦ ﻣﺨﺘﺼﺎت را‬ ‫ﭘﯿﺪا ﮐﺮد؟‬ ‫ﻫﻤﻪی ﻣﺪارﻫﺎی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی )‪ (٢۵.٢‬ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس ﯾ ﺴﺎن در ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ ‪:‬‬ ‫) ‪(٢۶.٢‬‬



‫‪(ξ(x, y), η(x, y)) = (0.1).‬‬



‫دارﻧﺪ‪] .‬ﻣﺪارﻫﺎی )‪ (٢۵.٢‬ﺧﻄﻮﻃ از ﺛﺎﺑﺖ ‪ x‬ﻫﺴﺘﻨﺪ[ ﺑﺮای ﻫﺮ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬ ‫ﻣﻔﺮوض ﻗﺎدر ﺑﻪ ﻣﻌﺮﻓ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﺑﻮد ‪:‬‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬



‫))‪(r, s) = (r(x, y), s(x, y‬‬ ‫ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ‪:‬‬ ‫) ‪(٢٧.٢‬‬



‫)‪(ˆr, sˆ) ≡ (r( xˆ, yˆ ), s( xˆ, yˆ )) = (r, s + ε‬‬



‫اﮔﺮ اﯾﻦ اﻣ ﺎن ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ آﻧ ﺎه‪ ،‬در ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺟﺪﯾﺪ ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس در ﻧﻘﻄﻪ )‪ (r, s‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از )‪ (0, 1‬ﮐﻪ‬ ‫ﻫﺴﺖ‪:‬‬ ‫ˆ‪d s‬‬ ‫‪|ε=0 = 1‬‬ ‫‪dε‬‬



‫‪dˆr‬‬ ‫‪|ε=0 = 0‬‬ ‫‪dε‬‬



‫ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎﯾ از ﺛﺎﺑﺖ )‪ r(−1‬و ) · · ·(‪ .s‬ﺑﺮﺧ از ﺑﺮداری ﻣﻤﺎس ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪهاﻧﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺎﻋﺪه‬ ‫زﻧﺠﯿﺮهای و )‪ (١٠.٢‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٢٨.٢‬‬



‫‪ξ(x, y)s x + η(x, y)sy = 1.‬‬ ‫‪٢٧‬‬



‫‪ξ(x, y)r x + η(x, y)ry = 0,‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫‪ .٢.٢‬ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ‬



‫ﺷ ﻞ ‪ :٣.٢‬ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺑﺎ ‪ r‬ﺛﺎﺑﺖ )—( و ﺑﺎ ‪ s‬ﺛﺎﺑﺖ )‪ .(− − −‬ﭼﻨﺪ ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺑﺎﯾﺪ در ﻫﻤﺴﺎﯾ‬ ‫ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٢٩.٢‬‬ ‫اﯾﻦ ﺷﺮط ﺗﺄﻣﯿﻦ ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ اﮔﺮ ﯾ‬



‫)‪ (x, y‬ﻣﻌ ﻮس ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺷﺮط ﻧﺎﺗﺒﺎﻫﯿﺪهی زﯾﺮ را اﻋﻤﺎل‬ ‫‪r x sy − ry s x , 0,‬‬ ‫ﻣﻨﺤﻨ از ﺛﺎﺑﺖ ‪ s‬و ﯾ‬



‫ﻣﻨﺤﻨ از ﺛﺎﺑﺖ ‪ r‬در ﯾ‬



‫ﻧﻘﻄﻪ ﺗﻘﺎﻃ داﺷﺘﻪ‬



‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬آﻧﻬﺎ در ﯾ ﻧﻘﻄﻪ دﯾ ﺮ ﺑﻄﻮر ﻣﺘﻘﺎﻃ ﻋﺒﻮر ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪ ،‬ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ در ﺷ ﻞ ‪ ٣.٢‬ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﺮ ﺟﻔﺖ دﻟﺨﻮاه از ﺗﻮاﺑ )‪ r(x, y‬و )‪ s(x, y‬ﮐﻪ در )‪ (٢٨.٢‬و )‪ (٢٩.٢‬ﺻﺪق ﮐﻨﻨﺪ‪ ،‬ﯾ ﺟﻔﺖ‬



‫از ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻣ ﮔﻮﯾﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﮐﻤ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس در ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ ﻏﯿﺮ ﻧﺎوردا ﺑﺎ ﻣﻨﺤﻨ از ﺛﺎﺑﺖ ‪ r‬ﮐﻪ از آن ﻧﻘﻄﻪ ﻣ ﮔﺬرد‪،‬‬ ‫ﻣﻮازی اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻨﺤﻨ از ﺛﺎﺑﺖ ‪ r‬ﺑﻄﻮر ﻣﻮﺿﻌ ﺑﺎ ﻣﺪار ﮔﺬرﻧﺪه از آن ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻨﻄﺒﻖ ﻣ ﺷﻮد‪ :‬ﻣﺪار‬ ‫ﺗﺤﺖ ﮔﺮوه ﻟ ﻧﺎورداﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﮔﺎﻫ اوﻗﺎت ﺑﻪ ‪ r‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﯾ ﻣﺨﺘﺺ ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻧﺎوردا اﻃﻼق ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎﯾ از ﺛﺎﺑﺖ ‪ s‬ﻧﺎوردا ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ زﯾﺮا آﻧﻬﺎ از ﻣﺪارﻫﺎی ﯾ ﺑﻌﺪی ﺑﻄﻮر ﻣﺘﻘﺎﻃ ﻋﺒﻮر ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻣﻤ ﻦ‬ ‫اﺳﺖ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ در ﯾ ﻧﻘﻄﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻧﺸﻮد ﭼﻮن ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺑﺮای ‪ s‬در )‪: (٢٨.٢‬‬ ‫‪ξ(x, y) = η(x, y) = 0‬‬ ‫ﻫﯿﭙ ﺟﻮاﺑ ﻧﺪارد‪ .‬اﮔﺮ ﭼﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻫﻤﺴﺎﯾ ﻫﺎﯾ از ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪی ﻏﯿﺮ ﻧﺎوردا ﭘﯿﺪا ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﻪ‬ ‫ﻋﺒﺎرت دﯾ ﺮ ﻫﻤﯿﺸﻪ اﻣ ﺎن دارد ﻧﺮﻣﺎل ﺳﺎزی ﺑﺮدارﻫﺎی ﻣﻤﺎس )ﺑﻄﻮر ﻣﻮﺿﻌ ( اﺛﺒﺎت ﮐﻨﺪ ﮐﻪ آﻧﻬﺎ ﻏﯿﺮ‬ ‫ﺻﻔﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ )‪ (٢٨.٢‬ﯾ ﺘﺎ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ .‬در واﻗ ‪ ،‬اﮔﺮ )‪ (r, s‬در )‪ (٢٨.٢‬ﺻﺪق ﮐﻨﺪ‬ ‫آﻧ ﺎه راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺑﺮای ﺗﻮاﺑ ﻫﻤﻮار دﻟﺨﻮاه ‪ F‬و ‪ G‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪:‬‬



‫) ‪(٣٠.٢‬‬



‫‪(¯r, s¯) = (F(r), s + G(r)).‬‬



‫ﻧﺎﺗﺒﺎﻫﯿﺪﮔ ﻣﺤﺪودﯾﺖ ‪ F ′ (r) , 0‬را اﻋﻤﺎل ﻣ ﮐﻨﺪ اﻣﺎ ﻫﻨﻮزآزادی زﯾﺎدی وﺟﻮد دارد‪ .‬ﻗﺼﺪ دارﯾﻢ ﮐﻪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.٢‬را ﺑﺮﺣﺴﺐ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﺴﺘﻠﺰم ﺗﻔﺎوﺗ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ آن روﺷ ﺑﺮای اﺳﺘﻔﺎده از آزادی ﺑﺎﻻ در ﺳﺎﺧﺘﻦ ‪ r‬و ‪ s‬ﺑﺎ اﻣ ﺎن ﻣﺸﺎﺑﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﯾﺎﻓﺘﻦ‬ ‫‪٢٨‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫‪ .٢.٢‬ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ‬



‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﺑﺎ ‪ η‬ﺧﻄ در ‪ y‬و ‪ ξ‬ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ y‬ﮐﺎﻣﻼ راﯾ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای اﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ‪ .ξ(x) , 0 ،‬ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﺑﺎ ‪ r‬ﺧﻄ در ‪ y‬و ‪ s‬ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ y‬وﺟﻮد دارد‪ .‬ﻫﺮ ﺟﺎ اﻣ ﺎن دارد ﺳﻌ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ از ﯾ ﺟﻮاب‬ ‫ﻧﺎﺗﺒﺎﻫﯿﺪه ﺳﺎده از )‪ (٢٨.٢‬اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ را ﻣ ﺗﻮان از )‪ (٢٨.٢‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎ ﺑﺪﺳﺖ آورد ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺸﺨﺼﻪ‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪= ds.‬‬ ‫)‪ξ(x, y) η(x, y‬‬



‫) ‪(٣١.٢‬‬ ‫ﯾ‬



‫اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ از ﯾ‬



‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﻣﻔﺮوض‪:‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫)‪= f (x, y‬‬ ‫‪dx‬‬



‫) ‪(٣٢.٢‬‬



‫ﯾ ﺗﺎﺑ ﻏﯿﺮ ﺛﺎﺑﺖ )‪ φ(x, y‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﻘﺪارش روی ﻫﺮ ﺟﻮاب )‪ y = y(x‬از ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫)‪ (٣٢.٢‬ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪:‬‬ ‫) ‪(٣٣.٢‬‬



‫‪φy , 0.‬‬



‫‪φ x + f (x, y)φy = 0,‬‬



‫ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ از )‪ (٣٢.٢‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫) ‪(٣۴.٢‬‬



‫‪φ(x, y) = c‬‬



‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ‪ (٢٨.٢) ξ(x, y) , 0‬و )‪ (٣٣.٢‬را ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﻣ ﺑﯿﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﻣﺨﺘﺺ ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻧﺎوردای ‪r‬‬ ‫ﯾ اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ از ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫)‪dy η(x, y‬‬ ‫=‬ ‫)‪dx ξ(x, y‬‬



‫) ‪(٣۵.٢‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪ r = φ(x, y‬ﺑﺎ ﺣﻞ )‪ (٣۵.٢‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﺗﻘﺮﯾﺒﺎً ﺑﯿﺸﺘﺮ اوﻗﺎت ﯾ ﺟﻮاب )‪ s(x, y‬از )‪(٢٨.٢‬‬ ‫را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ ﯾ ﮐﻨ ﺎش ﯾﺎﻓﺖ‪ .‬در ﻏﯿﺮ اﯾﻨﺼﻮرت ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ از )‪ r(x, y‬ﺑﺮای ﻧﻮﺷﺘﻦ ‪ y‬ﺑﻌﻨﻮان ﯾ ﺗﺎﺑ از‬



‫‪ r‬و ‪ x‬اﺳﺘﻔﺎده ﮐﺮد‪ .‬ﺳﭙﺲ ﻣﺨﺘﺺ )‪ s(r, x‬از )‪(٣.٢‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ ﺑﺎ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی‪:‬‬ ‫∫(‬ ‫)‬ ‫‪dx‬‬ ‫= )‪s(r, x‬‬ ‫)‪|r=r(x,y‬‬ ‫) ‪(٣۶.٢‬‬ ‫))‪ξ(x, y(r, x‬‬ ‫اﮔﺮ ‪ r‬ﺑﻌﻨﻮان ﯾ ﺛﺎﺑﺖ ﻋﻤﻞ ﮐﻨﺪ‪،‬اﯾﻨﺠﺎ اﻧﺘ ﺮال ﺑﺎ ﻣﻌﻨ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ‪.‬‬ ‫ﺑﻄﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ اﮔﺮ ‪ ξ(x, y) = 0‬و ‪ η(x, y) , 0‬آﻧ ﺎه‪:‬‬ ‫∫(‬ ‫)‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪r = x,‬‬ ‫=‪s‬‬ ‫‪|r=0‬‬ ‫) ‪(٣٧.٢‬‬ ‫)‪η(r, y‬‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ ٧.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ زﯾﺮ را ﮐﻪ ﻣﻘﯿﺎﺳ ﻫﺴﺘﻨﺪ در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٣٨.٢‬‬



‫‪k > 0,‬‬



‫‪( xˆ, yˆ ) = (eε x, ekε y),‬‬ ‫‪٢٩‬‬



‫‪ .٢.٢‬ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬ ‫ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس‬ ‫)‪(ξ(x, y), η(x, y)) = (x, ky‬‬ ‫اﺳﺖ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ r‬ﯾ‬



‫اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ از‪:‬‬ ‫‪dy ky‬‬ ‫=‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬



‫اﺳﺖ‪ .‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ y = cxk ،‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ r = x−k y‬را اﻧﺘﺨﺎب‬ ‫ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ‪ ξ ،‬ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮ و از ‪ y‬ﻣﺴﺘﻘﻞ اﺳﺖ‪ .‬آن آﺳﺎﻧﺘﺮﯾﻦ اﻧﺘﺨﺎب ‪ s‬اﺳﺖ ﺑﺮای اﯾﻨ ﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺗﺎﺑﻌ از‬ ‫‪ x‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫)|‪(r, s) = (x−k y, ln |x‬‬



‫) ‪(٣٩.٢‬‬



‫اﯾﻦ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ را ﻧﻤ ﺗﻮان روی ﺗﻤﺎم ﺻﻔﺤﮥ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﺮد‪ s = ln(x) .‬روی ﺧﻂ ‪ x = 0‬ﺟﻮر در‬ ‫ﻧﻤ آﯾﺪ‪ .‬ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ زﯾﺮ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﺮای اﺳﺘﻔﺎده ﺣﻮل ‪ x = 0‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﺟﺰ روی ﺧﻂ ‪:y = 0‬‬ ‫)|‪(r, s) = (xk y−1 , k−1 ln |y‬‬



‫) ‪(۴٠.٢‬‬



‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ در ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎوردای )‪ (0, 0‬وﺟﻮد ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺑﺎﻻ ﯾ ﻣﺸ ﻞ ﺟﺰﺋ ﺑﺎ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ را ﻣﺸﺨﺺ ﻣ ﺳﺎزد‪ .‬آﻧﻬﺎ را در ﯾ ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎوردا‬ ‫ﻧﻤ ﺗﻮان ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﺮد وﻟﺬا ﻻزم اﺳﺖ ﮐﻪ از ﭼﻨﺪﯾﻦ ﻗﻄﻌﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎﺗ ﺑﺮای ﭘﻮﺷﺎﻧﺪن ﻫﻤﻪ ﻧﻘﺎط ﻏﯿﺮ ﻧﺎوردا‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﮐﺮد‪.‬‬ ‫‪ ٨.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬ ‫) ‪(۴١.٢‬‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﻣﻌ ﻮس ﻫﺎی‪:‬‬ ‫) ‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= ) ˆ‪( xˆ, y‬‬ ‫‪1 − εx 1 − εx‬‬ ‫(‬



‫ﻣﯿﺪان ﺑﺮداری ﻣﻤﺎس زﯾﺮ را دارد‪:‬‬ ‫) ‪(۴٢.٢‬‬



‫‪(ξ(x, y), η(x, y)) = (x2 , xy).‬‬



‫روش ﻣﺬﮐﻮر ﺑﺎﻻ ﺑﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺳﺎده زﯾﺮ ﻣﻨﺠﺮ ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪y 1‬‬ ‫‪(r, s) = , − ,‬‬ ‫‪x,0‬‬ ‫) ‪(۴٣.٢‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ روی ﺧﻂ ‪ x = 0‬ﻧﺎورداﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ را ﻧﻤ ﺗﻮان ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﺮد‪.‬‬ ‫ﻋﻤﻮﻣ ﺗﺮﯾﻦ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ‪ ،‬ﺑﺮای ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ﭼﻪ ﺗﺮﮐﯿﺐﻫﺎی زﯾﺎدی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ‪ ،‬وﻗﺘ از ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد ﻣﻨﺘﻘﻞ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ در اداﻣﻪ ﻣ آﯾﺪ ﺑﺎزﺳﺎزی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ را آﺳﺎن ﻣ ﺳﺎزد‪ .‬اﺑﺘﺪا ‪ x‬و ‪ y‬در ﺳﻄ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪y = g(r, s).‬‬



‫‪x = f (r, s),‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ از )‪:(٢٧.٢‬‬ ‫‪f (ˆr, sˆ) = f (r(x, y), s(x, y) + ε),‬‬ ‫) ‪(۴۴.٢‬‬



‫=‬



‫ˆ‪x‬‬



‫‪= g(ˆr, sˆ) = g(r(x, y), s(x, y) + ε).‬‬



‫ˆ‪y‬‬



‫‪٣٠‬‬



‫‪ .٣.٢‬ﭼ ﻮﻧ‬



‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ‪ .٢‬ﺑﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬ ‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻓﺼﻞ‬



‫‪ ٩.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس )‪ (۴٢.٢‬را در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ )‪ (۴٣.٢‬ﻣﻌ ﻮس ﺷﺪه‬ ‫ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪1 r‬‬ ‫‪(x, y) = − , − .‬‬ ‫‪s s‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪ (۴۴.٢‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬



‫)‬



‫‪( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫) ‪y‬‬ ‫‪,−‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫=‬ ‫‪s+ε s+ε‬‬ ‫‪1 − εx 1 − εx‬‬



‫(‬ ‫‪( xˆ, yˆ ) = −‬‬



‫ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ اﻧﺘﻈﺎر داﺷﺘﯿﻢ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٣.٢‬‬



‫ﭼ ﻮﻧ‬



‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ‬



‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﻮاﻧﺎﯾ اﯾﻦ را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻏﯿﺮ ﺑﺪﯾﻬ را از ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﻣﻔﺮوض )‪ (١.٢‬ﺑﯿﺎﺑﯿﻢ ﯾﺎدآوری ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻏﯿﺮ ﺑﺪﯾﻬ ﻫﺴﺘﻨﺪ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ‪:‬‬ ‫) ‪(۴۵.٢‬‬



‫)‪η(x, y) ≡ w(x, y)ξ(x, y‬‬



‫)دﻟﯿﻞ اﯾﻦ ﻣﺤﺪودﯾﺖ ﺑﻌﺪاً ﺑﺤﺚ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪(.‬‬ ‫ﺳﭙﺲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.٢‬را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ آن ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺑﺎ‬ ‫اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﮐﺎﻫﺶ داد‪ .‬در اداﻣﻪ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(۴۶.٢‬‬



‫‪s x + (x, y)sy‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫=‬ ‫‪dr r x + w(x, y)ry‬‬



‫اﮐﻨﻮن ﺳﻤﺖ راﺳﺖ )‪ (۴۶.٢‬را ﻣ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﯾ ﺗﺎﺑ از ‪ r‬و ‪ s‬ﻧﻮﺷﺖ ﯾﻌﻨ ﯾ ﺗﻐﯿﯿﺮ ﮐﻠ از ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎ‬ ‫)‪ (x, y) 7→ (r, s‬و ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﺑﺮای ﺗﻮاﺑ ‪ Ω‬ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪:‬‬ ‫) ‪(۴٧.٢‬‬



‫‪ds‬‬ ‫)‪= Ω(r, s‬‬ ‫‪dr‬‬



‫ﭼﻮن )‪ (r, s‬ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺗﺤﺖ ﮔﺮوﻫ از ﺗﺒﺪﯾﻼت در‬ ‫اﻣﺘﺪاد ‪ s‬ﻧﺎوردا ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪(ˆr, sˆ) = (r, s + ε).‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ از ‪ ،S ۴.١‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (۴٧.٢‬ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(۴٨.٢‬‬ ‫ﺣﺎل ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﻪ ﯾ‬



‫‪ds‬‬ ‫)‪= Ω(r‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﮐﺎﻫﺶ ﭘﯿﺪا ﮐﺮد‪ .‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ از )‪ (۴٨.٢‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫∫‬ ‫‪s − Ω(r)dr = c,‬‬ ‫‪٣١‬‬



‫ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ‬ ‫ﺣﻞاول‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟﻮﻧ ﻣﺮﺗﺒﻪ‬ ‫‪ .٣.٢‬ﭼ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﮐﻪ در آن ‪ c‬ﯾ‬



‫ﺛﺎﺑﺖ دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ از ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اﺻﻠ )‪:(١.٢‬‬



‫) ‪(۴٩.٢‬‬



‫‪Ω(r)dr = c‬‬



‫)‪r(x,y‬‬



‫∫‬ ‫‪s(x, y) −‬‬



‫اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ روش ﺑﺴﯿﺎر ﺳﺎده ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮای ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.٢‬ﺑﺎ ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬ ‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﻏﯿﺮ ﺑﺪﯾﻬ ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﻓﺮاﻫﻢ ﺷﻮد‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ اﺑﺘﺪا ﺑﺎﯾﺪ ﯾ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺑﺎ ﺣﻞ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (٣۵.٢‬ﻣﺸﺨﺺ ﺷﻮد‪ .‬اﺻﻄﻼﺣﺎً ﺣﻞ )‪ (٣۵.٢‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺣﻞ )‪ (١.٢‬ﺑﺴﯿﺎر‬ ‫آﺳﺎﻧﺘﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺜﺎل ﭘﺎﯾﯿﻦ ﺗﺎﺛﯿﺮ اﯾﻦ روش را در ﺑﺤﺚ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾﺸﺎن آﺷ ﺎر‬ ‫ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫‪ ١٠.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻫﻢ اﮐﻨﻮن ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ رﯾ ﺎﺗ را ﭘﯿﺪا ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(۵٠.٢‬‬



‫‪(x , 0).‬‬



‫‪2y 1‬‬ ‫‪− ,‬‬ ‫‪x x3‬‬



‫‪y′ = xy2 −‬‬



‫آن ﺗﺤﺖ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ زﯾﺮ ﻧﺎوردا اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪( xˆ, yˆ ) = (eε x, e−2ε y),‬‬ ‫اﮐﻨﻮن ﺟﻮاﺑﻬﺎی )‪ (۵٠.٢‬را ﮐﺎﻣﻞ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬از )‪ (٣٩.٢‬ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫‪(r, s) = (x2 y, ln |x|).‬‬ ‫ﺳﭙﺲ )‪ (۵٠.٢‬ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪:‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪dr r − 1‬‬ ‫ﮐﻪ ﯾ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﺳﺖ‪ .‬و )ﺑﻌﺪ از ﻧﻮﺷﺘﻦ ‪ r‬و ‪ s‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ‪ x‬و ‪ (y‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪(۵٠.٢‬‬ ‫را ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(۵١.٢‬‬



‫‪c + x2‬‬ ‫) ‪x2 (c − x2‬‬



‫=‪y‬‬



‫ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب ﻧﺎوردای ‪ y = x−2‬را ﻣ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺣﺪی از )‪(۵١.٢‬وﻗﺘ ‪ c‬ﺑﻪ ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﻣﯿﻞ ﻣ ﮐﻨﺪ‬ ‫در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ‪ .‬ﺟﻮاب ﻧﺎوردای دﯾ ﺮ ﺑﺎ ﻗﺮار دادن ‪ c = 0‬در )‪ (۵١.٢‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪ ١١.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬در ﻣﺜﺎل ‪ ١.١.٢‬داﻧﺴﺘﯿﻢ ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪:‬‬ ‫‪dy y + 1 y2‬‬ ‫=‬ ‫‪+ 3‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ دارد‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪y‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1 − εx 1 − εx‬‬ ‫‪٣٢‬‬



‫(‬



‫= ) ˆ‪( xˆ, y‬‬



‫‪ .٣.٢‬ﭼ ﻮﻧ‬



‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ‪ .٢‬ﺑﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬ ‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻓﺼﻞ‬



‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺑﺮای اﯾﻦ ﻣﻌ ﻮسﻫﺎ ﺑﺎ )‪ (۴٣.٢‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ آﻧﻬﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﺑﻪ‬ ‫ﺻﻮرت زﯾﺮ ﮐﺎﻫﺶ ﻣ دﻫﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪dr 1 + r2‬‬ ‫ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ آن ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫‪s = tan−1 (r) + c,‬‬ ‫ﮐﻪ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﯾﺮ ﻫﻢ ارز اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y = −x tan( + c).‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ١٢.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪:‬‬ ‫‪y − 4xy2 − 16x3‬‬ ‫‪y3 + 4x2 y + x‬‬



‫) ‪(۵٢.٢‬‬



‫= ‪y′‬‬



‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ دارد ﮐﻪ ﻣﯿﺪان ﺑﺮداری ﻣﻤﺎس آن ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫)‪(ξ(x, y), η(x, y)) = (−y, 4x‬‬ ‫)ﯾ روش ﺑﺮای ﻣﺸﺘﻖ ﮔﯿﺮی اﯾﻦ ﻣﯿﺪان ﺑﺮداری ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎ از ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ ،‬اﻋﻤﺎل ﺷﺮط ‪۴.٢‬‬ ‫اﺳﺖ( ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺑﺮای ‪ r‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪=− ,‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪y‬‬ ‫√‬



‫= ‪ .r‬اﮐﻨﻮن ﻧﺎﺣﯿﻪی ‪ y > 0‬را در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪ :‬در اﯾﻨﺠﺎ‬



‫و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‪4x2 + y2 :‬‬ ‫√‬ ‫‪ y(r, x) = r2 − 4x2‬و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﯾ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ دوم ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫‪x‬‬



‫‪π‬‬ ‫‪s ∈ (0, ).‬‬ ‫‪2‬‬



‫∫‬



‫‪dx‬‬ ‫√‬ ‫‪r2 − 4x2‬‬ ‫) (‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪cos−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫) (‬ ‫‪1 −1 2x‬‬ ‫‪cot‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬



‫‪−‬‬



‫=‬



‫‪s‬‬



‫=‬ ‫=‬



‫در اﯾﻦ ﻧﺎﺣﯿﻪ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (۵٢.٢‬ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﯾﺮ ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪:‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫‪= −r‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫]ﮐﺎﻫﺶ ﺑﻪ اﻧﺘ ﺮاﻟ ﯿﺮی ﻧﻮاﺣ دﯾ ﺮ از ﺻﻔﺤﻪ )‪ (x, y‬ﺑﻄﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ اﺳﺖ[ ﺑﺎ ﺑﺮﮔﺸﺖ ﺑﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی اﺻﻠ‬ ‫ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (۵٢.٢‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪:‬‬ ‫‪y cot(4x2 + y2 + c) + 2x sin(4x2 + y2 + c) = 0.‬‬ ‫‪٣٣‬‬



‫‪ .۴.٢‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﮐﻪ ﻋﻤﻞ آن روی ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎ ﺑﺪﯾﻬ اﺳﺖ ﻻزم‬



‫ﭼﺮا آن ﺑﺮای ﻣﺴﺘﺜﻨ ﮐﺮدن ﮔﺮوﻫﻬﺎی ﻟ ﯾ‬ ‫اﺳﺖ؟‬ ‫در اﺻﻞ ﻫﯿ ﻣﺸ ﻠ در ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ در روش ﻣﻌﻤﻮﻟ وﺟﻮد ﻧﺪارد‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ )‪(r, s‬‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺑﺮای ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺑﺪﯾﻬ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫)‪ (١.٢‬ﻣﻔﺮوض ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪:‬‬ ‫‪φ(r, s) = c.‬‬ ‫ﻫﺮ ﺟﻮاب ﺗﺤﺖ ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻧﺎورداﺳﺖ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪:‬‬ ‫‪φ(r, s + ε) = φ(r, s),‬‬



‫ﺑﺮای ﻫﻤﻪ ‪ ε‬ﻫﺎﯾ ﮐﻪ ﺑﻪ اﻧﺪازه ﮐﺎﻓ ﺑﻪ ﺻﻔﺮ ﻧﺰدﯾ ﻨﺪ‪ .‬از اﯾﻨﺮو ‪ φ‬ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ s‬و ‪ r‬اﺳﺖ ﺑﺪون ﺧﻠﻞ ﺑﻪ ﮐﻠﯿﺖ‪،‬‬ ‫ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﮐﺮد‪:‬‬ ‫‪r = c.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﻨﻬﺎ ﻧﯿﺎز دارﯾﻢ ﻣﺨﺘﺺ ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻧﺎوردای ‪ r‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﻢ ﮐﻪ ﯾ‬



‫اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ از ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬



‫)‪dy η(x, y‬‬ ‫=‬ ‫)‪dx ξ(x, y‬‬



‫) ‪(۵٣.٢‬‬



‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ )‪ (١.٢‬ﺑﺪﯾﻬ ﻫﺴﺘﻨﺪ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ‪:‬‬ ‫‪η(x, y) ≡ w(x, y)ξ(x, y),‬‬ ‫و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪ (۵٣.٢‬ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اﺻﻠ )‪ (١.٢‬ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﻫﺪف ﻣﺎ ﺣﻞ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اﺳﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺪﯾﻬ ﻏﯿﺮ ﻣﻔﯿﺪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪۴.٢‬‬



‫ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ‬



‫ﭼ ﻮﻧﻪ ﺗﻘﺎرن ﻫﺎی )‪ (١.٢‬را ﻣ ﺗﻮان ﯾﺎﻓﺖ؟ ﯾ‬ ‫ارز ﺑﺎ ﺷﺮط زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(۵۴.٢‬‬



‫از روﺷﻬﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن )‪ (١٠.١‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﻫﻢ‬



‫‪yˆ x + w(x, y)ˆyy‬‬ ‫) ˆ‪= ( xˆ, y‬‬ ‫‪xˆ x + w(x, y) xˆy‬‬



‫ﺑﻄﻮر ﮐﻠ اﯾﻦ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺟﺰﺋ ﻏﯿﺮ ﺧﻄ ﭘﯿﭽﯿﺪه ﺑﺎ دو ﻣﺠﻬﻮل ˆ‪ x‬و ˆ‪ y‬اﺳﺖ اﮔﺮ ﭼﻪ ﺗﻘﺎرن ﻟ‬ ‫از ﺷﺮط ﺳﺎدهﺗﺮ روی ﻣﯿﺪان ﺑﺮداری ﻣﻤﺎس ﻣ ﺗﻮان ﻣﺸﺘﻖ ﮔﺮﻓﺖ )ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﯾﺎدآوری‪ ،‬ﺑﺮدارﻫﺎی ﻣﻤﺎﺳ ﮐﻪ‬ ‫ﯾﺎﻓﺘﯿﻢ ﺗﻮﺳﻂ ﺗﻘﺎرن ﻟ ﻗﺎﺑﻞ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪاﻧﺪ(‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻌﺮﯾﻔ ﮐﻪ داﺷﺘﯿﻢ‪ :‬ﺗﻘﺎرن ﻟ )‪ (١.٢‬ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(۵۵.٢‬‬



‫) ‪x + εξ(x, y) + O(ε2‬‬



‫=‬



‫ˆ‪x‬‬



‫) ‪y + εη(x, y) + O(ε1‬‬



‫=‬



‫ˆ‪y‬‬



‫ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ‪ ξ‬و ‪ η‬ﺗﻮاﺑ ﻫﻤﻮار ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺑﺮای ﺳﺎدﮔ در ﻧﻤﺎدﮔﺬاری از ﻧﻮﺷﺘﻦ ﻣﻌﺘﺒﺮﻫﺎی ﻣﺴﺘﻘﻞ )‪ (x, y‬ﺑﺮای‬ ‫‪ ξ‬و ‪ η‬ﺻﺮﻓﻨﻈﺮ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪٣۴‬‬



‫‪ .۴.٢‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫راﺑﻄﻪ )‪ (۵۵.٢‬را در )‪ (۵۴.٢‬ﺟﺎﯾ ﺬاری ﻣ ﮐﻨﯿﻢ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(۵۶.٢‬‬



‫) ‪w(x, y) + ε{η x , w(x, y)ηy } + O(ε2‬‬ ‫‪= w(x + εξ + O(ε2 ), y + εη + O(ε2 ).‬‬ ‫) ‪1 + ε{ξ x + w(x, y)ξy } + O(ε2‬‬



‫ﺣﺎل ﻃﺮﻓﯿﻦ راﺑﻄﻪ )‪ (۵٠.٢‬را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺳﺮی ﺗﯿﻠﻮر ﺣﻮل ‪ ε = 0‬ﺑﺴﻂ ﻣ دﻫﯿﻢ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻫﺮ ﺳﺮی‬ ‫ﻫﻤ ﺮاﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪w + ε{η x + (η − ξ x )w − ξ x w2 } + o(ε2 ) = w + ε{ξw x + ηwy } + o(ε2 ),‬‬ ‫در اﯾﻦ ﺟﺎ ‪ w‬ﻣﺨﺘﺼﺮ )‪ w(x, y‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ ﺷﺮط اﻟﺰاﻣﺎً ﺑﺎﯾﺪ در ‪ ε = 0‬ﺻﺪق ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرن ﺑﺪﯾﻬ )‪ ( xˆ, yˆ ) = (x, y‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺷﺮط )‪ o(ε‬ﻫﻢ ارز ﺑﺎ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(۵٧.٢‬‬



‫‪η x + (η x − ξ x )w − ξ x w2 = ξw x + ηwy .‬‬



‫ﻣﺎﻧﻨﺪ راﺑﻄﻪ )‪ (۵۴.٢‬ﮐﻪ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ ﺑﺎ دو ﻣﺘﻐﯿﺮ واﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ‬ ‫ﺟﻮاب ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺗﺎﺑﻌ دارد‪ .‬ﺑﺎ وﺟﻮد اﯾﻦ )‪ (۵٧.٢‬ﺧﻄ و ﺳﺎده ﺗﺮ از )‪ (۵۴.٢‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺟﻮاب‬ ‫ﻫﺎی )‪ (۵٧.٢‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺣﺪس ﻋﻠﻤ ﺳﺎدهﺗﺮ از ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺟﻮاب ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ )‪ (۵۴.٢‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺗﺎﺑ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﮐﺮد‪:‬‬ ‫‪Q¯ = η − wξ,‬‬ ‫ﮐﻪ ﺑﻪ ﺷﺮح زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(۵٨.٢‬‬



‫¯‬ ‫‪Q¯ x + wQ¯y = wy Q.‬‬



‫ﻫﺮ ﺟﻮاب )‪ (۵٨.٢‬در ﺗﻌﺪاد ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﮔﺮوه ﻟ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ¯‪ Q‬در ﺷﺮط )‪ (۵٨.٢‬ﺻﺪق ﮐﻨﺪ‪ .‬آﻧ ﺎه‪:‬‬ ‫)‪(ξ, η) = (ξ.Q¯ + wξ‬‬ ‫ﺑﺮای ﻫﺮ ﺗﺎﺑ ‪ ξ‬ﯾ ﻣﯿﺪان ﺑﺮداری ﻣﻤﺎﺳ از ﮔﺮوه ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻫﻤﻪ ﺗﻘﺎرن ﻫﺎی ﺑﺪﯾﻬ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺟﻮاب ‪ Q¯ = 0‬از )‪ (۵٨.٢‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬در اﺻﻞ‪ ،‬ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﻏﯿﺮ ﺧﻄ از‬ ‫راﺑﻄﻪ )‪ (۵٨.٢‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻫﺎ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫) ‪(۵٩.٢‬‬



‫‪dx‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫¯‪d Q‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪w(x, y) wy (x, y)ξ‬‬



‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﯿﻪ )‪ (۵٩.٢‬ﻫﻢ ارز ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.٢‬اﺳﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ اوﻟﯿﻪ ﺑﺪون‬ ‫داﺷﺘﻦ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (١.٢‬ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﺪ ﺟﻮابﻫﺎی ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮ )‪ (۵٨.٢‬را ﺑﺪﻫﺪ)ﺗﻮﺟﻪ‪ :‬اﮔﺮ )‪ (ξ, η‬ﺟﻮاب‬ ‫ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮ )‪ (۵٧.٢‬ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪ (kξ, kη‬ﺑﻪ ازاء ‪ k‬ی ﺛﺎﺑﺖ ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮﺟﻮابﻫﺎی ﻣﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ(‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﻪ ﻣﺎ اﺟﺎزه ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ ‪ ε‬را ﺑﺎ ‪ k−1 ε‬ﺗﻌﻮﯾﺾ ﮐﻨﯿﻢ ﺑﺪون اﯾﻨ ﻪ ﻣﺪارﻫﺎی ﮔﺮوه ﻟ ﺗﻐﯿﯿﺮی ﮐﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﻘﺎرن ﻫﺎی ﻟ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺻﺮﻓﻨﻈﺮ از ﻣﻘﺪار ‪ k‬ﺑﻬﺒﻮد ﭘﯿﺪا ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻨﻈﻮر از اﯾﻨ ﻪ ﻣ ﺗﻮان ‪ ε‬را ﺗﻐﯿﯿﺮ داد اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ¯‪ Q‬را ﻣ ﺗﻮان در ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮی ﺑﺪون‬ ‫ﺗﺎﺛﯿﺮ ﻣﺪار ﺿﺮب ﮐﺮد‪.‬‬ ‫ﺑﺮای ﺣﻞ )‪ (٢٧.٢‬ﻧﯿﺎز ﺑﻪ اﺧﺘﺼﺎص ﺣﺪس ﻋﻠﻤ ﻣﻨﺎﺳﺐ دارﯾﻢ ﺑﺪان ﻣﻌﻨ ﮐﻪ ﯾ ﺳﺮی ﺷﺮطﻫﺎﯾ‬ ‫را روی ‪ ξ‬و ‪ η‬ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‪ .‬ﻣﺜﺎل زﯾﺮ اﯾﺪه ﮐﻠ را ﺑﯿﺎن ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪٣۵‬‬



‫‪ .۴.٢‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬ ‫‪ ١٣.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ زﯾﺮ را ﺑﺮرﺳ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪dy 1 − y2‬‬ ‫=‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪xy‬‬



‫) ‪(۶٠.٢‬‬



‫در اﯾﻦ ﺟﺎ ﺗﺎﺑ )‪ w(x, y‬ﺳﺎده اﺳﺖ ﭘﺲ اﺟﺎزه دﻫﯿﺪ از ﺣﺪ ﺳﯿﺎت ﻋﻠﻤ ﮐﻪ ﻣﺎ را ﮐﻤﺘﺮ ﻣﺤﺪود ﻣ ﮐﻨﺪ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﺴﯿﺎری از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ دارای ﻣﯿﺪاﻧﻬﺎی ﺑﺮداری ﻣﻤﺎﺳ ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬ ‫)‪η = β(x)y + γ(x‬‬



‫)‪ξ = α(x‬‬



‫ﺑﺮای ﺑﻌﻀ ﺗﻮاﺑ ‪ β ،α‬و ‪ γ‬آﯾﺎ )‪ (۶٠.٢‬ﺗﻘﺎرنﻫﺎی اﯾﻦ ﭼﻨﯿﻨ دارد؟ اﮔﺮ ﺷﺮط ﺧﻄ ﺗﻘﺎرن ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪( 2‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1−y‬‬ ‫‪y −1‬‬ ‫‪1+y‬‬ ‫) ‪β′ y + γ′ + (β − α′‬‬ ‫‪+1 = α‬‬ ‫) ‪(۶١.٢‬‬ ‫)‪− (βy + γ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪xy2‬‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﮔﺮ ﭼﻪ )‪ (۶١.٢‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ واﺣﺪ اﺳﺖ‪ ،‬ﻣ ﺗﻮان آن را ﺑﻪ ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﺑﺎﻻ ﻣﻌﯿﻦ ﻣﻌﺎدﻻت ﺑﺎ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ‬ ‫رواﺑﻂ ﮐﻪ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮﺑ از ﺗﻮانﻫﺎی ‪ y‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺗﻔ ﯿ ﮐﺮد‪ .‬راﺑﻄﮥ ‪ y−2‬ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫‪γ = 0,‬‬ ‫و راﺑﻄﮥ ‪ y−1‬ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪β − α′‬‬ ‫‪α β‬‬ ‫‪=− 2 − ,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫رواﺑﻄ ﮐﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ y‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﻣ دﻫﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪′‬‬



‫‪β=α ,‬‬ ‫و از اﯾﻦ رو‪:‬‬



‫‪α‬‬ ‫‪α′ + = 0.‬‬ ‫‪x‬‬



‫اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔ ﺣﻞ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ آن‪:‬‬ ‫‪α = c1 x−1 ,‬‬ ‫اﺳﺖ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪:‬‬ ‫‪β = −c1 x−2‬‬ ‫رواﺑﻂ ﺑﺎﻗﯿﻤﺎﻧﺪه در ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﻣﺤﺪودﯾﺖﻫﺎی ﺑﯿﺸﺘﺮی اﯾﺠﺎد ﻧﻤ ﮐﻨﺪ ﭘﺲ ﻫﺮ ﻣﯿﺪان ﺑﺮداری ﻣﻤﺎس‬ ‫ﺑﻪ ﺷ ﻞ‪:‬‬ ‫)‪(ξ, η) = (c1 x−1 , c1 x−2 y‬‬ ‫در ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺻﺎدق اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺮای ﭘﯿﺪا ﮐﺮدن ﻣﯿﺪان ﺑﺮداری ﻣﻤﺎس‪ ،‬ﻣﺎ ﺑﻪ آﺳﺎﻧ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﺪﯾﻬ ﺑﻮدن آن را ﺑﺮرﺳ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬اﮔﺮ ﻧﺒﺎﺷﺪ‬ ‫ﺷﺎﯾﺪ ﺑﺮای ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺘﻮان از آن اﺳﺘﻔﺎده ﮐﺮد‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﻠ ﻣﺸ ﻞ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺑﺎ ﺣﺪس ﻫﺎی ﻋﻠﻤ اﻓﺰاﯾﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬اﮔﺮ )‪ w(x, y‬ﭘﯿﭽﯿﺪه ﺑﺎﺷﺪ اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫از ﻣﺤﺪودﯾﺖﻫﺎی ﺣﺪس ﻫﺎی ﻋﻠﻤ ﺑﺮای اداره ﮐﺮدن ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت اﯾﺪه ﺧﻮﺑ اﺳﺖ اﮔﺮ اﯾﻦ راه ﻣﻮﻓﻘﯿﺖ آﻣﯿﺰ‬ ‫ﻧﺒﻮد‪ .‬آﻧ ﺎه ﺷﺎﯾﺪ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮی ﺑﺮای ﮔﺰﯾﻨﺶ ﻧﻬﺎﯾ ﺣﺪﺳﯿﺎت ﻋﻠﻤ ﻋﻤﻮﻣ ﻃﺒﻘﻪ ﺑﻨﺪی ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪٣۶‬‬



‫‪ .۵.٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ و روشﻫﺎی اﺳﺘﺎﻧﺪارد‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫‪ ١۴.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﺑﺮﺧ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻋﻤﻮﻣ ‪ ،‬ﺷﺎﻣﻞ اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎ ﻣﻘﯿﺎس و دو ران ﻫﺎ را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ ﺣﺪس ﻋﻠﻤ‬ ‫ﯾﺎﻓﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(۶٢.٢‬‬



‫‪ξ = c1 x + c2 y + c3‬‬



‫‪η = c4 x + c5 y + c6‬‬



‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﻠ ‪ (۶٢.٢) ،‬دارای ﻣﺤﺪودﯾﺖﻫﺎی زﯾﺎدی ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺣﺪﺳﯿﺎت ﻋﻠﻤ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه در ﻣﺜﺎل ﻗﺒﻞ‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﻮاﺑ دﻟﺨﻮاه ﻧﺪارد‪ .‬ﺧﻮاﻧﻨﺪه را ﺑﻪ ﺑﺮرﺳ )‪ (۶٢.٢‬ﻫﻨ ﺎﻣ ﮐﻪ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (۵٢.٢‬ﺻﺎدق اﺳﺖ‪ ،‬دﻋﻮت ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﻣﺸﺮوط ﺑﺮ اﯾﻦ ﮐﻪ‪:‬‬ ‫‪c1 = c3 = c5 = c6 = 0‬‬



‫‪c4 = −4c2‬‬



‫)اﺳﺘﻔﺎده از ﺳﯿﺴﺘﻢﻫﺎی ﻧﺮم اﻓﺰار ﺟﺒﺮی ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ ﺟﺎﯾﺰ اﺳﺖ اﮔﺮ ﺟﻪ ﺑﺮای اﯾﻦ ﻣﺜﺎل ﺿﺮوری ﻧﯿﺴﺖ‪(.‬‬ ‫اﻣﺮوزه ﺑﺴﺘﻪﻫﺎ ﻧﺮم اﻓﺰار ﺟﺒﺮی ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ ﻣﻌﺘﺒﺮ ﻣﻬﻤ وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ﺗﻼش ﺑﺮای ﭘﯿﺪا ﮐﺮدن و اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫ﺗﻘﺎرن ﻫﺎ را ﮐﺎﻫﺶ ﻣ دﻫﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﺑﺴﺘﻪﻫﺎی ﻧﺮم اﻓﺰار ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ ‪) Maplev‬و در‬ ‫آن ‪ (۵‬ﺑﺮﻧﺎﻣﻪای ﺑﻪ ﻧﺎم ‪ symgen‬داﺷﺘﻪ ﮐﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﻨﺪه ﺗﻼش ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺟﻮابﻫﺎی )‪ (۵٧.٢‬ﺑﺎ ﺣﺪس‬ ‫ﻋﻠﻤ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ ﺣﺎل‪ ،‬ﺑﺮای ﺑﺮﺧ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺗﻼش ﺑﺮای ﭘﯿﺪا ﮐﺮدن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻏﯿﺮ‬ ‫ﺑﺪﯾﻬ ‪ ،‬وﻟﻮ اﯾﻨ ﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﺎﻣﺤﺪودی ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑ ﺛﻤﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﮐﻪ اﯾﻦ ﻣﺎﻧ ﺑﺮای اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول )ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﺮﺗﺒﻪﻫﺎی‬



‫ﺑﺎﻻﺗﺮ ‪ PDE‬ﻫﺎ‪ ،‬اﮔﺮ ﭼﻪ ﺑﻪ روش ﺳﯿﺴﺘﻤﺎﺗﯿ ﻗﺎﺑﻞ ﭘﯿﺪا ﮐﺮدن ﻫﺴﺘﻨﺪ(‪.‬‬ ‫اﯾﻦ ﺑﺨﺶ را ﺑﺎ اﺛﺒﺎت ﺣ ﻢ از ﭘﯿﺶ آﻣﺪه ﺑﻪ ﭘﺎﯾﺎن ﻣ رﺳﺎﻧﯿﻢ ﮐﻪ ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ )‪ y = f (x‬ﮐﻪ در‪:‬‬ ‫) ‪(۶٣.٢‬‬



‫‪Q¯ = 0‬‬



‫ﻫﻨ ﺎﻣ ﮐﻪ‬



‫‪Q¯ y , 0‬‬



‫)‪y = f (x‬‬



‫ﺟﻮاب )‪ (١.٢‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﮔﺮﻓﺘﻦ از )‪ (۶٣.٢‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ x‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(۶۴.٢‬‬



‫‪Q¯ x + f ′ (x)Q¯ y = 0‬‬



‫ﻫﻨ ﺎﻣ ﮐﻪ‬



‫)‪y = f (x‬‬



‫ﺣﺎل )‪ (۵٨.٢‬و )‪ (۶۴.٢‬را ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﮐﻨﯿﺪ و )‪ (۶٣.٢‬را در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت وارد ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪f ′ (x) = w(x, f (x)),‬‬ ‫ﮐﻪ ﺑﻪ ﻧﺘﯿﺠﻪ دﻟﺨﻮاه ﺧﻮد رﺳﯿﺪﯾﻢ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪۵.٢‬‬



‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ و روشﻫﺎی اﺳﺘﺎﻧﺪارد‬



‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺑﺎ ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬وﻟﺬا ﻫﻤﻪی ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﻨﻄﺒﻖ ﺑﺎ ﯾ‬ ‫ﮔﺮوه ﺗﻘﺎرﻧ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻣﻮﻟﺪ ﮔﺮوه ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮد‪،‬‬ ‫ﺑﻪ ﯾ اﻧﺘ ﺮاﻟ ﯿﺮی ﮐﺎﻫﺶ داد ﮐﻪ روﺷﻬﺎﯾ ﺑﺮای ﻫﻤﻪ دﺳﺘﻪ ﻫﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اراﺋﻪ ﻣ ﮐﻨﺪ‪،‬‬ ‫ﮐﻪ ﺑﻌﻀ از آﻧﻬﺎ روﺷ ﻫﺎی اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﭘﻨﺪاﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪ ١۵.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬ ‫) ‪(۶۵.٢‬‬ ‫ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫‪dY‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫) (‪= F‬‬ ‫‪dX‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻘﯿﺎﺳ زﯾﺮ را ﻣ ﭘﺬﯾﺮد‪:‬‬ ‫‪ε‬‬



‫‪ε‬‬



‫‪( xˆ, yˆ ) = (e x.e y).‬‬ ‫‪٣٧‬‬



‫‪ .۵.٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ و روشﻫﺎی اﺳﺘﺎﻧﺪارد‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫روﺷ اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﺑﺮای ﺣﻞ اﯾﻦ ﻧﻮع ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﻌﺮﻓ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ﺟﺪﯾﺪ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪r= ,‬‬ ‫‪x‬‬



‫‪s = ln |x|,‬‬



‫اﯾﻨﻬﺎ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻫﺴﺘﻨﺪ )ﺑﺮای ‪.(x , 0‬دو اﺣﺘﻤﺎل وﺟﻮد دارد‪ ،‬اﮔﺮ ‪ ،F(r) = r‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﺑﺪﯾﻬ ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫و ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ r = c (۶۵.٢‬اﺳﺖ ﭘﺲ ‪.y = cx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ، ds‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪(۶۵.٢‬‬ ‫=‬ ‫‪dr‬‬ ‫در ﻏﯿﺮ اﯾﻨﺼﻮرت )‪ (۶۵.٢‬ﻣ ﺷﻮد ﻣﻌﺎدل ﺑﺎ‪F(r)−r :‬‬ ‫ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪+ c.‬‬ ‫‪F(r) − r‬‬



‫∫‬



‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬



‫= |‪ln |X‬‬



‫‪ ١۶.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪی ﺧﻄ ﻋﻤﻮﻣ ‪:‬‬ ‫)‪y′ + F(x)y = 6(x‬‬



‫) ‪(۶۶.٢‬‬



‫ﻣﻔﺮوض اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻫﻤ ﻦ ‪ u′ + F(x)u = 0‬ﺗﻔ ﯿ‬ ‫ﺻﻔﺮ ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﻫﺴﺖ‪:‬‬ ‫∫‬ ‫}‪u = u0 (x)exp{− F(x)dx‬‬



‫ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ؛ ﯾ‬



‫ﺟﻮاب ﻏﯿﺮ‬



‫اﺻﻞ اﻧﻄﺒﺎق ﺧﻄ ﺑﯿﺎن ﻣ دارد ﮐﻪ اﮔﺮ )‪ y = y(x‬ﺟﻮاﺑ از )‪ (۶۶.٢‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧ ﺎه ﺑﺮای ﻫﺮ ‪،ε ∈ R‬‬ ‫)‪ y = y(x) + εu0 (x‬ﻧﯿﺰ ﻫﺴﺖ‪ .‬اﯾﻦ اﺻﻞ ﻣﻌﺎدل آن اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑ ﻮﯾﯿﻢ )‪ (۶۶.٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ دارد‪:‬‬ ‫)‪( xˆ, yˆ ) = (x, y + εu0 (x‬‬ ‫ﻣﯿﺪان ﺑﺮداری ﻣﻤﺎﺳ ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﻫﺴﺖ‪:‬‬ ‫))‪(ε, h) = (o, u0 (x‬‬ ‫ﭘﺲ ﺑﻌﻀ از ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ‪ (r, s) = (x, u0y(x) ) ،‬ﻫﺴﺘﻨﺪ و در اﯾﻦ ﻣﺨﺘﺼﺎت )‪ (۶۶.٢‬ﻣﻌﺎدل ﺑﺎ‬ ‫)‪G(r‬‬ ‫)‪u0 (r‬‬



‫‪ ds‬اﺳﺖ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﺎ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (۶۶.٢‬ﮐﻪ ﻣﺸﻬﻮر اﺳﺖ را ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ ‪:‬‬ ‫= ‪dr‬‬ ‫‪dr = c.‬‬



‫)‪G(r‬‬ ‫)‪u0 (r‬‬



‫‪x‬‬



‫∫‬ ‫‪v‬‬ ‫)‪u0 (x‬‬



‫ﺑﻄﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ‪ ،‬ﺗﻘﺮﯾﺒﺎً ﻫﻤﻪی روﺷ ﻫﺎی اﺳﺘﺎﻧﺪاردی ﮐﻪ از ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪ ،‬ﻣﻮارد ﺧﺎﺻ از‬ ‫ﺗ ﻨﯿ ﻗﻮی ﻓﻮق ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬راه ﻣﺘﻔﺎوت دﯾ ﺮ اﺳﺘﻔﺎده از ﻓﺎﮐﺘﻮر اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﺑﺮای ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.٢‬اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(۶٧.٢‬‬ ‫ﻫﺪف ﯾﺎﻓﺘﻦ ﯾ‬



‫‪dy − wdx = 0‬‬ ‫ﺗﺎﺑ )‪ µ(x, y‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (۶٧.٢‬ﺑﺸ ﻞ اﻧﺘ ﺮال ﺧﻄ زﯾﺮ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫∫‬ ‫‪µ(dy − wdx) = c.‬‬ ‫‪٣٨‬‬



‫= )‪φ(x, y‬‬



‫‪ .۵.٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ و روشﻫﺎی اﺳﺘﺎﻧﺪارد‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ‪:‬‬ ‫‪φ x = −wµ,‬‬



‫‪φy = µ,‬‬ ‫ﮐﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﺷﺮط زﯾﺮ ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫) ‪(۶٨.٢‬‬



‫‪µ x + (wµ)y = 0,‬‬



‫در ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ )‪ (۶٨.٢‬ﺑﺎ )‪ (۵٨.٢‬در ﻣ ﯾﺎﺑﯿﻢ ﮐﻪ‬ ‫ﻫﻢ ﻣﺘﺤﺪ ﺻﻔﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ اﮔﺮ )‪ (ε, n‬ﯾ‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی )‪ (١.٢‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪:(١.٢‬‬



‫‪1‬‬ ‫¯‬ ‫)‪Q(x,y‬‬



‫= )‪ µ(x, y‬ﯾ‬



‫ﻣﯿﺪان ﺑﺮداری ﺑﺮای ﮔﺮوه ﻟ ﺗ‬



‫‪dy − wdx‬‬ ‫‪=c‬‬ ‫‪η − wξ‬‬



‫) ‪(۶٩.٢‬‬



‫ﻓﺎﮐﺘﻮر اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی اﺳﺖ و ‪Q‬‬ ‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﻏﯿﺮ ﺑﺪﯾﻬ از‬



‫∫‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫روش ﻓﺎﮐﺘﻮر اﻧﺘ ﺮاﻟ ﮐﺎﻣﻼ ﻫﻢ ارز روش ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای دﯾﺪن اﯾﻦ ادﻋﺎ‪ (۴۶.٢) ،‬و‬ ‫)‪ (۴٨.٢‬را اﯾﻨﻄﻮر ﻗﺮار ﻣ دﻫﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪s x − Ω(r)r x‬‬ ‫‪sy − Ω(r)ry‬‬



‫) ‪(٧٠.٢‬‬



‫‪w=−‬‬



‫از )‪:(٢٨.٢‬‬ ‫‪ξ{s x − Ω(r)r x } + η{sy Ω(r)ry } = 1.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪η − wξ‬‬



‫= ‪sy − Ω(r)ry‬‬



‫‪w‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪η − wξ‬‬



‫و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪ (۶٩.٢‬ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬



‫‪s x − Ω(r)r x = −‬‬



‫∫‬



‫‪{s x − Ω(r)r x }dx + {sy − Ω(r)ry }dy = c.‬‬



‫∫‬ ‫= ‪ds − Ω(r)dr‬‬



‫روش ﻓﺎﮐﺘﻮر اﻧﺘ ﺮال روش ﻣﻔﯿﺪی اﺳﺖ ﻣﺨﺼﻮﺻﺎً اﮔﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪی ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺳﺨﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫ﻣﺜﺎل زﯾﺮ‪:‬‬ ‫‪ ١٧.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪی‬



‫‪y3 +y−3x2 y‬‬ ‫‪3xy2 +x−x3‬‬



‫= ‪ y′‬ﺑﻪ راﺣﺘ ﺑﺎ ﻫﯿ روش اﺳﺘﺎﻧﺪاردی ﺣﻞ ﻧﻤ ﺷﻮد وﻟ ﺗﺤﺖ‬



‫ﮔﺮوه ﺗﻘﺎرن ﺑﺎ ﻣﯿﺪان ﺑﺮدارﻫﺎی ﻣﻤﺎس زﯾﺮ ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪(ε, η) = (y3 + y − 3x2 y, x3 − x − 3xy2 ).‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪی ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺑﺮای )‪ r(x, y‬ﻫﺴﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(٧١.٢‬‬



‫‪dy x3 − x − 3xy2‬‬ ‫=‬ ‫‪dx y3 + y − 3x2 y‬‬ ‫‪٣٩‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫‪ .۵.٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ و روشﻫﺎی اﺳﺘﺎﻧﺪارد‬



‫ﮐﻪ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﺑﻪ اﻧﺪازهی ﺣﻞ )‪ (٧١.٢‬ﻣﺸ ﻞ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﺣﺎﻻ از )‪ (۶٩.٢‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﻣ دﻫﺪ )ﺑﻌﺪ از‬ ‫ﻓﺎﮐﺘﻮرﮔﯿﺮی(‪:‬‬ ‫∫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(x − x − 3xy )dy + (y + y − 3x y)dx‬‬ ‫‪= c,‬‬ ‫) ‪(y2 + x2 )(y2 + (x + 1)2 )(y2 + (x − 1)2‬‬ ‫ﮐﻪ اﻧﺘ ﺮال آن ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬



‫‪( y ) 1‬‬ ‫) ‪( y‬‬ ‫)‪(y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ tg−1‬‬ ‫‪+ + tg−1‬‬ ‫‪− tg−1‬‬ ‫‪=c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪x‬‬



‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺎرﯾﻒ ﻣﺜﻠﺜﺎت ﻣ ﺗﻮان آﻧﺮا ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﺳﺎدهﺗﺮ ﮐﺮد‪:‬‬ ‫‪(y2 + x2 )2 + y2 − x2‬‬ ‫‪= c1 .‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫ﻣﺎ دو روش ﺣﻞ ﻣﺘﻔﺎوت ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﮐﺮدن دارﯾﻢ‪ .‬اﮔﺮ ﯾ از آﻧﻬﺎ ﺑﺎ ﻣﺸ ﻞ ﻣﻮاﺟﻪ ﺷﺪ‪ ،‬دﯾ ﺮی‬ ‫ﺷﺎﯾﺪ ﻣﻮﻓﻖ ﺷﻮد‪ .‬ﻣﺸ ﻞ اﯾﻨﺠﺎﺳﺖ ﮐﻪ اﺑﺘﺪا ﻣ ﺑﺎﯾﺴﺖ ﯾ ﮔﺮوه ﺗﻘﺎرن ﻏﯿﺮ ﺑﺪﯾﻬ ﭘﯿﺪا ﺷﻮد ﮐﻪ ﮐﺎر ﺳﺎدهای‬ ‫ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫راه دﯾ ﺮ آﻧﺴﺖ ﮐﻪ ﻫﻤﻪی ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﺑﺮای ﮔﺮوه ﻟ داده ﺷﺪه دﺳﺘﻪ ﺑﻨﺪی ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﮐﺎر ﺳﺎده اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪ (I‬ﯾ ﮔﺮوه ﺗﻘﺎرن اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ و از ﻣﻮﻟﺪ آن ﺑﺮای ﻣﺸﺨﺺ ﮐﺮدن ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ )‪ r(x, y‬و‬ ‫)‪s(x, y‬اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ (II‬از )‪ (٧٠.٢‬ﻋﻤﻮﻣ ﺗﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪی اول ﻧﺎوردا ﺗﺤﺖ اﯾﻦ ﮔﺮوه ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬ ‫)‪s x (x, y) − Ω{(r(x, y)}r x (x, y‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪sy (x, y) − Ω{(r(x, y)}ry (x, y‬‬



‫) ‪(٧٢.٢‬‬ ‫ﮐﻪ ‪ Ω‬ﯾ‬



‫‪y′ = −‬‬



‫ﺗﺎﺑ ﻫﻤﻮار دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ ‪.‬‬



‫در اﯾﻦ روش‪ ،‬ﮐﺘﺎﺑﭽﻪای از اﻧﻮاع ﻣﻌﺎدﻻت ﻣ ﺗﻮان ﺗﻬﯿﻪ ﮐﺮد‪ .‬اﯾﻦ ﮐﺘﺎﺑﭽﻪ ﺑﻪ ﭼﻨﺪ دﻟﯿﻞ ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﺪ ﮐﺎﻣﻞ‬ ‫ﺷﻮد‪ .‬ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮔﺮوﻫﻬﺎی ﺗﻘﺎرﻧ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول وﺟﻮد دارد‪ ،‬ﺑﺮای ﻫﻤﯿﻦ ﺗ ﻤﯿﻞ‬ ‫ﮐﺮدن آن ﻧﯿﺎز ﺑﻪ ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ورودی دارد‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻼوه ﺑﺮ اﺳﺎس ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ اﺳﺖ‪ .‬دﯾﺪهاﯾﻢ ﮐﻪ‬ ‫اﯾﻨ ﺎر ﻫﻤﯿﺸﻪ ﺳﺎده ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ ﺣﺎل اﮔﺮ ﺑﻌﻀ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﮐﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮﯾﻦ اﺳﺘﻔﺎده را دارﻧﺪ ﺑﺸﻨﺎﺳﯿﻢ ﮐﻤ‬ ‫ﺧﻮﺑ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ ١٨.٢‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﮔﺮوه دوراﻧﻬﺎی ﺣﻮل ﻣﺒﺪاء‪ ،‬ﻣﯿﺪان ﺑﺮدارﻫﺎی زﯾﺮ را دارد‪:‬‬ ‫)‪(ε, η) = (−y, x‬‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻣﻌﻤﻮل ﺑﺮای اﯾﻦ ﮔﺮوه ﻟ ‪ ،‬ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺧﻄ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫√(‬ ‫)) (‬ ‫‪−1 y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪(r, s‬‬ ‫‪x + y , tg‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪ ،‬از )‪ (٧٢.٢‬ﻋﻤﻮﻣ ﺗﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪی اول ﻧﺎوردا ﺗﺤﺖ ﮔﺮوه دوران‪:‬‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫‪y + xΩ x2 + y2‬‬ ‫= ‪y′‬‬ ‫√(‬ ‫‪),‬‬ ‫‪x − yΩ′ x2 + y2‬‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ Ω‬در آن ﯾ‬



‫ﺗﺎﺑ دﻟﺨﻮاه ﻫﻤﻮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪۴٠‬‬



‫‪ .۶.٢‬ﻣﻮﻟﺪ ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬



‫ﺑﺨﺶ ‪۶.٢‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫ﻣﻮﻟﺪ ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬



‫ﺗﺎ ﺑﺤﺎل ﻣﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺧﻮد را ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪی اول از ﻓﺮم )‪ (٢.١‬ﻣﻌﻄﻮف ﮐﺮدهاﯾﻢ؛‬ ‫اﯾﻦ ﻣﺎ را ﻗﺎدر ﻣ ﺳﺎزد ﺗﺎ ﺑﺤﺚ ﻫﺎی زﯾﺎدی در راﺑﻄﻪ ﺑﺎ اﯾﺪهﻫﺎی ﻫﻨﺪﺳ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﻣﺒﻨﺎی روشﻫﺎی ﺗﻘﺎرن‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻣﺎ ﺑﺎﯾﺪ اﯾﻦ اﯾﺪهﻫﺎ را ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺮاﺗﺐ ﺑﺎﻻﺗﺮ و ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت‬ ‫ﺟﺰﺋ ﺑﺴﻂ دﻫﯿﻢ ﮐﻪ ﺑﻌﺪ از اﯾﻦ دﯾ ﺮ ﻧﻤ ﺗﻮان ﻫﺮ ﭼﯿﺰ ﻣﻬﻢ را ﻓﻘﻂ ﺑﺎ ﺗﺼﻮﯾﺮی دو ﺑﻌﺪی ﻧﺸﺎن داد‪ ،‬در‬ ‫ﻋﻮض ﻣﺎ روﺷ ﮐﻮﺗﺎه اراﺋﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از آن ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ از ﻫﺮ ﻣﺮﺗﺒﻪ دﻟﺨﻮاﻫ و ﺑﺎ‬ ‫ﻫﺮ ﺗﻌﺪاد ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﯾﺎ واﺑﺴﺘﻪ ای ﻣﻮاﺟﻪ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﻓﺮض ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪی اول ﯾ ﮔﺮوه ﺗﻘﺎرن ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی دارد ﮐﻪ ﺑﺮدار‬ ‫ﻣﻤﺎﺳ آن در )‪ (ε, η) ، (x, y‬اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ﻋﻤﻠ ﺮ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺟﺰﺋ ‪:‬‬ ‫) ‪(٧٣.٢‬‬



‫‪X = ε(x, y)∂ x + η(x, y)∂y‬‬



‫ﻣﻮﻟﺪ ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ ﮔﺮوه ﻟ ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﻣﺎ ﺗﺎ ﮐﻨﻮن ﺑﺎ اﯾﻦ ﻋﻤﻠ ﺮ ﻣﻮاﺟﻪ ﺷﺪهاﯾﻢ؛ ﻣﻌﺎدﻻت )‪(٢٨.٢‬‬ ‫ﮐﻪ در ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮد را ﻣ ﺗﻮان اﯾﻦ ﻃﻮر ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﮐﺮد‪:‬‬ ‫) ‪(٧۴.٢‬‬



‫‪Xs = 1‬‬



‫‪Xr = O‬‬



‫ﻣﻮﻟﺪ ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ ﭼ ﻮﻧﻪ از ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻣﺘﺄﺛﺮ ﻣ ﺷﻮد؟ ﺑﺮای ﭘ ﺑﺮدن ﺑﻪ آن‪ ،‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ )‪،(u, v‬‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺟﺪﯾﺪ ﻫﺴﺘﻨﺪ و )‪ F(u, v‬ﺗﺎﺑﻌ ﻫﻤﻮار و دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺎﻋﺪهی زﻧﺠﯿﺮهای‪:‬‬ ‫))‪XF(u, v) = XF(u(x, y), v(x, y‬‬ ‫} ‪= ξ{u x Fu + v x Fv } + η{uy Fu + vy Fu‬‬ ‫‪= (Xu )Fu + (Xv )Fv‬‬ ‫از ﻃﺮﻓ )‪ F(u, v‬دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ و در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺟﺪﯾﺪ‪ ،‬ﻣﻮﻟﺪ ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬ ‫) ‪(٧۵.٢‬‬



‫ﻫﺴﺖ‪:‬‬



‫‪X = (Xu )∂u + (Xv )∂v‬‬



‫ﺑﺨﺼﻮص‪ ،‬اﮔﺮ )‪ ،(u, v) = (r, s‬آﻧ ﺎه )‪ (٧۴.٢‬ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٧۶.٢‬‬



‫‪X = (Xr )∂r + (X s )∂ s = ∂ s‬‬



‫در ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ‪ ،‬ﺑﺮدار ﻣﻤﺎﺳ )‪ (0, 1‬اﺳﺖ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪ ،(٧۶.٢‬ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺑﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﺎ از ﻣﻮﻟﺪ ﺑﺴﯿﺎر‬ ‫ﮐﻮﭼ اﺳﺖ‪ .‬در ﺣﻘﯿﻘﺖ ‪ X‬ﺑﯿﺎﻧ ﺮ ﻣﯿﺪان ﺑﺮدار ﻣﻤﺎﺳ در ﮐﻞ دﺳﺘ ﺎﻫﻬﺎی ﻣﺨﺘﺼﺎﺗ اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ } ‪{∂ x , ∂y‬‬ ‫را ﭘﺎﯾﻪی ﻓﻀﺎی ﻣﯿﺪاﻧﻬﺎی ﺑﺮداری روی ﺻﻔﺤﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ X ،‬ﺑﺮدار ﻣﻤﺎﺳ در )‪ (x, y‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﻮﻟﺪ ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ روش ﻣﺴﺘﻘﻞ‪-‬ﻣﺨﺘﺼﺎﺗ ﻓﺮاﻫﻢ ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﺑﺮ ﺗﻮاﺑ را‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ ﻣ دارد‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )‪ G(r, s‬ﺗﺎﺑﻌ ﻫﻤﻮار اﺳﺖ و‪:‬‬ ‫))‪F(x, y) = G(r(x, y), s(x, y‬‬ ‫ﺑﺮ ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪی ﻧﺎوردا )‪ ،(x, y‬در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ )‪ F(x, y‬را ﺑﺮ )‪F( xˆ, yˆ ) = G(ˆr, sˆ) = G(r, s + ε‬‬ ‫ﻣ ﻧ ﺎرد‪ ،‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدهی از ﻗﻀﯿﻪ ﺗﯿﻠﻮر و )‪ (٧۶.٢‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪X jG(r, s).‬‬



‫∞‬ ‫∑‬ ‫‪εj‬‬



‫!‪j‬‬



‫= )‪(r, s‬‬



‫‪j=0‬‬



‫‪۴١‬‬



‫‪α‬‬ ‫∑‬ ‫‪ε j ∂ jG‬‬



‫‪j!∂s j‬‬



‫‪j=0‬‬



‫= ) ˆ‪F( xˆ, y‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫‪ .۶.٢‬ﻣﻮﻟﺪ ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬



‫ﺣﺎﻻ دوﺑﺎره از )‪ (x, y‬ﺑﺮای ﻣﺨﺘﺼﺎت اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٧٧.٢‬‬



‫)‪X j F(x, y‬‬



‫∞‬ ‫∑‬ ‫‪εj‬‬



‫!‪j‬‬



‫= ) ˆ‪F( xˆ, y‬‬



‫‪j=0‬‬



‫اﮔﺮ ﺑﺴﻂ ﺳﻤﺖ راﺳﺖ )‪(٧٧.٢‬ﻫﻤ ﺮا ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺳﺮی ﻟ ‪ F‬ﺣﻮل )‪ (x, y‬ﺧﻮاﻧﺪه ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺗﺎ ﮐﻨﻮن ﻓﺮض‬ ‫ﮐﺮدهاﯾﻢ ﮐﻪ )‪ (x, y‬ﻧﻘﻄﻪای ﻧﺎوردا ﻧﯿﺴﺖ‪ ،‬وﻟ )‪ (٧٧.٢‬ﻫﻢ در ﻫﻤﻪی ﻧﻘﺎط ﻧﺎوردا ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪ .‬دﻟﯿﻞ اﯾﻦ‪،‬‬ ‫آﻧﺴﺖ ﮐﻪ ﺑﺮ ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪی ﻧﺎوردای ‪ X = O‬ﺳﺮی ﻟ ﻓﻘﻂ ﻋﺒﺎرت ‪ j = o‬را دارد ﮐﻪ )‪ F(x, y‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺷ ﻞ ﻣﺨﺘﺼﺮ ﺑﺮای ﺳﺮی ﻟ )‪ (٧٧.٢‬ﻫﺴﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(٧٨.٢‬‬



‫‪F( xˆ, yˆ ) = eX F(x, y),‬‬



‫اﯾﻦ ﻧ ﺘﻪ ﺑﻪ ﻓﺮم ﺳﺮی ﻟ ﺗﻮﺻﯿﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﻮﯾﮋه ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ‪ ،‬ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺷ ﻞ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﮔﺮدﻧﺪ‪:‬‬ ‫‪yˆ = eεx y,‬‬



‫) ‪(٧٩.٢‬‬



‫‪xˆ = eεx x,‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪ (٧٨.٢‬ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ ﺑﺎ ‪:‬‬ ‫)‪F(eεX x, eεX y) = eε F(x, y‬‬ ‫‪X‬‬



‫) ‪(٨٠.٢‬‬



‫ﻫﺮ ﭼﯿﺰی در اﯾﻦ ﺑﺨﺶ ﺑﺮای ﺗﻌﺪاد دﻟﺨﻮاه از ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻫﺎ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻌﻤﯿﻢ اﺳﺖ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ‪L‬ﻣﺘﻐﯿﺮ ‪z1 , · · · , zL ،‬‬ ‫را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٨١.٢‬‬



‫‪s = 1, · · · , L‬‬



‫آﻧﻮﻗﺖ ﻣﻮﻟﺪ ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬ ‫) ‪(٨٢.٢‬‬



‫) ‪zˆ s (z1 , · · · , zL ; ε) = z s + εξ s (z1 , · · · , zL ) + O(ε2‬‬



‫ﮔﺮوه ﺗ‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﻟ ﻫﺴﺖ‪:‬‬ ‫∂‬ ‫‪∂z s‬‬



‫) ‪X = ξ s (z1 , · · · , zL‬‬



‫)از ﻗﺎﻋﺪهی ﺟﻤ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه‪ :‬اﮔﺮ از ﯾ اﻧﺪﯾﺲ دوﺑﺎر اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد‪ ،‬ﻣ ﺑﺎﯾﺴﺖ ﻫﻤﻪی اﻧﺪﯾﺲﻫﺎی آن‬ ‫ﻧﺸﺎن را ﺟﻤ ﮐﺮد( ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ را ﻣ ﺗﻮان از ﺳﺮی ﻟ ﺑﺎزﺳﺎزی ﮐﺮد‪:‬‬ ‫) ‪(٨٣.٢‬‬



‫‪s = 1, · · · , L‬‬



‫‪zˆ s = eεx z s‬‬



‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﻋﻤﻮﻣ ﺗﺮ‪ ،‬اﮔﺮ ‪ F‬ﺗﺎﺑﻌ ﻫﻤﻮار ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٨۴.٢‬‬



‫) ‪F(eεx z1 , · · · , eεX zL ) = eεX F(z1 , · · · , zL‬‬



‫اﯾﻦ ﻧﺘﺎﯾ ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻔﯿﺪ ﺑﻮدن ﺧﻮد را در ﺑﺮرﺳ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺮاﺗﺐ ﺑﺎﻻﺗﺮ اﺛﺒﺎت ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬



‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮ‬ ‫ﻣ ﺗﻮان ﻓﺼﻞ اول )‪ Olver (1993‬را ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﮐﺮد ﺗﺎ ﺑﺎ ﻫﻨﺪﺳﻪی ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ و ﮔﺮوهﻫﺎی ﺗﻘﺎرن‬ ‫ﺑﯿﺸﺘﺮ آﺷﻨﺎ ﺷﺪ‪ Ibragimev (1994) .‬ﺷﺎﻣﻞ دﺳﺘﻪ ﺑﻨﺪی ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬ ‫ﻟ ﻣﻌﺮوف دارﻧﺪ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪۴٢‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫‪ .۶.٢‬ﻣﻮﻟﺪ ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬



‫ﺗﻤﺮﯾﻦﻫﺎ‬ ‫‪ ١.٢‬ﺑﺮای ﻫﺮ ﮐﺪام از ﮔﺮوهﻫﺎی ﻟ ﺗ‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی زﯾﺮ‪ ،‬ﻣﻮﻟﺪ ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬



‫را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬



‫‪( xˆ, yˆ ) = (x + ε, y + ε) (a‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫= ) ˆ‪( xˆ, y‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪(b‬‬ ‫‪1 − εy 1 − εx‬‬ ‫‪( xˆ, yˆ ) = (x, eεx y) (c‬‬ ‫ﺣﺎﻻ ﺑﺮای ﻫﺮ ﮐﺪام از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ‪ ،‬ﯾ‬ ‫‪ ٢.٢‬ﮔﺮوهﻫﺎی ﻟ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺗ‬



‫ﺟﻔﺖ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺑﺮای ﻫﺮ ﮐﺪام از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬



‫زﯾﺮ ﺑﺴﺎزﯾﺪ‪:‬‬



‫‪X = ∂ x + y∂y (a‬‬ ‫‪X = (1 + x2 )∂ x + xy∂y (b‬‬ ‫‪X = 2xy∂ x + (y2 − x2 )∂y (c‬‬ ‫‪ ٣.٢‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ )‪ ( xˆ, yˆ ) = (eε x, eαε y‬ﯾ ﺗﻘﺎرن ‪ y′ = 2yx‬ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ α‬و ‪ ε‬اﺳﺖ‪ .‬ﻫﻤﻪ ﻧﻘﺎط ﻧﺎوردا‬ ‫ﺗﺤﺖ اﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ را ﻫﻢ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪ .‬آﯾﺎ ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ α‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﺑﺪﯾﻬ اﻧﺪ؟‬ ‫‪ (۶٠.٢) ۴.٢‬را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه در ﻣﺜﺎل )‪ (١٣.٢‬ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ؟‬ ‫‪5‬‬



‫‪x‬‬ ‫‪+ 2y+x‬‬ ‫‪ ۵.٢‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ‪ X = x∂x + 3y∂y‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻟﻪی ‪3‬‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑﺮای ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬



‫‪3y‬‬ ‫‪x‬‬



‫= ‪ y′‬را ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬از‬



‫‪ ۶.٢‬ﻣﻌﺎدﻟﻪی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ y′ = e−x y2 + y + e x‬ﻣﻮﻟﺪ ﺗﻘﺎرﻧ دارد ﻃﻮرﯾ ﻪ ‪ ξ‬و ‪ η‬ﺗﻮاﺑ ﺧﻄ ای‬ ‫از ‪ x‬و ‪ y‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻮﻟﺪ را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ و از آن ﺑﺮای ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ ٧.٢‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻗﺒﻞ را ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻟﻪی‬



‫‪y+y3‬‬ ‫‪x+(x+1)y2‬‬



‫= ‪ y′‬ﺗ ﺮار ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬



‫‪ ٨.٢‬ﻋﻤﻮﻣ ﺗﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﺮﺗﺒﻪی اول ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ )‪ ( xˆ, yˆ ) = (eε x, eαε y‬دارد ﮐﺪام‬ ‫اﺳﺖ؟ )‪ α‬را ﺛﺎﺑﺖ ﻓﺮض ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ(‪.‬‬ ‫‪ ٩.٢‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ‪ Q1‬و ‪ Q2‬دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪی ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺧﻄ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪی )‪ y′ = w(x, y‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪Q¯ 1 = cQ¯ 2‬‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ c‬ﯾ ﺛﺎﺑﺖ دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ ١٠.٢‬از ﺳﺮیﻫﺎی ﻟ )‪ (٧٧.٢‬اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ )‪ (٧٩.٢‬ﺑﺮای ﻫﺮ ﮐﺪام از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ‬ ‫ﮐﻮﭼ زﯾﺮ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪X = x∂ x − y∂y (a‬‬ ‫‪X = x2 ∂ x + xy∂y (b‬‬ ‫‪X = −y∂ x + x∂y (c‬‬



‫‪۴٣‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٢‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬



‫‪۴۴‬‬



‫‪ .۶.٢‬ﻣﻮﻟﺪ ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪٣‬‬ ‫ﭼ ﻮﻧ‬



‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ‬ ‫ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫ﻮب ﮑﺎر!‬ ‫)رودﯾﺎرد ﭙ ﮓ‪ :‬ﺘﺎب ﻞ(‬



‫ﺑﺨﺶ ‪١.٣‬‬



‫ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن‬



‫ﺗﺎ ﺑﺤﺎل ﻣﺎ ﺑﺴﯿﺎری از اﯾﺪهﻫﺎی اﺳﺎﺳ در روشﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪی اول آﺷﻨﺎ‬ ‫ﺷﺪهاﯾﻢ‪ .‬اﯾﻦ اﯾﺪهﻫﺎ را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺴﻂ داد و ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺮاﺗﺐ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺑ ﺎر ﺑﺮد‪:‬‬ ‫) ‪(١.٣‬‬



‫‪dk y‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪dxk‬‬



‫= )‪y(k‬‬



‫‪y(n) = w(x, y, y′ , · · · , y(n−1) ),‬‬



‫ﻓﺮض ﺷﺪه ﮐﻪ ‪) w‬ﺑﻄﻮر ﻣﻮﺿﻌ ( ﯾ ﺗﺎﺑ ﻫﻤﻮار از ﻫﺮ ﻃﺮف اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﺎ ﺷﺮاﯾﻂ ﺗﻘﺎرن را ﺗﻮﺿﯿ ﻣ دﻫﯿﻢ و ﺑﻪ ﺑﺮرﺳ ﺑﻌﻀ از ﭘﯿﺎﻣﺪﻫﺎی آن ﻣ ﭘﺮدازﯾﻢ‪) .‬ﺑﯿﺎن ﺟﺰﺋﯿﺎت‬ ‫دﯾﻔﺌﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ ﺗﻘﺎرن ﺑﻪ ﭘﺎﯾﺎن ﻓﺼﻞ ﻣﻮﮐﻮل ﻣ ﺷﻮد(‪ .‬ﺗﻘﺎرن )‪ (١.٣‬ﯾ‬ ‫ﺟﻮابﻫﺎﯾ از ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﺑﻪ ﺧﻮدش ﻣ ﻧ ﺎرد‪.‬‬ ‫ﻫﺮ دﯾﻔﺌﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٢.٣‬‬



‫‪Γ : (x, y) 7−→ ( xˆ, yˆ ),‬‬



‫ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﻣﺴﻄ ﻫﻤﻮار را ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﻣﺴﻄ ﻫﻤﻮار ﻣ ﻧ ﺎرد‪.‬‬ ‫اﯾﻦ ﻋﻤﻞ ‪ Γ‬روی ﺻﻔﺤﻪ ﯾ ﻋﻤﻞ روی ﻣﺸﺘﻘﺎت )‪ y(k‬اﻟﻘﺎ ﻣ ﮐﻨﺪ ‪،‬ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ ﻧ ﺎﺷﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(٣.٣‬‬



‫‪Γ : (x, y, y′ , · · · , y(n) 7−→ ( xˆ, yˆ , yˆ ′ , · · · , yˆ (n) ).‬‬ ‫‪۴۵‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٣‬ﭼ ﻮﻧ‬



‫‪ .١.٣‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ‪:‬‬ ‫) ‪(۴.٣‬‬



‫ˆ‪dk y‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ˆ‪dk x‬‬



‫‪k = 1, · · · , n‬‬



‫= ‪yˆ k‬‬



‫اﯾﻦ ﻧ ﺎﺷﺖ را ‪ n‬اﻣﯿﻦ ﭘﺮوﻻﻧ ﺸﯿﻦ ‪ Γ‬ﻣ ﮔﻮﯾﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻮاﺑ )‪ yˆ (k‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺑﺎزﮔﺸﺘ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ )ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺎﻧﻮن زﻧﺠﯿﺮی( ﮐﻪ ﺑﻪ ﺷﺮح زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(۵.٣‬‬



‫)‪dyˆ (k−1) D x yˆ (k−1‬‬ ‫=‬ ‫ˆ‪d x‬‬ ‫ˆ‪D x x‬‬



‫‪yˆ (0) ≡ yˆ .‬‬



‫= )‪yˆ (k‬‬



‫در اﯾﻦ ﺟﺎ ‪ D x‬ﻣﺸﺘﻖ ﮐﺎﻣﻞ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ x‬اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪D x = ∂ x + y′ ∂y + y′′ ∂y′ + · · · .‬‬



‫) ‪(۶.٣‬‬



‫ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای )‪ (٣.١‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻪ ﺻﻮرت‪:‬‬ ‫) ‪(٧.٣‬‬



‫) )‪yˆ (n) = w( xˆ, yˆ , yˆ ′ , · · · , yˆ (n−1‬‬



‫ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ )‪ (٣.١‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‬



‫ﺟﺎﯾ ﮐﻪ ﺗﻮاﺑ )‪ yˆ (k‬ﺗﻮﺳﻂ )‪ (۵.٣‬داده ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻘﺮﯾﺒﺎ ﺑﺮای ﻫﻤﻪ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ ،‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن )‪ (٧.٣‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻏﯿﺮ ﺧﻄ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﻟ ﺑﻪ وﺳﯿﻠﻪ ﺧﻄ ﮐﺮدن )‪)(٧.٣‬ﺣﻮل ‪ (ε = 0‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪ .‬ﻫﯿﭽ ﺪام از اﯾﻦ ﺧﻄ‬ ‫ﺳﺎزی ﻫﺎ ﺑﺮای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ اﻣ ﺎن ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ و ﭘﯿﺪا ﮐﺮدن آﻧﻬﺎ ﺑﺴﯿﺎر ﻣﺸ ﻞ اﺳﺖ ﺑﻪ ﻫﺮ ﺻﻮرت‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻻ آﺳﺎن اﺳﺖ ﭘ ﺑﺮدن ﺑﻪ اﯾﻨ ﻪ آﯾﺎ ﯾ دﯾﻔﺌﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢ داده ﺷﺪه ﺗﻘﺎرن ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﺑﺨﺼﻮﺻ اﺳﺖ ﯾﺎ ﻧﻪ‪.‬‬ ‫‪ ١.٣‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﯿﻢ ﮐﻪ ﺗﺒﺪﯾﻞ‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪1 y‬‬ ‫‪( xˆ, yˆ ) = , .‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫(‬



‫) ‪(٨.٣‬‬ ‫ﯾ‬



‫ﺗﻘﺎرن از ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم اﺳﺖ‪:‬‬



‫) ‪(٩.٣‬‬



‫‪x > 0.‬‬



‫‪y′′ = 0,‬‬



‫از )‪ (۵.٣‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫)‪D x (y/x‬‬ ‫‪= y − xy′ ,‬‬ ‫)‪D x (1/x‬‬ ‫) ‪D x (y − xy′‬‬ ‫‪= x3 y′′ .‬‬ ‫)‪D x (1/x‬‬



‫=‬



‫‪yˆ ′‬‬



‫=‬



‫‪yˆ ′′‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن‪:‬‬ ‫‪yˆ ′′ = 0,‬‬



‫ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ‬



‫‪y′′ = 0‬‬



‫ﺻﺎدق اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﺗﻘﺎرن وارون ﺧﻮدش اﺳﺖ و ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ ﮔﺮوه ﮔﺴﺴﺘﻪ از ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪۴۶‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٣‬ﭼ ﻮﻧ‬ ‫‪ .١.٣‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن‬



‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪:‬‬ ‫) ‪(١٠.٣‬‬



‫‪y = c1 x + c2 .‬‬



‫ﺗﻮﺳﻂ )‪ (٨.٣‬ﺑﻪ ﺟﻮاب ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪c2‬‬ ‫‪= c1 + = c1 + c2 xˆ.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬



‫= ˆ‪y‬‬



‫از اﯾﻦ رو اﯾﻦ ﺗﻘﺎرن روی ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب ﺑﺎ ﺗﻌﻮﯾﺾ ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی اﻧﺘ ﺮال ‪ c1‬و ‪ c2‬ﻋﻤﻞ ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺑﺮای ﺗﻘﺎرن ﻟ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ روش ﻣﺸﺎﺑﻪای ﮐﻪ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﮥ‬ ‫اول اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﺮدﯾﻢ‪ ،‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﮔﯿﺮی ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﺑﺪﯾﻬ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ا ‪ ε = 0‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎط را‬ ‫ﺑﺪون ﺗﻐﯿﯿﺮ ﺑﺎﻗ ﻣ ﮔﺬارﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﺮای ‪ ε‬ﺑﻪ اﻧﺪازه ﮐﺎﻓ ﻧﺰدﯾ ﺑﻪ ﺻﻔﺮ ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﻟ اﻣﺘﺪاد ﯾﺎﻓﺘﻪ ﺑﻪ ﻓﺮم زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪x + εξ + O(ε2 ),‬‬ ‫‪y + εη + O(ε2 ),‬‬ ‫‪y(k) + εη(k) + O(ε2 ),‬‬



‫) ‪(١١.٣‬‬ ‫‪k ≥ 1.‬‬



‫=‬ ‫=‬ ‫=‬



‫ˆ‪x‬‬ ‫ˆ‪y‬‬ ‫)‪(k‬‬



‫ˆ‪y‬‬



‫ﺗﺬﮐﺮ‪ :‬اﻧﺪﯾﺲ ﺑﺎﻻی )‪ η(k‬ﺑﻪ ﻣﻌﻨ ﻣﺸﺘﻖ ‪ η‬ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﺎ )‪ (١١.٣‬را در ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن )‪ (٧.٣‬ﻗﺮار ﻣ دﻫﯿﻢ؛ ﻋﺒﺎرات )‪ O(ε‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ زﯾﺮ را ﻣ دﻫﻨﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(١٢.٣‬‬



‫)‪η(n) = ξw x + ηw x + η(1) w′y + · · · + η(n−1) w(n−1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪y‬‬



‫ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ )‪ (١.٣‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻮاﺑ )‪ η(k‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﺑﺎزﮔﺸﺘ از )‪ (۵.٣‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ ﺑﻪ ﺷﺮح زﯾﺮ ﺑﺮای‬ ‫‪ k = 1‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﺮدهاﯾﻢ‪:‬‬



‫) ‪(١٣.٣‬‬



‫) ‪D x yˆ y′ + εD x η + O(ε2‬‬ ‫=‬ ‫) ‪D x xˆ 1 + εD x ξ + O(ε2‬‬



‫=‬



‫‪y′ + ε(D x η − y′ D x ξ) + O(ε2 ).‬‬



‫=‬



‫)‪yˆ (1‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ از )‪ (١.٣‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪η(1) = D x η − y′ D x ξ.‬‬



‫) ‪(١۴.٣‬‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ‪:‬‬ ‫‪,‬‬



‫) ‪η(k−1) + O(ε2‬‬



‫‪x‬‬



‫‪y(k) + εD‬‬



‫) ‪1 + εD x ξ + O(ε2‬‬



‫= )‪yˆ (k‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪:‬‬ ‫) ‪(١۵.٣‬‬



‫‪η(k) (x, y, y′ , · · · , y(k) ) = D x η(k−1) − y(k) D x ξ.‬‬



‫ﺗﻮاﺑ ‪ ξ‬و ‪ η‬و )‪ η(k‬را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺮﺣﺴﺐ ﻣﺸﺨﺼﻪ ‪ Q = η − y′ ξ‬ﻧﻮﺷﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺷﺮح زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪−Qy′ ,‬‬ ‫‪Q − y′ Qy′ ,‬‬



‫) ‪(١۶.٣‬‬ ‫‪(k ≥ 1).‬‬



‫‪Dkx Q − y(k+1) Qy′ ,‬‬ ‫‪۴٧‬‬



‫= ‪ξ‬‬ ‫= ‪η‬‬ ‫=‬



‫‪η‬‬



‫)‪(k‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٣‬ﭼ ﻮﻧ‬



‫ﻣﻌﻤﻮﻟﻫﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺗﻘﺎرن‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺒﯿﻦ ﺑﺮای‬ ‫ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ‪.٢.٣‬‬



‫]ﻧﺘﯿﺠﻪ ﮔﯿﺮی )‪ (١۶.٣‬را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺑﻪ ﺧﻮاﻧﻨﺪه واﮔﺬاری ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪[.‬‬ ‫اﯾﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑﺮای اﻫﺪاف ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗ ﻣﻨﺎﺳﺐ اﺳﺖ و ﺑﻪ ﺳﺮﻋﺖ ﺑﻪ ﺗﻘﺎرنﻫﺎ ﺑﺠﺰ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﺗﻌﻤﯿﻢ‬ ‫ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪) .‬رﺟﻮع ﺑﻪ ﻓﺼﻞ ‪.(٧‬‬ ‫ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﺳﻤﺖ راﺳﺖ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪Xε ،(١٢.٣‬‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ X‬ﻣﻮﻟﺪ ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫ˆ‪d xˆ dy‬‬ ‫= )‪(ξ, η‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪|ε=0 .‬‬ ‫‪dε dε‬‬ ‫ﺑﺮای ﻣﻮاﺟﻪ ﺷﺪن ﺑﺎ ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﻟ روی ﻣﺸﺘﻘﺎت از ﻣﺮﺗﺒﮥ ‪ n‬ام ﯾﺎ ﮐﻤﺘﺮ ﺑﻪ ﻣﻌﺮﻓ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ‬ ‫ﮐﻮﭼ ﭘﺮوﻻﻧ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﻣ ﭘﺮدازﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(١٧.٣‬‬



‫‪X (n) = ξ∂ x + η∂y + η(1) ∂y′ + · · · + η(n) ∂y(n) .‬‬



‫ﺿﺮﯾﺐ )‪ ∂y(k‬در ﺑﺴﻂ )‪ ،ˆy(k‬ﻋﺒﺎرت )‪ O(ε‬اﺳﺖ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪ X (n‬ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس در ﻓﻀﺎی ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی‬ ‫) )‪ (x, y, y′ , · · · , y(n‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﺎ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ ﭘﺮوﻻﻧ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﺑﺮای ﻧﻮﺷﺘﻦ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ )‪ (١٢.٣‬در‬ ‫ﻓﺮم ﻓﺸﺮده زﯾﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪X (n) y(n) − w(x, y, y′ , · · · , y(n−1) = 0‬‬ ‫) ‪ (١٨.٣‬ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ در ﺷﺮط )‪ (١.٣‬ﺻﺪق ﮐﻨﺪ‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٢.٣‬‬



‫ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺒﯿﻦ ﺑﺮای ﺗﻘﺎرن ﻫﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ‬



‫ﻫﻤﻪ ﺗﻘﺎرنﻫﺎﯾ ﮐﻪ ﺗﺎ ﮐﻨﻮن دﯾﺪﯾﻢ ﻓﺮم دﯾﻔﺌﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(١٩.٣‬‬



‫‪( xˆ, yˆ ) = ( xˆ(x, y), yˆ (x, y)).‬‬



‫اﯾﻦ ﻧﻮع از دﯾﻔﺌﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢﻫﺎ را ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻧﻘﻄﻪای ﮔﻮﯾﻨﺪ ﻫﺮ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻧﻘﻄﻪای ﮐﻪ ﺗﻘﺎرن ﻫﻢ ﻫﺴﺖ را ﺗﻘﺎرن‬ ‫ﻧﻘﻄﻪای ﻣ ﮔﻮﯾﻨﺪ از اﯾﻦ ﺑﻪ ﺑﻌﺪ ﻣﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺧﻮد را ﺑﻪ ﺗﻘﺎرن ﻫﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻣﻌﻄﻮف ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎﯾ دﯾ ﺮ‬ ‫ﺗﻘﺎرن ﻫﺎ را در ﻓﺼﻞ ‪ ٧‬ﺑﺮرﺳ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﻘﺎرن ﻫﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ از ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.٣‬ﻫﺎ اﺑﺘﺪا ﺑﻪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ )‪،η(k‬‬ ‫‪ k = 1, · · · , n‬ﻣ ﭘﺮدازﯾﻢ‪ .‬ﺗﻮاﺑ ‪ ξ‬و ‪ η‬واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ‪ x‬و ‪ y‬و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪ (١۴.٣‬و )‪ (١۵.٣‬ﻧﺘﺎﯾ زﯾﺮ را ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫‪η x + (ηy − ξ x )y′ − ξy y′2 ,‬‬



‫) ‪(٢٠.٣‬‬ ‫‪′3‬‬



‫) ‪(٢١.٣‬‬ ‫‪′3‬‬



‫‪′‬‬



‫‪′2‬‬



‫=‬



‫‪η xx + (2η xy − ξ xx )y + (ηyy − 2ξ xy )y − ξyy y‬‬ ‫‪+{ηy − 2ξ x − 3ξy y′ }y′′ ,‬‬



‫=‬



‫‪′‬‬



‫=‬



‫‪′2‬‬



‫‪η xxx + (3η xxy − ξ xxx )y + 3(η xxy − ξ xxy )y + (ηyyy − 3ξ xyy )y‬‬



‫)‪η(1‬‬ ‫‪η‬‬



‫)‪(2‬‬



‫‪η‬‬



‫)‪(3‬‬



‫‪−ξyyy y′4 + 3{η xy − ξ xx + (ηyy − 3ξ xy )y′‬‬ ‫) ‪(٢٢.٣‬‬



‫‪−2ξyy y′2 }y′′ − 3ξy y′′2 + {η x − 3ξ x − 4ξy y′ }y′′′ .‬‬



‫ﺗﻌﺪاد ﻋﺒﺎرات )‪ η(k‬ﺑﻄﻮر ﻧﻤﺎﯾ ﺑﺎ ‪ k‬اﻓﺰاﯾﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻧﺮماﻓﺰار ﺟﺒﺮی ﮐﺎﻣﭙﭙﻮﺗﺮ ﺑﺮای ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮاﺗﺒﻪ ﺑﺎﻻ ﭘﯿﺸﻨﻬﺎد ﻣ ﮔﺮدد‪ .‬اﮔﺮ ﭼﻪ روش ﭘﺎﯾﻪ ای ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﻘﺎرنﻫﺎی‬ ‫ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ‪ ،‬ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﭘﺎﯾﯿﻦ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪۴٨‬‬



‫ﻧﻘﻄﻪای ﻟﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن‬ ‫ﺗﻘﺎرن ﻫﺎی‬ ‫ﺑﺮای ﻮﻧ‬ ‫‪ .٣‬ﭼ‬ ‫ﻓﺼﻞﻣﺒﯿﻦ‬ ‫‪ .٢.٣‬ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﻗﺒﻞ از اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺮم اﻓﺰار ﺟﺒﺮی ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ اﺑﺘﺪا ﺑﺎﯾﺴﺘ ﺑﻪ اﯾﻦ روش ﻣﺴﻠﻂ ﺷﺪ و ﻧﯿﺎز ﺑﻪ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺎ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم ﺑﻪ ﺷ ﻞ‪:‬‬ ‫‪y′′ = w(x, y, y′ ),‬‬



‫) ‪(٢٣.٣‬‬ ‫را در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪.‬‬



‫ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ را ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺰﯾﻦ ﮐﺮدن راﺑﻄﻪ )‪ (٢٠.٣‬و )‪ (٢١.٣‬در راﺑﻄﮥ )‪ (١٢.٣‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‬ ‫و ‪ y′′‬را ﺑﺎ ) ‪ w(x, y, y′‬ﺗﻌﻮﯾﺾ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﮐﻪ ﺑﻪ ﻣﺎ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ را ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫= ‪ηwy + (2η xy + ξ xx )y′ + (ηyy + 2ξ xy )y′2 − ξyy y′3 + {ηy − 2ξ x − 3ξy y′ }w‬‬ ‫‪ξw x + ηy + {η x + (ηy − ξ x )y′ − ξy y′2 }w′y .‬‬



‫) ‪(٢۴.٣‬‬



‫=‬



‫اﮔﺮ ﭼﻪ )‪ (٢۴.٣‬ﻇﺎﻫﺮی ﭘﯿﭽﯿﺪه دارد ﺑﺮاﺣﺘ ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ اﺳﺖ اﻣﺎ ﻫﺮ دو ‪ ξ‬و ‪ η‬ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ y′‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫)‪ (٢۴.٣‬ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺠﺰﯾﻪ ﺑﻪ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ ﻫﺎ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻻت ﺑﺮای ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ﻫﺎی زﯾﺮ راه ﮐﺎر را ﺑﻪ ﻣﺎ ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ‪.‬‬ ‫‪ ٢.٣‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﺳﺎدهﺗﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم را ﺑﺮرﺳ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪y′′ = 0‬‬



‫) ‪(٢۵.٣‬‬



‫ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺑﺮای اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻪ ﺷﺮح زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪η(2) = 0,‬‬



‫ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ‬



‫‪y′′ = 0‬‬



‫ﮐﻪ‪:‬‬ ‫‪η xx + (2η xy − ξ xx )y′ + (ηyy − 2ξ xy )y′2 − ξyy y′3 = 0,‬‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ‪ ξ‬و ‪ η‬ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ y′‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺑﻪ دﺳﺘ ﺎه ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺒﯿﻦ زﯾﺮ ﺗﻔ ﯿ‬ ‫) ‪(٢۶.٣‬‬



‫‪2η xy − ξ xx = 0,‬‬



‫‪η xx = 0,‬‬



‫‪ηyy − 2ξ xy = 0.‬‬



‫‪ξyy = 0,‬‬



‫ﺑﺮای ﺗﻮاﺑ دﻟﺨﻮاه ‪ A‬و ‪ B‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ازﻗﺴﻤﺖ آﺧﺮ )‪ (٢۶.٣‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪ξ(x, y) = A(x)y + B(x).‬‬ ‫ﺳﻮﻣﯿﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ (٢۶.٣‬راﺑﻄﻪ زﯾﺮ را ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫‪η(x, y) = A′ (x)y2 + C(x)y + D(x).‬‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ‪ C‬و ‪ D‬ﺗﻮاﺑ دﻟﺨﻮاه ﻫﺴﺘﻨﺪﻣﻌﺎدﻻت ﺑﺎﻗ ﻣﺎﻧﺪه )‪:(٢۶.٣‬‬ ‫) ‪(٢٧.٣‬‬



‫‪0,‬‬



‫= )‪A′′′ (x)y2 + C ′′ (x)y + D′′ (x‬‬



‫‪0.‬‬



‫= )‪3A′′ (x)y + 2C ′ (x) − B′′ (x‬‬ ‫‪۴٩‬‬



‫ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٣‬ﭼ ﻮﻧ‬



‫ﻣﻌﻤﻮﻟﻫﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺗﻘﺎرن‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺒﯿﻦ ﺑﺮای‬ ‫ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ‪.٢.٣‬‬



‫ﺑﺎ ﯾ ﺴﺎن ﺳﺎزی ﺗﻮاﻧﻬﺎی ‪ y‬در )‪ (٢٧.٣‬در دﺳﺘ ﺎه ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺮای ﺗﻮاﺑ ﻣﺠﻬﻮل‬ ‫‪ A, B,C, D‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪B′′ (x) = 2C ′ (x).‬‬



‫‪D′′ (x) = 0,‬‬



‫‪C ′′ (x) = 0,‬‬



‫‪A′′ (x) = 0,‬‬



‫اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺮاﺣﺘ ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ ﺑﻪ ﻧﺘﺎﯾ زﯾﺮ ﻣﻨﺠﺮ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻫﺮ ﮔﺮوه‬ ‫ﻟ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرنﻫﺎ از )‪ (٢۵.٣‬ﺗﻮاﺑ ‪ ξ‬و ‪ η‬ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪c1 + c3 x + c5 y + c7 x2 + c8 xy,‬‬ ‫‪c2 + c4 y + c6 x + c7 xy + c8 y2 ,‬‬



‫= )‪ξ(x, y‬‬ ‫= )‪η(x, y‬‬



‫ﮐﻪ )ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻌﻤﻮل( ‪ c1 , · · · , c8‬ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺛﺎﺑﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻋﻤﻮﻣ ﺗﺮﯾﻦ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬ ‫‪ci Xi ,‬‬



‫‪8‬‬ ‫∑‬



‫=‪X‬‬



‫‪i=1‬‬



‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﮐﻪ‬ ‫) ‪(٢٨.٣‬‬



‫‪X4 = y∂y ,‬‬



‫‪X3 = x∂ x ,‬‬



‫‪X2 = ∂y ,‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫‪X8 = xy∂x + y2 ∂y.‬‬



‫‪X7 = x ∂ x + xy∂y ,‬‬



‫‪X6 = x∂y ,‬‬



‫‪X5 = y∂ x ,‬‬



‫‪2‬‬



‫‪ ٣.٣‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ زﯾﺮ‪:‬‬ ‫‪y′2‬‬ ‫‪− y2 .‬‬ ‫‪y‬‬



‫) ‪(٢٩.٣‬‬



‫= ‪y′′‬‬



‫از ﻣﻄﺎﻟﻌﺎت ﻣﯿ ﺮو ارﮔﺎﻧﯿﺴﻢ ﺷﻨﺎ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ‪:‬‬



‫) ‪(٣٠.٣‬‬



‫‪η xx + (2η xy − ξ xx )y′ + (ηyy − 2ξ xy )y′2‬‬ ‫‪( ′2‬‬ ‫)‬ ‫‪′3‬‬ ‫‪′ y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫} ‪−ξyy y + {ηy − 2ξ x − 3ξy y‬‬ ‫= ‪−y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪( ′2‬‬ ‫)‬ ‫)‪( ′‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫} ‪= η − 2 − 2y + {η x − (ηy − ξ x )y′ − ξy y′2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬



‫ﺑﺎ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﺗﻮاﻧﻬﺎی ‪ ،y′‬ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺒﯿﻦ را ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪= 0,‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪ξyy + ξ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ηyy − 2ξ xy − ηy + 2 η‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2η xy − ξ xx + 3y2 ξy − η x‬‬ ‫‪y‬‬



‫‪= 0.‬‬



‫‪η xx − y2 (ηy − 2ξ x ) + 2yη‬‬



‫‪= 0,‬‬ ‫) ‪(٣١.٣‬‬



‫‪= 0,‬‬



‫‪۵٠‬‬



‫‪:‬‬



‫ﻧﻘﻄﻪای ﻟﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن‬ ‫ﺗﻘﺎرن ﻫﺎی‬ ‫ﺑﺮای ﻮﻧ‬ ‫‪ .٣‬ﭼ‬ ‫ﻓﺼﻞﻣﺒﯿﻦ‬ ‫‪ .٢.٣‬ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺑﺎ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی از ﻣﻌﺎدﻟﻪ اول )‪ (٣١.٣‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٣٢.٣‬‬



‫)‪ξ = A(x) ln |y| + B(x‬‬



‫ﭘﺲ از آن از دوﻣﯿﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ (٣١.٣‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪η = A′ (x)y(ln |y|)2 + C(x)y ln |y| + D(x)y‬‬



‫) ‪(٣٣.٣‬‬



‫در اﯾﻦ ﺟﺎ ‪ D, A, B,C‬ﺗﻮاﺑ ﻣﺠﻬﻮل ﻫﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﺑﺎﻗ ﻣﻌﺎدﻻت )‪ (٣١.٣‬ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬راﺑﻄﻪ‬ ‫)‪ (٣٢.٣‬و )‪ (٣٣.٣‬را در ﺳﻮﻣﯿﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺒﯿﻦ )‪ (٣١.٣‬ﻗﺮار ﻣ دﻫﯿﻢ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪:‬‬ ‫‪3A′′ (x) ln |y| + 3A(x)y + 2C ′ (x) = B′′ (x) = 0‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪:‬‬ ‫‪B′′ (x) − 2C ′ (x).‬‬



‫) ‪(٣۴.٣‬‬



‫‪A(x) = 0,‬‬



‫اﮐﻨﻮن )‪ (٣٢.٣‬و )‪ (٣٣.٣‬را در آﺧﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ از ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺒﯿﻦ )‪ (٣١.٣‬ﻗﺮار ﻣ دﻫﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﺗﺼﻮر ﮐﻨﯿﺪ ‪ A = 0‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﮐﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﻣ ﺷﻮد ﺑﻪ‪:‬‬ ‫‪C(x)y2 ln |y| + C ′′ (x)y ln |y| + (2B′ (x) − C(x) + D(x))y2 + D′′ (x)y = 0,‬‬ ‫ﮐﻪ ﺑﻪ دﺳﺘ ﺎه زﯾﺮ ﺗﻔ ﯿ‬



‫ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪C(x) = 0, D(x) = −2B′ (x), D′′ (x) = 0‬‬



‫ﺑﺎ وارد ﮐﺮدن )‪ (٣۴.٣‬در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‪:‬‬ ‫‪B(x) = c1 + c2 x, D(x) = −c2‬‬ ‫ﮐﻪ ‪ c1‬و ‪ c2‬ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی دﻟﺨﻮاه ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬از اﯾﻦ رو ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(٣۵.٣‬‬ ‫ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬



‫‪ξ = c1 + c2 x,‬‬



‫‪η = −2c2 y‬‬ ‫ﺑﻪ ﺷ ﻞ‪:‬‬



‫‪X = c1 X1 + c2 X2‬‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ‪:‬‬ ‫) ‪(٣۶.٣‬‬



‫‪X2 = x∂x − 2y∂y‬‬



‫‪X1 = ∂x,‬‬



‫‪ L‬را ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﻤﮥ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n ≥ 2‬در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ در ‪ ξ‬و ‪ η‬ﺧﻄ اﺳﺖ و از اﯾﻦ رو‪:‬‬ ‫‪∀c1 , c2 ∈ R‬‬



‫‪X1 , X2 ∈ L ⇒ c1 X1 + c2 X2 ∈ L‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ L‬ﯾ ﻓﻀﺎی ﺑﺮداری اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻌﺪ ‪ R‬از اﯾﻦ ﻓﻀﺎی ﺑﺮداری ﺗﻌﺪاد ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ ﮐﻪ در‬ ‫ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﭘﺪﯾﺪار ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪۵١‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٣‬ﭼ ﻮﻧ‬



‫ﻣﻌﻤﻮﻟﻫﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺗﻘﺎرن‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺒﯿﻦ ﺑﺮای‬ ‫ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ‪.٢.٣‬‬



‫ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ در ﻣﺜﺎل ﺑﺎﻻ ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪ ﻫﺮ ‪ X ∈ L‬را ﻣ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ ﻧﻮﺷﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(٣٧.٣‬‬



‫‪ci ∈ R‬‬



‫‪c i Xi‬‬



‫‪R‬‬ ‫∑‬ ‫‪i=1‬‬



‫ﮐﻪ } ‪ {X1 , · · · , XR‬ﯾ ﭘﺎﯾﻪ ﺑﺮای ‪ L‬اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﺗﻮﺳﻂ ﻫﻤﮥ ‪ X ∈ L‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‬ ‫ﮐﻪ ﺑﻪ ﺗﺸ ﯿﻞ ﮔﺮوه ﻟ )ﻣﻮﺿﻌ ( ‪ −R‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﻣ دﻫﻨﺪ‪.‬‬ ‫آنﻫﺎ را ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ L‬ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم ‪ ، R‬ﺻﻔﺮ‪،‬‬ ‫ﯾ ‪ ،‬دو ‪،‬ﺳﻪ و ﯾﺎ ﻫﺸﺖ اﺳﺖ‪ R .‬ﻫﺸﺖ اﺳﺖ اﮔﺮ وﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺧﻄ ﺑﺎﺷﺪ ﯾﺎ‬ ‫ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻧﻘﻄﻪ ای ﺧﻄ ﺷﺪﻧ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ R < n + 4 ،n ≥ 3‬دارد‪.‬‬ ‫اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺧﻄ ﺑﺎﺷﺪ )ﯾﺎ ﻗﺎﺑﻞ ﺧﻄ ﺷﺪن( ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه }‪R ∈ {n + 1, n + 2, n + 4‬‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﺎ اﯾﻦ ﻧﺘﺎﯾ را ﺛﺎﺑﺖ ﻧﻤ ﮐﻨﯿﻢ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﻢ اﻣﺎ آﻧﻬﺎ ﺗﺴﺖ ﻣﻬﻤ را ﺑﺮای ﻣﺎ ﻓﺮاﻫﻢ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﺟﻮاب‬ ‫ﻋﻤﻮﻣ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه از ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﻣﺎ را ﻧﻘﺾ ﮐﻨﺪ ﺑﺎ ﺧﻄﺎﯾ ﻣﻮاﺟﻪ ﻣ ﺷﻮﯾﻢ‪ .‬ﺑﺮای ﺑﯿﺸﺘﺮ ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم ﮐﻪ ﮐﺎرﺑﺮدی ﻫﺴﺘﻨﺪ ‪ w‬ﮐﺜﯿﺮ ﺟﻤﻠﻪای در ‪ y′‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔ ﻣ ﺗﻮان ﺷﺮاﯾﻂ‬ ‫ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ را ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺒﯿﻦ ﺗﻔ ﯿ ﮐﺮد‪ .‬اﯾﻦ ﮐﺎر ﺑﺎ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻫﻤﮥ رواﺑﻂ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻣﻀﺮب‬ ‫ﺗﻮاﻧﻬﺎی ﺧﺎص ‪ y′‬ﻫﺴﺘﻨﺪ اﻣ ﺎن ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای ﮐﻠﯿﻪ ‪ w‬ﻫﺎ‪ ،‬ﺗﻔ ﯿ آﻧﻬﺎ ﺑﺎ ﺟﻤ ﮐﺮدن ﺗﻤﺎﻣ رواﺑﻂ ﮐﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ y′‬ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﯿﺎﺑ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫روش ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮاﺗﺐ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﻫﻢ ﺑﻪ ﮐﺎر ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﻣﻌﻤﻮﻻ‪ ،‬ﺑﻬﺘﺮﯾﻦ ﮐﺎر ﺗﻨﻬﺎ؛‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ آن ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺒﯿﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺎﻻﺗﺮﯾﻦ ﻣﻀﺮﺑ از ﺗﻮاﻧﻬﺎی )‪ y(n−1‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﮐﻪ اﯾﻦ ﺑﻌﻀ اﻃﻼﻋﺎت‬ ‫راﺟ ﺑﻪ ‪ ξ‬و ‪ η‬را ﺑﻪ ﻣﺎ ﻣ دﻫﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﻧ ﺎه ﮐﺮدن ﺑﻪ ﺑﺎﻻﺗﺮﯾﻦ ﺗﻮان )‪ y(n−1‬ﺑﻪ ﯾﺎﻓﺘﻪﻫﺎی ﺑﯿﺸﺘﺮی دﺳﺖ ﭘﯿﺪا‬ ‫ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل زﯾﺮ روش را ﺑﻪ ﻣﺎ ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ‪.‬‬ ‫‪ ۴.٣‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ زﯾﺮ در ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺷﺎرﻫﺎ در ﻻﯾﻪ ﻧﺎزک ﺑﺎ ﻣﺮزﻫﺎی آزاد رخ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫‪y′′′ = y−3‬‬



‫) ‪(٣٨.٣‬‬



‫ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺑﺮای اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(٣٩.٣‬‬



‫ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ )‪ (٣٨.٣‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‬



‫‪η(3) = −3y−4 η‬‬



‫از )‪ (٢٢.٣‬ﻣ ﺑﯿﻨﯿﻢ )‪ (٣٩.٣‬در ‪ y′′‬درﺟﻪ دوم اﺳﺖ‪ .‬رواﺑﻂ ﺷﺎﻣﻞ ‪ y′′2‬را ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫‪−3ξy = 0‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﺮای ﺗﻌﯿﯿﻦ ﺗﻮاﺑ ‪:A‬‬ ‫) ‪(۴٠.٣‬‬



‫)‪ξ = A(x‬‬



‫راﺑﻄﻪ )‪ (۴٠.٣‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ راﺑﻄﻪ )‪ (٣٩.٣‬ﮐﻪ ﺿﺮﯾﺐ ‪ y′′‬را دارد ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪:‬‬ ‫‪η xy − A′′ (x) + ηyy y′ = 0‬‬ ‫ﺑﺎ ﻣﺴﺎوی ﻗﺮار دادن ﺗﻮاﻧﻬﺎی ‪ y′‬در ﺑﺎﻻ ﺑﻪ ﻣﺎ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ را ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(۴١.٣‬‬



‫)‪η = (A′ (x) + c1 )y + B(x‬‬ ‫‪۵٢‬‬



‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺧﻄ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻮﻧ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪ .٣‬ﭼ‬ ‫‪ .٣.٣‬ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﻫﻨ ﺎﻣ ﮐﻪ ‪ B‬ﯾ‬



‫ﺗﺎﺑ اﺳﺖ ‪ c1‬ﯾ‬



‫ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ‪ .‬راﺑﻄﻪ ﻣﺬﮐﻮر در ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ ﺑﻪ‪:‬‬



‫‪A′′′′ (x)y + B′′′ (x) + 2A′′′ (x)y′ + (c1 − 2A′ (x))y−3 = −3{(A′ (x) + c1 )y + B(x)}y−1‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪:‬‬ ‫‪A = −4C1 x + C2‬‬



‫‪B=0‬‬ ‫و ‪ L‬دو ﺑﻌﺪی اﺳﺖ ﺑﺎ ﭘﺎﯾﻪ‪:‬‬



‫‪X1 = −4x∂x − 3y∂y,‬‬



‫‪X2 = ∂x.‬‬ ‫ﺳﺮاﻧﺠﺎم از ﭘﺎﯾﻪ ﻫﻢ ارز اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(۴٢.٣‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪X2 = x∂x + y∂y‬‬ ‫‪4‬‬



‫‪X1 = ∂x,‬‬



‫ﮐﻪ ﺑﻌﻀ ﺟﻮابﻫﺎی دﻗﯿﻖ راﺑﻄﻪ )‪ (٣٨.٣‬را ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪.‬‬ ‫در ﻣﺜﺎل ﺑﺎﻻ‪ ،‬ﻋﺎﻣﻠ ﮐﻪ ﺑﺎﻋﺚ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺑﻮدن ‪ w‬از ‪ y′′‬اﺳﺖ ﻣﺤﺪودﯾﺖﻫﺎی ﺷﺪﯾﺪی اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺮ روی ‪ξ‬‬ ‫و ‪ η‬واﻗ ﻣ ﺷﻮد اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﻤﯿﻢ داده ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫) ‪(۴٣.٣‬‬



‫‪n≥3‬‬



‫) )‪y(n) = w(x, y, y′ , · · · , y(n−2‬‬



‫ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ‪ ξ‬و ‪ η‬را ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ در ﻣ آورد‪:‬‬ ‫) ‪(۴۴.٣‬‬



‫‪1‬‬ ‫)‪η = ( (n − 1)A′ (x) + c1 )y + B(x‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪ξ = A(x),‬‬



‫در اﯾﻦ ﺟﺎ ‪ A‬و ‪ B‬ﺗﻮاﺑ اﻧﺪ و ‪ c1‬ﺛﺎﺑﺖ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٣.٣‬‬



‫ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺧﻄ‬



‫ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺧﻄ ﺑﺎ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n ≥ 2‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﺷ ﻔﺖ آوری در ﺗﺤﻠﯿﻞ ﺗﻘﺎرن )آﻧﺎﻟﯿﺰ ﺗﻘﺎرن(‬ ‫ﭘﺎﯾﺪارﻧﺪ‪ ،‬و ﻟﻮ اﯾﻨ ﻪ ﻫﯿ ﻧﻘﺼﺎﻧ در ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﻧﯿﺴﺖ )ﯾﺎدآوری‪ :‬ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﺧﻄ ‪(R = dim(L) ≥ n + 1‬‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺪون داﺷﺘﻦ ﺟﻮابﻫﺎی ﻋﻤﻮﻣ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ در ﺑﯿﺸﺘﺮ ﻣﻮاﻗ اﻣ ﺎن‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺮای ﻓﻬﻢ ﺑﯿﺸﺘﺮ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺧﻄ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم زﯾﺮ ﻣ ﭘﺮدازﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(۴۵.٣‬‬



‫‪y′′ = p(x)y′ + q(x)y‬‬



‫ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ )‪ p(x‬و )‪ q(x‬داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﻧﺘﯿﺠﻪ زﯾﺮ ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫)‪η = {A′ (x) + p(x)A(x)}y2 + C(x)y + D(x‬‬ ‫‪۵٣‬‬



‫)‪ξ = A(x)y + B(x‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٣‬ﭼ ﻮﻧ‬



‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺧﻄ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻتﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﺑﺮای ‪.٣.٣‬‬



‫ﮐﻪ‪:‬‬ ‫‪= 0,‬‬ ‫‪= 2C ′ ,‬‬ ‫‪= 2qB′ + q′ B,‬‬ ‫‪= 0.‬‬



‫‪A′′ + (pA)′ − qA‬‬ ‫‪′‬‬



‫‪′′‬‬



‫)‪B + (pB‬‬ ‫‪C ′′ − pC ′‬‬ ‫‪D′′ − pD′ − qD‬‬



‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺮای ‪ ، D‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اﺻﻠ اﺳﺖ و ‪ A‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اﻟﺤﺎﻗ ﺻﺎدق‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ‪:‬‬ ‫)‪y = k1 y1 (x) + k2 y2 (x‬‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﮐﻪ ‪ k1‬و ‪ k2‬ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی دﻟﺨﻮاه ﻫﺴﺘﻨﺪ ﭘﺲ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﺑﺮای دﺳﺘ ﺎه ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﺑﺮای ‪ A, B,C, D‬ﺑﻪ ﺻﻮرت‪:‬‬ ‫∫‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪A = exp − p(x) dx (c4 y1 + c5 y2 ),‬‬ ‫∫ (‬ ‫)‬ ‫‪B = exp − p(x) dx (c6 y21 + 2c7 y1 y2 + c8 y22 ),‬‬ ‫∫ (‬ ‫)‬ ‫‪C = c1 + exp − p(x) dx (c6 y1 y′1 + c7 (y′1 y2 + y1 y′2 ) + c8 y2 y′2 ),‬‬ ‫‪c2 y1 + c3 y2 .‬‬ ‫از اﯾﻦ رو ﻓﻀﺎی ﺑﺮداری‪ ،‬ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬



‫=‬



‫‪D‬‬



‫‪ ٨ ،‬ﺑﻌﺪی اﺳﺖ و دارای ﭘﺎﯾﻪ‪:‬‬



‫‪y∂y ,‬‬ ‫‪y1 ∂y ,‬‬ ‫‪y2 ∂y ,‬‬ ‫∫ (‬ ‫)‬ ‫‪exp − p(x) dx (y1 y∂ x + y′1 y2 ∂y ),‬‬ ‫∫ (‬ ‫)‬ ‫‪exp − p(x) dx (y2 y∂ x + y′2 y2 ∂y ),‬‬ ‫∫ (‬ ‫)‬ ‫‪exp − p(x) dx (y21 ∂ x + y1 y′1 y∂y ),‬‬ ‫∫ (‬ ‫)‬ ‫‪exp − p(x) dx (2y1 y2 ∂ x + (y′1 y2 + y1 y′2 )y∂y ),‬‬ ‫∫(‬ ‫)‬ ‫‪exp‬‬ ‫‪p(x) dx (y22 ∂ x + y2 y′2 y∂y ).‬‬



‫=‬ ‫=‬ ‫=‬



‫‪X1‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪X3‬‬



‫=‬



‫‪X4‬‬



‫=‬



‫‪X5‬‬



‫=‬



‫‪X6‬‬



‫=‬



‫‪X7‬‬



‫=‬



‫‪X8‬‬



‫ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﺑﻪ ﺟﺰ ‪ X1‬واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﺟﻮابﻫﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اﺻﻠ اﺳﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻌﻤﻮﻻ ﻧﻤ ﺗﻮان‬ ‫ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ را ﮐﺎﻣﻞ ﺣﻞ ﮐﺮد‪.‬‬ ‫ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺧﻄ ﻫﻤ ﻦ از ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n ≥ 3‬دارای ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬ ‫زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪Xn+1 = yn ∂y,‬‬



‫‪··· ,‬‬



‫‪∂y ,‬‬ ‫‪۵۴‬‬



‫‪X2 = y1 ,‬‬



‫‪X1 = y, ∂y ,‬‬



‫ﺗﻘﺎرنﭼ ﻮﻧ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪.٣‬‬ ‫‪ .۴.٣‬اﺛﺒﺎت ﺷﺮط‬



‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫ﮐﻪ } ‪ {y1 , · · · , yn‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪای از ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺗﺎﺑﻌ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻌﻀ از ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺧﻄ ﺑﯿﺶ از ﯾ ﻣﻮﻟﺪ ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ دارد‪ .‬ﺳﺎﯾﺮ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﺧﻄ ﺑﯿﺶ از ‪ ٣‬ﻣﻮﻟﺪ ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ دارﻧﺪ و ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻧﻘﻄﻪ ای اﻧﺘﻘﺎل ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ y(n) = 0 ،‬ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﺷﻮد‪ ٣ .‬ﻣﻮﻟﺪ ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ دﯾ ﺮ ﺑﺮای‪:‬‬ ‫‪Xn+4 = x2 ∂ x + (n − 1)xy∂y ,‬‬



‫‪Xn+3 = x∂ x ,‬‬



‫‪Xn+2 = ∂ x ,‬‬



‫‪y(n) = 0,‬‬



‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪۴.٣‬‬



‫اﺛﺒﺎت ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن‬



‫در اﺑﺘﺪای اﯾﻦ ﺑﺨﺶ‪ ،‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺑﯿﺎن ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ و اﻧﺪﮐ ﻫﻢ ﺳﻌ ﺑﺮ اﺛﺒﺎت آن ﻣ ﮔﺮدد‪.‬‬ ‫دﯾﺪﯾﻢ ﮐﻪ ﭼ ﻮﻧﻪ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﻣﺎ را ﻗﺎدر ﺑﻪ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﺑﻪ ﺷ ﻞ ﺳﯿﺴﺘﻤﺎﺗﯿ‬ ‫اﺟﺎزه دﻫﯿﺪ ﮐﻤ راﺟ ﺑﻪ ﻣﻨﺸﺄ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﻓ ﺮ ﮐﻨﯿﻢ‪ ،‬دﯾﻔﺌﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢ زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(۴۶.٣‬‬



‫ﻣ ﮐﻨﺪ‪،‬‬



‫‪Γ : (x, y) 7−→ ( xˆ, yˆ ),‬‬



‫ﮐﻪ ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب )‪ y = f (x‬را ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨ ﺟﺪﯾﺪ )ˆ‪ yˆ = f˜( x‬ﻣ ﻧ ﺎرد‪.‬‬ ‫ﺗﺎﺑ )‪ f (x‬در راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(۴٧.٣‬‬



‫‪f (n) (x) = w(x, f (x), f ′ (x), · · · , f (n−1) (x)),‬‬



‫زﯾﺮا )‪ y = f (x‬ﯾ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.٣‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ وﺿﻮح ‪ Γ‬ﯾ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨ ﺟﺪﯾﺪ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺪان ﻣﻌﻨ ﮐﻪ‪:‬‬ ‫) ‪(۴٨.٣‬‬



‫ﺗﻘﺎرن اﺳﺖ اﮔﺮ‬



‫‪f˜(n) ( xˆ) = ( xˆ, f˜( xˆ), f˜′ ( xˆ), · · · , f˜(n−1) ( xˆ)).‬‬



‫ﻣﺎ ﺑﻪ ﺳﺨﺘ ﺟﻮابﻫﺎی ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﻣ داﻧﯿﻢ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ اﺳﺘﻔﺎده از )‪ (۴٨.٣‬ﺑﺮای‬ ‫آزﻣﻮدن ﻋﻤﻠ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻨﺤﺎل‪ ،‬ﻫﺮ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺑﺎﯾﺪ ﺑﻪ ﻣﺎ ﺑ ﻮﯾﺪ آﯾﺎ )‪ (۴٨.٣‬ﺑﺮای ﻫﺮ ﺟﻮاب‬ ‫)‪ y = f (x‬ﺻﺎدق اﺳﺖ ﯾﺎ ﺧﯿﺮ؟‬ ‫ﺑﺎ ﮐﺎر ﮐﺮدن در ﻣﺒﻨﺎی اﻗﻠﯿﺪﺳ ‪ n + 2‬ﺑﻌﺪی ﺑﺎ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ) )‪ (x, y, y′ , · · · , y(n‬ﺑﻪ آن دﺳﺖ ﻣ ﯾﺎﺑﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﮐﻪ ﺑﻪ آن ﻓﻀﺎی ﺟﺖ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n‬ﻣ ﮔﻮﯾﻨﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.٣‬روﯾﻪ ﻫﺎﯾﭙﺮ ‪ S‬در ‪ J n‬را ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ y′ = w(x, y) ،‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﻤﺎﯾﻨﺪه ﯾ ﺳﻄ در ‪ J ′‬اﺳﺖ ﺑﻪ‬ ‫ﻃﻮری ﮐﻪ ﻓﻀﺎﯾ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎت آن ) ‪ (x, y, y′‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﻤﻮار )‪ y = f (x‬در ﺻﻔﺤﻪ‪ ،‬در ‪ J n‬ﺑﺎ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﻤﻮار ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻪ ﻓﺮد ﻧﻤﺎﯾﺶ داده ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫) ‪(۴٩.٣‬‬



‫‪(x, y, y′ , · · · , y(n) ) = (x, f (x), f ′ (x), · · · , f (n) (x)).‬‬



‫ﻣﻨﺤﻨ )‪ (۴٩.٣‬را ﺑﺎﻻ ﺑﺮ )‪ y = f (x‬ﮔﻮﯾﻨﺪ‪ .‬ﻋﺒﺎرت ﻣﻨﺤﻨ ﺑﺎﻻ ﺑﺮ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﻣ ﮔﯿﺮد‪.‬‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺑﺎﻻ ﺑﺮ )‪ ،(x, y‬ﻣﻨﺤﻨ اﺻﻠ در ﺻﻔﺤﻪ را ﻣﺸﺨﺺ ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻨﺎﻇﺮ ﺑﯿﻦ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﻫﻤﻮار روی ﺻﻔﺤﻪ و ﺑﺎﻻ ﺑﺮﻫﺎﯾﺸﺎن ﺑﺪان ﻣﻌﻨ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻫﺮ ﺳﻄ ﻧ ﺎﺷﺖ ﻫﻤﻮار‬ ‫)‪ (۴۶.٣‬ﺑﯿﻦ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی روی ﺻﻔﺤﻪ را ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻓﻀﺎی ﺟﺖ )‪ J (n‬ﺗﻮﺳﻌﻪ ﯾﺎﺑﺪ‪.‬‬ ‫) ‪(۵٠.٣‬‬



‫‪Γ : (x, y, y′ , · · · , y(n) ) 7−→ ( xˆ, yˆ , yˆ ′ , · · · , xˆ(n) ),‬‬ ‫‪۵۵‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٣‬ﭼ ﻮﻧ‬



‫اﺛﺒﺎت ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫‪.۴.٣‬‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬



‫ﮐﻪ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺑﺎﻻ ﺑﺮ‪:‬‬ ‫) ‪(۵١.٣‬‬



‫‪k = 1, · · · , n.‬‬



‫ˆ‪dk y‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪d xˆk‬‬



‫= )‪yˆ (k‬‬



‫ﺑﺴﻂ ﻋﻤﻞ ‪ Γ‬ﺑﻪ ﻫﻤﻪ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n‬ام ﯾﺎ ﮐﻤﺘﺮ از آن ﭘﺮوﻻﻧ )اﻣﺘﺪاددﻫ ( ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n‬ام اﺳﺖ‪.‬‬ ‫از راﺑﻄﻪ )‪ (۴٧.٣‬اﮔﺮ )‪ y = f (x‬ﺟﻮاﺑ از ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎﺷﺪ ﭘﺲ ﺑﺎﻻﺑﺮ )‪ (۴٩.٣‬را در‬ ‫داﺧﻞ ‪ S‬ﻣ ﺑﺮد‪.‬‬ ‫ﺑﺮای ﻋ ﺲ آن ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ ﺑﺎﻻ ﺑﺮ ﮐﻪ در ‪ S‬اﺳﺖ ﯾ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اﺳﺖ‪ .‬اﻣﺘﺪاد‬ ‫دﻫ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n‬ام ‪ S ،Γ‬را ﺑﻪ ﺳﻄ ﺟﺪﯾﺪ ˜‪ S‬ﻣ ﻧ ﺎرد ﮐﻪ ﺑﻪ ﻓﺮم زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫(‪yˆ (n) = w‬‬ ‫‪˜ xˆ, yˆ , yˆ ′ , · · · , yˆ (n−1) ).‬‬



‫) ‪(۵٢.٣‬‬



‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﻠ ‪ ،‬اﮔﺮ ‪ Γ‬ﺟﻮاب )‪ y = f (x‬را ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨ )ˆ‪ yˆ = f˜( x‬ﺑﻨ ﺎرد آﻧ ﺎه ‪ S‬ﺑﺎﻻ ﺑﺮ ﻣﻨﺤﻨ ﺟﺪﯾﺪ در ˜‪S‬‬ ‫ﻗﺮار ﻣ ﮔﯿﺮﯾﺪ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(۵٣.٣‬‬



‫(‪f˜(n) ( xˆ) = w‬‬ ‫‪˜ xˆ, f˜( xˆ), f˜′ ( xˆ), · · · , f˜(n−1) ( xˆ)).‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪ (۴٨.٣‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ‪ w˜ = w‬روی ﺑﺎﻻﺑﺮ )‪.y = f (x‬‬ ‫ﺗﺎ ﮐﻨﻮن ﻣﺎ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳ ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮابﻫﺎی ﻣﻨﻔﺮد ﭘﺮداﺧﺘﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﺷﺮط ﻫﻢ ارزی ﺑﺮای ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﻤﻪ ﺟﻮابﻫﺎی ﻣﻨﺤﻨ ‪ w˜ = w‬روی ‪ S‬اﺳﺖ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ )‪(۵۴.٣‬‬ ‫ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(۵۴.٣‬‬



‫) )‪yˆ (n) = w( xˆ, yˆ , yˆ ′ , · · · , yˆ (n−1‬‬



‫ﻫﻨ ﺎﻣ ﮐﻪ )‪ (١.٣‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ S‬ﺑﺎ ﻋﻤﻞ ﭘﺮوﻻﻧ ﯾﺎﻓﺘﻪ از ﻫﺮ ﺗﻘﺎرﻧ ﺑﻪ ﺧﻮدش ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾ ﺮ ‪ S‬ﺗﺤﺖ ﻫﺮ‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧ ﻧﺎودا اﺳﺖ‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ از ﻗﻀﺎﯾﺎی ﺛﺎﺑﺖ ﺷﺪه اﻧﺘﻈﺎر ﻣ رود ﮐﻪ ﺗﻘﺎرن ﯾ دﯾﻔﺌﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻫﺮ ﺷ‬ ‫را ﺑﺪون ﺗﻐﯿﯿﺮ ﺑﺎﻗ ﻣ ﮔﺬارد‪.‬‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‪ :‬ﺑﺤﺚ ﺑﺎﻻ ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ ﻧﯿﺎز ﺑﻪ اﺣﺘﯿﺎط در ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺗﻘﺎرن اﺳﺖ‪ .‬ﻫﻤﮥ دﯾﻔﺌﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢﻫﺎ ﮐﻪ از‬ ‫ﻓﻀﺎی ‪ S‬ﺑﻪ ﺧﻮدﺷﺎن ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ ﺗﻘﺎرن ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺷﺮط دﯾ ﺮ )‪ (۵١.٣‬ﺑﯿﺎن ﻣﯿﺪارد ﮐﻪ دﯾﻔﺌﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢ‬ ‫ﻫﺮ ﺑﺎﻻ ﺑﺮی را ﺑﻪ ﺑﺎﻻ ﺑﺮی ﻣ ﻧ ﺎرد‪ ).‬در ﻧﻬﺎﯾﺖ آنﻫﺎﯾ ﮐﻪ ﺑﺎﻻﺑﺮش در ‪ S‬ﻫﺴﺘﻨﺪ( اﯾﻦ ﺷﺮط ﻧﯿﺎز ﻫﺴﺖ‬ ‫ﮐﻪ ﺗﻘﺎرن ﻫﺎ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺟﻮابﻫﺎی ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ را ﺣﻔﻆ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪.‬‬



‫ﻣﻼﺣﻈﺎت و ﺗﻔﺴﯿﺮﻫﺎی دﯾ ﺮ‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﻠ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻧﻘﻄﻪای از ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ از ﻣﺮﺗﺒﻪ‬ ‫‪ n ≥ 2‬ﻗﺎﺑﻞ اﺳﺘﻔﺎده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﻮاﺑ )‪ yˆ (k‬ﺗﻮﺳﻂ ﻓﺮﻣﻮل اﻣﺘﺪاد دﻫ )‪ (۵.٣‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﻢ ﭼﻨﯿﻦ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺟﺰﺋ ﻏﯿﺮ ﺧﻄ را ﺗﺎ ﺣﺪی ﻣ ﺗﻮان ﺳﺎده ﮐﺮد زﯾﺮا‬ ‫ˆ‪ x‬و ˆ‪ y‬ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ y(n−1) , · · · , y′′ , y′‬اﺳﺖ‪ .‬ﮐﻪ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ در ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ ﻏﯿﺮ‬ ‫ﺧﻄ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﻔﺮد ﺗﻔ ﯿ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﭼﻪ اﯾﻦ ﺳﯿﺴﺘﻢﻫﺎ )دﺳﺘ ﺎهﻫﺎ( ﻣﻌﻤﻮﻻ ﺑﻪ ﺳﺨﺘ ﺣﻞ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬روش‬ ‫ﺳﺎدهﺗﺮ ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ اﺳﺖ ﮐﻪ در ﻓﺼﻞ ‪ ٢‬ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺖ‪.‬‬ ‫ﺟﺒﺮ ﻫﺎی ﻟ ‪ ،‬ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﻮﺿﻮﻋ ﺑﺎ ﻣﺤﺪودﯾﺖﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ‬ ‫اﺳﺖ )ﮐﻪ ﺑﻌﻀ از آن در )‪ (٢.٣‬ذﮐﺮ ﺷﺪ(‪ .‬ﻣﺤﺪودﯾﺖﻫﺎی ﮐﺎﻓ ﺑﺮای ﻃﺒﻘﻪﺑﻨﺪی ﮐﻠﯿﻪ ﺟﺒﺮ ﻫﺎی ﻟ‬ ‫ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه اﻋﻤﺎل ﮔﺮدﯾﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪۵۶‬‬



‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫ﺗﻘﺎرنﭼ ﻮﻧ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪.٣‬‬ ‫‪ .۴.٣‬اﺛﺒﺎت ﺷﺮط‬



‫ﮐﺘﺎب اوﻟﻮر )‪ (١٩٩۵‬ﺑﺮای ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮ و ﺟﺰﺋﯿﺎت و ارﺟﺎع ﭘﯿﺸﻨﻬﺎد ﻣ ﮔﺮدد‪.‬‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﻪ )‪ (۴۴.٣‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای ﮐﻼسﻫﺎی ﺑﺰرﮔ از ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را‬ ‫ﺳﺎده ﮐﺮده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺴﯿﺎر ﺷﺒﯿﻪ ﻧﺘﺎﯾﺠ اﺳﺖ ﮐﻪ در ﺑﻠﻮﻣﻦ و ﮐﻮﻣ )‪ (١٩٨٩‬ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﺛﺒﺎت ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن در )‪ (۴.٣‬ﺑﺮ ﭘﺎﯾﻪ ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺎرن روی ﻣﻨﺤﻨ ﺟﻮاب ﺧﺼﻮﺻ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﻠ ﺑﺎﻻ ﺑﺮ ﺑﺮای ﻣﺸﺘﻖ ﻓﺮﻣﻮلﻫﺎی ﭘﺮوﻻﻧ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﻣ ﮔﯿﺮد‪.‬‬ ‫ﺑﻌﻀ ﻧﻮﯾﺴﻨﺪﮔﺎن ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻖ از ﻓﺮﻣﻮل ﻣﺸﺎﺑﻪ از اﯾﺪه ﻧﻘﺎط ﻣﻤﺎﺳ ﺑﯿﻦ ﺟﻔﺖ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎ )زوج ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎ(‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ اﯾﻦ دو دﯾﺪﮔﺎه ﻣ ﺗﻮان ﺳﻮول و راﺳﻠﺘﻮن )‪ (١٩٩۴‬را ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻓﺮﻣﺎﺋﯿﺪ‪.‬‬



‫ﺗﻤﺮﯾﻦﻫﺎ‬ ‫‪ ١.٣‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ‪ ξ‬و ‪ η‬و )‪ η(k‬در )‪ (١۶.٣‬ﺑﺮﻗﺮار ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫)‪ (١۵.٣‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﮔﺮﻓﺘﻪ و )‪ η(4‬را ﻧﻤﺎﯾﺶ دﻫﯿﺪ‪.‬‬



‫‪ ٢.٣‬رواﺑﻂ )‪ (٢١.٣‬و )‪ (٢٢.٣‬ﻓﺮﻣﻮل ﭘﺮوﻻﻧ‬ ‫‪ X 4 ٣.٣‬را ﺑﺮای ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی زﯾﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪X = ∂y (a‬‬ ‫‪α (b‬ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ‬



‫‪X = y∂ x + αy∂y‬‬



‫‪X = xy∂ x + y2 ∂y (c‬‬ ‫‪X = −y∂ x + x∂y (d‬‬ ‫‪ ۴.٣‬ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺒﯿﻦ ﺑﺮای ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ‪ y′′ = y′4 + αy′2‬ﮐﻪ ‪ α‬ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ را ﺣﻞ و ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪ .‬ﺑﻌﺪ ‪ L‬ﺑﺮای‬ ‫ﺑﯿﺸﺘﺮﯾﻦ ﻣﻘﺪار ‪ α‬ﭼﯿﺴﺖ؟ ﺑﺮای ﮐﺪام ‪ α‬ﺑﻌﺪ ‪ L‬ﺑﺰرﮔﺘﺮ اﺳﺖ؟‬ ‫‪ ۵.٣‬ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬



‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ زﯾﺮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪:‬‬ ‫‪y′′ = 7y′ − 6y‬‬



‫ﺗﻮﺟﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﺪ در اﯾﻦ ﻣﺜﺎل ‪ dim(L) < 2‬اﺳﺖ ﻫﻢ ﭼﻨﯿﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺎ ﺧﻄ‬ ‫اﺳﺖ؟‬ ‫‪ ۶.٣‬ﺣﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﺎﻻ ﻣﻌﯿﻦ از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ ﻫﺎ ﺑﺮای ‪ ξ‬و ‪ η‬ﻫﻤﻮاره ﺑﻪ راﺣﺘ اﻣ ﺎن ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﻧﯿﺴﺖ ﺑﺮای ﻣﺜﺎل اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺗﻘﺎرن ﮔﺴﺴﺘﻪ )‪ ( xˆ, yˆ ) = (x, y‬را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ و‬ ‫)‪ η(x, y‬و )‪ ξ(x, y‬در ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺟﺰﺋ ﺻﺪق ﮐﻨﺪ ﮐﺪام ﯾ از آﻧﻬﺎ ﻣﻔﺼﻞ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺒﯿﻦ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ‪ y′′ = (1 − y′ )3 ،‬را ﻧﻮﺷﺘﻪ و ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻻت را‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪) .‬راﻫﻨﻤﺎﯾ ‪ :‬ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎﺷﯿﺪ‪(.‬‬ ‫‪ ٧.٣‬ﮔﺎﻫ اوﻗﺎت ﻃﺒﻘﻪ ﺑﻨﺪی ﺧﺎﻧﻮادهای از ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺗﻘﺎرﻧﺸﺎن ﻣﻮﺛﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪f ′′ (y) , 0‬‬



‫‪y′′ = f (y),‬‬



‫ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﻪ ﺗﻘﺎرن آن ﺗﻮﺳﻂ ‪ X1 = ∂x‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬از ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ‬ ‫ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﻫﻤﻪ ﺗﻮاﺑ )‪ f (x‬ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ دﯾ ﺮی ﻫﺴﺘﻨﺪ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫)اﯾﻦ ﻣﺜﺎل ﻣﺴﺌﻠﻪ ای از ﻃﺒﻘﻪ ﺑﻨﺪی ﮔﺮوه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎلﻫﺎی ﺑﻠﻮﻣﻦ و ﮐﻮﻣ )‪ (١٩٨٩‬را ﻣﻼﺣﻈﻪ‬ ‫ﻓﺮﻣﺎﺋﯿﺪ(‪.‬‬ ‫‪۵٧‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٣‬ﭼ ﻮﻧ‬



‫اﺛﺒﺎت ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫‪.۴.٣‬‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬



‫‪۵٨‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪۴‬‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫ﻤﺎ روش ی ﻦ را ﯽ دا ﺪ‪ ،‬آ ﮫﺎ را ﮑﺎر ﺑ ﺮ ﺪ‪.‬‬ ‫) آر ﻮر ﮐﺎ ﻦ دو ﻞ‪:‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪١.۴‬‬



‫ﻞ ا ﮑﺎر‬



‫(‬



‫ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﺑ ﺎرﺑﺮدن ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ‬



‫اﮐﻨﻮن ﮐﻪ ﺑﻄﻮر اﺻﻮﻟ ﻗﺎدر ﺑﻪ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻫﺴﺘﯿﻢ ﭼ ﻮﻧﻪ ﺑﺎﯾﺪ آﻧﻬﺎ را ﺑﻪ ﮐﺎر ﮔﯿﺮﯾﻢ؟ ﺑﺮای ﺣﻞ ﮐﺮدن‬ ‫ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‪ ،‬آﻧﺮا ﺑﺮﺣﺴﺐ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﻧﯿﺰ از ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﻧﻤﺎﯾﻨﺪ‪.‬‬ ‫از اﯾﻦ ﭘﺲ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﮔﯿﺮی ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ r‬ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﯾ ﻧﻘﻄﻪ )‪ (.‬ﻧﻤﺎﯾﺶ داده ﻣ ﺷﻮد؛ ﺑﺮای ﻣﺜﺎل ˙‪s‬‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺶ دﻫﻨﺪه ‪ ds/dr‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ X‬ﻣﻮﻟﺪ ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ از ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫) ‪(١.۴‬‬



‫‪n≥2‬‬



‫‪y(n) = ω(x, y, y′ , · · · , y(n−1) ),‬‬



‫ﺑﺎﺷﺪ و)‪ (r, s‬ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺑﺮای ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺑﻪ وﺳﯿﻠﻪ ‪ X‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫) ‪(٢.۴‬‬



‫‪X = ∂s .‬‬



‫اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ) ‪ (١.۴‬ﺑﺮﺣﺴﺐ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد ﺑﺮای ‪ Ω‬دﻟﺨﻮاه ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬ ‫) ‪(٣.۴‬‬



‫‪dk s‬‬ ‫‪drk‬‬



‫= )‪s(k‬‬



‫‪s(n) = Ω(r, s, s˙, · · · , s(n−1) ),‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﻣﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ) ‪ (٣.۴‬ﺗﺤﺖ ﮔﺮوه ﻟ اﻧﺘﻘﺎل ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ s‬ﻧﺎورداﺳﺖ‪ ،‬ﻟﺬا ﺷﺮط‬ ‫ﺗﻘﺎرن ‪ Ω s = 0‬را ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫) ‪(۴.۴‬‬



‫‪s(n) = Ω(r, s˙, · · · , s(n−1) ).‬‬ ‫‪۵٩‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫‪ .١.۴‬ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﺑ ﺎرﺑﺮدن ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫ﺑﺎ ﻧﻮﺷﺘﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ) ‪ (١.۴‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ‪ ،‬آﻧﺮا ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n − 1‬ﺑﻪ ازای ˙‪ v = s‬ﮐﺎﻫﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(۵.۴‬‬



‫‪dk+1 s‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪drk+1‬‬



‫= )‪v(k‬‬



‫‪v(n−1) = Ω(r, v, · · · , v(n−2) ),‬‬



‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﺑﺼﻮرت‬ ‫) ‪v = f (r; c1 , · · · , cn−1‬‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬آﻧ ﺎه ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ) ‪، (١.۴‬‬ ‫‪f (r; c1 , · · · , cn−1 )dr + cn‬‬



‫)‪r(x,y‬‬



‫∫‬ ‫= )‪s(x, y‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫در ﺣﺎﻟﺖ ﮐﻠ ﺗﺮ اﮔﺮ ‪ v‬ﺗﺎﺑ دﻟﺨﻮاﻫ از ˙‪ s‬و‪ r‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻗﺴﻤ ﮐﻪ ‪ v s˙ (r, s˙) , 0‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ ) ‪ (۴.۴‬ﺑﻪ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬ ‫) ‪(۶.۴‬‬



‫‪dk v‬‬ ‫‪drk‬‬



‫‪˜ v, · · · , v(n−2) ),‬‬ ‫‪v(n−1) = Ω(r,‬‬



‫= )‪v(k‬‬



‫ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﯾ ﺒﺎر دﯾ ﺮ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ) ‪ (۶.۴‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ ،‬راﺑﻄﻪ )‪ s˙ = s˙(r, v‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪١.۴‬‬ ‫( را ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫)‪∫ r(x,y‬‬ ‫= )‪s(x, y‬‬ ‫‪s˙(r, v(r; c1 , · · · , cn−1 ))dr + cn .‬‬ ‫) ‪(٧.۴‬‬ ‫ﺑﻄﻮر ﺧﻼﺻﻪ ‪ :‬اﮔﺮ ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ‪ ،‬ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺣﻞ ) ‪ (١.۴‬ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ‬ ‫ﺣﻞ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﭘﺎﯾﯿﻦ ﺗﺮ از ﻃﺮﯾﻖ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﻫﺴﺘﯿﻢ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻄﻠﺐ اﮐﻨﻮن ﻣﺎ را‬ ‫ﺑﺮای داﺷﺘﻦ روﺷ ﺗ ﻨﯿ ﺑﺮای اﺳﺘﺨﺮاج ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﺗﺮﻏﯿﺐ ﻣ ﻧﻤﺎﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪ ١.۴‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y′′ = ( − 2x)y′ + 4y‬‬ ‫‪x‬‬



‫) ‪(٨.۴‬‬



‫را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ‪ .‬ﻫﻨﻮز ﺟﻮاﺑ ﺑﺮای )‪ (۴.٨‬ﻧﺪارﯾﻢ و ﺗﻨﻬﺎ ﯾ‬ ‫ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺨﺘﺺﻫﺎی ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺳﺎدهﺗﺮ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫|‪s = ln |y‬‬



‫ﻣﻮﻟﺪ ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬



‫‪r = x,‬‬



‫ﮐﻪ ﺑﻪ‬ ‫‪d2 s y′′ y′2‬‬ ‫‪− 2‬‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dr2‬‬ ‫‪y‬‬



‫‪ds y′‬‬ ‫‪= ,‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪y‬‬



‫اﻣﺘﺪاد داده ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ) ‪ (٨.۴‬ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ رﯾ ﺎﺗ‬ ‫) ‪(٩.۴‬‬



‫‪ds y′‬‬ ‫=‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪y‬‬



‫=‪v‬‬



‫‪dv‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= ( − 2r)v + 4 − v2 ,‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪۶٠‬‬



‫ﯾﻌﻨ ‪X = y∂y‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫‪ .١.۴‬ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﺑ ﺎرﺑﺮدن ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﮐﺎﻫﺶ روﺷ اﺳﺘﺎﻧﺪارد اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺎ ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ‪ ،‬ﺟﻮاب‬ ‫ﻋﻤﻮﻣ اﺻﻠ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ رﯾ ﺎﺗ ) ‪ (٩.۴‬ﯾ ﺟﻮاب ﺳﺎده را دارا ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(١٠.۴‬‬



‫‪v = −2r.‬‬



‫ﺳﭙﺲ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﺑﺎﻗﯿﻤﺎﻧﺪه ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬ ‫‪v = −2r + w−1 ,‬‬



‫) ‪(١١.۴‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ ‪ w‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺧﻄ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪dw‬‬ ‫‪= 1 − ( + 2r)w‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫) ‪(١٢.۴‬‬



‫‪c1 −r2 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e + − 3.‬‬ ‫‪2r 2r‬‬ ‫‪r3‬‬



‫=‪w‬‬



‫از ﺟﻮاب ﻧﻤﺎﯾ ) ‪ (١٠.۴‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪ln |y| = s = −r2 + c2 = −x2 + c2 .‬‬ ‫ﺑﻪ ﻃﺮﯾﻖ ﻣﺸﺎﺑﻪ ‪ ،‬از ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ) ‪ (١١.۴‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln |y| = ln |c1 e−x + (x2 − 1)| + c2 .‬‬ ‫‪2‬‬



‫از ﺗﺮﮐﯿﺐ اﯾﻦ ﻧﺘﺎﯾ در ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی دﻟﺨﻮاه ﺟﺪﯾﺪ‪ ،‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (۴.٨‬ﺑﺼﻮرت‬ ‫) ‪(١٣.۴‬‬



‫)‪y = c˜1 e−x + c˜ 2 (x2 − 1‬‬ ‫‪2‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در ﻣﺜﺎل ﻓﻮق‪ ،‬ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺗﺮ ﺑﻮد ﮐﻪ ˙‪ v = s‬در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﺑﻄﻮر ﻣﻌﻤﻮل اﯾﻦ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻨﺎﺳﺒ ﺑﺮای ‪v‬‬ ‫ﻧﻤ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻫﻤﺎﻧ ﻮﻧﻪ ﮐﻪ در ﻣﺜﺎل ذﯾﻞ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ ٢.۴‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم ﻏﯿﺮ ﺧﻄ‬ ‫) ‪(١۴.۴‬‬



‫‪y′2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ (y − )y′‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬



‫= ‪y′′‬‬



‫‪ X = ∂ x‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﯾﻦ اﻧﺘﻘﺎلﻫﺎ‪ ،‬ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﺑﺎ ﻣﻮﻟﺪ ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ )‪ (۴.١۴‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻣﺨﺘﺺﻫﺎی ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺳﺎده ﺗﺮ ﺑﺪﯾﻬ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬ ‫)‪(r, s) = (y, x‬‬ ‫اﮔﺮ ‪ v‬را ﻃﻮری ﺑﺮﮔﺰﯾﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ s˙ = (y′ )−1‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (۴.١۴‬ﺑﻪ‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪y′′‬‬ ‫‪v 1‬‬ ‫‪= − ′3 = − + ( − r)v2‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪۶١‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫‪ .١.۴‬ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﺑ ﺎرﺑﺮدن ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﻮق ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺮﻧﻮﻟ اﺳﺖ ﮐﻪ آﻧﺮا ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ دوﺑﺎره ﻧﻮﯾﺴ ﺑﺮﺣﺴﺐ ﯾ‬ ‫ﺧﻄ ﺑﺮای ‪ v−1‬ﻣ ﺗﻮان ﺣﻞ ﻧﻤﻮد‪.‬‬ ‫ﺑﻪ وﺿﻮح‪ ،‬ﺳﺎده ﺗﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ از اﺑﺘﺪا‬ ‫‪v = y′‬‬



‫‪v = ( s˙)−1 ,‬‬



‫ﯾﻌﻨ‬



‫‪,‬‬



‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬



‫اﻧﺘﺨﺎب ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪ .‬ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ﻓﻮق ﺑﺮای ‪ ، v‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (۴.١۴‬ﺑﻄﻮر ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺧﻄ‬ ‫‪dv y′′ v‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= ′ = +r−‬‬ ‫‪dr y‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬



‫) ‪(١۵.۴‬‬ ‫ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪(۴.١۵‬‬



‫‪v = r2 − 2c1 r + 1‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ )ﻋﺎﻣﻞ ‪ -٢‬ﻗﺒﻞ از ﺛﺎﺑﺖ دﻟﺨﻮاه ‪ c1‬ﺑﺮای ﺳﻬﻮﻟﺖ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ (‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪r2 − 2c1 r + 1‬‬ ‫ﺑﺎ ﯾ‬



‫∫‬



‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫)‪v(r‬‬



‫∫‬ ‫=‪s‬‬



‫اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی )ﺳﺎده(‪ ،‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (۴.١۴‬را ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬



‫) ‪(١۶.۴‬‬



‫;‪c21 > 1‬‬ ‫;‪c21 = 1‬‬ ‫‪< 1.‬‬



‫‪c21‬‬



‫√‬ ‫√‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 − 1 tanh( c2 − 1(x + c )),‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1 ,‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫)‬ ‫‪y=‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ c1 + 1 − c2 tan( 1 − c2 (x + c2 )),‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬



‫در ﻫﺮ ﯾ از ﻣﺜﺎلﻫﺎی ﻗﺒﻞ‪ ،‬ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ˙‪ s‬ﺑﻌﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از ‪ r‬ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ‬ ‫ﯾﺎﻓﺘﻪ را ﺣﻞ ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪ .‬اﯾﻦ ﻋﻤﻞ ﻣﻌﻤﻮل ﻧﻤ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺷﻨﺎﺧﺖ ﯾ ﮔﺮوه ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﻣﺎ را ﻗﺎدر‬ ‫ﻣ ﺳﺎزد ﺗﺎ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﮐﺎﻫﺶ دﻫﯿﻢ ‪ ،‬اﻣﺎ ﺿﻤﺎﻧﺘ ﺑﺮای اﯾﻨ ﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔ ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ ﺑﺎﺷﺪ وﺟﻮد ﻧﺪارد! ﺑﻪ ﻫﺮ ﺣﺎل ‪ ،‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺑﯿﺶ از ﯾ ﻣﻮﻟﺪ ﺑ‬ ‫ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ را ﺑﺸﻨﺎﺳﯿﻢ ﯾﻌﻨ ‪ .R = dim(L) ≥ 2‬آﯾﺎ ﻣ ﺗﻮان از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣﺬﮐﻮر ﺑﺮای ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ R‬اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد ﯾﺎ اﮔﺮ ‪ n ⩽ R‬ﺑﺎﺷﺪ آﻧﺮا ﺑﻄﻮر ﮐﺎﻣﻞ ﺣﻞ ﮐﺮد؟ ﺑﺮای ﭘﺎﺳ‬ ‫ﺑﻪ اﯾﻦ ﭘﺮﺳﺶ‪ ،‬ﺑﺎﯾﺪ درﺑﺎره ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﺑﯿﺸﺘﺮ ﺑﺪاﻧﯿﻢ‪ ،‬ﻫﻤﺎﻧ ﻮﻧﻪ ﮐﻪ در ﻣﺜﺎل ﺑﻌﺪ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪ ٣.۴‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫) ‪(١٧.۴‬‬



‫‪x>0‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y3‬‬



‫= ‪y′′′‬‬



‫ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ آن ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪X2 = x∂ x + y∂y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪۶٢‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫‪ .١.۴‬ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﺑ ﺎرﺑﺮدن ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻄ ‪ X1‬ﺷﺎﻣﻞ اﻧﺘﻘﺎلﻫﺎ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در ﺣﺎﻟﯿ ﻪ ‪X2‬‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻘﯿﺎﺳ را ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬در اﺑﺘﺪا ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (۴.١٧‬را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ‪ X1‬ﮐﺎﻫﺶ‬ ‫ﻣ دﻫﯿﻢ; از ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ )‪، (r1 , s1 ) = (y, x‬‬ ‫) ‪(١٨.۴‬‬



‫‪ v1 = ( s˙)−1 = y′‬ﮐﻪ‬



‫‪,‬‬



‫‪d2 v1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 dv1 2‬‬ ‫=‬ ‫( ‪−‬‬ ‫)‬ ‫‪dr1 2 r1 3 v1 2 v1 dr1‬‬



‫ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ )‪ (۴.١٨‬ﻣﻘﯿﺎسﻫﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪X˜ 2 = r1 ∂r1 − v1 ∂v1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬



‫) ‪(١٩.۴‬‬



‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ازﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اوﻟﯿﻪ )‪ (۴.١٧‬ﺑﻪ ارث ﻣ رﺳﻨﺪ و از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫ﺑ ﺎر ﻧﺮﻓﺘﻪ ﮐﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X2‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای آﻧ ﻪ درﯾﺎﺑﯿﻢ ﭼ ﻮﻧﻪ اﯾﻦ ﮔﺮوه روی ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬ ‫ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ) ‪ (r1 , v1 ) = (y, y′‬ﻋﻤﻞ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ ،‬ﻻزم اﺳﺖ ‪ X2‬را اﻣﺘﺪاد دﻫﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪X2(1) = x∂ x + y∂y − y′ ∂y′ .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻣﻮﻟﺪ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ‪ X˜ 2‬ﺗﻮﺳﻄ ﻣﺘﻤﺮﮐﺰ ﺷﺪن ﺑﻪ ﻋﺒﺎراﺗ در )‪ X2(1‬ﮐﻪ روی ) ‪ (r1 , v1‬ﻋﻤﻞ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫در اﯾﻦ ﻣﺜﺎل‪ X˜ 2 ،‬ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ s1 = x‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻟﺬا ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ‬ ‫را ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﺑﺎر دﯾ ﺮ ﻣﺎ را ﻗﺎدر ﺑﻪ ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ از‬ ‫‪dv1‬‬ ‫‪dr1‬‬



‫‪,‬‬



‫‪v2 = r1 4/3‬‬



‫‪r2 = r1 1/3 v1‬‬



‫اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ‪،‬‬ ‫) ‪(٢٠.۴‬‬



‫‪dv2 3 − 4r22 v2 − 3r2 v22‬‬ ‫=‬ ‫‪dr2‬‬ ‫) ‪r22 (r2 + 3v2‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی )‪ (۴.٢٠‬ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه ﻧﻤ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻟﺬا ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﻋﻤﻠﯿﺎت ﺑﯿﺸﺘﺮی اﻧﺠﺎم دﻫﯿﻢ‪ .‬ﺑﺎ وﺟﻮد‬ ‫اﯾﻦ‪ ،‬در اﺳﺘﻔﺎده از ﻫﺮ دو ﺗﻘﺎرن ﻟ راﺑﻄﻪ )‪ (۴.١٧‬ﺑﻪ ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺑﻪ دو ﻣﻮﻓﻖ ﺑﻮدﯾﻢ‪ .‬ﺷ ﻔﺖ اﻧ ﯿﺰ اﺳﺖ‬ ‫ﮐﻪ ﮐﻠﯿﺪ اﯾﻦ ﻣﻮﻓﻘﯿﺖ اﺑﺘﺪا ﺑ ﺎر ﺑﺮدن ‪ X1‬اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ از ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ دﯾ ﺮی در اﺑﺘﺪا اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺣﺎﺻﻞ ﺷﺪه ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑ ﺎر ﻧﺮﻓﺘﻪ را ﺟﺎﻧﺸﯿﻦ ﻧﻤ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‪ ،‬اﮔﺮ‬ ‫اﺑﺘﺪا از ‪ X2‬اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (۴.١٧‬ﺑﻪ‬ ‫) ‪(٢١.۴‬‬



‫‪dv‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4( dv‬‬ ‫‪d2 v‬‬ ‫‪16 − 5r3 v‬‬ ‫) ‪dr ) − 9( dr‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3r − 4v‬‬ ‫‪dr2 r3 (3r − 4v)2‬‬



‫ﮐﻪ در آن‬ ‫‪v = x1/4 y′‬‬



‫‪,‬‬



‫‪r = x−3/4 y‬‬



‫اﺳﺖ‪ ،‬ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ )‪ (۴.٢١‬دارای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ‬ ‫ﻧﻤ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫در ﺑﺨﺶ ﺑﻌﺪی‪ ،‬ﺑﻄﻮر ﮐﺎﻣﻞ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ ﻣ ﭘﺮدازﯾﻢ‪ .‬اﯾﻦ اﻣﺮ ﻣﺎ را‬ ‫ﻗﺎدر ﺧﻮاﻫﺪ ﺳﺎﺧﺖ ﮐﻪ درﯾﺎﺑﯿﻢ‪ ،‬اﮔﺮ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾ ﺮ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﺑﻪ ارث‬ ‫ﺑﺮﺳﻨﺪ‪ ،‬ﭼﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾ ﺑﺎﯾﺪ در اﺑﺘﺪا ﺑ ﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪۶٣‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٢.۴‬‬



‫‪ .٢.۴‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ‬



‫اﮔﺮ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ از ﯾ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬اﯾﻦ اﻣ ﺎن وﺟﻮد دارد ﮐﻪ‬ ‫ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای را ﺑﺮای ﮐﺎﻫﺶ ﺗﺎ دو ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺑ ﺎر ﺑﺒﺮﯾﻢ‪ .‬ﺑﺮای ﺷﺮوع‪،‬‬ ‫ﯾ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬



‫) ‪(٢٢.۴‬‬



‫;‪δW = 0‬‬



‫در اﯾﻨﺠﺎ ‪ ،‬ﻋﻤﻞ ‪ ، W‬ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬ ‫‪L(x, y, y′ )dx,‬‬



‫) ‪(٢٣.۴‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ) ‪ L(x, y, y′‬ﯾ‬



‫=‪W‬‬



‫ﻻﮔﺮاﻧﮋﯾﻦ اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪ -‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ‬



‫) ‪(٢۴.۴‬‬ ‫ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﯾ‬



‫∫‬



‫‪Ly − D x (Ly′ ) = 0‬‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻧﻘﻄﻪ ای ‪ W ،‬را ﺑﻪ‬ ‫ˆ‪L( xˆ, yˆ , yˆ ′ )d x‬‬



‫) ‪(٢۵.۴‬‬



‫∫‬ ‫= ˆ‬ ‫‪W‬‬



‫ﺑﻨ ﺎرد‪ ،‬ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ‬ ‫) ‪(٢۶.۴‬‬ ‫ﭼﻨﯿﻦ ﺗﺒﺪﯾﻠ را ﯾ‬



‫‪ˆ = W.‬‬ ‫‪W‬‬ ‫ﺗﻘﺎرن ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪ -‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ ﺑﺮای ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﯾﺎﻓﺘﻪ‪،‬‬ ‫) ‪Lˆ = L( xˆ, yˆ , yˆ ′‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﻘﺎرن ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﻧﯿﺰ ﯾ‬



‫ﮐﻪ‬



‫‪Lˆ yˆ − D xˆ (Lˆ yˆ′ ) = 0,‬‬



‫ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪ ای ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪ -‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ﺑﺘﻮاﻧﯿﻢ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬ ‫از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ‪ ،‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ‬



‫ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪ -‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ را ﺑﯿﺎﺑﯿﻢ‪ ،‬ﻣﻌﻤﻮﻻ ﺑﺮرﺳ اﯾﻨ ﻪ ﮐﺪام ﯾ‬ ‫ﻧﯿﺰ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺳﺎده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ X = ξ∂ x + η∂y‬ﻣﻮﻟﺪ ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪-‬‬ ‫ﻻﮔﺮاﻧﮋ )‪ (۴.٢۴‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ ˆ‬ ‫‪ W‬ﺑﺼﻮرت ﺗﻮاﻧ از ‪ ε‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺴﻂ داده ﺷﻮد ‪:‬‬ ‫∫‬ ‫ˆ‬ ‫‪W = {L(x, y, y′ ) + εX (1) L + O(ε2 ))(1 + ε(D x ξ) + O(ε2 )}dx.‬‬ ‫ﻋﺒﺎرات ﻣﺮﺗﺒﻪ اول را ﺑﺎ ﯾ ﺪﯾ ﺮ ﺟﻤ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪ ،‬اﮔﺮ‬ ‫) ‪(٢٧.۴‬‬



‫‪X (1) L + (D x ξ)L = 0‬‬



‫ﺑﺎﺷﺪ‪ˆ = W ،‬‬ ‫‪ W‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻮﯾﮋه‪ ،‬اﮔﺮ ‪ Ly = 0‬ﺑﺎﺷﺪ‪ X = ∂y ،‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ را ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺷﺪه از اﯾﻦ ﺷﺮط اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪ -‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ‪،‬‬ ‫‪D x (Ly′ ) = 0,‬‬ ‫‪۶۴‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫‪ .٢.۴‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫) ‪(٢٨.۴‬‬



‫‪Ly′ (x, y′ ) = c1 .‬‬



‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ )‪ (۴.٢٨‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X = ∂y‬را ﺣﻔﻆ ﻣ ﮐﻨﺪ‪،‬‬ ‫ﻟﺬا ﮐﺎﻫﺶ ﺑﯿﺸﺘﺮ ﻣﺮﺗﺒﻪ اﻣ ﺎن ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ اﻣﺮ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔ اﻧﺠﺎم ﻣ ﭘﺬﯾﺮد‪ ،‬از )‪ (۴.٢٨‬ﺑﺮای ﻧﻮﺷﺘﻦ‬ ‫) ‪y′ = F(x; c1‬‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ )ﺑﺮای ﺗﺎﺑﻌ ﻣﺜﻞ ‪ (F‬و ﺳﭙﺲ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬ ‫∫‬ ‫‪y = F(x; c1 )dx + c2 .‬‬ ‫روش ﻓﻮق را ﺑﺮای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ دﯾ ﺮ ﻧﯿﺰ ﻣ ﺗﻮان اﺳﺘﻔﺎده ﮐﺮد‪ .‬ﯾ ﻣﻮﻟﺪ ﺧﺎص ‪ X‬ﮐﻪ‬ ‫در راﺑﻄﻪ )‪ (۴.٢٧‬ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﺪ ﺑﺎﯾﺪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ را ﺑﺮﺣﺴﺐ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺑﺎز ﻧﻮﯾﺴ ﻧﻤﺎﯾﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ‬ ‫‪ X = ∂ s‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ‬ ‫∫‬ ‫‪˜ s, s˙)dr = 0,‬‬ ‫‪δW = δ L(r,‬‬ ‫) ‪(٢٩.۴‬‬ ‫را ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮ در اﻧﺘ ﺮال دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٣٠.۴‬‬



‫‪˜ s, s˙) = L .‬‬ ‫‪L(r,‬‬ ‫‪Dx r‬‬



‫ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﺷﺮط )‪ (۴.٢٧‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ‪L˜ s = 0 ،‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪-‬‬ ‫ﻻﮔﺮاﻧﮋ‬ ‫‪L˜ s − Dr (L˜ s˙ ) = 0,‬‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫) ‪(٣١.۴‬‬



‫‪L˜ s˙ (r, s˙) = c1‬‬



‫ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﺑ ﺎرﮔﯿﺮی )‪ (۴.٣١‬ﺑﺮای ﻧﻮﺷﺘﻦ ˙‪ s‬ﺑﻌﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از ‪ r‬و ‪ c1‬و ﺳﭙﺲ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ‪ ، s‬ﺣﻞ‬ ‫ﮐﺎﻣﻞ ﻣ ﮔﺮدد‪.‬‬ ‫‪ ۴.۴‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﯾ از ﻣﺴﺎﺋﻞ اﺳﺎﺳ ﻣ ﺎﻧﯿ ﮐﻼﺳﯿ ‪ ،‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺣﺮﮐﺖ ﺷ ای اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ دﺳﺘ ﺎه‬ ‫ﺑﻘﺎ ﺑﯿﺎن ﻣ ﺷﻮد‪ .‬اﺻﻞ ﻫﻤﯿﻠﺘﻮﻧﯿﻦ ﺑﯿﺎن ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﻻﮔﺮاﻧﮋﯾﻦ‪،‬‬ ‫‪L = T − U,‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ‪ T‬اﻧﺮژی ﺟﻨﺒﺸ ﺷ و ‪ U‬اﻧﺮژی ﭘﺘﺎﻧﺴﯿﻞ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭼﻨﯿﻦ ﺳﯿﺴﺘﻢﻫﺎی ﺳﺎدهای ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬ ‫) ‪(٣٢.۴‬‬



‫‪1‬‬ ‫)‪L = y′2 − U(y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪۶۵‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫‪ .٢.۴‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬در اﯾﻨﺠﺎ )‪ y(x‬ﻣﻮﻗﻌﯿﺖ ﺷ در زﻣﺎن ‪ x‬را ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪ -‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ ﺑﺼﻮرت ذﯾﻞ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪ y′′ = −G(y).‬ﮐﻪ‬



‫) ‪(٣٣.۴‬‬



‫‪dv‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪dy‬‬



‫= )‪G(y‬‬



‫ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (۴.٣٣‬دارای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﺑﺎ ﻣﻮﻟﺪ ‪ X = ∂ x‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در واﻗ ﺑﺮای‬ ‫اﻏﻠﺐ ﺗﻮاﺑ ‪ ،G‬اﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻫﺴﺘﻨﺪ ‪ .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﺬﮐﻮر ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﻫﺴﺘﻨﺪ ‪ ،‬زﯾﺮا‬ ‫‪X (1) L + (D x ξ)L = L x = 0.‬‬ ‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ )‪ ، (r, s) = (y, x‬ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﺑﺎ )‪ (۴.٢٩‬ﻫﻢ ارز ﻣ ﺷﻮد‪ ،‬ﮐﻪ‬ ‫‪′‬‬ ‫‪˜ s˙) = L = y − U(y) = 1 − U(r) s˙.‬‬ ‫‪L(r,‬‬ ‫‪Dx r 2‬‬ ‫‪y′‬‬ ‫˙‪2 s‬‬



‫ﺑﺎ ﺑ ﺎرﮔﯿﺮی )‪ ،(۴.٣١‬اوﻟﯿﻦ اﻧﺘ ﺮال ﺑﺼﻮرت ذﯾﻞ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L˜ s˙ = − 2 − U(r) = c1 .‬‬ ‫˙‪2 s‬‬ ‫ﺑﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی اوﻟﯿﻪ ﺑﺎز ﻣ ﮔﺮدﯾﻢ‪،‬‬ ‫‪1 ′2‬‬ ‫‪y + U(y) = −c1 ,‬‬ ‫‪2‬‬



‫) ‪(٣۴.۴‬‬ ‫و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫) ‪(٣۵.۴‬‬



‫‪dy‬‬ ‫‪+ c2‬‬ ‫√‬ ‫) ‪−2(U(y) + c1‬‬



‫∫‬ ‫‪x=±‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻪ ﻓﺮم )‪ (۴.٣٣‬ﻣﻌﻤﻮﻻ ﺗﻮﺳﻂ روش اﺳﺘﺎﻧﺪاردی از ﺿﺮب ﻃﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ y′‬و ﺳﭙﺲ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺟﺪاﯾ ﭘﺬﯾﺮ )‪ (۴.٣۴‬ﺣﻞ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ روش ﭼﯿﺰی ﺑﯿﺸﺘﺮ از اﺳﺘﺨﺮاج ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﺧﺎص از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﻧﻤ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺮای ردهﻫﺎی‬ ‫دﯾ ﺮ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ‪ ،‬روش ﺣﻞ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﺑﺪﯾﻬ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ ﺣﺎل اﮔﺮ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﻣﻮﺟﻮد‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻣ ﺗﻮان آﻧﻬﺎ را ﯾﺎﻓﺖ و ﺑﻄﻮر ﺳﯿﺴﺘﻤﺎﺗﯿ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد‪.‬‬ ‫‪ ۵.۴‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫) ‪(٣۶.۴‬‬



‫‪y′ 3y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x 2x3‬‬



‫= ‪y′′‬‬



‫ﮐﻪ از ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﮐﻪ ﻻﮔﺮاﻧﮋﯾﻦ آن‬ ‫) ‪(٣٧.۴‬‬



‫‪y′2 y3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x 2x4‬‬



‫= ) ‪L(x, y, y′‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻓﻮق ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻘﯿﺎﺳ ای ﺑﺎ ﻣﻮﻟﺪ‬ ‫; ‪X = x∂ x + y∂y‬‬ ‫‪۶۶‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫‪ .٢.۴‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫دارد‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﻟ دﯾ ﺮی ﻧﺪارد‪ .‬اﮔﺮﭼﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X‬ﺗﻮﻟﯿﺪ‬ ‫ﻣ ﺷﻮﻧﺪ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬زﯾﺮا‬ ‫‪X (1) L + (D x ξ)L = xL x + yLy + L = 0‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪(r, s) = ( , ln |x|),‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻻﮔﺮاﻧﮋﯾﻦ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﺑﻪ ﻓﺮم‪:‬‬ ‫‪y′2 + ( yx )3‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ˜‪L‬‬ ‫=‬ ‫˙‪+ r + (r3 + r2 ) s‬‬ ‫= ‪y‬‬ ‫‪′‬‬ ‫˙‪D x r 2(y − x ) 2 s‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪ -‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ ﺑﻪ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ (r3 + r2 ) = c1 ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫˙‪2 s‬‬



‫‪−‬‬



‫ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ و ﻟﺬا ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﺑﺼﻮرت ذﯾﻞ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٣٨.۴‬‬



‫‪.‬‬



‫‪dr‬‬ ‫‪r3 + r2 − 2c1‬‬



‫√‬



‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬



‫∫‬ ‫‪ln |x| = ±‬‬



‫ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﻪ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺑﺎﻻﺗﺮ اﻧﺘﻘﺎل ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﻻﮔﺮاﻧﮋﯾﻦ‬ ‫‪L = L(x, y, y′ , · · · , y(p) ),‬‬



‫) ‪(٣٩.۴‬‬ ‫را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪ -‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ‬ ‫) ‪(۴٠.۴‬‬



‫‪p‬‬



‫‪Ly − D x (Ly′ ) + D2x (Ly′′ ) − · · · + (−1) p D x (Ly(p) ) = 0‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻌﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﺑﺎ اﺳﺘﺪﻻﻟ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺮای ‪ ، p = 1‬اﮔﺮ‬ ‫) ‪(۴١.۴‬‬



‫‪X (p) L + (D x ξ)L = 0‬‬



‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪ -‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ‪ ،‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ X = ∂y‬ﺑﺎﺷﺪ‪) .‬در ﺻﻮرت ﻟﺰوم‪ ،‬اﺑﺘﺪا ﻣﺴﺌﻠﻪ را در ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ(‬ ‫ﺳﭙﺲ از )‪ (۴.۴١‬ﻣﺴﺘﺪل ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ‪ Ly = 0‬اﺳﺖ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪ -‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ ﺑﻪ‬ ‫) ‪(۴٢.۴‬‬



‫‪p−1‬‬



‫‪Ly′ − D x (Ly′′ ) + · · · + (−1) p−1 D x (Ly(p) ) = c1‬‬



‫ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﻣﺬﮐﻮر دارای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ای ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ‬ ‫ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﺠﺪداً ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ‬ ‫) ‪(۴٣.۴‬‬



‫‪p−1‬‬ ‫‪L˜ v − Dr (L¯ v˙ ) + · · · + (−1) p−1 Dr (L¯ v(p−1) ) = 0,‬‬



‫‪۶٧‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫‪ .٣.۴‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﺑﺪ ﮐﻪ‬ ‫‪(r, v) = (x, y′ ),‬‬ ‫‪¯ v, · · · , v(p−1) ) = L − c1 v,‬‬ ‫‪L(r,‬‬ ‫و‬ ‫· · · ‪Dr = ∂r + v˙ ∂v + v¨ ∂v˙ +‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻪ وﺿﻮح‪ ،‬راﺑﻄﻪ )‪ (۴.۴٣‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪ -‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ ﺑﺮای ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ‬ ‫∫‬ ‫‪¯ =0‬‬ ‫‪Ldr‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ اﯾﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺑﺘﻮان ﺣﻞ ﻧﻤﻮد )ﺑﺎ ﮐﻤ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ اوﻟﯿﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی‬



‫‪δ‬‬



‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ اﯾﻦ اﻣ ﺎن وﺟﻮد دارد(‪ ،‬آﻧ ﺎه ﺟﻮاب‬



‫‪v(r; c1 , · · · , c2p−1 )dr + c2p‬‬



‫‪x‬‬



‫∫‬ ‫=‪y‬‬



‫ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٣.۴‬‬



‫ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫ﺑﺴﯿﺎری از ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﺧﻮد‪ ،‬ﺑﻄﻮر ﮐﺎﻣﻞ ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺣﻞ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ ﺣﺎل‪ ،‬اﯾﻦ اﻣﺮ اﻣ ﺎن ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﯾ ‪ X‬ﺧﺎص‬ ‫ﻧﺎوردا ﻫﺴﺘﻨﺪ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮ )‪ ،(٢.١۵‬ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ ‪ C‬ﮐﻪ روی ﺻﻔﺤﻪ )‪ (x, y‬ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ‬ ‫ﺷﺪه ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X‬ﻧﺎورداﺳﺖ‪ ،‬در‬ ‫‪Q(x, y, y′ ) = η − y′ ξ = 0‬‬



‫) ‪(۴۴.۴‬‬



‫روی ‪ C‬ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺑﻮﯾﮋه ﻻزم اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول )‪ (۴.۴۴‬را ﺣﻞ ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‬ ‫و ﺑﺮرﺳ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﮐﺪاﻣﯿ از اﯾﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎ)اﻟﺒﺘﻪ اﮔﺮ ﺟﻮاﺑ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ( در ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﻣﻔﺮوض ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ ۶.۴‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫) ‪(۴۵.۴‬‬



‫ﺑﻼﺳﻮس ‪١‬‬



‫‪y′′′ = −yy′′ ,‬‬



‫دارای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی اﻧﺘﻘﺎل و ﻣﻘﯿﺎس ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ‬ ‫) ‪(۴۶.۴‬‬



‫‪X2 = x∂ x − y∂y‬‬



‫‪,‬‬



‫‪X1 = ∂ x‬‬



‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪهاﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﻗﺎدرﻧﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﻼﺳﻮس را ﺑﻪ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﮐﻪ ﺟﻮاﺑﺶ ﻣﺠﻬﻮل‬ ‫اﺳﺖ ﮐﺎﻫﺶ دﻫﻨﺪ‪ .‬ﻟﺬا ﺗﻨﻬﺎ اﺣﺘﻤﺎل ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎی دﻗﯿﻖ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬ ‫‪Blasius١‬‬



‫‪۶٨‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫‪ .٣.۴‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫ﺑﺎﺷﯿﻢ‪ .‬ﺑﺮای ‪ ، X = X1‬ﺷﺮط ﻣﻨﺤﻨ ﻧﺎوردا )‪ (۴.۴۴‬ﺑﻪ ‪ y′ = 0‬ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﻟﺬا ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ‬ ‫‪ X1‬ﻧﺎورداﺳﺖ ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬ ‫) ‪(۴٧.۴‬‬



‫‪y = c.‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻤﺎم ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎﯾ ﮐﻪ ﺑﺪﯾﻦ ﺷ ﻞ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﻼﺳﻮس ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﮐﻨﻮن ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ‪ X = X2‬ﻧﺎوردا ﻫﺴﺘﻨﺪ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺷﺮط ﻣﻨﺤﻨ ﻧﺎوردا‬ ‫‪Q = −y − xy′ = 0.‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﻧﺎوردا‬ ‫‪c∈R‬‬



‫‪c‬‬ ‫‪y= ,‬‬ ‫‪x‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ‬ ‫) ‪(۴٨.۴‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬



‫= ‪ y‬ﯾﺎ‬



‫‪y=0‬‬



‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﻼﺳﻮس ﺻﺎدق اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ ﺟﻮاﺑ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ‪ X1‬و ‪ X2‬ﻧﺎورداﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻨﺤﻨ ‪ y = 0‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫آﯾﺎ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردای دﯾ ﺮی وﺟﻮد دارﻧﺪ؟ ﻫﻨﻮز ﺗﻤﺎﻣ ﮔﺮوﻫﻬﺎی ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﻣﻤ ﻦ را در ﻧﻈﺮ‬ ‫ﻧ ﺮﻓﺘﻪاﯾﻢ‪ .‬اﯾﻦ اﻣﺮ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔ اﻧﺠﺎم ﻣ ﭘﺬﯾﺮد‪ ،‬زﯾﺮا ﻫﺮ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺑﺎﻗﯿﻤﺎﻧﺪه ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ = ‪X‬‬ ‫‪ kX1 + X2‬ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ k‬ﻣﺨﺎﻟﻒ ﺻﻔﺮ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺷﺮط ﻧﺎورداﯾ ﻣﻨﺤﻨ‬ ‫‪Q = −y − (x + k)y′ = 0,‬‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬ ‫) ‪(۴٩.۴‬‬



‫‪3‬‬ ‫‪x+k‬‬



‫‪y = 0,‬‬



‫=‪y‬‬



‫ﻣﻨﺘﻬ ﻣ ﮔﺮدد‪.‬‬ ‫ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻓﻮق ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻤﻞ ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X1‬ﺑﺮ روی ﻫﺮﯾ‬ ‫)‪ (۴.۴٨‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪ .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪X1‬‬ ‫) ‪(۵٠.۴‬‬



‫‪ε∈R‬‬



‫از ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫‪( xˆ, yˆ ) = (x + ε, y),‬‬



‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻋﻤﻞ )‪ (۴.۵٠‬را ﺑﺮ روی ﺟﻮاب ﻧﺎوردا ‪ y = 3/x‬در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﺟﻮاب ﺑﺼﻮرت‬ ‫) ‪(۵١.۴‬‬



‫‪3‬‬ ‫;‬ ‫‪xˆ − 3‬‬



‫= ˆ‪y‬‬



‫ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺗﺤﺖ‬ ‫ˆ‪(X2 xˆ)∂ xˆ + (X2 yˆ )∂y‬‬ ‫ˆ‪x∂ xˆ − y∂y‬‬



‫=‬ ‫=‬



‫‪( xˆ − 3)∂ xˆ − yˆ ∂yˆ .‬‬



‫=‬



‫‪۶٩‬‬



‫‪X2‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬ ‫ﻧﺎورداﺳﺖ‪ .‬اﮐﻨﻮن ﺑﻪ ﻣﻌﺮﻓ ﯾ‬



‫‪ .٣.۴‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫ﻧﻤﺎدﮔﺬاری ﺳﻮدﻣﻨﺪ ﻣ ﭘﺮدازﯾﻢ؛ اﮔﺮ‬ ‫‪Xi = ξi (x, y)∂ x + ηi (x, y)∂y‬‬



‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫) ‪(۵٢.۴‬‬



‫‪Xˆ i = ξi ( xˆ, yˆ )∂ xˆ + ηi ( xˆ, yˆ )∂yˆ .‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪ (۴.۵١‬ﺗﺤﺖ‬ ‫‪X2 = Xˆ 2 − εXˆ 1 ,‬‬ ‫‪،‬‬



‫ﻧﺎورداﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﺑﺮداﺷﺘﻦ ﻋﻼﻣﺖ ﻫﺸﺘ‬



‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬



‫= ‪ y‬ﺑﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x−ε‬‬



‫) ‪(۵٣.۴‬‬



‫=‪y‬‬



‫ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ‪ X2 − εX1‬ﻧﺎوردا ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ ‪ y = 0‬ﺑﻪ ﺧﻮدش ﺗﻮﺳﻄ‬ ‫ﻋﻤﻞ ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X1‬ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻧﺎوردا )‪ r(x, y‬در‬ ‫‪ξD x r + Qry = ξr x + ηry = 0,‬‬ ‫ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻟﺬا ﻫﺮ ﺟﻮاب ﻧﺎورداﯾ ﮐﻪ در آن ‪ ξ , 0‬ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ ﺷ ﻞ ‪ r(x, y) = c‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ‬ ‫ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا)‪ y = f (x‬ﻧﯿﺰ ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻗﺴﻤ ﮐﻪ‬ ‫) ‪(۵۴.۴‬‬



‫‪ξ(x, f (x)) = η(x, f (x)) = 0‬‬



‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫در ﺑﯿﺎن ﮐﻠ اﯾﻨﻬﺎ ﺑﻪ آﺳﺎﻧ ﺗﻮﺳﻄ ﺣﻞ ‪ ξ(x, y) = 0‬ﯾﺎ ‪ η(x, y) = 0‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﺑﺮرﺳ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‬ ‫ﮐﻪ ﺟﻮاب در ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (۴.۴۵‬ﺻﺪق ﻧﻤﺎﯾﺪ‪.‬‬ ‫روش دﯾ ﺮی ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎورداﯾ ﮐﻪ در آﻧﻬﺎ ‪ ξ‬ﻧﺎﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻮﺟﻮد ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺑﻮﯾﮋه در‬ ‫ﺣﺎﻟﺘ ﮐﻪ ﺣﻞ ﻧﻤﻮدن راﺑﻄﻪ )‪ (۴.۴۴‬ﺳﺎده ﻧﺒﺎﺷﺪ ﺳﻮدﻣﻨﺪ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ‪ ξ ،‬و ‪ η‬ﻓﻘﻂ‬ ‫ﺗﻮاﺑﻌ از ‪ x‬و‪ y‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ اﮔﺮ‬ ‫)‪η(x, y‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪ξ(x, y‬‬



‫) ‪(۵۵.۴‬‬



‫= ‪y′‬‬



‫روی ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﻧﺎوردا ﮐﻪ ﺑﺮای آﻧﻬﺎ ‪ (۴.۴۴) ، ξ(x, y) , 0‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﻓﺮﻣﻮل‬ ‫اﻣﺘﺪاددﻫ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻫﻨ ﺎﻣﯿ ﻪ ﻧﺘﺎﯾ در ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺟﺎﯾ ﺬاری ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪،‬‬ ‫ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺟﺒﺮی ﮐﻪ ﺗﻤﺎﻣ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب ﻧﺎوردا را ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﺪ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﻣﺜﺎل ﺑﻌﺪ روش‬ ‫ﮐﻠ را ﺷﺮح ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫‪ ٧.۴‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫) ‪(۵۶.۴‬‬



‫‪x > 0,‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y3‬‬



‫= ‪y′′′‬‬



‫را ﺑﺨﺎﻃﺮ ﺑﯿﺎورﯾﺪ ﮐﻪ ‪ L‬ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪X2 = x∂ x + y∂y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪٧٠‬‬



‫‪,‬‬



‫‪X1 = ∂ x‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫‪ .٣.۴‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺮﺧﻼف ﻣﺜﺎل ﻗﺒﻞ‪ ،‬ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X1‬ﻧﺎوردا ﺑﺎﺷﻨﺪ وﺟﻮد ﻧﺪارﻧﺪ‪ .‬ﺷﺮط‬ ‫ﻣﻨﺤﻨ ﻧﺎوردا ﺑﺮای ‪X = X2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Q = y − xy′ = 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﻟﺬا‪ ،‬روی ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ ﻧﺎوردا‬ ‫‪3y‬‬ ‫‪4x‬‬



‫) ‪(۵٧.۴‬‬



‫= ‪y′‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﮐﻨﻮن از)‪ (۴.۵٧‬ﺑﺮای ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ‪ y′′‬و ‪ y′′′‬روی ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﻧﺎوردا اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪ .‬اﺑﺘﺪا از‬ ‫)‪ (۴.۵٧‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ x‬ﻣﺸﺘﻖ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪3y′ 3y‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4x 4x2‬‬



‫= ‪y′′‬‬



‫ﺳﭙﺲ ﺑﺮای ﺗﻌﯿﯿﻦ ‪ y′′‬ﺑﻌﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از‪ x‬و ‪ y‬از راﺑﻄﻪ )‪ (۴.۵٧‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪9y‬‬ ‫‪3y‬‬ ‫‪3y‬‬ ‫‪− 2 =−‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16x‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪16x2‬‬



‫= ‪y′′‬‬



‫ﺑﻄﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ‬ ‫) ‪(۵٨.۴‬‬



‫‪3y′‬‬ ‫‪3y‬‬ ‫‪15y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪16x2 8x3 64x3‬‬



‫‪y′′′ = −‬‬



‫روی ﻫﺮ ﻣﻨﺤﻨ ﻧﺎوردا ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ )‪ (۴.۵٨‬ﺑﺎ )‪ (۴.۵۶‬ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﻣﻨﺤﻨ ﻫﺎی ﺟﻮاب ﻧﺎوردا‪،‬‬ ‫) ‪(۵٩.۴‬‬



‫‪64 1/4 3/4‬‬ ‫‪) x‬‬ ‫‪15‬‬



‫(‪y = ±‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ﻣﺜﺎل ﻗﺒﻞ‪ ،‬ﯾ ﺧﺎﻧﻮاده ﮐﺎﻣﻞ از ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا وﺟﻮد دارد ﮐﻪ از ﻋﻤﻞ ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه‬ ‫ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X1‬روی ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ‪ X2‬ﻧﺎوردا ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺑﻪ وﺟﻮد ﻣ آﯾﻨﺪ‪ .‬ﺑﻮﯾﮋه‬ ‫) ‪(۶٠.۴‬‬



‫‪64 1/4‬‬ ‫‪) (x − ε)3/4‬‬ ‫‪15‬‬



‫(‪y = ±‬‬



‫اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ‪ X2 − εX1‬ﻧﺎوردا ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬



‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮ‬ ‫ﺑﻠﻮﻣﻦ و ﮐﻮﻣ )‪ (1989‬و اوﻟﻮر )‪ (1993‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ را ﺑﺎ ﺟﺰﺋﯿﺎت ﺑﯿﺸﺘﺮ ﺷﺮح دادهاﻧﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ‬ ‫در زﻣﯿﻨﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ ﺣﺎﺋﺰ اﻫﻤﯿﺖ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﮐﻪ )ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﻗﻀﯿﮥ ﻧﻮﺗﺮ( ﺑﺮای اﺳﺘﻨﺘﺎج ﮐﺮدن‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن ﺑﻘﺎ ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑ ﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮﻧﺪ ‪.‬‬ ‫ﺑﺮﺧ از ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ دارای ﺧﻮاص ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژﯾ ﺧﺎﺻ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ آﻧﻬﺎ‬ ‫را از ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺰدﯾ ﺑﻪ ﺟﻮاب ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻣﺘﻤﺎﯾﺰ ﻣ ﺳﺎزﻧﺪ‪ .‬ﺑﺨﺶ ‪ ٣.۶‬از ﺑﻠﻮﻣﻦ و ﮐﻮﻣ )‪ (1989‬ﺷﺎﻣﻞ‬ ‫ﺗﻌﺪاد زﯾﺎدی ﻣﺜﺎل از ﯾ ﭼﻨﯿﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪٧١‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫‪ .٣.۴‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫ﺗﻤﺮﯾﻦﻫﺎ‬ ‫‪ ١.۴‬ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ y′′ = y′ /y2‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪ .‬ﻣﺨﺘﺼﺎت‬ ‫ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ‪ X1 = ∂ x‬را ﺑﺮای ﮐﺎﻫﺶ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻪ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬ ‫ﺳﺎده ﺑ ﺎر ﺑﺮﯾﺪ و در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اﺻﻠ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﮐﻨﻮن ﺳﻌ ﮐﻨﯿﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻮﻟﺪ ﺗﻘﺎرن دﯾ ﺮی ﺣﻞ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪ .‬ﭼﻪ اﺗﻔﺎﻗ رخ ﻣ دﻫﺪ؟‬ ‫‪ ٢.۴‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ y′′ = (3y′2 )/(2y) + 2y3‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ )در ﻣﯿﺎن دﯾ ﺮ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ( دارد‬ ‫ﮐﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X = ∂ x‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ را ﺑﺮای ﮐﺎﻫﺶ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻪ ﯾ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ روش اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ اﺳﺖ ﺑ ﺎر ﺑﺒﺮﯾﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ اﺻﻠ را ﺣﻞ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ ٣.۴‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ y′′ = 0‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪-‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ ﺑﺮای ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﮐﻪ ﻻﮔﺮاﻧﮋﯾﻦ آن‬ ‫‪ L = y′2 /2‬اﺳﺖ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬از )‪ (3.28‬ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ‪ 3‬ﻣﻮﻟﺪ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺧﻄ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ اﯾﻦ‬ ‫ﻣﺴﺎﻟﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ ۴.۴‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪ -‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ را ﺑﺮای ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﺑﺎ ﻻﮔﺮاﻧﮋﯾﻦ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L = y′2 − 2 + √ + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8x‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ ﺑﯿﺎورﯾﺪ‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻘﯿﺎﺳ ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪ -‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ ‪ ،‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪ ۵.۴‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ‪ X = xy∂ x + y2 ∂y‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ‪ y′ = (y3 )/ (x + 1)y2 − x2‬ﮐﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی‬ ‫آن ﺗﺤﺖ اﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﻧﺎوردا ﻫﺴﺘﻨﺪ را ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ ۶.۴‬ﮐﻠﯿﺪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی )‪ (١.١۶‬ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دوران ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X = −y∂ x + x∂y‬ﻧﺎوردا‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪ .‬از ﺷ ﻞ )‪ (١.۵‬ﺑﺮای ﺷﺮح دادن ﻣﻔﻬﻮم ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژﯾ اﯾﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ ٧.۴‬ﺟﻮاب ﻧﺎوردا ‪ -‬ﮔﺮوﻫ ﻧﺎﺑﺪﯾﻬ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻮﻣﺎس ‪ -‬ﻓﺮﻣ ‪ y′′ = x−1/2 y3/2‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ ٨.۴‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬



‫ﭘﻮازون‪-‬ﺑﻮﻟﺰﻣﻦ ‪٢‬‬



‫}‪δ ∈ {−1, 1‬‬



‫‪k , 0,‬‬



‫‪−k ′‬‬ ‫‪y − δey ,‬‬ ‫‪x‬‬



‫= ‪y′′‬‬



‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ دارد ﮐﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X = x∂ x − 2∂y‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫از ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﺑﺎ ﻻﮔﺮاﻧﮋﯾﻦ‬ ‫‪xk y′2‬‬ ‫‪− δxk ey‬‬ ‫‪2‬‬



‫=‪L‬‬



‫ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﻣﻘﺪار ‪ k‬را ﺑﺮای ‪ X‬ای ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ را ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﮐﻨﺪ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ و ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﺣﻞ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻫﻤﻪ ‪ k‬ﻫﺎی ﻧﺎﺻﻔﺮ دﯾ ﺮ‪ ،‬ﮐﻠﯿﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾ ﮐﻪ‬ ‫ﺗﺤﺖ ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X‬ﻧﺎوردا ﻫﺴﺘﻨﺪ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪Poisson-Boltzman٢‬‬



‫‪٧٢‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫‪ .٣.۴‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫‪ ٩.۴‬ﺧﺎﻧﻮاده ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﺑﺎ ﻻﮔﺮاﻧﮋﯾﻨ ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬ ‫‪k,0‬‬



‫‪x2 y′2 x2 yk‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪k‬‬



‫=‪L‬‬



‫را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﻣﻘﺪار ‪ k‬را ﺑﺮای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻐﯿﯿﺮاﺗ ﻣﻮﺟﻮد ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ ‪ -‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ‬ ‫را در ﻫﺮ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬



‫‪٧٣‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۴‬اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺮوه ﻟ ﯾ‬



‫‪ .٣.۴‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫‪٧۴‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪۵‬‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫ﻮن ﯽ ﻮا ﻢ ﻤﻞ ﻢ‪ ،‬ﺮا ﯾﺎد اوردم‪ ،‬و ﺑﺎ ﻋﻼ‬



‫ﺑﺨﺶ ‪١.۵‬‬



‫‪ X‬زل زدم‪ :‬و ﯽ دا ﻢ ا‬



‫ﯽ دم‪.‬‬



‫)ج‪.‬ک‪ .‬ﺮ ﻮن‪ :‬ﺪردی وا ﯽ(‬



‫ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ و ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ‬



‫ﯾ ﻣﻮﻟﺪ ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻔﺮد ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﻣﺎ را ﻗﺎدر ﻣ ﺳﺎزد ﺗﺎ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﯾ ﺒﺎر‬ ‫دﯾ ﺮ ﮐﺎﻫﺶ دﻫﯿﻢ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻣﺜﺎﻟ از ﯾ ﮐﺎﻫﺶ دوﮔﺎﻧﻪ ﻣﺮﺗﺒﻪ را ﺑﺎ ﺑ ﺎرﮔﯿﺮی دو ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ دﯾﺪه‬ ‫اﯾﻢ‪ .‬در واﻗ ﻣ ﺗﻮان ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n‬ﮐﻪ دارای ‪ R ≤ n‬ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ اﺳﺖ‬ ‫را ﺑﻪ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪) n − R‬ﯾﺎ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ای ﺟﺒﺮی در ﺣﺎﻟﺖ ‪ (n = R‬ﮐﺎﻫﺶ داد‪.‬‬ ‫اﯾﻦ ﺑﺨﺶ ﺷﺮح ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ ﭼ ﻮﻧﻪ ﭼﻨﯿﻦ ﮐﺎﻫﺶﻫﺎﯾ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ‪ X‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫) ‪(١.۵‬‬



‫‪n≥2‬‬



‫‪y(n) = ω(x, y, y′ , · · · , y(n−1) ),‬‬



‫را ﺗﻮﻟﯿﺪ ﮐﻨﺪ آﻧ ﺎه ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ )‪ ،(r, s‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.۵‬ﺑﻪ‬ ‫) ‪(٢.۵‬‬



‫‪v(n−1) = Ω(r, v, · · · , v(n−2) ),‬‬



‫ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﮐﻪ )˙‪ v = v(r, s‬ﺗﺎﺑﻌ دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ ‪ .v s˙ , 0‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ‬ ‫ﯾﺎﻓﺘﻪ)‪ (٢.۵‬ﺷﺎﻣﻞ ﮐﻠﯿﻪ ﺗﻮاﺑﻌ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ﻋﻤﻞ )اﻣﺘﺪاد ﯾﺎﻓﺘﻪ( ﮔﺮوﻫ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ‪ X = ∂ s‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه‪،‬‬ ‫ﻧﺎوردا ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﭼﻨﯿﻦ ﺗﻮاﺑﻌ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﺎﺑ ﻏﯿﺮ ﺛﺎﺑﺖ ) )‪ I(x, y, y′ , ..., y(k‬ﯾ ﻧﺎوردای دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪ k‬ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻄ‪ X‬اﺳﺖ ﻫﺮ‬ ‫ﮔﺎه‬



‫) ‪(٣.۵‬‬



‫‪X (k) I = 0‬‬ ‫‪٧۵‬‬



‫‪ .١.۵‬ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ و ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫در ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ‪ X (k) = ∂ s ،‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻫﺮ ﻧﺎوردای دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ k‬ﺑﺮای ﺗﺎﺑﻌ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ F‬ﺑﻪ‬ ‫ﺷ ﻞ ) )‪ I = F(r, s˙, ..., s(k‬ﯾﺎ ﺑﻄﻮر ﻣﻌﺎدل ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(۴.۵‬‬



‫) )‪I = F(r, v, · · · , v(k−1‬‬



‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻧﺎوردای )‪ r(x, y‬ﺗﻨﻬﺎ ﻧﺎوردای دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺻﻔﺮ) در ﺣﺪ واﺑﺴﺘ ﺗﺎﺑﻌ ( ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﮐﻠﯿﻪ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﺗﻮاﺑﻌ از )‪ r(x, y‬و) ‪ v(x, y, y′‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﻌﻼوه ﻫﻤﻪ ﻧﺎورداﻫﺎی‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﻣﺮﺗﺒﻪ دو ﯾﺎ ﺑﯿﺸﺘﺮ ﺗﻮاﺑﻌ از ‪ r‬و ‪ v‬و ﻣﺸﺘﻘﺎت ‪ v‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ r‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬از اﯾﻨﺮو ‪ r‬و ‪ v‬ﻧﺎورداﻫﺎی‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﻏﻠﺐ ﻣ ﺗﻮان ﯾ زوج ﻣﻨﺎﺳﺐ از ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ ﯾﺎﻓﺖ‪ ،‬ﺑﺪون اﯾﻨ ﻪ ﻻزم ﺑﺎﺷﺪ ‪ s‬را‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬از )‪ (٣.۵‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﺷﻮد ﻫﺮ ﻧﺎوردای دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ k‬در‬ ‫‪ξI x + ηIy + · · · + η(k) Iy(k) = 0,‬‬ ‫ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )از روش ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎ( ‪ I‬ﯾ‬



‫اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ‬



‫‪dx dy‬‬ ‫)‪dy(k‬‬ ‫=‬ ‫)‪= · · · = (k‬‬ ‫‪ξ‬‬ ‫‪η‬‬ ‫‪η‬‬



‫) ‪(۵.۵‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺨﺼﻮص ‪ r‬اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ‬



‫‪dx dy‬‬ ‫=‬ ‫‪ξ‬‬ ‫‪η‬‬ ‫و ‪ v‬اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ‬ ‫‪dx dy dy′‬‬ ‫=‬ ‫)‪= (1‬‬ ‫‪ξ‬‬ ‫‪η‬‬ ‫‪η‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ در ﻣﺜﺎل زﯾﺮ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه ‪،‬ﮔﺎﻫ اوﻗﺎت ﻻزم اﺳﺖ ‪ v‬را ﺗﻮﺳﻂ ‪ r‬ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﻢ‪.‬‬ ‫‪ ١.۵‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ ﮔﺮوه دوراﻧﻬﺎ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫) ‪(۶.۵‬‬



‫‪X = −y∂ x + x∂y‬‬



‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﺷﻮد را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪ Xr = 0 .‬و ‪ X (1) v = 0‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪ r(x, y‬اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ‬ ‫‪dx dy‬‬ ‫=‬ ‫‪−y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﯾ‬ ‫) ‪(٧.۵‬‬



‫ﺟﻮاب ‪ r = (x2 + y2 )1/2‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ً‪ v(x, y, y′ ) ،‬اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ‬ ‫‪dx dy‬‬ ‫‪dy′‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪−y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 + y′2‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺑﻪ ‪ x > 0‬ﻣﺤﺪود ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪= 2 2 1/2 .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪(r − y‬‬ ‫‪٧۶‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫‪ .١.۵‬ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ و ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ‬



‫در اﯾﻨﺼﻮرت اﻧﺘ ﺮال ﻫﺎی اوﻟﯿﻪ )‪ (٧.۵‬ﺑﻪ ﻓﺮم زﯾﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫)) ‪( y‬‬ ‫(‬ ‫)) ‪( y‬‬ ‫‪I = F r, arctan(y′ ) − arcsin‬‬ ‫‪= F r, arctan(y′ ) − arctan‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‬



‫ﯾ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﺮای ‪ v‬ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‬ ‫‪( y )) xy′ − y‬‬ ‫‪v = tan arctan(y′ ) − arctan‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x + yy′‬‬ ‫) (‬ ‫اﺛﺒﺎت اﯾﻨ ﻪ ˙‪ v = r s‬ﮐﻪ ‪ s = arctan yx‬ﺑﻪ ﺧﻮاﻧﻨﺪه واﮔﺬار ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ای ﮐﻪ ﺑﯿﺶ از ﯾ ﻣﻮﻟﺪ ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ دارد ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻧﺎورداﻫﺎی‬ ‫ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺗﻮاﺑﻌ ﮐﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ } ﻣﺬﮐﻮر ﻣ {‬ ‫ﺗﺤﺖ ﻫﻤﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرﻧ اش ﻧﺎورداﺳﺖ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ X1 , ..., XR‬ﭘﺎﯾﻪ ای ﺑﺮای ‪ L‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫(‬



‫ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ ،L‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی دﺳﺘ ﺎه زﯾﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(R)   I x   0 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ ξ1 η1 η(1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪η‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(R)   Iy   0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ ξ2 η2 η(1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪η‬‬ ‫‪  Iy′   0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(٨.۵‬‬ ‫‪ =  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪..   ..   . ‬‬ ‫‪ ..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  .   . ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ξR ηR η(1‬‬ ‫)‪. . . η(R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫)‪Iy(R‬‬ ‫‪0‬‬ ‫اﯾﻦ دﺳﺘ ﺎه دو ﺟﻮاب ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺗﺎﺑﻌ دارد )ﻣﺸﺮوط ﺑﺮ اﯾﻨ ﻪ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﻃﺮف ﭼﭗ ﺗﺴﺎوی دارای رﺗﺒﻪ ‪R‬‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ (.‬ﮐﻪ اﯾﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎ ﺑﺎ ﺑ ﺎرﮔﯿﺮی روش ﺣﺬﻓ ﮔﻮﺳ و روش ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪ .‬ﯾ ﺟﻮاب‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻞ از )‪ y(R‬اﺳﺖ و ﺑﺎ ‪ rR‬ﻧﻤﺎﯾﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬از ﻧﻤﺎد ‪ vR‬ﺑﺮای ﻧﻤﺎﯾﺶ دادن ﺟﻮاب دﯾ ﺮ ﮐﻪ ﺑﻄﻮر‬ ‫ﻏﯿﺮ ﺑﺪﯾﻬ ﺑﻪ )‪(R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ dv‬ﺑﻪ )‪ y(R+1‬واﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ و ﻟﺬا‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫‪ y‬واﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﯾﻨ ﻪ ‪drR‬‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.۵‬ﺑﻪ ازای ﺗﺎﺑ دﻟﺨﻮاه ‪ Ω‬ﺑﻪ‬ ‫‪d k vR‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪drRk‬‬ ‫ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﯾ‬ ‫را ﺗﻮﺳﻂ ‪ R‬ﮐﺎﻫﺶ دﻫﯿﻢ‪.‬‬



‫)‪v(n−R‬‬ ‫)‪= Ω(rR , vR , ..., v(n−R−1‬‬ ‫‪),‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬



‫=‪vR(k) :‬‬



‫ﮔﺮوه ﺗﻘﺎرﻧ ‪ R‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﻣﺎ را ﻗﺎدر ﻣ ﺳﺎزد ﺗﺎ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫‪ ٢.۵‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y(iv) = (1 − y′ )y′′′‬‬ ‫‪y‬‬



‫) ‪(٩.۵‬‬ ‫ﯾ‬



‫ﮔﺮوه ﻟ ﺳﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای دارد ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ‬



‫) ‪(١٠.۵‬‬



‫‪X3 = x2 ∂ x + 2xy∂y‬‬



‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ‬ ‫‪‬‬ ‫‪I x   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Iy   0 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪Iy′  =  0  .‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Iy′′ ‬‬ ‫‪Iy′′′‬‬



‫‪X2 = x∂ x + y∂y ,‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫اﺳﺎﺳ ﺑﺎ ﺣﻞ دﺳﺘ ﺎه زﯾﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−y′′‬‬ ‫‪−2y′′′  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2xy 2y 2(y′ − xy′′ ) −4xy′′′ ‬‬ ‫‪٧٧‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪x2‬‬



‫‪ .١.۵‬ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ و ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫ﻧﺨﺴﺖ ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺣﺬﻓ ﮔﺎوس ﺳﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬



‫) ‪(١١.۵‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ =  0  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬



‫‪Ix‬‬ ‫‪Iy‬‬ ‫‪Iy′‬‬ ‫‪Iy′′‬‬ ‫‪Iy′′′‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪−2y′′′‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ 1 0 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪′′‬‬ ‫‪ 0 y 0 −y‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪0 0 y y‬‬



‫ﺳﭙﺲ ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ از )‪ (١١.۵‬را ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﻣﺸﺨﺺ ﮐﺮدن ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ‪ ،‬ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ در ذﯾﻞ آﻣﺪه‬ ‫اﺳﺖ‪ ،‬ﺑ ﺎر ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺳﻮم‪ yIy′ + y′ Iy′′ = 0 ،‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫‪I = I(x, y, 2yy′′ − y′2 , y′′′ ).‬‬ ‫ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری اﯾﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ در ﻣﻌﺎدﻟﻪ دوم دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪I = I(x, 2yy′′ − y′2 , y2 y′′′ ).‬‬ ‫ﺳﺮاﻧﺠﺎم‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ اول از )‪ (١١.۵‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫‪I = I(2yy′′ − y′2 , y2 y′′′ ).‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ ‪،‬ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ )‪ (١٠.۵‬ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(١٢.۵‬‬



‫‪v3 = y2 y′′′ .‬‬



‫‪r3 = 2yy′′ − y′2 ,‬‬



‫ﺑﺎ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ اﮐﻨﻮن ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﻣﺮاﺗﺐ ﺑﺎﻻﺗﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬



‫ﻣﺜﻼ‬



‫)‪dv3 D x v3 yy(iv‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪+ y′ .‬‬ ‫‪dr3 D x r3 2y′′′‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (٩.۵‬ﺑﺎ‬ ‫‪dv3‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪dr3‬‬ ‫ﻣﻌﺎدل ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ آن ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‬ ‫‪v3 = r3 + c1‬‬ ‫اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺟﺒﺮی ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺳﻪ‬ ‫‪2yy′′ − y′2 + c1‬‬ ‫‪y2‬‬



‫= ‪y′′′‬‬



‫ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ﮔﺮوه ﻟ ﺳﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ L‬ﻧﺎورداﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ ﺑﺮای ﺳﺎﺧﺘﻦ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ای ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ‬ ‫آﻧﻬﺎ ﻣﻔﺮوض اﺳﺖ‪ ،‬ﺑ ﺎرﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬اﮔﺮ ) ‪ (rR , vR‬ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ ﮔﺮوه ﻟ ‪ R‬ﺑﻌﺪی ‪G‬‬ ‫‪٧٨‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫‪ .٢.۵‬ﺟﺒﺮﻟ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪ ای‬



‫ﺑﺎﺷﻨﺪ آﻧ ﺎه ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.۵‬از ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n ≥ R‬ﮐﻪ ‪ G‬ﮔﺮوه ﺗﻘﺎرﻧ آن اﺳﺖ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ‬ ‫ﺷ ﻞ زﯾﺮ‪ ،‬ﺑﻪ ازای ﺗﺎﺑ دﻟﺨﻮاه ‪ F‬ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪vr(n−R) = F rR , vR , · · · , vn−1−R‬‬ ‫‪R‬‬



‫) ‪(١٣.۵‬‬



‫ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ )‪ (١٣.۵‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ )‪ x, y, · · · , y(n‬ﺧﺎﻧﻮاده ای از ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬ ‫ﻣﻄﻠﻮب را دارﻧﺪ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﺑﻌﻀ از اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾ ﺮی ﻧﯿﺰ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ ٣.۵‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ ﮔﺮوه ﺳﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫) ‪(١۴.۵‬‬



‫‪X3 = x∂ x + y∂y‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫‪X2 = ∂y ,‬‬



‫ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‬ ‫‪y′′′‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪y′′2‬‬



‫= ‪v3‬‬



‫‪r3 = y ′ ,‬‬



‫ازاﯾﻨﺮو ﻋﻤﻮﻣ ﺗﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺳﻪ ﺑﺎ اﯾﻦ ﺗﻘﺎرنﻫﺎ) ‪ v3 = F(r3‬اﺳﺖ ﮐﻪ‬ ‫) ‪y′′′ = y′′2 F(y′‬‬ ‫را ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪ .‬ﻋﻤﻮﻣ ﺗﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪ ۴‬ﺑﺎ اﯾﻦ ﺗﻘﺎرنﻫﺎ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪′′′‬‬ ‫‪2y′′′2‬‬ ‫‪′′3‬‬ ‫‪′ y‬‬ ‫‪= ′′ + y F y , ′′2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﮐﻪ ﺑﺎ ) ‪= F(r3 , v3‬‬



‫‪dv3‬‬ ‫‪dr3‬‬



‫)‪(iv‬‬



‫‪y‬‬



‫ﻫﻢ ارز اﺳﺖ‪.‬‬



‫ﺗﺬﮐﺮ‪ :‬اﯾﻦ روش ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n ≥ R‬ﺻﺎدق اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n < R‬وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ ﺗﻘﺎرنﻫﺎی آﻧﻬﺎ ﺷﺎﻣﻞ اﻋﻀﺎی ‪ G‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‬ ‫ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ‪ y′′ = 0‬ﺷﺎﻣﻞ آﻧﻬﺎﯾ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ )‪ (١۴.۵‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﻧﺪ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٢.۵‬‬



‫ﺟﺒﺮﻟ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪ ای‬



‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.۵‬ﺑﺎ ﺑﻌﺪ ‪R‬ﺗﻮﺳﻂ ‪ L‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ )‪ (١.۵‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ ) ‪ ،(rR , vR‬ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ از‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n − R‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﺑﺘﻮان ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ را ﺣﻞ ﻧﻤﻮد )ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﺜﺎل‬ ‫‪ (۵.٢‬ﻓﻘﻂ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫) ‪vR = F(rR ; c1 , · · · , cn−R‬‬ ‫ﻣﻮاﺟﻪ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﺷﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪R‬ای ﮐﻪ ﮔﺮوه ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ‪ R‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی آن ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫‪ L‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ ،‬ﻫﻢ ارز ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﻣﺎ آﯾﺎ راﻫ وﺟﻮد دارد ﮐﻪ از اﯾﻦ ﺗﻘﺎرنﻫﺎ ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺣﻞ ﮐﺎﻣﻞ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺬﮐﻮر اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد؟ ﺑﺮای ﭘﺎﺳ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺳﻮال ﻻزم اﺳﺖ در ﻣﻮرد ﺳﺎﺧﺘﺎر ‪L‬‬ ‫ﺑﺸﺘﺮ ﺑﺪاﻧﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪٧٩‬‬



‫‪ .٢.۵‬ﺟﺒﺮﻟ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪ ای‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ X1 , X2 ∈ L‬ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ‬ ‫) ‪(١۵.۵‬‬



‫‪i = 1, 2‬‬



‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ‪ X1 X2‬ﯾ‬



‫‪Xi = ξi (x, y)∂ x + ηi (x, y)∂y ,‬‬



‫ﻋﻤﻠ ﺮ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﺟﺰﺋ ﻣﺮﺗﺒﻪ دو اﺳﺖ‪:‬‬



‫‪X1 X2 = ξ1 ξ2 ∂2x + (ξ1 η2 + η1 ξ2 )∂ x ∂y + η1 η2 ∂2y + (X1 ξ2 )∂ x + (X1 η2 )∂y .‬‬ ‫‪ X2 X1‬ﻧﯿﺰ از ﻣﺮﺗﺒﻪ دو و ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ‪ X1 X2‬دارای ﺟﻤﻼت ﻣﺮﺗﺒﻪ دو اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ ‪ X1‬و ‪،X2‬‬ ‫) ‪(١۶.۵‬‬ ‫ﯾ‬



‫‪[X1 , X2 ] = X1 X2 − X2 X1‬‬



‫ﻋﻤﻠ ﺮ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﯾ‬



‫) ‪(١٧.۵‬‬



‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺨﺼﻮص‬ ‫‪[X1 , X2 ] = (X1 ξ2 − X2 ξ1 )∂ x + (X1 η2 − X2 η1 )∂y .‬‬



‫اﯾﻦ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ ﺧﻮاص ﮐﺎرﺑﺮدی زﯾﺎدی دارد ﮐﻪ ﺑﺮﺧ از اﯾﻦ ﺧﻮاص از ﺗﻌﺮﯾﻒ آن آﺷ ﺎر اﺳﺖ‪ .‬ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ‬ ‫ﭘﺎدﻣﺘﻘﺎرن اﺳﺖ‪ .‬ﯾﻌﻨ‬ ‫) ‪(١٨.۵‬‬



‫] ‪[X1 , X2 ] = −[X2 , X1‬‬



‫و در اﺗﺤﺎدژاﮐﻮﺑ ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(١٩.۵‬‬



‫‪[X1 , [X2 , X3 ]] + [X2 , [X3 , X1 ]] + [X3 , [X1 , X2 ]] = 0.‬‬



‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ دوﺧﻄ اﺳﺖ )ﯾﻌﻨ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﺧﻄ اﺳﺖ(‪:‬‬ ‫) ‪(٢٠.۵‬‬



‫] ‪[c1 X1 + c2 X2 , X3 ] = c1 [X1 , X3 ] + c2 [X2 , X3‬‬ ‫] ‪[X1 , c2 X2 + c3 X3 ] = c2 [X1 , X2 ] + c3 [X1 , X3‬‬



‫)در اﯾﻨﺠﺎ ﻧﯿﺰ ﻣﺜﻞ ﻫﻤﯿﺸﻪ ‪ ci‬ﻧﻤﺎﯾﺎﻧ ﺮ ﯾ ﺛﺎﺑﺖ دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ(‪.‬‬ ‫ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ‪ Xi‬ﺗﺤﺖ ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺨﺘﺼﺎت از )‪ (x, y‬ﺑﻪ )‪ (u, v‬ﻣﻄﺎﺑﻖ ﻗﺎﻋﺪه زﻧﺠﯿﺮه ای ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﭘ‬ ‫ﺑﺮدن ﺑﻪ اﯾﻨ ﻪ اﯾﻦ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﭼ ﻮﻧﻪ روی ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ اﺛﺮ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ ،‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ‬ ‫) ‪(٢١.۵‬‬



‫] ‪X3 = [X1 , X2‬‬



‫ﻋﺠﺎﻟﺘﺎً ﺑﺮای ﻧﺸﺎن دادن ‪ Xi‬ﮐﻪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ )‪ (u, v‬ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه از ﻧﻤﺎد ‪ Xˇ i‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪Xˇ i = (Xi u)∂u + (Xi v)∂v .‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ )‪ F(u, v‬ﺗﺎﺑﻌ دﻟﺨﻮاه ﺑﺎﺷﺪ آﻧ ﺎه دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪Xˇ 1 (X2 u)Fu + (X2 v)Fv − Xˇ 2 (X1 u)Fu + (X2 v)Fv‬‬ ‫‪(X1 X2 u)Fu + (X1 X2 v)Fv − (X1 X2 u)Fu (X1 X2 v)Fv‬‬ ‫‪([X1 , X2 ]u)Fu + ([X1 , X2 ]v)Fv‬‬



‫=‬ ‫=‬ ‫=‬



‫‪(X3 u)Fu + (X3 v)Fv .‬‬



‫=‬



‫‪٨٠‬‬



‫‪[Xˇ 1 , Xˇ 2 ]F‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫‪ .٢.۵‬ﺟﺒﺮﻟ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪ ای‬ ‫اﻣﺎ ‪ F‬دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪:‬‬ ‫) ‪(٢٢.۵‬‬



‫‪[Xˇ 1 , Xˇ 2 ] = (X3 u)∂u + (X3 v)∂v = Xˇ 3 .‬‬



‫ﻟﺬا ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ ‪ X1‬و ‪ X2‬ﻟﺰوﻣﺎً ﻣﺴﺘﻘﻞ از دﺳﺘ ﺎه ﻣﺨﺘﺼﺎﺗ اﺳﺖ ﮐﻪ در آن ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬از اﯾﻦ ﭘﺲ‬ ‫ﻧﯿﺎزی ﺑﻪ ﻣﺘﻤﺎﯾﺰ ﮐﺮدن ‪ Xi‬و ‪ Xˇ i‬ﻧﯿﺴﺖ و ﺑﺮای ﻧﻤﺎﯾﺶ دادن ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ )در ﻫﺮ دﺳﺘ ﺎه ﻣﺨﺘﺼﺎت( ﻣﺠﺪداً از‬ ‫‪ Xi‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﺗﺎﮐﻨﻮن ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎﯾ ﮐﻪ روی ﺻﻔﺤﻪ ﻋﻤﻞ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ را ﺑﺮرﺳ ﮐﺮده اﯾﻢ‪ .‬ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی‬ ‫اﻣﺘﺪاد ﯾﺎﻓﺘﻪ‬ ‫)‪Xi(k) = ξ∂ x + η∂y + η(1) ∂y′ + · · · , η(k) ∂y(k‬‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪:‬‬ ‫‪[X1(k) , X2(k) ] = X1(k) X2(k) − X2(k) X1(k) .‬‬ ‫اﮐﻨﻮن ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﯿﻢ اﮔﺮ ‪ [X1 , X2 ] = X3‬ﺑﺎﺷﺪ آﻧ ﺎه‪:‬‬ ‫) ‪(٢٣.۵‬‬



‫)‪[X1(k) , X2(k) ] = X3(k‬‬



‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫) ‪(٢۴.۵‬‬



‫‪X2 = ξ(x, y)∂ x + η(x, y)∂y .‬‬



‫‪X1 = ∂y ,‬‬



‫ﺑﺎ اﯾﻦ ﻓﺮض ﺑﻪ ﮐﻠﯿﺖ ﻣﻮﺿﻮع ﺧﻠﻠ وارد ﻧﻤ ﺷﻮد‪ .‬زﯾﺮا ﻧﺸﺎن داده اﯾﻢ ﮐﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺑﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ‬ ‫‪ X1‬در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﺗﺎﺛﯿﺮی ﺑﺮ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ ﻧﻤ ﮔﺬارد‪ .‬از )‪ (٢۴.۵‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪X3 = [X1 , X2 ] = ξy ∂ x + ηy ∂y .‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻓﺮﻣﻮل اﻣﺘﺪاد ﯾﺎﻓﺘﻪ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫‪X3(1) = ξy ∂ x + ηy ∂y + (D x ηy − y′ D x ξy )∂′y‬‬ ‫زﯾﺮا ‪ ∂y‬و ‪ D x‬ﺟﺎﺑﺠﺎ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﯾﻌﻨ ‪:‬‬ ‫‪D x ∂y = ∂ x ∂y + y′ ∂2y + · · · = ∂y D x‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪′‬‬ ‫)‪ η(1‬ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد ﮐﻪ‪:‬‬ ‫ﺟﻤﻠﻪ آﺧﺮ ‪ X3‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺼﻮرت ‪y ∂y‬‬



‫‪η(1) = D x η − y′ D x ξ.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‪:‬‬ ‫)‪= ξy ∂ x + ηy ∂y + η(1‬‬ ‫‪y ∂y′‬‬ ‫] ‪= [∂y , ξ∂ x + η∂y + η(1) ∂y′‬‬ ‫‪= [X1(1) , X2(1) ].‬‬ ‫‪٨١‬‬



‫)‪X3(1‬‬



‫‪ .٢.۵‬ﺟﺒﺮﻟ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪ ای‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫ﻟﺬا ﻧﺘﯿﺠﻪ )‪ (٢٣.۵‬ﺑﺮای ‪ k = 1‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای ‪ k > 1‬ﻧﯿﺰ ﻧﺘﯿﺠﻪ ای ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﻣﻼﺣﻈﻪ‬ ‫ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ‪:‬‬ ‫)‪D x η(k−1‬‬ ‫)‪− y(k) D x ξy = ∂y (D x η(k−1) − y(k) D x ξ) = ηy(k‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻋﻼوه ﺑﺮ اﯾﻦ‪ ،‬راﺑﻄﻪ )‪ (٢٣.۵‬در ﻫﺮ دﺳﺘ ﺎه ﻣﺨﺘﺼﺎﺗ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ زﯾﺮا ﺑﺮای ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﺎ ﮐﻨﻮن از اﯾﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﮐﻪ ‪ X1‬و ‪ X2‬ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.۵‬را ﺗﻮﻟﯿﺪ‬ ‫ﻣ ﮐﻨﻨﺪ اﺳﺘﻔﺎده ﻧ ﺮده اﯾﻢ‪ .‬در واﻗ آﻧﭽﻪ ﮐﻪ ﺗﺎ ﮐﻨﻮن ﻣﻄﺮح ﮐﺮده اﯾﻢ‪ ،‬ﺑﺮای ﻫﻤﻪ ﻋﻤﻠ ﺮﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ‬ ‫ﺟﺰﺋ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﺑﻪ ﺷ ﻞ )‪ (١۵.۵‬ﻗﺎﺑﻞ اﻋﻤﺎل ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ در ‪ L‬در ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﻧﯿﺰ ﺻﺪق‬ ‫ﻣ ﮐﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪y(n) = ω‬‬



‫;‬



‫)‪(n‬‬ ‫)‪Xi(n) (y(n) − ω) = η(n‬‬ ‫‪i − Xi ω = 0‬‬



‫)‪ η(n‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺑﺎﻻﺗﺮﯾﻦ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﻣﺸﺘﻖ ﯾﻌﻨ )‪ y(n‬ﺧﻄ اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮای ‪ ،n ≥ 2‬ﻓﺮﻣﻮل اﻣﺘﺪاد دﻫ ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ ‪i‬‬ ‫در ﺣﺎﻟﯿ ﻪ ‪ ω‬و در ﻧﺘﯿﺠﻪ ‪ Xi(n) ω‬ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﺑﺎﻻﺗﺮﯾﻦ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﻣﺸﺘﻖ اﺳﺖ‪ .‬ﻟﺬا ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‬ ‫اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ‪:‬‬ ‫) ‪(٢۵.۵‬‬



‫)‪Xi(n) (y(n) − ω) = λi (y(n) − ω‬‬



‫ﮐﻪ در آن‬ ‫‪.‬‬



‫)‪∂η(n‬‬ ‫‪i‬‬ ‫)‪∂y(n‬‬



‫= ) )‪λi (x, y, y′ , · · · , y(n−1‬‬



‫اﯾﻦ ﻧﻮع ﻣﺸﺨﺺ ﺳﺎزی ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ اﯾﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﻬﻢ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ‪ :‬اﮔﺮ ‪ X1‬و ‪ X2‬ﺗﻘﺎرن ﻫﺎی‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ را ﺗﻮﻟﯿﺪ ﮐﻨﻨﺪ آﻧ ﺎه ] ‪ X = [X1 , X2‬ﻧﯿﺰ ﭼﻨﯿﻦ اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ در زﯾﺮ آﻣﺪه اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮاﺣﺘ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﺑﺮای اﺧﺘﺼﺎر ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ‪ .∆ = y(n) − ω‬در اﯾﻨﺼﻮرت از )‪ (٢٣.۵‬و )‪(٢۵.۵‬‬ ‫ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‪:‬‬ ‫∆] )‪[X1(n) , X2(n‬‬ ‫)∆ ‪X1(n) (λ2 ∆) − X2(n) (λ1‬‬



‫= ∆ )‪X (n‬‬ ‫=‬



‫∆) ‪= (X1(n) λ2 − X2(n) λ1‬‬ ‫از اﯾﻨﺮو ‪ X (n) ∆ = 0‬اﺳﺖ ﻫﺮ ﮔﺎه ‪ ∆ = 0‬و درﻧﺘﯿﺠﻪ ‪ X‬ﻣﻮﻟﺪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ اﺳﺖ‪).‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﺸﺎﺑﻬ‬ ‫)‪ η(n‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ y′‬از ﻣﺮﺗﺒﻪ دو‬ ‫ﺑﺮای ‪ n = 1‬ﻧﯿﺰ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪ .‬اﻣﺎ ﺑﺤﺚ ﻓﻮق ﻧﯿﺎزﻣﻨﺪ اﻧﺪﮐ ﺗﻐﯿﯿﺮات اﺳﺖ زﯾﺮا ‪i‬‬ ‫اﺳﺖ‪(.‬‬ ‫ﺑﺮای ‪ n ≥ 2‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ L‬ﯾ ﻓﻀﺎی ﺑﺮداری ﻣﺘﻨﺎﻫ اﻟﺒﻌﺪ اﺳﺖ‪ .‬از آﻧﺠﺎ ﮐﻪ ﺑﺮای ‪ L‬ﭘﺎﯾﻪ ای ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫‪ X1 , · · · , XR‬اﻧﺘﺨﺎب ﮐﺮده اﯾﻢ ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺼﻮرت ﺗﺮﮐﯿﺐ ﺧﻄ از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ در‬ ‫اﯾﻦ ﭘﺎﯾﻪ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد‪ .‬ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ ﻣﺬﮐﻮر دوﺧﻄ اﺳﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮﻫﺎی ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﭘﺎﯾﻪ را در‬ ‫ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﺗﺎﮐﻨﻮن ﻧﺸﺎن داده اﯾﻢ ﮐﻪ ‪ L‬ﺗﺤﺖ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ ﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﯾﻌﻨ‬ ‫‪Xi , X j ∈ L ⇒ [Xi , X j ] ∈ L.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ ﻫﺮ دو ﻣﻮﻟﺪ در اﯾﻦ ﭘﺎﯾﻪ‪ ،‬ﺗﺮﮐﯿﺒ ﺧﻄ از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﭘﺎﯾﻪ ﻣﺬﮐﻮر اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(٢۶.۵‬‬



‫‪[Xi , X j ] = ckij Xk .‬‬ ‫‪٨٢‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫‪ .٢.۵‬ﺟﺒﺮﻟ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪ ای‬



‫)ﯾﺎدآوری ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ اﻧﺪﯾﺴﻬﺎﯾ ﮐﻪ دوﺑﺎر ﺗ ﺮار ﺷﺪه اﻧﺪ را ﺟﻤ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ (.‬ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ‪ ،ckij‬ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی‬ ‫ﺳﺎﺧﺘﺎری ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬اﮔﺮ ‪ [Xi , X j ] = 0‬ﺑﺎﺷﺪ آﻧ ﺎه ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ‪ Xi‬و ‪ ،X j‬ﺗﻌﻮﯾﺾ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺨﺼﻮص ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺧﻮدش ﺧﺎﺻﯿﺖ ﺗﻌﻮﯾﺾ ﭘﺬﯾﺮی دارد‪.‬‬ ‫‪ ۴.۵‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻓﻀﺎی ﺑﺮداری ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ‪ ،y′′′ = y−3‬دوﺑﻌﺪی اﺳﺖ و ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪X2 = x∂ x + y∂y‬‬ ‫‪4‬‬



‫) ‪(٢٧.۵‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ ‪ X1‬و ‪ X2‬ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪[X1 , X2 ] = (X1 (x) − X2 (1)) ∂ x + X1 ( y) − X2 (0) ∂y = ∂ x = X1 .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮﻫﺎی ﺑﺎﻗﯿﻤﺎﻧﺪه ﺑﺪون ﻧﯿﺎز ﺑﻪ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺑﯿﺸﺘﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪ .‬ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﺑﺎ ﺧﻮدش ﺟﺎﺑﺠﺎ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫‪[X1 , X1 ] = 0,‬‬



‫‪[X2 , X2 ] = 0.‬‬ ‫ﺑﻌﻼوه ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ ﭘﺎدﻣﺘﻘﺎرن اﺳﺖ و از اﯾﻨﺮو دارﯾﻢ‪:‬‬



‫‪[X2 , X1 ] = −[X1 , X2 ] = −X1 .‬‬ ‫ﺑﺎ ﺧﻼﺻﻪ ﮐﺮدن اﯾﻦ ﻧﺘﺎﯾ ﺗﻨﻬﺎ ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری ﻧﺎﺻﻔﺮ ﺑﺮای ﭘﺎﯾﻪ )‪ (٢٧.۵‬ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‬ ‫) ‪(٢٨.۵‬‬



‫‪c112 = 1,‬‬



‫‪c121 = −1.‬‬



‫وﺟﻮد اﯾﻦ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان »ﻋﻤﻞ ﺿﺮب« ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه روی ‪ ،L‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﻨ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ L‬ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﯾ‬ ‫ﻓﻀﺎی ﺑﺮداری اﺳﺖ ﺑﻠ ﻪ ﯾ ﺟﺒﺮﻟ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺗﻌﺮﯾﻒ‪ ،‬ﯾ ﺟﺒﺮﻟ ﻓﻀﺎﯾ ﺑﺮداری اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ‬ ‫ﺿﺮب ]‪ ،[., .‬ﮐﻪ دوﺧﻄ و ﭘﺎدﻣﺘﻘﺎرن اﺳﺖ و در اﺗﺤﺎد ژاﮐﻮﺑ ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﺪ ﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬دو ﺷﺮط اﺧﯿﺮ‬ ‫ﻣﺤﺪودﯾﺖﻫﺎﯾ روی ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری اﻋﻤﺎل ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪ .‬ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ ﭘﺎدﻣﺘﻘﺎرن اﺳﺖ اﮔﺮ‬ ‫) ‪(٢٩.۵‬‬



‫‪[X j , Xi ] = −[Xi , X j ],‬‬



‫‪∀ i, j‬‬



‫ﮐﻪ اﯾﻦ اﯾﺠﺎب ﻣ ﮐﻨﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٣٠.۵‬‬



‫‪ckij = −ckji ,‬‬



‫‪∀ i, j, k‬‬



‫ﯾ ﻧﺘﯿﺠﻪ اﯾﻦ ﺧﺎﺻﯿﺖ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮﻫﺎی ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﭘﺎﯾﻪ ای ﺑﺎ ﺧﺎﺻﯿﺖ ‪ i < j‬را‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬اﺗﺤﺎد ژاﮐﻮﺑ‬ ‫) ‪(٣١.۵‬‬



‫‪∀ i, j, k‬‬



‫‪[Xi , [X j , Xk ]] + [X j , [Xk , Xi ]] + [Xk , [Xi , X j ]] = 0,‬‬



‫ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ‬ ‫) ‪(٣٢.۵‬‬



‫‪∀ i, j, k, l‬‬



‫‪= 0,‬‬



‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪ci j clkq + c jk cliq + cki cljq‬‬



‫ﺟﺒﺮﻫﺎی ﻟ در ﺑﺴﯿﺎری از ﺷﺎﺧﻪﻫﺎی رﯾﺎﺿﯿﺎت ﮐﺎرﺑﺮدی و ﻓﯿﺰﯾ ﻇﺎﻫﺮ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻣﻌﻤﻮﻻ ﻋﻼﻗﻪ ﻣﻨﺪﯾﻢ ﮐﻪ‬ ‫ﭼ ﻮﻧ ﻋﻤﻞ ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﮐﻪ ﺧﻄ ﺑﻮدن آن ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ اﺗﺤﺎد ژاﮐﻮﺑ ‪ ،‬ﺟﺒﺮﻟ ﻣﻮﻟﺪ ﮔﺮوه‬ ‫را ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪ ،‬ﺑﺒﯿﻨﯿﻢ‪ .‬ﺟﺒﺮﻟ ﻫﺎ ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺪون ﻧﯿﺎز ﺑﻪ رﺟﻮع ﺑﻪ ﮔﺮوه ﻟ ﮐﻪ روی آن ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫ﺷﺪهاﻧﺪ وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﯾ ﺟﺒﺮﻟ ﺑﻄﻮر ﻣﺠﺮد ﺗﻮﺳﻂ ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری اش ﺳﺎﺧﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬اﻣﺎ‬ ‫اﯾﻦ اﻣﺮ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﺑﻪ ﺷ ﻠﻫﺎی ﻣﺘﻔﺎوت )ﺧﻄ ﺳﺎزیﻫﺎی ﻣﺘﻔﺎوت( ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ ﻣﺜﺎل زﯾﺮ ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ‪،‬‬ ‫ﺻﻮرت ﮔﯿﺮد‪.‬‬ ‫‪٨٣‬‬



‫‪ .٢.۵‬ﺟﺒﺮﻟ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪ ای‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫‪ ۵.۵‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﺷﺎﯾﺪ ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪهﺗﺮﯾﻦ ﺟﺒﺮﻟ ‪ ،‬ﻓﻀﺎی ﺑﺮداری ﺷﺎﻣﻞ ﺑﺮدارﻫﺎی ‪ x ∈ R3‬ﺗﺤﺖ ﻋﻤﻞ ﺿﺮب‬ ‫دﮐﺎرﺗ ﮐﻪ ﺣ ﻢ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ را دارد ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫‪[x1 , x2 ] = x1 × x2‬‬ ‫)ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺧﺎرﺟ دوﺧﻄ و ﭘﺎدﻣﺘﻘﺎرن اﺳﺖ‪ .‬ﺧﻮاﻧﻨﺪه ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ درﺳﺘ اﺗﺤﺎد ژاﮐﻮﺑ را ﺑﺮرﺳ ﮐﻨﺪ‪(.‬‬ ‫ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﭘﺎﯾﻪ دﮐﺎرﺗ اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﺑﺮای ‪:R3‬‬ ‫‪)T‬‬



‫‪1‬‬



‫‪0 0‬‬



‫(‬



‫‪,‬‬



‫= ‪x3‬‬



‫‪)T‬‬



‫‪0‬‬



‫(‬



‫‪0 1‬‬



‫‪,‬‬



‫= ‪x2‬‬



‫‪)T‬‬



‫‪0‬‬



‫‪1 0‬‬



‫(‬



‫= ‪x1‬‬



‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺧﺎرﺟ رواﺑﻂ ﻏﯿﺮﺑﺪﯾﻬ زﯾﺮ را ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫‪x2 × x3 = x1‬‬



‫‪x1 × x2 = x3 ,‬‬



‫‪x1 × x3 = −x2 ,‬‬



‫ﺗﻨﻬﺎ ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری ﻏﯿﺮﺻﻔﺮ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫) ‪(٣٣.۵‬‬



‫;‪c321 = c132 = c213 = −1‬‬



‫‪c312 = c123 = c231 = 1,‬‬



‫ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺸﺖ دوری )‪ (١٢٣‬اﻧﺪﯾﺴﻬﺎ ﺑﺪون ﺗﻐﯿﯿﺮ ﺑﺎﻗ ﻣ ﻣﺎﻧﻨﺪ‪ .‬ﺟﺒﺮﻟ‬ ‫ﻣﺠﺮدی ﮐﻪ در ﺑﺮﺧ ﭘﺎﯾﻪﻫﺎ ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری )‪ (٢٣.۵‬را دارد )‪ so(3‬ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﮔﺮوه ﻟ ﺗﻮﻟﯿﺪ‬ ‫ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ )‪،so(3‬ﮔﺮوه ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺧﺎص )‪ S O(3‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺜﺎﻟ ﺳﺎده از آن‪ ،‬ﮔﺮوه دورانﻫﺎ در ‪ R3‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺟﺒﺮﻟ )‪ so(3‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ در ﺻﻔﺤﻪ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X2 = (1 + x2 − y2 )∂ x + xy∂y ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X3 = xy∂ x + (1 − x2 + y2 )∂y‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪X1 = y∂ x − x∂y ,‬‬



‫) ‪(٣۴.۵‬‬



‫ﺑﺮرﺳ اﯾﻨ ﻪ اﯾﻦ ﭘﺎﯾﻪ ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری )‪ (٣٣.۵‬را ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ ﺑﻪ ﻋﻬﺪه ﺧﻮاﻧﻨﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫از ﻧﺘﺎﯾ اﺧﯿﺮﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری ﺗﺤﺖ اﻣﺘﺪاددﻫ و ﯾﺎ ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺑﺪون ﺗﻐﯿﯿﺮ‬



‫ﻣ ﻣﺎﻧﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ ﻗﻄﻌﺎً ﺑﻪ ﭘﺎﯾﻪ اﻧﺘﺨﺎﺑ ﺑﺮای ‪ L‬ﺑﺴﺘ ﺧﻮاﻫﻨﺪ داﺷﺖ و ﺗﻼش ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﭘﺎﯾﻪای ﺑﺎ ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی‬ ‫ﺳﺎﺧﺘﺎری ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮ در ﺣﺪ اﻣ ﺎن ﮐﻤﺘﺮ‪ ،‬ﻣﻔﯿﺪ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬اﮔﺮ ﮐﻠﯿﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ در ﯾ ﭘﺎﯾﻪ ﺟﺎﺑﺠﺎ ﺷﻮﻧﺪ)‬ ‫ﯾﻌﻨ ﻫﺮ ﺛﺎﺑﺖ ﺳﺎﺧﺘﺎری ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ(‪ ،‬ﺟﺒﺮﻟ آﺑﻠ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪ ۶.۵‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﻤﻮﻟﺘﺮﯾﻦ ﺟﺒﺮﻟ دو ﺑﻌﺪی ﺑﺎ ﭘﺎﯾﻪ ‪ X1 , X2‬را درﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ ‪ X1‬و ‪ X2‬ﺑﺼﻮرت‬ ‫زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(٣۵.۵‬‬



‫‪[X1 , X2 ] = c112 X1 + c212 X2 .‬‬ ‫}‬



‫اﯾﻦ ﺟﺒﺮﻟ آﺑﻠ اﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ ‪ c112 = c212 = 0‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در ﻏﯿﺮ اﯾﻨﺼﻮرت ﭘﺎﯾﻪای ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪X˜ 1 , X˜ 2‬‬ ‫وﺟﻮد دارد ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ‬ ‫) ‪(٣۶.۵‬‬



‫{‬



‫‪[X˜ 1 , X˜ 2 ] = X˜ 1 .‬‬



‫ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ اﯾﻦ ﭘﺎﯾﻪ ﺗﻮﺟﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﺪ ﮐﻪ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ ﻫﺮ دو ﻣﻮﻟﺪ ﻟﺰوﻣﺎً ﻣﻀﺮب ﻃﺮف راﺳﺖ راﺑﻄﻪ )‪٣۵.۵‬‬ ‫( اﺳﺖ‪ .‬ﻟﺬا ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫‪X˜ 1 = c112 X1 + c212 X2‬‬ ‫‪٨۴‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫‪ .٢.۵‬ﺟﺒﺮﻟ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪ ای‬ ‫اﮔﺮ ‪ ،c112 , 0‬آﻧ ﺎه ‪ X2‬ﺑﻄﻮر ﺧﻄ ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ X˜ 1‬اﺳﺖ و‬



‫‪[X˜ 1 , X2 ] = c112 [X1 , X2 ] = c112 X˜ 1 .‬‬ ‫ﺑﺎ ﺿﺮب ﻣﺠﺪد در ﯾ‬



‫ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X˜ 2 = 1 X2‬‬ ‫‪c12‬‬



‫)‪ (٣۶.۵‬را ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪ ً .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ اﮔﺮ‪ ،‬اﻣﺎ ﺟﺒﺮﻟ آﺑﻠ ﻧﺒﺎﺷﺪ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ )‪ (٣۶.۵‬را ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب‬ ‫زﯾﺮ ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪X˜ 2 = 2 X1 .‬‬ ‫‪c12‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻫﺮ ﺟﺒﺮﻟ دو ﺑﻌﺪی ﯾﺎ آﺑﻠ اﺳﺖ ﯾﺎ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮ اﺳﺎس ﭘﺎﯾﻪای ﮐﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری آن ﺑﺼﻮرت‬ ‫زﯾﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺑﯿﺎن ﺷﻮد‪:‬‬ ‫) ‪(٣٧.۵‬‬



‫‪c121 = −1.‬‬



‫‪c112 = 1,‬‬



‫ﻓﻀﺎﻫﺎی ﺑﺮداری ﻣﻌﻤﻮﻟ از زﯾﺮﻓﻀﺎﻫﺎ و ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺟﺒﺮﻫﺎی ﻟ از زﯾﺮﺟﺒﺮﻫﺎ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬روﺷ ﮐﻪ‬ ‫ﺑﻮاﺳﻄﻪ اﯾﻦ دو ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری را ﻣﺸﺨﺺ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای راﺣﺘ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ‬ ‫]‪ [M, N‬ﻧﺸﺎﻧﺪﻫﻨﺪه ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﮐﻠﯿﻪ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮﻫﺎی ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﻋﻀﻮ ‪ M ⊂ L‬و ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﻋﻀﻮ ‪ N ⊂ L‬ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﯾﻌﻨ ‪:‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪[M, N] = [Xi , X j ] : Xi ∈ M, X j ∈ N‬‬ ‫) ‪(٣٨.۵‬‬ ‫زﯾﺮﻓﻀﺎی ‪ M ⊂ L‬ﯾ‬



‫زﯾﺮﺟﺒﺮ اﺳﺖ اﮔﺮ ﺗﺤﺖ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ‬



‫) ‪(٣٩.۵‬‬



‫‪[M, M] ⊂ M‬‬



‫ﺑﺴﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾ ﺮ‪ ،‬ﻫﺮ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﯾ‬ ‫‪ L‬اﺳﺖ اﮔﺮ‬



‫ﺟﺒﺮﻟ ‪ ،‬ﺧﻮد ﯾ‬



‫ﺟﺒﺮﻟ اﺳﺖ‪ .‬زﯾﺮﺟﺒﺮ ‪ ،M ⊂ L‬اﯾﺪه آل‬



‫‪[M, L] ⊂ M.‬‬ ‫) ‪(۴٠.۵‬‬ ‫} {‬ ‫} {‬ ‫ﺑﻮﺿﻮح ‪ 0‬و ‪ L‬زﯾﺮﺟﺒﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻋﻼوه ﺑﺮاﯾﻦ‪ ،‬اﯾﺪهآﻟﻬﺎی ‪ L‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻫﺮ اﯾﺪهآل دﯾ ﺮ ﺑﺠﺰ ‪ 0‬و ‪،L‬‬ ‫اﯾﺪهآل ﺳﺮه ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮد‪ .‬اﮔﺮ ﯾ‬



‫ﺟﺒﺮﻟ ﻏﯿﺮ آﺑﻠ ﺑﺎﺷﺪ و ﻫﯿ اﯾﺪه آل ﺳﺮهای ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﺳﺎده‬



‫ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﻫﺮ زﯾﺮﻓﻀﺎی ﯾ ﺑﻌﺪی از ‪ L‬ﯾ زﯾﺮﺟﺒﺮ اﺳﺖ )اﻣﺎ ﻟﺰوﻣﺎً اﯾﺪه آل ﻧﯿﺴﺖ( زﯾﺮا ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﺑﺎ‬ ‫ﺧﻮدش ﺟﺎﺑﺠﺎ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺗﻘﺮﯾﺒﺎً ﻫﻤﻪ ﺟﺒﺮﻟ ﻫﺎی ﺑﺎ ﺑﻌﺪ ‪ ،R ≥ 2‬ﺣﺪاﻗﻞ دارای ﯾ زﯾﺮﺟﺒﺮ دو ﺑﻌﺪی ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﯾ اﺳﺘﺜﻨﺎ ﺟﺒﺮﻟ ﺳﺎده )‪ so(3‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ ٧.۵‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﯾ‬



‫) ‪(۴١.۵‬‬



‫ﺟﺒﺮﻟ ﺳﻪ ﺑﻌﺪی ﺑﺎ ﭘﺎﯾﻪ زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬ ‫‪X3 = x2 ∂ x‬‬



‫‪X2 = x∂ x ,‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮﻫﺎی ﻏﯿﺮﺑﺪﯾﻬ ] ‪ [Xi , X j‬ﮐﻪ ‪ i < j‬اﺳﺖ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫) ‪(۴٢.۵‬‬



‫‪[X2 , X3 ] = X3‬‬



‫‪[X1 , X3 ] = 2X2 ,‬‬ ‫‪٨۵‬‬



‫‪[X1 , X2 ] = X1 ,‬‬



‫‪ .٢.۵‬ﺟﺒﺮﻟ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪ ای‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫ﺧﺎص )‪ SL(2‬را ﺗﻮﻟﯿﺪ‬ ‫ﺧﻄ‬ ‫{‬ ‫اﯾﻦ ﺟﺒﺮﻟ ﻣﺠﺮد ﺑﺎ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮﻫﺎی )‪ sl(2) ،(۴٢.۵‬ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮد و ﮔﺮوه }‬ ‫ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬زﯾﺮﻓﻀﺎی ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ X1‬و ‪ X2‬ﯾ زﯾﺮﺟﺒﺮ دو ﺑﻌﺪی اﺳﺖ‪ Span X2 , X3 .‬ﻧﯿﺰ ﻫﻤﯿﻨﻄﻮر‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬اﻣﺎ ‪ Span X1 , X3‬ﯾ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﻧﯿﺴﺖ زﯾﺮا ] ‪ [X1 , X3‬در اﯾﻦ زﯾﺮﻓﻀﺎ ﻗﺮار ﻧﻤ ﮔﯿﺮد‪ .‬اﮔﺮ ﭼﻪ )‪sl(2‬‬ ‫دارای زﯾﺮﺟﺒﺮﻫﺎی ﻏﯿﺮﺑﺪﯾﻬ اﺳﺖ اﻣﺎ اﯾﺪهآﻟ ﻏﯿﺮ از ﺻﻔﺮ و ﺧﻮدش ﻧﺪارد‪ .‬ﻟﺬا ﺳﺎده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ﺟﺒﺮﻟ دﻟﺨﻮاه ‪ L‬داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﯾ اﯾﺪهآل ﮐﻪ ﻫﻤﻮاره ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﻮدزﯾﺮﺟﺒﺮ‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ )‪ L(1‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﮐﻠﯿﻪ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮﻫﺎی اﻋﻀﺎی ‪ L‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(۴٣.۵‬‬



‫]‪L(1) = [L, L‬‬



‫ﺑﻮﺿﻮح‪ [L(1) , L] ،‬زﯾﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪای از )‪ L(1‬اﺳﺖ ﮐﻪ دﻟﯿﻠ ﺑﺮ اﯾﺪهآل ﺑﻮدن )‪ L(1‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﮔﺮ ‪ L(1) , L‬ﺑﺎﺷﺪ ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ ﯾﺎﻓﺘﻦ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﻣﺸﺘﻖ )‪ ،L(1‬ﯾﻌﻨ )‪ L(2‬اداﻣﻪ داد‪:‬‬ ‫) ‪(۴۴.۵‬‬



‫] )‪L(2) = [L(1) , L(1‬‬



‫اﯾﻦ روﻧﺪ را ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﺎ ﻓﺮض‬ ‫) ‪(۴۵.۵‬‬



‫] )‪L(k) = [L(k−1) , L(k−1‬‬



‫ﺗﺎ زﻣﺎﻧﯿ ﻪ دﯾ ﺮ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﺟﺪﯾﺪی ﺑﻮﺟﻮد ﻧﯿﺎﯾﺪ اداﻣﻪ دﻫﯿﻢ‪ .‬اﮔﺮ زﯾﺮﺟﺒﺮﻫﺎی ﻣﺸﺘﻖ ﺷﺪه ﺑﻪ ازای ‪ k‬اﯾ ﺑﻪ‬ ‫} {‬ ‫‪ L(k) = 0‬ﺧﺘﻢ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬آﻧ ﺎه ‪ L‬راﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ ﮔﻮﯾﯿﻢ‪ .‬ﺑﻄﻮر ﻣﻌﺎدل ﯾ ﺟﺒﺮﻟ ‪ R‬ﺑﻌﺪی ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ اﮔﺮ‬ ‫ﯾ زﻧﺠﯿﺮه از زﯾﺮﺟﺒﺮﻫﺎی‬ ‫} {‬ ‫‪0 = L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ LR = L‬‬ ‫) ‪(۴۶.۵‬‬ ‫ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ در آن ‪ dim(Lk ) = k‬ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ ‪ ،Lk−1‬ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ‪، k‬اﯾﺪه آﻟ از ‪ Lk‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻫﺮ ﺟﺒﺮﻟ‬ ‫آﺑﻠ ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ درﺣﺎﻟﯿ ﻪ ﺟﺒﺮﻟ ﻫﺎی ﺳﺎده ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ .‬دﯾﺪه اﯾﻢ ﮐﻪ ﻫﺮ ﺟﺒﺮﻟ دو ﺑﻌﺪی ﻏﯿﺮآﺑﻠ‬ ‫دارای ﯾ ﭘﺎﯾﻪ اﺳﺖ ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ ‪ [X1 , X2 ] = X1‬و از اﯾﻨﺮو ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ‪ R ≥ 3‬ﺟﺒﺮﻫﺎی‬ ‫ﻟ ای ﻣﻮﺟﻮدﻧﺪ ﮐﻪ ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﻤ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺟﺒﺮﻟ ‪ R‬ﺑﻌﺪی ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮی را درﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺑﺮای راﺣﺘ ﭘﺎﯾﻪ را ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ اﻧﺘﺨﺎب ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(۴٧.۵‬‬



‫‪k = 1, · · · , R‬‬



‫‪Xk < Lk−1 ,‬‬



‫‪Xk ∈ Lk ,‬‬



‫و از اﯾﻨﺮو‪:‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪Lk = Span X1 , · · · , Xk‬‬ ‫ﻫﺮ ﭘﺎﯾﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ )‪ (۴٧.۵‬را ﯾ ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻣ ﮔﻮﯾﯿﻢ‪ .‬ﺑﻄﻮر ﻣﻌﺎدل ﯾ‬ ‫ﻫﺮ ﮔﺎه ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری در راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺻﺪق ﮐﻨﻨﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(۴٨.۵‬‬



‫‪∀ i < j ≤ k.‬‬



‫‪ckij = 0,‬‬



‫‪ ٨.۵‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪ ۴‬زﯾﺮ‪:‬‬ ‫) ‪(۴٩.۵‬‬



‫‪y(iv) = y′′′4/3‬‬ ‫‪٨۶‬‬



‫ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎﻧﻮﻧ اﺳﺖ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫‪ .٣.۵‬اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﮔﺎم ﺑﻪ ﮔﺎم از ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫دارای ﺟﺒﺮﻟ ‪ ۵‬ﺑﻌﺪی ‪ L‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ دارای ﭘﺎﯾﻪ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(۵٠.۵‬‬



‫‪X2 = x∂y ,‬‬ ‫‪X3 = x2 ∂y ,‬‬ ‫‪X4 = ∂ x ,‬‬ ‫‪X5 = x∂ x‬‬



‫‪X1 = ∂y ,‬‬



‫ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮﻫﺎی ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮ ] ‪ [Xi , X j‬ﮐﻪ ‪ i < j‬اﺳﺖ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫‪[X3 , X4 ] = −2X2 ,‬‬ ‫) ‪(۵١.۵‬‬



‫‪[X2 , X5 ] = −X2 ,‬‬ ‫‪[X4 , X5 ] = X4‬‬



‫‪[X2 , X4 ] = −X1 ,‬‬ ‫‪, [X3 , X5 ] = −2X3 ,‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ L‬دارای ﺟﺒﺮﻟ ﻣﺸﺘﻖ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪L(1) = Span X1 , X2 , X3 , X4 .‬‬ ‫) ‪(۵٢.۵‬‬ ‫ﻧﻈﺮ ﺑﻪ اﯾﻨ ﻪ ‪ L(1) , L‬ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ )‪ L(2‬اداﻣﻪ دﻫﯿﻢ‪ .‬از )‪ (۵١.۵‬دارﯾﻢ ﮐﻪ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮﻫﺎی ﻏﯿﺮ‬ ‫ﺻﻔﺮ اﻋﻀﺎی )‪ L(1‬ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫‪[X3 , X4 ] = −2X2‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪:‬‬ ‫) ‪(۵٣.۵‬‬



‫}‬



‫‪[X2 , X4 ] = −X1 ,‬‬



‫{‬



‫‪L(2) = Span X1 , X2‬‬



‫در آﺧﺮ ﭼﻮن ‪ X1‬و ‪ X2‬ﺟﺎﺑﺠﺎ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﺎ‬ ‫} {‬ ‫‪L(3) = 0‬‬ ‫) ‪(۵۴.۵‬‬ ‫ﭘﺎﯾﺎن ﻣ ﭘﺬﯾﺮد‪ .‬ﻟﺬا ‪ L‬ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﭘﺎﯾﻪ )‪ (۵٠.۵‬ﮐﺎﻧﻮﻧ اﺳﺖ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٣.۵‬‬



‫اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﮔﺎم ﺑﻪ ﮔﺎم از ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫اﮐﻨﻮن ﺑﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی از ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ R‬ﮐﻪ دارای ﺟﺒﺮﻟ ‪ R‬ﺑﻌﺪی ‪ L‬اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮﻣ ﮔﺮدﯾﻢ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ ﺑﻪ ازای ﺗﺎﺑ‬ ‫دﻟﺨﻮاه ‪ F‬ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫) ‪(۵۵.۵‬‬



‫) ‪vR = F(rR‬‬



‫ﻫﺪف‪ ،‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﯾ ﯾ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرﻧ اﺳﺖ‪ ).‬ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫از اﯾﻦ ﭘﺲ ﺑﻄﻮر ﺻﺮﯾ ﺑﻪ ﻣﺮﺗﺒﻪ اﻣﺘﺪاددﻫ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ اﺷﺎره ﻧﺨﻮاﻫﯿﻢ ﮐﺮد ﻣ ﺮ اﯾﻨ ﻪ دﻟﯿﻞ ﻣﻨﺎﺳﺒ ﺑﺮای آن‬ ‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ‪ .‬اﻣﺎ در ﻋﻮض ﻗﺮارداد ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ ﺑﻪ اﻧﺪازه ﮐﺎﻓ ﺑﺮای ﺗﻮﺻﯿﻒ ﻋﻤﻞ ﮔﺮوه ﺧﻄ ﺷﺪه‬ ‫روی ﻫﻤﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎ‪ ،‬اﻣﺘﺪاد داده ﺷﺪه اﻧﺪ‪(.‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ‪ X1 , · · · , XR−1‬زﯾﺮﺟﺒﺮی از ‪ L‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﮐﻨﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ) ‪،(rR−1 , vR−1‬‬ ‫ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ اﯾﻦ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﺑﺎﻗﯿﻤﺎﻧﺪه ‪ ،XR‬روی ) ‪ (rR−1 , vR−1‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﻮﻟﺪ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻧﻘﻄﻪای ﻋﻤﻞ ﮐﻨﺪ‪ ،‬ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ‬ ‫)) ‪(rR , sR ) = (rR (rR−1 , vR−1 ), sR (rR−1 , vR−1‬‬ ‫‪٨٧‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی ‪ .٣.۵‬اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﮔﺎم ﺑﻪ ﮔﺎم از ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫در ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ ﻏﯿﺮ ﻧﺎوردا وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ آن ‪ XR = ∂ sR‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪).‬اﮐﻨﻮن ﻣ داﻧﯿﻢ ‪ rR‬و ‪ sR‬ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ‬ ‫ﺑﻪ روش ﻣﻌﻤﻮﻟ ﯾﺎﻓﺖ ﺷﻮﻧﺪ‪ (.‬در اﯾﻨﺼﻮرت ‪ vR‬ﺗﻨﻬﺎ ﺗﺎﺑﻌ از ‪ rR‬و ‪ s˙R := dsR /drR‬اﺳﺖ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ‬ ‫)‪ (۵۵.۵‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﻣﻌ ﻮس ﺷﻮد ﺗﺎ ﺑﺎزای ﺗﺎﺑﻌ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪G‬‬ ‫) ‪s˙R = G(rR‬‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ آﯾﺪ‪ .‬از اﯾﻨﺮو ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪G(rR )drR + c‬‬



‫) ‪rR (rR−1 ,vR−1‬‬



‫∫‬ ‫= ) ‪sR (rR−1 , vR−1‬‬



‫ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ X1 , · · · , XR−1‬ﻧﺎورداﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﺑﺘﻮان ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ‪vR−1‬‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از ‪ rR−1‬ﺣﻞ ﮐﺮد‪ ،‬ﻣﺴﺌﻠﻪای ﺑﻪ ﺷ ﻞ ) ‪ (۵۵.۵‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣ ﺷﻮد ﺑﺎ اﯾﻦ ﺗﻔﺎوت ﮐﻪ ‪R − 1‬‬ ‫ﺟﺎﯾ ﺰﯾﻦ ‪ R‬ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺸﺮوط ﺑﺮ اﯾﻨ ﻪ ﺑﺘﻮاﻧﯿﻢ اﯾﻦ روش را ﺑﻪ اﻧﺪازه ﮐﺎﻓ ﺑﻪ دﻓﻌﺎت ﺗ ﺮار ﮐﻨﯿﻢ ﺑﻪ ﺟﻮاب‬ ‫ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ دﺳﺖ ﯾﺎﻓﺘﻪ اﯾﻢ‪.‬‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ در اﯾﻦ ﺑﺨﺶ ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺘﻤﺮﮐﺰ ﻣ ﺷﻮﯾﻢ‪.‬‬ ‫ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ﯾ ﮔﺮوه ﺗ ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﻧﺎوردا ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺑﺎ روشﻫﺎی ﺗﻮﺿﯿ داده ﺷﺪه در اﻧﺘﻬﺎی ﻓﺼﻞ‬ ‫‪ ۴‬ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﭼﻪ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﺗﻌﺪاد زﯾﺎدی ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر‬ ‫ﮐﻪ در ﻓﺼﻞ ‪ ١٠‬ﺗﻮﺿﯿ داده ﺷﺪه ﻣ ﺗﻮان ﺑﺮای ﻃﺒﻘﻪ ﺑﻨﺪی آﻧﻬﺎ از ﺟﺒﺮﻟ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﺮد‪ .‬اﯾﻦ اﻣﺮ ﺑﻄﻮر‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ ﻣﻼﺣﻈﻪای ﺗﻼشﻫﺎی ﻻزم ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﻫﻤﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا را ﮐﺎﻫﺶ ﻣ دﻫﺪ‪ .‬ﺑﻮﺿﻮح ‪ XR‬روی‬ ‫) ‪ (rR−1 , vR−1‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﻮﻟﺪ ﯾ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻧﻘﻄﻪای ﻋﻤﻞ ﻣ ﮐﻨﺪ ﻫﺮ ﮔﺎه ﺗﺤﺪﯾﺪ ‪ XR‬ﺑﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ) ‪(rR−1 , vR−1‬‬ ‫ﺑﺎزای ﺗﻮاﺑ دﻟﺨﻮاه ‪ α‬و ‪ β‬ﮐﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ از آﻧﻬﺎ ﻏﯿﺮﺻﻔﺮ اﺳﺖ ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫‪XR = α(rR−1 , vR−1 )∂rR−1 + β(rR−1 , vR−1 )∂vR−1‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻻزم اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪XR rR−1 = α(rR−1 , vR−1 ),‬‬



‫) ‪XR vR−1 = β(rR−1 , vR−1‬‬



‫ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ‪ rR−1‬و ‪ vR−1‬در راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪∀ i = 1, · · · , R − 1‬‬



‫‪Xi vR−1 = 0,‬‬



‫‪Xi rR−1 = 0,‬‬



‫و از اﯾﻨﺮو‪:‬‬ ‫‪∀ i = 1, · · · , R − 1‬‬



‫‪[Xi , XR ]rR−1 = Xi α(rR−1 , vR−1 ) = 0,‬‬



‫ﮐﻪ ﻣ ﺗﻮان اﯾﻦ ﻋﺒﺎرت را ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﮐﺮد‪:‬‬ ‫‪∀ i = 1, · · · , R − 1‬‬



‫‪ckiR Xk rR−1 = 0,‬‬



‫ﮐﻪ اﯾﻦ ﮐﺎر ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﺷﺮط زﯾﺮ ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪cRiR = α(rR−1 , vR−1 ) = 0,‬‬



‫‪∀ i = 1, · · · , R − 1‬‬



‫ﺑﺎ ﺑﺤﺚ ﻣﺸﺎﺑﻬ ‪ [Xi , XR ]vR−1 = 0‬ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﻧﺘﯿﺠﻪ زﯾﺮ ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪cRiR = β(rR−1 , vR−1 ) = 0,‬‬



‫‪∀ i = 1, · · · , R − 1‬‬ ‫‪٨٨‬‬



‫‪ .٣.۵‬اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﮔﺎم ﺑﻪ ﮔﺎم از ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﻟﺬا از آﻧﺠﺎ ﮐﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ‬



‫از ﺗﻮاﺑ ‪ α‬و ‪ β‬ﻏﯿﺮﺻﻔﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪∀ i = 1, · · · , R − 1.‬‬



‫{‬ ‫}‬ ‫‪ Span X1 , · · · , XR−1‬ﯾ‬



‫) ‪(۵۶.۵‬‬



‫‪∀ 1 ≤ i < j ≤ R−1‬‬



‫‪cRij = 0,‬‬



‫ﺑﺎر ﮐﺎﻫﺶ دﻫﯿﻢ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﮐﺎﻫﺶ دوم ﻣﺮﺗﺒﻪ اﻣ ﺎﻧﭙﺬﯾﺮ‬



‫‪∀ 1 ≤ i < j ≤ R−1‬‬



‫ﺑﺎ اداﻣﻪ دادن ﺑﺎ روﺷ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ‪ Xk‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﯾ‬ ‫) ‪(۵٨.۵‬‬



‫‪cRij = 0,‬‬



‫ﻣﻮﻟﺪ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻧﻘﻄﻪای روی ) ‪ (rR−1 , vR−1‬ﻋﻤﻞ ﻣ ﮐﻨﺪ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ‬



‫اﯾﻦ ﺷﺮط ﻣﺎ را ﻗﺎدر ﻣ ﺳﺎزد ﺗﺎ ﻣﺮﺗﺒﻪ را ﯾ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﻫﺮ ﮔﺎه‪:‬‬ ‫) ‪(۵٧.۵‬‬



‫‪cRiR = 0,‬‬



‫زﯾﺮﺟﺒﺮ اﺳﺖ اﮔﺮ‪:‬‬ ‫‪∀ 1 ≤ i < j ≤ R−1‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ XR‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﯾ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬



‫‪cR−1‬‬ ‫‪i j = 0,‬‬



‫اﻧﺘ ﺮال ﻧﺘﯿﺠﻪ دﻫﺪ ﻫﺮﮔﺎه‪:‬‬



‫‪∀ 1≤i< j≤k‬‬



‫‪ckij = 0,‬‬



‫اﯾﻦ ﺷﺮط )در ﻫﺮ ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎﻧﻮﻧ ( ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ ‪ L‬ﯾ ﺟﺒﺮﻟ ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﺎﮐﻨﻮن ﺗﻮﺟﻪ ﺧﻮد را ﺑﻪ ﺟﺒﺮﻫﺎی ﻟ ﺑﺎ ‪ R ≤ n‬ﻣﺤﺪود ﮐﺮدﯾﻢ اﻣﺎ ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ ‪ R > n‬ﺑﺎﺷﺪ روش ﺑﺎﻻ ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫اﻧﺠﺎم اﺳﺖ ﻣﺸﺮوط ﺑﺮ اﯾﻨ ﻪ ‪ L‬ﯾ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ ‪ n‬ﺑﻌﺪی داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در ﻓﺼﻞ ﺑﻌﺪ اﯾﻦ روش را ﺑ ﺎر‬ ‫ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﮔﺮﻓﺖ و در ﻣﻮرد اﯾﻨ ﻪ اﮔﺮ ‪ L‬زﯾﺮﺟﺒﺮﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ ﺑﻪ اﻧﺪازه ﮐﺎﻓ ﺑﺰرگ ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭼﻪ ﺑﺎﯾﺪ ﺑ ﻨﯿﻢ‬ ‫ﺑﺤﺚ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﮐﺮد‪.‬‬



‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮ‬ ‫ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺮای ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ ﺑﻠ ﻪ ﺑﺮای ﺳﺎﺧﺘﻦ ﻣﺪﻟﻫﺎﯾ ﮐﻪ ﺗﻘﺎرنﻫﺎ‬ ‫را ﻧﺘﯿﺠﻪ داده اﻧﺪ ﻧﯿﺰ اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬اوﻟﻮر )‪ (1995‬ﺷﺎﻣﻞ ﺗﻮﺻﯿﻒ واﺿﺤ از ﺟﺰﺋﯿﺎت ﻧﺎورداﻫﺎی‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ و ﺑﺮﺧ از ﮐﺎرﺑﺮدﻫﺎی آﻧﻬﺎ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺟﺒﺮﻟ ﻫﺎ ﺑﻄﻮر وﺳﯿﻌ در رﯾﺎﺿﯿﺎت و ﻓﯿﺰﯾ ﻧﻈﺮی ﺑ ﺎر‬ ‫ﺑﺮده ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺳﺎﺗﯿﻨ ﺮ و وﯾﻮر )‪ (1986‬دﺳﺘﻮراﻟﻌﻤﻞ ﺳﺮراﺳﺘ دارﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮ روش ﻣﻦ ﻓﻮش و‬ ‫ﺳﺎﺗﯿﻨ ﺮ را ﭘﯿﺸﻨﻬﺎد ﻣ ﮐﻨﻢ‪.‬‬



‫ﺗﻤﺮﯾﻦﻫﺎ‬ ‫‪ ١.۵‬ﻣﻌﻤﻮﻟﺘﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪ ٣‬ﮐﻪ ﺗﻘﺎرنﻫﺎی آن ﺷﺎﻣﻞ ﮔﺮوﻫ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ‪ X = x∂ x + αy∂y‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ)‪ α‬ﻣﻘﺪاری ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ(‪ ،‬ﭼﯿﺴﺖ؟‬ ‫‪ ٢.۵‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ را ﺑﺮای‬ ‫)اﻟﻒ( ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪،X1 = xy∂ x + y2 ∂y‬‬ ‫)ب( ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪،X2 = x∂ x + y∂y‬‬ ‫)ج( ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ X1‬و ‪،X2‬‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪ .‬اﮐﻨﻮن ﻋﻤﻮﻣ ﺗﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ ٣‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﻘﺎرنﻫﺎی آن‬ ‫ﺷﺎﻣﻞ ﮔﺮوﻫ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ‪ X1‬و ‪ X2‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪٨٩‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .۵‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی ‪ .٣.۵‬اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﮔﺎم ﺑﻪ ﮔﺎم از ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫‪ ٣.۵‬ﻋﻤﻮﻣ ﺗﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ ٢‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﻘﺎرنﻫﺎی آن ﺷﺎﻣﻞ ﮔﺮوﻫ اﺳﺖ ﮐﻪ‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ )‪ (٣۴.۵‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ ۴.۵‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﭘﺎﯾﻪ )‪ (٣۴.۵‬ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری )‪) so(3‬راﺑﻄﻪ )‪ ((٣٣.۵‬را دارد‪.‬‬ ‫‪ ۵.۵‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻫﯿ ﺟﺒﺮﻟ ﺳﻪ ﺑﻌﺪی ﺑﺎ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮﻫﺎی‬ ‫‪[X2 , X3 ] = X2‬‬



‫‪[X1 , X3 ] = −X3 ,‬‬



‫‪[X1 , X2 ] = X1 ,‬‬



‫ﻣﯿﺎن ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﭘﺎﯾﻪای آن وﺟﻮد ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫‪ ۶.۵‬ﻓﻀﺎی ﺑﺮداری دو ﺑﻌﺪی ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ‪ X1 = x∂ x + αy∂y‬و ‪ X2 = −y∂ x + x∂y‬را‬ ‫ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪ .‬ﺑﻪ ازای ﭼﻪ ﻣﻘﺪاری از ‪ α‬اﯾﻦ ﻓﻀﺎی ﺑﺮداری ﺟﺒﺮﻟ اﺳﺖ؟ ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ α‬دﯾ ﺮ ﮐﻪ در ‪ R‬اﺳﺖ‬ ‫ﮐﻮﭼ ﺘﺮﯾﻦ ﺟﺒﺮﻟ )‪ L(α‬ﮐﻪ ﺷﺎﻣﻞ ‪ X1‬و ‪ X2‬اﺳﺖ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ )‪ L(α‬دارای زﯾﺮﺟﺒﺮ‬ ‫)‪ sl(2‬اﺳﺖ و ﺑﻌﺪ ﺑﺰرﮔﺘﺮﯾﻦ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ ٧.۵‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ اﮔﺮ ‪ I‬ﯾ ﻧﺎوردای دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﮔﺮوهﻫﺎی ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ X1‬و ‪ X2‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻧﺎوردای‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﮔﺮوﻫ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ] ‪ [X1 , X2‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﻧﯿﺰ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻧﺎوردای دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﺑﺎ ﮐﻤﺘﺮﯾﻦ‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻪ ﮐﻪ در ﺑﯿﻦ ﮔﺮوهﻫﺎی ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ X1 = ∂y‬و ‪ X2 = 2xy∂ x + y2 ∂y‬ﻣﺸﺘﺮک اﺳﺖ را‬ ‫ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬



‫‪٩٠‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪۶‬‬ ‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫ﻟ ﮔﺮوهﻫﺎی ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫ﻢ ﻢ ﻮت و ﻦ ﮐﺎر ﺪ ﺖ ﯽ آ ﺪ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪١.۶‬‬



‫)ازوپ‪ :‬ﮑﺎﯾﺎت(‬



‫روش ﻣﻘﺪﻣﺎﺗ ‪ :‬اﺳﺘﻔﺎده از ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮی‬



‫اﯾﻨ ﯾ روش اﺻﻮﻟ ﺑﺮای ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ ﯾ‬ ‫ﺑﺰرگ دارﯾﻢ‪:‬‬



‫)زﯾﺮ(ﺟﺒﺮﻟ ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ ﺑﻪ ﺣﺪ ﮐﺎﻓ‬



‫‪ .١‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ را ﺑﺮای ﻣﺸﺨﺺ ﮐﺮدن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ اﻋﻤﺎل ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٢‬ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮﻫﺎی ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﭘﺎﯾﻪای را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ و در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ زﯾﺮﺟﺒﺮﻫﺎی ﻣﺸﺘﻖ ﺷﺪه را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫زﯾﺮﺟﺒﺮ ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ ﺑﻪ ﺣﺪ ﮐﺎﻓ ﺑﺰرگ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪ ،‬ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎﻧﻮﻧ را اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ و ﻧﺎورداﻫﺎی‬ ‫‪ .٣‬ﯾ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ .۴‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﺑﺮﺣﺴﺐ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﻫﺮ ﯾ‬ ‫ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ را ﺑﺮای اﻧﺘ ﺮالﮔﯿﺮی ﺑﻪ روﺷ ﮐﻪ در ﻓﺼﻞ ‪ ۵‬ﺗﻮﺻﯿﻒ ﺷﺪ ﺑ ﺎر ﮔﯿﺮﯾﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﺪف اﯾﻦ ﺑﺨﺶ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ اﯾﻦ روش در ﻋﻤﻞ ﭼ ﻮﻧﻪ اﺳﺖ‪ .‬در اداﻣﻪ در ﺣﺎﻟﯿ ﻪ ﻗﺒﻼ ﯾ‬ ‫ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺑﺮای ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ ﯾﺎﻓﺘﻪاﯾﻢ‪ ،‬روی ﻣﺮﺣﻠﻪ )‪ (۴‬ﻣﺘﻤﺮﮐﺰ ﻣ ﺷﻮﯾﻢ‪.‬‬ ‫‪ ١.۶‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫) ‪(١.۶‬‬



‫‪y′2‬‬ ‫‪− y2 ,‬‬ ‫‪y‬‬



‫‪y > 0,‬‬ ‫‪٩١‬‬



‫= ‪y′′‬‬



‫از‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮیاﺳﺘﻔﺎده از ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﺎﺗ ‪:‬‬ ‫روشﭼﻨﺪ‬ ‫ﮔﺮوهﻫﺎی‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪ .۶‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻟ ‪.١.۶‬‬ ‫ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ آن ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫) ‪(٢.۶‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫‪X2 = x∂ x − 2y∂y .‬‬



‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ را ﺑﻪ ﯾﺎد آورﯾﺪ‪ .‬ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ X1‬دارای ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪v1 = y′ ,‬‬



‫‪r1 = y,‬‬



‫و ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ X1 , X2‬ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫‪y′′‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪y2‬‬



‫‪y′‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y3/2‬‬



‫= ‪v2‬‬



‫= ‪r2‬‬



‫از اﯾﻨﺮوﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.۶‬ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺟﺒﺮی زﯾﺮ ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٣.۶‬‬



‫‪v2 = r22 − 1‬‬ ‫ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎﻧﻮﻧ اﺳﺖ ﻟﺬا ‪ X2‬ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻧﻘﻄﻪای ﺑﺎ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی‬



‫ﺟﺒﺮﻟ ﻣﺬﮐﻮر ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ و )‪ (٢.۶‬ﯾ‬ ‫) ‪ (r1 , v1‬را ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺻﺮﯾﺤﺎً‬



‫‪X2(1) v1 = −3y′ = −3v1 ,‬‬



‫‪X2 r1 = −2y = −2r1 ,‬‬



‫و در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺗﺤﺪﯾﺪ ‪ X2‬ﺑﻪ ) ‪ (r1 , v1‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‬ ‫‪X2 = −2r1 ∂r1 − 3v1 ∂v1 .‬‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻧﺎوردای ‪ r2 = v1 /r13/2‬را اﻧﺘﺨﺎب ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﺮای راﺣﺘ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ) ‪s2 = − 21 ln(r1‬‬ ‫در اﯾﻨﺼﻮرت‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪ds2 ds2 dr2‬‬ ‫=‬ ‫÷‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪dr2‬‬ ‫‪dx dx 3r22 − 2v2‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ از )‪ (٣.۶‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﺑﺎ‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪ds2‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪dr2 r22 + 2‬‬ ‫ﮐﻪ اﻧﺘ ﺮالﮔﯿﺮی از آن ﺳﺎده اﺳﺖ ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﯾ‬



‫اﻧﺘ ﺮالﮔﯿﺮی ﺳﺮراﺳﺖ ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‪:‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪ln(r22 + 2) + c.‬‬ ‫‪2‬‬



‫= ‪s2‬‬



‫ﭘﺲ از ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ اﯾﻦ ﺟﻮاب ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ) ‪ (r1 , v1‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺟﺒﺮی زﯾﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(۴.۶‬‬



‫‪v1 = ±r1 (4c21 − 2r1 )1/2 ,‬‬



‫ﮐﻪ در آن ‪ c1‬ﯾ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﺜﺒﺖ دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﮐﺎﻣﻞ ﺷﺪن ﯾ ﻣﺮﺣﻠﻪ از اﯾﻦ روﻧﺪ‪ ،‬ﻋﻤﻠ ﻣﺸﺎﺑﻪ را اﯾﻦ‬ ‫ﺑﺎر ﺑﺎ ﺑ ﺎرﮔﯿﺮی ﻣﻮﻟﺪ ‪ X1‬ﺑﺮای ﺣﻞ )‪ (۴.۶‬ﺗ ﺮار ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﺮ اﺳﺎس ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ )‪(r1 , s1 ) = (y, x‬‬ ‫ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‬ ‫‪ds1 1‬‬ ‫‪±1‬‬ ‫=‪= ′‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dr1 y‬‬ ‫‪r1 (4c1 − 2r1 )1/2‬‬ ‫‪٩٢‬‬



‫ﭘﺬﯾﺮیدﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻟ ﮔﺮوهﻫﺎی ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ ﺣﻞ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪.۶‬‬ ‫‪ .١.۶‬روش ﻣﻘﺪﻣﺎﺗ ‪:‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺬﮐﻮر ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪r1‬‬



‫√‬ ‫‪c1‬‬



‫(‬



‫‪−1‬‬ ‫‪c2 ± c−1‬‬ ‫‪1 cosh‬‬



‫= ‪s1‬‬



‫ﮐﻪ ﺑﺎ ﺑﺮﮔﺮداﻧﺪن آن ﺑﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی اﺻﻠ ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‬ ‫) ‪(۵.۶‬‬



‫‪y = 2c21 sech2 (c1 (x − c2 )).‬‬



‫‪ ٢.۶‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪٣‬‬ ‫) ‪(۶.۶‬‬



‫‪,‬‬



‫‪y′′2‬‬ ‫) ‪y′ (1 + y′‬‬



‫= ‪y′′′‬‬



‫ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای آن ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫) ‪(٧.۶‬‬



‫‪X3 = x∂ x + y∂y‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫‪X2 = ∂y ,‬‬



‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ ﺑﺮای ﻫﺮ زﯾﺮﺟﺒﺮ ‪ Lk‬ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ ﯾ‬ ‫ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‬ ‫) ‪(٨.۶‬‬



‫‪v1 = y′‬‬



‫‪r1 = y,‬‬



‫ﺑﺮای‬



‫) ‪(٩.۶‬‬



‫‪v2 = y′′‬‬



‫‪r2 = y′ ,‬‬



‫ﺑﺮای‬



‫‪v1 = y′′′ /y′′2 .‬‬



‫‪r3 = y,‬‬



‫ﺑﺮای‬



‫} {‬ ‫‪L1 = Span X1‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫; ‪L2 = Span X1 , X2‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪L3 = Span X1 , X2 , X3‬‬



‫ﻟﺬاﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (۶.۶‬ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺟﺒﺮی‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪r3 (1 + r3‬‬



‫) ‪(١٠.۶‬‬



‫= ‪v3‬‬



‫ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﺤﺪﯾﺪ ‪ X3‬ﺑﻪ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ) ‪ ،(r2 , v2‬ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ‬ ‫; ‪X3(2) v2 = −y′′ = −v2‬‬



‫‪X3(1) r2 = 0,‬‬



‫از اﯾﻨﺮو ﻣﻮﻟﺪ ﻣﺤﺪود ﺷﺪه ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‬ ‫‪X3 = −v2 ∂v2 .‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫;| ‪s3 = − ln |v2 | = − ln |y′′‬‬ ‫دراﯾﻨﺼﻮرت )‪ (٩.۶‬ﻫﻢ ارزﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول زﯾﺮ اﺳﺖ‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ds3‬‬ ‫= ‪= −v3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪dr3‬‬ ‫) ‪r3 (1 + r3‬‬ ‫‪٩٣‬‬



‫زﻧﺠﯿﺮ‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮیاﺳﺘﻔﺎده از ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﺎﺗ ‪:‬‬ ‫روشﭼﻨﺪ‬ ‫ﮔﺮوهﻫﺎی‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪ .۶‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻟ ‪.١.۶‬‬ ‫ﺑﺎ ﻧﻮﺷﺘﻦ ﺟﻮاب اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ‪ r2‬و ‪ v2‬ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‬ ‫‪c 1 r2‬‬ ‫‪1 + r2‬‬



‫) ‪(١١.۶‬‬



‫= ‪v2‬‬



‫در ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺑﻌﺪ ﭘ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﺑﺮد ﮐﻪ ﺗﺤﺪﯾﺪ ‪ X2‬ﺑﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ) ‪ (r1 , v1‬ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‬ ‫‪X2 = ∂r1‬‬ ‫در اﯾﻨﺼﻮرت ‪ s2 = r1‬ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻣﻨﺎﺳﺒ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺸﺮوط ﺑﺮ اﯾﻨ ﻪ ‪ c1 , 0‬ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺟﺒﺮی‬ ‫)‪ (۶.١٠‬ﺑﺎ‬ ‫‪ds2 r2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫) ‪= (1 + r2‬‬ ‫‪dr2 v2 c1‬‬ ‫ﮐﻪ ﺟﻮاب آن ﺑﺮﺣﺴﺐ ‪ r1‬و ‪ v1‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‬ ‫) ‪(١٢.۶‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪(1 + v1 )2 .‬‬ ‫‪2c1‬‬



‫‪r1 = c2 +‬‬



‫ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ‪ .‬در آﺧﺮ ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ‪ s1 = x‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‬ ‫‪ds1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫√‬ ‫) ‪dr1 v1 −1 ± 2c1 (r1 − c2‬‬ ‫ﭘﺲ از اﻧﺠﺎم اﻧﺘ ﺮالﮔﯿﺮی و ﺟﺎﯾ ﺰﯾﻨ ‪ r1‬و ‪ v1‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎ ‪ x‬و ‪ y‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (۶.۶‬را در ﻓﺮم ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫زﯾﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(١٣.۶‬‬



‫)‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫(‪1‬‬ ‫) ‪ln | − 1 ± 2c1 (y − c2 )| ± 2c1 (y − c1‬‬ ‫‪c1‬‬



‫‪x = c3 +‬‬



‫ﺑﺎ داﺷﺘﻦ ﯾ ﭘﺎﯾﻪ ﻣﻔﺮوض ﺑﺮای ﯾ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ ‪ n‬ﺑﻌﺪی‪ ،‬وﺟﻮد ﭼﻨﺪﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻣﺘﻔﺎوت از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ‪،‬‬ ‫ﮐﻪ ﻫﺮ ﮐﺪام از آﻧﻬﺎ ﯾ ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎﻧﻮﻧ اﺳﺖ‪ ،‬اﻣﺮی ﻋﺎدی اﺳﺖ‪ .‬در اﺻﻞ اﯾﻨ ﻪ ﭼﻪ ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎﻧﻮﻧ اﻧﺘﺨﺎب‬ ‫ﻣ ﺷﻮد ﺣﺎﺋﺰ اﻫﻤﯿﺖ ﻧﯿﺴﺖ وﻟ در ﻋﻤﻞ ﺑﺮﺧ اﻧﺘﺨﺎﺑﻬﺎ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮﯾﻬﺎ را دﺷﻮار ﯾﺎ ﺣﺘ ﻏﯿﺮ‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ ﺳﺎزد‪ .‬ﺑﻨﻈﺮ ﻣ رﺳﺪ ﺗﻨﻬﺎ راه رﻓ اﯾﻦ ﻣﺸ ﻞ ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ ﻣﺜﺎل ﺑﻌﺪ ﻧﺸﺎن ﻣﯿﺪﻫﺪ‪،‬آزﻣﺎﯾﺶ ﮐﺮدن‬ ‫ﭘﺎﯾﻪﻫﺎی ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻨ روﻧﺪ ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﻠﻤﻮسﺗﺮ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻟﺬا در‬ ‫اداﻣﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮ ﺟﺰﺋﯿﺎت ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺣﺬف ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ)ﺗ ﻤﯿﻞ ﺟﺰﺋﯿﺎت ﺑﻪ ﺧﻮاﻧﻨﺪه واﮔﺬار ﻣ ﺷﻮد‪(.‬‬ ‫‪ ٣.۶‬ﻣﺜﺎل‪ .‬در ﻣﺜﺎل ﻗﺒﻞ ﺗﻮاﻧﺴﺘﯿﻢ ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎﻧﻮﻧ‬ ‫) ‪(١۴.۶‬‬



‫‪X2 = ∂ x ,‬‬



‫‪X3 = x∂ x + y∂y‬‬



‫‪X1 = ∂y ,‬‬



‫را ﺑﺮﮔﺰﯾﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺟﺎﺑﺠﺎ ﺷﻮﻧﺪه ‪ ∂ x‬و ‪ ∂y‬را از ﻓﺮم ﻣﺮﺗﺐ آن‪ ،(٧.۶) ،‬ﻣﺘﻤﺎﯾﺰ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬ ‫ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ )‪ (٨.۶‬ﺗﻘﺮﯾﺒﺎً ﺑﺪون ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺑﺎ اﯾﻦ ﺗﻔﺎوت ﮐﻪ در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ ‪r1 = x‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬از اﯾﻨﺮو ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺑﺪون ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺗﺎ آﻧﺠﺎ ﮐﻪ )‪ (١٠.۶‬ﮐﻪ اﮐﻨﻮن ﺑﻪ‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪1‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪ds2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪dr2 v2 c1‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪٩۴‬‬



‫ﭘﺬﯾﺮیدﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻟ ﮔﺮوهﻫﺎی ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ ﺣﻞ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪.۶‬‬ ‫‪ .١.۶‬روش ﻣﻘﺪﻣﺎﺗ ‪:‬‬ ‫ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ ﻇﺎﻫﺮ ﻣ ﺷﻮد و اﻧﺘ ﺮالﮔﯿﺮی ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‪1‬‬ ‫‪ln |v1 | + v1‬‬ ‫‪c1‬‬



‫) ‪(١۵.۶‬‬



‫‪r1 = c2 +‬‬



‫و اﯾﻦ ﻣﺎ را ﺑﺎ اﯾﻦ ﻣﻮﺿﻮع روﺑﺮو ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ‪ :‬ﺑﺮای ﺑﺪﺳﺖ آوردن ‪ v1‬ﺑﺼﻮرت ﺗﺎﺑﻌ از ‪ ،r1‬ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﯿﻢ از‬ ‫)‪ (١۴.۶‬اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﭼﻨﯿﻦ اﻧﺘﺨﺎﺑ ﺑﺮای ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎﻧﻮﻧ ‪ ،‬ﺗﻌﯿﯿﻦ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (۶.۶‬را ﺑﺴﯿﺎر‬ ‫دﺷﻮار ﻣ ﺳﺎزد‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻟﻬﺎی ﺑﺎﻻ ﻣﺜﺎﻟﻬﺎﯾ ﺳﺎده اﻧﺪ زﯾﺮا ﯾﺎﻓﺘﻦ ﯾ ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ ‪ vk‬را ﺑﺘﻮان در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺑﺼﻮرت‬ ‫ﺗﺎﺑﻌ از ‪ rk‬ﻧﻮﺷﺖ‪ ،‬آﺳﺎن اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ﭼﻨﯿﻦ ﭘﺎﯾﻪ ای ﯾﺎﻓﺖ ﻧﺸﻮد‪ ،‬اﻣ ﺎن ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﺑﺼﻮرت‬ ‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی وﺟﻮد ﺧﻮاﻫﺪ داﺷﺖ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫) ‪(١۶.۶‬‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫) ‪(١٧.۶‬‬



‫)‪r = f (v‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫‪dr‬‬



‫= ˙‪ s‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ‪ r‬و ‪ v‬ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد‪ .‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت دارﯾﻢ‬ ‫∫‬ ‫)‪d f (v‬‬ ‫)‪s = g(v) := s˙(r, v)|r= f (v‬‬ ‫‪dv + c‬‬ ‫‪dv‬‬



‫اﮔﺮ )‪ (١۶.۶‬و )‪ (١۵.۶‬ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪای ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ اﻣ ﺎن ﻧﻮﺷﺘﻦ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ‪ v‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺗﺎﺑﻌ از ‪ r‬و ‪ s‬ﻓﺮاﻫﻢ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧ ﺎه ‪ v‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺣﺬف ﺷﻮد‪ .‬اﯾﻦ ﺷﯿﻮه ﮐﻪ ﺿﻤﻨ ﺳﺎزی ﻧﺎم دارد ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ )‪ f (v‬و )‪ ، g(v‬ﭼﻨﺪ‬ ‫ﺟﻤﻠﻪاﯾﻬﺎی ﮔﻮﯾﺎ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻫﻤﻮاره ﻗﺎﺑﻞ اﻧﺠﺎم اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ وﺟﻮد در ﻣﻮرد ﻫﻤﻪﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﻣﺠﺎز ﺑﻪ ﺿﻤﻨ ﺳﺎزی ﻧﯿﺴﺘﯿﻢ‪ .‬ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ ‪ v‬ﺣﺬف ﻧﺸﻮد ﺑﺎﯾﺴﺘ ﺟﻮاب در ﺷ ﻞ ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺑﺎﻗ ﺑﻤﺎﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪ ۴.۶‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫‪y′3‬‬



‫) ‪(١٨.۶‬‬



‫‪y′3 − 2‬‬



‫= ‪y′′‬‬



‫ﮐﻪ ﺟﺒﺮﻟ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﻟ آن ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫‪X2 = ∂y‬‬



‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﺑ ﺎرﮔﯿﺮی ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ‬ ‫‪(r1 , v1 ) = (y, y′ ),‬‬



‫) ‪(r2 , v2 ) = (y′ , y′′‬‬ ‫و ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ‪ ،s2 = r1‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(١٩.۶‬‬



‫‪v21 2‬‬ ‫‪+ + c1 .‬‬ ‫‪2 v1‬‬



‫= ‪r1‬‬



‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ s1 = x‬ﺑﺎﺷﺪ در اﯾﻨﺼﻮرت‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ds1‬‬ ‫=‬ ‫‪dr1 v1‬‬



‫= ‪s˙1‬‬



‫آﻧ ﺎه از )‪ (١۶.۶‬ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‬ ‫) ‪(٢٠.۶‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪+ c2‬‬ ‫‪v21‬‬ ‫‪٩۵‬‬



‫‪s1 = v1 +‬‬



‫ﺑﺪﺳﺖآﻣﺪه در روﻧﺪ ﮐﺎﻫﺶ‬ ‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫ﺟﺪﯾﺪ‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎیﭼﻨﺪ‬ ‫‪ .٢.۶‬ﮔﺮوهﻫﺎی‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪ .۶‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻟ‬ ‫ﯾ روش ﺳﺎده ﺑﺮای ﺣﺬف ﭘﺎراﻣﺘﺮ ‪ v1‬از )‪ (١٨.۶‬وﺟﻮد دارد‪ .‬اﺑﺘﺪا ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﺑﺼﻮرت ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪای‬ ‫ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ‪ v1‬ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪v31 − 2(r1 − c1 )v1 + 4 = 0‬‬ ‫‪v31 − (s1 − c2 )v21 + 1 = 0‬‬ ‫ﺣﺎل از ﯾ‬



‫از ﻣﻌﺎدﻻت ﺑﯿﺸﺘﺮﯾﻦ ﺗﻮان ‪ v1‬را ﺣﺬف ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪v31 − 2(r1 − c1 )v1 + 4 = 0‬‬ ‫‪(s1 − c2 )v21 − 2(r1 − c1 )v1 + 3 = 0‬‬



‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﮐﻤﺘﺮ)ﮐﻪ در ﺗﻮان ﻣﻨﺎﺳﺒ از ‪ v1‬ﺿﺮب ﺷﺪه اﺳﺖ( را ﺑﺮای ﺣﺬف ﺑﯿﺸﺘﺮﯾﻦ ﺗﻮان ‪ v1‬از ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾ ﺮ ﺑ ﺎر ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪2(r1 − c1 )v21 − 2(r1 − c1 )(s1 − c2 ) + 3 v1 + 4(s1 − c2 ) = 0‬‬ ‫‪(s1 − c2 )v21 − 2(r1 − c1 )v1 + 3 = 0‬‬ ‫اﯾﻦ ﻋﻤﻞ را ﺗﺎ ﯾﺎﻓﺘﻦ ‪ v1‬اداﻣﻪ ﻣ دﻫﯿﻢ‪ .‬در اﯾﻦ ﻣﺜﺎل اﻧﺠﺎم ﻋﻤﻞ ﺣﺬف ﺗﻨﻬﺎ ﯾ‬ ‫ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪای ﺧﻄ ﺑﺮای ‪ v1‬ﮐﻪ ﺟﻮاب آن ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‬ ‫) ‪(٢١.۶‬‬



‫ﺑﺎر دﯾ ﺮ ﻻزم اﺳﺖ ﺗﺎ‬



‫‪6(r1 − c1 ) − 4(s1 − c2 )2‬‬ ‫) ‪4(r1 − c1 )2 − 2(r1 − c1 )(s1 − c2 )2 − 3(s1 − c2‬‬



‫دﺳﺖ ﯾﺎﺑﯿﻢ‪) .‬ﻣﺸﺮوط ﺑﺮ اﯾﻨ ﻪ ﻣﺨﺮج ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ(‪ .‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺬﮐﻮر ﺑﺎ‬ ‫ﺟﺎﯾ ﺬاری )‪ (٢٠.۶‬در‬ ‫‪(s1 − c2 )v21 − 2(r1 − c1 )v1 + 3 = 0‬‬ ‫و ﻗﺮار دادن )‪ (y, x‬ﺑﺠﺎی ) ‪ (r1 , s1‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬روﺷ دﯾ ﺮ ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺟﻮاب‪ ،‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﺮر از اﻟ ﻮرﯾﺘﻢ‬ ‫ﺣﺬف ﺗﺎ زﻣﺎن ﺣﺬف ‪ v1‬از ﯾ از ﻣﻌﺎدﻻت ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﯾﻦ اﻟ ﻮرﯾﺘﻢ ﺑﺮای ﻫﺮ ﺟﻮاب ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﮐﻪ در آن ‪r‬‬ ‫و ‪ s‬ﻫﺮ دو ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاﯾﻬﺎی ﮔﻮﯾﺎ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﯾ‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٢.۶‬‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮ )ﮐﻪ ﻟﺰوﻣﺎً ‪ v‬ﻧﯿﺴﺖ( ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻗﺎﺑﻞ اﺟﺮاﺳﺖ‪.‬‬



‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺟﺪﯾﺪ ﺑﺪﺳﺖآﻣﺪه در روﻧﺪ ﮐﺎﻫﺶ‬



‫ﺗﺎ ﮐﻨﻮن ﻓﺮض ﮐﺮدهاﯾﻢ ﮐﻪ ﺟﺒﺮﻟ ﻣﺎ ﯾ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ ﺑﻪ ﺣﺪ ﮐﺎﻓ ﺑﺰرگ دارد ﮐﻪ ﻣﺎ را ﻗﺎدر ﻣ‬ ‫ﺳﺎزد ﺗﺎﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﺑﻄﻮر ﮐﺎﻣﻞ ﺣﻞ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬اداﻣﻪ اﯾﻦ ﻓﺼﻞ ﺑﻪ ﻣﺒﺤﺚﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ} ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n‬ﮐﻪ{ﺑﺰرﮔﺘﺮﯾﻦ زﯾﺮﺟﺒﺮﻫﺎی ﺣﻠﭙﺬﯾﺮ آﻧﻬﺎ از ﺑﻌﺪ ‪ n − 1‬ﯾﺎ ﮐﻤﺘﺮ اﺳﺖ اﺧﺘﺼﺎص دارد‪ .‬ﻓﺮض‬ ‫ﮐﻨﯿﻢ ‪ X1 , · · · , XS‬ﯾ ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎﻧﻮﻧ ﺑﺮای ﭼﻨﯿﻦ زﯾﺮﺟﺒﺮی ﺑﺎﺷﺪ‪.‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اﺻﻠ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ‬ ‫ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ) ‪ (rS , vS‬از اﯾﻦ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﺑﺎ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n − S‬ﻫﻢ ارز اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪای ﺟﺒﺮی ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(٢٢.۶‬‬



‫) ‪vS = F(rS ; c1 , · · · , cn−S‬‬ ‫‪٩۶‬‬



‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻟ ﮔﺮوهﻫﺎی ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻتﮐﺎﻫﺶ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖآﻣﺪه در روﻧﺪ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪ .۶‬ﺣﻞ‬ ‫‪ .٢.۶‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺟﺪﯾﺪ‬ ‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ ﺑﺘﻮان اﯾﻦ ﺟﻮاب را ﻣﺸﺨﺺ ﮐﺮد‪)،‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎیﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ‬ ‫زﯾﺮا )‪ (٢١.۶‬ﺑﺎ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ از ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ S‬ﮐﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬ ‫ﺑﺮﻃﺮف ﻣ ﺷﻮد {‬ ‫ﯾﺎﻓﺘﻪ(‪،‬ﻣﺸ ﻞ }‬ ‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ X1 , · · · , XS‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻫﻢ ارز اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ )‪ (٢١.۶‬ﯾﺎﻓﺖ ﻧﺸﻮد ﭼﻪ ﺑﺎﯾﺪ ﮐﺮد؟‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫ﻫﺮ زﯾﺮﺟﺒﺮ ‪ Lk = Span X1 , · · · , Xk‬در ﯾ زﻧﺠﯿﺮ ﺣﻠﭙﺬﯾﺮ را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺮای ﮐﺎﻫﺶ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ اﺻﻠ ﺑﻪ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻫﻢ ارز از ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n − k‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ‬ ‫اﺳﺎﺳ ) ‪ (rk , vk‬ﺑ ﺎر ﺑﺮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﯾ دﻧﺒﺎﻟﻪ واﺳﻄﻪ ازﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ی ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ‬ ‫وﺟﻮد دارد‪ .‬ﺗﺎ ﮐﻨﻮن از ﮐﻞ ‪ LS‬ﺑﺮای دﺳﺘﯿﺎﺑ ﺑﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮﯾﻦ ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﺮدهاﯾﻢ‪ .‬اﻣﺎ اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ‪ ،‬ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ ﻧﺒﺎﺷﺪ ﻗﺎﺑﻞ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﺨﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬اﻣﺎ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ‬ ‫ازﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ی واﺳﻄﻪ‪ ،‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﺟﺪﯾﺪی ﻋﻼوه ﺑﺮ آﻧﻬﺎﯾ ﮐﻪ ازﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﯾ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اﺻﻠ ﺑﻪ ارث ﻣ ﺑﺮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺎ داﺷﺘﻦ ﺗﻌﺪاد ﮐﺎﻓ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺟﺪﯾﺪ دﺳﺘﯿﺎﺑ ﺑﻪ‬ ‫ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ واﺳﻄﻪ ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ ﻣﻤ ﻦ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪:‬‬ ‫) ‪vk = F(rk ; c1 , · · · , cn−k‬‬ ‫ﺳﭙﺲ ‪ Lk‬و ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺮای ﮐﺎﻣﻞ ﮐﺮدن ﺟﻮاب ﺑ ﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪ ۵.۶‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺳﻪ‬ ‫‪2y′′2 y′′ y′2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y′‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬



‫) ‪(٢٣.۶‬‬ ‫ﯾ‬



‫= ‪y′′′‬‬



‫ﺟﺒﺮ ﻟ آﺑﻠ دو ﺑﻌﺪی ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫‪X2 = x∂ x‬‬



‫‪X1 = ∂y ,‬‬



‫دارد‪ .‬ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬



‫) ‪(٢۴.۶‬‬



‫‪v1 = y′‬‬



‫‪r1 = x,‬‬



‫ﺑﺮای‬



‫‪v2 = x2 y′′ .‬‬



‫‪r2 = xy′ ,‬‬



‫ﺑﺮای‬



‫{‬



‫}‬ ‫; ‪L1 = Span X1‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪L2 = Span X1 , X2‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (٢٢.۶‬ﺑﺎ‬ ‫) ‪(٢۵.۶‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪dv2 2v2 + 3r2 v2 + r2‬‬ ‫=‬ ‫‪dr2‬‬ ‫) ‪r2 (v2 + r2‬‬



‫ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی آن ﻧﺎﻣﻌﻠﻮﻣﻨﺪ ﻫﻢ ارز اﺳﺖ‪ .‬اﻣﺎ )‪ (٢٢.۶‬ﺑﺎﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ دو‬ ‫) ‪(٢۶.۶‬‬



‫)‬ ‫‪d2 v1‬‬ ‫‪2 ( dv1 )2 1 ( dv1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪v1 dr1‬‬ ‫‪r1 dr1‬‬ ‫‪dr12‬‬



‫ﻧﯿﺰ ﮐﻪ دارای ﯾ ﺟﺒﺮﻟ ﻫﺸﺖ ﺑﻌﺪی از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﻫﻢ ارز اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾ ﮐﻪ‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ ‪ X2‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪهاﻧﺪ ازﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اﺻﻠ )‪ (٢٢.۶‬ﺑﻪ ارث رﺳﯿﺪه اﻧﺪ در ﺣﺎﻟﯿ ﻪ ﺑﻘﯿﻪ‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﺟﺪﯾﺪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺠﺎی آزﻣﺎﯾﺶ ﮐﻞ ﺟﺒﺮﻟ ﺗﺮﺟﯿﺤﺎً ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ روی زﯾﺮﺟﺒﺮ دو ﺑﻌﺪی ‪ L˜ 2‬ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻄ‬ ‫) ‪(٢٧.۶‬‬



‫‪X˜2 = r1 ∂r1 − v1 ∂v1‬‬ ‫‪٩٧‬‬



‫‪X˜1 = v21 ∂v1 ,‬‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮیدارای ﺟﺒﺮﻟ )‪SL(2‬‬ ‫ﭼﻨﺪ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪٣‬‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﮔﺮوهﻫﺎی‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻتاز ﻟدﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﺮالﮔﯿﺮی اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫اﻧﺘ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪ .۶‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت ‪.٣.۶‬‬ ‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻣﺘﻤﺮﮐﺰ ﺷﻮﯾﻢ‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ‪ X˜ 2‬ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻣﻮﻟﺪ ‪ X2‬ﺑﻪ ) ‪ (r1 , v1‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺎﯾﻪ )‪ (٢۶.۶‬ﮐﺎﻧﻮﻧ‬ ‫اﺳﺖ زﯾﺮا‬ ‫‪[X˜ 1 , X˜ 2 ] = X˜ 1‬‬ ‫از اﯾﻦ روﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (٢۵.۶‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ ﺑ ﺎرﮔﯿﺮی ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ‬ ‫) ‪(٢٨.۶‬‬



‫‪1 dv1‬‬ ‫‪v21 dr1‬‬



‫= ‪v˜ 1‬‬



‫‪r˜1 = r1 ,‬‬



‫ﺑﺮای‬



‫} {‬ ‫; ‪L˜ 1 = Span X˜ 1‬‬



‫= ‪r˜2‬‬



‫ﺑﺮای‬



‫‪L˜ 2‬‬



‫‪1 dv1‬‬ ‫‪r1 d2 v1 2r1 ( dv1 )2‬‬ ‫‪, v˜ 2 = 2 2 − 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v1 dr1‬‬ ‫‪v1 dr1‬‬ ‫‪v1 dr1‬‬



‫ﺑﻪ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﺣﺬف ﺟﺰﺋﯿﺎت ﺑﻪ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (٢۵.۶‬ﻣ رﺳﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪2c1‬‬ ‫‪(c1 r1 + 1)2 + c2‬‬



‫) ‪(٢٩.۶‬‬



‫= ‪v1‬‬



‫در ﻧﻬﺎﯾﺖ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ )‪ (r1 , s1 ) = (x, y‬ﺑﺮای ﮐﺎﻣﻞ ﮐﺮدن ﺟﻮاب )‪ (٢٢.۶‬ﮐﻪ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪c3 + 2˜c2 tan−1 c˜ 2 (c1 x + 1‬‬ ‫‪c2 = (˜c2 )−2 > 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ c3 −‬‬ ‫‪c2 = 0‬‬ ‫‪y=‬‬ ‫) ‪(٣٠.۶‬‬ ‫‪‬‬ ‫ )‪(c1 x + 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ ‪ c1 x + 1 − c˜ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c2 = −˜c2 < 0‬‬ ‫ ‪ c3 + (˜c2 ) ln‬‬ ‫ ‬ ‫‪c1 x + 1 + c˜ 2‬‬ ‫ﺑ ﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫اﯾﻦ ﻣﺜﺎل ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ اﮔﺮ ﭼﻨﺎﻧﭽﻪﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻄﻮر ﮐﺎﻣﻞ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ‬ ‫ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪایﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ واﺳﻄﻪ ارزﺷﻤﻨﺪ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٣.۶‬‬ ‫)‪sl(2‬‬



‫اﻧﺘ ﺮالﮔﯿﺮی ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪ ٣‬دارای ﺟﺒﺮﻟ‬



‫ﺟﺒﺮﻟ ﺳﻪ ﺑﻌﺪی )‪ sl(2‬ﺣﻠﭙﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ و روﺷﻬﺎی ﻓﻮق ﺑﺮایﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ی ﻣﺮﺗﺒﻪ‪ ٣‬ﺑﺎ اﯾﻦ‬ ‫ﺟﺒﺮﻟ ﮐﺎرﺳﺎز ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﯾ از ﺳﺎده ﺗﺮﯾﻦ روﺷﻬﺎی ﻣﺸﺨﺺ ﮐﺮدن )‪ sl(2‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ای از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‪:‬‬ ‫) ‪(٣١.۶‬‬



‫‪X3 = x2 ∂ x‬‬



‫‪X2 = x∂ x ,‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ ﺑﺮای ﮔﺮوه ﻟ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ )‪ (٣٠.۶‬ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‬ ‫) ‪(٣٢.۶‬‬



‫‪2y′ y′′′ − 3y′′2‬‬ ‫‪2y′4‬‬



‫= ‪vα‬‬



‫‪rα = y,‬‬



‫از اﯾﻦ رو ﻫﺮﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪ ٣‬ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ آن ﺗﻮﺳﻂ )‪ (٣٠.۶‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ‬ ‫)ﺑﺎزای ﺗﺎﺑ دﻟﺨﻮاه ‪ (F‬ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(٣٣.۶‬‬



‫) ‪vα = F(rα‬‬ ‫‪٩٨‬‬



‫)‪ SL(2‬ﮔﺮوهﻫﺎی ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده از ﻟ‬ ‫دارایﺑﺎﺟﺒﺮﻟ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻪ‪٣‬‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻتﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻتﺣﻞ‬ ‫‪ .٣.۶‬اﻧﺘ ﺮالﮔﯿﺮیﻓﺼﻞ ‪.۶‬‬ ‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﯾ زﯾﺮﮔﺮوه ﺣﻠﭙﺬﯾﺮ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ‪ X1‬و ‪ X2‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ روﺷﻬﺎی ﻣﻌﻤﻮل )‪(٣٢.۶‬‬ ‫را ﺑﻪ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪ ١‬ﮐﺎﻫﺶ داد‪.‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫رﯾ ﺎﺗ‬ ‫) ‪(٣۴.۶‬‬



‫‪dz 1 2‬‬ ‫)‪+ z = F(y‬‬ ‫‪dy 2‬‬



‫ﮐﻪ‬



‫‪y′′‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y′2‬‬



‫=‪z‬‬



‫اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺎ ﻣﻌﺮﻓ ﺗﺎﺑ زﯾﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺧﻄ ﺷﺪن اﺳﺖ‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪y′‬‬



‫= )‪ψ(y‬‬



‫در اﯾﻨﺼﻮرت دارﯾﻢ )‪ z = 2ψ′ (y)/ψ(y‬ﮐﻪ )‪ ψ(y‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺷﺮودﯾﻨ ﺮ‬ ‫‪d2 ψ 1‬‬ ‫‪− F(y)ψ = 0‬‬ ‫‪dy2 2‬‬



‫) ‪(٣۵.۶‬‬



‫ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )‪ ψ(y‬ﯾ ﺟﻮاب ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮ دﻟﺨﻮاه )‪ (٣۴.۶‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﮔﺮ )‪ ϕ(y‬ﯾ‬ ‫ﺻﻔﺮ ﺑﻄﻮر ﺧﻄ ﻣﺴﺘﻘﻞ از )‪ ψ(y‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬روﻧﺴ ﯿﻦ‬



‫ﺟﻮاب ﻏﯿﺮ‬



‫)‪W = ψ(y)ϕ′ (y) − ϕ(y)ψ′ (y‬‬ ‫ﯾ‬



‫ﺛﺎﺑﺖ ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪d ( ϕ(y) ) W‬‬ ‫‪= 2 =W‬‬ ‫)‪dy ψ(y‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ψ‬‬



‫و از اﯾﻦ رو‬ ‫)‪ϕ(y‬‬ ‫‪+c‬‬ ‫)‪ψ(y‬‬



‫= ‪Wx‬‬



‫ﺑﺮای راﺣﺘ ‪ ϕ‬را در ﯾ ﻋﺪد ﺛﺎﺑﺖ ﺿﺮب ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﺗﺎ ‪ W = 1‬ﺣﺎﺻﻞ ﺷﻮد‪ .‬اﯾﻦ ﻋﻤﻞ ﺟﻮاب راﺗﻐﯿﯿﺮ‬ ‫ﻧﻤ دﻫﺪ‪ .‬ﻋﻼوه ﺑﺮ اﯾﻦ ﻣ ﺗﻮان ‪ c‬را ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ ﻗﺮار داد‪) .‬ﺑﺎ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﺠﺪد ‪ ϕ‬در ﺻﻮرت ﻟﺰوم‪ (.‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺳﻪ )‪ (٣٢.۶‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫)‪ϕ(y‬‬ ‫)‪ψ(y‬‬



‫) ‪(٣۶.۶‬‬



‫=‪x‬‬



‫اﯾﻦ ﺟﻮاب ﺑﻪ ﭼﻬﺎر ﺛﺎﺑﺖ دﻟﺨﻮاه ﺑﺴﺘ ﻧﺪارد ﺑﻠ ﻪ ﺑﻪ ﺳﻪ ﺛﺎﺑﺖ واﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ زﯾﺮا ‪ ϕ‬ﺑﺮای ﺗﻀﻤﯿﻦ اﯾﻨ ﻪ‬ ‫‪ W = 1‬ﺑﺎﺷﺪ ﻧﺮﻣﺎل ﺷﺪه اﺳﺖ‪ sl(2) .‬روی ﺻﻔﺤﻪ )‪ (x, y‬ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻮﺳﻂ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی )‪ (٣٠.۶‬ﺗﻮﻟﯿﺪ‬ ‫از ﺳﻪ ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﻨﺪه ﻣﺘﻤﺎﯾﺰی اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ﻫﯿ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻧﻘﻄﻪای ﺑﻪ‬ ‫ﻧﻤ ﺷﻮد ﺑﻠ ﻪ اﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﯾ‬ ‫ﯾ ﺪﯾ ﺮ ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﻧﻤ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬دو ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻮﻟﺪ دﯾ ﺮ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‬ ‫) ‪(٣٧.۶‬‬



‫‪X3 = x2 ∂ x − 2xy∂y‬‬



‫‪X2 = x∂ x − y∂y ,‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫) ‪(٣٨.۶‬‬



‫‪X3 = x ∂ x − (2xy + 1)∂y‬‬



‫‪X2 = x∂ x − y∂y ,‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫‪2‬‬



‫ﻫﺮ ﯾ از اﯾﻦ ﺳﻪ ﻣﻮﻟﺪ‪ ،‬ﻧﻤﺎﯾﻨﺪه ﯾ ﮐﻼس ﻫﻢ ارزی از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎﯾ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺗﺤﺖ ﯾ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪای ﻣﺨﺘﻠﻂ ﺑﻪ ﯾ ﺪﯾ ﺮ ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪٩٩‬‬



‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮیدارای ﺟﺒﺮﻟ )‪SL(2‬‬ ‫ﭼﻨﺪ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪٣‬‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﮔﺮوهﻫﺎی‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻتاز ﻟدﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﺮالﮔﯿﺮی اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫اﻧﺘ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪ .۶‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت ‪.٣.۶‬‬ ‫ﺑﺮای ﻫﺮﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ دﯾ ﺮ ﮐﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎﯾﺶ ﺗﺤﺖ ﯾ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻧﻘﻄﻪای ﺑﻪ )‪ (٣٠.۶‬ﻧ ﺎﺷﺘﻪ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬اﺳﺘﺮاﺗﮋی ﺣﻞ واﺿ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﮐﻪ‪ :‬ﺗﺒﺪﯾﻞ را اﻧﺠﺎم داده و ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺷﺮودﯾﻨ ﺮ را )در‬ ‫ﺻﻮرت اﻣ ﺎن( ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ و ﺳﭙﺲ ﺟﻮاب ﺗﺒﺪﯾﻞ ﯾﺎﻓﺘﻪ را ﻣﺠﺪداً ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی اوﻟﯿﻪ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺟﺎﻟﺐ ﺗﻮﺟﻪ اﺳﺖ ﮐﻪ اﺳﺘﺮاﺗﮋی ﻣﺸﺎﺑﻬ ﺑﺮایﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﯾ ﮐﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی آﻧﻬﺎ ﻫﻢ ارز ﺑﺎ‬ ‫ﯾ از دو ﻣﻮﻟﺪ دﯾ ﺮ اﺳﺖ وﺟﻮد دارد‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻔﺎوﺗ ﮐﻪ وﺟﻮد دارد اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﻮرد ﻧﯿﺎز در اﯾﻨﺠﺎ‪،‬‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻧﻘﻄﻪای ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫اﻣﺘﺪاد ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی )‪ (٣٠.۶‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫‪X3 = x2 ∂ x − 2xy′ ∂y′ .‬‬



‫‪X2 = x∂ x − y′ ∂y′ ,‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ‪ p = y′‬ﺑﺎﺷﺪ آﻧ ﺎه ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی اﻣﺘﺪاد ﯾﺎﻓﺘﻪ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫) ‪(٣٩.۶‬‬



‫‪X3 = x2 ∂ x − 2xp∂ p‬‬



‫‪X2 = x∂ x − p∂ p ,‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫ﮐﻪ دوﻣﯿﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺸﺨﺺ ﺳﺎزی )‪ (٣۶.۶‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ)ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری ‪ p‬ﺑﺠﺎی ‪ .(y‬ﻣﻌﻤﻮل ﺗﺮﯾﻦﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺳﻪ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ )‪ (٣٨.۶‬ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‪:‬‬ ‫) ‪(۴٠.۶‬‬



‫) ‪vβ = G(rβ‬‬



‫ﮐﻪ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ آن ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫) ‪(۴١.۶‬‬



‫‪dvα p2 p′′′ − 6pp′ p′′ + 6p′3‬‬ ‫=‬ ‫‪drα‬‬ ‫‪p6‬‬



‫‪2pp′′ − 3p′2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2p4‬‬



‫= ‪vβ‬‬



‫= ‪rβ = vα‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(۴٢.۶‬‬



‫‪dvα‬‬ ‫‪= rα + c = y + c‬‬ ‫) ‪G(vα‬‬



‫∫‬



‫ﻫﺪف ﻣﺎ ﻣﺸﺨﺺ ﮐﺮدن ‪ p = y′‬ﺑﺼﻮرت ﺗﺎﺑﻌ از ‪ x‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣ ﺗﻮان ‪ c‬را ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﻣﻘﺪار ﻣﻨﺎﺳﺒ ﻗﺮار‬ ‫داد ﺑﺪون اﯾﻨ ﻪ ﺗﺎﺛﯿﺮی روی ﻧﺘﯿﺠﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣﺸﺮوط ﺑﺮ اﯾﻨ ﻪ )‪ (۴١.۶‬ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر دﺳﺘﯿﺎﺑ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت‪:‬‬ ‫) ‪vα = F(rα‬‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ ﺑﺎﺷﺪ ﻣ ﺗﻮان ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺑﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪای ﮐﻪ ﭘﯿﺸﺘﺮ ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺖ ﮐﺎﻫﺶ داد‪ .‬ﺑﻪ ﻣﺤﺾ اﯾﻨ ﻪ‬ ‫ﺟﻮاب‬ ‫) ‪(۴٣.۶‬‬



‫)‪ϕ(y‬‬ ‫)‪ψ(y‬‬



‫=‪x‬‬



‫ﭘﯿﺪا ﺷﺪ رﺳﯿﺪن ﺑﻪ‬ ‫) ‪(۴۴.۶‬‬ ‫آﺳﺎن اﺳﺖ‪ (۴٢.۶).‬و )‪ (۴٣.۶‬ﺑﺎ ﻫﻤﺪﯾ ﺮ ﯾ‬ ‫ﺗﺸ ﯿﻞ‬ ‫ﻣ دﻫﻨﺪ‪.‬‬



‫‪dy‬‬ ‫‪= (ψ(y))2‬‬ ‫‪dx‬‬



‫=‪p‬‬



‫ﺟﻮاب ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺑﺮایﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪(٣٩.۶‬‬



‫‪١٠٠‬‬



‫)‪ SL(2‬ﮔﺮوهﻫﺎی ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده از ﻟ‬ ‫دارایﺑﺎﺟﺒﺮﻟ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻪ‪٣‬‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻتﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻتﺣﻞ‬ ‫‪ .٣.۶‬اﻧﺘ ﺮالﮔﯿﺮیﻓﺼﻞ ‪.۶‬‬ ‫‪ ۶.۶‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﺗﻮﺿﯿ دادن روش‪ ،‬ﺟﻮابﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪۴‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y˜ (iv) = (1 − y˜ ′ )˜y′′′‬‬ ‫˜‪y‬‬



‫) ‪(۴۵.۶‬‬



‫را ﮐﺎﻣﻞ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﮐﺮد‪) .‬در اﯾﻨﺠﺎ ˜‪ y‬ﺑﺠﺎی ‪ y‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﺷﻮد ﺗﺎ از ﺑﻮﺟﻮد آﻣﺪن اﺑﻬﺎم ﺟﻠﻮﮔﯿﺮی ﺷﻮد‪ (.‬در‬ ‫ﻣﺜﺎل )‪ (۵.٢‬اﯾﻦﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﺑﻪ‬ ‫‪2˜yy˜ ′′ − y˜ ′2 + c1‬‬ ‫‪y˜ 2‬‬



‫) ‪(۴۶.۶‬‬



‫= ‪y˜ ′′′‬‬



‫ﮐﺎﻫﺶ دادﯾﻢ ﮐﻪ دارای ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﻟ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(۴٧.۶‬‬



‫‪X2 = x∂ x − y˜ ∂y˜ ,‬‬



‫˜‪X3 = x2 ∂ x − 2x˜y∂y‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ˜‪ p = 1y‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬دراﯾﻨﺼﻮرت ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی )‪ (۶.۴۶‬ﺑﺎ )‪ (۶.٣۶‬ﻫﻢ ارزﻧﺪ‪.‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ )‪ (۴۵.۶‬ﺑﺎ‬ ‫‪vβ = 2rβ − c1‬‬ ‫ﻫﻢ ارز اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ exp 2(rα + c) .‬‬ ‫‪2‬‬



‫=‪vα = F(rα ) :‬‬



‫ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺗﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‪ c = 12 (ln 2 + πi) :‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺷﺮودﯾﻨ ﺮ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫‪d2 ψ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ (e2y − c1 )ψ = 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪dy2‬‬ ‫ﮐﻪ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺴﻞ‬ ‫) ‪(۴٨.۶‬‬



‫√‪1‬‬ ‫‪c1‬‬ ‫‪2‬‬



‫=‪ν‬‬



‫‪d2 ψ dψ‬‬ ‫‪+t‬‬ ‫‪+ (t2 − v2 )ψ = 0,‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt2‬‬



‫‪t = ey ,‬‬



‫‪t2‬‬



‫ﻫﻢ ارز ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻟﺬا از )‪ (۴٢.۶‬و )‪ (۴٣.۶‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪(۴۵.۶) ٣‬‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫) ‪(۴٩.۶‬‬



‫‪p = (c4 Jν (t) + c5 Yν (t))2 ,‬‬



‫)‪c2 Jν (t) + c3 Yν (t‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪c4 Jν (t) + c5 Yν (t‬‬



‫=‪x‬‬



‫ﮐﻪ )‪ Jν (t‬و )‪ Yν (t‬ﺗﻮاﺑ ﺑﺴﻞ ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ‪ c1‬و ‪ c2‬ﻃﻮری اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه اﻧﺪ ﮐﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪W = (c3 c4 − c2 c5 ) = 1.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫در ﭘﺎﯾﺎن ﺟﻮاب )‪ (۴۴.۶‬را از اﺗﺤﺎد ‪ y˜ = p−1‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪.‬‬ ‫ﺳﻮﻣﯿﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻮﻟﺪ‪ ،(٣٧.۶)،‬ﺑﻪ ﻫﻤﺎن ﺗﺮﺗﯿﺐ ﮐﻪ دوﻣﯿﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﻪ اوﻟﯿﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻮد‪ ،‬ﺑﻪ‬ ‫دوﻣﯿﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ واﺑﺴﺘﻪ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﻣﺘﺪاددﻫ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی )‪ (٣٨.۶‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‬ ‫‪X3 = x2 ∂ x − 2xp∂ p − (4xp′ + 2p)∂ p′‬‬ ‫‪١٠١‬‬



‫‪X2 = x∂ x − p∂ p − 2p′ ∂ p′ ,‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮیدارای ﺟﺒﺮﻟ )‪SL(2‬‬ ‫ﭼﻨﺪ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪٣‬‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﮔﺮوهﻫﺎی‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻتاز ﻟدﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﺮالﮔﯿﺮی اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫اﻧﺘ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪ .۶‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت ‪.٣.۶‬‬ ‫ﮐﻪ ﺑﺎ‬ ‫‪X2 = x∂ x − p∂ p − q∂q ,‬‬



‫‪X3 = x2 ∂ x − 2xp∂ p − (2xq + 1)∂q‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ و در آن‬ ‫)‪p′ (x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪2p(x‬‬



‫) ‪(۵٠.۶‬‬



‫= )‪q(x‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﺤﺪﯾﺪ دوﻣﯿﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻮﻟﺪ اﻣﺘﺪاد داده ﺷﺪه ﺑﻪ ﺗﻮاﺑﻌ از ‪ x‬و ‪ q‬ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‪:‬‬ ‫) ‪(۵١.۶‬‬



‫‪X3 = x2 ∂ x − (2xq + 1)∂q‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫‪X2 = x∂ x − q∂q ,‬‬



‫ﮐﻪ ﺑﺎ ﺳﻮﻣﯿﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻮﻟﺪ ﻫﻢ ارز اﺳﺖ‪ .‬ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ )‪ (۵٠.۶‬ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫‪q′′ − 6qq′ + 4q3‬‬ ‫√ =‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2(q′ − q2 )3/2‬‬ ‫) ‪(۵٢.۶‬‬



‫‪vβ‬‬ ‫‪rβ3/2‬‬



‫‪2vβ dvβ q′′′ − 12qq′′ + 18q′2‬‬ ‫=‬ ‫‪− 24‬‬ ‫‪(q′ − q2 )2‬‬ ‫‪rβ2 drβ‬‬



‫=‬



‫‪rγ‬‬



‫=‬



‫‪vγ‬‬



‫از اﯾﻨﺮوﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪ ٣‬ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ آن ﺗﻮﺳﻂ )‪ (۵٠.۶‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﻧﺪ‪ ،‬ﯾﻌﻨ ‪:‬‬ ‫) ‪vγ = H(rγ‬‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫) ‪( vβ‬‬ ‫‪2vβ dvβ‬‬ ‫‪= H 3/2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪rβ drβ‬‬ ‫‪r‬‬



‫) ‪(۵٣.۶‬‬



‫‪β‬‬



‫ﻫﻢ ارز اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ ١‬دارای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻘﯿﺎﺳ )ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻄ ‪X = 2rβ ∂rβ +‬‬ ‫‪ 3vβ ∂vβ‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه( ﻣ ﺑﺎﺷﺪ و اﯾﻦ ﻣﺎ را ﻗﺎدر ﻣ ﺳﺎزد ﺗﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺬﮐﻮر را ﺑﺎ اﻧﺘ ﺮال‬ ‫ﮔﯿﺮی ﮐﺎﻫﺶ دﻫﯿﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(۵۴.۶‬‬



‫}‬



‫∫{‬



‫‪2rγ drγ‬‬ ‫‪H(rγ ) − 3rγ2‬‬



‫‪rβ = c exp‬‬



‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )‪ (۵٣.۶‬را ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﺑﺪﺳﺖ آوردن ‪ rγ‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ‪ rβ‬ﺑﺘﻮان ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﻧﻤﻮد‪ .‬در اﯾﻨﺼﻮرت اﯾﻦ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ای ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ آن ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻮﻟﺪ دوم اﺳﺖ‪ ،‬ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﯾﻌﻨ ‪:‬‬ ‫) ‪(۵۵.۶‬‬



‫) ‪vβ = G(rβ ) := rβ3/2 rγ (rβ‬‬



‫اﮐﻨﻮن ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ )‪ (۴٢.۶‬و )‪ (۴٣.۶‬ﻣﯿﺪاﻧﯿﻢ ﮐﻪ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (۵۴.۶‬ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪= (ψ(y))2‬‬ ‫‪dx‬‬



‫=‪P‬‬



‫‪١٠٢‬‬



‫)‪ϕ(y‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪ψ(y‬‬



‫=‪x‬‬



‫)‪ SL(2‬ﮔﺮوهﻫﺎی ﭼﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده از ﻟ‬ ‫دارایﺑﺎﺟﺒﺮﻟ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻪ‪٣‬‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻتﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻتﺣﻞ‬ ‫‪ .٣.۶‬اﻧﺘ ﺮالﮔﯿﺮیﻓﺼﻞ ‪.۶‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫)‪p′ (x‬‬ ‫)‪= ψ(y)ψ′ (y‬‬ ‫)‪2p(x‬‬



‫=‪q‬‬



‫ﻟﺬا ﺟﻮاب ﭘﺎراﻣﺘﺮیﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻋﻤﻮﻣ ای ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی آن در ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻮﻟﺪ ﺳﻮم اﺳﺖ‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫) ‪(۵۶.۶‬‬



‫)‪q = ψ(y)ψ′ (y‬‬



‫)‪ϕ(y‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪ψ(y‬‬



‫=‪x‬‬



‫ﺟﺎﻟﺐ ﺗﻮﺟﻪ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻫﺮ ﺳﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻮﻟﺪ ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﻨﺪه‪ ،‬ﺑﺎ اﻣﺘﺪاددﻫ ﺑﻪ ﯾ ﺪﯾ ﺮ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )در اﺻﻞ( ﻫﻤﻪ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺷﺮودﯾﻨ ﺮ ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ اﯾﻦ روش ﻧﯿﺎزﻣﻨﺪ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ اﻧﺘ ﺮال‬ ‫ﮔﯿﺮی ﻫﺎ در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺗﺤﺖ ﮐﻨﺘﺮل ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬



‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮ‬ ‫روش اﻧﺘ ﺮالﮔﯿﺮی ﻣ ﺮر ﮐﻪ در ﺑﺨﺶ ‪ ١.۶‬ﻣﻄﺮح ﺷﺪ در ﻧﻮﺷﺘﻪﻫﺎی ﻣﺘﻔﺎوﺗ اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﺳﺘﻔﺎﻧ‬ ‫)‪ (١٩٨٩‬ﭼﻨﺪﯾﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻣﺘﻔﺎوت ﺷﺎﻣﻞ اﻟ ﻮرﯾﺘﻢ ﻟ ﺑﺮای ﺳﺎﺧﺘﻦ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی ﺧﻄ در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ را ﺑﯿﺎن‬ ‫ﮐﺮده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫در ﺑﯿﺸﺘﺮ اﯾﻦ ﮐﺘﺎﺑﻬﺎ ﻣﺴﺌﻠﻪ وﺟﻮد ﺟﻮاﺑﻬﺎ در ﻓﺮم ﺑﺴﺘﻪ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﮐﺎﮐﺲ‪ ،‬ﻟﯿﺘﻞ و اوﺷﯿﻦ‬ ‫)‪ (١٩٩٢‬ﺷﺎﻣﻞ ﻣﻘﺪﻣﻪای آﺳﺎن ﺑﺮای ﺿﻤﻨ ﺳﺎزی و ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺘﻔﺎوت ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ‪ ۶.٣‬ﺑﺮ اﺳﺎس ﻣﻘﺎﻟﻪای اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ اوﻟﻮر و ﮐﻼرﮐﺴﻮن )‪ (١٩٩۶‬اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ و ﺑﻄﻮر‬ ‫اﺧﺺ روی ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﭼﺰی ﻣﺘﻤﺮﮐﺰ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﻄﻮر واﺿﺤ ارزش روش ﺗﻘﺎرﻧ در ﻣﻮاﺟﻬﻪ ﺑﺎ‬ ‫ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺗﺤﻠﯿﻠ دﺷﻮار را ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ‪.‬‬



‫ﺗﻤﺮﯾﻦﻫﺎ‬ ‫‪ ١.۶‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ‪ y′′ = y′ (1 − y′ )/y‬ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای آن ﺗﻮﺳﻂ ‪X1 = ∂ x , X2 = x∂ x + y∂y‬‬ ‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ ٢.۶‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ y′′ = yy′ /x3 − y2 x4‬را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ ٣.۶‬از )‪ (٢٨.۶‬ﻣﺸﺘﻖ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪ ۴.۶‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ) ‪ y′′ = 1/(xy2‬را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ ۵.۶‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ) ‪ y′′ = y′2 /y − y2 /(x3 y′‬دارای ﯾ ﺟﺒﺮﻟ دو ﺑﻌﺪی ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ = ‪X1‬‬ ‫‪ x∂ x‬و ‪ X2 = y∂y‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ را ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﺣﻞ اﯾﻦﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺼﻮرت ﻣﻨﺎﺳﺒ ﺑ ﺎر ﮔﯿﺮﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪ ۶.۶‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ y′′′ = 3y′′2 /(2y′ ) + (y2 /2 + 1)y′3‬ﮐﻪ دارای ﺟﺒﺮﻟ )‪ sl(2‬اﺳﺖ و‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ ‪ X2 = x∂ x ،X1 = ∂ x‬و ‪ X3 = x2 ∂ x‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ ٧.۶‬ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرﻧ ‪ X1 = ∂ x‬و ‪ X2 = x∂ x + y∂y‬را ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ‪y′′ = (y′ − 1)/y‬‬ ‫در ﺷ ﻞ ﭘﺎراﻣﺘﺮی آن ﺑ ﺎر ﮔﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺣﺎل ﭘﺎراﻣﺘﺮ را ﺣﺬف ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ ﺗﺎ ﺟﻮاﺑ ﺑﻪ ﺷ ﻞ ) ‪F(x; c1 , c2‬‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪١٠٣‬‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮیدارای ﺟﺒﺮﻟ )‪SL(2‬‬ ‫ﭼﻨﺪ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪٣‬‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﮔﺮوهﻫﺎی‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻتاز ﻟدﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﺮالﮔﯿﺮی اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫اﻧﺘ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪ .۶‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت ‪.٣.۶‬‬



‫‪١٠۴‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪٧‬‬ ‫روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬ ‫‪БЗ‬رگ از‬



‫ﺑﺨﺶ ‪١.٧‬‬



‫ﻮﭼﮏ‬



‫ﺪ‪ ،‬ﻖ ﻦ‬



‫ﮫﺎ‪ :‬ﭼ ﻮ ا ﺴﺎن ﻦ ﯽ رود‪ ،‬ﻮر ﺶ را از ز ﻦ آو ان ﯽ ﺪ؟‬ ‫)دﯾﮏ ا‬



‫و ﯾﺎن‬



‫ﭘ‬



‫‪ :‬ا ﺒﺎی زوپ(‬



‫اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ‬



‫ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم ﮐﻪ دارای ﺟﺒﺮﻟ )‪ so(3‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﯾ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﺣﻞ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ دو ﺑﻌﺪی ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ ﻧﻤ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪).‬ﺑﺎزای ﻫﯿ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﻣﻮﺟﻮد(‪ .‬اﻣﺎ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎ‬ ‫روﺷ ﻣﺘﻔﺎوت ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺣﻞ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬در اﯾﻦ ﺑﺨﺶ روﺷ آﺳﺎن ﺟﻬﺖ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﺑﻪ‬ ‫ﻣﻨﻈﻮر ﯾﺎﻓﺘﻦ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣ ﯾﺎﺑﯿﻢ‪ .‬اﯾﻦ روش ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ ﺣﺎﻟﺘ اﺳﺖ ﮐﻪ‬ ‫ﺑﻌﺪ ﺟﺒﺮﻟ از ﻣﺮﺗﺒﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﯿﺸﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪) .‬ﯾﺎدآوری ‪ so(3):‬ﺳﻪ ﺑﻌﺪی اﺳﺖ‪ (.‬ﺟﺎﻟﺐ ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ اﯾﻦ روش ﻣﺎ را ﻗﺎدر ﻣ ﺳﺎزد ﺗﺎ ﺑﺮﺧ از ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﺑﺪون اﯾﻨ ﻪ ﻣﺠﺒﻮر ﺑﻪ‬ ‫اﻧﺠﺎم ﻫﯿﭽ ﻮﻧﻪ اﻧﺘ ﺮالﮔﯿﺮی ﺑﺎﺷﯿﻢ‪ ،‬ﺣﻞ ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪.‬‬ ‫اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫) )‪y(n) = ω(x, y, y′ , · · · , y(n−1‬‬



‫) ‪(١.٧‬‬ ‫ﺗﺎﺑ ﻏﯿﺮ ﺛﺎﺑﺖ‬



‫) )‪ϕ(x, y, y′ , · · · , y(n−1‬‬



‫) ‪(٢.٧‬‬



‫ﮐﻪ روی ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ‪ ،‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬از اﯾﻦ رو‬ ‫) ‪(٣.٧‬‬



‫زﻣﺎﻧﯿ ﻪ )‪(١.٧‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‬



‫‪Dx ϕ = 0‬‬



‫ﺷ ﻞ ﻣﺮﺗﺐﺗﺮ ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺒﯿﻦ ﺑﺼﻮرت‬ ‫) ‪(۴.٧‬‬



‫‪ϕy(n−1) , 0‬‬ ‫‪١٠۵‬‬



‫‪¯ = 0,‬‬ ‫‪Dϕ‬‬



‫‪ .١.٧‬اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ‬



‫‪D¯ = ∂ x + y′ ∂y + · · · + y(n−1) ∂y(n−2) + ω∂y(n−1) .‬‬



‫) ‪(۵.٧‬‬



‫ﺗﺎ ﮐﻨﻮن ﻣﺎ ﺑﻄﻮر ﮐﻠ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ را ﺗﻮﺳﻂ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ آﻧﻬﺎ ﻣﺸﺨﺺ ﮐﺮدهاﯾﻢ‬ ‫اﻣﺎ در ﺳﺮاﺳﺮ اﯾﻦ ﻓﺼﻞ ﮐﺎر ﮐﺮدن ﺑﺎ ﻣﺸﺨﺼﻪ ‪ Q = η − y′ ξ‬ﺑﺴﯿﺎر راﺣﺖﺗﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ‬ ‫ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ‪ Q‬ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﺑﯿﺎن ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫) ‪(۶.٧‬‬



‫‪¯ − ωy Q = 0‬‬ ‫‪D¯ n Q − ωy(n−1) D¯ n−1 Q − · · · − ωy′ DQ‬‬



‫ﺑﺮای ﺑﺪﺳﺖ آوردن اﯾﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ اﺗﺤﺎدﻫﺎی‬ ‫) ‪(٧.٧‬‬



‫‪ηk = Dkx Q + y(k+1) ξ,‬‬



‫‪k = 0, · · · , n‬‬



‫را در ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ )‪ (١٢.٣‬ﺟﺎﯾ ﺬاری ﻣ ﮐﻨﯿﻢ در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٨.٧‬‬



‫‪Dnx Q − ωy(n−1) Dn−1‬‬ ‫‪x Q − · · · − ωy′ D x Q − ωy Q‬‬ ‫‪=ω‬‬



‫)‪(n‬‬



‫‪y‬‬



‫وﻗﺘ‬



‫‪− ω) = 0‬‬



‫‪+ξD x (y‬‬



‫)‪(n‬‬



‫ﺟﻤﻼﺗ ﮐﻪ در ‪ ξ‬ﺿﺮب ﺷﺪه اﻧﺪ ﺣﺬف ﻣ ﺷﻮﻧﺪ زﯾﺮا ﻫﺮ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.٧‬ﯾ‬ ‫ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫) ‪(٩.٧‬‬



‫‪Dkx (yn − ω) = 0,‬‬



‫· · · ‪k = 0, 1, 2,‬‬



‫اﺳﺖ‪ .‬اﮐﻨﻮن ﺟﻤﻼت ﺑﻪ ﺷ ﻞ ‪ D¯ k Q‬را در ﻫﺮ ﻣﺸﺘﻖ ﮔﯿﺮی ﺟﺪا ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫‪¯ + HQ‬‬ ‫‪D x Q = DQ‬‬ ‫ﮐﻪ در آن‪:‬‬ ‫) ‪(١٠.٧‬‬



‫)‪H = (yn − ω)∂y(n−1‬‬



‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫)‪¯ + D x (HQ‬‬ ‫)‪D2x = D¯ 2 Q + H(DQ‬‬ ‫و در ﺣﺎﻟﺘ ﮐﻠ ﺗﺮ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(١١.٧‬‬



‫))‪(H(D¯ j Q‬‬



‫‪k−1− j‬‬



‫‪Dx‬‬



‫‪k−1‬‬ ‫∑‬



‫‪Dkx = D¯ k Q +‬‬



‫‪j=0‬‬



‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از )‪ ،(٩.٧‬راﺑﻄﻪ )‪ (١١.٧‬ﺑﺎزای ﻫﺮ ﺗﺎﺑ ) )‪ Q(x, y, y′ , · · · , y(n−1‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫‪Dkx Q|y(n) =ω = D¯ k Q,‬‬



‫· · · ‪k = 0, 1, 2,‬‬



‫و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪ (٨.٧‬ﺑﺎ )‪ (١١.٧‬ﻫﻢ ارز اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﭘﺎﯾﻪ ﺑﺮای ﺟﺒﺮﻟ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن‬ ‫‪ X1 , · · · , XR‬ﯾ‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪای ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﻔﺮوض )‪ (١.٧‬ﺑﺴﺎزﻧﺪ‪ .‬در اﯾﻨﺼﻮرت ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ‪Q1 , · · · , QR‬‬ ‫‪١٠۶‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫‪ .١.٧‬اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ‬



‫ﯾ ﭘﺎﯾﻪ ﺑﺮای ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﻤﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی )‪ (۶.٧‬ﮐﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ) ‪ (x, y, y′‬ﺑﺴﺘ دارﻧﺪ و ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ y′‬ﺧﻄ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪،‬‬ ‫ﻣ ﺳﺎزﻧﺪ‪ .‬ﺳﺎﯾﺮ ﺟﻮاﺑﻬﺎی )‪ (۶.٧‬در ﺑﺨﺶ ﺑﻌﺪ ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﻗﺮار ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﮔﺮﻓﺖ‪.‬‬ ‫در اﯾﻨﺠﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺧﻮد را ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪٢‬‬ ‫) ‪y′′ = ω(x, y, y′‬‬



‫) ‪(١٢.٧‬‬



‫ﮐﻪ ﺟﺒﺮﻟ ‪ L‬آﻧﻬﺎ دارای ﺑﻌﺪ ‪ R > 2‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻌﻄﻮف ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺗﺎﺑ ) ‪ φ(x, y, y′‬ﯾ‬



‫اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ )‪(١٢.٧‬‬



‫اﺳﺖ اﮔﺮ‬



‫) ‪(١٣.٧‬‬



‫‪¯ = 0,‬‬ ‫‪Dφ‬‬



‫‪φy′ , 0‬‬



‫ﮐﻪ در آن‬ ‫‪D¯ = ∂ x + y′ ∂y + ω∂y′‬‬



‫) ‪(١۴.٧‬‬



‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ ﺑﺘﻮاﻧﯿﻢ دو اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺗﺎﺑﻌ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ φ1‬و ‪ φ2‬ﺑﯿﺎﺑﯿﻢ‪ ،‬ﺑﻪ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ در ﺷ ﻞ ﭘﺎراﻣﺘﺮی‬ ‫) ‪(١۵.٧‬‬



‫‪φ1 (x, y, y′ ) = c1 ,‬‬



‫‪φ2 (x, y, y′ ) = c2‬‬



‫دﺳﺖ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﯾﺎﻓﺖ‪ .‬در اﯾﻨﺠﺎ ‪ y′‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﻋﻤﻞ ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ در ﺻﻮرت ﻧﻮﺷﺘﻦ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﺑﻪ‬ ‫ﻓﺮم ﺑﺴﺘﻪ آن‪ ،‬ﻣﻠﺰم ﺑﻪ ﺣﺬف ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ } ‪ {X1 , · · · , XR‬ﭘﺎﯾﻪای ﻣﻔﺮوض ﺑﺮای ‪ L‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ‪ Xi‬از ‪Qi‬‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(١۶.٧‬‬



‫‪1≤i< j≤R‬‬



‫‪¯ j − Q j DQ‬‬ ‫‪¯ i,‬‬ ‫‪Wi j = Qi DQ‬‬



‫در اﯾﻨﺼﻮرت ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ )‪ (۶.٧‬ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‪:‬‬ ‫) ‪(١٧.٧‬‬



‫‪¯ i − ωy Qi = 0‬‬ ‫‪D¯ 2 Qi − ωy′ DQ‬‬



‫و از اﯾﻦ رو‬ ‫) ‪(١٨.٧‬‬



‫‪¯ i j = Qi D¯ 2 Q j − Q j D¯ 2 Qi = ωy′ Wi j‬‬ ‫‪DW‬‬



‫ﻧﺴﺒﺖ ﻫﺮ دو ﻣﻘﺪار ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮ ‪ Wi j‬ﯾ‬ ‫)‪ (١٨.٧‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬



‫ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ و در ﻏﯿﺮ اﯾﻨﺼﻮرت ﯾ‬ ‫)‬ ‫‪Wi j‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪Wkl‬‬



‫اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ اﺳﺖ‪ .‬زﯾﺮا‬



‫(‬ ‫¯‪D‬‬



‫اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ زﻣﺎﻧﯿ ﻪ ‪ Wi j = 0‬اﺳﺖ ﻧﯿﺰ ﺑﻮﺟﻮد ﻣ آﯾﻨﺪ زﯾﺮا در اﯾﻨﺼﻮرت‪:‬‬ ‫) (‬ ‫‪Qj‬‬ ‫¯‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪Qi‬‬ ‫اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ اﺳﺖ زﯾﺮا ‪ Xi‬و ‪ X j‬ﻣﺴﻘﻞ ﺧﻄ‬ ‫ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ﻧﯿﺴﺖ ﺑﻠ ﻪ ﯾ‬ ‫)ﮐﺴﺮ ‪ Q j /Qi‬ﯾ‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ(‪ .‬ﺑﺎ ﺣﺎﺻﻞ ﺷﺪن اﯾﻦ ﻧﺘﺎﯾ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﺳﺮراﺳﺖ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﺬﮐﺮ‪ :‬ﺑﺮای ﺑﺮﺧ ﺗﻮاﺑ ‪ ω‬از راﺑﻄﻪ )‪ (١٨.٧‬ﯾ اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ دﯾ ﺮ ﻧﯿﺰ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺪﺳﺖ آﯾﺪ‪ .‬ﺑﺮای‬ ‫ﻣﺜﺎل اﮔﺮ ‪ ωy′ = 0‬ﺑﺎﺷﺪ آﻧ ﺎه ﻫﺮ ﻣﻘﺪار ﻏﯿﺮ ﺛﺎﺑﺖ ‪ Wi j‬ﯾ‬ ‫‪١٠٧‬‬



‫اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ اﺳﺖ‪.‬‬



‫‪ .١.٧‬اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬ ‫‪ ١.٧‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﺟﺒﺮﻟ )‪ so(3‬ﺗﻮﺳﻂ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن‬ ‫) ‪(١٩.٧‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪X2 = (1 + x2 − y2 )∂ x + xy∂y ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X3 = xy∂ x + (1 − x2 + y2 )∂y‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪X1 = y∂ x − x∂y ,‬‬



‫ﻣﺸﺨﺺ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ دارای ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی‬ ‫) ‪(٢٠.٧‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪Q2 = xy − (1 + x2 − y2 )y′ ,‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪Q1 = −x − yy′ ,‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪Q3 = (1 − x2 + y2 ) − xyy′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ روش ﻓﻮق را ﺑﺮای ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫) ‪(٢١.٧‬‬



‫) ‪2(xy′ − y)(1 + y′2‬‬ ‫‪1 + x2 + y2‬‬



‫= ‪y′′‬‬



‫ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ آن ﺗﻮﺳﻂ )‪ (١٩.٧‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪهاﻧﺪ‪ ،‬ﺑ ﺎر ﮔﯿﺮﯾﻢ‪ .‬اﺑﺘﺪا ﻋﻤﻠ ﺮ‬ ‫‪D¯ = ∂ x + y′ ∂y + ω∂y′‬‬



‫ﮐﻪ‬



‫) ‪2(xy′ − y)(1 + y′2‬‬ ‫‪1 + x 2 + y2‬‬



‫=‪ω‬‬



‫را ﺑﺮای ﻫﺮ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ اﻋﻤﺎل ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ در اﯾﻨﺼﻮرت ﻧﺘﯿﺠﻪ زﯾﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫) ‪(٢٢.٧‬‬



‫‪= −(1 + y′2 ) − yω,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= y(1 + y′2 ) + (y2 − x2 − 1)ω,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= −x(1 + y′2 ) − xyω.‬‬



‫‪¯ 1‬‬ ‫‪DQ‬‬ ‫‪¯ 2‬‬ ‫‪DQ‬‬ ‫‪¯ 3‬‬ ‫‪DQ‬‬



‫اﮐﻨﻮن ﻫﺮ ‪ Wi j‬را ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری ﻃﺮف راﺳﺖ راﺑﻄﻪ )‪ (٢١.٧‬ﺑﺮای ‪ ω‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٢٣.٧‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪(1 + y′2 ){2x(xy′ − y) − y′ (1 + x2 + y2 )},‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1 + y′2 ){2x(xy′ − y) + 1 + x2 + y2 },‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(1 + y′2 )(xy′ − y‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺗﺎﺑﻌ )‪ (٢١.٧‬ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫) ‪(٢۴.٧‬‬



‫) ‪y′ (1 + x2 + y2‬‬ ‫‪W12‬‬ ‫‪= x−‬‬ ‫‪W23‬‬ ‫)‪2(xy′ − y‬‬ ‫‪W13‬‬ ‫‪1 + x2 + y2‬‬ ‫‪= y+‬‬ ‫‪W23‬‬ ‫)‪2(xy′ − y‬‬



‫=‬



‫‪φ1‬‬



‫=‬



‫‪φ2‬‬



‫ﺑﺎ ﺣﺬف ‪ y′‬از )‪ (١۵.٧‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ زﯾﺮ را ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٢۵.٧‬‬



‫‪(x − c1 )2 + (y − c2 )2 = 1 + c21 + c22‬‬ ‫‪١٠٨‬‬



‫=‬



‫‪W12‬‬



‫=‬



‫‪W13‬‬



‫=‬



‫‪W23‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫‪ .١.٧‬اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ‬



‫)ﺗﺬﮐﺮ‪ :‬ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾ ﺑﻪ ﺷ ﻞ ‪ y = cx‬ﻧﯿﺰ ﻣﻮﺟﻮدﻧﺪ ﮐﻪ در آن ‪ W12‬ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪(.‬‬ ‫ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ ٢‬ﮐﻪ دارای ﺟﺒﺮﻟ )‪ so(3‬اﺳﺖ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ اﯾﻦ روش ﺣﻞ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺑﺮای روﺷﻦ ﺷﺪن اﯾﻨ ﻪ روش ﺑﺎﻻ ﭼﻄﻮر ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﺷﻮد و ﭼ ﻮﻧﻪ ﺗﻌﻤﯿﻢ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪٣‬‬ ‫) ‪y′′′ = ω(x, y, y′ , y′′‬‬



‫) ‪(٢۶.٧‬‬



‫را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ ‪:‬‬ ‫) ‪(٢٧.٧‬‬



‫‪¯ − ωy Q = 0‬‬ ‫‪D¯ 3 Q − ωy′′ D¯ 2 Q − ωy′ DQ‬‬



‫ﮐﻪ در اﯾﻨﺠﺎ‬ ‫‪D¯ = ∂ x + y′ ∂y + y′′ ∂y′ + ω∂y′′‬‬



‫) ‪(٢٨.٧‬‬



‫ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻻت زﯾﺮ‪ ،‬اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫‪¯ = 0,‬‬ ‫‪Dφ‬‬



‫‪φy′′ , 0.‬‬



‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ‪ .R ≥ 4‬ﭼﻬﺎر ﺗﺎﺑ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺗﺎﺑﻌ ‪ Q1 , · · · , Q4‬ﮐﻪ در ﺷﺮط )‪ (٢٧.٧‬ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‬



‫را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬رﺗﺒﻪ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q4 ‬‬ ‫‪¯ 4 ‬‬ ‫‪DQ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D¯ 2 Q4 ‬‬ ‫‪D¯ 3 Q4‬‬



‫‪Q3‬‬ ‫‪¯ 3‬‬ ‫‪DQ‬‬ ‫‪D¯ 2 Q3‬‬ ‫‪D¯ 3 Q3‬‬



‫‪Q2‬‬ ‫‪¯ 2‬‬ ‫‪DQ‬‬ ‫‪D¯ 2 Q2‬‬ ‫‪D¯ 3 Q2‬‬



‫‪Q1‬‬ ‫‪¯ 1‬‬ ‫‪DQ‬‬ ‫‪D¯ 2 Q1‬‬ ‫‪D¯ 3 Q1‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q1234 = ‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ ٣‬ﯾﺎ ﮐﻤﺘﺮ اﺳﺖ زﯾﺮا )‪ (٢٧.٧‬اﯾﻦ اﻣ ﺎن را ﻓﺮاﻫﻢ ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﭼﻬﺎر ﺳﻄﺮ ‪ Q1234‬را ﺑﺼﻮرت ﺗﺮﮐﯿﺐ ﺧﻄ‬ ‫دﯾ ﺮ ﺳﻄﺮﻫﺎ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﻢ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪Qk‬‬ ‫‪¯ k‬‬ ‫‪DQ‬‬ ‫‪D¯ 2 Qk‬‬



‫‪Qj‬‬ ‫‪¯ j‬‬ ‫‪DQ‬‬ ‫‪D¯ 2 Q j‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ Qi‬‬ ‫¯ ‪‬‬ ‫‪Qi jk =  DQ‬‬ ‫‪ ¯2 i‬‬ ‫‪D Qi‬‬



‫و ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬ ‫) ‪Wi jk = det(Qi jk‬‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٢٩.٧‬‬



‫‪¯ i jk = ωy′′ Wi jk‬‬ ‫‪DW‬‬



‫اﮔﺮ ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ رﺗﺒﻪ ‪ Q1234‬ﺳﻪ ﺑﺎﺷﺪ در اﯾﻨﺼﻮرت ﺑﺪون ﮐﺎﺳﺘﻪ ﺷﺪن از ﮐﻠﯿﺖ ﻣﻮﺿﻮع ﻣ ﺗﻮان ﻓﺮض ﮐﺮد‬ ‫ﻓﻀﺎی ﺳﺘﻮﻧ ‪ Q1234‬ﺗﻮﺳﻂ ﺳﻪ ﺳﺘﻮن اول ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪).‬در ﺻﻮرت ﻟﺰوم ﺑﺎ ﻧﺎﻣ ﺬاری دوﺑﺎره ‪ Qi‬ﻫﺎ(‬ ‫در اﯾﻨﺼﻮرت ﺗﻮاﺑ ‪ µi‬ﻣﻮﺟﻮدﻧﺪ ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ‬ ‫) ‪(٣٠.٧‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ µ1   Q4‬‬ ‫¯ ‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q123  µ2  =  DQ‬‬ ‫‪  ¯2 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪µ3‬‬ ‫‪D Q4‬‬ ‫‪١٠٩‬‬



‫‪ .١.٧‬اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬ ‫و ﻧﯿﺰ‬ ‫) ‪(٣١.٧‬‬



‫‪µ1 D¯ 3 Q1 + µ2 D¯ 3 Q2 + µ3 D¯ 3 Q3 = D¯ 3 Q4‬‬



‫ﺑﺎ اﻋﻤﺎل ﻋﻤﻠ ﺮ ¯‪ D‬ﺑﺮای )‪ (٣٠.٧‬و ﺳﭙﺲ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از )‪ (٣٠.٧‬و )‪ (٣١.٧‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪¯ 1   0 ‬‬ ‫‪ Dµ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫¯ ‪‬‬ ‫‪Q123  Dµ‬‬ ‫‪2  =  0 ‬‬ ‫¯ ‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪Dµ3‬‬ ‫‪0‬‬



‫) ‪(٣٢.٧‬‬



‫ﻓﺮض ﮐﺮدهاﯾﻢ ﮐﻪ ‪ Q123‬ﻧﺎﻣﻨﻔﺮد اﺳﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٣٣.٧‬‬



‫‪¯ i = 0,‬‬ ‫‪Dµ‬‬



‫‪i = 1, 2, 3‬‬



‫از اﯾﻦ رو ﺗﻮاﺑ ‪ µi‬اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﯾﺎ ﺛﺎﺑﺘﻬﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای روﺷﻦ ﺷﺪن اﯾﻦ ﻣﻮﺿﻮع )‪ (٣٠.٧‬را ﺑﺎ روش‬ ‫ﮐﺮاﻣﺮ ﺣﻞ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٣۴.٧‬‬



‫‪W124‬‬ ‫‪W123‬‬



‫‪W143‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪W123‬‬



‫= ‪µ3‬‬



‫‪W423‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪W123‬‬



‫= ‪µ2‬‬



‫= ‪µ1‬‬



‫اﮔﺮ )‪ (٣۴.٧‬ﺗﻨﻬﺎ دو اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺗﺎﺑﻌ را ﻧﺘﯿﺠﻪ دﻫﺪ ﺑﺮرﺳ اﯾﻨ ﻪ آﯾﺎ اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ دﯾ ﺮی از‬ ‫راﺑﻄﻪ )‪ (٢٩.٧‬ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﯿﺎﺑ اﺳﺖ ﯾﺎ ﺧﯿﺮ‪ ،‬ﻣﻔﯿﺪ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬ ‫ﺗﺎ اﯾﻨﺠﺎ ﻓﺮض ﮐﺮدهاﯾﻢ ﮐﻪ رﺗﺒﻪ ‪ Q1234 = 3‬اﺳﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ از دﺗﺮﻣﯿﻨﺎﻧﻬﺎی ‪ Wi jk‬ﻏﯿﺮﺻﻔﺮ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ رﺗﺒﻪ ‪ Q1234 = 3‬دو ﺑﺎﺷﺪ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﺤﺚ ﺑﺎﻻ را ﺑﺮای ﻫﺮ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ‪ Qi jk‬ﮐﻪ دارای رﺗﺒﻪ ‪ ٢‬اﺳﺖ‬ ‫ﺑ ﺎر ﮔﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ‪ Q123 = 2‬ﺑﺎﺷﺪ ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻓﻀﺎی ﺳﺘﻮﻧ ‪ Q123‬ﺗﻮﺳﻂ دو ﺳﺘﻮن اول ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬ ‫]‬



‫‪Qj‬‬ ‫‪¯ j‬‬ ‫‪DQ‬‬



‫‪Qi‬‬ ‫‪¯ i‬‬ ‫‪DQ‬‬



‫[‬ ‫= ‪Qi j‬‬



‫و ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ‬ ‫‪¯ j − Q j DQ‬‬ ‫‪¯ i‬‬ ‫‪Wi j = det(Qi j ) = Qi DQ‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗ ﺮار اﯾﻦ روﻧﺪ ﮐﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ رﺳﯿﺪن ﺑﻪ رواﺑﻂ )‪ (٣٣.٧‬و )‪ (٣۴.٧‬ﻣ ﺷﻮد‪ ،‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٣۵.٧‬‬



‫(‬ ‫)‬ ‫‪W23‬‬ ‫¯‪D‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪W12‬‬



‫(‬ ‫)‬ ‫‪W13‬‬ ‫¯‪D‬‬ ‫‪= 0,‬‬ ‫‪W12‬‬



‫از اﯾﻦ رو ﻧﺴﺒﺘﻬﺎی ‪ ،Wi jk‬اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﯾﺎ ﺛﺎﺑﺘﻬﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻄﻮر ﺧﻼﺻﻪ اﺳﺘﺮاﺗﮋی ﯾﺎﻓﺘﻦ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻫﺎی ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺳﻪ )ﺑﺎ ﭼﻬﺎر‬ ‫ﻣﻮﻟﺪ ﺗﻘﺎرﻧ ( ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت اﺳﺖ ﮐﻪ اﮔﺮ رﺗﺒﻪ ‪ Q1234 = 3‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻧﺴﺒﺘﻬﺎی ‪ Wi jk‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪).‬ﻧﯿﺎزی‬ ‫ﺑﻪ درﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻧﺴﺒﺖ دﺗﺮﻣﯿﻨﺎﻧﻬﺎی ﻫﯿ ﯾ از ‪ Qi jk‬ﻫﺎ ﮐﻪ ﺑﺮای آﻧﻬﺎ‪ Wi jk = 0‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻧﻤ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﺮا ﮐﻪ‬ ‫اﯾﻦ ﻣﻮارد ﻣﺸﻤﻮل در ﻧﺴﺒﺘﻬﺎی ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﺪه ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ (.‬اﮔﺮ اﯾﻦ ﮐﺎر ﺗﻨﻬﺎ دو اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ ﻧﺘﯿﺠﻪ دﻫﺪ‬ ‫ﺗﺤﻘﯿﻖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ آﯾﺎ اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ دﯾ ﺮی از )‪ (٢٩.٧‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﺷﻮد ﯾﺎ ﺧﯿﺮ‪ .‬اﮔﺮ رﺗﺒﻪ ‪ Q1234 = 2‬ﺑﺎﺷﺪ در‬ ‫اﯾﻨﺼﻮرت ﺑﺎﯾﺪ ﻧﺴﺒﺘﻬﺎی ﻫﺮ دﺗﺮﻣﯿﻨﺎن ﻏﯿﺮﺻﻔﺮ ‪ Wi jk‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪١١٠‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫‪ .١.٧‬اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ‬



‫ﺗﻌﻤﯿﻢ روش ﻓﻮق ﺑﻪﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻫﺎی ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺑﺎﻻﺗﺮ واﺿ اﺳﺖ‪ .‬ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n‬ﮐﻪ دارای ‪ R ≥ n + 1‬ﻣﻮﻟﺪ ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ اﺳﺖ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫) ‪(٣۶.٧‬‬



‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬



‫‪QR‬‬ ‫‪¯ R‬‬ ‫‪DQ‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪...‬‬



‫‪D¯ n−1 QR‬‬



‫‪Q1‬‬ ‫‪¯ 1‬‬ ‫‪DQ‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪Q2‬‬ ‫‪¯ 2‬‬ ‫‪DQ‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬



‫‪D¯ n−1 Q1‬‬



‫‪D¯ n−1 Q2‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ν = rank ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫ﺷﺮوع ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ دﺗﺮﻣﯿﻨﺎﻧﻬﺎی ‪ ν × ν‬ﻣﺎﺗﺮﯾﺴﻬﺎی ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫) ‪(٣٧.٧‬‬



‫‪Q iν‬‬ ‫‪¯ iν‬‬ ‫‪DQ‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪D¯ ν−1 Qiν‬‬



‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬



‫‪Q i2‬‬ ‫‪¯ i2‬‬ ‫‪DQ‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪D¯ ν−1 Qi2‬‬



‫‪...‬‬



‫‪Q i1‬‬ ‫‪¯ i1‬‬ ‫‪DQ‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪D¯ ν−1 Qi1‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪Qi1 ,··· ,iν‬‬



‫را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﻧﺴﺒﺖ دﺗﺮﻣﯿﻨﺎﻧﻬﺎی ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮ‪ ،‬اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﯾﺎ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺛﺎﺑﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ ‪ ν = n‬ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫و اﯾﻦ روش ﺗﻨﻬﺎ ‪ n − 1‬اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ را ﻧﺘﯿﺠﻪ دﻫﺪ ﺗﻼش ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎ ﯾ اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ دﯾ ﺮ ﺑﺼﻮرت‬ ‫) ‪(٣٨.٧‬‬



‫ﮐﻪ‬



‫‪¯ i1 ,··· ,iν = ωy(n−1) Wi1 ,··· ,iν‬‬ ‫‪DW‬‬



‫ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫در ﻣﻮرد ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای‪ ،‬ﻫﺮ ‪ Qi‬ﺗﺎﺑﻌ از ‪ x‬و ‪ y‬و‬ ‫‪k = 1, · · · , n − 3‬‬



‫‪y′‬‬



‫) ‪Wi1 ,··· ,iν = det(Qi1 ,··· ,iν‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪:‬‬



‫‪∂y(n−1) (D¯ k Qi ) = 0‬‬



‫ﮐﻠﯿﻪ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﺷﺎﻣﻞ )‪ y(n−1‬ﻫﺴﺘﻨﺪ از اﯾﻦ رو ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ را اﮔﺮ }‪ ν ∈ {n − 1, n‬ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺑﺎ روش ﻓﻮق ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﻢ‪ .‬ﻣﻌﻤﻮﻻ ‪ ν = n‬اﺳﺖ اﻣﺎ اﮔﺮ ﮐﻞ ﺟﺒﺮ ﻟ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﻧ ﯿﺮد ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ‬ ‫ﺣﺎﻻت دﯾ ﺮی رخ دﻫﺪ‪.‬‬ ‫‪ ٢.٧‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﺑﺮای ﺗﺸﺮﯾ روﺷ ﮐﻪ در ﺑﺎﻻ ﻣﻄﺮح ﺷﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫‪(3y′ − 1)y′′2‬‬ ‫‪y′2‬‬



‫) ‪(٣٩.٧‬‬ ‫را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ﮐﻪ دارای ﯾ‬ ‫) ‪(۴٠.٧‬‬



‫‪X4 = y∂ x‬‬



‫= ‪y′′′‬‬



‫ﺟﺒﺮﻟ ‪ ۴‬ﺑﻌﺪی ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫‪X3 = x∂ x + y∂y ,‬‬



‫‪X1 = ∂y ,‬‬



‫‪X2 = ∂ x ,‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫اﮔﺮ‬



‫‪y′′ , 0‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ = 3‬‬



‫‪−yy′‬‬ ‫‪−yy′′ − y′2‬‬ ‫‪−yω − 3y′ y′′‬‬ ‫‪١١١‬‬



‫‪y − xy′‬‬ ‫‪−xy′′‬‬ ‫‪−xω − y′′‬‬



‫‪−y′‬‬ ‫‪−y′′‬‬ ‫‪−ω‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ν = rank  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ .٢.٧‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی و ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫)ﻃﺒﻖ ﻣﻌﻤﻮل‪ ω ،‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻃﺮف راﺳﺖ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ (.‬اﮐﻨﻮن دﺗﺮﻣﯿﻨﺎﻧﻬﺎی ‪ Wi jk‬را‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪y′′2 ,‬‬



‫=‬



‫‪W123‬‬



‫‪3yy′′2 − y′2 ω = y′′2 ,‬‬ ‫‪(3xy′ − y)y′′2 − y′2 y′′ − xy′2 ω = (x − y)y′′2 − y′2 y′′ ,‬‬ ‫‪−3yy′ y′′2 + y′3 y′′ + yy′2 ω = −yy′′2 + y′3 y′′ .‬‬



‫=‬ ‫=‬ ‫=‬



‫‪W124‬‬ ‫‪W134‬‬ ‫‪W234‬‬



‫از آﻧﺠﺎﯾﯿ ﻪ ‪ W123 = W124‬اﺳﺖ ﺗﻨﻬﺎ دو ﻣﻨﺤﻨ اﻧﺘ ﺮال زﯾﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪y′3‬‬ ‫‪y′′‬‬



‫) ‪(۴١.٧‬‬



‫‪y′2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y′′‬‬



‫‪φ2 = −y +‬‬



‫‪φ1 = x − y −‬‬



‫اﻣﺎ راﺑﻄﻪ‬ ‫‪Wi jk‬‬



‫‪2(3y′ − 1)y′′‬‬ ‫‪y′2‬‬



‫= ‪¯ i jk = ωy′′ Wi jk‬‬ ‫‪DW‬‬



‫ﺑﺎ ﺷﺮط ‪ Wi jk = W123‬ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﺳﻮﻣﯿﻦ اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ )ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺗﺎﺑﻌ ( زﯾﺮ ﻣ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y′‬‬



‫) ‪(۴٢.٧‬‬



‫‪φ3 = 2 ln |y′′ | − 6 ln |y′ | −‬‬



‫ﺑﺎ ﺣﺬف ‪ y′‬و ‪ y′′‬از ﻣﻌﺎدﻻت ‪ φi = ci‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ‬ ‫‪1‬‬ ‫)| ‪x = y + c1 − (y + c2 )( c3 + ln |y + c2‬‬ ‫‪2‬‬



‫) ‪(۴٣.٧‬‬ ‫را ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪.‬‬



‫ﺑ ﺎرﮔﯿﺮی اﯾﻦ روش ﻧﺴﺒﺘﺎً آﺳﺎن اﺳﺖ ﺑﺨﺼﻮص ﺑﺎ ﮐﻤ ﯾ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺣﺴﺎﺑ ﺮ ﺟﺒﺮی‪ .‬اﯾﻦ روش‬ ‫ﺑﺮای ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪ ٢‬ﮐﻪ ﺟﺒﺮﻟ آﻧﻬﺎ)‪ so(3‬اﺳﺖ ﺑ ﺎر ﻣ رود‪ .‬ﺑﺮای ﺳﺎﯾﺮﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻧﯿﺰ اﯾﻦ اﻣﺮ ﯾ ﻣﯿﺎﻧﺒﺮ ﺑﺮای دﺳﺘﯿﺎﺑ ﺑﻪ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ را ﻓﺮاﻫﻢ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬اﯾﻦ روش ﺑﺮای‬ ‫ﻫﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﻪ اﻧﺪازه ﮐﺎﻓ ﺑﺰرگ از ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺧﻄ‬ ‫) ‪(۴۴.٧‬‬



‫‪¯ − ωy Q = 0‬‬ ‫‪D¯ n Q − ωy(n−1) D¯ n−1 Q − · · · − ωy′ DQ‬‬



‫ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑ ﺎرﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد‪ .‬ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ )‪ (۴۴.٧‬ﺷﺎﻣﻞ ﺗﻌﺪاد ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﺟﻮاب ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ اﮐﺜﺮاً‬ ‫ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ وﻟ ﺑﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﺮاﺗﺐ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﻣﺮﺑﻮط ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٢.٧‬‬



‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی و ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ‬



‫ﺗﺎ ﮐﻨﻮن ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾ ﺑﻮدهاﯾﻢ ﮐﻪ ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻧﻘﻄﻪای ﺑﻮدﻧﺪ‪ .‬ﯾﻌﻨ دﯾﻔﯿﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻤﻬﺎﯾ در ﺻﻔﺤﻪ‪.‬‬ ‫ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﺗ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻧﻘﻄﻪای‪ ،‬دارای ﻣﺸﺨﺼﻪ ) ‪ Q(x, y, y′‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ‬ ‫‪ y′‬ﺧﻄ اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻮاﺑ ‪ ξ‬و ‪ η‬و )‪ ،η(1‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ‪ Q‬و ﻣﺸﺘﻘﺎت اول آن ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺑﯿﺎن ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(۴۵.٧‬‬



‫‪η(1) = Q x + y′ Qy‬‬



‫‪η = Q − y′ Qy′ ,‬‬ ‫‪١١٢‬‬



‫‪ξ = −Qy′ ,‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫‪ .٢.٧‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی و ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ‬



‫ﯾ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺑﺮﺧﻮردی دﯾﻔﯿﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻤ از ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ y′‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻣﺘﺪاددﻫ ﻣﻌﻤﻮل‪،‬‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ ﮔﺴﺘﺮش ﺑﻪ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(۴۶.٧‬‬



‫)‪dyˆ (k‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ˆ‪d x‬‬



‫· · · ‪k = 0, 1,‬‬



‫= )‪yˆ (k+1‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ دﯾﻔﯿﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢ‬ ‫) ‪(۴٧.٧‬‬ ‫ﯾ‬



‫)) ‪( xˆ, yˆ , yˆ′ ) = ( xˆ(x, y, y′ ), yˆ (x, y, y′ ), yˆ′ (x, y, y′‬‬



‫ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺑﺮﺧﻮردی اﺳﺖ اﮔﺮ )‪ (۴۶.٧‬ﺑﺎزای ‪ k = 0‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﯾﻌﻨ اﮔﺮ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪yˆ x + y′ yˆ y + y′′ yˆ y′‬‬ ‫‪xˆ x + y′ xˆy + y′′ xˆy′‬‬



‫) ‪(۴٨.٧‬‬



‫= ) ‪yˆ ′ (x, y, y′‬‬



‫ﻧﻈﺮ ﺑﻪ اﯾﻨ ﻪ ‪ yˆ ′‬ﻟﺰوﻣﺎً ﺑﺎﯾﺪ ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ y′′‬ﺑﺎﺷﺪ ﻫﺮ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺑﺮﺧﻮردی ﺑﻪ ﺷ ﻞ )‪ (۴٧.٧‬در ﺷﺮط ﺑﺮﺧﻮردی‬ ‫‪yˆ y′ = yˆ ′ xˆy′‬‬



‫) ‪(۴٩.٧‬‬



‫ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ )‪ (۴٨.٧‬راﺑﻄﻪ زﯾﺮ را ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫) ‪yˆ x + y′ yˆ y = yˆ ′ ( xˆ x + y′ xˆy‬‬



‫) ‪(۵٠.٧‬‬ ‫ﮔﺮوﻫﻬﺎی ﻟ ﺗ‬ ‫ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪:‬‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﺒﺪﯾﻼت ﺑﺮﺧﻮردی ﺑﺎ ﺑﺴﻂ دادن ﺣﻮل ﻋﻀﻮ ﻫﻤﺎﻧ ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﺳﺎﺧﺘﻪ‬



‫) ‪(۵١.٧‬‬



‫) ‪= x + εξ(x, y, y′ ) + O(ε2‬‬ ‫) ‪= y + εη(x, y, y′ ) + O(ε2‬‬ ‫) ‪= y′ + εη(1) (x, y, y′ ) + O(ε2‬‬



‫ˆ‪x‬‬ ‫ˆ‪y‬‬ ‫‪yˆ ′‬‬



‫‪= y‬‬



‫)‪(k‬‬



‫‪′‬‬



‫) ‪+ εη (x, y, y , · · · , y ) + O(ε‬‬ ‫‪2‬‬



‫)‪(k‬‬



‫)‪(k‬‬



‫)‪(k‬‬



‫ˆ‪y‬‬



‫درﺳﺖ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ‪ ،‬ﻫﺮ )‪ η(k‬ﺑﻪ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ k‬ﯾﺎ ﮐﻤﺘﺮ ﺑﺴﺘ دارد‪ .‬اﻣﺎ ‪ ξ‬و ‪ η‬در اﯾﻨﺠﺎ‬ ‫ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﺑﻪ ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ y′‬واﺑﺴﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ و در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻟﺰوﻣ ﻧﺪارد ‪ Q(x, y, y′ ) = η − y′ ξ‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ y′‬ﺧﻄ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻣﺘﺪاددﻫ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻗﻮاﻧﯿﻦ ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(۵٢.٧‬‬



‫‪η(k) = Dkx Q + y(k+1) ξ‬‬



‫ﺑﺨﺼﻮص دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫)‪η(1) = Q x + y′ Qy + y′′ (Qy′ + ξ‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪ η(k‬ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ y′′‬اﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ ‪ .ξ = −Qy′‬از اﯾﻦ رو رواﺑﻂ )‪ (۴۵.٧‬ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺮای‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻼﺗ ﮐﻪ ﻧﻘﻄﻪای ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻠ ﻪ ﺑﺮای ﮐﻠﯿﻪ ﺗﺒﺪﯾﻼت ﺑﺮﺧﻮردی ﻟ ﻧﯿﺰ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﯾ ﺗﻘﺎرن ﺑﺮﺧﻮردی ﻟ ‪ ،‬ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﺗ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﺒﺪﯾﻼت ﺑﺮﺧﻮردی اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ آﻧﻬﺎ‬ ‫در ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن )‪ (۴۴.٧‬ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻫﺮ ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﯾ ﺗﻘﺎرن ﺑﺮﺧﻮردی ﻟ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ ٢‬دارای ﯾ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی ﻟ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪).‬دﻗﯿﻘﺎً ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﯾ ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ دارﻧﺪ‪ (.‬اﻣﺎ ﻋﻤﻮﻣﺎً اﻣ ﺎن ﯾﺎﻓﺘﻦ‬ ‫ﻫﯿﭽ ﺪام از آﻧﻬﺎ وﺟﻮد ﻧﺪارد‪ .‬اﻣﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی ﻟ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﻔﺮوض از ﻣﺮﺗﺒﻪ‬ ‫‪ n ≥ 3‬ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺎ ﺗﻔ ﯿ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﯾﻦ واﻗﻌﯿﺖ ﮐﻪ ‪ Q‬ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ y(n−1) ،...، y′′‬اﺳﺖ‪،‬‬ ‫ﻣ ﺗﻮان ﭘﯿﺪا ﮐﺮد‪ .‬اﯾﻦ در واﻗ ﻣﺸﺎﺑﻪ روﺷ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪١١٣‬‬



‫‪ .٢.٧‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی و ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫‪ ٣.٧‬ﻣﺜﺎل‪ .‬در ﻓﺼﻞ ‪ ٣‬ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪ ﮐﻪ ﺳﺎده ﺗﺮﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪٣‬‬ ‫‪y′′′ = 0‬‬



‫) ‪(۵٣.٧‬‬



‫دارای ﯾ ﺟﺒﺮﻟ ‪ ٧‬ﺑﻌﺪی از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﻟ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻫﺮ ﯾ‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾ ﺗﺮﮐﯿﺐ ﺧﻄ‬ ‫) ‪(۵۴.٧‬‬



‫‪Q2 = x,‬‬ ‫‪Q3 = x 2 ,‬‬ ‫‪Q4 = y,‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪Q6 = −xy ,‬‬ ‫‪Q7 = 2xy − x2 y′‬‬



‫از ﭼﻨﯿﻦ‬



‫‪Q1 = 1,‬‬ ‫‪Q5 = −y′ ,‬‬



‫اﺳﺖ‪ .‬اﻣﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (۵٣.٧‬دارای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی ﻟ ﻏﯿﺮ ﻧﻘﻄﻪای اﺳﺖ ﮐﻪ‬ ‫ﺑﺎﺟﺎﯾ ﺬاری ) ‪ Q = Q(x, y, y′‬در )‪ (۴۴.٧‬ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(Q xxx + 3y′ Q xxy 3y′2 Q xyy + y′3 Qyyy‬‬ ‫) ‪(۵۵.٧‬‬



‫= ‪0‬‬



‫) ‪+3y′′ (Q xxy′ + 2y′ Q xyy′ + y′2 Qyyy′ + Q xy + y′ Qyy‬‬ ‫‪′‬‬



‫‪′′3‬‬



‫‪′′2‬‬



‫) ‪+3y (Q xy′ y′ + y Qyy′ y′ + Qyy′ ) + y (Qy′ y′ y′‬‬ ‫از آﻧﺠﺎﯾﯿ ﻪ ‪ Q‬ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ y′′‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻫﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﺟﻤﻼت ﮐﻪ درون ﭘﺮاﻧﺘﺰ ﻫﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺻﻔﺮ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺷﺪ‪.‬‬ ‫اﮔﺮ ﺑﺎزای ﺗﻮاﺑ دﻟﺨﻮاه ‪ A, B,C‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ‪:‬‬ ‫)‪Q = A(x, y)y′2 + B(x, y)y′ + C(x, y‬‬ ‫در اﯾﻨﺼﻮرت ﺟﻤﻼت ‪ y′′3‬ﺻﻔﺮ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺷﺪ و ﺟﻤﻼت ‪ y′′2‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪(2A x + By ) + 4y′ (Ay ) = 0‬‬ ‫از ﺑﺮاﺑﺮ ﻗﺮار دادن ﺗﻮاﻧﻬﺎی ‪ y′‬ﺑﺎزای ﺗﻮاﺑ دﻟﺨﻮاه ‪ α‬و ‪ β‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫)‪B = −2α′ (x)y + β(x‬‬



‫‪A = α(x),‬‬



‫ﺑﺎ اداﻣﻪ دادن اﯾﻦ روش ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (۵۵.٧‬ﮐﻪ ﺑﻪ ده ﺛﺎﺑﺖ دﻟﺨﻮاه ﺑﺴﺘ دارد را ﺑﺪﺳﺖ ﻣ‬ ‫آورﯾﻢ‪ .‬ﻏﯿﺮ از ﻫﻔﺖ ﻣﺸﺨﺼﻪای ﮐﻪ در )‪ (۵۴.٧‬ذﮐﺮ ﺷﺪ ﺳﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ دﯾ ﺮ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی‬ ‫ﻏﯿﺮ ﻧﻘﻄﻪای ﻣﻮﺟﻮدﻧﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(۵۶.٧‬‬



‫‪Q10 = (2y − xy′ )2 .‬‬



‫ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬



‫‪Q9 = 2yy′ − xy′2 ,‬‬



‫‪Q8 = −y′2 ,‬‬



‫اﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی ﻏﯿﺮ ﻧﻘﻄﻪای ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬



‫) ‪X9 = 2(xy′ − y)∂ x + xy′2 ∂y + y′2 ∂y′ , (۵٧.٧‬‬



‫‪X8 = 2y′ ∂ x + y′2 ∂y ,‬‬



‫‪X10 = 2x(2y − xy′ )∂ x + (4y2 − x2 y′2 )∂y + 2y′ (2y − xy′ )∂y′‬‬ ‫ﭘﺲ از ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﻤﻪ ) ‪ Q(x, y, y′‬ﻫﺎی ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﻣﻔﺮوض‪ ،‬ﺑﺎ روﺷ ﮐﻪ در ﺑﺨﺶ ‪ ١.٧‬ﻣﺨﺘﺼﺮاً ﺷﺮح داده ﺷﺪ ﻣ ﺗﻮان اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ را ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻤﻮد)در‬ ‫ﺻﻮرﺗﯿ ﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮐﺎﻓ وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪(.‬‬ ‫‪ ۴.٧‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ ٣‬زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(۵٨.٧‬‬



‫‪y′′′ = x(x − 1)y′′3 − 2xy′′2 + y′′‬‬ ‫‪١١۴‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫‪ .٢.٧‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی و ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ‬ ‫ﮐﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﺑﺮﺧﻮردی ﻟ آن دارای ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی‬ ‫) ‪(۵٩.٧‬‬



‫‪′‬‬



‫‪′‬‬



‫‪Q3 = ey ,‬‬



‫‪′‬‬



‫‪Q5 = ey−xy +y +x‬‬



‫‪Q2 = x,‬‬ ‫‪′‬‬



‫‪Q1 = 1,‬‬



‫‪Q4 = (xy′ − y − x)ey ,‬‬



‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬دو ﻣﻮﻟﺪ ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﻣﻮﺟﻮدﻧﺪ ﮐﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی آﻧﻬﺎ ‪ Q1‬و ‪ Q2‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ اﯾﻨﻬﺎ ﺑﺮای‬ ‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺬﮐﻮر ﮐﺎﻓ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ ).‬اﮔﺮ )‪ (۵٨.٧‬را ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ‬ ‫) ‪ (r2 , v2 ) = (x, y′′‬ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﻢ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‬ ‫‪v′2 = r2 (r2 − 1)v32 − 2r2 v22 + v2 ,‬‬ ‫ﮐﻪ ﺟﻮاب آن ﻣﺸﺨﺺ ﻧﯿﺴﺖ‪ (.‬ﺑﺎ اﯾﻦ ﺣﺎل اﻣ ﺎن ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (۵٨.٧‬ﺑﺎ ﺑ ﺎرﮔﯿﺮی‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﺳﺎﺧﺘﻦ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ وﺟﻮد دارد‪ .‬روش ذﮐﺮ ﺷﺪه در ﺑﺨﺶ ‪ ١.٧‬ﺑﻪ ﭘﯿﺪاﯾﺶ‬ ‫ﺳﻪ اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺗﺎﺑﻌ زﯾﺮ ﻣﻨﺠﺮ ﻣﯿﺸﻮد‪.‬‬



‫) ‪(۶٠.٧‬‬



‫‪W124‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= xy′ − y −‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪W123‬‬ ‫‪(x − 1)y′′ − 1‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪W125‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= (1 − x + ′′ )ey−xy +x ,‬‬ ‫‪W123‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪W134‬‬ ‫‪y′′‬‬ ‫‪= (1 +‬‬ ‫‪)ey‬‬ ‫‪′′‬‬ ‫‪W123‬‬ ‫‪(x − 1)y − 1‬‬



‫=‬



‫‪φ1‬‬



‫=‬



‫‪φ2‬‬



‫=‬



‫‪φ3‬‬



‫در اﯾﻨﺠﺎ ﺣﺬف ‪ y′′‬ﮐﺎر آﺳﺎﻧ اﺳﺖ در ﺣﺎﻟﯿ ﻪ ﺑﺮای ‪ y′‬ﭼﻨﯿﻦ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺟﻮاب ﻟﺰوﻣﺎً در ﺷ ﻞ‬ ‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی آن ﺑﺎﻗ ﻣ ﻣﺎﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻧﻘﻄﻪای و ﺑﺮﺧﻮردی ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻫﻨﺪﺳ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ ﺑﺪون ارﺟﺎع دادن ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺧﻮﺷﺘﻌﺮﯾﻔﻨﺪ‪ .‬ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻧﻘﻄﻪای دﯾﻔﯿﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢ ﻫﺎﯾ روی ﺻﻔﺤﻪاﻧﺪ درﺣﺎﻟﯿ ﻪ ﺗﺒﺪﯾﻼت ﺑﺮﺧﻮردی‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻼﺗ روی ﻓﻀﺎی ﺟﺖ ‪) J 1‬ﮐﻪ در ﺷﺮط ﺑﺮﺧﻮردی ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﺪ( ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻫﺮ دو دﺳﺘﻪ از ﺗﺒﺪﯾﻼت‪،‬‬ ‫ﺑﺎ اﻣﺘﺪاددﻫ ﻗﺎﺑﻞ ﮔﺴﺘﺮش ﺑﻪ ﻓﻀﺎﻫﺎی ﺟﺖ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ ﻫﯿ دﺳﺘﻪ دﯾ ﺮی از‬ ‫دﯾﻔﯿﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢ ﻫﺎ روی ﻫﯿ ﻓﻀﺎی ﺟﺘ از ﻣﺮﺗﺒﻪ ﻣﺘﻨﺎﻫ ‪ J k‬ﮐﻪ ‪ k > 1‬وﺟﻮد ﻧﺪارد ﮐﻪ در ﻓﺮﻣﻮل اﻣﺘﺪاد‬ ‫دﻫ روی ﮐﻞ ‪ J k‬ﺻﺪق ﮐﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ اﯾﻦ ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﻨ ﻧﯿﺴﺖ ﮐﻪ ﻫﺮ ﺗﻘﺎرن ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪،‬‬ ‫ﺗﻘﺎرن ﺑﺮﺧﻮردی اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺎ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎ ﻋﻤﻞ دﯾﻔﯿﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢ ﻫﺎی روی زﯾﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ S‬از ‪ J n‬ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ y(n) = ω‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪهاﻧﺪ ﺳﺮوﮐﺎر دارﯾﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﺎ زﻣﺎﻧﯿ ﻪ ﺷﺮاﯾﻂ اﻣﺘﺪاد دﻫ روی‬ ‫‪ S‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ ﻧﯿﺎزی ﺑﻪ ﺑﺮﻗﺮاری اﯾﻦ ﺷﺮاﯾﻂ روی ﮐﻞ ‪ J n‬ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ‪X‬ای ﮐﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ ‪ Q‬ﻣﺘﻨﺎﻇﺮش‬ ‫در ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ )‪ (۴۴.٧‬ﺻﺪق ﮐﻨﺪ‪ ،‬ﻣﻮﻟﺪﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ )ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دروﻧ ( ﮔﻔﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬اﮔﺮ‬ ‫‪ Q‬ﺑﻪ ﻫﺮ ﯾ از ﻣﺸﺘﻘﺎت )‪ y(k‬ﮐﻪ ‪ k > 1‬ﺑﺴﺘ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ در اﯾﻨﺼﻮرت ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬ ‫ﺑﺮﺧﻮردی ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ‪ X = ξD x‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ را ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ ξ‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﮐﻨﺪ زﯾﺮا ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ‪،X‬‬ ‫‪ Q = 0‬اﺳﺖ )ﺑﺪون ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ‪ .(ξ‬اﯾﻦ ﯾ ﺟﻮاب ﺑﺪﯾﻬ ﺑﺮای ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ اﺳﺖ‪ .‬ﭼﻮن ﻫﻤﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎ‬ ‫ﻧﺎوردا ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻟﺬا اﯾﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﻗﺎﺑﻞ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ .‬دو ﻣﻮﻟﺪ ﺗﻘﺎرن دﯾﻨﺎﻣﯿ ‪ X1‬و ‪ X2‬ﻫﻢ ارز ﮔﻔﺘﻪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‬ ‫ﻫﺮ ﮔﺎه ﺑﺎزای ﺗﺎﺑ دﻟﺨﻮاه ‪ξ‬‬ ‫‪y(n) = ω‬‬



‫وﻗﺘ‬



‫‪X1 − X2 = ξD x‬‬



‫ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﻫﻢ ارز ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﯾ ﺴﺎن داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬از اﯾﻨﺮو ﺑﺪون اﯾﻨ ﻪ از ﮐﻠﯿﺖ ﻣﻮﺿﻮع ﮐﺎﺳﺘﻪ ﺷﻮد‬ ‫ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺗﻮﺟﻪ ﺧﻮد را ﺑﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ ﮐﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی آﻧﻬﺎ ﻓﺎﻗﺪ ﺟﻤﻠﻪ ‪ ∂ x‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻌﻄﻮف ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬اﯾﻦ‬ ‫‪١١۵‬‬



‫‪ .٢.٧‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی و ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ‪ y(n) = ω‬ﻣﺤﺪود ﺷﺪهاﻧﺪ ﺑﻪ ﺻﻮرت‬ ‫) ‪(۶١.٧‬‬



‫)‪¯ y′ + · · · + D¯ (n−1) Q∂y(n−1‬‬ ‫∂‪X = Q∂y + DQ‬‬



‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬از اﯾﻦ ﭘﺲ ﻣ ﺗﻮان ﻓﺮض ﮐﺮد ﮐﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ‬ ‫اﮔﺮ ‪ Q = Q0‬ﯾ ﺟﻮاب ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ‬ ‫) ‪(۶٢.٧‬‬



‫ﺑﺼﻮرت )‪ (٧.۶١‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬



‫‪¯ − ωy Q = 0‬‬ ‫‪D¯ n Q − ωy(n−1) D¯ n−1 Q − · · · − ωy′ DQ‬‬



‫ﺑﺎﺷﺪ آﻧ ﺎه ‪ Q = φQ0‬ﻧﯿﺰ ﺑﺎزای ﻫﺮ اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ ‪ φ‬ﯾ ﺟﻮاب اﺳﺖ‪ .‬ﯾ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺷﺎﻣﻞ ‪ n‬اﻧﺘ ﺮال‬ ‫اوﻟﯿﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺗﺎﺑﻌ ‪ φ1 , · · · , φn‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﻣ ﺗﻮان ﯾ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻮﻟﺪ ‪ X1 , · · · , Xn‬ﯾﺎﻓﺖ ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ‬ ‫‪j‬‬



‫‪Xi φ j = δi‬‬



‫ﮐﻪ در اﯾﻨﺠﺎ ‪ δi‬دﻟﺘﺎی ﮐﺮوﻧ ﺮ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﮔﺮ ‪ Q1 , · · · , Qn‬ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ اﯾﻦ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ ﺑﺎﺷﻨﺪ آﻧ ﺎه‬ ‫ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (۶٢.٧‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‬ ‫‪j‬‬



‫) ‪(۶٣.٧‬‬



‫‪Q = F i (φ1 , · · · , φn )Qi‬‬



‫ﮐﻪ ‪ F 1 , · · · , F n‬ﺗﻮاﺑ دﻟﺨﻮاه از اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ ) ‪ (x, φ1 , · · · , φn‬را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺑ ﺎر‬ ‫ﮔﯿﺮﯾﻢ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ‪ Xi‬ﺑﻪ‬



‫‪Xi = ∂φi‬‬ ‫ﮐﻪ اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )ﺑﺎ ﺗﻘﺮﯾﺐ ﻫﻢ ارزی( ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﺗﻘﺎرن دﯾﻨﺎﻣﯿ‬ ‫اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(۶۴.٧‬‬



‫ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ‬



‫‪X = F i = (φ1 , · · · , phin )∂φi‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺒﺪﯾﻼﺗ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی‬



‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ‬ ‫اوﻟﯿﻪ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻄﻮر ﻣﻌﻤﻮل ﻧﻤ ﺗﻮان ﮐﻠﯿﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ را ﺑﺪون ﺣﻞ اوﻟﯿﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫آورد اﻣﺎ درﺳﺖ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی‪ ،‬ﻣ ﺗﻮان ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ ﮐﻪ ﺑﻪ )‪ x, y, y′ , · · · , y(n−1‬ﺑﺴﺘ‬ ‫دارﻧﺪ را ﺑﺎ روش ﺧﺎﺻ ﺑﺪﺳﺖ اورد‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ‪،‬اﻏﻠﺐ ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎﯾ ﮐﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ از‬ ‫)‪ y(n−1‬ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻣﻔﯿﺪ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬اﮔﺮ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ ﺑﻪ ﺗﻌﺪاد ﮐﺎﻓ ﯾﺎﻓﺖ ﺷﻮﻧﺪ روش ﺑﺨﺶ ‪ ١.٧‬ﻣﺎ را‬ ‫ﻗﺎدر ﺧﻮاﻫﺪ ﺳﺎﺧﺖ ﺗﺎ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ را ﺑﺴﺎزﯾﻢ‪.‬‬ ‫‪ ۵.٧‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪۴‬‬ ‫‪y′′′ + y′′′2‬‬ ‫‪y′′‬‬



‫) ‪(۶۵.٧‬‬



‫= ‪y′′′′‬‬



‫ﮐﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﯾ ﺟﺒﺮﻟ ‪۴‬ﺑﻌﺪی از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای اﺳﺖ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﭼﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ ﺑ ﺎرﮔﯿﺮی ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﺣﻞ ﮐﺮد اﻣﺎ ﺗﻼش ﺑﺮای ﺑ ﺎرﮔﯿﺮی روش‬ ‫ﺑﺨﺶ ‪ ١.٧‬آﻣﻮزﻧﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺷﺶ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺧﻄ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ ﮐﻪ ﺑﻪ ‪ y′′′‬واﺑﺴﺘﻪ اﻧﺪ‬ ‫ﻣﻮﺟﻮدﻧﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(۶۶.٧‬‬



‫‪Q3 = x,‬‬



‫‪Q2 = y′ ,‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪Q6 = xy′′ − x2 .‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪Q5 = y′′ ,‬‬ ‫‪١١۶‬‬



‫‪Q1 = 1,‬‬ ‫‪Q4 = 3y − xy′ ,‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫‪ .٣.٧‬ﻓﺎﮐﺘﻮرﻫﺎی اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی‬



‫)اﯾﻦ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻫﺎ ﺑﺎ ﺑﺮاﺑﺮ ﻗﺮار دادن ﺗﻮاﻧﻬﺎی ‪ y′′′‬در ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه اﻧﺪ(‪ .‬اﮔﺮ ﭼﻪ ‪ν = 4‬‬ ‫اﺳﺖ اﻣﺎ ﺗﻨﻬﺎ ﺳﻪ اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ ﻣﻮﺟﻮدﻧﺪ ﮐﻪ ﻣ ﺗﻮان آﻧﻬﺎ را ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻧﺴﺒﺖ دﺗﺮﻣﯿﻨﺎﻧﻬﺎی ‪ Wi jk‬ﺑﺪﺳﺖ آورد‪.‬‬ ‫اﯾﻦ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫‪1 + y′′′‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y′′‬‬ ‫‪y′′′ + xφ1 − y′ (φ1 )2 ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y′′ − xy′′′ x2 φ1 + (xy′ − y)(φ1 )2‬‬ ‫‪2‬‬



‫) ‪(۶٧.٧‬‬



‫=‬



‫‪φ1‬‬



‫=‬



‫‪φ2‬‬



‫=‬



‫‪φ3‬‬



‫اﺑﺘﺪا ﺑﻨﻈﺮ ﻣ رﺳﺪ از راﺑﻄﻪ‬ ‫) ‪(۶٨.٧‬‬



‫‪′′′‬‬ ‫‪¯ i jkl = ωy′′′ Wi jkl = 1 + 2y Wi jkl‬‬ ‫‪DW‬‬ ‫‪′′‬‬ ‫‪y‬‬



‫اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ دﯾ ﺮی ﺑﺪﺳﺖ ﻧﻤ آﯾﺪ اﻣﺎ اﯾﻦ اﺧﺘﯿﺎر را دارﯾﻢ ﮐﻪ ﻫﺮ ﯾ از اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﻣﻌﻠﻮم را در‬ ‫)‪ (۶٨.٧‬ﺟﺎﯾ ﺬاری ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﻄﻮر ﻣﺜﺎل ﻣ ﺗﻮان )‪ (۶٨.٧‬را ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﮐﺮد‪:‬‬ ‫‪′′′‬‬



‫‪¯ i jkl = (φ1 + y )Wi jkl = D(φ‬‬ ‫‪¯ 1 x + ln |y′′ |)Wi jkl‬‬ ‫‪DW‬‬ ‫‪y′′‬‬ ‫ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری ) ‪ W1234 = (y′′′ + y′′′2‬در راﺑﻄﻪ ﻓﻮق اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ‬ ‫) ‪(۶٩.٧‬‬



‫‪y′′′ + y′′′2‬‬ ‫‪| − φ1 x‬‬ ‫‪y′′‬‬



‫| ‪φ4 = ln‬‬



‫ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ در ﺷ ﻞ ﺑﺴﺘﻪ آن ﺑﺎ ﺣﺬف ‪ y′‬و ‪ y′′‬و ‪ y′′′‬ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫ﻣ آﯾﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٧٠.٧‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٣.٧‬‬



‫‪1 2‬‬ ‫‪x + c2 x + c3 + c4 ec1 x‬‬ ‫‪2c1‬‬



‫=‪y‬‬



‫ﻓﺎﮐﺘﻮرﻫﺎی اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی‬



‫روﺷ ﮐﻪ در ﺑﺨﺶ ‪ ١.٧‬ﺑﻪ آن اﺷﺎره ﺷﺪ‪ ،‬روﺷ ﻣﻔﯿﺪ اﺳﺖ زﯾﺮا ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﻔﺮوض را ﺑﺪون ﻧﯿﺎز ﺑﻪ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﺑﺪﺳﺖ ﻣ دﻫﺪ‪ .‬ﻋﻼوه ﺑﺮ اﯾﻦ ﺑﻪ وﺟﻮد ﯾ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﺣﻞ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ ‪n‬ﺑﻌﺪی ﺑﺴﺘ ﻧﺪارد و از ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺟﺒﺮی ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎً اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤ ﺷﻮد‪ .‬اﻣﺎ اﯾﻦ روش ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﻧﯿﺎز ﺑﻪ‬ ‫ﺣﺪاﻗﻞ ‪ n + 1‬ﻣﻮﻟﺪ ﺗﻘﺎرن‪ ،‬ﻣﺤﺪود ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺑﺮﺧ از ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﻪ ﺑﺮاﺣﺘ ﺣﻞ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ ﻓﺎﻗﺪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ اﻣﺎ‬ ‫اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ ﻣﺸﺨﺼ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ φ1‬دارﻧﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ‪ φ1 = c1‬دارای‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺸﺨﯿﺺ ﺑﺎﺷﺪ ﯾﺎ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﻣﺸﺨﺺ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ در اﯾﻨﺼﻮرت اﻣ ﺎن ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ‬ ‫ﺑﯿﺸﺘﺮ وﺟﻮد دارد‪.‬‬ ‫‪ ۶.٧‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﯾ‬ ‫) ‪(٧١.٧‬‬



‫دﺳﺘﻪ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺼﻮرت‬ ‫‪y′2‬‬ ‫‪+ f (x)yy′ + f ′ (x)y2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪١١٧‬‬



‫= ‪y′′‬‬



‫‪ .٣.٧‬ﻓﺎﮐﺘﻮرﻫﺎی اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ دارای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ ﻣ ﺮ اﯾﻨ ﻪ ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ ‪ k1 , · · · , k4‬ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎﺷﻨﺪ)ﮐﻪ ﻫﻤ ﺻﻔﺮ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ( ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ‬ ‫‪(k1 x + k2 ) f ′ (x) + (k3 x + k4 ) f (x) = 0‬‬ ‫ﺑﺎ اﯾﻦ وﺟﻮد ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (٧١.٧‬ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ در اداﻣﻪ ﺧﻮاﻫﯿﺪ دﯾﺪ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﯾ‬ ‫اﻧﺘ ﺮال ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﺿﺮب )‪ (٧١.٧‬در ‪ y−1‬و ﯾ ﺑﺎر اﻧﺘ ﺮالﮔﯿﺮی ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫‪y′‬‬ ‫‪− f (x)y = c1‬‬ ‫‪y‬‬



‫) ‪(٧٢.٧‬‬



‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول )‪ (٧٢.٧‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ‪ y‬ﯾ‬



‫≡ ‪φ1‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺮﻧﻮﻟ اﺳﺖ و ﺑﺎ‬



‫‪1‬‬ ‫‪c1‬‬ ‫)‪( )′ + = − f (x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻫﻢ ارز اﺳﺖ ﮐﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﻪ ﮐﻤ ﯾ ﻓﺎﮐﺘﻮر اﻧﺘ ﺮال ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ اﺳﺖ‪).‬ﺑﺎ ﺑ ﺎرﮔﯿﺮی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﺑﺎ‬ ‫اﻧﻄﺒﺎق ﺧﻄ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻫﺴﺘﻨﺪ(‪ .‬ﺑﻨﺎﯾﺮاﯾﻦ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (٧١.٧‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‬ ‫‪ec1 x‬‬



‫) ‪(٧٣.٧‬‬



‫‪f (x)ec1 x dx‬‬



‫∫‬



‫‪c2 −‬‬



‫=‪y‬‬



‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ﮐﻠﯿﺪی ﺣﻞ ﻣﺜﺎل ﻓﻮق ﺿﺮب ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺬﮐﻮر در ‪ y−1‬ﺑﻮد‪ .‬اﯾﻦ روش ﺑﻪ ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ دﻟﺨﻮاه ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ در زﯾﺮ ﻣ آﯾﺪ ﺗﻌﻤﯿﻢ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﯾ ﺗﺎﺑ )ﻏﯿﺮﺻﻔﺮ( ‪ Λ‬ﯾ ﻓﺎﮐﺘﻮر‬



‫اﻧﺘ ﺮال ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (١.٧‬اﺳﺖ اﮔﺮ ﺑﺎزای ﺗﻮاﺑ دﻟﺨﻮاه ) )‪ χ(x, y, y′ , · · · , y(n−1‬داﺷﺘﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﯿﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٧۴.٧‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ χ‬ﯾ‬ ‫) ‪(٧۵.٧‬‬



‫‪(y(n) − ω)Λ = D x χ‬‬ ‫اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ اﺳﺖ‪ .‬در واﻗ ﻫﺮ اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ ‪ φ‬در‬ ‫)‪¯ + (y(n) − ω)φy(n−1) = (y(n) − ω)φy(n−1‬‬ ‫‪D x φ = Dφ‬‬



‫ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻫﺮ ﻓﺎﮐﺘﻮر اﻧﺘ ﺮال )‪ (١.٧‬ﺑﺎزای ﯾ‬



‫اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ ‪ φ‬ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬



‫)‪Λ(x, y, y′ , · · · , y(n−1) ) ≡ φy(n−1‬‬



‫) ‪(٧۶.٧‬‬



‫ﻓﺎﮐﺘﻮرﻫﺎی اﻧﺘ ﺮال ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺼﻮرت اﺻﻮﻟ ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ روﺷ ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ از )‪ (۶٢.٧‬ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪﻧﺪ ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬اﺗﺤﺎدﻫﺎﯾ ﮐﻪ در زﯾﺮ ﻣ آﯾﻨﺪ ﻣﻔﯿﺪ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد‪:‬‬ ‫) ‪(٧٧.٧‬‬



‫‪k = 0, · · · , n − 1‬‬



‫‪¯ y(k) = ∂y(k) D¯ − ∂y(k−1) − ωy(k) ∂y(n−1) ,‬‬ ‫∂‪D‬‬



‫در اﯾﻨﺠﺎ ﻗﺮارداد ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ‪ ∂y(−1) ≡ 0‬و )‪ y = y(0‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ (٧۶.٧‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٧٨.٧‬‬



‫‪φy(n−1) = Λ‬‬



‫اﮐﻨﻮن ﻋﻤﻠ ﺮ ¯‪ D‬را ﺑﺮ )‪ φy(n−1‬اﺛﺮ ﻣ دﻫﯿﻢ‪ .‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﺗﺤﺎد )‪ (٧٧.٧‬ﺑﺎ ﺷﺮﻃ ‪ k = n − 1‬و ﻗﺮار دادن‬ ‫‪ Dφ = 0‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٧٩.٧‬‬



‫) )‪¯ y(n−1) + ωy(n−1) φy(n−1‬‬ ‫‪φy(n−2) = −(Dφ‬‬ ‫‪١١٨‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫‪ .٣.٧‬ﻓﺎﮐﺘﻮرﻫﺎی اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی‬



‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ اﻋﻤﺎل ¯‪ D‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺑﺮای ﻫﺮ ﻣﺸﺘﻖ ﺟﺰﺋ ‪ φy‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‬ ‫) ‪(٨٠.٧‬‬



‫‪¯ y(k) + ωy(k) φy(n−1) ),‬‬ ‫‪φy(k−1) = −(Dφ‬‬



‫‪k = 0, · · · , n − 1‬‬



‫ﺑﺨﺼﻮص ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ k = 0‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫) ‪(٨١.٧‬‬



‫) )‪¯ y + ωy φy(n−1‬‬ ‫‪0 = −(Dφ‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﭘﺎﯾﺎن ﻣ ﭘﺬﯾﺮد‪ .‬ﻋﻼوه ﺑﺮاﯾﻦ راﺑﻄﻪ ‪¯ = 0‬‬ ‫‪ Dφ‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٨٢.٧‬‬



‫)‪φ x = −y′ φy + y′′ φy′ − · · · − y(n−1) φy(n−2) − ωφy(n−1‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ اﻣ ﺎن اﺳﺘﻔﺎده از )‪ (٧٨.٧‬ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﻧﻮﺷﺘﻦ ﻫﺮ ﻣﺸﺘﻖ ﺟﺰﺋ ‪ φ‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ‪ Λ‬و ﻣﺸﺘﻘﺎﺗﺶ ﻓﺮاﻫﻢ‬ ‫ﻣ ﺷﻮد و )‪ (٨١.٧‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٨٣.٧‬‬



‫‪D¯ n Λ + D¯ n−1 (ωy(n−1) Λ) − D¯ n−2 (ωy(n−2) Λ) + · · · + (−1)n−1 ωy Λ = 0‬‬



‫ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ دو ﺟﻤﻠﻪ اول ﻋﻼﻣﺖ ﯾ ﺴﺎن دارﻧﺪ در ﺣﺎﻟﯿ ﻪ ﺟﻤﻼت ﺑﻌﺪی دارای ﻋﻼﻣﺘﻬﺎی ﻣﺘﻔﺎوﺗﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ (٨٣.٧‬ﯾ اﻟﺤﺎق ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ )‪ (۶٢.٧‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ و ﻟﺬا ﺟﻮاﺑﻬﺎی آنﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی اﻟﺤﺎﻗ‬ ‫ﻧﺎﻣﯿﺪه ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﻧﺎﻣ ﺬاری ﻧﺴﺒﺘﺎً ﮔﻤﺮاه ﮐﻨﻨﺪه اﺳﺖ زﯾﺮا اﯾﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎ ﻧﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﻧﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ‪ .‬در ﻋﻮض ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﻫﺮ ﺟﻮاب ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮ ‪ Λ‬از ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ (٨٣.٧‬را ﯾ ﻫﻢ‪-‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺑﻨﺎﻣﯿﻢ‪ .‬ﺑﻪ‬ ‫ﻟﺤﺎظ ﺳﺎﺧﺘﺎری ﻫﺮ ﻋﺎﻣﻞ اﻧﺘ ﺮال ﯾ ﻫﻢ‪-‬ﻣﺸﺨﺼﻪ اﺳﺖ اﻣﺎ ﻋ ﺲ اﯾﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ در زﯾﺮ‬ ‫ﻧﺸﺎن داده ﻣ ﺷﻮد درﺳﺖ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﻫﻢ‪-‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻫﺎ ﻧﯿﺰ ﺑﺎ اﺳﺘﺮاﺗﮋی ﻣﺸﺎﺑﻪ آﻧﭽﻪ ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ اﻋﻤﺎل ﻣ ﺷﺪ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪ .‬ﯾﻌﻨ ﺑﺎ ﻓﺮض اﯾﻨ ﻪ ‪ Λ‬ﺑﺼﻮرت ﺧﺎص اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﻄﻮر اﺻﻮﻟ ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﯾﺎﻓﺘﻦ ﮐﻠﯿﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی )‪ (٨٣.٧‬ﺑﺎﺷﯿﻢ ﮐﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ از )‪ y(n−1‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ از‬ ‫ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ‪ Λi‬داﻧﺴﺘﻦ اﯾﻨ ﻪ آﯾﺎ ﻫﺮﮐﺪام از آﻧﻬﺎ ﻋﺎﻣﻞ اﻧﺘ ﺮال ﻫﺴﺘﻨﺪ ﯾﺎ ﺧﯿﺮ ﮐﺎر آﺳﺎﻧ اﺳﺖ‪ .‬اﺑﺘﺪا‬ ‫ﺑﺼﻮرت ﺑﺎزﮔﺸﺘ ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫) ‪(٨۴.٧‬‬



‫‪Pin−1 = Λi ,‬‬ ‫‪¯ i − ωy(k) Λi ,‬‬ ‫‪Pik−1 = −DP‬‬ ‫‪k‬‬



‫‪k = n − 1, n − 2, · · · , 1,‬‬



‫را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬از )‪ (٧٨.٧‬و )‪ (٨٠.٧‬و )‪ (٨٢.٧‬ﻣ ﺑﯿﻨﯿﻢ ﮐﻪ ‪ Λi‬ﯾ‬ ‫ﺑﺎزای ﺗﺎﺑﻌ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ φi‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٨۵.٧‬‬



‫‪k = 0, · · · , n − 1‬‬ ‫‪y(k+1) Pik = φix‬‬



‫ﻋﺎﻣﻞ اﻧﺘ ﺮال اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ‬



‫‪Pik = φiy(k) ,‬‬ ‫‪n−2‬‬ ‫∑‬



‫‪ωPin−1 +‬‬



‫‪k=0‬‬



‫ﺷﺮاﯾﻂ اﻧﺘ ﺮال ﭘﺬﯾﺮی )‪ φiy( j) y(k) = φiy(k) y( j‬و )‪ φiy(k) x = φixy(k‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫‪0 ≤ j < k ≤ n − 1,‬‬ ‫‪0 ≤ j ≤ n−1‬‬



‫‪,‬‬



‫‪∂Pij‬‬ ‫)‪∂y(k‬‬



‫=‬



‫‪∂Pik‬‬ ‫)‪∂y( j‬‬ ‫‪∂Pij‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n−2‬‬ ‫∑‬ ‫‪‬‬ ‫‪∂  i‬‬ ‫)‪(k+1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪Pk  ,‬‬ ‫‪= − ( j) ωPn−1 +‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫‪١١٩‬‬



‫‪ .٣.٧‬ﻓﺎﮐﺘﻮرﻫﺎی اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬ ‫ﺷﺎﯾﺪ ﺗﻌﺠﺐآور ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ اﯾﻦ ﺷﺮاﯾﻂ ﺑﺮﻗﺮار ﻫﺴﺘﻨﺪ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ‬ ‫) ‪(٨۶.٧‬‬



‫‪,‬‬



‫‪0 ≤ j ≤ n−2‬‬



‫‪∂Pij‬‬ ‫)‪∂y(n−1‬‬



‫=‬



‫‪∂Pin−1‬‬ ‫)‪∂y( j‬‬



‫)ﻣﺸﺘﻖ ﮔﯿﺮی از اﯾﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﻤﺮﯾﻦ واﮔﺬار ﻣ ﺷﻮد(‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ Λi‬ﯾ ﻋﺎﻣﻞ اﻧﺘ ﺮال اﺳﺖ اﮔﺮ و‬ ‫ﻓﻘﻂ اﮔﺮ ﺷﺮاﯾﻂ اﻧﺘ ﺮال ﭘﺬﯾﺮی )‪ (٨۶.٧‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺨﺼﻮص ‪ φi‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﻧﺘ ﺮال ﺧﻂ از رواﺑﻂ زﯾﺮ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪:‬‬ ‫∫‬ ‫= ‪φi‬‬ ‫)‪φix dx + φiy dy + φiy′ dy′ + · · · + φiy(n−1) dy(n−1‬‬ ‫∫‬ ‫=‬ ‫) ‪Pi0 (dy − y′ dx) + Pi1 (dy′ − y′′ dx) + · · · + Pin−1 (dy(n−1) − ωdx) (٨٧.٧‬‬ ‫‪ ٧.٧‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ‪٣‬‬ ‫‪y′′′ = 3yy′‬‬



‫) ‪(٨٨.٧‬‬ ‫دارای ﯾ‬



‫ﮔﺮوه ﻟ دو ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﺑﺎ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫‪X2 = x∂ x − 2y∂y‬‬



‫اﯾﻨﻬﺎ ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی ﻟ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﻋﻤﺎل روش ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬ ‫) ‪dv2 2r2 (3 − 2v2‬‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪dr2‬‬ ‫‪2v2 − 3r2‬‬



‫) ‪(r2 , v2 ) = (y−3/2 y′ , y−2 y′′‬‬



‫ﻣﻨﺠﺮ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﻨﻈﺮ دﺷﻮار ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ (٨٣.٧‬ﺑﺮای ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﻋﺎﻣﻞ اﻧﺘ ﺮال ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫¯‬ ‫)‪D¯ 3 Λ − D(3yΛ‬‬ ‫‪+ 3y′ Λ = 0‬‬



‫) ‪(٨٩.٧‬‬



‫درﺳﺖ ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﺑﻪ ﺷ ﻞ ) ‪ Λ = Λ(x, y, y′‬را ﺑﺎ ﻣﺴﺎوی ﻗﺮار دادن ﺗﻮاﻧﻬﺎی ‪y′′‬‬ ‫در )‪ (٨٩.٧‬و از ﻃﺮﯾﻖ ﻧﺘﺎﯾ ﺑﺪﺳﺖ اﻣﺪه از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ‬ ‫آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪Λ3 = y′2 − y3‬‬



‫‪Λ1 = 1,‬‬



‫‪Λ2 = y,‬‬



‫از )‪ (٨۴.٧‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫;‪P10 = −3y‬‬



‫‪P11 = 0,‬‬



‫‪P12 = 1,‬‬



‫; ‪P20 = y′′ − 3y2‬‬



‫‪P21 = −y′ ,‬‬



‫‪P22 = y,‬‬



‫‪P30 = 2y′′2 − 3y2 y′′ − 3yy′2 + 3y4 .‬‬



‫‪P31 = 3y2 y′ − 2y′ y′′ ,‬‬



‫‪P32 = y′2 − y3 ,‬‬



‫ﺷﺮاﯾﻂ اﻧﺘ ﺮال ﭘﺬﯾﺮی )‪ (٨۶.٧‬ﺑﺎزای ‪ i = 1, 2‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ Λ1‬و ‪ Λ2‬ﻋﺎﻣﻠﻬﺎی اﻧﺘ ﺮال ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫اﻣﺎ‬ ‫‪= 4y′ , 0‬‬



‫‪∂P31‬‬



‫‪١٢٠‬‬



‫‪∂y′′‬‬



‫‪−‬‬



‫‪∂P32‬‬ ‫‪∂y′‬‬



‫‪ .٣.٧‬ﻓﺎﮐﺘﻮرﻫﺎی اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی‬ ‫ﻟﺬا ‪ Λ3‬ﯾ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫ﻋﺎﻣﻞ اﻧﺘ ﺮال ﻧﯿﺴﺖ و ﻣﺎ دو اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ زﯾﺮ را ﺑﺪﺳﺖ آوردهاﯾﻢ‬ ‫‪3‬‬ ‫; ‪(dy′′ − 3yy′ dx) − 3y(dy − y′ dx) = y′′ − y2‬‬ ‫‪2‬‬



‫) ‪(٩٠.٧‬‬



‫)‪y(dy′′ − 3yy′ dx) − y′ (dy′ − y′′ dx) + (y′′ − 3y2 )(dy − y′ dx‬‬



‫∫‬ ‫∫‬



‫‪1‬‬ ‫‪yy′′ − y′2 − y3 .‬‬ ‫‪2‬‬



‫) ‪(٩١.٧‬‬



‫=‬ ‫=‬



‫‪1‬‬



‫‪φ‬‬



‫‪φ2‬‬



‫=‬



‫ﻣﺎ ﻫﻨﻮز ﺑﻪ اﻧﺪازه ﮐﺎﻓ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﺑﺮای ﺗﻮﺻﯿﻒ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ در دﺳﺖ‬ ‫ﻧﺪارﯾﻢ ‪ ،‬اﻣﺎ ﺗﺮﮐﯿﺐ ﻣﻌﺎدﻻت ‪ φi = c, i = 1, 2‬ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺟﺪاﺷﺪﻧ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول زﯾﺮ‬ ‫ﻣ اﻧﺠﺎﻣﺪ‪:‬‬ ‫‪y′2 = y3 + 2c1 y − 2c2‬‬ ‫از اﯾﻨﺮو ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (٨٨.٧‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫√‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y + 2c1 y − 2c2‬‬



‫) ‪(٩٢.٧‬‬



‫∫‬ ‫‪x = c3 ±‬‬



‫روش دﯾ ﺮ ﺑﺮای ﺗﻮﻟﯿﺪ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ادﻏﺎم ﻫﻢ‪-‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻫﺎ و ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل ﻓﺮض‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ ‪ Λ‬ﯾ ﻫﻢ‪-‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم‬ ‫) ‪y′′ = ω(x, y, y′‬‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻃﺒﻖ ﻣﻌﻤﻮل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬ ‫‪P1 = Λ,‬‬



‫)‪¯ 1 + ωy′ Λ‬‬ ‫‪P0 = −(DP‬‬



‫و ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ‪¯ 0 + ωy Λ = 0‬‬ ‫‪ .DP‬اﮐﻨﻮن ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ Q‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ﯾ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺬﮐﻮر ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬



‫ﺗﻘﺎرن ﻏﯿﺮ ﺑﺪﯾﻬ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬



‫¯‬ ‫‪φ = P0 Q + P1 DQ‬‬ ‫در اﯾﻨﺼﻮرت ‪ φ‬ﯾ‬



‫ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ﯾﺎ ﯾ‬



‫اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ اﺳﺖ زﯾﺮا‬



‫‪¯ 0 )Q + (P0 + DP‬‬ ‫‪¯ 1 )DQ‬‬ ‫‪¯ + P1 D¯ 2 Q‬‬ ‫‪(DP‬‬ ‫‪¯ 0 + ωy P1 )Q + (P0 + DP‬‬ ‫‪¯ 1 + ωy′ P1 )DQ‬‬ ‫¯‬ ‫‪(DP‬‬ ‫‪0‬‬



‫¯‬ ‫‪Dφ‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬



‫ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﺸﺎﺑﻬ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻪ ﻓﺮم ‪ y(n) = ω‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪ .‬ﯾ‬ ‫ﯾ ﻣﺸﺨﺼﻪ ‪ Q‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺗﺎﺑ‬ ‫) ‪(٩٣.٧‬‬



‫‪Pk D¯ k Q‬‬



‫‪n−1‬‬ ‫∑‬



‫ﻫﻢ‪-‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ‪ Λ‬و‬



‫=‪φ‬‬



‫‪k=0‬‬



‫ﯾ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ﯾﺎ ﯾ اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ اﺳﺖ اﯾﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑﻪ ﺑﺮﻗﺮاری ﺷﺮاﯾﻂ اﻧﺘ ﺮالﭘﺬﯾﺮی )‪ (٨۶.٧‬ﺑﺴﺘ‬ ‫ﻧﺪارد‪ .‬اﮔﺮ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ در اﯾﻨﺼﻮرت ﻫﺮ ﻣﺸﺨﺼﻪ را ﻣ ﺗﻮان در )‪ (٩٣.٧‬ﺟﺎﯾ ﺬاری‬ ‫ﮐﺮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﯾ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﭼﻨﺪ اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺗﺎﺑﻌ را ﻧﺘﯿﺠﻪ دﻫﺪ‪.‬‬ ‫‪١٢١‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫ﺑﺨﺶ ‪۴.٧‬‬



‫‪ .۴.٧‬دﺳﺘ ﺎه ﻫﺎﯾ ازﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫دﺳﺘ ﺎه ﻫﺎﯾ ازﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫اﯾﺪه ﻫﺎی ﻓﻮق را ﻣ ﺗﻮان ﺑﻪ دﺳﺘ ﺎه ﻫﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺗﻌﻤﯿﻢ داد‪ .‬ﺑﺮای راﺣﺘ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ روی‬ ‫دﺳﺘ ﺎهﻫﺎﯾ ﺷﺎﻣﻞ ‪ n‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﻣﺘﻤﺮﮐﺰ ﺷﻮﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٩۴.٧‬‬



‫‪y′k = ωk (x, y1 , · · · , yn ),‬‬



‫‪k = 1, · · · , n‬‬



‫ﺑﺮای ﻫﺮ دﺳﺘ ﺎه ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﻪ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺼﻮرت ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﻣﻌﺎدل ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد‪،‬‬ ‫اﻧﺠﺎم اﯾﻦ ﮐﺎر ﺑﻪ ﮐﻠﯿﺖ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺧﻠﻠ وارد ﻧﻤ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻧﺘﺎﯾ اﺻﻠ ﺑﺮای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ و ﻋﺎﻣﻠﻬﺎی اﻧﺘ ﺮال ﺑﺎ ﻫﻤﺎن‬ ‫روﺷ ﮐﻪ ﺑﺮای ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اﻋﻤﺎل ﻣ ﺷﺪ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ اﯾﻦ ﻧﺘﺎﯾ را ﺑﺪون‬ ‫ﺗﻮﺟﯿﻪ ﺟﺰﺋﯿﺎت ﺑﯿﺎن ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺧﻮاﻧﻨﺪه ﺑﺎﯾﺴﺘ ﻗﺎدر ﺑﻪ اﺳﺘﻨﺘﺎج ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﺒﺪﻻت ﻧﻘﻄﻪای ﻟ روی ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ‪ x, y1 , · · · , yn‬ﺗﻮﺳﻂ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ‬ ‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪهاﻧﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٩۵.٧‬‬



‫‪X = ξ(x, y1 , · · · , yn )∂ x + ηk (x, y1 , · · · , yn )∂yk‬‬



‫)در اﯾﻨﺠﺎ ﻋﻼﻣﺖ ﺟﻤ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑ ﺎر ﻣﯿﺮود(‪ .‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ﮔﺮوه ﻟ ﺗ‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از ) ‪ Q = (Q1 , · · · , Qn‬ﮐﻪ‬



‫ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪X‬‬



‫‪Qk = ηk − y′k ξ,‬‬



‫‪k = 1, · · · , n‬‬



‫ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ دﺳﺘ ﺎه )‪ (٩۴.٧‬ﻣﻮﻟﺪ ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬ ‫زﯾﺮ اﻣﺘﺪاد ﻣ دﻫﯿﻢ‪:‬‬



‫‪ X‬را ﺑﻪ ﻣﺸﺘﻘﺎت اول ﺑﺼﻮرت‬



‫)‪X (1) = ξ∂ x + ηk ∂yk + η(1‬‬ ‫‪∂′‬‬ ‫‪k yk‬‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫) ‪(٩۶.٧‬‬



‫‪k = 1, · · · , n‬‬



‫)‪η(1‬‬ ‫‪= D x ηk − y′k D x ξ = D x Qk + y′′‬‬ ‫‪k ξ,‬‬ ‫‪k‬‬



‫در اﯾﻨﺼﻮرت ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫) ‪(٩٧.٧‬‬



‫زﻣﺎﻧﯿ ﻪ )‪(٩۴.٧‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‬



‫‪k = 1, · · · , n‬‬



‫‪X (1) (y′k − ωk ) = 0,‬‬



‫اﯾﻦ ﺷﺮط ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ) ‪ Q¯ = (Q¯1 , · · · , Q¯n‬ﮐﻪ ﻣﻮﻟﻔﻪﻫﺎﯾﺶ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫‪k = 1, · · · , n‬‬



‫‪Q¯k (x, y1 , · · · , yk ) ≡ ηk − ωk ξ,‬‬



‫ﻧﯿﺰ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﺎ اﻧﺪﮐ ﺗﻼش ﻣ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﻧﺘﯿﺠﻪ زﯾﺮ را ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٩٨.٧‬‬



‫¯ ‪∂ωk‬‬ ‫‪D¯ Q¯k −‬‬ ‫‪Q j = 0,‬‬ ‫‪∂y j‬‬



‫‪k = 1, · · · , n‬‬



‫ﮐﻪ در آن‬ ‫‪D¯ = ∂ x + ωi ∂yi‬‬ ‫‪١٢٢‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫‪ .۴.٧‬دﺳﺘ ﺎه ﻫﺎﯾ ازﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫ﯾ ﺟﻮاب ﺗﺤﺖ ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﺗ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﻧﺎورداﺳﺖ اﮔﺮ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ روی ﺟﻮاب‬ ‫ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﮔﺮوه ﺗﻘﺎرن ﺑﺪﯾﻬ اﺳﺖ اﮔﺮ ﻫﻤﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎ ﻧﺎوردا ﺑﺎﺷﺪ ﯾﻌﻨ اﮔﺮ ﺑﺎزای ‪ k = 1, · · · , n‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ‬ ‫‪ .Q ≡ 0‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﯾ ﻟ ﮔﺮوه ﺗ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﺑﺪﯾﻬ اﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﮐﻮﭼ‬ ‫آن ﺑﺎزای ﺗﺎﺑ ‪ ξ‬ﺑﺼﻮرت‬ ‫¯‪X = ξ D‬‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﺗﻘﺎرن )‪ (٩۵.٧‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻣﻮﻟﻔﻪﻫﺎی ﻏﯿﺮﺑﺪﯾﻬ و ﺑﺪﯾﻬ ﺧﻮد ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ در زﯾﺮ آﻣﺪه‬ ‫ﺗﺠﺰﯾﻪ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪X = ξ D¯ + Q¯k ∂yk‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﻔﺎوت ﻣﯿﺎن دو ﻣﻮﻟﺪ ﺑﺎ ¯‪ Q‬ﯾ ﺴﺎن‪ ،‬ﻣﻮﻟﺪ ﺗﻘﺎرن ﺑﺪﯾﻬ آن اﺳﺖ‪ .‬اﮐﻨﻮن ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺪﯾﻬ‬ ‫را ﺑﺎ ﻗﺮار دادن ‪ ξ = 0‬ﺣﺬف ﮐﻨﯿﻢ و ﺗﻨﻬﺎ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎﯾ را ﮐﻪ ﺑﺼﻮرت‬ ‫) ‪(٩٩.٧‬‬



‫‪X = Q¯k ∂yk‬‬



‫ﻫﺴﺘﻨﺪ در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪) y(n) = ω‬ﺑﺼﻮرﺗﻬﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ( ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺗﻮﺳﻂ ﯾ‬ ‫دﺳﺘ ﺎه ﻫﻢ ارز ﺷﺎﻣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﻧﻤﺎﯾﺶ داده ﺷﻮد‪) .‬در اﯾﻨﺠﺎ ﻫﻢ ارز ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﻨ‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﯾ ﺴﺎن دارﻧﺪ(‪ .‬اﮐﻨﻮن ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﯿﻢ ﺑﯿﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ ﻏﯿﺮﺑﺪﯾﻬ و ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ )‪ (٩٩.٧‬ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻫﺮ دﺳﺘ ﺎه ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‪ ،‬ﯾ ﺗﻨﺎﻇﺮ ﯾ ﺑﻪ ﯾ وﺟﻮد دارد‪.‬‬ ‫ﺗﺎﺑ ﻏﯿﺮ ﺛﺎﺑﺖ ) ‪ φ(x, y1 , · · · , yn‬اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ )‪ (٩۴.٧‬اﺳﺖ ﻫﺮﮔﺎه‬ ‫) ‪(١٠٠.٧‬‬



‫‪¯ =0‬‬ ‫‪Dφ‬‬



‫ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (٩۴.٧‬ﺑﻪ ‪ n‬ﺛﺎﺑﺖ دﻟﺨﻮاه ﺑﺴﺘ‬ ‫وﺟﻮد دارد‪ .‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬



‫دارد و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ n‬اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺗﺎﺑﻌ ‪φ1 , · · · , φn‬‬ ‫‪φk = ck ,‬‬



‫‪k = 1, · · · , n‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ دﺳﺘ ﺎه ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (٩۴.٧‬ﺑﺎ‬ ‫) ‪(١٠١.٧‬‬



‫‪dφk‬‬ ‫‪= 0,‬‬ ‫‪dx‬‬



‫‪k = 1, · · · , n‬‬



‫ﻫﻢ ارز اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﻓﺮض اﯾﻨ ﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی واﺑﺴﺘﻪ از ‪ yk‬ﺑﻪ ‪ φk‬ﯾ دﯾﻔﯿﻮﻣﻮرﻓﯿﺴﻢ اﺳﺖ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای‬ ‫ﻟ )‪ (٩۴.٧‬ﺑﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ دﺳﺘ ﺎه ﻫﻢ ارز آن )‪ (١٠١.٧‬ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﺗﺤﺖ اﯾﻦ ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎ‬ ‫ﻣﻮﻟﺪ)‪ (٩٩.٧‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از ‪):‬از ﻗﺎﻋﺪه زﻧﺠﯿﺮهای(‬ ‫) ‪(١٠٢.٧‬‬



‫ﮐﻪ‬



‫‪X = F i (x, φ1 , · · · , φn )∂φi‬‬



‫‪F i = Q¯k φiyk‬‬



‫ﻗﺎﻋﺪه زﻧﺠﯿﺮهای ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪:‬‬ ‫‪D¯ = ∂ x‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺑﺮای )‪ (١٠١.٧‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫‪¯ i = F ix = 0,‬‬ ‫‪DF‬‬



‫‪i = 1, · · · , n‬‬ ‫‪١٢٣‬‬



‫‪ .۴.٧‬دﺳﺘ ﺎه ﻫﺎﯾ ازﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﻮﻟﺪ ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﻟ )‪ (١٠٢.٧‬ﺑﺎزای ﺗﻮاﺑ دﻟﺨﻮاه ‪ F 1 , · · · , F n‬ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪(١٠٣.٧‬‬



‫‪X = F i (φ1 , · · · , φn )∂φi‬‬



‫اﮔﺮ )‪ (٩۴.٧‬ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ y(n) = ω‬ﻫﻢ ارز ﺑﺎﺷﺪ آن ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺟﻮاب‬ ‫ﻋﻤﻮﻣ ﻣﺸﺎﺑﻬ و در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﯾ ﺴﺎﻧ ﺧﻮاﻫﺪ داﺷﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ )‪ (١٠٣.٧‬و‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫)‪ (۶۴.٧‬ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪ ای ﻟ دﺳﺘ ﺎه )‪ (٩۴.٧‬ﺑﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی دﯾﻨﺎﻣﯿ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ n‬ﻫﻢ ارز ﺑﺎ آن‪ ،‬ﯾ ﺴﺎن اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای ﻫﺮ دﺳﺘ ﺎه ﻣﺮﺗﺒﻪ ﯾ از ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻫﺎ ﺗﻌﺪاد ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﻟ وﺟﻮد دارد اﻣﺎ ﻋﻤﻮﻣﺎً ﺑﺪون ﺣﻞ اوﻟﯿﻪ دﺳﺘ ﺎه ﻧﻤ ﺗﻮان آﻧﻬﺎ‬ ‫را ﯾﺎﻓﺖ‪ .‬ﻧﻮﻋ از ﮔﻤﺎﻧﻪ ﻻزم اﺳﺖ‪ .‬ﻋﻤﻮﻣﺎً ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎی ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﮐﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﯾ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫)ﯾﺎﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﯾ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺧﻄ اﻧﺪ( را ﻣ ﯾﺎﺑﻨﺪ‪ .‬ﻣ ﺗﻮان ﻣﺘﻨﺎوﺑﺎً ﯾ ﮔﻤﺎﻧﻪ ﺑﺨﺼﻮص ﺑﺮای ) ‪(ξ, η1 , · · · , ηn‬‬ ‫را در )‪ (٩٧.٧‬ﺟﺎﯾ ﺬاری ﮐﺮد‪ .‬ﺑﺮای ﺑﺮﺧ از ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻧﻘﻄﻪای ﻋﻤﻮﻣ ﺗﺮ )ﻣﺜﻼ اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎ‪ ،‬دوراﻧﻬﺎ و‬ ‫ﻣﻘﯿﺎﺳﻬﺎ( و ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺧﻄ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫زﻣﺎﻧﯿ ﻪ ﯾ ﻣﻮﻟﺪ ﺗﻘﺎرن ﻏﯿﺮﺑﺪﯾﻬ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﻢ اﻣ ﺎن ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺴﺌﻠﮥ ﺣﻞ )‪ (٩۴.٧‬ﺑﻪ ﺣﻞ ‪n − 1‬‬ ‫ﻋﺪد ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول و ﺳﭙﺲ اﻧﺠﺎم آﺧﺮﯾﻦ اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی وﺟﻮد دارد‪ .‬ﺑﺮای اﻧﺠﺎم اﯾﻦ‬ ‫ﮐﺎر ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ) ‪ (s, r1 , · · · , rn‬را ﻣﻌﺮﻓ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ‬ ‫‪k = 1, · · · , n,‬‬



‫‪Xs = 1‬‬



‫‪Xrk = 0,‬‬



‫در اﯾﻨﺼﻮرت ‪ X = ∂ x‬و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ دﺳﺘ ﺎه ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻫﺎ ﺑﺎزای ﺗﻮاﺑ ‪ Ωk‬ﺑﺎ‬ ‫) ‪(١٠۴.٧‬‬ ‫ﻫﻢ ارز اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ اﯾﻦ ﺗﻮاﺑ ﻫﻤ‬



‫‪drk‬‬ ‫‪= Ωk (r1 , · · · , rn ),‬‬ ‫‪ds‬‬



‫‪k = 1, · · · , n‬‬



‫ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ آﻧ ﺎه )‪ (١٠۴.٧‬ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬در ﻏﯿﺮ اﯾﻨﺼﻮرت‬



‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ)ﺑﺪون ﮐﺎﺳﺘﻪ ﺷﺪن از ﮐﻠﯿﺖ( ﮐﻪ ‪ Ω1 , 0‬ﺑﺎﺷﺪ آﻧ ﺎه )‪ (١٠۴.٧‬ﺗﻌﺪاد ‪ n − 1‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺷﺎﻣﻞ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ‪ rk‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫) ‪(١٠۵.٧‬‬



‫‪k = 2, · · · , n‬‬



‫‪drk Ωk‬‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪dr1 Ω1‬‬



‫اﮔﺮ ﺟﻮاب )‪ (r2 , · · · , rn ) ،(١٠۵.٧‬را ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ‪ r1‬ﻧﺘﯿﺠﻪ دﻫﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺎﻗﯿﻤﺎﻧﺪه در‬ ‫)‪ (١٠۴.٧‬ﺑﺎ اﻧﺘ ﺮالﮔﯿﺮی زﯾﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫∫‬ ‫‪dr1‬‬ ‫=‪s‬‬ ‫‪+ cn‬‬ ‫) ‪(١٠۶.٧‬‬ ‫)) ‪Ω1 (r1 , r2 (r1 ), · · · , rn (r1‬‬ ‫اﮔﺮ ﺟﻮاب )‪ (١٠۵.٧‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺑﺎﺷﺪ‪ s ،‬ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ اﻧﺘ ﺮال ﻣﻮﺟﻮد در راﺑﻄﻪ )‪ (١٠۶.٧‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ اﯾﻦ‬ ‫ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫روش ﻓﻮق ﮐﺎرﺑﺮ را ﻣﻠﺰم ﺑﻪ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﮔﺮوه ﺗ ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﻣﻔﺮوض ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬در ﻋﻤﻞ‬ ‫ﻫﻤﻮاره اﯾﻦ ﮐﺎر ﻣﻤ ﻦ ﻧﯿﺴﺖ زﯾﺮا ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺸﺨﺼﻪ‬ ‫) ‪(١٠٧.٧‬‬



‫‪dx dy1‬‬ ‫‪dyn‬‬ ‫=‬ ‫= ··· =‬ ‫‪= ds‬‬ ‫‪ξ‬‬ ‫‪η1‬‬ ‫‪ηn‬‬



‫ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﺑﺮای ﺣﻞ دﺷﻮار ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬اﯾﻦ روش ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﻪ دارای ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن‬ ‫ﺑﻪ ﺷ ﻞ ﻧﺴﺒﺘﺎً راﺣﺖ ﺗﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺑﺴﯿﺎر ﻣﻮﻓﻖ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪١٢۴‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .٧‬روﺷﻬﺎی ﻣﺒﺘﻨ ﺑﺮ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ‬



‫‪ .۴.٧‬دﺳﺘ ﺎه ﻫﺎﯾ ازﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬



‫ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﻣﻔﺮوض از ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‪ ،‬ﯾ‬ ‫ﺟﺒﺮﻟ ﺑﺎ ﺑﻌﺪ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﺗﺸ ﯿﻞ ﻣ دﻫﻨﺪ‪ .‬از آﻧﺠﺎﯾﯿ ﻪ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ دو ﻣﻮﻟﺪ ﻧﯿﺰ ﯾ ﻣﻮﻟﺪ اﺳﺖ ﻗﺎدر ﺧﻮاﻫﯿﻢ‬ ‫ﺷﺪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺟﺪﯾﺪی از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﻣﻌﻠﻮم ﺑﺴﺎزﯾﻢ‪ .‬ﻣﻌﻤﻮﻻ اﯾﻦ روﻧﺪ ﺑﻪ ﺳﺮﻋﺖ ﭘﺎﯾﺎن ﻣ ﯾﺎﺑﺪ و ﯾ زﯾﺮﺟﺒﺮ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻫ اﻟﺒﻌﺪ ‪ L‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬اﮔﺮ ‪ L‬دارای ﯾ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎ ﺑﻌﺪ ‪ R ≤ n‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬دﺳﺘ ﺎه ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻫﺎی )‪ (٩۴.٧‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ‪ n − R‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺷﺎﻣﻞ ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ‬ ‫و ‪ R‬اﻧﺘ ﺮال ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬اﯾﻦ روﻧﺪ ﻣﺸﺎﺑﻪ روﻧﺪی اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺮای ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﯾ‬ ‫ﺑ ﺎر ﻣ رود‪.‬‬ ‫دﺳﺘ ﺎﻫﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺎ ﺑ ﺎرﮔﯿﺮی ﻋﺎﻣﻞ ﻫﺎی اﻧﺘ ﺮال ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر‬ ‫ﺳﺎﺧﺘﻦ اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اوﻟﯿﻪ ﻧﯿﺰ ﺣﻞ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬اﮔﺮ ) ‪ φ(x, y1 , · · · , yn‬اﻧﺘ ﺮال اوﻟﯿﻪ دﺳﺘ ﺎه )‪ (٩۴.٧‬ﺑﺎﺷﺪ آﻧ ﺎه‬ ‫‪¯ =0‬‬ ‫‪ Dφ‬و از اﯾﻨﺮو‪:‬‬ ‫‪D x φ = (y′k − ωk )φyk‬‬



‫) ‪(١٠٨.٧‬‬ ‫) ‪ Λ = (Λ1 , · · · , Λn‬را ﯾ‬



‫ﻋﺎﻣﻞ اﻧﺘ ﺮال دﺳﺘ ﺎه )‪ (٩۴.٧‬ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ اﮔﺮ‪:‬‬ ‫‪(y′k − ωk )Λk = D x φ‬‬



‫ﺑﺎزای ﺗﻮاﺑ ﻏﯿﺮ ﺛﺎﺑﺖ ) ‪ φ(x, y1 , · · · , yn‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻮﻟﻔﻪﻫﺎی ﻫﺮ ﻋﺎﻣﻞ اﻧﺘ ﺮال در راﺑﻄﻪ زﯾﺮ‬ ‫ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(١٠٩.٧‬‬



‫‪φyk = Λk ,‬‬



‫‪k = 1, · · · , n‬‬



‫ﺑﺎ اﻋﻤﺎل ¯‪ D‬روی )‪ (١٠٩.٧‬و ﻗﺮار دادن ‪¯ = 0‬‬ ‫‪ Dφ‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(١١٠.٧‬‬



‫‪¯ k + ∂ωi Λi = 0,‬‬ ‫‪DΛ‬‬ ‫‪∂yk‬‬



‫‪k = 1, · · · , n‬‬



‫ﻫﺮ ﺟﻮاب ﻏﯿﺮﺻﻔﺮ ‪ Λ‬از )‪ (١١٠.٧‬ﯾ ﻫﻢ‪-‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﯾ‬ ‫اﻧﺘ ﺮال اﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ در ﺷﺮاﯾﻂ اﻧﺘ ﺮالﭘﺬﯾﺮی‬ ‫) ‪(١١١.٧‬‬



‫‪1≤ j 0‬و ‪ .I = 0‬ﺑﺮدار ‪ κ‬ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺴﻬﺎی )‪ A( j, ε‬ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٣٣.١٠‬‬ ‫) ‪(٣۴.١٠‬‬ ‫) ‪(٣۵.١٠‬‬



‫‪(κ1 − εκ2 + ε2 κ3 , κ2 − 2εκ3 , κ3 ),‬‬ ‫‪(eε κ1 , κ2 , e−ε κ3 ),‬‬



‫= )‪κA(1, ε‬‬ ‫= )‪κA(2, ε‬‬



‫‪(κ1 , 2εκ1 + κ2 , ε2 κ1 + εκ2 + κ3 ).‬‬



‫= )‪κA(3, ε‬‬



‫)‪ (٣٣.١٠‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺟﻬﺖ ﺟﺎﯾ ﺰﯾﻦ ﮐﺮدن ﺻﻔﺮ ﺑﻪ ﺟﺎی‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ I > 0‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در اﯾﻨﺼﻮرت راﺑﻄﻪ √‬ ‫‪ κ1‬اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد‪).‬اﮔﺮ ‪ κ3 , 0‬ﺑﺎﺷﺪ ) ‪ ε = (κ2 + I)/(2κ3‬و در ﻏﯿﺮ اﯾﻨﺼﻮرت ﯾﻌﻨ اﮔﺮ ‪ κ3 = 0‬ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫‪ κ1 /κ2‬را اﺧﺘﯿﺎر ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ دارﯾﻢ ﮐﻪ اﮔﺮ ‪ I > 0‬ﺑﺎﺷﺪ ‪ κ2‬و ‪ κ3‬ﻫﺮ دو ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ (.‬ﺳﭙﺲ‬ ‫راﺑﻄﻪ )‪ (٣۵.١٠‬را ﺑﺎزای ‪ ε = −κ3 /κ2‬ﺑ ﺎر ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ ﺗﺎ ﺻﻔﺮ را ﺟﺎﯾ ﺰﯾﻦ ‪ κ3‬ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪).‬در ﺻﻮرﺗﯿ ﻪ ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻧﺒﺎﺷﺪ( در آﺧﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﺑﺎ ﻗﺮار دادن ‪ κ2 = 1‬ﻣﺠﺪداً ﻣﻘﯿﺎس دﻫ ﻣ ﺷﻮد‪.‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﺑﺎ ‪ I > 0‬ﺑﺎ ‪ X2‬ﻫﻢ‬ ‫ارز اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﮐﻨﻮن ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ I < 0‬ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ اﯾﻦ ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ ‪ . κ1 κ3 > 0‬ﻧﺨﺴﺖ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ راﺑﻄﻪ )‪ (٣٣.١٠‬و‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب ) ‪ ،ε = κ2 /(2κ3‬ﻗﺮار ﻣ دﻫﯿﻢ ‪ .κ2 = 0‬ﺳﭙﺲ ﻓﺮﻣﻮل )‪ (٣۴.١٠‬را ﺑﺎزای ) ‪ ε = 12 ln(κ3 /κ1‬ﺑﺮای‬ ‫ﻣﺴﺎوی ﻗﺮار دادن ‪ κ1‬و ‪ κ3‬ﺑ ﺎر ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﭘﺲ از ﻣﻘﯿﺎس دﻫ ﻣﺠﺪد‪ ،‬درﻣ ﯾﺎﺑﯿﻢ ﮐﻪ ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﺑﺎ ‪ I < 0‬ﺑﺎ‬ ‫‪ X1 + X3‬ﻫﻢ ارز اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﮔﺮ ‪ I = 0‬ﺑﺎﺷﺪ آﻧ ﺎه ﻫﺮ ﺳﻪ ﻣﺨﺘﺺ ‪ κ‬ﻏﯿﺮﺻﻔﺮﻧﺪ ﯾﺎ ‪ κ‬و ﯾ از ﻣﺨﺘﺺﻫﺎی ‪ κ‬و ‪ κ‬ﺻﻔﺮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻣ ﺗﻮان ﺣﺎﻟﺖ اول را ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ دوم ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از )‪ (٣۵.١٠‬ﺑﺎزای ) ‪ ε = −κ2 /(2κ1‬ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﺟﺎﯾ ﺰﯾﻨ‬ ‫ﺻﻔﺮ ﺑﺠﺎی ‪ κ2‬و ‪ κ3‬ﮐﺎﻫﺶ داد‪ .‬ﻋﻼوه ﺑﺮاﯾﻦ‪:‬‬ ‫)‪(0, 0, κ3 )A(1, 1)A(3, 1) = (κ3 , −2κ3 , κ3 ) = (κ3 , 0, 0‬‬ ‫ﻣ ﺗﻮان ﻣﺨﺘﺼﻬﺎی دوم و ﺳﻮم از ﻫﺮ ‪ κ‬را ﺑﺎ ﺻﻔﺮ ﺟﺎﯾ ﺰﯾﻦ ﮐﺮد‪ .‬ﺑﺎ ﻣﻘﯿﺎس دﻫ ﻣﺠﺪد ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫ﮐﻠﯿﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎﯾ ﮐﻪ ﺑﺮای آﻧﻬﺎ‪ I = 0‬اﺳﺖ ﺑﺎ ‪ X1‬ﻫﻢ ارزﻧﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ X1 , X2 , X1 + X3‬ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﺑﻬﯿﻨﻪ‬ ‫ﺑﺮای ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی )‪ sl(2‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫در دو ﻣﺜﺎل اﺧﯿﺮ ﺗﻌﺪاد ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ در دﺳﺘ ﺎه ﺑﻬﯿﻨﻪ ﺟﺒﺮﻟ ﺑﺎ ﺑﻌﺪ )‪ (R‬ﻣﻨﻄﺒﻖ اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﻫﻤﯿﺸﻪ‬ ‫رخ ﻧﻤ دﻫﺪ‪ .‬ﻋﻤﻮﻣﺎً ﺗﻌﺪاد ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﻏﯿﺮ ﻫﻢ ارز ﻓﺮاﺗﺮ از ‪ R‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪١٧٠‬‬



‫‪ .٣.١٠‬دﺳﺘ ﺎﻫﻬﺎی ﺑﻬﯿﻨﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٣.١٠‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١٠‬دﺳﺘﻪﺑﻨﺪی ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫دﺳﺘ ﺎﻫﻬﺎی ﺑﻬﯿﻨﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫ﺑﺎ دﺳﺘﯿﺎﺑ ﺑﻪ ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﺑﻬﯿﻨﻪ از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ ﻣ ﺗﻮان روش اراﺋﻪ ﺷﺪه در ﺑﺨﺶ ‪١.٩‬را ﺑﺮای ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی‬ ‫ﻧﺎوردای ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑ ﺎر ﺑﺮد‪ .‬ﻫﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﮐﺎﻣﻞ از اﯾﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎ ﮐﻪ دﯾ ﺮ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا از آن ﻣﺸﺘﻖ ﻣ ﺷﻮد‪،‬‬ ‫ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﺑﻬﯿﻨﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا ﮔﻔﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﺑﺎ دو ﺣﺎﻟﺖ ﻣﻮاﺟﻪ ﺷﻮﯾﻢ‪ .‬ﻧﺨﺴﺖ اﯾﻨ ﻪ‬ ‫ﯾ ﻣﻮﻟﺪ در دﺳﺘ ﺎه ﺑﻬﯿﻨﻪ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﺑﻪ ﻫﯿ ﺟﻮاب ﻧﺎورداﯾ ﻣﻨﺠﺮ ﻧﺸﻮد‪.‬‬ ‫‪ ٣.١٠‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﯾ‬



‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﻬﯿﻨﻪ از ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردای‬ ‫‪y′′ = y−3‬‬



‫) ‪(٣۶.١٠‬‬ ‫ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ آن ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫) ‪(٣٧.١٠‬‬



‫‪X3 = x2 ∂ x + xy∂y‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪X2 = x∂ x + y∂y ,‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه را ﺑﺴﺎزﯾﻢ‪ .‬ﺟﺒﺮﻟ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ )‪ sl(2‬اﺳﺖ‪).‬ﺑﺎ ﺛﺎﺑﺘﻬﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری ﻣﻌﻤﻮل(‪ .‬ﻣﺜﺎل )‪ (٢.١٠‬ﻧﺸﺎن‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ ‪ X1 , X2 , X1 + X3‬ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﺑﻬﯿﻨﻪ از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎﺳﺖ‪ .‬ﻫﯿ ﺟﻮاﺑ ﺗﺤﺖ ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ ‪ X1‬ﻧﺎوردا ﻧﯿﺴﺖ زﯾﺮا ﮐﻠﯿﻪ ﺧﻤﻬﺎی ﻧﺎوردا ﺑﺼﻮرت‬ ‫‪y=c‬‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ در ﻣﻮرد ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ X2‬اﯾﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﺻﺎدق اﺳﺖ زﯾﺮا ﺧﻤﻬﺎی ﻧﺎوردا ﺑﺼﻮرت‬ ‫√‬ ‫‪y=c x‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻓﻘﻂ زﻣﺎﻧﯿ ﻪ ‪ c4 = −4‬اﺳﺖ‪ ،‬ﭼﻨﯿﻦ ﺧﻤ ﯾ ﺟﻮاب اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﺣﻘﯿﻘ ﻣﻘﺪار‬ ‫وﺟﻮد ﻧﺪارد‪ .‬ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ X1 + X3‬دارای دو ﺟﻮاب ﻧﺎوردا ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪y = ± 1 + x2‬‬



‫) ‪(٣٨.١٠‬‬



‫ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺎﻗﯿﻤﺎﻧﺪه روی اﯾﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎ‪ ،‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ را ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫) ‪(٣٩.١٠‬‬



‫‪c1 > 0‬‬



‫√‬ ‫‪y = ± c1 + (x + c2 )2 /c1 ,‬‬



‫ﯾﺎدآوری ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ‪ X1‬و ‪ X2‬ﻧﻤﺎﯾﻨﺪهﻫﺎی دﺳﺘﻪﻫﺎی ﻣﻮﻟﺪ ﺑﺎ ﺧﺎﺻﯿﺖ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ‪ I = 0‬و ‪ I > 0‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫آﯾﺎ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردای ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ دﯾ ﺮ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ در اﯾﻦ دﺳﺘﻪﻫﺎ ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎﺷﻨﺪ؟ در واﻗ ﭼﻨﯿﻦ‬ ‫ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾ وﺟﻮد ﻧﺪارﻧﺪ‪) .‬ﻧﺘﯿﺠﻪ اﯾﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﻤﺮﯾﻦ واﮔﺬار ﺷﺪه(‪.‬‬



‫ﺣﺎﻟﺖ ﻣﻤ ﻦ دوم اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﻣﻌﺎدﻻت ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪای ﮐﻪ ﯾ ﯾﺎ ﭼﻨﺪ ﺟﻮاب ﻧﺎوردا‬ ‫را ﻣﺸﺨﺺ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ ﺣﻞ ﺗﺤﻠﯿﻠ ﺑﺴﯿﺎر دﺷﻮار داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺣﺘ اﮔﺮ ﻧﺘﻮاﻧﯿﻢ ﺑﻪ ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﺑﻬﯿﻨﻪ دﺳﺖ‬ ‫ﯾﺎﺑﯿﻢ ﻫﻨﻮز ﻗﺎدر ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﺑﻮد ﺑﺮﺧ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا را ﺑﯿﺎﺑﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪١٧١‬‬



‫‪ .٣.١٠‬دﺳﺘ ﺎﻫﻬﺎی ﺑﻬﯿﻨﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١٠‬دﺳﺘﻪﺑﻨﺪی ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫‪ ۴.١٠‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ ﺧﻄ زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪x2‬‬



‫) ‪(۴٠.١٠‬‬



‫‪ut = u xx −‬‬



‫زﯾﺮﺟﺒﺮ ﻣﺘﻨﺎﻫ اﻟﺒﻌﺪ ‪ L0‬دارای ﭘﺎﯾﻪای ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x∂ x + t∂t − u∂u ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 2 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪X3 = xt∂ x + t ∂t ( x + t)u∂u ,‬‬ ‫‪X4 = u∂u‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬



‫) ‪(۴١.١٠‬‬



‫= ‪X2‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫ﮐﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮﻫﺎی ﻏﯿﺮﺻﻔﺮ آن ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫‪[X1 , X3 ] = 2X2 ,‬‬



‫‪[X2 , X3 ] = X3 ,‬‬



‫‪[X1 , X2 ] = X1 ,‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺳﻪ ﻣﻮﻟﺪ اول در اﯾﻦ ﭘﺎﯾﻪ زﯾﺮﺟﺒﺮ )‪ sl(2‬را ﻣ ﺳﺎزﻧﺪ‪) .‬ﮐﻪ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﻣﺸﺘﻖ ﺷﺪه از ‪ L0‬اﺳﺖ ( و ‪X4‬‬ ‫ﺑﺎ ﮐﻠﯿﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ ﺟﺎﺑﺠﺎ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬دو ﻧﺎوردای )‪ I(κ‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ زﯾﺮ ﻣﻮﺟﻮدﻧﺪ‪:‬‬ ‫‪I 1 = (κ2 )2 − 4κ1 κ3 ,‬‬



‫‪I 2 = κ4‬‬



‫ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ دﻗﯿﻘﺎً ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ﻣﺜﺎل )‪ (٢.١٠‬دﺳﺘﻪﺑﻨﺪی ﻣ ﺷﻮﻧﺪ اﻣﺎ ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ دارای ﻣﻀﺮﺑ از ‪ X4‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺎ آن‬ ‫ﺟﻤ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺎ ﺑﺎﯾﺴﺘ اﯾﻦ اﻣ ﺎن را ﮐﻪ ﺳﻪ ﻣﺨﺘﺺ اول ‪ κ‬ﻫﻤ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﺑﺎ ﻣﻘﯿﺎس‬



‫دﻫ ﻣﺠﺪد‪ ،‬ﺑﺪون اﯾﻨ ﻪ از ﮐﻠﯿﺖ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﮐﺎﺳﺘﻪ ﺷﻮد ﻗﺮار ﻣ دﻫﯿﻢ ‪ .κ4 = 1‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ دﺳﺘ ﺎه ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی زﯾﺮ‬ ‫ﺑﻬﯿﻨﻪ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪X4‬‬



‫‪X2 + µX4 ,‬‬



‫‪X1 + X3 + µX4 ,‬‬



‫‪X1 + µX4 ,‬‬



‫)در اﯾﻨﺠﺎ ‪ µ‬ﯾ ﺛﺎﺑﺖ دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ‪ (.‬ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﺑﻬﯿﻨﻪ از ﺟﻮاﺑﻬﺎ ﻫﺮ ﮐﺪام از اﯾﻦ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ را‬ ‫ﺑﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑ ﺎر ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ‪ X1 + µX4‬ﻧﺎوردا ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺑﺼﻮرت‪:‬‬ ‫)‪u = eµt F(x‬‬



‫) ‪(۴٢.١٠‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ‬



‫‪F ′′ − (µ + 2x−2 )F = 0‬‬ ‫ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫) ‪(۴٣.١٠‬‬



‫‪µ,0‬‬ ‫‪µ=0‬‬



‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪c1 ( µ − x−1 )e µx + c2 ( µ + x−1 )e− µx ,‬‬ ‫‪c1 x2 + c2 x−1 ,‬‬



‫{‬ ‫= )‪F(x‬‬



‫و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺟﻮاب ﻧﺎوردای ﻋﻤﻮﻣ ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری )‪ (۴٣.١٠‬در )‪ (۴٢.١٠‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ‬ ‫ﻋﻤﻮﻣ ﺗﺮﯾﻦ ﺟﻮاب ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ‪ X2 + µX4‬ﻧﺎورداﺳﺖ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‬ ‫) ‪(۴۴.١٠‬‬



‫‪u = tµ−1/4 F(r),‬‬



‫‪r = xt−1/2‬‬



‫ﮐﻪ‬ ‫) ‪(۴۵.١٠‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪F ′′ + rF ′ + ( − µ − 2r−2 )F = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪١٧٢‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١٠‬دﺳﺘﻪﺑﻨﺪی ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫‪ .٣.١٠‬دﺳﺘ ﺎﻫﻬﺎی ﺑﻬﯿﻨﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫ﺟﻮاب )‪ (۴۵.١٠‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺗﻮاﺑ ﻫﻢ‪-‬ﺟﺮﯾﺎن اﺑﺮﻫﻨﺪﺳ ﺑﯿﺎن ﺷﻮد ﮐﻪ ﻗﺪری ﺷﻠﻮغ اﺳﺖ‪ .‬ﺷ ﻞ‬ ‫ﺳﺎده آن ﺑﺎزای ﺑﺮﺧ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ‪ µ‬اﻣ ﺎﻧﭙﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻄﻮر ﻣﺜﺎل وﻗﺘ ‪ µ = 1/4‬اﺳﺖ‪ ،‬ﯾ ﺟﻮاب ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬ ‫)‪ (۴۴.١٠‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از‪:‬‬ ‫‪x2‬‬



‫‪u = x−1 t1/2 e− 4t‬‬



‫ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ‪ X1 + X3 + µX4‬ﻧﺎوردا ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺑﺼﻮرت‬ ‫) ‪(۴۶.١٠‬‬



‫‪r = x(1 + t2 )−1/2‬‬



‫} ‪x2 t‬‬ ‫‪F(r),‬‬ ‫) ‪4(1 + t2‬‬



‫{‬ ‫‪u = (1 + t2 )−1/4 exp µ tan−1 t −‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ‬ ‫) ‪(۴٧.١٠‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪F ′′ + ( r2 − µ − 2r−2 )F = 0‬‬ ‫‪4‬‬



‫اﯾﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎ ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺗﺮﮐﯿﺒ از ﺗﻮاﺑ ﻫﻢ‪-‬ﺟﺮﯾﺎن اﺑﺮﻫﻨﺪﺳ و ﺗﻮاﺑ اوﻟﯿﻪ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬در آﺧﺮ‪ ،‬ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه‬



‫ﺗﻮﺳﻂ ‪ X4‬ﺗﻨﻬﺎ ﺟﻮاب ﺑﺪﯾﻬ ‪ u = 0‬را ﻧﺎوردا ﺑﺎﻗ ﻣ ﮔﺬارد‪.‬‬ ‫ﭘﺲ از اﯾﻨ ﻪ ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﺑﻬﯿﻨﻪ از ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا ﯾﺎﻓﺖ ﺷﺪ‪ ،‬اﻏﻠﺐ ﺳﺎﺧﺘﻦ ﻫﺮ ﮐﻼس از ﺟﻮاﺑﻬﺎی‬ ‫ﻧﺎوردا ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ در ﺑﺨﺶ ‪ ٢.٩‬ﺗﻮﺻﯿﻒ ﺷﺪ‪ ،‬ﮐﺎر آﺳﺎﻧ اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ﭼﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮ ﻣﻌﺎدﻻت ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ‬ ‫دارای ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﺑﺴﯿﺎری ﻫﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ﻫﯿ ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﻧﺎوردا ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا ﻋﻤﻮﻣﺎً رﻓﺘﺎر‬ ‫ﻣﺤﺪود ﮐﻨﻨﺪهای را ﺗﻮﺻﯿﻒ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ)ﺑﺨﺼﻮص ﺑﺮای ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻻت ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ ی ﭘﺎراﺑﻮﻟﯿ (‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی )ﻣﻘﯿﺎس‪-‬ﻧﺎوردا( ﺑﻄﻮر ﺧﺎﺻ در اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﻗﺎﺑﻞ اﺳﺘﻔﺎدهاﻧﺪ‪.‬‬



‫ﻧ ﺎت و ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮ‬ ‫اﮔﺮ ﺑﺪﻧﺒﺎل ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ﯾ ﮔﺮوه ﻟ )زﯾﺮﮔﺮوه ﻟ ( ‪ N − 1‬ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﻧﺎوردا ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺑﺎﺷﯿﻢ‪،‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ ﺑﺎ ‪ N ≥ 3‬ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﺑﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ اﻣ ﺎن وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ﯾ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﻬﯿﻨﻪ از ﭼﻨﯿﻦ ﮐﺎﻫﺸﻬﺎﯾ ﺑﯿﺎﺑﯿﻢ ﮐﻪ ﺑﺮ ﭘﺎﯾﻪ ﻧﺘﺎﯾ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه ﺑﺮای‬ ‫ﮔﺮوﻫﻬﺎی ﺗ ﭘﺎراﻣﺘﺮی اﺳﺖ‪).‬ﺑﺮای ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺟﺰﺋﯿﺎت ﺑﯿﺸﺘﺮ اوﺳﯿﺎﻧﯿ ﻮف )‪ (١٩٨٢‬را ﺑﺒﯿﻨﯿﺪ‪(.‬‬



‫ﺗﻤﺮﯾﻦﻫﺎ‬ ‫‪ .١.١٠‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ )‪ (٣٢.١٠‬ﺗﻨﻬﺎ ﻧﺎوردای )‪ sl(2‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٢.١٠‬ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﺑﻬﯿﻨﻪ از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ را ﺑﺮای )‪ so(3‬در ﭘﺎﯾﻪای ﮐﻪ ﺛﺎﺑﺘﻬﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری ﻏﯿﺮﺻﻔﺮ آن ﻣﻄﺎﺑﻖ‬ ‫راﺑﻄﻪ )‪ (٣٣.۵‬ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬آﯾﺎ ﻧﺎوردای )‪ I(κ‬ای وﺟﻮد دارد؟‬ ‫‪ .٣.١٠‬ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫﻢ ارزی ﺑﺮای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﯾ زﯾﺮﺟﺒﺮ ﺷﺶ ﺑﻌﺪی از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﮔﺮﻣﺎ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪهاﻧﺪ‬ ‫را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪) .‬ﺑﺪون اﺣﺘﺴﺎب ﻣﻮﻟﺪﻫﺎﯾ ﮐﻪ ﺑﺼﻮرت ‪ X = U(x, t)∂u‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ (.‬اﯾﻦ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ‬ ‫در اﻧﺘﻬﺎی ﮐﺘﺎب در ﺑﺨﺶ ﺗﻤﺮﯾﻨﺎت ‪ ٣.٨‬ﯾﺎﻓﺖ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬دو ﻧﺎوردای ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺗﺎﺑﻌ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ و‬ ‫ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی دﺳﺘ ﺎه ﺑﻬﯿﻨﻪ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪ .۴.١٠‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ‪ κi‬ﻧﺎورداﺳﺖ اﮔﺮ ]‪ .Xi < [L, L‬آﯾﺎ اﯾﻦ ﺷﺮط ﺑﺮای اﻃﻤﯿﻨﺎن از اﯾﻨ ﻪ ‪ κi‬ﻧﺎورداﺳﺖ ﻻزم‬ ‫اﺳﺖ؟‬ ‫‪١٧٣‬‬



‫‪ .٣.١٠‬دﺳﺘ ﺎﻫﻬﺎی ﺑﻬﯿﻨﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١٠‬دﺳﺘﻪﺑﻨﺪی ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا‬



‫‪ .۵.١٠‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﻄﺮح ﺷﺪه در ﻣﺜﺎل )‪ (٣.١٠‬دارای ﻫﯿ ﺟﻮاب ﺣﻘﯿﻘ‬ ‫ﻣﻘﺪاری ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ﯾ ﮔﺮوه ﮐﻪ ﻣﻮﻟﺪ آن دارای ﺧﺎﺻﯿﺖ ‪ I > 0‬اﺳﺖ ﻧﺎوردا ﺑﺎﺷﺪ ﻧﯿﺴﺖ‪).‬در ﺗﺬﮐﺮ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪(٢.١٠‬‬ ‫‪ .۶.١٠‬ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﺑﻬﯿﻨﻪ از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ ﺑﺮای ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫﻢ‪-‬ﺑﺮدارﻫﺎی آزاد ﺗﻮﺻﯿﻒ ﺷﺪه در ﻣﺜﺎل ‪ ۴.٩‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﻧﺘﺎﯾ ﺧﻮد را ﺑﺮای دﺳﺘﯿﺎﺑ ﺑﻪ ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﺑﻬﯿﻨﻪ از ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا ﺑ ﺎر ﮔﯿﺮﯾﺪ‪) .‬ﺗﻮﺟﻪ‪:‬‬ ‫اﯾﻦ دﺳﺘ ﺎه ﺑﺴﯿﺎر ﺑﺰرگ اﺳﺖ اﻣﺎ ﺑﯿﺸﺘﺮ ﺟﻮاﺑﻬﺎ ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﯿﺎﺑ اﺳﺖ‪(.‬‬



‫‪١٧۴‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪١١‬‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫ﺤ ﯽ دور د ﺖ ﺖ‪ ،‬ﻣﺎورای ا ﻪ ﻮر ﺪی‪،‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪١.١١‬‬



‫آ ﺠﺎ ﺧﻼف ﻮل‪ ،‬ﻮط را ﺖ ﻮازی ﯾ ﺪﯾ را ﻊ ﯽ ﺪ‪.‬‬



‫)ج‪.‬ک ﺮ ﻮن‪ :‬رﯾﺎ ﯿﺎت ﻋﺎ ﯽ(‬



‫ﺑﺮﺧ ﮐﺎرﺑﺮدﻫﺎی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬



‫در ﻓﺼﻞ اول‪ ،‬از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﯾ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺮای ﻣﻌﺮﻓ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﺑﻪ ﺧﻮاﻧﻨﺪه اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮدﯾﻢ‪ .‬ﺷﺎﯾﺴﺘﻪ‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ ﻓﺼﻞ اﻧﺘﻬﺎﯾ ﺑﻪ ﻣﻌﺮﻓ روﺷ ﮐﻪ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﺑﺮای ﻣﻌﻠﻮم ﮐﺮدن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻔﺮوض اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﺪ ﺑﭙﺮدازد‪ .‬در اﯾﻨﺠﺎ دﻻﯾﻠ ﻣﻮﺟﻮدﻧﺪ ﮐﻪ اﻫﻤﯿﺖ ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻤﻮدن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ را ﺑﯿﺎن ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪:‬‬ ‫اﻟﻒ( ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﺑﺮای اﻓﺰاﯾﺶ اﺛﺮ ﺑﺨﺸ روﺷﻬﺎی ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗ ﺑ ﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﯾ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ﮐﺮاﻧ ﻣﻘﺪار ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﺎ ﻣﻘﺪار اوﻟﯿﻪ ﻣﺘﻘﺎرن و دارای ﺟﻮاب ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻔﺮد ﺑﺎﺷﺪ‪،‬‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ روی داﻣﻨﻪ ﮐﺎﻫﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ اﻧﺠﺎم ﮔﯿﺮد‪ .‬ﻣﺘﻨﺎوﺑﺎً‪ ،‬از ﯾ روش ﻃﯿﻔ ﺑﺎ ﺗﻮاﺑ ﭘﺎﯾﻪای‬ ‫ﻣ ﺗﻮان اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ﺗﻘﺎرن ﻧﺎوردا ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻻزم ﺑﻪ ذﮐﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ وﺟﻮد ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ دﻗﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻋﺪدی را ﺑﻬﺒﻮد ﻣ ﺑﺨﺸﺪ‪.‬‬ ‫ب( ﺑﺴﯿﺎری از ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﺎ ﻣﻘﺪار اوﻟﯿﻪ ﻫﺎی ﻏﯿﺮ ﺧﻄ دارای ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﻻزم اﺳﺖ ﮐﻪ‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ ﮐ و ﭼ ﻮﻧﻪ ﻫﻨ ﺎﻣﯿ ﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎ ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪ ،‬دﺳﺘ ﺎه رﻓﺘﺎرش را ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣ دﻫﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ دﻟﯿﻞ اﯾﻨ ﻪ ﻣﻌﻤﻮﻻ رﻓﺘﺎر دﺳﺘ ﺎﻫﻬﺎی ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻘﺎرن »ﮐﻠ « ﮐﺎﻣﻼ ﻣﺘﻔﺎوت از دﺳﺘ ﺎﻫﻬﺎﯾ ﮐﻪ‬ ‫ﺑﺎﺗﻘﺎرن ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺎﯾﺪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻤﻮدن ﺗﻤﺎﻣ ﺗﻘﺎرنﻫﺎ‬ ‫در ﯾ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺮای درک رﻓﺘﺎر آن ﺑﻄﻮر دﻗﯿﻖ ﺣﺎﺋﺰ اﻫﻤﯿﺖ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫پ( ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ‪ ،‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺮای ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﺟﺪﯾﺪ از ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻗﺒﻠ ﺑ ﺎر‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺮای ﺳﺎده ﺳﺎزی ﯾ دﺳﺘ ﺎه اﭘﺘﯿﻤﺎل از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ‬ ‫ﺑ ﺎر ﺑﺮده ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬اﮔﺮ دو ﻣﻮﻟﺪ در دﺳﺘ ﺎه اﭘﺘﯿﻤﺎل ﺗﻮﺳﻂ ﯾ ﺗﻘﺎرن ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺗﻨﻬﺎ ﯾ‬ ‫از آﻧﻬﺎ ﻧﯿﺎز اﺳﺖ‪ ،‬دﯾ ﺮی را ﻣ ﺗﻮان ﺣﺬف ﻧﻤﻮد‪.‬‬ ‫‪١٧۵‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬



‫‪ .٢.١١‬ﭼ ﻮﻧ‬



‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ‬



‫ت( ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﭘﯿﻮﺳﺘ ﺑﺎر اﻟ ﺘﺮﯾ ‪ ،‬ﺗﻐﯿﯿﺮ ﺗﻮازن‪ ،‬واژﮔﻮﻧ زﻣﺎن در ﻧﻈﺮﯾﻪ ﻣﯿﺪان ﮐﻮاﻧﺘﻮم‬ ‫در ﻣﺮﮐﺰﯾﺖ ﻗﺮار دارﻧﺪ‪) .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ دﯾ ﺮ در ﻓﯿﺰﯾ ﺣﺎﺋﺰ اﻫﻤﯿﺖ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ وﻟ در اﯾﻨﺠﺎ ﺑﻪ‬ ‫ﺷﺮح آﻧﻬﺎ ﻧﻤ ﭘﺮدازﯾﻢ‪(.‬‬ ‫ث( ﺑﺎﯾﺪ ﺗﻮﺟﻬﻤﺎن را ﺑﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﻌﻄﻮف ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪ ،‬اﮔﺮﭼﻪ اﻧﻮاع دﯾ ﺮ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫ﻧﯿﺰ ﻣﻔﯿﺪ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬اﺗﻔﺎﻗﺎً ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻟﮋاﻧﺪر ﻣﺜﺎل ﺧﻮﺑ از ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺑﺮﺧﻮردی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭼﻨﯿﻦ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻼﺗ ﺑﻌﻨﻮان ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻇﺎﻫﺮ ﻣ ﮔﺮدﻧﺪ‪ ،‬ﺣﺘ اﮔﺮ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی ﻟ‬ ‫ﻣﻮﺟﻮد ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺗﺒﺪﯾﻼت ﺑ ﻼﻧﺪ ‪ ،‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻏﯿﺮ ﻧﻘﻄﻪای ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬آﻧﻬﺎ ﮐﺎرﺑﺮ را ﻗﺎدر ﻣ ﺳﺎزﻧﺪ‬ ‫ﺗﺎ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻻت ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ ی اﻧﺘ ﺮال ﭘﺬﯾﺮ ﻏﯿﺮ ﺧﻄ را رﺗﺒﻪ ﺑﻨﺪی ﻧﻤﺎﯾﺪ‪.‬‬ ‫اﻏﻠﺐ ﺣﻞ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺑﺮای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪای ﺑﻪوﺳﯿﻠﻪ روش ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺴﯿﺎر ﺳﺨﺖ اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﺑﺪان‬ ‫دﻟﯿﻞ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺒﯿﻦ ﻧﻮﻋﺎً ﺗﺸ ﯿﻞ ﯾ دﺳﺘ ﺎه ﻏﯿﺮﺧﻄ از ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺑﺎﻻ زوج ﺷﺪه ﻣ دﻫﻨﺪ‪ .‬ﮔﺎﻫ‬ ‫اوﻗﺎت ﺳﺎدهﻧﻤﻮدن اﯾﻦ دﺳﺘ ﺎه ﺑﺎ ﮐﻤ ﺟﺒﺮ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮی اﻣ ﺎﻧﭙﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﯾ ﺣﺪس ﻋﻠﻤ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ ﺑﺮﺧ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﮔﺮدد؛ اﮔﺮﭼﻪ ﺿﻤﺎﻧﺘ ﺑﺮای ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻤﺎﻣ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ وﺟﻮد‬ ‫ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫ﺗﻘﺮﯾﺒﺎً ﺗﻤﺎﻣ ﻣﺴﺎﺋﻠ ﮐﻪ از ﮐﺎرﺑﺮدﻫﺎ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪ ،‬ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬ ‫ﻧﻘﻄﻪای دارﻧﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻔﺮوض دارای ﯾ ﺟﺒﺮﻟ ﻣﺘﻨﺎﻫ اﻟﺒﻌﺪی ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه از‬ ‫ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرﻧ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬روش ﻣﺴﺘﻘﯿﻤ ﮐﻪ در ﺑﺎﻻ ﺷﺮح داده ﺷﺪ ﻻزم ﻧﻤ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ و ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑﺎ‬ ‫روﺷ ﮐﻪ ﺑﺮای اﺳﺘﺨﺮاج ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑﻄﻮر دﺳﺘ ﺎﻫ ﺑ ﺎر ﺑﺮده ﻣ ﺷﻮﻧﺪ ﺑﻄﻮر ﻣﺘﻘﺎﺑﻞ اﺛﺮ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫)اﯾﺪهﻫﺎی ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻧﯿﺰ ﺑﺮای ﺟﺒﺮﻫﺎی ﻟ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ اﻟﺒﻌﺪی ﻋﻤﻞ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪ ،‬اﻣﺎ ﺑﻪ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮی ﻧﯿﺎز اﺳﺖ و ﻧﺒﺎﯾﺪ‬ ‫ﺑﻪ ﺗﻮﺿﯿ ﺑﯿﺸﺘﺮ ﭘﯿﺮاﻣﻮن ﺟﺒﺮﻫﺎ ﺑﭙﺮدازﯾﻢ‪(.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٢.١١‬‬



‫ﭼ ﻮﻧ‬



‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ‬



‫از اﯾﻨﺠﺎ ﺑﻪ ﺑﻌﺪ از ﻧﻤﺎد ﮔﺬاری اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه در ﺑﺨﺶ ‪ ١.١٠‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ ﮐﻪ ﭘﯿﺸﻨﻬﺎد ﻣ ﮔﺮدد ﺧﻮاﻧﻨﺪه‬ ‫اﺑﺘﺪا ﺑﻪ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ آن ﺑﭙﺮدازد‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫) ‪(١.١١‬‬



‫ˆ‪Γ : z 7−→ z‬‬



‫ﺗﻘﺎرن دﻟﺨﻮاه ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻔﺮوض ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ‪ z‬ﻧﻤﺎﯾﺶ دﻫﻨﺪه ‪ M‬ﻣﺘﻐﯿﺮ واﺑﺴﺘﻪ و ‪ N‬ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻣﺴﺘﻘﻞ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﻓﺮض ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ ﮐﻪ ﺟﺒﺮ ﻟ ‪ L‬از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای‪ R ،‬ﺑﻌﺪی ﺑﺎﺷﺪ و ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی‬ ‫) ‪(٢.١١‬‬



‫‪i = 1, · · · , R,‬‬



‫‪Xi = ζis (z)∂z s ,‬‬



‫ﺗﺸ ﯿﻞ ﭘﺎﯾﻪ ﺑﺮای ‪ L‬دﻫﻨﺪ‪ .‬در ﺑﺨﺶ ‪ ١.١٠‬ﻧﺸﺎن دادﯾﻢ ﮔﻪ اﮔﺮ ‪ X ∈ L‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧ ﺎه‬ ‫‪Xˆ = ΓXΓ−1 ,‬‬ ‫ﯾ ﮔﺮوه ﻟ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ را ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺟﺒﺮ ﻟ ‪ L‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬ ‫ﺗﻤﺎﻣ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ‪ Xˆ ∈ L‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻮﯾﮋه‪ ،‬ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﭘﺎﯾﻪای‬ ‫‪Xˆ i = ΓXi Γ−1 = ζis (ˆz)∂zˆ s‬‬ ‫) ‪(٣.١١‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫در‪ L‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻌﻼوه‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ‪ Xˆ 1 , · · · , Xˆ R‬ﯾ ﭘﺎﯾﻪ ﺑﺮای ‪ L‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬زﯾﺮا در واﻗ ﺑﺎ ﺗﻌﻮﯾﺾ‬ ‫ˆ‪ z‬ﺑﺎ ‪ ،z‬ﯾ ﭘﺎﯾﻪ اﺻﻠ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻫﺮ ‪ Xi‬را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺼﻮرت ﺗﺮﮐﯿﺐ ﺧﻄ از ‪ Xˆ i‬ﻫﺎ ﺑﺼﻮرت ذﯾﻞ‬ ‫‪١٧۶‬‬



‫‪ .٢.١١‬ﭼ ﻮﻧ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬



‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ‬



‫ﻧﻮﺷﺖ‪:‬‬ ‫‪Xi = bli Xˆ l .‬‬ ‫) ‪(۴.١١‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫ﺿﺮاﯾﺐ ‪ bli‬ﺛﺎﺑﺖﻫﺎﯾ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﺗﻘﺎرن ‪ Γ‬و ﭘﺎﯾﻪ ‪ X1 , · · · , XR‬ﻣﺸﺨﺺ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ‬ ‫اﯾﻦ ﺿﺮاﯾﺐ ﺑﻌﻨﻮان اﻋﻀﺎﯾ از ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ‪R × R‬‬ ‫) ‪(۵.١١‬‬



‫) ‪B = (bli‬‬



‫ﺳﻮدﻣﻨﺪ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت ﺧﻄ )‪ (۴.١١‬ﯾ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﺎﺑﯿﻦ دو ﭘﺎﯾﻪ ﻣ ﺳﺎزد‪ ) .‬اﯾﻦ ﭘﺎﯾﻪﻫﺎ را ‪ Xi‬ﻫﺎ و ‪ Xˆ i‬ﻫﺎ ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ(‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮ اﯾﻦ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ‪ B‬ﻧﺎﻣﻨﻔﺮد ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫از راﺑﻄﻪ )‪ (۴.١١‬ﺑﺮای ﺳﺎﺧﺘﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑﺼﻮرت ذﯾﻞ اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﻧﻤﺎﺋﯿﻢ‪ .‬اﺑﺘﺪا راﺑﻄﻪ )‪ (۴.١١‬را‬ ‫ﺑﺮای ﺗ ﺗ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ‪ zˆ s‬ﺑ ﺎر ﺑﺒﺮﯾﺪ‪ ،‬ﺗﺎ‬ ‫) ‪(۶.١١‬‬



‫‪1 ≤ s ≤ M+N‬‬



‫‪1 ≤ i ≤ R,‬‬



‫‪∂ˆz s‬‬ ‫‪= bli Xˆ l zˆ s = bli ζls (ˆz),‬‬ ‫‪∂zr‬‬



‫)‪ζir (z‬‬



‫ﺑﺪﺳﺖ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ دﺳﺘ ﺎه ‪ (M + N)R‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺟﺰﺋ را ﻣ ﺗﻮان ﺗﻮﺳﻂ روش ﻣﺸﺨﺼﻪ ﮐﻪ ˆ‪ z‬را ﺑﺮ ﺣﺴﺐ‬ ‫‪ ،z‬ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ﻧﺎﻣﺸﺨﺺ ‪ bli‬و ﺗﻌﺪادی ﺗﻮاﺑ ﯾﺎ ﺛﺎﺑﺘﻬﺎی دﻟﺨﻮاه اﻧﺘ ﺮال ﮔﯿﺮی ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورد ﺣﻞ ﻧﻤﻮد‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮ روش ﺳﺎﺧﺖ‪ ،‬ﻫﺮ ﺗﻘﺎرن )ﮔﺴﺴﺘﻪ ﯾﺎ دﯾ ﺮ( ﺑﺮای ﻣﺎﺗﺮﯾﺴ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ B‬در راﺑﻄﻪ )‪ (۶.١١‬ﺻﺪق ﻣ ﻧﻤﺎﯾﺪ‪،‬‬ ‫اﮔﺮﭼﻪ )‪ (۶.١١‬ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﺷﺎﻣﻞ ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﻣﺘﻘﺎرن ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ وﺟﻮد‪ ،‬ﻣﻌﻤﻮﻻ ﺑﺮای ﻣﺎ‬ ‫راﺣﺖﺗﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﻤﺎﻣ ﺗﻘﺎرنﻫﺎرا ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﺟﺎﻧﺸﯿﻨ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ (۶.١١‬در ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن‪ ،‬ﯾ ﺑ ﯿﺮﯾﻢ‪.‬‬ ‫ﭼﻮن اﮐﻨﻮن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ را ﻣ ﺷﻨﺎﺳﯿﻢ‪ ،‬ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ آﻧﻬﺎ را در ﻣﺮﺣﻠﻪ ﻣﻨﺎﺳﺒ از ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﮐﻨﺎر‬ ‫ﺑ ﺬارﯾﻢ )ﯾﻌﻨ از آﻧﻬﺎ ﻓﺎﮐﺘﻮرﮔﯿﺮی ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ(‪ .‬ﻟﺬا ﻟﯿﺴﺘ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻧﺎﻫﻢارز ﮐﻪ ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﻨﺪ‬ ‫ﺑﻪ دﯾ ﺮی ﺗﻮﺳﻂ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﻧ ﺎﺷﺘﻪ ﺷﻮﻧﺪ ﺑﺎﻗ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﻣﺎﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪ ١.١١‬ﻣﺜﺎل ‪ .‬ﺑﺮای ﺷﺮح روش ﺑﻪ ﺑﯿﺎن ﺳﺎده‪ ،‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫‪y′′ = tan y′ ,‬‬



‫) ‪(٧.١١‬‬



‫ﮐﻪ ﺟﺒﺮ ﻟ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرﻧ ﻧﻘﻄﻪای آن دارای ﭘﺎﯾﻪ‬ ‫) ‪(٨.١١‬‬



‫‪X2 = ∂y‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬را ﻣﺸﺨﺺ ﻣ ﻧﻤﺎﺋﯿﻢ‪.‬‬ ‫در اﯾﻨﺠﺎ )‪ z = (x, y‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ و ﻟﺬا)‪ (۶.١١‬ﺑﺼﻮرت‬ ‫[]‬ ‫]‬ ‫‪] [ 1‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪yˆ x‬‬ ‫‪b1 b21‬‬ ‫=‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪yˆ y‬‬ ‫‪b12 b22‬‬



‫‪xˆ x‬‬ ‫‪xˆy‬‬



‫[‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ اﯾﻦ دﺳﺘ ﺎه‬ ‫) ‪(٩.١١‬‬



‫) ‪( xˆ, yˆ ) = (b11 x + b12 y + c1 , b21 x + b22 y + c2‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪١٧٧‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬



‫ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ‬



‫‪ .٢.١١‬ﭼ ﻮﻧ‬



‫در اﯾﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ‪ ،‬ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ راﺑﻄﻪ )‪ (٩.١١‬را ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﻓﺎﮐﺘﻮرﮔﯿﺮی از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﺳﺎده ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪ .‬اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎی‬ ‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ Xˆ 1‬و ‪ Xˆ 2‬ﺛﺎﺑﺘﻬﺎی دﻟﺨﻮاﻫ را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺑﻪ ˆ‪ x‬و ˆ‪ y‬ﻣ اﻓﺰاﯾﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮ اﯾﻦ ﻻزم اﺳﺖ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎی‬ ‫) ‪(١٠.١١‬‬



‫‪( xˆ, yˆ ) = (b11 x + b12 y, b21 x + b22 y),‬‬



‫ﺑﭙﺮدازﯾﻢ‪ ،‬زﯾﺮا ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﺑﺎﻗﯿﻤﺎﻧﺪه ﺗﻮﺳﻂ اﯾﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎ ﺑﺎ ﺑ ﺎرﮔﯿﺮی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪ .‬ﻫﺮ ﺗﻘﺎرن‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑﺮای ﻣﺎﺗﺮﯾﺴ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ B‬ﺑﻔﺮم )‪ (١٠.١١‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ )ﺑﺎﺗﻘﺮﯾﺐ ﻫﻢ ارزی ﺗﺤﺖ اﻧﺘﻘﺎﻟﻬﺎ(‪ .‬ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲﻫﺎی ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‪ ،‬راﺑﻄﻪ )‪ (١٠.١١‬را در ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺟﺎﻧﺸﯿﻦ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪:‬‬ ‫‪yˆ ′′ = tan yˆ ′ .‬‬



‫) ‪(١١.١١‬‬



‫ﻫﻨ ﺎﻣﯿ ﻪ‬



‫‪y′′ = tan y′‬‬



‫از ﻓﺮﻣﻮل اﻣﺘﺪاددﻫ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪:‬‬ ‫‪b21 + b22 y′‬‬



‫ﮐﻪ‬



‫‪,‬‬ ‫‪b11 + b12 y′‬‬ ‫‪Jy′′‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪(b11 + b12 y′ )3‬‬



‫‪J ≡ det(B) , 0‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺑﺼﻮرت‬



‫=‬



‫‪yˆ ′‬‬



‫=‬



‫‪yˆ ′′‬‬



‫‪ 2 2 ′‬‬ ‫‪ b + b y ‬‬ ‫‪J tan y′‬‬ ‫‪= tan  11 21 ′ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪(b1 + b2 y‬‬ ‫‪b1 + b2 y‬‬



‫) ‪(١٢.١١‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺎ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞﮔﯿﺮی از راﺑﻄﻪ )‪ (١٢.١١‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ y′‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 2 ′ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ b1 + b2 y ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪(b1 + b2 y‬‬ ‫‪b1 + b2 y ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪J 2 tan2 y′ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫) ‪. (١٣.١١‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪(b + b y‬‬ ‫‪(b + b y ) ‬‬ ‫‪2‬‬



‫‪1‬‬



‫‪2‬‬



‫=‬



‫‪J(1 + tan2 y′ ) 3b12 J tan y′‬‬ ‫‪− 1 1 ′4‬‬ ‫‪(b11 + b12 y′ )3‬‬ ‫) ‪(b1 + b2 y‬‬



‫=‬



‫‪1‬‬



‫اﮔﺮ ‪ b12‬ﻧﺎﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬راﺑﻄﻪ )‪ (١٣.١١‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺟﺒﺮی ﺑﺮای ‪ tan y′‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ‪ y′‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺮای‬ ‫‪ tan‬ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻌ ﻏﯿﺮ ﺟﺒﺮی اﺳﺖ اﯾﻦ ﻣﻄﻠﺐ ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺪﯾﻨﺼﻮرت ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ ، b12 = 0‬ﻣﻨﺠﺮ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪ b11 = 1‬و ‪ b22 = α ∈ − 1, 1‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫از اﯾﻨﺮو )‪ (١٢.١١‬ﺑﻪ‬ ‫) ‪α tan y′ = tan (αy′ + b21‬‬ ‫ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﻟﺬا ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻧﺎﻫﻢ ارز ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫) ‪(١۴.١١‬‬



‫‪q ∈ Z.‬‬



‫{‬ ‫}‬ ‫‪α ∈ − 1, 1 ,‬‬



‫‪( xˆ, yˆ ) = (x, αy + qπx),‬‬



‫اﯾﻦ ﻣﺜﺎل روش ﭘﺎﯾﻪای را ﺷﺮح ﻣ دﻫﺪ‪ .‬اﮔﺮ ‪ L‬ﺑﺎ ﺑﻌﺪ ﮐﻢ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻣﻌﻤﻮﻻ ﺑﻄﻮر ﻣﻨﻈﻢ و راﺣﺖ‬ ‫اﻧﺠﺎم ﻣ ﮔﯿﺮﻧﺪ‪) .‬ﺑﺮای اﯾﻨ ﻪ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت را ﺗﺎ ﺣﺪ اﻣ ﺎن ﺳﺎده ﻧﻤﺎﺋﯿﻢ‪ ،‬ﺑﺎ ﻣﺨﺘﺼﺎﺗ ﮐﻪ ﺑﺮای ﯾ ﻣﻮﻟﺪ‬ ‫‪١٧٨‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬



‫‪ .٣.١١‬ﻃﺒﻘﻪ ﺑﻨﺪی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬



‫ﮐﺎﻧﻮﻧ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪،‬ﮐﺎر ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ(‪ .‬ﺗﻌﺪاد ﺿﺮاﯾﺐ ﻧﺎﻣﻌﻠﻮم ‪ bli‬ﺑﻪ ﺳﺮﻋﺖ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ R‬اﻓﺰاﯾﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﻨﺪ؛ اﮔﺮ ‪ L‬آﺑﻠ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ و ‪ ،R > 2‬از ﺟﺒﺮ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮی ﺑﺎﯾﺪ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد‪ .‬اﮔﺮ ‪ L‬ﻏﯿﺮ آﺑﻠ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬اﮔﺮﭼﻪ‪ ،‬ﻓﺎﮐﺘﻮرﮔﯿﺮی از‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﭘﯿﺶ از ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت )‪ (۶.١١‬اﻣ ﺎﻧﭙﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﻧﻮﻋﺎً‪ ،‬اﯾﻦ ‪ ،‬ﺗﻌﺪاد ﺿﺮاﯾﺐ ﻧﺎﺻﻔﺮ در ‪ B‬را از‬ ‫‪ R2‬ﺑﻪ ‪ R‬ﮐﺎﻫﺶ ﻣ دﻫﺪ‪ .‬آﻧ ﺎه ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﮐﻪ‪ R‬در آﻧﻬﺎ ﮐﻮﭼ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺎ‬ ‫ﮐﻤ ﺗﻼش ﺑﯿﺸﺘﺮ از آﻧﭽﻪ ﺑﺮای ﻣﻌﯿﻦ ﻧﻤﻮدن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻻزم اﺳﺖ اﻣ ﺎﻧﭙﺬﯾﺮ ﻣ ﮔﺮدد‪ .‬اﺳﺎﺳﺎً‪ B ،‬ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫روش ﻣﺸﺎﺑﻬ ﮐﻪ در ‪ §2.10‬ﺑﺮای ﻃﺒﻘﻪ ﺑﻨﺪی ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﮔﺮوﻫﻬﺎی ﺗﻘﺎرﻧ ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺑ ﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪﺷﺪ‪،‬‬ ‫ﺳﺎده ﻣ ﮔﺮدد‪ .‬اﮐﻨﻮن اﯾﻦ ﻣﻄﻠﺐ را ﺑﺎ ﺟﺰﺋﯿﺎت ﺑﺮای ﻣﻮاﺟﻪ ﺷﺪن ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﮐﻪ در آﻧﻬﺎ ‪R > 2‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺮرﺳ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪٣.١١‬‬



‫ﻃﺒﻘﻪ ﺑﻨﺪی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬



‫اﮔﺮ‪ L‬ﻏﯿﺮ آﺑﻠ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧ ﺎه ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ‬ ‫) ‪(١۵.١١‬‬



‫از ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮﻫﺎی‪:‬‬ ‫‪[Xi , X j ] = ckij Xk‬‬



‫ﻧﺎﺻﻔﺮ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ ﺑﻪ ﮐﻼﺳﻬﺎی ﻫﻢ ارزی )ﺑﺎ ﺑﯿﺶ از ﯾ‬ ‫ﺑﺮای ﺳﺎده ﻧﻤﻮدن ‪ B‬ﺑﺎﯾﺪ ﺑ ﺎر ﺑﺒﺮﯾﻢ‪ .‬ﯾﺎدآوری ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ‪ Xi‬ﺑﺎ‬



‫ﻋﻀﻮ( ﺗﻌﻠﻖ ﻣ ﮔﯿﺮﻧﺪ ﮐﻪ آﻧﻬﺎ را‬



‫‪p‬‬ ‫‪X˜ i = (A( j, ε))i X p ,‬‬



‫ﺗﺤﺖ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ X j‬ﻫﻢارز ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ راﺑﻄﻪ )‪ (۴.١١‬را ﺑﺼﻮرت‬ ‫) ‪(١۶.١١‬‬



‫‪X˜ i = b˜ li Xˆ l ,‬‬



‫ﮐﻪ‬ ‫‪p‬‬ ‫‪b˜ li = (A( j, ε))i blp‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﻧﻤﺎﺋﯿﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪ (١۶.١١‬ﺑﺎ‬ ‫) ‪(١٧.١١‬‬



‫‪Xi = b˜ li Xˆ l‬‬



‫ﻫﻢ ارز ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ‪ ،‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی ˜‪ z‬از راﺑﻄﻪ )‪ (۶.١١‬ﺑﺎ ﺟﻮاﺑﻬﺎی‬ ‫) ‪(١٨.١١‬‬



‫‪∂ˆz s ˜ l s‬‬ ‫)‪= bi ζl (˜z‬‬ ‫‪∂zr‬‬



‫)‪ζir (z‬‬



‫ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ در ﮔﺮوه ﯾ ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X j‬ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣ ﮔﺮدد‪ .‬ﺑﻌﺒﺎرت دﯾ ﺮ‪ B ،‬ﺑﺎ ﺧﺎﻧﻮاده‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺴﻬﺎی ‪ A( j, ε)B‬ﻫﻢ ارز ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻓﺎﮐﺘﻮر ﮔﯿﺮی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ ،X j‬راﺑﻄﻪ‬ ‫)‪ (١٨.١١‬را ﻓﻘﻂ ﺑﺮای ﯾ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ )ﺳﺎده( در اﯾﻦ ﺧﺎﻧﻮاده ﺣﻞ ﻣ ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪ .‬اﻏﻠﺐ‪ ،‬ﯾ ﯾﺎ ﭼﻨﺪ ﻋﻀﻮ‬ ‫‪ B‬را ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﺎ ﺻﻔﺮﺟﺎﯾ ﺰﯾﻦ ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ ‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ‪ ،‬ﻣﻮﻟﺪ ‪ Xˆ l‬ﺑﺎ ‪ (A( j, ε))l Xˆ p‬ﺗﺤﺖ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ Xˆ j‬ﻫﻢ ارز ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻟﺬا‪،‬‬ ‫ﺑﺎ اﺳﺘﺪﻻل ﻣﺸﺎﺑﻪ آﻧﭽﻪ در ﺑﺎﻻ ذﮐﺮ ﮔﺮدﯾﺪ‪ B ،‬ﻫﻢ ارز ﺑﺎ )‪ BA( j, ε‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬از اﯾﻦ ﭘﺲ از ﻋﺒﺎرت ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﻫﻢ ارزی ﺑﺮای ﺑﯿﺎن ﺟﺎﻧﺸﯿﻨ ‪ B‬ﺗﻮﺳﻂ ﯾ از اﯾﻦ دو ﯾﻌﻨ )‪ BA( j, ε‬ﯾﺎ‪ A( j, ε)B‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪١٧٩‬‬



‫‪ .٣.١١‬ﻃﺒﻘﻪ ﺑﻨﺪی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬



‫ﺑﺮای ﺟﺒﺮﻫﺎی ﻟ آﺑﻠ ‪ ،‬اﻋﻀﺎی ‪ B‬ﻧﺎﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﭼﻨﯿﻦ ﺣ ﻤ ﺑﺮای ﺟﺒﺮﻫﺎی ﻟ ﻏﯿﺮ آﺑﻠ ﺑﺮﻗﺮار‬ ‫ﻧﻤ ﺑﺎﺷﺪ و ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﯿﻦ اﻋﻀﺎ ﯾ راﺑﻄﻪ ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﻢ‪ .‬اﯾﻦ رواﺑﻄ ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻫﻢ ارزی ﻣﻌﻤﻮﻻ ﻣﺎ‬ ‫را ﻗﺎدر ﺑﻪ ﮐﺎﻫﺶ ‪ B‬ﺑﻪ ﻓﺮﻣﻬﺎی ﺳﺎدهﺗﺮ ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرﻧ ‪ Xˆ i‬در رواﺑﻂ ﺟﺎﺑﺠﺎﯾ ﻣﺸﺎﺑﻪ‪ ،‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ Xi‬ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪ ،‬زﯾﺮا ﻫﺮ ‪ Xˆ i‬ﺻﺮﻓﺎً از ‪ Xi‬ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ‬ ‫ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری ‪ z‬ﺑﺎ ˆ‪ z‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی‬ ‫‪X2 = x∂ x‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫دارای ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮ‬ ‫‪[X1 , X2 ] = [∂ x , x∂ x ] = ∂ x = X1‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ ‪ Xˆ 1‬و ‪ Xˆ 2‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮔﺮدﻧﺪ‪ ،‬ﺑﺎ ﺟﺎﻧﺸﯿﻨ ˆ‪ x‬ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ ،x‬آﻧ ﺎه‬ ‫‪[Xˆ 1 , Xˆ 2 ] = [∂ xˆ , xˆ∂ xˆ ] = ∂ xˆ = Xˆ 1‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻟﺬا ﺛﺎﺑﺘﻬﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮ ﯾﺎﯾﻪ‪ ،‬ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻧﻤ ﮐﻨﻨﺪ‪ .‬در ﺣﺎﻟﺖ ﮐﻠ ‪ ،‬ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺻﺤﯿ‬ ‫اﺳﺖ؛ اﮔﺮ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ‪ Xi‬در راﺑﻄﻪ )‪ (١۵.١١‬ﺻﺪق ﻧﻤﺎﯾﻨﺪ‪ ،‬آﻧ ﺎه‬ ‫) ‪(١٩.١١‬‬



‫‪[Xˆ i , Xˆ j ] = ckij Xˆ k‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪).‬ﺑﺎﻫﻤﺎن ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری (‪ .‬اﮐﻨﻮن ‪ Xi = bli Xˆ l‬را در )‪ (١۵.١١‬ﺟﺎﻧﺸﯿﻦ ﻣ ﻧﻤﺎﺋﯿﻢ ﺗﺎ ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪bli bmj [Xˆ l , Xˆ m ] = ckij bnk Xˆ n .‬‬ ‫ﺳﭙﺲ راﺑﻄﻪ )‪ (١٩.١١‬ﺑﻪ اﺗﺤﺎد ﻣﻔﯿﺪ‬ ‫) ‪(٢٠.١١‬‬



‫‪cnlm bli bmj = ckij bnk‬‬



‫ﻣﻨﺘﻬ ﻣ ﮔﺮدد‪.‬‬ ‫اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺤﺪودﯾﺘﻬﺎی ﻏﯿﺮ ﺧﻄ روی اﻋﻀﺎی ‪ B‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻣﺤﺪودﯾﺖﻫﺎﯾ ﺑﺎ ‪ i ≥ j‬ﻟﺰوﻣﺎً ﻣﺸﺎﺑﻪ‬ ‫آﻧﻬﺎﯾ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ ‪ i < j‬اﺳﺖ )اﺛﺒﺎت اﯾﻦ ﻣﻄﻠﺐ را ﺑﻌﻨﻮان ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺑﺎﻗ ﻣ ﮔﺬارﯾﻢ(‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﻮﺟﻬﻤﺎن‬ ‫را ﺑﻪ ﻣﺤﺪودﯾﺘﻬﺎی )‪ (٢٠.١١‬ﺑﺮای آﻧﻬﺎﯾ ﮐﻪ ‪ i < j‬اﺳﺖ ﻣﺤﺪود ﻣ ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪ .‬ﻣﺤﺪودﯾﺘﻬﺎ ﺗﻮﺳﻂ ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﻫﻢ ارزی دﻟﺨﻮاه ﺗﺎﺛﯿﺮ ﻧﻤ ﭘﺬﯾﺮﻧﺪ‪) .‬ﺑﺎردﯾ ﺮ‪ ،‬ﺑﺮﻫﺎن را ﺑﻌﻨﻮان ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺑﺎﻗ ﻣ ﮔﺬارﯾﻢ(‪ .‬ﺑﻌﻼوه‪،‬ﻣﺮﺗﺒﻪ ای‬ ‫ﮐﻪ در ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﻫﺎ )‪ A(j،ε‬اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه‪ ،‬ﺗﺎﺛﯿﺮی در ﻃﺒﻘﻪ ﺑﻨﺪی ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ‪ B‬ﻧﺪارد‪ .‬ﻫﺮ راﺑﻄﻪ ﺗﺮﺗﯿﺒ ﻓﺮم‬ ‫ﻧﻬﺎﯾ ﻣﺸﺎﺑﻬ را ﻣ دﻫﺪ‪ ،‬ﻣﺸﺮوط ﺑﻪ اﯾﻨ ﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی ‪ ε‬ﻣﻨﺎﺳﺐ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ از‬ ‫ﻣﺤﺪودﯾﺘﻬﺎ و ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻫﻢارزی در ﻫﺮ ﻣﺮﺗﺒﻪای ﮐﻪ ﻣﻨﺎﺳﺐﺗﺮ اﺳﺖ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪.‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪ ٢.١١‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﯾ ﺟﺒﺮ ﻟ ﻏﯿﺮآﺑﻠ دو ﺑﻌﺪی )‪ a(1‬ﺑﺎ ﭘﺎﯾﻪ ‪ X1 , X2‬در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ﺑﻪ ﻗﺴﻤ ﮐﻪ‬ ‫‪ [X1 , X2 ] = X1‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ ﺛﺎﺑﺘﻬﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری ﻧﺎﺻﻔﺮ‬ ‫) ‪(٢١.١١‬‬



‫‪c121 = −1‬‬



‫‪c112 = 1,‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻣﺤﺪودﯾﺘﻬﺎی )‪ (٢٠.١١‬ﺑﺎ)‪(i < j‬‬ ‫‪(i, j, n) = (1, 2, 1),‬‬



‫‪b11 b22 − b21 b12 = b11 ,‬‬



‫‪(i, j, n) = (1, 2, 2),‬‬



‫‪b21 ,‬‬



‫‪١٨٠‬‬



‫=‪0‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬



‫‪ .٣.١١‬ﻃﺒﻘﻪ ﺑﻨﺪی ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )ﺑﺨﺎﻃﺮ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﺪ ﮐﻪ ‪ B‬ﻧﺎﻣﻨﻔﺮد اﺳﺖ (‬ ‫‪[ 1‬‬ ‫]‬ ‫‪b1 0‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪b11 , 0‬‬ ‫) ‪(٢٢.١١‬‬ ‫‪b12 1‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫اﮐﻨﻮن ﺳﻌ ﻣ ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ ﺗﺎ‪ B‬را ﺗﻮﺳﻂ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﺒﺪﯾﻼت ﻫﻢ ارزی ﺳﺎدهﺗﺮ ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪ .‬ﻣﺎﺗﺮﯾﺴﻬﺎی = )‪A( j, ε‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫)‪ exp εC( j‬ﺑﺼﻮرت‬ ‫]‬ ‫) ‪(٢٣.١١‬‬



‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪eε‬‬ ‫‪0‬‬



‫[‬



‫]‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪−ε 1‬‬



‫= )‪A(2, ε‬‬



‫[‬ ‫= )‪A(1, ε‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬از ﭘﺲ ﺿﺮب ‪ B‬ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ )‪ A(1, ε‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫]‬



‫‪b11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪b12 − ε 1‬‬



‫[‬ ‫= )‪BA(1, ε‬‬



‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ‪ ε = b12‬ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ‪ b12‬را ﺑﺎ ﺻﻔﺮ ﺗﻌﻮﯾﺾ ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪ .‬آﻧ ﺎه‬ ‫]‬ ‫‪0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪eε b11‬‬ ‫‪0‬‬



‫[‬ ‫= )‪BA(2, ε‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﻗﺮار دادن | ‪ ε = − ln | b11‬آﻧﺮا ﺳﺎده ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻄﻠﺐ ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ ﺑﺎ اﯾﻨ ﻪ ‪ b11‬را ﺑﺎ‬ ‫‪ ±1‬ﻋﻮض ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪ .‬ﺳﺎدهﺗﺮ ﻧﻤﻮدن ﺑﯿﺸﺘﺮ اﻣ ﺎﻧﭙﺬﯾﺮ ﻧﻤ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻟﺬا ﺑﺎ دو ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﻏﯿﺮﻫﻢ ارز روﺑﺮو ﻫﺴﺘﯿﻢ‪:‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪ α ∈ − 1, 1 .‬ﮐﻪ‬



‫) ‪(٢۴.١١‬‬



‫]‬



‫‪α 0‬‬ ‫‪0 1‬‬



‫[‬ ‫=‪B‬‬



‫ﺗﻮﺟﻪ‪ :‬دﻗﯿﻘﺎً ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﺸﺎﺑﻬ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﭘﺲ ﺿﺮب راﺑﻄﻪ )‪ (٢٢.١١‬ﺗﻮﺳﻂ )‪ A( j, ε‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ ،‬اﮔﺮﭼﻪ ﻻزم‬ ‫اﺳﺖ اﻧﺘﺨﺎبﻫﺎی ﻣﺘﻔﺎوﺗ از ‪ ε‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪ ٣.١١‬ﻣﺜﺎل‪ .‬در اﯾﻦ ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﻣﺎﺗﺮﯾﺴﻬﺎﯾﻐﯿﺮﻫﻢ ارز ‪ B‬ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ )‪ sl(2‬را ﯾ‬ ‫ﭘﺎﯾﻪﻫﺎی ﻣﻌﻤﻮل ﮐﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺛﺎﺑﺖﻫﺎی ﺳﺎﺧﺘﺎری ﻧﺎﺻﻔﺮﺷﺎن‬ ‫) ‪(٢۵.١١‬‬



‫‪c223 = −c332 = 1‬‬



‫‪c213 = −c231 = 2,‬‬



‫در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﺑﺎﯾﺪ ﺑﺎ‬



‫‪c112 = −c121 = 1,‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﺎر ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮ راﺑﻄﻪ )‪ (٣.١٠‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫) ‪(٢۶.١١‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ,‬‬



‫‪0 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪0 e−ε‬‬



‫‪ ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0  , A(2, ε) =  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−2ε 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1 2ε ε ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A(3, ε) =  0 1 ε  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫‪١٨١‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A(1, ε) =  −ε‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ε‬‬



‫‪ .۴.١١‬ﻣﺜﺎﻟﻬﺎ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫ﻣﺤﺪودﯾﺘﻬﺎی )‪ (١١.٢٠‬ﺑﺴﯿﺎر ﭘﯿﭽﯿﺪه ﻫﺴﺘﻨﺪ‪) ،‬زﯾﺮا )‪ sl(2‬ﯾ‬ ‫ﻣﺤﺪودﯾﺘﻬﺎ ﺑﺎ ‪ n = 1‬ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫) ‪(٢٧.١١‬‬



‫‪= b11 ,‬‬



‫) ‪(٢٨.١١‬‬



‫‪2b12 ,‬‬ ‫‪b13 .‬‬



‫) ‪(٢٩.١١‬‬



‫=‬ ‫=‬



‫ﺟﺒﺮ ﻟ ﺳﺎده ﻣ ﺑﺎﺷﺪ(‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‪،‬‬



‫‪b11 b22 − b21 b12‬‬ ‫‪b11 b23 − b21 b13‬‬ ‫‪b12 b23 − b22 b13‬‬



‫)ﯾﺎﻓﺘﻦ و ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻣﺤﺪودﯾﺘﻬﺎی دﯾ ﺮ را ﺑﻪ ﺧﻮاﻧﻨﺪه واﮔﺬار ﻣ ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ (‪ .‬اﮔﺮ‪ b11 , 0‬ﺑﺎﺷﺪ‪ B ،‬را ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫‪b1‬‬



‫) ‪ A(1, b21‬ﭘﯿﺶ ﺿﺮب ﻣ ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ ﮐﻪ ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری ‪ b12 = 0‬ﻣﻌﺎدل ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬آﻧ ﺎه از راﺑﻄﻪ )‪ (٢٧.١١‬ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫‪1‬‬



‫ﻣ آﯾﺪ‪ b22 = 1:‬و ﻟﺬا اﮔﺮ ‪ b13 = 0‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬راﺑﻄﻪ )‪ (٢٩.١١‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ از )‪ (٢٨.١١‬ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫ﻣ آﯾﺪ ﮐﻪ ‪ b23 = 0‬اﺳﺖ‪ .‬ﺗﺎ اﯾﻨﺠﺎ‪ B ،‬را ﺑﻪ ﻓﺮم‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫) ‪(٣٠.١١‬‬



‫‪b31‬‬ ‫‪b32‬‬ ‫‪b33‬‬



‫‪b21‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬



‫‪ 1‬‬ ‫‪ b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B =  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬



‫ﮐﺎﻫﺶ دادﯾﻢ‪.‬‬ ‫‪−b21‬‬



‫ﺳﭙﺲ راﺑﻄﻪ )‪ (٣٠.١١‬را ﺗﻮﺳﻂ ) ) ‪ A(3, (2b1‬ﺑﺮای ﻗﺮار دادن ‪ b21 = 0‬ﭘﺲ ﺿﺮب ﻣ ﻧﻤﺎﯾﯿﻢ‪ .‬آﻧ ﺎه ﻧﺘﯿﺠﻪ‬ ‫‪1‬‬



‫ﺣﺎﺻﻞ ﺷﺪه اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ اﺑﻬﺎﻣﺎت ﺑﺎﻗﯿﻤﺎﻧﺪه )‪ (٢٠.١١‬ﺻﺎدق ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ‪ b31 = b32 = 0‬و‬



‫‪1‬‬ ‫‪b11‬‬



‫= ‪.b33‬‬



‫در ﻧﻬﺎﯾﺖ‪ B ،‬را ﺗﻮﺳﻂ )| ‪ A(2, − ln | b11‬ﭘﯿﺶ ﺿﺮب ﻧﻤﻮده ﺗﺎ دو ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﻏﯿﺮﻫﻢ ارز ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﻢ‪:‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪α ∈ − 1, 1‬‬



‫) ‪(٣١.١١‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ,‬‬



‫‪‬‬ ‫‪ α 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B =  0 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 α‬‬



‫ﺗﻨﻬﺎ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺎﻗﯿﻤﺎﻧﺪه‪ b11 = 0‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﺑ ﺎر ﺑﺮدن روش ﻣﺸﺎﺑﻪ روش ﻓﻮق‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 α ‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪(٣٢.١١‬‬ ‫‪B =  0 −1 0  , α ∈ − 1, 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪α 0 0‬‬ ‫را ﻣ ﯾﺎﺑﯿﻢ‪ .‬ﻟﺬا ‪ ۴‬ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﺟﺪا از ﻫﻢ ‪ B‬ﻣﻮﺟﻮدﻧﺪ ﮐﻪ ﺗﺤﺖ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻏﯿﺮﻫﻢ ارز ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬



‫ﺑﺨﺶ ‪۴.١١‬‬



‫ﻣﺜﺎﻟﻬﺎ‬



‫ﺗﻤﺎﻣ ﻧﺘﺎﯾ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه در ﺑﺨﺶ ﻗﺒﻞ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﺟﺒﺮ ﻟ ﻣﻔﺮوض ﺑﺴﺘ‬



‫دارﻧﺪ‪).‬ﻧﻪ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺧﺎﺻ‬



‫(‪ .‬ﻓﺎﯾﺪه ﭼﻨﯿﻦ ﻧﺘﺎﯾ ﮐﻠ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎً ﺑﺮای ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﮐﻪ دارای ﺟﺒﺮﻟ‬ ‫اﺳﺖ ﺑ ﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬از ﯾ ﻃﺮف‪ ،‬ﻫﺮ ‪ B‬ﻏﯿﺮﻫﻢ ارز ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﺑﯿﺶ از ﯾ ﺗﻘﺎرن ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺧﺎﺻ ﻣﻨﺘﻬ ﮔﺮدد‪.‬‬ ‫از ﻃﺮف دﯾ ﺮ‪ ،‬ﺑﺮﺧ از ﻣﺎﺗﺮﯾﺲﻫﺎی ‪ B‬ﮐﻪ در ﻣﺤﺪودﯾﺘﻬﺎی )‪ (٢٠.١١‬ﺻﺪق ﻣ ﻧﻤﺎﯾﻨﺪ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺣﺘ ﯾ ﺗﻘﺎرن ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﺑﺨﺶ را ﺑﺎ ﺳﻪ ﻣﺜﺎل ﺑﺮای ﻧﻤﺎﯾﺶ ﭼ ﻮﻧ ﻋﻤﻠ ﺮد اﯾﻦ‬ ‫روش ﺑﻪ ﭘﺎﯾﺎن ﻣ رﺳﺎﻧﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪١٨٢‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬



‫‪ .۴.١١‬ﻣﺜﺎﻟﻬﺎ‬ ‫‪ ۴.١١‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫‪y′′2 y′′‬‬ ‫‪− ′‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬



‫) ‪(٣٣.١١‬‬



‫= ‪y′′′‬‬



‫را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ﮐﻪ ﺟﺒﺮ ﻟ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای آن دارای ﭘﺎﯾﻪ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x∂ x + y∂y‬‬ ‫‪2‬‬



‫) ‪(٣۴.١١‬‬



‫= ‪X2‬‬



‫‪X1 = ∂y ,‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در اﯾﻦ ﭘﺎﯾﻪ‪ ،[X1 , X2 ] = X1 ،‬ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ )ﻣﺜﺎل ‪ (١١.٣.١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻏﯿﺮﻫﻢ ارز در‬ ‫[‬ ‫[ ]‬ ‫[]‬ ‫[ ]‬ ‫]‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 α‬‬ ‫ˆ‪X1 xˆ X1 y‬‬ ‫‪α 0‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ˆ‪X2 xˆ X2 y‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫ˆ‪2 xˆ y‬‬ ‫ˆ‪2 xˆ y‬‬ ‫ﮐﻪ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ آن ﺑﺼﻮرت‬ ‫}‬ ‫‪α ∈ − 1, 1‬‬ ‫) ‪(٣۵.١١‬‬ ‫{‬



‫‪yˆ = αy + c2 x2 ,‬‬



‫‪xˆ = c1 x,‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺻﺪق ﻣ ﻧﻤﺎﯾﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ ‪ αc21 = 1‬و ‪ c2 = 0‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬از اﯾﻨﺮو‪ ،‬ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺣﻘﯿﻘ ﻣﻘﺪار )ﺑﺎ ﺗﻘﺮﯾﺐ ﻫﻢ ارزی (‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫) ‪(٣۶.١١‬‬ ‫)‪( xˆ, yˆ ) ∈ (x, y), (−x, y‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻫﺮ دو اﯾﻨﻬﺎ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ‪ α = 1‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺣﻘﯿﻘ ‪-‬ﻣﻘﺪار ﺑﺎ ‪ α = −1‬وﺟﻮد ﻧﺪارﻧﺪ‪).‬ﮔﺮﭼﻪ‬ ‫دو ﺗﻘﺎرن ﻣﺨﺘﻠﻂ‪-‬ﻣﻘﺪار ﻏﯿﺮﻫﻢ ارز ﻣﻮﺟﻮدﻧﺪ(‪.‬‬ ‫‪ ۵.١١‬ﻣﺜﺎل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﭼﺰی‬ ‫) ‪(٣٧.١١‬‬



‫‪y′′′ = 2yy′′ − 3y′2 + λ(6y′ − y2 )2 ,‬‬



‫دارای ﭘﺎﯾﻪ ذﯾﻞ ﺑﺮای ﺟﺒﺮ ﻟ اش ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(٣٨.١١‬‬



‫‪X2 = x∂ x − y∂y ,‬‬



‫‪X3 = x2 ∂ x − (2xy + 6)∂y .‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫ﺟﺎﺑﺠﺎﮔﺮﻫﺎی اﯾﻦ ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬ ‫‪[X2 , X3 ] = X3‬‬



‫‪[X1 , X3 ] = 2x2 ,‬‬



‫وﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺟﺒﺮ ﻟ )‪ sl(2‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﭼﺰی ‪ ،‬دﺳﺘ ﺎه )‪ (۶.١١‬ﺑﺼﻮرت‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪x‬‬ ‫‪−ˆy‬‬ ‫) ‪(٣٩.١١‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪xˆ2 −2( xˆyˆ + 6‬‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ = B ‬‬



‫ˆ‪X1 y‬‬ ‫ˆ‪X2 y‬‬ ‫ˆ‪X3 y‬‬



‫‪[X1 , X2 ] = X1 ,‬‬



‫‪‬‬ ‫ˆ‪ X1 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪ X2 x‬‬ ‫ˆ‪X3 x‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ‪ B‬ﯾ از ﭼﻬﺎر ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ )‪ (٣١.١١‬و )‪ (٣٢.١١‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻄﻠﺐ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ دو ﺟﻮاب‬ ‫از راﺑﻄﻪ )‪ (٣٩.١١‬ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ B‬وﺟﻮد دارد‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‪ ،‬اﮔﺮ ‪ B‬ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﻫﻤﺎﻧ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧ ﺎه‬ ‫})‬ ‫{‬ ‫(‬ ‫‪6‬‬ ‫‪( xˆ, yˆ ) ∈ (x, y), x + , −y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪١٨٣‬‬



‫‪ .۴.١١‬ﻣﺜﺎﻟﻬﺎ‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﮔﺮﭼﻪ‪ ،‬ﺗﻨﻬﺎ ﯾ از اﯾﻨﻬﺎ ﺗﻘﺎرن ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﭼﺰی ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺟﻮاب دﯾ ﺮ ﻧﻘﺾ ﮐﻨﻨﺪه ﺷﺮط ﺗﻘﺎرﻧ‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻫﺮ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ‪ B‬دﻗﯿﻘﺎً ﯾ ﺗﻘﺎرن ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﭼﺰی را ﻣﺸﺨﺺ ﻣ ﻧﻤﺎﯾﺪ‪ .‬ﻟﯿﺴﺖ ﮐﺎﻣﻞ ﺑﺼﻮرت‬ ‫ذﯾﻞ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(۴٠.١١‬‬



‫( )‬ ‫})‬ ‫{‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1 2‬‬ ‫‪, x y + 6x , , −(x2 y + 6x) .‬‬ ‫‪( xˆ, yˆ ) ∈ (x, y), (−x, −y),‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬



‫‪ ۶.١١‬ﻣﺜﺎل‪ .‬روش ﻓﻮق ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋ و ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻻت و‬ ‫دﺳﺘ ﺎﻫﻬﺎی اﺳ ﺎﻟﺮ ﮐﺎرآﻣﺪ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻫﺮی‪-‬دﯾﻢ‬ ‫) ‪(۴١.١١‬‬



‫‪ut = u3 u xxx ,‬‬



‫را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ﮐﻪ دارای ﺟﺒﺮ ﻟ ‪ ۵‬ﺑﻌﺪی ازﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺎﯾﻪ‬ ‫‪X2 = x∂ x + u∂u ,‬‬



‫‪X3 = x2 ∂ x + 2xu∂u ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X5 = t∂t − u∂u ,‬‬ ‫‪3‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫‪X4 = ∂t ,‬‬



‫دارای ﺿﺮاﯾﺐ ﺳﺎﺧﺘﺎری ﻧﺎﺻﻔﺮ ‪ i < j ،ckij‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫‪c445 = 1.‬‬



‫‪c323 = 1,‬‬



‫‪c213 = 2,‬‬



‫‪c112 = 1,‬‬



‫ﺗﻮﺟﻪ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ ﮐﻪ ﺳﻪ ﻣﻮﻟﺪ اول ﺗﺸ ﯿﻞ ﯾ ﭘﺎﯾﻪ ﺑﺮای زﯾﺮ ﺟﺒﺮ )‪ sl(2‬ﻣ دﻫﻨﺪ و دو ﻣﻮﻟﺪ دﯾ ﺮ زﯾﺮ ﺟﺒﺮ )‪a(1‬‬ ‫را ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻄﻠﺐ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲﻫﺎی ﻏﯿﺮﻫﻢ ارز ‪ ،B‬ﻣﺎﺗﺮﯾﺲﻫﺎی )‪ sl(2‬و)‪ a(1‬را‬ ‫ﺑﻌﻨﻮان زﯾﺮ ﺑﻠﻮکﻫﺎ ﯾ در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮد‪ :‬ﯾ از اﯾﻦ دو‪ ،‬ﯾﻌﻨ‬ ‫) ‪(۴٢.١١‬‬



‫‪(X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ) = (αXˆ 1 , Xˆ 2 , αXˆ 3 , βXˆ 4 , Xˆ 5 ),‬‬



‫ﯾﺎ‬ ‫) ‪(۴٣.١١‬‬



‫‪(X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ) = (αXˆ 3 , −Xˆ 2 , αXˆ 1 , βXˆ 4 , Xˆ 5 ),‬‬



‫ﮐﻪ ‪ α, β‬ﯾ از اﯾﻦ دوﯾﻌﻨ ‪ ١‬ﯾﺎ‪ -١‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ راﺑﻄﻪ )‪ (۶.١١‬ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ )‪ (۴٢.١١‬ﺑﺼﻮرت‬ ‫)‪( xˆ, tˆ, uˆ ) = (αx, βt, cu‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺰﯾﻨ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻓﻮق در ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن‪ c = αβ ،‬را ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪ .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ‬ ‫)‪ (۴٣.١١‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ‪ .‬در ﺗﻤﺎﻣ اﯾﻨﻬﺎ ‪ ٨‬ﺗﻘﺎرن ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺣﻘﯿﻘ ﻏﯿﺮﻫﻢ ارز ﻣﻮﺟﻮد‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(۴۴.١١‬‬



‫{‬ ‫}‬ ‫‪α, β ∈ − 1, 1‬‬



‫{‬ ‫‪( −α‬‬ ‫}) ‪αβu‬‬ ‫‪, βt, 2 ,‬‬ ‫‪( xˆ, tˆ, uˆ ) ∈ (αx, βt, αβu),‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪١٨۴‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬



‫‪ .۴.١١‬ﻣﺜﺎﻟﻬﺎ‬



‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮ‬ ‫ﻗﻀﯿﻪ اﻧﺸﻌﺎب روﺷ را ﺷﺮح ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ در آن دﺳﺘ ﺎﻫﻬﺎی ﻏﯿﺮ ﺧﻄ رﻓﺘﺎرﺷﺎن را ﻣﺎﻧﻨﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎ ﺗﻐﯿﯿﺮ‬ ‫ﻣ دﻫﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای دﺳﺘ ﺎﻫﻬﺎ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ‪ ،‬ﻗﻀﯿﻪ اﻧﺸﻌﺎب ﻫﻢ ارزی‪ ،‬ﺑﺮای ﺑﺮرﺳ ﺗﺒﺎﻫﯿﺪﮔ ﻫﺎی ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺗﻘﺎرنﻫﺎ‬ ‫ﻻزم ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺷﺎﻓﺮ‪ ،‬ﮔﺎﻟﻮﺑﺘﺴ و اﺳﺘﯿﻮارد )‪ (١٩٨٨‬ﻣﻌﺮﻓ ﺟﺎﻣﻌ راﭘﯿﺮاﻣﻮن اﯾﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﺟﺎﻟﺐ اراﺋﻪ‬ ‫دادﻧﺪ‪.‬‬ ‫در ﺑﺨﺶ ‪ ٣.١١‬ﺑﻪ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪای از ﺗﺒﺪﯾﻼت ﺧﻄ ﺟﺒﺮﻟ ﭘﺮداﺧﺘﯿﻢ‪ .‬اﯾﻦ ﺗﺒﺪﯾﻼت ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ‪ B‬ﻧﻤﺎﯾﺶ داده ﻣ ﺷﻮﻧﺪ را ﺧﻮدرﯾﺨﺘ ﻫﺎ ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ‪ .‬ﺑﺮای اﻃﻼﻋﺎت ﺑﯿﺸﺘﺮ ﭘﯿﺮاﻣﻮن ﺟﺒﺮ ﻟ ﻫﺎ در‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ ﮐﻠ و ﺑﻮﯾﮋه ﺧﻮدرﯾﺨﺘ ﻫﺎ ﭘﯿﺸﻨﻬﺎد ﻣ ﺷﻮد ﺑﻪ ﻓﻮﺷﺲ و اوﻟﻮر )‪ (١٩٩٧‬رﺟﻮع ﺷﻮد‪().‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﭼﺰی دارای ﺧﻮاص ﻣﺘﻌﺪد ﺟﺎﻟﺒ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﻄﻮرﯾ ﻪ در ﮐﻼرﮐﺴﻮن و اوﻟﻮر )‪ (١٩٩۶‬ﺷﺮح‬ ‫داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ روشﻫﺎی اﺟﻤﺎﻟ ﺷﺮح داده ﺷﺪه در ﺑﺨﺶ ‪ ۶.٣‬را ﺑﺴﻂ داده و آﻧﻬﺎ را ﺑﺮای‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﭼﺰی ﺑ ﺎر ﻣ ﺑﻨﺪد‪.‬‬ ‫روﺷﻬﺎی ﺷﺮح داده ﺷﺪه در اﯾﻦ ﻓﺼﻞ ﺑﺴﯿﺎر ﺟﺪﯾﺪ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﯾﺎدﮔﯿﺮی ﺑﯿﺸﺘﺮ از ﻫﺎﯾﺪون )‪(١٩٨٨‬‬ ‫ﮐﻤ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪.‬‬



‫ﺗﻤﺮﯾﻦﻫﺎ‬ ‫‪ .١.١١‬ﯾ‬



‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺣﻘﯿﻘ ﻣﻘﺪار ﻏﯿﺮ ﻫﻢارز‬ ‫‪y′ 4y2‬‬ ‫‪+ 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬



‫= ‪y′′‬‬



‫ﮐﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ آن ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X1 = x∂ x + y∂y‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ راﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٢.١١‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﺤﺪودﯾﺘﻬﺎی )‪ (٢٠.١١‬ﺑﺎ ‪ i < j‬ﺑﺮای ﺷﺮح ﺗﻤﺎم ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ )ﯾﻌﻨ ‪ ،‬ﻣﺤﺪودﯾﺘﻬﺎ ﺑﺎ‬ ‫‪ i ≥ j‬ﻫﯿ ﭼﯿﺰ ﺟﺪﯾﺪی را ﻧﻤ دﻫﺪ( ﮐﺎﻓﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٣.١١‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻣﺤﺪودﯾﺘﻬﺎی )‪ (٢٠.١١‬اﮔﺮ ‪ B‬ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ A( j, ε)B‬ﯾﺎ )‪ BA( j, ε‬ﺟﺎﯾ ﺰﯾﻦ ﺷﻮﻧﺪ ﺗﻐﯿﯿﺮ‬ ‫ﻧﻤ ﮐﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫راﻫﻨﻤﺎﯾ ‪ :‬اﺑﺘﺪا ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ‬ ‫‪cnlm (A( j, ε))li (A( j, ε))mj = ckij (A( j, ε))nk .‬‬ ‫‪ .۴.١١‬ﻧﺘﺎﯾ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه در ﻣﺜﺎل ‪ ٣.١١‬را ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ﻧﻮﺷﺘﻦ )‪ (٩‬ﻣﺤﺪودﯾﺖ )‪ (٢٠.١١‬ﺑﺎ ﺟﺰﺋﯿﺎت اﺳﺘﺨﺮاج‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ .۵.١١‬ﯾ‬



‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﻣﺎﺗﺮﯾﺴﻬﺎی ﻏﯿﺮﻫﻢ ارز ‪ B‬را ﺑﺮای ﺟﺒﺮ ﻟ )‪ so(3‬ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬



‫‪ .۶.١١‬ﯾ‬



‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻏﯿﺮﻫﻢ ارز ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ )‪ (۵.٩‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬



‫‪ .٧.١١‬ﯾ‬



‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻏﯿﺮﻫﻢ ارز ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺮﮔﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬



‫‪ .٨.١١‬ﯾ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻏﯿﺮﻫﻢ ارز ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﺼﻔﯿﻪ ﻏﯿﺮ ﺧﻄ )‪ (٢۶.٩‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﺤﺖ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻫﻮدوﮔﺮاف‪ (x, t, u) → (u, t, x) ،‬ﻧﺎوردا ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﮔﺮ اﯾﻦ ﺗﺒﺪﯾﻞ در ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻧﺎﻫﻢ ارز ﺷﻤﺎ ﻧﻤ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﭼ ﻮﻧﻪ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ از ﯾ ﻋﻀﻮ اﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬ ‫اﺳﺘﺨﺮاج ﮔﺮدد‪.‬‬ ‫‪١٨۵‬‬



‫ﻓﺼﻞ ‪ .١١‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫‪ .٩.١١‬ﻧﺘﺎﯾ ﺗﻤﺮﯾﻦ ‪ ٣.۶‬را ﺑﺮای ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﯾ‬ ‫ﺑ ﺎر ﺑﺒﺮﯾﺪ‪.‬‬



‫‪ .۴.١١‬ﻣﺜﺎﻟﻬﺎ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻏﯿﺮﻫﻢ ارز ‪y′′ = (1 − y′ )3‬‬



‫‪ .١٠.١١‬ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی ﮔﺴﺴﺘﻪ‪ ،‬ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ‪ Xi‬در )‪ (۶.١١‬را ﯾ ﺒﺎر اﻣﺘﺪاد دﻫﯿﺪ )زﯾﺮا ˆ‪z‬‬ ‫واﺑﺴﺘﻪ ﺑﺮ ‪ u, x‬و ﻣﺸﺘﻘﺎت اوﻟﯿﻪ ‪ u‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ(‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی ﻟ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫‪ (٣٣.١١) ،‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻧﻘﻄﻪای )‪ (٣۴.١١‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ‬ ‫ﻣﺬﮐﻮر دارای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﺑﺮﺧﻮردی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻏﯿﺮ ﻧﻘﻄﻪای ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪) .‬ﺗﻮﺟﻪ‪ :‬ﺑﺨﺎﻃﺮ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﺪ ﮐﻪ‬ ‫ﯾ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺑﺮﺧﻮردی ﺑﺮای ˆ‪ yˆ ′ , yˆ , x‬ﺗﻨﻬﺎ واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ‪ y′ , y, x‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ(‬



‫‪١٨۶‬‬



‫راﻫﻨﻤﺎی ﺟﻮاﺑﻬﺎ و راه ﺣﻞﻫﺎی ﺟﺰﺋ ﺑﺮﺧ از‬ ‫ﻣﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ﻓﺼﻞ اول‬ ‫‪ .١.١‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ‪ y = cx‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻟﺬا ﺟﻮاﺑﻬﺎ ﺧﻄﻮط ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﮔﺬرﻧﺪه از ﻣﺒﺪأ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬ ‫ﺑﺪﯾﻬ ﺗﺮ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از اﻧﻌ ﺎسﻫﺎ‪ ،‬دورانﻫﺎ و ﻣﻘﯿﺎسﻫﺎﯾ ﮐﻪ ﺑﻪ ﻓﺮم )‪ ( xˆ, yˆ ) = (kx, ky‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪) .‬‬ ‫ﺑﻪ ﻗﺴﻤ ﮐﻪ ‪ k‬ﯾ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ (‬ ‫‪ .١.٢‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺼﻮرت )‪ y = (cx2 − 1)/(cx2 + 1‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ‪،‬‬ ‫ﻣﻘﯿﺎﺳﻬﺎﯾ در اﻣﺘﺪاد ‪ x‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪.α = 2 .١.۴‬‬ ‫‪ .١.۵‬اﺻﻞ اﻧﻄﺒﺎق ﺧﻄ اﮔﺮ )‪ y = y(x‬ﺟﻮاب دﻟﺨﻮاه ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻧﺎﻫﻤ ﻦ و)‪y = y0 (x‬‬ ‫ﺟﻮاب دﻟﺨﻮاﻫ ازﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻫﻤ ﻦ ‪ y′ = F(x)y‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧ ﺎه )‪yˆ = y(x) + y0 (x‬‬ ‫ﺟﻮاب ﻧﺎﻫﻤ ﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻫﻤ ﻦ‬ ‫‪y=ε‬‬ ‫ﺑﺼﻮرت ∫‬ ‫}‪ exp{ F(x)dx‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬



‫ﻓﺼﻞ دوم‬ ‫‪.٢.١‬‬ ‫‪y 1‬‬ ‫) ‪(r, s) = ( , −‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪.٢.٢‬‬



‫)‬



‫‪(b) X = xy∂ x + y2 ∂y ,‬‬



‫‪y‬‬ ‫‪x cos ε + sin ε‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪cos ε − x sin ε cos ε − x sin ε‬‬



‫‪(r, s) = (y − x, x),‬‬



‫(‬ ‫= ) ˆ‪(b) ( xˆ, y‬‬



‫‪(a) X = ∂ x + ∂y ,‬‬



‫)‪(a) ( xˆ, yˆ ) = (x + ε, eε y‬‬



‫)‪ (c‬راﻫﻨﻤﺎﯾ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ راﺑ ﺎر ﺑﺒﺮﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٢.٣‬اﮔﺮ ‪ ،α , 0‬ﻣﺒﺪأ )‪ (0, 0‬ﺗﻨﻬﺎ ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎوردا ﻣ ﺑﺎﺷﺪ )اﮔﺮ ‪ ،α = 0‬ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ روی ﺧﻂ ‪ x = 0‬ﻧﺎوردا‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ(‪ .‬اﮔﺮ ‪ α = 2‬ﺑﺎﺷﺪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ ﺑﺪﯾﻬ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪١٨٧‬‬



‫راﻫﻨﻤﺎی ﺟﻮاﺑﻬﺎ و راه ﺣﻞﻫﺎی ﺟﺰﺋ ﺑﺮﺧ از ﻣﺴﺎﺋﻞ‬



‫ﻓﺼﻞ ﺳﻮم‬



‫‪ .٢.۴‬ﺑﺮﺣﺴﺐ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ ) ‪ ،(r, s) = (xy, 12 x2‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻪ )‪ds/dr = r/(1 + r‬‬ ‫ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٢.۵‬از ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎﻧﻮﻧ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪ ،‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل )|‪.(r, s) = (y/x3 , ln |x‬‬ ‫‪ .٢.۶‬ﻣﻮﻟﺪ ‪ X = ∂ x + y∂y‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٢.٧‬ﻣﻮﻟﺪ ‪ X = y∂ x‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٢.٩‬از ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺷﺪه ﺑﻪ ﺷ ﻞ )‪ (۵٨.٢‬ﺑﺮای اﺛﺒﺎت اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬



‫ﻓﺼﻞ ﺳﻮم‬ ‫‪ .٣.١‬ﺑﺎ )‪ Q = η(x, y) − y′ ξ(x, y‬آﻏﺎز ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪ ،‬ﻣﺸﺘﻖ ﮔﯿﺮی ﮐﻠ را ﻣ ﺮراً ﺗ ﺮار ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ ﺗﺎ · · · ‪η(1) , η(2) ,‬‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪.٣.٢‬‬ ‫‪= η xxxx + 4(η xxxy − ξ xxxx )y′ + (6η xxyy − 4ξ xxxy )(y′ )2‬‬



‫)‪η(4‬‬



‫‪+(4η xyyy − 6ξ xxyy )(y′ )3 + (ηyyyy − 4ξ xyyy )(y′ )4 − ξyyyy (y′ )5‬‬ ‫‪+{6η xxy − 4ξ xxx + (12η xyy − 18ξ xxy )y′ + (6ηyyy − 24ξ xyy )(y′ )2 − 10ξyyy (y′ )3 }y′′‬‬ ‫‪+{3ηyy − 12ξ xy − 15ξyy y′ }(y′′ )2‬‬ ‫‪+{4η xy − 6ξ xx + (4ηyy − 16ξ xy )y′ − 10ξyy (y′ )2 − 10ξy y′′ }y′′′‬‬ ‫‪+{ηy − 4ξ x − 5ξy y′ }y(iv) .‬‬ ‫‪.٣.٣‬‬ ‫‪x∂ x + αy∂y + (α − 1)y′ ∂y′ + (α − 2)y′′ ∂y′′‬‬



‫=‬



‫)‪(b) : X (4‬‬



‫‪+(α − 3)y′′′ ∂y′′′ + (α − 4)y(iv) ∂y(iv) .‬‬ ‫‪−y∂ x + x∂y + (1 + y′2 )∂y′ + 3y′ y′′ ∂y′′‬‬



‫=‬



‫)‪(d) : X (4‬‬



‫‪+(4y′ y′′′ + 3y′′2 )∂y′′′ + (5y′ y(iv) + 10y′′ y′′′ )∂y(iv) .‬‬ ‫‪ .٣.۴‬اﮔﺮ ‪ α = 0‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧ ﺎه ‪ L‬ﺳﻪ ﺑﻌﺪی ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در ﻏﯿﺮ اﯾﻨﺼﻮرت‪ ،‬دو ﺑﻌﺪی ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٣.۵‬ﻫﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﺑﻪ ﻓﺮم ‪ X = c1 ∂ x + (c2 e x + c3 e2x + c4 e−3x + c5 y)∂y‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٣.۶‬ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻫﻢ ارز ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪ ،‬از ﻣﺘﻐﯿﺮ واﺑﺴﺘﻪ ﺟﺪﯾﺪ ‪ y˜ = y − x‬اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺬﮐﻮر را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪ ،‬آﻧ ﺎه ﺗﺒﺪﯾﻞ را ﺑﺮای ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اﺻﻠ ﺑﺮ ﻣ ﮔﺮداﻧﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪ .٣.٧‬از ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺷﺪه ﺑﺮای ﻧﻤﺎﯾﺶ )‪ ξ = B(x‬و )‪ η = c(x)y + D(x‬و ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺷﺮاﯾﻂ‬ ‫روی )‪ f (y‬اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﺷﺮﻃﻬﺎ را ﺑﺮای ‪ c(x) = 0‬و ‪ c(x) , 0‬ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ ﺣﻞ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪١٨٨‬‬



‫ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ‬



‫راﻫﻨﻤﺎی ﺟﻮاﺑﻬﺎ و راه ﺣﻞﻫﺎی ﺟﺰﺋ ﺑﺮﺧ از ﻣﺴﺎﺋﻞ‬



‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‬ ‫‪ .۴.١‬اﮔﺮ )‪ (r, s) = (y, x‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺟﺪاﯾ ﭘﺬﯾﺮ ‪ dv/dr = −v2 r−2‬ﮐﻪ‬ ‫‪ v = ds/dr‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬اﮔﺮﭼﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻘﯿﺎﺳ ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ اوﻟﯿﻪ را‬ ‫ﺑﻪ ﯾ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول )( ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪.‬‬ ‫‪ .۴.٢‬اﮔﺮ ‪ c1 , 0‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ )‪ y = c1 /(c21 (x + c2 )2 − 1‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ؛ ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﺑﺎﻗﯿﻤﺎﻧﺪه = ‪y‬‬ ‫) ‪ (±1/2)(x + c2‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ .۴.٣‬ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از ‪ X2 = ∂y ،X1 = ∂ x‬و ‪.X3 = x∂ x + 12 y∂y‬‬ ‫√‬ ‫‪ .۴.۴‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ‪ -‬ﻻﮔﺮاﻧﮋ ‪ y′′ = −y/(4x2 ) − 1/( xy2 ) − 1/y3‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻘﯿﺎﺳ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ‬ ‫‪ X = x∂ x + 21 y∂y‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪ .۴.۵‬ﻣﺸﺨﺼﻪ‪ Q = y2 − xyy′ ،‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ Q = 0‬اﺳﺖ اﮔﺮ وﻓﻘﻂ اﮔﺮ ﺑﺮای ‪y = cx ،c ∈ R‬‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻧﺎوردا ‪ y = 0‬و ‪ y = ±x‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ .۴.۶‬ﻣﻨﺤﻨ ﺑﺴﺘﻪ ‪ x2 + y2 = 1‬ﺗﻨﻬﺎ ﺟﻮاب ﻧﺎوردا ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺟﻮاﺑﻬﺎ را ﺑﻪ دو ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺟﺪا از ﻫﻢ‬ ‫ﻫﻤﺎﻧ ﻮﻧﻪ ﮐﻪ در ﺷ ﻞ ‪۵.١‬ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ اﻓﺮاز ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬



‫ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ‬ ‫‪ .۵.١‬ﻋﻤﻮﻣ ﺗﺮﯾﻦ ﭼﻨﯿﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ) ‪ y′′′ = xα−3 F(x−α y, x1−α y′ , x2−α y′′‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ v = x − y/y′ (a) .۵.٢‬و ‪r = y/x‬‬ ‫)‪ v = x2 y′ (b‬و ‪ r = xy‬ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺳﻮم ﻋﻤﻮﻣ ‪ (c) ،‬را ﺣﻞ‬ ‫ﻧﻤﺎﺋﯿﺪ ﺗﺎ ) ‪ (r2 , v2‬ﺣﺎﺻﻞ ﮔﺮدد‪ ،‬ﺳﭙﺲ ‪ dv2 /dr2‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻤﻮده و ﻧﺘﺎﯾ ‪ §۵.١‬را ﺑ ﺎر ﺑﺒﻨﺪﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪ .۵.٣‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ذﯾﻞ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪2(xy′ − y)(1 + y′2 ) + c(1 + y′2 )3/2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1 + x 2 + y2‬‬



‫= ‪y′′‬‬



‫‪ .۵.۵‬در اﺗﺤﺎد ژاﮐﻮﺑ ﺻﺪق ﻧﻤ ﮐﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ .۵.۶‬ﻫﺮﮔﺎه‪ α = −1‬ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻮﻟﺪ ) ‪ (X1 , X2‬ﯾ ﺟﺒﺮ ﻟ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ‪ L(1) .‬ﺳﻪ ﺑﻌﺪی اﺳﺖ ودارای ﺟﺒﺮ ﻟ‬ ‫ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ دو ﺑﻌﺪی ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در ﻏﯿﺮ اﯾﻨﺼﻮرت‪ L(α) ،‬ﭼﻬﺎر ﺑﻌﺪی اﺳﺖ و دارای زﯾﺮ ﺟﺒﺮ ﺣﻞ ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﺳﻪ ﺑﻌﺪی ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬زﯾﺮ ﺟﺒﺮ )‪ sl(2‬دارای ﭘﺎﯾﻪ ﺑﻪ ﺷﺮح ذﯾﻞ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪Xc = −x∂y‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x∂ x − y∂y ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬



‫= ‪Xb‬‬



‫‪Xα = y∂ x ,‬‬



‫‪ .۵.٧‬ﻧﺎوردای دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ ﻣﺸﺘﺮک ﻣﺮﺗﺒﻪ ﮐﻤﺘﺮ ‪ I = (2xy′′ + y′ )/y′3‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪١٨٩‬‬



‫راﻫﻨﻤﺎی ﺟﻮاﺑﻬﺎ و راه ﺣﻞﻫﺎی ﺟﺰﺋ ﺑﺮﺧ از ﻣﺴﺎﺋﻞ‬



‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‬



‫ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ‬ ‫‪ .۶.١‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ‪ x = y − c1 ln |y + c1 | + c2‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎ ﺑﻪ ﺷ ﻞ ‪ y = c1‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ .۶.٢‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ‪ ،‬دارای ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ‬ ‫‪X2 = x∂ x + 2y∂y‬‬



‫‪X1 = x2 ∂ x + xy∂y ,‬‬



‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪهاﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﮐﺎﻫﺶ ﻣﺮﺗﺒﻪ از )‪ (r1 , v1 ) = (y/x, xy′ − y‬اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ .۶.۵‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )‪ (r1 , v1 ) = (x, y′ /y‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﯾﻨﻬﺎ ﻧﺎوردای دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺎﺳ ﺑﺮای ﮔﺮوه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه‬ ‫ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ‪ X1‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ دﯾ ﺮی از ﻧﺎورداﻫﺎی دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻧﻈﺮ‬ ‫ﻣ رﺳﺪ ﮐﻪ ﻻزم اﺳﺖ ﺟﻮاﺑﻬﺎ را ﺑﺼﻮرت ﭘﺎراﻣﺘﺮی ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪ .۶.۶‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ) ‪ er f ( √y ) = c1 + c2 ⧸(x + c3‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎﯾ ﺑﻪ ﺷ ﻞ = ) ‪er f ( √y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ c1 + c2 x‬ﻣﻮﺟﻮدﻧﺪ‪.‬‬



‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫‪ .٧.١‬ﺳﻪ اﻧﺘ ﺮال اول ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺗﺎﺑﻌ ‪ ،‬ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‬ ‫‪ϕ3 = y−2 (xy′′ − y′ ) − 2xy−3 y′2 ,‬‬



‫‪ϕ2 = 2y−3 y′′ − 3y−4 y′2 ,‬‬



‫‪ϕ1 = y−2 y′′ − 2y−3 y′2 ,‬‬



‫ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ‪ y = (c1 x2 + c2 x + c3 )−1‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٧.٢‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻋﻤﻮﻣ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‬ ‫‪Q = {(c1 x + c2 )ey + (c3 x + c4 )e−y }y′ 2 + {c5 x2 + c6 x + c7 }y′ + c8 x2 + c9 x + c10 .‬‬ ‫‪1‬‬



‫‪ .٧.۴‬ﮔﺮوﻫﻬﺎی ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ‪ Q10 , Q9 , Q8‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‬



‫ﮐﻪ‬



‫‪1‬‬ ‫‪1−εy′‬‬



‫=‪ρ‬و‬



‫‪(x + 2εy′ , y + εy′2 , y′ ),‬‬ ‫‪(x + 2ερ(xy′ − y), y + ερ2 y′2 (x − εy), ρy′ ),‬‬



‫= ) ‪( xˆ, yˆ , yˆ ′‬‬ ‫= ) ‪( xˆ, yˆ , yˆ ′‬‬



‫‪(κx, κ2 y − εκ2 (2y − xy′ )2 , κy′ ),‬‬



‫= ) ‪( xˆ, yˆ , yˆ ′‬‬



‫‪1‬‬ ‫) ‪1−ε(4y−2xy′‬‬



‫= ‪ κ‬اﺳﺖ‪.‬‬



‫‪ J n−1‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﺗﺤﺎد‬ ‫‪ .٧.۶‬اﮔﺮ راﺑﻄﻪ )‪ (٨۶.٧‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧ ﺎه ‪= 0‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪¯ k = −J k − J k−1 − ωy(k) J n−1 + ωy(i) J n−1‬‬ ‫‪DJ‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j−1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ j < k‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ ‪ J kj = 0‬اﺳﺖ‪) .‬ﺑﻨﺎﺑﺮ اﺳﺘﻘﺮا(‪ .‬ﺷﺮاﯾﻂ اﻧﺘ ﺮال ﭘﺬﯾﺮی ﺑﺎﻗﯿﻤﺎﻧﺪه‬ ‫از اﯾﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٧.٧‬ﻣﺸﺨﺼﻪﻫﺎ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از ‪ Q1 = 1‬و ‪ .Q2 = y′‬ﺗﻨﻬﺎ ﯾ‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧﺮا ‪ Λ = e x‬ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪١٩٠‬‬



‫ﻫﻢ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪y′′‬‬



‫ﻓﺼﻞ ﻧﻫﻢ‬



‫راﻫﻨﻤﺎی ﺟﻮاﺑﻬﺎ و راه ﺣﻞﻫﺎی ﺟﺰﺋ ﺑﺮﺧ از ﻣﺴﺎﺋﻞ‬



‫ﻓﺼﻞ ﻫﺸﺘﻢ‬ ‫‪ .٨.٢‬ﺟﺒﺮ ﻟ ﭘﻨ ﺑﻌﺪی ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬زﯾﺮا ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﺷﺮط ﺗﻘﺎرن ﺧﻄ ﺷﺪه ﺑﺼﻮرت ذﯾﻞ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫‪τ = (3c3 − 2c1 )t + c5 .‬‬



‫‪η = c1 u + c2 ,‬‬



‫‪ξ = c3 x + c4 ,‬‬



‫‪ .٨.٣‬ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﮔﺮﻣﺎ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‬ ‫‪X4 = x∂ x + 2t∂t ,‬‬



‫‪X2 = ∂t ,‬‬



‫‪X3 = u∂u ,‬‬



‫‪X1 = ∂ x ,‬‬



‫‪X5 = 2t∂ x − xu∂u , X6 = 4xt∂ x + 4t2 ∂t − (x2 + 2t)u∂u ,‬‬ ‫}‪{Xu = U(x, t)∂u : Ut = U xx‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .٨.۶‬ﻣﻮﻟﺪﻫﺎی ﺗﻘﺎرن ﻧﻘﻄﻪای ﻟ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‬ ‫‪X4 = t∂ x + ∂u‬‬



‫‪X3 = x∂ x + t∂t ,‬‬



‫‪X1 = ∂ x‬‬



‫‪, X2 = ∂t ,‬‬



‫‪{XZT = Z(u, v)∂ x + T (u, v)∂t : Zu − uT u + vT v = 0, Zv − uT v + T u = 0}.‬‬ ‫ﯾ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺷﺘﺎب )ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ آن ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی واﺑﺴﺘﻪ وﻣﺴﺘﻘﻞ ﺗﻌﻮﯾﺾ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ( دﺳﺘ ﺎه را ﺧﻄ ﻣ‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺪ‪.‬‬



‫ﻓﺼﻞ ﻧﻬﻢ‬ ‫‪ PDE .٩.١‬ﺑﻪ )‪ v = F(r‬ﮐﺎﻫﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ ﺑﻪ ﻗﺴﻤ ﮐﻪ ‪xt ، v = tk u‬‬ ‫‪1 − 2k ′‬‬ ‫‪F − 4F = 0‬‬ ‫‪r‬‬



‫√‬



‫=‪r‬و‬



‫‪F ′′ +‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﺼﻮرت ذﯾﻞ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫‪F = rk (c1 Ik (2r) + c2 Kk (2r)),‬‬ ‫ﮐﻪ )‪ Ik (z‬و )‪ Kk (z‬ﺗﻮاﺑ ﺑﺴﻞ اﺻﻼح ﺷﺪه ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻫﻨ ﺎﻣﯿ ﻪ ‪ k = 12‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻧﻮﺷﺘﻦ ﺟﻮاب ﺑﺼﻮرت‬ ‫‪F = c1 e2r + c2 e−2r‬‬ ‫ﺳﺎدهﺗﺮ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﺑﺎز ﻧﻮﯾﺴ ﺟﻮاب ﺑﺮﺣﺴﺐ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی اوﻟﯿﻪ‪ ،‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪x k‬‬ ‫‪u = ( ) 2 (c1 Ik (2 xt) + c2 Kk (2 xt)).‬‬ ‫‪t‬‬ ‫اﯾﻦ ﺟﻮاﺑﻬﺎ ﺑﻪ ﺧﺎﻧﻮاده ﺑﺰرﮔ ﺑﺎ ﮐﻤ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻟ ﺑﺎﻗﯿﻤﺎﻧﺪه ﺗﻌﻤﯿﻢ داده ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ‬ ‫ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻮﻣﺎس‪ ،‬ﺑﻪ ﺳﺎدﮔ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺧﻄ را ﻣﻌ ﻮس ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٩.٢‬از )‪ (٢۵.٨‬ﺑﺮای ﻣﺸﺘﻖ ﮔﯿﺮی از اﺗﺤﺎد اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪ .‬ﺑﺮای دﺳﺘ ﺎﻫﻬﺎ‪ ،‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺼﻮرت‬ ‫‪∂Qα‬‬ ‫‪∂uβ‬‬



‫‪XQα = Qβ‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪−1‬‬



‫‪ .٩.٣‬ﺟﻮاﺑﻬﺎی ﻣﻮج ﻣﺘﺤﺮک ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از )})‪.u = c1 + sin (c2 exp{−c(x − ct‬‬ ‫‪ .٩.۴‬ﺧﺎﻧﻮاده دو ﭘﺎراﻣﺘﺮی از ﺟﻮاﺑﻬﺎ‬



‫‪x+c1‬‬ ‫) ‪t(ln t+c2‬‬



‫= ‪ u‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪١٩١‬‬



‫‪1‬‬ ‫‪c‬‬



‫راﻫﻨﻤﺎی ﺟﻮاﺑﻬﺎ و راه ﺣﻞﻫﺎی ﺟﺰﺋ ﺑﺮﺧ از ﻣﺴﺎﺋﻞ‬



‫ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ‬



‫ﻓﺼﻞ دﻫﻢ‬ ‫‪ .١٠.٢‬دﺳﺘ ﺎه اﭘﺘﯿﻤﺎل ﺷﺎﻣﻞ ﺗﻨﻬﺎ ﯾ‬ ‫‪ (κ1 )2 + (κ2 )2 + (κ3 )2‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬



‫ﻣﻮﻟﺪ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‪ X1 ،‬اﭘﺘﯿﻤﺎل اﺳﺖ ‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ ﻧﺎوردا = ‪I‬‬



‫‪ .١٠.٣‬ﻧﺎورداﻫﺎ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از ‪ I 1 = (κ4 )2 − 4κ2 κ6‬ﮐﻪ از زﯾﺮ ﺟﺒﺮ )‪ sl(2‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣ آﯾﻨﺪ و‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫()‬ ‫‪1‬‬ ‫‪I 2 = (κ4 )2 − 4κ2 κ6 κ3 + κ4 + κ1 κ4 κ5 − κ2 (κ5 )2 − (κ1 )2 κ6 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﯾ‬



‫دﺳﺘ ﺎه اﭘﺘﯿﻤﺎل از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎﺑﺼﻮرت‬ ‫‪X4 + kX3‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ‪ κ‬ﯾ‬ ‫‪ .١٠.۶‬ﯾ‬



‫‪X3 ,‬‬



‫‪X2 − X5 ,‬‬



‫‪X2 + X5 ,‬‬



‫‪X2 + kX3 + X6 ,‬‬



‫‪X2 + kX3 ,‬‬



‫‪X1 ,‬‬



‫ﺛﺎﺑﺖ دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ‪.‬‬



‫دﺳﺘ ﺎه اﭘﺘﯿﻤﺎل از ﻣﻮﻟﺪﻫﺎ‬ ‫‪X4 + µX1 ,‬‬



‫‪X5‬‬



‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ }‪ µ ∈ {−1, 0, 1‬و ‪ κ1‬ﯾ‬



‫‪X3 + µX1 ,‬‬



‫‪X2 + κ1 X1 + µX4 ,‬‬



‫‪X1 ,‬‬



‫ﺛﺎﺑﺖ دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ‪.‬‬



‫ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ‬ ‫‪ .١١.١‬ﯾ‬



‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﺗﻘﺎرنﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺣﻘﯿﻘ ‪-‬ﻣﻘﺪار ﻏﯿﺮﻫﻢ ارز‪ ،‬ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‬ ‫{‬ ‫(‬ ‫( )‬ ‫})‬ ‫‪1 y‬‬ ‫‪1 y‬‬ ‫‪( xˆ, yˆ ) ∈ (x, y), (−x, −y), , 2 , − , − 2‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪x x‬‬



‫‪ .١١.۵‬ﻫﺮ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ‪ B‬ﻣﻌﺎدل ﺑﺎ ﯾ‬



‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﻫﻤﺎﻧ اﺳﺖ‪.‬‬



‫‪ .١١.٧‬ﭼﻬﺎر ﺗﻘﺎرن ﻏﯿﺮ ﻫﻢ ارز ﺣﻘﯿﻘ ﻣﻘﺪار از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺮﮔﺮ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪( αx −1‬‬ ‫)‬ ‫‪( xˆ, tˆ, uˆ ) ∈ (αx, t, αu),‬‬ ‫}‪, , 2α(ut − x) , α ∈ {−1, 1‬‬ ‫‪2t 4t‬‬ ‫‪ .١١.١٠‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟ دارای ﭼﻬﺎر ﺗﻘﺎرن ﻧﺎﻫﻢ ارز ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻘﺪار اﺳﺖ‪ ،‬دو ﺗﺎ از ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎ‪ ،‬ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی‬ ‫ﻧﻘﻄﻪای ﻫﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ درﻣﺜﺎل ‪ ١.۴.١١‬ﯾﺎﻓﺘﯿﻢ‪ .‬دو ﺗﻘﺎرن دﯾ ﺮ })‪( xˆ, yˆ ) ∈ {(y′ , xy′ −y), (−y′ , xy′ −y‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬



‫‪١٩٢‬‬



‫ﮐﺘﺎبﻧﺎﻣﻪ‬ [1] Anco, S. C. and Bluman, G. (1998). Integrating factors and first integrals of ordinary differential equations. Eur. J. Appl. Math., 9, 245-259. [2] Barenblatt, G. I. (1996). Scaling, Self-similarity, and Intermediate Asymptotics. New York: Cambridge University Press. [3] Bluman, G. W. and Kumei, S. (1989). Symmetries and Differential Equations. New York: Springer-Verlag. [4] Clarkson, P. A. (1996). Nonclassical symmetry reductions for the Boussinesq equation. Chaos, Sol. Fractals, 5, 2261-2301. [5] Clarkson, P. A. and Olver, P. J. (1996). Symmetry and the Chazy equation. J. Diff. Eqns., 124, 225-246. [6] Cox, D. A., Little, J. B. and O’Shea, D. (1992). Ideals, Varieties, and Algorithms. New York: Springer-Verlag. [7] Fuchs, J. and Schweigert, C. (1997). Symmetries, Lie Algebras and Representations. New York: Cambridge University Press. [8] Golubitsky, M., Stewart, I. and Schaeffer, D. G. (1988). Singularities and Groups in Bifurcation Theory, Vol. II. New York: Springer-Verlag. [9] Hereman, W. (1996). Symbolic software for Lie symmetry analysis. In CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. Vol. 3: New Trends in Theoretical Developments and Computational Methods, ed. N. H. Ibragimov, pp. 367-413. Boca Raton: CRC Press. [10] Hydon, P. E. (1998a). Discrete point symmetries of ordinary differential equations. Proc. Roy. Soc. Lond. A, 454, 1961-1972. [11] Hydon, P. E. (1998b). How to find discrete contact symmetries. J. Nonlinear Math. Phys., 5, 405-416. [12] Ibragimov, N. H. (ed.) (1994). CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. Vol. I: Symmetries, Exact Solutions, and Conservation Laws. Boca Raton: CRC Press. ١٩٣



‫ﮐﺘﺎب ﻧﺎﻣﻪ‬ [13] Ibragimov, N. H. (ed.) (1995). CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. Vol. 2: Applications in Engineering and Physical Sciences. Boca Raton: CRC Press. [14] Mansfield, E. L. and Clarkson, P. A. (1997). Applications of the differential algebra package diff grob2 to classical symmetries of differential equations. / Symb. Comp., 23, 517-533. [15] Olver, P. J. (1993). Applications of Lie Groups to Differential Equations. 2nd ed. New York: Springer-Verlag. [16] Olver, P. J. (1995). Equivalence, Invariants and Symmetry. New York: Cambridge University Press. [17] Ovsiannikov, L. V. (1982). Group Analysis of Differential Equations. New York: Academic Press. [18] Sattinger, D. H. and Weaver, O. L. (1986). Lie Groups and Algebras with Applications to Physics, Geometry, and Mechanics. New York: Springer-Verlag. [19] Sewell, M. J. and Roulstone, I. (1994). Families of lift and contact transformations. Proc. Roy. Soc. Lond. A, 447, 493-512. [20] Stephani, H. (1989). Differential Equations: Their Solution Using Symmetries. New York: Cambridge University Press.



١٩۴



‫درﺑﺎره اﯾﻦ ﮐﺘﺎب‬ ‫ﺗﻘﺎرن ﮐﻠﯿﺪ ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺴﯿﺎری از ﺗ ﻨﯿ ﻫﺎی ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه ﺑﺮای ﺑﻪ دﺳﺖ آوردن‬ ‫راه ﺣﻞ ﻫﺎی دﻗﯿﻖ ﻣﻌﺎدﻻت وﺟﻮد دارد‪ ،‬اﻣﺎ ﺑﺴﯿﺎری از آﻧﻬﺎ ﻋﻤﻼ ﻣﻮارد ﺧﺎص از ﭼﻨﺪ روش ﺗﻮاﻧﺎی ﺗﻘﺎرن‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻋﻼوه ﺑﺮ اﯾﻦ‪ ،‬روﺷﻬﺎی دﯾ ﺮ ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻧﺎ آﺷﻨﺎ ﺑ ﺎر ﻧﻤ روﻧﺪ‪ ،‬اﯾﻦ روﺷﻬﺎ اﻏﻠﺐ‬ ‫ﺑﺮ ”ﺗﺮدﺳﺘ ﻫﺎی زﯾﺮﮐﺎﻧﻪ” اﺳﺘﻮارﻧﺪ‪ .‬در ﻋﻮض‪ ،‬اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠ داده ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﻪ روﺷ ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی آن را ﻣ ﺷﻮد ﺑﺪﺳﺖ آورد‪ ،‬و از آن ﺑﺮای ﺳﺎﺧﺖ ﭼﻮاﺑﻬﺎی دﻗﯿﻖ ﺑﻬﺮه ﺑﺮد‪ .‬اﯾﻦ ﮐﺘﺎب ﻣﻘﺪﻣﻪای‬ ‫ﺳﺮ راﺳﺖ ﺑﻪ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﺬﮐﻮر اﺳﺖ‪ ،‬و ﻗﺎﺑﻞ اﺳﺘﻔﺎده ﺑﺮای رﯾﺎﺿﯿﺪاﻧﺎن‪ ،‬ﻓﯿﺰﯾ ﺪاﻧﺎن و ﻣﻬﻨﺪﺳﺎن اﺳﺖ‪ .‬ﺳﺒ‬ ‫ﮐﺘﺎب ﺑﻪ ﺷ ﻞ ﻏﯿﺮ ﺳﻮری اﺳﺖ و ﻫﺪف ﻧﺸﺎن دادن روشﻫﺎی اﺻﻠ ﺗﻘﺎرن ﺑﻮده اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﮐﺘﺎب در‬ ‫ﺳﻄﺤ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﺮای داﻧﺸﺠﻮﯾﺎن دوره ﮐﺎرﺷﻨﺎﺳ و ﺗﺤﺼﯿﻼت ﺗ ﻤﯿﻠ ﭘﯿﺸﺮﻓﺘﻪ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ ،‬و ﻗﺎدر‬ ‫اﺳﺖ ﺧﻮاﻧﻨﺪه را ﺑﺮ روﺷﻬﺎی اﺻﻠ ﺑﻪ ﺳﺮﻋﺖ و ﺑﻪ راﺣﺘ ﻣﺴﻠﻂ ﻧﻤﺎﯾﺪ‪ .‬ﻣﻮاردی در اﯾﻦ ﮐﺘﺎب وﺟﻮد دارد‬ ‫ﮐﻪ ﻗﺒﻼ ﻓﻘﻂ در ﻣﻘﺎﻻت ﯾﺎﻓﺖ ﻣ ﺷﺪ‪ ،‬ﻧﻈﯿﺮ روش ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺗﻘﺎرن ﮔﺴﺴﺘﻪ و اﻧﺘ ﺮاﻟﻬﺎی اول‪ .‬اﯾﻦ‬ ‫ﮐﺘﺎب در ﺳﺎل ‪ ٢٠٠٠‬ﺗﻮﺳﻂ اﻧﺘﺸﺎرات ﮐﻤﺒﺮﯾ اﻧ ﻠﺴﺘﺎن ﺑﻪ ﭼﺎپ رﺳﯿﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﻃﻼﻋﺎت دﻗﯿﻖ ﺗﺮ اﯾﻦ‬ ‫ﮐﺘﺎب ﺑﻪ ﺷﺮح ذﯾﻞ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪Peter E. Hydon, Symmetry methods for differential equations: a beginner’s‬‬ ‫‪guide, Cambridge University Press, 2000. ISBN: 0-521-49703-5.‬‬ ‫ﻧﻮﯾﺴﻨﺪه‪ .‬دﮐﺘﺮ ﭘﯿﺘﺮ ﻫﺎﯾﺪون‪ ،‬اﺳﺘﺎد داﻧﺸ ﺪه رﯾﺎﺿﯿﺎت داﻧﺸ ﺎه ﺳﻮری واﻗ در ﺷﻬﺮ ﮔﯿﻠﻔﻮرد اﻧ ﻠﺴﺘﺎن‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬او دارای ﻣﻘﺎﻻت ﻣﺘﻌﺪدی در زﻣﯿﻨﻪ ﻧﻈﺮﯾﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ اﺳﺖ و از ﭘﯿﺸﺮوان اﯾﻦ‬ ‫ﻧﻈﺮﯾﻪ ﺑﻪ ﺷﻤﺎر ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﻣﻘﺎﻻت ﻣﺘﻌﺪد ﺗﻮﺻﯿﻔ اﯾﺸﺎن در زﻣﯿﻨﻪ ﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ اﯾﻦ ﻧﻈﺮﯾﻪ‪ ،‬ﺑﺴﯿﺎر ﻣﻌﺮوف‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺧﻮاﻧﻨﺪه ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ از وﺑﺴﺎﯾﺖ ﺷﺨﺼ اﯾﺸﺎن ﺗﻌﺪادی از آﻧﻬﺎ را ﺗﻬﯿﻪ ﻧﻤﺎﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪Homepage: http://personal.maths.surrey.ac.uk/st/P.Hydon/‬‬ ‫‪e-mail: [email protected]‬‬ ‫ﻣﺘﺮﺟﻤﯿﻦ‪ .‬دﮐﺘﺮ ﻣﻬﺪی ﻧﺠﻔ ﺧﻮاه‪ ،‬اﺳﺘﺎد داﻧﺸ ﺪه رﯾﺎﺿﯿﺎت داﻧﺸ ﺎه ﻋﻠﻢ و ﺻﻨﻌﺖ اﯾﺮان اﺳﺖ‪ .‬اﯾﺸﺎن‬ ‫دارای ﻣﻘﺎﻻت ﻣﺘﻌﺪد در زﻣﯿﻨﻪ ﺗﻘﺎرﻧﻬﺎی ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ و ﮐﺎرﺑﺮدﻫﺎی آن ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺧﺎﻧﻤﻬﺎی ﻣﺮﯾﻢ‬ ‫ﻋﺒﺪاﻟﺼﻤﺪی‪ ،‬اﻟﻬﻪ اﻓﺘﺎده و ﭘﺮواﻧﻪ اﺣﻤﺪی ﺑﯿﻦ ﺳﺎﻟﻬﺎی ‪ ١٣٨٧‬ﺗﺎ ‪ ١٣٩٠‬داﻧﺸﺠﻮی ﮐﺎرﺷﻨﺎﺳ ارﺷﺪ رﯾﺎﺿ‬ ‫در داﻧﺸ ﺎه آزاد اﺳﻼﻣ ‪ ،‬واﺣﺪ ﺗﻬﺮان‪-‬ﺷﻤﺎل ﺑﻮده اﻧﺪ و ﺧﺎﻧﻤﻬﺎی ﻧﺮﮔﺲ ﭘﻮر رﺳﺘﻤ و ﻣﺤﺒﻮﺑﻪ ﺳﺎﻣﺎﻧ ﭘﻮر از‬ ‫ﺳﺎﻟﻬﺎی ‪ ١٣٩٠‬داﻧﺸﺠﻮی دﮐﺘﺮی ﻣﺮﮐﺰ ﺗﺤﺼﯿﻼت ﺗ ﻤﯿﻠ داﻧﺸ ﺎه ﭘﯿﺎم ﻧﻮر ﺗﻬﺮان ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﮐﺘﺎب ﺑﯿﻦ‬ ‫ﺳﺎﻟﻬﺎی ‪ ١٣٨٨‬ﺗﺎ ‪ ١٣٩١‬ﺗﻮﺳﻂ اﯾﻦ ﮔﺮوه ﺗﺮﺟﻤﻪ و اﺻﻼح ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻫﺮ ﭘﻨ ﻧﻔﺮ اﺧﯿﺮ دارای ﺗﺤﻘﯿﻘﺎﺗ‬ ‫در اﯾﻦ زﻣﯿﻨﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت رﺳﺎﻟﻪ ﺧﻮد را در اﯾﻦ زﻣﯿﻨﻪ اﺧﺘﯿﺎر ﻧﻤﻮدهاﻧﺪ‪ .‬ﺟﺎی ﺑﺴ اﻣﺘﻨﺎن اﺳﺖ ﮐﻪ‬ ‫ﺧﻮاﻧﻨﺪه ﻣﺤﺘﺮم‪ ،‬ﻫﺮ ﮔﻮﻧﻪ ﭘﯿﺸﻨﻬﺎد و ﯾﺎ اﻧﺘﻘﺎدی در ﺧﺼﻮص اﯾﻦ ﮐﺘﺎب را ﺑﺎ ﻧﻮﯾﺴﻨﺪﮔﺎن اﯾﻦ ﮐﺘﺎب در ﻣﯿﺎن‬ ‫ﺑﻨﻬﺪ‪ .‬آدرس اﯾﻤﯿﻞ زﯾﺮ اﯾﻦ ﮐﺎر را ﻣﻤ ﻦ ﻣ ﺳﺎزد‪.‬‬ ‫‪Homepage: webpages.iust.ac.ir/m_nadjafikhah‬‬ ‫‪e-mail: m_nadjafi[email protected]‬‬