Teori Bilangan [PDF]

  • 0 0 0
  • Suka dengan makalah ini dan mengunduhnya? Anda bisa menerbitkan file PDF Anda sendiri secara online secara gratis dalam beberapa menit saja! Sign Up
File loading please wait...
Citation preview

Materi olimpiade matematika SMP adalah materi sekolah SMP dan pendalamannya ditambah dengan beberapa materi baru yang bisa saja tidak di ajarkan pada jenjang smp. Secara umum, ada 4 bidang yang diujikan dalam olimpiade matematika yaitu Aljabar, Teori Bilangan, Geometri, serta Peluang dan Statistika. Adapun Pokok bahasan yang diberi perhatian khusus yang biasanya dijadikan sebagai bahan dalam membuat soal-soal osn, dapat dilihat pada penjelasan di bawah ini.



1. Teori Bilangan 



Sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan bulat.







Pembagian Bersisa







Sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan rasional







Sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan real. - Klasifikasi bilangan (bulat, pecahan, rasional, irrasional) - Merasionalkan bentuk akar.







FPB dan KPK



2. Aljabar 



Himpunan - Himpunan bagian - Operasi dua himpunan







Fungsi - Pengertian fungsi - Sifat-sifat fungsi secara umum







Perbandingan - Perbandingan senilai - Perbandingan berbalik nilai







Faktorisasi suku aljabar - Bentuk a2 - b2 = (a + b)(a - b) - Bentuk (a + b)n







Persamaan garis lurus







Pertidaksamaan linier satu variabel







Sistem persamaan linier dua variabel







Eksponen dan logaritma







Pola bilangan







Persamaan kuadrat



3. Geometri 



Bangun datar - Segi-n dan lingkaran - Garis tinggi dan garis berat segitiga - Titik berat segitiga







Bangun ruang - Volume tabung, kerucut dan bola - Volume tabung dan kerucut terpancung - Luas selimut tabung, kerucut dan bola - Luas selimut tabung dan kerucut terpancung







Dalil Pythagoras







Trigonometri



4. Peluang dan Statistika 



Peluang kejadian







Ukuran pemusatan



5. Kapita Selekta 



Penggunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari







Kemampuan menyerap materi baru (definisi baru)



Untuk seleksi tingkat kabupaten/kota, materi yang diujikan adalah semua materi di atas namun dengan kedalaman yang dangkal yakni problem solving nya masih sedikit, sedangkan untuk seleksi tingkat propinsi problem solving dituntut lebih tajam yakni sebagian besar soal merupakan soal yang tidak rutin. Sedangkan Untuk tingkat nasional, soal yang diujikan benarbenar soal yang tidak rutin, soal yang menuntut problem solving benar-benar sangat kental dan



untuk menyelesaikan soal tersebut dibutuhkan kreativitas dan pengalaman yang mumpuni. Dalam postingan kali ini, kelasmat akan mencoba menyajikan soal-soal yang mengacu pada uraian diatas khusus untuk Bab Materi Aljabar. dimana soal-soal yang kelasmat sajikan berikut ini merupakan hasil mengumpulkan dari berbagai sumber. Daftar isi Bacaan :



1. Aljabar 2. Persamaan dan Pertidaksamaan 3. Fungsi 4. Faktorisasi Bentuk Aljabar 5. Kuadrat Sempurna dan Persamaan Kuadrat 6. Ketaksamaan 7. Perbandingan 8. Eksponen 9. Barisan dan Deret Bilangan



Aljabar Aljabar adalah materi dasar yang digunakan untuk memahami bidang-bidang lainnya. Materi ini sebagian besar sudah dipelajari di sekolah (materi-materi rutin). Dengan demikian, di sini kita hanya perlu memperdalam pengetahuan dan teknik dalam penyelesaian soal nyata di olimpiade atau osn matematika smp. Namun, Dalam memahami materi-materi aljabar, kita tidak bisa terlepas dari materi persamaan. Oleh karena itu, diharapkan pembaca sudah menguasai persamaan yang telah dipelajari di sekolah yaitu teknik-teknik menyelesaikan persamaan ataupun sistem persamaan seperti metode grafik, metode subtitusi, dan metode eliminasi serta perlu juga mempelajari teknik-teknik penyelesaian tidak rutin selain tiga teknik tersebut.



Persamaan dan pertidaksamaan Contoh Soal 1 : Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c = .... (OSP 2004) Jawaban: Kalau kita jumlah ketiga persamaan tersebut, maka akan didapat: (a + b) + (b + c) + (c + a) = 1 + 2 + 3



⇔⇔ 2a + 2b + 2c = 6 ⇔⇔ 2(a + b + c) = 6 Jadi a + b + c = 3 Contoh Soal 2: Buktikan bahwa jika a>2a>2 dan b>3b>3 maka ab+6>3a+2bab+6>3a+2b (OSN 2003)



Jawaban : Karena a>2a>2 dan b>3b>3 maka a−2>0a−2>0 dan b−3>0b−3>0, sehingga (a - 2)(b - 3) > 0 BACA JUGA: Memahami Konsep Peluang dengan Mudah



⇔⇔ ab - 3a - 2b + 6 > 0 ⇔⇔ ab + 6 > 3a + 2b .............Terbukti



Fungsi Contoh Soal 3: Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax2 - 3x + c. jika f(1) = 4 dan f(2) = 7 maka f(-1) = . . . . Jawaban: jika f(1) = 4, ⇔⇔ a - 3 + c = 4



⇔⇔ a + c = 7, sehingga: f(-1) = a + 3 + c = a + c + 3 = 10 jadi nilai f(-1) = 10.



Faktorisasi Bentuk Aljabar Contoh Soal 4: Jika (y−x)2z−x−(y−z)2z−x=y−z dan x≠z(y−x)2z−x−(y−z)2z−x=y−z dan x≠z, maka nilai y = . . .(OSP 2009) Jawaban:



y−z=(y−x)2z−x−(y−z)2z−xy−z=(y−x)2z−x−(y−z)2z−x ⇔y−z=(y−x)2−(y−z)2z−x⇔y−z=(y−x)2−(y−z)2z−x ⇔y−z={(y−x)−(y−z)}{(y−x)+(y−z)}z−x⇔y−z={(y−x)−(y−z)}{(y−x)+(y−z)}z−x ⇔y−z=(y−x−y+z)(y−x+y−z)z−x⇔y−z=(y−x−y+z)(y−x+y−z)z−x ⇔y−z=2y−x−z⇔y−z=2y−x−z Sehingga di dapat y = x



Kuadrat sempurna dan Persamaan Kuadrat Contoh Soal 5: Diketahui bahwa x+1x=7x+1x=7. Tentukan nilai A agar Ax2x4+x2+1=56Ax2x4+x2+1=56 . (OSN 2007) Jawaban: Dari x+1x=7x+1x=7 diperoleh : 72=(x+1x)2=x2+2+1x272=(x+1x)2=x2+2+1x2



⇔49=x2+2+1x2⇔49=x2+2+1x2 sehingga 47=x2+1x247=x2+1x2 dengan demikian



Ax2x4+x2+1=56Ax2x4+x2+1=56



⇔A=56×x4+x2+1x2=56(x2+1+1x2)=56(48)=40⇔A=56×x4+x2+1x2=56(x2+1+1x2)=56(4 8)=40 Jadi Nilai A = 40. Contoh Soal 6: Tentukan nilai m agar persamaan (2x2 + 2mx - (m + 1))(x2 + mx + 1) = 0 mempunyai tepat dua solusi real. Jawaban: Perhatikan bahwa 2x2 + 2mx - (m + 1) = 0 memiliki Diskriminan : D =2m2 - 4(2)(-(m + 1) = 4m2 + 8m + 8 = 4(m2 + 2m + 2) = 4(m + 1)2 + 4 ≥≥ 4 ≥≥ 0 sehingga persamaan itu memiliki 2 solusi real berbeda. Dengan demikian agar persamaan (2x 2 + 2mx - (m + 1))(x2 + mx + 1) = 0 mempunyai tepat dua solusi real berbeda, haruslah persamaan x 2 + mx + 1 tidak memiliki solusi real, atau dengan kata lain memiliki D < 0, yakni m 2 - 4 < 0 ⇔⇔ -2 < m < 2. Jadi nilai m yang dimaksud adalah -2 < m < 2.



Ketaksamaan Contoh 7: Jumlah dua bilangan sama dengan 12. Hasil kali dua bilangan tersebut nilainya akan paling besar jika salah satu bilangannya adalah ...... (OSK 2003) BACA JUGA: Latihan Soal Penilaian Akhir Semester Genap MTK kelas 7 Jawaban: Misal salah satu bilangan tersebut adalah 12 - x . Dengan demikian hasil kalinya adalah x(12 - x) = 12x - x2 = -(x2 - 12x + 36) + 36 = - (x-6)2 + 36 ≤≤ 36. Jadi nilai maksimum dari hasil perkaliannya adalah 36 dan terjadi saat x = 6.



Perbandingan Contoh soal 8: Kendaraan A berjalan dengan laju 60 km/jam. Dua jam berikutnya kendaraan B berjalan dengan laju 80 km/jam berangkat dari tempat dan menuju arah yang sama. Setelah berapa jam kendaraan B menyusul kendaraan A?



1. 2 jam 2. 3 jam 3. 4 jam 4. 5 jam



5. 6 jam Jawaban: Misalkan B menyusul A setelah x. Waktu kendaraan Aa dan B berturut-turut adalah x + 2 dan x, sehingga jarak yang ditempuh kendaraan A dan B berturut-turut adalah 60(x + 2) dan 80x. Kendaraan B menyusul kendaraan A terjadi saat jarak yang ditempuh B sama dengan jarak yang di tempuh A, yaitu 60(x + 2) = 80x ⇔⇔ 3(x + 2) = 4x ⇔⇔ x = 6 Jadi Kendaraan B menyusul A setelah 6 jam. Jawab e. Contoh soal 9: Tujuh ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepak bola dalam waktu 7 hari. Waktu yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola adalah ...hari. (OSK 2004) Jawaban: diketahui bahwa kecepatan makan 7 ekor kambing adalah 7 lapangan7 hari=1 lapangan/hari7 lapangan7 hari=1 lapangan/hari Sehingga kecepatan makan 1 ekor kambing adalah 17 lapangan17 lapangan akibatnya kecepatan makan 3 ekor kambing adalah 37 lapangan37 lapangan dengan demikian, rumput seluas 3 lapangan akan dihabiskan dalam waktu 337337 = 7 hari.



Eksponen contoh soal 10. Jika a=√b1−ba=b1−b maka b dinyatakan dalam a adalah . . . 1. 2. 3. 4. 5.



b=1+a2b=1+a2 b=1+a2a2b=1+a2a2 b=a21+a2b=a21+a2 b=1−a2a2b=1−a2a2 b=a21−a2b=a21−a2



Jawaban: Menurut definisi akar, maka a=√b1−b⇔a2=b1−ba=b1−b⇔a2=b1−b sehingga



b=(1−b)a2⇔b=a2−ba2⇔b+ba2=a2⇔b(1+a2)=a2b=(1−b)a2⇔b=a2−ba2⇔b+ba2=a2 ⇔b(1+a2)=a2 Dengan demikian b=a21+a2b=a21+a2 jawab c.



Barisan dan Deret Bilangan Contoh Soal 11. Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD.... berulang sampai tak terhingga. Huruf apakah yang menempati urutan ke 2533? (OSN 2003)



Jawaban: Perhatikan bahwa pola di atas berulang setiap 10 suku yaitu ABBCCCDDDD. Dengan demikian, kita cukup mencari digit terakhir dari 2533. Digit terakhir dari 2533 = 32 x 27 adalah 4. Sehingga huruf yang menempati urutan ke 2533 sama dengan huruf keempat dari barisan tersebut yaitu huruf C. Contoh soal 12: Nilai dari 20092−20082+20072−20062+20052+...



+32−22+1220092−20082+20072−20062+20052+...+32−22+12 adalah . . .(OSP 2009) Jawaban: Kita akan menggunakan pemfaktoran x2−y2=(x−y)(x+y)x2−y2=(x−y)(x+y) S = 20092−20082+20072−20062+20052+...



+32−22+1220092−20082+20072−20062+20052+...+32−22+12 = (2009-2008)(2009+2008)+(2007-2006)(2007+2006)+ . . .+ (3-2)(3+2)+1 = 4017 + 4013 + . . . + 5 + 1 = 1 + 5 + 9 + ... + 4013 + 4017 Perhatikan bahwa 1 + 5 + 9 + ... + 4013 + 4017 merupakan deret aritmetika dengan a=1, b= 4 dan Un = 4017 . Dari Un = 4017 di peroleh banyaknya suku pada deret tersebut: Un = a + (n-1)b = 4017 ⇔⇔ 1 + (n-1)4=4017 ⇔⇔ 4n = 4020 ⇔⇔ n = 1005 Jadi banyak Suku pada deret tersebut ada 1005 suku. Dengan demikian :



S=12n(a+un)=1005(1+4017)2=1005(4018)2=2.019.045S=12n(a+un)=1005(1+4017)2=1005 (4018)2=2.019.045 Jadi 20092−20082+20072−20062+20052+... +32−22+1220092−20082+20072−20062+20052+...+32−22+12 = 2.019.045.