Teori Tambahan [PDF]

Citation preview

TEORI TAMBAHAN A. Dasar Teori Bandul matematis adalah suatu titik benda digantungkan pada suatu titk tetap dengan tali. Jika ayunan menyimpang sebesar sudut θ terhadap garis vertical maka gaya yang mengembalikan : F = - m . g . sin θ Untuk θ dalam radial yaitu θ kecil maka sin θ = θ = s/l, dimana s = busur lintasan bola dan l = panjang tali , sehingga : F =−



mgs l



Kalau tidak ada gaya gesekan dan gaya puntiran maka persamaan gaya adalah :



d 2 s mg m 2 = s l dt



2 atau m d s + g g = 0 2



dt



l



Ini adalah persamaan differensial getaran selaras dengan periode adalah : T = 2π



l x



Dengan



bandul



matematis



maka



ditentukan yaitu dengan hubungan :



T = 2π g=



4π 2 l T2



l x



percepatan



gravitasi



g



dapat



Harga l dan T dapat diukur pada pelaksanaan percobaan dengan bola logam yang cukup berat digantungkan dengan kawat yang sangat ringan, Beban yang diikat pada ujung tali ringan yang massanya dapat diabaikan disebut bandul. Jika beban ditarik kesatu sisi, kemudian dilepaskanmaka beban akan terayun melalui titik keseimbangan menuju ke sisi yang lain. Bila amplitudo ayunan kecil, maka bandul sederhana itu akan melakukan getaran harmonik. Bandul dengan massa m digantung pada seutas tali yang panjangnya l. Ayunan mempunyai simpangan anguler θ dari kedudukan seimbang. Gaya pemulih adalah komponen gaya tegak lurus tali. F = - m g sin θ F=ma maka m a = - m g sin θ a = - g sin θ Untuk getaran selaras θ kecil sekali sehingga sin θ = θ. Simpangan busur s = l θ atau θ=s/l , maka persamaan menjadi: a= gs/l . Dengan persamaan periode getaran harmonik T = 2π



T = 2π



−s a



maka didapat menjadi:



−s atau T = 2π − gs / l



l g



Dimana : l = panjang tali (meter) g= percepatan gravitasi (ms-2) T= periode bandul sederhana (s)



Dari rumus di atas diketahui bahwa periode bandul sederhana tidak bergantung pada massa dan simpangan bandul, melaikan hanya bergantung pada panjang dan percepatan gravitasi, yaitu:



g=



4π 2 l T2 Gerak osilasi yang sering dijumpai adalah gerak ayunan. Jika



simpangan osilasi tidak terlalu besar, maka gerak yang terjadi dalam gerak harmonik sederhana. Ayunan sederhana adalah suatu sistem yang terdiri dari sebuah massa dan tak dapat mulur. Ini dijunjukkan pada gambar dibawah ini. Jika ayunan ditarik kesamping dari posisi setimbang, dan kemudian dilepasskan, maka massa m akan berayun dalam bidang vertikal kebawah pengaruh gravitasi. Gerak ini adalah gerak osilasi dan periodik. Kita ingin menentukan periode ayunan. Pada gambar di bawah ini, ditunjukkan sebuah ayunan dengan panjang 1, dengan sebuah partikel bermassa m, yang membuat sudut θ terhadap arah vertical. Gaya yang bekerja pada partikel adalah gaya berat



dan gaya tarik



dalam tali. Kita pilih suatu sistem koordinat



dengan satu sumbu menyinggung lingkaran gerak (tangensial) dan sumbu lain pada arah radial. Kemudian kita uraikan gaya berat mg atas komponen-komponen pada arah radial, yaitu mg cos θ, dan arah tangensial, yaitu mg sin θ. Komponen radial dari gaya-gaya yang bekerja memberikan percepatan sentripetal



yang



diperlukan



agar



benda



bergerak



pada



busur



lingkaran.Komponen tangensial adalah gaya pembalik pada benda m yang cenderung mengembalikan massa keposisi setimbang. Jadi gaya pembalik adalah : F = −mg sin θ



Perhatikan bahwa gaya pembalik di sini tidak sebanding dengan θ akan tetapi sebanding dengan sin θ. Akibatnya gerak yang dihasilkan bukanlah gerak harmonic sederhana. Akan tetapi, jika sudut θ adalah



kecil maka sin θ ≈ θ (radial). Simpangan sepanjang busur lintasan adalah



x=lθ , dan untuk sudut yang kecil busur lintasan dapat dianggap sebagai garis lurus. Jadi kita peroleh



x F = −mg sin θ ≈ −mgθ = −mg   l  mg F =− x l



Gambar



Gaya-gaya yang bekerja pada ayunan sederhana adalah



gaya tarik T dan gaya berat mg pada massa m



Jadi untuk simpangan yang kecil, gaya pembalik adalah sebanding dengan simpangan, dan mempunyai arah berlawanan. Ini bukan laian adalah



persyaratan



gerak



harmonic



sederhana.



menggantikan tetapan k pada F=-kx. Perioda ayunan jika amplitude kecil adalah:



Tetapan



mg/l



T = 2π



m m = 2π k mg / l



T = 2π



l g



Contoh dari kategori ayunan mekanis, yaitu pendulum. Kita akan memulai kajian kita dengan meninjau persamaan gerak untuk sistem yang dikaji seperti dalam gambar 2. Gambar Pendulum, gaya pemulih yang timbul gravitasi



berkaitan pada



menyebutkan



dengan



massa kondisi



pengaruh



M.



Dapat



anda



apa



saja



yang



berlaku untuk pendulum sederhana seperti di samping.



Gaya pemulih muncul sebagai konsekuensi gravitasi terhadap bola bermassa M dalam bentuk gaya gravitasi M g yang saling meniadakan dengan gaya Mdv/dt yang berkaitan dengan kelembaman. Adapun frekuensi ayunan tidak bergantung kepada massa M. Dalam kasus sistem ayunan seperti yang disajikan dalam gambar di atas, maka gerakan massa M terbatasi atau ditentukan oleh panjang pendulum L, dan persamaan gerak yang berlaku adalah :



d 2θ ML 2 = −mg sin θ dt



dimana dalam hal ini kecepatan bola sepanjang lintasannya yang berupa busur lingkaran adalah v( t ) = Lθ ( t ) . Faktor sinθ merupakan komponen yang searah dengan gravitasi dari gaya yang bekerja pada bola dalam arah θ. Selanjutnya dengan membuang M dari kedua sisi persamaan di atas, diperoleh bentuk



d 2θ g + sin θ = 0 , yang merupakan dt 2 L



persamaan diferensial tak linear untuk θ. Jika dianggap simpangan awal ayunan cukup kecil



, maka



berlaku sin θ=θ sehingga persamaan dapat diubah menjadi bentuk linear sebagai berikut,



d 2θ g + θ =0 dt 2 L persamaan merupakan gambaran untuk ayunan sinusuidal dengan frekuensi diberikan oleh:



ω=



l g maka T = 2π g l



Pada bandul matematis, berat tali diabaikan dan panjang tali jauh lebih besar dari pada ukuran geometris dari bandul. Pada posisi setimbang, bandul berada pada titik A. Sedangkan pada titik B adalah kedudukan pada sudut di simpangan maksimum (θ). Kalau titik B adalah kedudukan dari simpangan maksimum, maka gerakan bandul dari B ke A lalu ke B’ dan kemudian kembali ke A dan lalu ke B lagi dinamakan satu ayunan. Waktu yang diperlukan untuk melakukan satu ayunan ini disebut periode (T). Seperti pada gambar 3. di bawah ini



f



komponen w menurut garis



=



singgung pada lintasan bandul



P



gaya tegang tali



= N



komponen normal dari W=mg



= l=



panjang tali



θ



sudut simpangan



=



Gambar bandul matematis, berat tali diabaikan dan panjang tali dan panjang tali yang memiliki ukuran lebih besar.



Dengan mengambil sudut θ cukup kecil sehingga BB’= busur BAB’, maka dapat dibuktikan bahwa T = 2π



l g



Dengan mengetahui panjang tali dan periode, maka percepatan gravitasi bumi dapat dihitung (Anonim, 2004). Cara sederhana mengukur g adalah dengan menggunakan bandul matematis sederhana. Bandul ini terdiri dari beban yang diikatkan



pada



ujung



benang



(tali



ringan)



dan



ujung



lainnya



dogantungkan pada penyangga tetap. Beban dapat berayun dengan bebas. Ketika disimpangkan, bandul bergerak bolak-balik. Waktu satu kali gerak bolak-balik disebut satu periode. Kita nyatakan periode dengan symbol T. Periode bandul memenuhi rumus :



T2 =



4π 2 L g



T= periode bandul (s) L= panjang penggantung (m) g= percepatan gravitasi (m/s2) Gambar bandul yang diikat pada tali



Bandul sederhana terdiri atas benda bermassa m yang diikat dengan seutas tali ringan yang panjangnya l (massa tali diabaikan). Jika bandul berayun, tali akan membentuk sudut sebesar α terhadap arah vertical. Jika sudut α terlalu kecil, gerak bandul tersebut akan memenuhi persamaan gerak harmonic sederhana seperti gerak massa pada pegas. Kita tinjau gaya-gaya pada massa m. dalam arah vertical, massa m dipengaruhi oleh gaya beratnya yaitu sebesar w = mg. gaya berat tersebut memiliki komponen sumbu x sebesar mg sin α dan komponen sumbu y sebesar mg cos α.



Gaya dalam arah sumbu x merupakan gaya pemulih, yaitu gaya yang selalu menuju titik keseimbangan. Arah gaya tersebut berlawanan arah dengan simpangan, sehingga dapat ditulis : Dalam arah sumbu y, komponen gaya berat diimbangi oleh tegangan tali T sehingga gaya dalam arah sumbu y bernilai nol,



=0 Jika sudut α cukup kecil (α < ), maka nilai sinus tersebut mendekati dengan nilai sudutnya, sin α ≈ α. Sehingga hubungan antara panjang busur x dengan sudut teta dinyatakan dengan persamaan : x = L sin α atau α = x/L (ingat bahwa sudut teta adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari lingkaran (r) jika dinyatakan dalam satuan radian. Karena lintasan pendulum berupa lingkaran maka kita menggunakan pendekatan ini untuk menentukan besar simpangannya. Jari-jari lingkaran pada kasus ini adalah panjang tali L) Jika massa m menyimpang sejauh x dari titik seimbang, maka massa tersebut akan mengalami gaya pemulih sebesar :



F = mg sin α ≈ mg α = x Gaya pemulih tersebut sebanding dengan simpangan, seperti pada gerak harmonic sederhana. Sekarang kita akan membandingkan gaya pemulih untuk massa pada pegas dan gaya pemulih untuk system bandul sederhana. Pada pegas berlaku F = kx, sedangkan pada bandul berlaku



F = x.



harga pada bandul adalah tetap sehingga dapat dianalogikan dengan tetapan pegas (k).



Periode bandul dapat pula dianalogikan dengan periode gerak massa pada pegas,



T = 2 , dengan mengganti k dengan mg/L : T=2=2 Dengan eliminasi m, kita memperoleh periode ayunan bandul sebesar :



T=2



Gambar Gerak Harmoni pada bandul



GERAK HARMONIK SEDERHANA. Setiap gerak yang terjadi secara berulang dalam selang waktu yang sama disebut gerak periodik. Karena gerak ini terjadi secara teratur maka disebut juga sebagai gerak harmonik/harmonis. Apabila suatu partikel melakukan gerak periodik pada lintasan yang sama maka geraknya disebut gerak osilasi/getaran. Bentuk yang sederhana dari gerak periodik adalah benda yang berosilasi pada ujung pegas. Karenanya kita menyebutnya gerak harmonis sederhana. Banyak jenis gerak lain (osilasi dawai, roda keseimbangan arloji, atom dalam molekul, dan sebagainya) yang mirip dengan jenis gerakan ini, sehingga pada kesempatan ini kita akan membahasnya secara mendetail. Dalam kehidupan sehari-hari, gerak bolak balik benda yang bergetar terjadi tidak tepat sama karena pengaruh gaya gesekan. Ketika kita memainkan gitar, senar gitar tersebut akan berhenti bergetar apabila kita menghentikan petikan. Demikian juga bandul yang berhenti berayun jika tidak digerakan secara berulang. Hal ini disebabkan karena adanya gaya gesekan. Gaya gesekan menyebabkan bendabenda tersebut berhenti berosilasi. Jenis getaran seperti ini disebut getaran harmonik teredam. Walaupun kita tidak dapat menghindari gesekan, kita dapat meniadakan efek redaman dengan menambahkan energi ke dalam sistem yang berosilasi untuk mengisi kembali energi yang hilang akibat gesekan, salah satu contohnya adalah pegas dalam arloji yang sering kita pakai. Pada kesempatan ini



kita hanya membahas gerak harmonik sederhana secara mendetail, karena dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak jenis gerak yang menyerupai sistem ini Gaya Pemulih pada Gerak Harmonik Sederhana n Gaya Pemulih pada Pegas k = konstanta pegas (N/m) y = simpangan (m) n Gaya Pemulih pada Ayunan Bandul Sederhana m = massa benda (kg) g = percepatan gravitasi (m/s2) Peride dan Frekuensi n Periode adalah waktu yg diperlukan untuk melakukan satu kali gerak bolakbalik. n Frekuensi adalah banyaknya getaran yang dilakukan dalam waktu 1 detik. n Untuk pegas yg memiliki konstanta gaya k yg bergetar karena adanya beban bermassa m, periode getarnya adalah n Sedangkan pada ayunan bandul sederhana, jika panjang tali adalah l, maka periodenya adalah Simpangan, Kecepatan, Percepatan n Simpangan Gerak Harmonik Sederhana y = simpangan (m)



A = amplitudo (m) ω = kecepatan sudut (rad/s) f = frekuensi (Hz) t = waktu tempuh (s) Jika pada saat awal benda pada posisi θ0, maka Besar sudut (ωt+θ0) disebut sudut fase (θ), sehingga φ disebut fase getaran dan Δφ disebut beda fase.



Kecepatan Gerak Harmonik Sederhana Untuk benda yg pada saat awal θ0 = 0, maka kecepatannya adalah Nilai kecepatan v akan maksimum pada saat cos ωt = 1, sehingga kecepatan maksimumnya adalah Kecepatan benda di sembarang posisi y adalah Percepatan Gerak Harmonik Sederhana Untuk benda yg pada saat awal θ0 = 0, maka percepatannya adalah Nilai percepatan a akan maksimum pada saat sin ωt = 1, sehingga percepatan maksimumnya adalah Arah percepatan a selalu sama dengan arah gaya pemulihnya. Energi pada Gerak Harmonik Sederhana



Energi kinetik benda yg melakukan gerak harmonik sederhana, misalnya pegas, adalah Karena k = mω2, diperoleh



Energi potensial elastis yg tersimpan di dalam pegas untuk setiap perpanjangan y adalah Jika gesekan diabaikan, energi total atau energi mekanik pada getaran pegas adalah Hukum Kekekalan Energi Mekanik pada Gerak Harmonik Sederhana



Terdapat dua jenis gerakan yang merupakan Gerak Harmonik Sederhana, yakni ayunan sederhana dan getaran pegas. Jika dirimu belum paham apa itu Gerak Harmonik Sederhana, silahkan pelajari materi Gerak Harmonik Sederhana yang telah dimuat pada blog ini. Silahkan meluncur ke TKP….. Sekarang mari kita tinjau Hukum Kekekalan Energi Mekanik pada ayunan sederhana.



Untuk menggerakan benda yang diikatkan pada ujung tali, benda tersebut kita tarik ke kanan hingga mencapai titik A. Ketika benda belum dilepaskan (benda masih diam), Energi Potensial benda bernilai maksimum, sedangkan EK = 0 (EK = 0 karena benda diam ). Pada posisi ini, EM = EP. Ingat bahwa pada benda bekerja gaya berat w = mg. Karena benda diikatkan pada tali, maka ketika benda dilepaskan, gaya gravitasi sebesar w = mg cos teta menggerakan benda menuju posisi setimbang (titik B). Ketika benda bergerak dari titik A, EP menjadi berkurang karena h makin kecil. Sebaliknya EK benda bertambah karena benda telah bergerak. Pada saat benda mencapai posisi B, kecepatan benda bernilai maksimum, sehingga pada titik B Energi Kinetik menjadi bernilai maksimum sedangkan EP bernilai minimum. Karena pada titik B kecepatan benda maksimum, maka benda bergerak terus ke titik C. Semakin mendekati titik C, kecepatan benda makin berkurang sedangkan h makin besar. Kecepatan berkurang akibat adanya gaya berat benda sebesar w = mg cos teta yang menarik benda kembali ke posisi setimbangnya di titik B. Ketika tepat berada di titik C, benda berhenti sesaat sehingga v = 0. karena v = 0 maka EK = 0. pada posisi ini, EP bernilai maksimum karena h bernilai maksimum. EM pada titik C = EP. Akibat tarika gaya berat sebesar w = mg cos teta, maka benda bergerak kembali menuju titik B. Semakin mendekati titik B, kecepatan gerak benda makin besar, karenanya EK semakin bertambah dan bernilai maksimum pada saat benda tepat berada pada titik B. Semikian seterusnya, selalu terjadi perubahan antara EK dan EP. Total Energi Mekanik bernilai tetap (EM =EP + EK).