Terjemahan Hal 129 [PDF]

Citation preview

Terjemahan hal 129. (automorfisma)



Automorphisms Beberapa jenis isomorphisms sering disebut bahwa memiliki nama khusus. Definisi automorfism Isomorfisme dari grup G ke dirinya sendiri disebut automorphism G. Isomorfisma dalam Contoh 7 adalah automorphism dari SL (2, R). Ikuti Dua contoh berikut. Contoh 9











Fungsi



dari C ke C yang diberikan oleh



(a + bi) = a - bi adalah automorphism dari grup  bilangan kompleks bawah penambahan. Pembatasan ke C * juga merupakan automorphism dari grup bilangan kompleks nol bawah perkalian. (Lihat Latihan 25.) Contoh 10 2



Misalkan R = {(a, b) | a, b







 R}. Kemudian



(a, b) = (b, a) adalah automorphism dari  2 kelompok R bawah componentwise penjumlahan. Geometris, mencerminkan setiap titik di bidang membentang di garis y = x. Lebih umum, setiap refleksi di garis yang melewati asal atau rotasi dari bidang asal adalah automorphism R2.



Isomorfisma dalam Contoh 7 adalah contoh khusus dari automorphism yang timbul sering cukup untuk menjamin nama dan notasi dari sendiri. Definisi.



Inner Automorphism Induced by a







a



Mari G grup, dan diberi a G. Fungsi didefinisikan oleh disebut inner automorphism G yang disebabkan oleh a.



a (x) = a x a-1 untuk semua x di G



a Kami tinggalkan bagi pembaca untuk menunjukkan bahwa automorphism G. (Gunakan Contoh 7 sebagai model.)



sebenarnya merupakan



Contoh 11 Aksi inner automorphism D4 diinduksi oleh R90 diberikan pada tabel berikut.



Ketika G adalah sebuah grup, kita menggunakan Aut (G) untuk menunjukkan himpunan semua automorphisms G dan Inn (G) untuk menunjukkan himpunan semua inner automorphisms G. Alasannya himpunan ini dicatat ditunjukkan oleh teorema berikutnya. Teorema 6.4 aut(G) dan Inn (G) adalah grup+ Himpunan automorphisms dari grup dan himpunan bagian automorphisms dari grup yang kedua grup di bawah operasi komposisi fungsi. Bukti : bukti dari teorema 6.4 ditingalkan sebagai latihan (latihan 15)















Penentuan Inn (G) adalah rutin. Jika G = {e, a, b, c. . . .}, kemudian Inn (G) = { e, a, b,   ,. . .}. Daftar yang terakhir ini mungkin memiliki duplikasi, Namun, karena c a mungkin sama   dengan b meskipun a b (lihat Latihan 33). Dengan demikian, satu-satunya pekerjaan yang terlibat dalam menentukan Inn (G) adalah memutuskan unsur-unsur yang berbeda diberikan automorphisms berbeda. Di sisi lain, penentuan Aut (G) yang, secara umum, cukup terlibat. Contoh 12 Inn (D4) Untuk menetukan Inn (D4), pertama kita amati bahwa daftar lengkap inner aoutomorfism adalah  RO  R9 0  R18 0  H V  D  D' , , , , , , dan . Tugas kita adalah untuk menentukan pengulangan dalam



 R18 0 



 R18 0



 RO



 R18 0



daftar ini, karena Z (D4), kita punyai (x) = R180 x R180-1= x, maka = . Juga,  R2 70  R9 0 (x) = R270xR270-1= R90R180-1R90-1= (x). demikian, karena H = R180V dan D’ = R180D, kita  H V  D  D' punyai = dan = . Hal ini membuktikan bahwa daftar sebelumnya dapat dikupas  RO  R90  H D ke bawah , , dan . Kami menyerahkan kepada pembaca untuk menunjukkan bahwa ini adalah berbeda (latihan 13).



Contoh 13. Untuk menghitung Aut (Z10), kami mencoba untuk menemukan informasi yang cukup tentang elemen dari Aut (Z10) untuk menentukan bagaimana harus didefinisikan. karena Z 10 begitu sederhana, hal ini tidak sulit untuk dilakukan. Untuk mulai dengan, mengamati bahwa setelah kita tahu







(1), kita tahu







(k) untuk k apapun, karena



Jadi, kita hanya perlu menentukan pilihan untuk







(1) yang membuat sebuah automorphism dari



Z10. Karena properti 5 dari Teorema 6.2 memberitahu kita bahwa | kandidat untuk



Untuk











membedakan



,dan 1 - 9 dengan



7



.



9



Tapi



periksa







3



(1) | = 10, ada empat



(1):



antara



empat



kemungkinan,



kami



yang menunjukkan pemetaan yang mengirimkan 1-1 oleh











semua











memperbaiki



1, 1 sampai







3 oleh



. Jadi satu-satunya kemungkinan Aut (Z10) adalah



9



automorphisms



ini?



Jelas,







Sejak x mod 10 = y mod 10



didefinisikan dengan baik. Selain itu, karena



1



adalah



notasi







,



1



identitas.











kami



, 1-7 oleh



3



,







3



, dan



7



Mari



menyiratkan,3x mod 10 = 3y mod 10,







kita







3



(1) = 3 merupakan generator Z10, itu



3



DIIKUTI yang







adalah ke (dan, dengan latihan 10 pada Bab 5, juga oneto-



3



satu). Akhirnya, karena







(a + b) = 3 (a + b) = 3a + 3b=











(a) + 3 (b),    kita melihat bahwa 3 adalah operasi-melestarikan juga. Dengan demikian, 3 Aut (Z10). Itu 3



Argumen yang sama menunjukkan bahwa



(1) =















7



dan







9



juga automorphisms.



diberikan elemen Aut (Z10) tetapi tidak struktur. Contohnya, apa 3



(3) = 3.3 = 9 =











9







(1), sehingga







  3



3



=



3







  3



? Nah, (



 



3



. Perhitungan serupa menunjukkan



9



3



)



3







3



3



=



4 dan 3 = 1, sehingga yang | 3 | = 4. Dengan demikian, Aut (Z10) adalah siklik. Sebenarnya, berikut tabel Cayley mengungkapkan bahwa Aut (Z10) adalah isomorfik ke U (10). 7



Dengan Contoh 13 sebagai panduan, kita sekarang siap untuk mengatasi kelompok Aut (Zn). Hasilnya sangat bagus, karena berkaitan dengan dua jenis grup paling sering kita ditemui sejauh- grup siklik Zn dan U-grup U (n). Teorema 6.5 Aut (Zn)







U(n)



Untuk setiap bilangan bulat positif n, Aut (Zn) adalah isomorfik ke U (n). Bukti : Sebagai contoh 13, setiap automorphism







ditentukan oleh Nilai dari







(1), dan







(1)







Sekarang mempertimbangkan korespondensi dari Aut (Zn) ke U (n) yang diberikan oleh T:







(1). fakta bahwa







(k) = k







U (n).  



(1) (Lihat Contoh 13) menyiratkan bahwa T adalah pemetaan     satu-ke-satu. Karena jika dan milik Aut (Zn) dan (1) = (1), maka (k) = k (1) = k     (1) = (k) untuk semua k di Zn, dan karena itu = .















Untuk membuktikan bahwa T onto, biarkan r











U (n) dan mempertimbangkan pemetaan



dari Zn ke Zn didefinisikan oleh (s) =sr (mod n) untuk semua s di Z n. Kami meninggalkan sebagailatihan untuk memverifikasi bahwa adalah automorphism dari Z n (lihat Latihan 17). Kemudian, karena T (











)=







(1) = r, T adalah ke U (n).



Akhirnya, kami membangun fakta bahwa T adalah operasi-melestarikan. Biarkan, Aut (Zn). Kami kemudian memiliki



Ini melengkapi bukti.



  ,