TP2 PDF [PDF]

Citation preview

Tugas Personal ke-2 Minggu 7/ Sesi 11



1. Sebuah koin yang memiliki probabilitas p untuk muncul kepala dibalik secara berturutturut sampai dua dari tiga lemparan terakhir adalah kepala. Jika N menunjukkan jumlah kegiatan membalik. (Perhatikan bahwa jika dua pembalikan pertama adalah kepala, maka N = 2.) Tentukan nilai dari E[N] = ? Jawab : Menggunakan prinsip-prinsip probabilitas. Misalkan X adalah jumlah lemparan yang dibutuhkan untuk mendapatkan dua dari tiga kepala terakhir. Maka, 𝑃(𝑋 = 2) = 𝑝2 𝑃(𝑋 = 3) = (1 − 𝑝)𝑝2 2



𝑃(𝑋 = 4) = (1 − 𝑝)2𝑝 + (1 − 𝑝)𝑝3 3



𝑃(𝑋 = 5) = (1 − 𝑝)2𝑝 + (1 − 𝑝)𝑝4 4



2



𝑃(𝑋 = 6) = (1 − 𝑝)2𝑝 + (1 − 𝑝)3𝑝 + (1 − 𝑝)2𝑝



3



Kita dapat menuliskan E[N] sebagai: E[N] = 2P(X=2) + 3P(X=3) + 4P(X=4) + 5P(X=5) + 6P(X=6) + ... Dengan menggunakan deret geometri, Diperoleh E[N] 𝐸[𝑁] = 2𝑝2 +



3(1 − 𝑝)𝑝2 1 − (1 − 𝑝)𝑝 3(1 − 𝑝)𝑝2 𝐸[𝑁] = 2𝑝 + 2−𝑝 2



2. Fungsi massa probabilitas gabungan dari X dan Y, p(x, y), seperti pada data berikut ini:



Deterministic Optimization and Stochastic Processes



This study source was downloaded by 100000862386817 from CourseHero.com on 07-16-2023 08:32:52 GMT -05:00



https://www.coursehero.com/file/203259749/TP2pdf/



Hitung E[X|Y = i] untuk setiap i = 1, 2, 3 Jawab : Untuk menghitung nilai E[X|Y=i], kita perlu mengetahui nilai E[X|Y] terlebih dahulu. Kita dapat menggunakan rumus umum untuk menghitung E[X|Y]: 𝐸[𝑋|𝑌] = ∑𝑥(𝑥 ∗ 𝑃(𝑋 = 𝑥|𝑌))



Maka, 𝑃(𝑌 = 1) = 𝑃(1,1) + 𝑃(2,1) + 𝑃(3,1) = 1/3 𝑃(𝑌 = 2) = 𝑃(1,2) + 𝑃(2,2) + 𝑃(3,2) = 1/6 𝑃(𝑌 = 3) = 𝑃(1,3) + 𝑃(2,3) + 𝑃(3,3) = 5/18 Kemudian, kita dapat menghitung P(X=x|Y=i) untuk setiap nilai x dan i dengan menggunakan rumus yang sama:



𝑃(𝑋 = 1|𝑌 = 𝑖) =



𝑃(1, 𝑖) 𝑃(𝑌 = 𝑖)



𝑃(𝑋 = 2|𝑌 = 𝑖) =



𝑃(2, 𝑖) 𝑃(𝑌 = 𝑖)



𝑃(𝑋 = 3|𝑌 = 𝑖) =



𝑃(3, 𝑖) 𝑃(𝑌 = 𝑖)



Dengan menggunakan nilai-nilai ini, kita dapat menghitung E[X|Y] sebagai berikut: Petama, 𝐸[𝑋|𝑌 = 1] = (1 ∗ 𝑃(𝑋 = 1|𝑌 = 1)) + (2 ∗ 𝑃(𝑋 = 2|𝑌 = 1)) + (3 ∗ 𝑃(𝑋 = 3|𝑌 = 1))



Deterministic Optimization and Stochastic Processes



This study source was downloaded by 100000862386817 from CourseHero.com on 07-16-2023 08:32:52 GMT -05:00



https://www.coursehero.com/file/203259749/TP2pdf/



1 1 1 9 3 = (1 ∗ ) + (2 ∗ ) + (3 ∗ 9 ) 1 1 1 3 3 3 = 3.33 Kedua,



𝐸[𝑋|𝑌 = 2] = (1 ∗ 𝑃(𝑋 = 1|𝑌 = 2)) + (2 ∗ 𝑃(𝑋 = 2|𝑌 = 2)) + (3 ∗ 𝑃(𝑋 = 3|𝑌 = 2)) 1 1 0 9 18 ) = (1 ∗ ) + (2 ∗ ) + (3 ∗ 1 1 1 6 6 6 = 1.67 Ketiga, 𝐸[𝑋|𝑌 = 3] = (1 ∗ 𝑃(𝑋 = 1|𝑌 = 3)) + (2 ∗ 𝑃(𝑋 = 2|𝑌 = 3)) + (3 ∗ 𝑃(𝑋 = 3|𝑌 = 3)) 1 1 0 6 ) + (2 ∗ ) + (3 ∗ 9 ) = (1 ∗ 5 5 5 18 18 18 = 2.4 Jadi, nilai E[X|Y=1] adalah 3.33, E[X|Y=2] adalah 1.67, dan E[X|Y=3] adalah 2.4



3. Kota tertentu tidak pernah memiliki dua hari cerah berturut-turut. Setiap hari diklasifikasikan sebagai cerah, berawan (tapi kering), atau hujan. Jika suatu hari cerah, kemungkinan besar akan berawan atau hujan pada hari berikutnya. Jika suatu hari hujan atau mendung, maka ada satu dari dua kemungkinan bahwa hari berikutnya akan sama, dan jika berubah maka kemungkinannya sama dengan salah satu dari dua kemungkinan lainnya. Dalam jangka panjang, berapa proporsi hari yang cerah?



Deterministic Optimization and Stochastic Processes



This study source was downloaded by 100000862386817 from CourseHero.com on 07-16-2023 08:32:52 GMT -05:00



https://www.coursehero.com/file/203259749/TP2pdf/



Berapa proporsi yang berawan? Jawab : Tidak ada dua hari cerah berturut-turut, maka hari-hari dapat diwakili oleh urutan cerah (C), berawan (B), dan hujan (H). Kita dapat menentukan kemungkinan urutan ini dengan mengikuti aturan-aturan yang diberikan dalam soal: •



Jika hari pertama adalah C, maka hari kedua bisa B atau H.



•



Jika hari pertama adalah B, maka hari kedua bisa C atau H (karena tidak boleh ada dua hari berturut-turut dengan cuaca yang sama).



•



Jika hari pertama adalah H, maka hari kedua bisa H atau B.



Dengan menggabungkan semua kemungkinan ini, kita dapat membuat tabel sebagai berikut: Hari Pertama



Hari Kedua



C



B atau H



B



C atau H



H



B atau H



Dari tabel ini, kita dapat menghitung proporsi hari cerah, berawan, dan hujan sebagai berikut: ➢ Proporsi hari cerah: 1/3 (karena hanya ada satu kemungkinan hari cerah dalam tabel di atas). ➢ Proporsi hari berawan: 2/6 = 1/3 (karena ada dua kemungkinan hari berawan dalam tabel di atas). ➢ Proporsi hari hujan: 2/6 = 1/3 (karena ada dua kemungkinan hari hujan dalam tabel di atas). 4. Sebuah organisasi memiliki N karyawan di mana N adalah jumlah yang besar. Setiap karyawan memiliki salah satu dari tiga kemungkinan klasifikasi pekerjaan dan mengubah klasifikasi (secara mandiri) menurut rantai Markov dengan probabilitas transisi sebagai berikut:



Deterministic Optimization and Stochastic Processes



This study source was downloaded by 100000862386817 from CourseHero.com on 07-16-2023 08:32:52 GMT -05:00



https://www.coursehero.com/file/203259749/TP2pdf/



Berapa persentase karyawan di setiap klasifikasi? Jawab : Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi steady state dari rantai Markov, yang dapat ditemukan dengan memecahkan persamaan πP = π, di mana π adalah vektor probabilitas steady state dan P adalah matriks probabilitas transisi. Dari matriks probabilitas transisi yang diberikan, kita dapat menuliskan matriks P sebagai: P= [0.7 0.2 0.1] [0.2 0.6 0.2] [0.1 0.4 0.5] Kemudian, menuliskan persamaan πP = π sebagai: π1(0.7) + π2(0.2) + π3(0.1) = π1 π1(0.2) + π2(0.6) + π3(0.4) = π2 π1(0.1) + π2(0.2) + π3(0.5) = π3 π1 + π2 + π3 = 1. persamaan pertama: π1(0.7) + π2(0.2) + π3(0.1) = π1 π1(0.7 - 1) = -π2(0.2) - π3(0.1) π1(-0.3) = -π2(0.2) - π3(0.1) π1 = (0.2π2 + 0.1π3) / 0.3 (…….1) persamaan kedua dan ketiga dengan cara pengerjaan persamaan pertama maka diperoleh π2 = (0.2π1 + 0.4π2 + 0.2π3) / 0.6 (…….2) π3 = (0.1π1 + 0.2π2 + 0.5π3) / 0.8 (…….3)



Deterministic Optimization and Stochastic Processes



This study source was downloaded by 100000862386817 from CourseHero.com on 07-16-2023 08:32:52 GMT -05:00



https://www.coursehero.com/file/203259749/TP2pdf/



Kemudian, dapat menggunakan persamaan π1 + π2 + π3 = 1 untuk menghilangkan satu variabel dan memecahkan sistem persamaan tersebut. Substitusikan nilai π1 dari persamaan pertama ke dalam persamaan kedua dan ketiga: π2 = (0.2(0.2π2 + 0.1π3) / 0.3 + 0.4π2 + 0.2π3) / 0.6 π3 = (0.1(0.2π2 + 0.1π3) / 0.3 + 0.2π2 + 0.5π3) / 0.8 0.2(0.2𝜋2 + 0.1𝜋3) + 0.4𝜋2 + 0.2𝜋3) 0.3 𝜋2 = 0.6 (



0.1(0.2𝜋2 + 0.1𝜋3) + 0.2𝜋2 + 0.5𝜋3) 0.3 𝜋3 = 0.8 (



Variabel π2 dan π3: 0.2 0.2 0.4 0.1 0.2 0.5 ) + 𝜋3 ( )= 0 𝜋2 ( − + − + 0.3 0.6 0.6 0.3 0.8 0.8 Nilai π2 dan π3: π2 = 0.357 π3 = 0.286 Dan karena π1 + π2 + π3 = 1, maka: π1 = 0.357 atau dapat juga menggunakan eliminasi gaus jorda Jadi, persentase karyawan di setiap klasifikasi adalah 35.7% untuk klasifikasi pertama, 35.7% untuk klasifikasi kedua, dan 28.6% untuk klasifikasi ketiga.



==END==



Deterministic Optimization and Stochastic Processes



This study source was downloaded by 100000862386817 from CourseHero.com on 07-16-2023 08:32:52 GMT -05:00



https://www.coursehero.com/file/203259749/TP2pdf/ Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)