Transport Eqn [PDF]

Citation preview

Chapter 1



Metoda Beda Hingga pada Persamaan Transport Sebuah persamaan diferensial apabila didiskritisasi dengan metode beda hingga akan menjadi sebuah persamaan beda. Jika persamaan diferensial parsial mempunyai solusi eksak u(x, t), maka persamaan beda akan mempunyai solusi hampiran u(xj , tn ). Kaitan antara pdp dengan persamaan beda, dan solusi u(x, t) dan solusi hampiran u(xj , tn ) tak lain adalah konsep kekonsistenan, kestabilan, dan kekonvergenan suatu persamaan beda, lihat Gambar 1.0.1.



well-posedness



Figure 1.0.1: Skema hubungan antara pdp dan persamaan beda.



Perhatikan persamaan transport ut + dux = 0, untuk (x, t) ∈ [0, L] × [0, T ]



(1.0.1)



beserta syarat awal. u(x, 0) = f (x), untuk 0 ≤ x ≤ L.



(1.0.2)



Solusi eksak dari (1.0.1) dan (1.0.2) adalah u(x, t) = f (x − dt). Interpretasi dari solusi eksak ini adalah merupakan translasi dari signal awal f (x) dengan kecepatan d. Jika d > 0, signal bertranslasi ke kanan, dan jika d < 0 bertranslasi ke kiri. Persamaan beda hingga dikatakan stabil jika persamaan beda menghasilkan solusi unj yang berhingga. Persamaan beda dikatakan konsisten terhadap pdpnya jika selisih antara persamaan beda dengan pdpnya (suku-suku error) menuju nol jika lebar grid menuju nol, ∆x → 0, ∆t → 0. Persamaan beda hingga dikatakan konvergen jika solusi persamaan beda mendekati solusi pdp jika lebar grid menuju nol ∆x → 0 dan ∆t → 0. Teorema Equivalensi Lax: Untuk suatu masalah nilai awal yang well-(properly-)posed, jika suatu persamaan beda konsisten dan stabil, maka persamaan beda tersebut pastilah konvergen.



1



CHAPTER 1. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TRANSPORT



2



Dengan adanya teorema ini, maka untuk analisa suatu skema beda hingga dari suatu masalah yang well-posed, yang perlu dilakukan hanyalah kajian aspek kestabilan, dan kekonsistenan. Mengingat aspek kekonvergenan dapat diperoleh dari teorema di atas.



1.1



Metode Courant-Isaacson-Rees (FTBS, upwind)



Perhatikan selang [0, L] yang dipartisi dengan lebar selang yang sama yaitu △x dengan titik-titik partisi xj = (j − 1)△x, untuk j = 1, 2, · · · , N x. Selang [0, T ] dipartisi dengan ukuran △t dengan titiktitik partisi tn = (n − 1)△t, untuk n = 1, 2, · · · , N t. Akan dicari u(xj , tn ) untuk j = 1, 2, · · · , N x, dan n = 1, 2, · · · , N t. Akan digunakan notasi unj ≡ u(xj , tn ). Metode Courant-Isaacson-Rees tak lain adalah Metode FTBS (Forward Time Backward Space) dikenal juga sebagai metode upwind. sehingga persamaan beda untuk persamaan transport (1.0.1) adalah: un+1 − unj j ∆t



+d



unj − unj−1 = 0. ∆x



(1.1.1)



atau un+1 = (1 − C)unj + Cunj−1 , j dengan C ≡



d△t △x



(1.1.2)



suatu bilangan Courant. Tunjukkan bahwa metode ini memiliki akurasi O(△t, △x).



Figure 1.1.1: Stencil metoda upwind untuk persamaan transport. Perhatikan domain perhitungan [0, L] × [0, T ] yang telah dipartisi. Syarat awal (1.0.2) telah diketahui sehingga u1j , untuk j = 1, 2, · · · , N x telah diketahui. Untuk satu time-step berikutnya dengan 1.1.2 kita dapat menghitung u2j , untuk j = 2, · · · , N x, namun u21 tak dapat dihitung. Ini berarti untuk pendekatan numerik ini kita membutuhkan syarat batas kiri. Jika digunakan syarat batas kiri u(0, t) = 0 atau un1 = 0 untuk n = 1, 2, · · · , N t, maka FTBS dapat digunakan untuk menentukan unj , untuk setiap j = 1, 2, · · · , N x, n = 1, 2, · · · , N t. Perhatikan bahwa FTBS pada persamaan transport tidak membutuhkan syarat batas kanan. Catatan: di sini syarat batas kiri kita tambahkan melulu hanya untuk keperluan perhitungan numerik. Pilihan untuk syarat batas kiri tersebut tentu berragam. Jika kita ingin mensimulasikan situasi tertentu, pilihan syarat batas ini menjadi hal yang penting untuk dicermati. Kestabilan Metode berikut ini disebut metode kestabilan von Neumann1 yang prosedurnya sebagai berikut. Substitusikan unj = ρn eiaj ke dalam (1.1.2). Setelah dibagi dengan unj , akan diperoleh ρ = 1 − C(1 − e−ia ). 1



Terdapat tiga metode untuk menguji kestabilan suatu persamaan beda, yaitu von Neumann stability analisis, metode matriks, dan discrete perturbation method.



CHAPTER 1. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TRANSPORT



3



atau ρ = 1 − C(1 − cos a) − iC sin a. Persamaan beda stabil jika |ρ| ≤ 1 atau |ρ|2 =



(



)2 1 − 2C sin2 a2 + (C sin a)2 2 sin4 a + 4C 2 sin2 a cos2 a 1 − 4C(sin2 a2 + 4C 2 2 2) ) ( 4C sin2 a2 −1 + C sin2 a2 + C cos2 a2 4C(C − 1) sin2 a2



≤ 1, ≤ 1, ≤ 0, ≤ 0.



Ketaksamaan terakhir dipenuhi untuk setiap a ∈ R jika 0 < C ≤ 1. Jadi, syarat kestabilan metode d∆t FTBS adalah 0 < C ≤ 1, dengan Courant number C = . ∆x Konsistenan Kekonsistenan dari suatu skema beda hingga diperoleh dengan prosedur berikut. Mula-mula terapkan ekpansi Taylor bagi un+1 dan unj−1 masing-masing di sekitar unj berikut. j n ∂u n 1 2 ∂ 2 u n+1 n uj = uj + ∆t + ∆t + .... (1.1.3) ∂t j 2 ∂t2 j 2 n ∂u n 1 n n 2 ∂ u uj−1 = uj − ∆x + .... (1.1.4) + ∆x ∂x j 2 ∂x2 j Substitusikan (1.1.3) dan (1.1.4) ke dalam (1.1.2), dan setelah menggunakan hubungan ( ) ( ) 2 ∂u ∂ ∂u ∂2u ∂ 2∂ u −d = −d = d = . ∂t2 ∂t ∂x ∂x ∂t ∂x2 akan diperoleh modified differential equation sebagai berikut: ( ) n ∂u n ∂ 2 u ∂u n 1 +d + d(d∆t − ∆x) + .... = 0. ∂t j ∂x j 2 ∂x2 j



(1.1.5)



Suku pertama pada (1.1.5) tak lain adalah persamaan transport yang akan diselesaikan. Suku kedua dan seterusnya pada (1.1.5) tak lain adalah suku tambahan yang kita dapatkan saat kita bekerja dengan persamaan beda (1.1.2), dan disebut error. Perhatikan bahwa jika ∆t → 0 dan ∆x → 0, maka error→ 0. Jadi metode FTBS konsisten terhadap persamaan transport. Catatan: Modified differential equation adalah persamaan yang diperoleh dari persamaan beda, yang mana beberapa sukunya diekspansikan ke dalam deret Taylor, sehingga akan ditemui suku-suku pada pdp semula. Suku-suku pada modified differential equation yang tidak terdapat pada pdp semula disebut error. Pengamatan lebih lanjut, saat kita bekerja dengan persamaan beda (1.1.2) sebenarnya kita bukan menyelesaikan persamaan transport (1.0.1) melainkan menyelesaikan modified differential equation (1.1.5). Suku pertama dari error akan nol jika dan hanya jika d∆t = ∆x (C = 1). Suku kedua dari error adalah ( ) 1 3 3 1 2 1 3 − d ∆t + d ∆x∆t − d∆x ) uxxx |nj 3 2 6 dan akan bernilai nol jika C = 1. Ternyata hal ini juga berlaku untuk suku ketiga dan seterusnya pada error. Jadi jika C = 1 persamaan beda (1.1.2) ekuivalen dengan (1.0.1). Dengan kata lain metode FTBS pada persamaan transport dengan C = 1 akan menghasilkan solusi eksak, dan uraian ∂2u di atas adalah buktinya. Jika C < 1, maka suku pertama error berupa suku difusi , dan akan ∂x2 menimbulkan error numerik berupa damping.



CHAPTER 1. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TRANSPORT



1.2



4



Metode Richardson



Metode Richardson biasa disebut sebagai Metode FTCS (Forward Time Center Space). Metode ini memiliki keakuratan O(∆t, ∆x2 ). Persamaan beda hingga untuk persamaan transport (1.0.1) adalah sebagai berikut: un+1 − unj j ∆t



+d



unj+1 − unj−1 = 0. 2∆x



(1.2.1) j, n+1



j-1, n



j, n



j+1, n



Figure 1.2.1: Skema FTCS untuk persamaan transport. Tugas: Tunjukkan bahwa metoda ini selalu tak stabil.



1.3



Metode Leapfrog



Metode leapfrog tak lain adalah CTCS, yang berarti memiliki akurasi O(∆t2 , ∆x2 ), dan persamaan bedanya adalah un+1 − un−1 j j



unj+1 − unj−1 = 0, 2∆t 2∆x atau dapat diulis sebagai berikut: +d



(1.3.1)



un+1 = un−1 − C(unj+1 − unj−1 ), j j dengan C =



d∆t . ∆x



j, n+1



j+1, n



j-1, n



j, n-1 Figure 1.3.1: Stencil metode Leapfrog untuk persamaan transport. Tugas: Turunkan syarat kestabilan metoda leapfrog. Tunjukkan bahwa suku pertama errornya berupa suku dispersi.



1.4



Metode Lax



Metode ini merupakan perbaikan dari metode Richardson, yang mana nilai dari unj diganti menjadi rata-rata dari unj+1 dan unj−1 , sehingga persamaan bedanya menjadi ( ) n+1 1 n n uj − 2 uj+1 + uj−1 unj+1 − unj−1 +d = 0. (1.4.1) ∆t 2∆x



CHAPTER 1. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TRANSPORT



5



Metode Lax memiliki akurasi orde-2 O(∆t, ∆x2 ). j, n+1



j-1, n



j+1, n



Figure 1.4.1: Skema metode Lax untuk persamaan transport. Syarat kestabilan metoda ini dapat diperoleh dengan metoda Von Neumann, seperti diuraikan berikut ini. Substitusikan unj = ρn eia∆xj ke dalam (1.4.1) akan menghasilkan ρ= dengan C =



) ) 1 ( 1 ( ia∆x e + e−ia∆x − C eia∆x − e−ia∆x , 2 2



d∆t . Selanjutnya dapat diperoleh, ∆x ρ = cos √ a∆x − iC sin a∆x, |ρ| = cos2 a∆x + C 2 sin2 a∆x,



Jika C =



d∆t ≤ 1 maka |ρ| ≤ 1 untuk setiap a, jadi syarat kestabilan skema Lax adalah 0 < C ≤ 1. ∆x



Tugas: Periksa kekonsitenan metoda Lax. Tentukan juga suku pertama errornya, apakah berupa suku difusi atau dispersi?



1.5



Metode Lax - Wendroff One Step



Pada metode ini digunakan hampiran sebagai berikut: 1 un+1 = unj + ∆t ut |nj + ∆t2 utt |nj + O(∆t3 ). j 2



(1.5.1)



Kemudian dari persamaan transport dapat diperoleh bahwa ut = −dux dan utt = d2 uxx , sehingga persamaan (1.5.1) menjadi n 1 un+1 = unj − ∆t dux |nj − ∆t2 d2 uxx j + O(∆t3 ). j 2



(1.5.2)



Aproksimasi ux dan uxx dengan center difference sehingga diperoleh persamaan beda dari metode Lax-Wendroff One Step bagi persamaan transport sebagai berikut: un+1 = unj − j dengan C =



) C2 ( n ) C( n uj+1 − unj−1 + uj+1 − 2unj + unj−1 + O(∆t3 , ∆x3 ), 2 2



(1.5.3)



d∆t . ∆x



Tugas: Tunjukkan bahwa metoda Lax-Wendroff one step memiliki akurasi orde-2 yaitu O(∆t2 , ∆x2 ). d∆t Tunjukkan bahwa metode ini stabil jika C = ∥ ∥ ≤ 1. ∆x Tunjukkan bahwa suku pertama errornya berupa suku dispersi. Terdapat aturan umum yang mengatakan bahwa approksimasi orde-1 bagi ∂t akan menghasilkan error numerik berupa difusi sedangkan aproksimasi orde-2 bagi ∂t akan menghasilkan error numerik berupa dispersi.



CHAPTER 1. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TRANSPORT



6



Exercise 1.5.1. Materi untuk Matlab session Selasa 17 Februari 2015. 1. Perhatikan persamaan transport ut + 2ux = 0, untuk 0 < x < 5, t > 0 dengan syarat awal { 1, 2 < x < 3 u(x, 0) = 0, untuk x lainnya, dan syarat batas u(0, t) = 0. Terapkan metoda FTBS, formulasikan persamaan beda dan akurasinya. (a) Gunakan ∆x = 1/2 maka syarat awal menjadi u(x, 0) = 0



0



0



0



1 1



1 0



0



0



0



Pilih sendiri ∆t yang menghasilkan skema stabil, gunakan hitungan manual untuk menentukan u(x, 1). (b) Susun kode numerik, implementasikan dengan ∆x = 0.1, ∆t = 0.05. Tampilkan solusi numerik bersama-sama dengan solusi analitiknya untuk t = 1. (c) Ulangi pertanyaan di atas untuk ∆x = 0.1, ∆t = 0.04. Perhatikan bahwa solusi numerik Anda memuat error damping. 2. Perhatikan persamaan transport ut + 2ux = 0, untuk 0 < x < 5, t > 0 dengan syarat awal { 1, x < 1 u(x, 0) = 0, untuk x lainnya, Terapkan metoda leapfrog, dengan ∆x = 0.1, ∆t = 0.05. Syarat batas apa yang Anda butuhkan? Tentukan sendiri syarat batas pilihan Anda. Gunakan metoda FTFS untuk menghitung u(x, ∆t). Ulangi simulasi di atas dengan menggunakan ∆x = 0.1, ∆t = 0.049. Perhatikan bahwa solusi numerik Anda memuat error dispersi. 3. Untuk persamaan transport ut + dux = 0, dengan d < 0, maka metoda upwind tak lain adalah metoda FTFS (Forward Time Forward Space). Dalam implementasi metoda FTFS kita akan memperoleh persamaan beda yang membutuhkan syarat batas kanan. Kerjakan soal no 1. untuk persamaan transport dengan d = −2 dengan metoda FTFS. 4. Perhatikan persamaan transport ut + bux = 0, dengan b konstanta real sebarang yang tidak diketahui tandanya, dan syarat awal u(x, 0) = f (x). Perhatikan persamaan beda dengan akurasi orde satu berikut 1 n+1 b+ n b− n (ui − unj ) = − (ui − uni−1 ) − (u − uni ) ∆t ∆x ∆x i+1 dengan b+ ≡ max(b, 0) dan b− ≡ min(b, 0). Implementasikan persamaan beda di atas. Pilih sendiri syarat awal f (x). (a) Jika b > 0, syarat batas apa yang diperlukan? pilih sendiri. Hasil apa yang Anda lihat? (b) Pertanyaan yang sama seperti di atas untuk b < 0.