Tugas Akhir Modul 4 - Kombinatorik Dan Statistik [PDF]

Citation preview

TUGAS AKHIR MODUL 4 – KOMBINATORIK DAN STATISTIK OLEH AGUN SUTRIANTO, S.Pd., M.Pd. – SMA XAVERIUS 1 JAMBI LPTK : PGRI PALEMBANG 1. Suatu data dengan rata-rata 16 dan jangkauan 6. Jika setiap nilai dalam data dikalikan a kemudian dikurangi b didapat data baru dengan rata-rata 20 dan jangkauan 9. Berapa nilai 2𝑎 + 𝑏? Jawab: Diketahui Rata-rata : 𝑥̅ = 16 Rata-rata baru : 𝑥̅ 𝑏 = 20 Jangkauan = 6 jangkauan baru = 9 Misalkan terdapat suatu data 𝑈1 dan 𝑈2 , maka 𝑈1 + 𝑈2 𝑥̅ = = 16 2 𝑈1 + 𝑈2 = 32 Jangkauan = 𝑈2 − 𝑈1 = 6 Perubahan data : setiap datum dikalikan 𝑎 kemudian dikurangi 𝑏, maka: (𝑎. 𝑈1 − 𝑏) + (𝑎. 𝑈2 − 𝑏) 𝑥̅ 𝑏 = = 20 2 𝑎𝑈1 +𝑎𝑈2 −𝑏−𝑏 = 20 2 𝑎(𝑈1 + 𝑈2 ) − 2𝑏 = 20 2 𝑎(32) − 2𝑏 = 40 …………………………… Persamaan (1) Jangkauan Baru = (𝑎. 𝑈2 − 𝑏) − (𝑎. 𝑈1 − 𝑏) = 9 𝑎𝑈2 − 𝑎𝑈1 − 𝑏 + 𝑏 = 9 𝑎(𝑈2 − 𝑈1 ) = 9 𝑎(6) = 9 9



3



𝑎 = 6 = 2 ……………………….. Persamaan (2) Dari persamaan (1) dan (2) 𝑎(32) − 2𝑏 = 40 3 32 ( ) − 2𝑏 = 40 2 48 − 2𝑏 = 40 −2𝑏 = −8 𝑏=4 3



Maka nilai dari 2𝑎 + 𝑏 = 2 (2) + 4 = 7



2. Rata-rata hitung nilai matematika dari 20 siswa adalah 37 dan simpangan bakunya 21, sedangkan jangkauannya 10. Karena rata-rata hitung terlalu rendah maka setiap nilai dikalikan 2 kemudian dikurangi 19. Tentukan rata-rata hitung, simpangan baku dan jangkauan data yang baru. Jawab: Jika setiap datanya dijumlahkan/dikurangi dengan bilangan tertentu, tidak akan mempengaruhi nilai jangkauan, simpangan dan ragam tersebut (nilainya tetap), tetapi jika dikali/dibagi, maka nilainya juga berubah (ikut dikali/dibagi oleh bilangan tersebut) Untuk ukuran statistika lainnya seperti rata-rata, modus, median, kuartil, desil dan persentil, akan berubah jika setiap data ditambah, dikurangi, dikali ataupun dibagi. Sehingga data yang baru dari masalah diatas adalah sebagai berikut: Rata-Rata Baru = 2(37) − 19 = 55 Simpangan Baku = 2(21) = 42 Jangkauan = 2(10)=20 NO INI BELUM YAKIN 3. Dua buah dadu yang setimbang dilambungkan bersama-sama satu kali. Diperhatikan banyaknya mata yang muncul. Misal A kejadian bahwa jumlah mata yang muncul 8 dan B kejadian bahwa dadu pertama muncul mata 4. Tentukan : a. ruang sampel S b. kejadian A dan B c. peluang dari A dan B Jawab: a. Ruang Sampel S 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) b. Kejadian 𝐴 dan 𝐵 Kejadian 𝐴 = Jumlah mata yang muncul 8 Kejadian 𝐴 = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} 𝑛(𝐴) = 5 Kejadian 𝐵= mata dadu pertama muncul 4 Kejadian 𝐵 = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)} 𝑛(𝐵) = 6



c. Peluang dari 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐵 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵) 5 6 = × 36 36 5 = 216 4. Dua jenis teh Sukabumi dengan harga Rp 960,00/kg dan teh Slawi dengan harga Rp 1.200,00/kg. Tentukan perbandingan teh Sukabumi dan teh Slawi harus dicampur agar diperoleh teh campuran dengan harga Rp 1.000.00/kg Jawab: Misalkan: The Sukabumi = 𝑥 → Harga per kg= 𝑅𝑝960,00 The Slawi = 𝑦 → Harga per kg = 𝑅𝑝1.200,00 Maka: 960𝑥 + 1200𝑦 = 1000(𝑥 + 𝑦) 960𝑥 + 1200𝑦 = 1000𝑥 + 1000𝑦 1200𝑦 − 1000𝑦 − 1000𝑥 − 960𝑥 200𝑦 = 40𝑥 𝑥 200 5 = = 𝑦 40 1 Jadi perbandingan the sukabumi dan the slawi harus dicampur agar diproleh the campuran dengan harga Rp1.000,00 adalah 5: 1 5. 𝑋0 adalah rata-rata dari data 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥10 , jika data berubah mengikuti pola 2 + 𝑥2 2



,6 +



𝑥3 2



𝑥1 2



,4 +



, … tentukan rata-rata nilai data yang terbaru dan nyatakan dalam 𝑥0 .



Jawab: Diketahui: 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + … + 𝑥10 𝑥0 = 10 Perubahan Data – Rerata Baru 𝑥1 𝑥2 𝑥3 2 + ,4 + ,6 + ,… 2 2 2 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + … + 𝑥10 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 20 2 = + 10 10 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + … + 𝑥10 1 110 = × + 2 10 10 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + … + 𝑥10 1 = × + 11 10 2 1 = 𝑥0 + 11 2 6. Model pembelajaran atau landasan pembelajaran apa yang cocok untuk mengajarkan konsep Peluang suatu kejadian. dan sebutkan alasannya Jawab:



Model pembelajaran atau landasan pembelajaran apa yang cocok untuk mengajarkan konsep Peluang suatu kejadian adalah Problem Solving. Para siswa didorong supaya berpikir bahwa sesuatu itu multidimensi sehingga mereka dapat melihat banyak kemungkinan penyelesaian untuk suatu masalah. Problem solving dapat mempertajam kekuatan analisis dan kekuatan kritis siswa. Cara untuk mempersiapkan siswa menjadi problem solver yang efektif adalah dengan memberi mereka banyak contoh yang mencakup berbagai teknik problem solving. Problem solving melibatkan konteks yang bervariasi yang berasal dari penghubungan masalahmasalah dalam kehidupan sehari-hari untuk situasi matematika yang ditimbulkan. Siswa dapat memecahkan beberapa masalah yang dimunculkan bagi mereka oleh orang lain. Akan tetapi lebih mudah bagi mereka untuk memformulasikan masalah mereka sendiri berdasarkan pengalaman pribadi dan ketertarikan Materi peluang merupakan salah satu materi yang ada pada matematika. Materi ini di ajarkan mulai dari tingkat sekolah dasar. Akan tetapi untuk lengkapnya, dikupas pada materi peluang di sekolah tingkat menengah atas (SMA). Tetapi tidak menutup kemungkinan juga akan di ajarkan lagi di bangku kuliah. Konsep pembelajaran materi peluang yang sekiranya dapat meningkatkan kemampuan pemecahan masalah matematik adalah pembelajaran yang sekiranya dapat melatih strategi-strategi penyelesaian masalah. Setiap materi (bahan ajar) didesain sedemikian rupa sehingga dapat melatih strategi kemampuan penyelesaian masalah. Yang jelas, dalam penyelesaian suatu masalah, jangan terpaku pada adanya rumus. Hal ini karena kadang kala masalah yang muncul adalah masalah yang ditimbulkan dengan adanya kegiatan/pengalaman sehari-hari. Sangat dimungkinkan adanya cara penyelesaian yang beragam, tidak terpaku pada satu cara apalagi rumus. Demikian pula pada pemberian soal-soal sebagai latihan bagi siswa. 7. "Jika pada sebuah kotak berisi 4 bola putih dan 3 bola merah diambil 2 bola" a. dengan pengembalian b. tanpa pengembalian c. mengambil sekaligus, berapakah peluang terambil keduanya bola putih. Tentukan konsep apa yang digunakan untuk menyelesaikan soal tersebut, rumusnya dan hasilnya. Jawab: Konsep yang digunakan adalah dengan kombinasi a. Dengan pengembalian 𝐶4



4



Peluang Pengambilan Bola Putih Pertama = 𝐶17 = 7 1



𝐶14



4



Peluang Pengembalian Bola Putih Kedua = 𝐶 7 = 7 1



4



4



16



4



4



16



Jadi peluang terambil keduanya putih dengan pengemalian adalah = 7 × 7 = 49 b. Tanpa pengembalian 𝐶4



4



Peluang Pengambilan Bola Putih Pertama = 𝐶17 = 7 1



𝐶14



4



Peluang Pengembalian Bola Putih Kedua = 𝐶 6 = 6 1



8



Jadi peluang terambil keduanya putih dengan pengemalian adalah = 7 × 6 = 42 = 21



c. Mengambil Sekaligus 𝐶4



6



Peluang terambilnya 2 bola putih = 𝐶27 = 21 2



8. Konsep Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian terkait dengan Konsep disjungsi dan konjungsi pada Logika dan konsep Irisan dan Gabungan Himpunan, jelaskan " saling berhubungan" tersebut Jawab: Konsep aturan penumlahan berhubungan denga disjungsi pada logika dan konsep gabungan pada himpunan. Sedangakan aturan perkalian berkaitan degan konjugsi pada logika dan irisa pada himpunan. Untuk disjungsi dan gabungan pada irisan cara penyelesaiannya adalah dengan aturan penjumlahan. Sedangkan konjungsi dan irisan pada himpunan cara penyelesaiannya dengan aturan perkalian Masih mengarang indah, belum ada ide 9. Ada suatu masalah yaitu : " Ada 2 kantong bertuliskan huruf A dan B, kantong A berisi 5 kelereng merah dan 4 kelereng biru, kantong B berisi 4 kelereng merah dan 7 kelereng biru. Kemudian diambil sebuah kantong dan dari dalam kantong diambil sebuah kelereng. berapa peluang terambil kelereng biru ?". Bagaimana mengajarkan solusi masalah tersebut dengan mudah? Jawab: Diketahui: Kantong 𝐴 = 5𝑀 𝑑𝑎𝑛 4𝐵 Kantong 𝐵 = 4𝑀 𝑑𝑎𝑛 7𝐵 Misal: 𝐾 = Kejadian terpilih kantong 𝐴 𝐿 = Kejadian terpilih kantong 𝐵 1



Maka, 𝑃(𝐾) = 𝑃(𝐿) = 2 (𝐵|𝐾) = Kejadian terambil kelereng biru dari kantong 𝐴 𝐶4



4



𝑃(𝐵|𝐾) = 𝐶19 = 9 1



(𝐵|𝐿) = Kejadian terambil kelereng biru dari kantong 𝐵 𝐶7



7



1 𝑃(𝐵|𝐿) = 𝐶 11 = 11 1



Dengan menggunakan teorema bayes, maka 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐾) × 𝑃(𝐵|𝐾) + 𝑃(𝐿) × 𝑃(𝐵|𝐿) 1



4



1



7



= 2 × 9 + 2 × 11 4



7



= 18 + 22 =



88+126 396 214 107



= 396 = 198



Cara mengajarkan permasalahan kasus seperti ini kepada peserta didik adalah dengan cara demonstrasi langsung. Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut 1. Menentukan peluang terpilihnya sebuah kantong. 2. Menentukan peluang terambilnya 1 buah kelereng biru dari tiap kantong dengan menggunakan konsep kombinasi 3. Kemudian menentukan peluang terambilnya 1 kelereng biru dari proses 1 sampai 2 dengan menggunakan teorema bayes. 10. Bagaimana hirartki peta konsep materi pembelajaran kaidah pencacahan dan teori peluang. Buat diagram hirarkinya. PELUANG



KAIDAH PENCACAHAN



1. 2. 3. 4.



ATURAN PERKALIAN FAKTORIAL PERMUTASI KOMBINASI



PELUAN SUATU KEJADIAN



1. 2. 3. 4.



PERCOBAAN STATISTIKA RUANG SAMPEL PELUANG KEJADIAN PELUANG KOMPLEMEN SUATU KEJADIAN 5. KISARAN NILAI PELUANG 6. FREKUENSI HARAPAN



PELUAN SUATU KEJADIAN



1. PENGERTIAN KEJADIAN MAJEMUK 2. PELUANG GABUNGAN DUA KEJADIAN 3. PELUANG KEJADIAN SALING ASING 4. PELUANG KEJADIAN SALING BEBAS 5. PELUANG DUA KEJADIAN SALING BERSYARAT