Tugas Makalah Kalkulus [PDF]

Citation preview

TUGAS MAKALAH KALKULUS



DI SUSUN OLEH : NAMA : FEBRI DERMAWAN NPM : 18110350 KELAS : TI-S1801



SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER 2019



KATA PENGANTAR



Puji syukur alhamdulillah kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena telah melimpahkan rahmat-Nya berupa kesempatan dan pengetahuan sehingga makalah ini bisa selesai pada waktunya. Terima kasih juga kami ucapkan kepada teman-teman yang telah berkontribusi dengan memberikan ide-idenya sehingga makalah ini bisa disusun dengan baik dan rapi. Kami berharap semoga makalah ini bisa menambah pengetahuan para pembaca. Namun terlepas dari itu, kami memahami bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna, sehingga kami sangat mengharapkan kritik serta saran yang bersifat membangun demi terciptanya makalah selanjutnya yang lebih baik lagi.



Hormat Saya



(



i



)



DAFTAR ISI



Kata pengantar .......................................................... i Daftar isi ................................................................... ii BAB I Pendahuluan .................................................. 1 1. Latar Belakang ................................................ 1 2. Rumusan Masalah ........................................... 1 3. Tujuan Masalah .............................................. 2



BAB II Pembahasan ................................................. 3 1. Sistem Bilangan Real ...................................... 2. Persamaan Dan Pertidaksamaan ..................... 3. Notasi Sigma Dan Interval ............................ 4. Fungi Linier ................................................... 5. Relasi Dan Fungsi .......................................... 6. Fungsi Kuadrat .............................................. 7. Limit Fungsi .................................................. 8. Keistimewaan Fungsi .................................... 9. Turunan Fungsi .............................................. 10. Aplikasi Turunan ...........................................



3 6 7 10 11 12 13 15 16 17



BAB III Penutup ...................................................... 19 1. Kesimpulan ..................................................... 19 2. Saran ............................................................... 19 Daftar Pustaka .......................................................... 20



ii



BAB I PENDAHULUAN 1.



Latar Belakang Mata kuliah kalkulus diperguruan tinngi merupakan sumber



nilai dan pedoman dalam pengembangan dan penyelengaraan program studi, guna mengantarkan mahasiswa memantapkan kepribadian sebagai manusia seutuhnya. Hal ini berdasarkan pada suatu realitas yang di hadapi, bahwa mahasiswa adalah sebagai generasi bangsa yang harus memiliki visi inteletual, religius, berkeadaban, berkemanusiaan dan cinta tanah air dan bangsanya. Kalkulus adalah mata kuliah yang berguna uuntuk membantu mahasiswa memantapkan kepribadiannnya, agar secara konsisten mampumewujudkan nilai – nilai dasar matematika untuk menerapkan, mengembangkan bakat dah keahlian (skill), karena ilmu ini bisa membawa kita menuju masa depan yang cerah dan mempunyai rasa tanggung jawab dan bermoral. 2.



Rumusan Masalah Makalah ini memiliki berbagai masalah yang perlu



diselesaikan, adapun rumusan masalah adalah sebagai berikut: 1. Apa itu sistem bilangan real ? 2. Apa itu persamaan dan pertidaksamaan ? 3. Apa iti notasi sigma dan interval ? 4. Apa itu fungsi linier ? 1



5. Apa itu relasi dan fungsi ? 6. Apa itu fungsi kuadrat ? 7. Apa itu limit fungsi ? 8. Apa itu keistimewan fungsi ? 9. Apa itu turunan fungsi ? 10. Apa itu aplikasi turunan ? 3.



Tujuan Masalah Makalah diatas tadi mempunyai tujuan sebagai berikut : 1. Untuk mengetahui apa saja pembagian pelajaran Kalkulus yang ada di daftar Rumusan Masalah



2



BAB II PEMBAHASAN



1.



Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real,



dilambangkan dengan R. Dalam himpunan bilangan real, terdapat 2 operasi dasar, yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (.). Sifat-sifat bilangan real adalah sebagai berikut: 1) Sifat untuk operasi penjumlahan: 1.1) Sifat komutatif, yaitu : a + b = b + a untuk semua a, b ˛ R. Contoh : 1 + 2 = 2 + 1, yaitu 3 1.2)



Sifat assosiatif, yaitu : (a + b) + c = a + (b + c) untuk semua a, b, c ˛ R. Contoh : (1 + 2) + 3 = 6, dan 1 + (2 + 3) = 6. Jadi (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3).



1.3) Existensi bilangan 0, yaitu : ada suatu bilangan yaitu 0 ˛R sedemikian sehingga 0 + a = a dan a + 0 = a untuk semua a ˛ R. Contoh : 0 + 2 = 2 dan 2 + 0 = 2 1.4)



Existensi bilangan negatif, yaitu : untuk setiap bilangan real (misalkan a), selalu ada bilangan negatifnya (yaitu a) sedemikian sehingga a + (- a) = 0 dan (- a) + a = 0.



3



Contoh : Invers dari 5 terhadap penjumlahan adalah - 5, maka 5 + (- 5) = 0 dan (- 5) + 5 = 0. 2) Sifat untuk operasi perkalian: 2.1) Sifat komutatif, yaitu : a . b = b . a untuk semua a, b ˛ R Contoh : 2.3 = 3.2, yaitu 6 2.2) Sifat assosiatif, yaitu : (a . b) . c = a . (b . c) untuk semua a, b, c ˛ R. Contoh : (1.2).3 = 6, dan 1.(2.3) = 6. Jadi (1.2).3 = 1.(2.3) 2.3) Existensi bilangan 1, yaitu : ada suatu bilangan yaitu 1 ˛ R sedemikian sehingga 1.a = a dan a.1 = a untuk semua a ˛ R. Contoh : 1.3 = 3 dan 3.1 = 3. 2.4) Existensi invers, yaitu : untuk setiap bilangan real yang tidak sama dengan 0 (misalkan a „ 0), selalu ada bilangan inversnya (yaitu 1/a ˛ R) sedemikian sehingga a.(1/a) = 1 dan (1/a).a = 1. Contoh: Invers dari 5 terhadap perkalian adalah 1/5. maka 5.(1/5)= 1 dan (1/5).5 = 1. 3) Sifat distributif perkalian dan penjumlahan, yaitu : a.(b+c) = (a.b) + (a.c) dan (b+c).a = (b.a) + (c.a) untuk semua a, b dan c ˛R. Contoh : 2.(3 + 4) = 2.3 + 2.4 = 6 + 8 = 14 (3 + 4).2 = 3.2 + 4.2 = 6 + 8 = 14



4



 Garis Bilangan Real: -3 -2 -1 0 1 2 3 Bilangan negatif 0 Bilangan positif



Sistem bilangan Real terdiri dari himpunan bilangan rasional dan irrasional. 1. Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dengan a/b (atau berupa pecahan), dimana a dan b adalah bilangan bulat dan b „ 0. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan Q. Himpunan bilangan rasional terdiri dari :  Himpunan bilangan bulat, yaitu : {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}  Bilangan asli, yaitu : {1, 2, 3, ...}  Bilangan cacah, yaitu : {0, 1, 2, 3, ...}



2. Himpunan bilangan irrasional adalah himpunan bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan a/b. Himpunan bilangan irrasional dilambangkan dengan I. Contoh: = 1.4142135623731 Þ kita tidak bisa menyatakan nilai dari dalam bentuk pecahan atau pembagian dari 2 buah bilangan bulat. Contoh : 1) 3,242424..... adalah anggota bilangan Rasional, karena bilangan itu bisa dinyatakan dalam bentuk pembagian antara dua buah bilangan bulat. Misalkan a = 3,242424..... 5



Kalikan kedua ruas dengan 100, maka 100a = 324,242424.... 100a – a = 324,242424.... – 3,242424…. 99a = 321 sehingga a = 321/99. Dengan demikian 3,242424…. = 321/99, dan oleh karena itu 3,242424…. adalah bilangan Rasional. 2)



3



= 3.( 1.4142135623731) = 4,242640687 Þ adalah



bilangan



Irrasional karena kita tidak bisa



membuat bilangan tersebut menjadi pembagian antara 2 buah bilangan bulat atau tidak bisa dinyatakan dalam bentuk pecahan.



2.



Persamaan dan Pertidaksamaan  Persamaan Nilai Mutlak Nilai mutlak dari suatu bilangan real a, dinotasikan dengan



|a|, berharga a untuk a > 0, -a untuk a < 0, dan 0 untuk a = 0. Perhatikan notasi berikut : |a| = Nilai mutlak tidak menimbulkan masalah dalam proses perkalian dan pembagian, tetapi tidak sama halnya dengan proses penambahan dan pengurangan. Perhatikan sifat-sifat nilai mutlak berikut : a. |ab| = |a| |b| b. |a + b| |a| + |b| c. |a – b| |a| - |b|



6



 Pertidaksamaan Nilai Mutlak Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan >, ≥, 2,dan sebagainya , untuk setiap x, y € R (himpunan bilangan real).



3.



Notasi Sigma Dan Interval 



Pengertian Notasi Sigma (Notasi Penjumlahan)



Notasi Sigma yang ditulis dengan lambang Σ adalah sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan suatu penjumlahan secara



7



singkat. Lambang notasi sigma merupakan huruf besar Yunani yang berasal dari kata asing “sum” yang artinya jumlah. Tujuan dari penggunaan notasi ini adalah untuk meringkas penjumlahan yang panjang, dan rumut yang terdiri dari suku-suku atau deret. Dalam kata lain, notasi sigma memiliki fungsi untuk mempermudah dalam penghitungan suatu penjumlahan yang panjang. ∑6i=1, artinya i yang merupakan indeks bergerak dari 1 sampai 6. Ganti i dengan angka 1-6 secara ber urut dengan cara menjumlahkan. karena lambang Σ menunjukan perintah untuk menjumlah. 



Rumus Notasi Sigma



Notasi sigma dapat didefinisikan sebagai berikut. U1+U2+U3+…Un=∑ni=1Ui Dengan: i = indeks penjumlahan 1 = batas bawah penjumlahan n = batas atas penjumlahan {1,2,3, …,n} = wilayah penjumlahan Sehingga bisa dibaca penjumlahan suku Ui untuk i = 1 sampai dengan i = n. 8



 Sifat-sifat Umum Notasi Sigma Terdapat banyak sekali contoh kasus, atau model soal notasi sigma yang bisa anda teukan, karena sejatinya untuk menguji pemahaman anda soal matematika selalu dibolak balik. Jika anda paham konsep sebenarnya, maka bagaimanapun bentuk kasusnya akan dengan mudah untuk dikerjakan. Ada beberapa sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan, agar mempermudah penyelesaian kasus yang anda temui. Adapun sifat-sifat yang berlaku pada notasi sigma dapat dijelaskan sebagai berikut:



9



4.



Fungsi Linier  Defenisi Suatu fungsi berbentuk f (z) = a z + b dimana a dan b adalah konstanta kompleks, dinamakan fungsi linier.  Contoh Dan Non Contoh Fungsi linear f (z) = 3 z +2 Fungsi Nonlinier f (z) = 2z2 - 8  Sifat – sifat Fungsi Linier  Turunannya, f (z) = a didefenisikan pada setiap z, jadi f adalah fungsi menyeluruh  Jika a = 0, maka f berubah menjadi fungsi konstan : f (z) = b  Jika a ≠ 0, maka f adalah fungsi satu satunya, karena z1 ≠ z2 berakibat az1 + b ≠ az2 + b, jadi j (z1) ≠ f (z2)  Untuk a ≠ 0, maka hubungan inversi z=



1 b 𝑤± 𝑎 𝑎



juga merupakan fungsi linear, yang dapat dipirkan sebagai pemetaan dari bidang w “kembali” kebidang z. Akhirnya jika a = 1 dan b = 0, maka fungsi linier berubah menjadi fungsi identitas f (z) = z



10



5.



Relasi Dan Fungsi 1. Pengertian Relasi Relasi adalah hubungan antara dua elemen dua himpunan.



Relasi juga dikatakan sebagai suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggotaanggota himpunan B. relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.



2. Fungsi Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi. Sebuah relasi dikatakan fungsi jika xRy, untuk setiap x anggota A memiliki tepat satu pasangan, y, anggota himpunan B Kita dapat menuliskan f(a) = b, jika b merupakan unsur di B yang dikaitkan oleh f untuk suatu a di A. Ini berarti bahwa jika f(a) = b dan f(a) = c maka b = c. Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat menuliskan dalam bentuk : f : A → B  Domain, Kodomain, Dan Range 



f:A→B







A dinamakan daerah asal (domain) dari f dan B dinamakan daerah hasil (codomain) dari f.



11







Misalkan f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a, dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.







Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f dinamakan jelajah (range) dari f.



 Penulisan Fungsi 1. Himpunan pasangan terurut. 



Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} maka fungsi itu dapat dituliskan dalam bentuk : f = {(2, 4), (3, 9)}



2. Formula pengisian nilai (assignment) 



f(x) = x2 + 10,







f(x) = 5x



6.



Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi polinom dengan pangkat



tertingginya adalah 2. Secara umum bentuk suatu fungsi  pada himpunan bilangan real (R) yang di tentukan oleh (x)=ax2+c atau y=ax2+bx+c dengan a,b,c€ R dan a ≠ 0. 1. Sifat – sifat grafik fungsi kuadrat a. Jika a > 0, maka grafiknya terbuka ke atas dan mempunyai titik balik minimum (titik puncaknya mempunyai nilai terkecil) b. Jika a < 0, maka frafiknya terbuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum (titik puncak mempunyai nilai terbesar)



12



c. Jika D merupakan diskriminan suatu fungsi kuadrat (x)= ax2+bx+c , maka: 1)



Jika D < 0, maka grafik y=(x) memotong sumbu pada dua titik yang berbeda



2)



Jika D = 0, maka grafik y=(x) menyinggung sumbu x pada suatu titik



3)



Jika D > 0, maka grafik y=(x) tidak memotong sumbu x



2. Kedudukan Grafik y=ax2+bx+c terhadap sumbu x Nilai – nilai x yang menyebabkan nilai (x)=ax2+bx+c dengan nol, disebut nilai fungsi (x). Nilai nol fungsi kuadrat (x)=ax2+bx+c



dapat diproleh dari penyelesaian persamaan



kuadrat : ax2+bx+c = 0



7.



Limit Fungsi 1) Pengertian Limit (nilai batas) adalah pendekatan terhadap suatu nilai atau harga tertentu. Jadi, harga batas (limit) bukanlah harga yang sebenarnya melainkan harga yang mendekati saja. 2) Bentuk umum penulisan



artinya menghitung nilai fungsi f(x) untuk nilai x mendekati nilai a. 13



Contoh 1 Diketahui



f(x)



=



x



+



3,



dengan



x



∈



R



Hitung nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati 2.



Penyelesaian : Penulisan limit secara matematis untuk soal di atas adalah :



Nilai-nilai fungsi f(x) = x + 3 di sekitar x = 2 disajikan dalam tabel berikut :



Dari tabel di atas kita lihat bahwa nilai f(x) = x + 3 mendekati nilai 5 ketika nilai x mendekati 2, baik dari arah sisi kiri maupun dari arah sisi kanan. Dengan demikian,



14



8.



Keistimewaan Fungsi Istilah – istilah dalam fungsi  Domain = daerah asal fungsi  (dilambangkan dengan D)  Kodomain = daerah kawan fungsi  (dilambangkan dengan K)  Range = daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi  (dilambangkan dengan R)  Variabel = simbol yang melambangkan faktor tertentu  Variabel bebas = tidak tergantung pada variabel lain  Variabel terikat = tergantung pada variabel lain  Koefisien = angka pembentuk fungsi yang terkait pada variabel dalam sebuah fungsi  Konstanta = angka yang kadang – kadang menjadi pembentukan fungsi, tidak terikat pada variabel



Contoh 1 : Fungsi  : x  y



persamaan fungsi y=(x) ax+b



Dengan :



Dengan :



D = {1,3,5}



y = variabel bebas



K = {1,3,7,11,15}



x = variabel terikat



R = {3,7,11}



a = koefisien b = konstanta



15



9.



Turunan Fungsi Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu



fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan / tidak tentu. Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers. Aturan - aturan dalam turunan fungsi adalah :  Turunan dasar : 1. f(x), maka f'(x) = 0 2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1 3. Aturan pangkat : Jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1 4. Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x) 5. Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))  Turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi 1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x) 2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) - g’ (x) 3. (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x) 4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f' (x)- f(x) g' (x))/((g(x)2)  Turunan fungsi trigonometri 1. d/dx ( sin x ) = cos x 2. d/dx ( cos x ) = - sin x 3. d/dx ( tan x ) = sec2 x 4. d/dx ( cot x ) = - csc2 x 16



5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x 6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x 10.



Aplikasi Turunan Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang



digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. 1.



Nilai Maksimum dan Minimum  Definisi : Andaikan S daerah asal dari f, mengandung titik c, kita katakan bahwa:   



f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum



Fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif  Menentukan f(x) naik / f(x) turun i. f (x) naik pada interval : f’(x) > 0 ii. f (x) turun pada interval : f’ (x) < 0



17



 Menentukan nilai ekstrim Harga /nilai ekstrim dari fungsi y= f(x) diproleh pada saat f’(x) = 0, jika : f’(x) = 0 diproleh x = c Sehingga : nilai ekstrim = f(c) Ditulis



y ekstrim = f(c)



Sedangkan titik pekstrim (c,yekstrim)



18



BAB III PENUTUP 1.



Kesimpulan a) Kalkulus adalah: sebuah cabang ilmu dari Matematika yang sangat dibutuhkan untuk pengembangan ilmu pengetahuan b) Prinsip-prinsip dasar kalkulus adalah: perkembangan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil yang tak terhingga.



2.



Saran Saya



sangat mengharap dari para pembaca atau



pendengar sekalian, baik teman-teman maupun Bapak Dosen sebagai pembimbing dalam mata kuliah ini, untuk turut serta dalam memberikan kritik yang membangun dan saran yang baik tentunya. agar kedepanya nanti saya akan dan bisa menjadi lebih maju dan baik dari sebelumnya.



19



DAFTAR PUSTAKA



https://dokumen.tips/documents/makalah-sistem-bilangan real.html https://statmat.id/pengertian-dan-contoh-soal-notasi-sigma/ https://www.scribd.com/document/367085667/Makalah-NilaiMutlak-Pertidaksamaan-Persamaan http://www.academia.edu/15646726/FUNGSI_LINEAR_Makala h_ini_Ditulis_untuk_Memenuhi_Tugas_Mata_Kuliah_Fungsi_K ompleks_Yang_Dibina_oleh_Ibu_Indriati_Nurul_Hidayah_Disus un_Oleh_Kelompok_1 https://irmaanisaa.blogspot.com/2017/02/vbehaviorurldefaultvmlo.html https://en.calameo.com/books/004751496ab5461d294a3 http://cekdancek.blogspot.com/2015/10/limit-fungsi-aljabaruntuk-x-a.html http://www.academia.edu/8316078/MAKALAH_TEORI_DAN_ KONSEP_FUNGSI http://tnoviandri.blogspot.com/2018/06/makalah-turunanfungsi.html http://sebutsajaintan.blogspot.com/2013/10/makalah-aplikasiturunan.html



20