Tugas Personal Ke-2 Week 7: Mathematics [PDF]

Citation preview

Tugas Personal ke-2 Week 7 1. (LO 2; 25%) Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks:



[



0 0 −2 A= 1 0 3 0 1 0



2.



]



(LO 2; 25%) Misalkan matriks A sebagai berikut:



[



0 2 −1 A= 2 3 −2 −1 −2 0



]



a. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A b. Apakah matriks A dapat didiagonalisasikan? Berikan alasannya dan tentukan matriks diagonalisasinya 3. (LO 3; 25%) Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi berikut: 2



2



f ( x , y )=x + y + 4 xy +4 x+5 y +1 = 4. 4. (LO 3; 25%) Tentukan tiga bilangan positif dengan hasil penjumlahannya adalah 100 dan hasil kalinya maksimum



Mathematics



Jawaban 1. Nilai eigen = | A – λI |= 0



[



][ ] [



]



0 0 −2 λ 0 0 −λ 0 −2 1 0 3 − 0 λ 0 =0 → 1 −λ 3 = 0 0 1 0 0 0 λ 0 1 −λ 3



¿( (− λ ) + ( 0 ) ( 3 ) ( 0 ) + (−2 ) ( 1 )( 1 ) )−( (−λ ) ( 3 ) (1 )+ ( 0 )( 1 ) (−λ )+ (−2 )(−λ )( 0 )) 3 ¿ (−λ + ( 0 )−2 )−(−3 λ + ( 0 ) + ( 0 )) 3



¿−λ −2+3 λ



¿−1 ( λ−1 ) ( λ + λ−2 ) 2



¿−¿1( λ−1 ) ( λ−1 ) ( λ+2 ) λ=1 λ=−2



Vektor Eigen untuk λ=−2



[



][ ] [ ]



2 0 −2 x 1 0 1 2 3 x2 = 0 0 1 2 x3 0







X2 + 2X3 = 0 X2 = -2X3 = -2X1



(1)







X1 + 2X2 + 3X3 = 0



(2)







2X1 - 2X3 = 0 X1 = X3



(3)



[]



−2 Dari persamaan (1) didapat vector eigen untuk λ=−2 adalah 1 −2



Vektor Eigen untuk λ=1



[



][ ] [ ]



−1 0 −2 x 1 0 1 −1 3 x 2 = 0 0 1 −1 x 3 0







-X1 – 2X3 = 0



(1)







X1 – X2 + 3X3 = 0



(2) Mathematics







X2 –X3 = 0



(3)



X2 = X3 = -1/2 X1



Dari persamaan (3) diperoleh vector eigen untuk λ=1 adalah 2. a. Nilai Eigen dan Vektor Eigen



[



][ ] [



0 2 −1 λ 0 0 −λ 2 −1 2 3 −2 − 0 λ 0 =0 → 2 3−λ −2 −1 −2 0 0 0 λ −1 −2 −λ



[ ] −1/ 2 1 1



]



¿((−λ)(3−λ)(− λ)+ (2 )(−2 ) (−1 ) + (−1 )( 2 ) (−2 ) )−( (−λ ) (−2 ) (−2 )+ ( 2 )( 2 ) (−λ ) + (−1 ) ( 3− λ ) (−1 )) 2



¿( λ −3 λ)(− λ)+ 4+ 4 ¿−(−4 λ−4 λ+3−λ) 3



2



¿−λ + 3 λ +8+9 λ−3 ¿



¿−λ3 +3 λ 2+ 9 λ+5=−1(λ3 −3 λ2−9 λ−5) ¿−1 ( λ +1 ) ( λ2−4 λ−5 ) ¿−1 ( λ +1 )( λ +1 )( λ−5 ) λ=−1 atau λ=5



Vektor eigen untuk λ=−1 :



[



][ ] [ ]



1 2 −1 x 1 0 2 4 −2 x 2 = 0 −1 −2 1 x 3 0







X1 + 2X2 - X3 = 0



(1)







2X1 + 4X2 - 2X3 = 0



(2)







-X1 – 2X2 + X3 = 0



(3)



[]



1 Dari persamaan (1) didapatkan vector eigen untuk λ=−1 adalah −2 −1



[



Vektor eigen untuk λ=5



][ ] [ ]



5 2 −1 x 1 0 2 −2 −2 x 2 = 0 −1 −2 5 x 3 0







5X1 + 2X2 - X3 = 0



(1)



Mathematics







2X1 - 2X2 - 2X3 = 0



(2)







-X1 - 2X2 + 5X3 = 0



(3)



[]



1 Dari persamaan (2) didapatkan vector eigen untuk λ=5 adalah −2 −2



3. Menentukan nilai ekstrim fungsi f ( x , y )=x 2+ y 2+ 4 xy +4 x+5 y +1 = 0 



Turunan x Fx (x,y) = 2x + 4y + 4







Turunan y Fy (x,y) = 2y + 4x + 5 Fx dan Fy terdefinisi disemua titik, maka: Eliminasi (Fx)2 = 4x + 8y + 8 = 0 (Fy) = 4x + 2y + 5 = 0 6y + 3 = 0



maka y = -½ dan x = -1



D(x,y) = (Fxx)(Fyy)-Fxy2 = (2)(2) - 42 = -12



D < 0 maka (-1, -½)



Maka nilai maksimum nya:



(



f −1 ,−



(



f −1 ,



)



()



()



2 1 1 1 2 1 =−1 + + 4 ( 1 ) +4 ( 1 )+ 5 +1 2 2 2 2



)



1 −9 = merupakan nilai maksimum relatif dari fungsi f ( x , y ) 2 4



4. Tiga bilangan positif dengan hasil penjumlahannya adalah 100 Misal: x + y + z=100 a=xyz



z=100−x− y a=xy (100−x− y) 2



a=100 xy−x −x y



2



Mathematics



df df =100 y −2 xy − y 2 =100 x−2 x y−x 2 dx dy If



df =0 dx



100 y−2 xy− y 2=0 y ( 100−2 x− y )=0 y =0∨ y=100−2 x



Subtitusi: 2



100 x−2 xy−x =0 100 x−2 x(100−2 x)−x 2=0 x (−10 0+ 3 x )=0 x =0∨x= y=100−2 x y=100−2



100 3



( 1003 )= 1003



Mencari D D=¿ D=



[



]



40000 10000 30000 − = D>0 maka nilai minimun relatif 9 9 9



Maka z=100−



100 100 100 − z= 3 3 3



( 1003 , 1003 , 1003 ) dan hasil kali maksimal nya



Tiga bilangin positifnya adalah x , y , z= adalah



100 100 100 1000000 × × = 3 3 3 27



Mathematics