Tugas Portofolio Matematika PAK EBIT [PDF]

Citation preview

Tugas Portofolio Matematika Tentang “Limit” Prasyarat Melaksanakan Ujian Berbasis Komputer (UNBK) Tahun Diklat 2019/2020



DI SUSUN OLEH:



Aldaffa Ferdian SMK MEKANIK CIBINONG 12 TKJ 2



LEMBAR PENGESAHAN PORTOFOLIO MATA PELAJARAN (MATEMATIKA)



Pada Tanggal ……... Bulan ……….. Tahun 20….



Mengesahkan:



Wali Kelas



Guru Mata Pelajaran



Isfeb Muzammil S.Pd



Ebit Sanjaya S.Pd



Penyusun



Aldaffa Ferdian



Mengetahui, Kepala Sekolah



Cupyani S.Pd



KATA PENGANTAR Puji syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena limpahan rahmat-Nya kami diberi kesehatan, sehingga kami dapat menyelesaikan tugas Portofolio ini yang menjadi tugas Matematika. Portofolio yang berjudul Limit merupakan aplikasi dari kami. Selain untuk memenuhi tugas tersebut juga untuk memberikan pengetahuan tentang Limit. Kami berharap Portofolio



ini dapat bermanfaat dan memberi gambaran ataupun



menjadi referensi kita dalam mengenal dan mempelajari tentang Limit. Dalam Portofolio ini kami menyadari masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu segala saran dan kritik guna perbaikan dan kesempurnaan sangat kami nantikan. Kami berharap Portofolio ini dapat bermanfaat dan memberi gambaran ataupun menjadi referensi kita dalam mengenal dan mempelajaari tentang limit. Semoga Portofolio ini dapaat bermanfaat khususnya bagi penyusun dan para pembaca pada umumnya.



Kami ucapkan terima kasih kepada : 1. Bapak Cupyani selaku kepala sekolah 2. Bapak Ebit selaku guru mata pelajaran 3. Bapak Isfeb selaku guru pendamping dan wali kelas 4. Bapak/Ibu dewan guru 5. Orang tua kami yang telah mendukung kegiatan portofoloi kami 6. Sahabat dan teman



Demikian kata pengantar ini kami sampaikan, bila ada kata-kata yang salah mohon dimaafkan sebesar-besarnya, TERIMAKASIH.



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR.................................................................................. BAB I PENDAHULUAN............................................................................... I.1 Latar Belakang masalah I.2 Tujuan Penulisan I.3 Ruang Lingkup BAB II PEMBAHASAN............................................................................... II.1 Limit Fungsi II.2 Limit Fungsi Aljabar II.3 Konsep Limit Fungsi Aljabar II.4 Sifat – sifat Limit Fungsi Aljabar BAB III PENUTUP ........................................................................................ III.1 Kesimpulan III.2 Saran



BAB I PENDAHULUAN A.



Latar Belakang Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta. Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya. Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d'analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an[3], dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit. Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908.



B.



Tujuan Penulisan



1. Untuk memenuhi tugas matematika yaitu tentang limit. 2. Sebagai media belajar siswa yang memberikan banyak latihan yang dapat menunjang belajar siswa. 3. Diharapkan siswa memiliki kemampuan dalam menjelaskan konsep-konsep dalam limit dan dapat menyelesaikan masalah tentang limit. C.



Ruang Lingkup Membahas materi tentang limit yang sesuai dengan materi dalam standari isi.



BAB II PEMBAHASAN



II.1 Limit Fungsi Di dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit digunakan dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan. Limit fungsi adalah salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan X. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan P bila f(x) “dekat” pada L ketika X dekat pada p. Contoh Soal Cara Mengerjakan Limit Fungsi yang Tidak Terdefinisi Adasaatnya penggantian niali x oleh a dalam lim f(x) x→a membuat f(x) punya nilai yang tidak terdefinisi, atau f(a) menghasilkan bentuk 0/0, ∞/∞ atau 0.∞. Jika terjadi hal tersebut solusinya ialah bentuk f(x) coba sobat sederhanakan agar nilai limitnya dapat ditenntukan. Limit Bentuk 0/0 Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam



ketika kita menemukan bentuk seperti itu coba untuk utak-utik fungsi tersebut hingga ada yang bisa dicoret. Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi dan jangan lupakan ada aturan a2-b2 = (a+b) (a-b). Berikut adalah contohnya :



Bentuk ∞/∞ Bentuk limit ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti :



Contoh Soal Coba kalian tentukan



Jawaban



II. 2 Limit Fungsi Aljabar Limit fungsi aljabar adalah menentukan nilai fungsi aljabar jika peubah fungsi tersebut mendekati nilai tertentu. Ada 2 bentuk dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu : Bentuk pertama



Bentuk kedua



Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar 1. Metode Subsitusi : Metode subsitusi ini tinggal mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya,



di



bawah



ini



ada



beberpa



contoh



untuk



dapat



dipelajari.



Contoh (1): Hitunglah nilai dari limit dibawah ini : limx→3: x2 – 9√ x2 + 7 – 4 Pembahasannya: Dengan substitusi langsung: limx→3 (x2 – 9)√ x2 + 7 – 4 = (32 – 9)√ 32 + 7 – 4 = Karena diperoleh bentuk tidak pasti, maka kita harus menggunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan: limx→3 (x2 – 9)√ x2 + 7 – 4 x √x2 + 7 + 4√ x2 + 7 + 4 ⇔ limx→3 (x2 – 9).(√x2 + 7 + 4)(x2 + 7) – 16 ⇔ limx→3 (x2 – 9).(√x2 + 7 + 4)(x2 – 9) ⇔ limx→3 (√x2 + 7 + 4) = (√32 + 7 + 4) = 8



Contoh (2): Hitunglah nilai dari limit fungsi aljabar berikut ini: limx→2: x2 – 5x + 6x2 – 4 Pembahasannya: Apabila disubstitusikan langsung, maka akan didapatkan : limx→2 x2 – 5x + 6x2 – 4 = 22 – 5.(2) + 622 – 4 = (bentuk tidak pasti) Maka kita harus menggunakan cara lain, yaitu: dengan mengfaktorkan dan melakukan turunan. Pada soal no 14 ini kita lakukan dengan turunan : limx→2 x2 – 5x + 6x2 – 4 = 2x – 52x = 2.(2) – 52.(2) = –14 2. Metode Pemfaktoran: Metode pemfaktoran digunakan jika metode subsitusi menghasilkan nilai limit yang tidak terdefinisikan, Metode pemfaktoran dilakukan dengan cara menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebutnya. Di bawah ini ada beberapa contoh untuk dapat dipelajari. Contoh :



Contoh soal (1): Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari :



Jadi,, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,



Contoh soal (2):



Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari



Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,



Contoh : Tentukanlah suatu nilai limit dibawah ini



Langkah pertama yang dilakukan untuk menentukan nilai suatu limit yaitu dengan mensubtitusikan x = c ke f(x), hingga substitusikan x=4 ke



Setelah disubstitusikan dan ternyata nilai limit tidak terdefinisi / merupakan bentuk tak tentu



Maka itu untuk menentukan nilai limit wajib memakai metode lain. Dan cobalah diperhatikan, pada f (x) terdapat bentuk akar yaitu



Sampai metode perkalian dengan akar sekawaran mampu dilakukan seperti ini.



Bentuk



Difaktoran menjadi :



Maka limit fungsi aljabar tersebut yaitu -4



3. Metode Membagi Pangkat Tertinggi Penyebut Contoh : Tentukan suatu nilai limit fungsi aljabar dibawah ini



Besar pangkat yaitu 2, maka



Nilai limit fungsi aljabar tersebut yaitu



II. 3 Konsep Limit Fungsi Ajabar Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai. Dalam bahasa matematika keadaan ini dapdt disebut limit. Mengapa harus ada limit? Limit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Mengapa harus didekati? Karena suatu fugsi biasanya tidak terdefinisipada titik – titik tertentu. Walaupun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, namun masih dpat dicari tahuberapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertwntu semakin didekati yaitu dengan limit Dalam bahasa Matematika limit dituliskan dengan :



Maksudnya apabila x mendekati anamun x tidak sma dengan a maka f(x) mendekati L. Pendekatan x ke a dapat dilihat dari dua sisi yaitu sisi kiri dan sisi kanan atau dengan kata lain x dapat mendekati dari arah kiri dan arah kana sehingga menghasilkan limit kiri dan limit kanan. Pengertian tentang limit diatas dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini :



Untuk nilai x yang mendekati 1 :



Berikut gambar grafiknya :



Berdasarkan gmbar grafik diatas dapat dijelaskan : Apabila x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2



Apabila x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2



Apabila x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2



II. 4 Sifat – Sifat Limit Fungsi Aljabar Apabila n merupakan bilangan bulat positif, k konstanta f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c maka sifat – sifat dibawah ini berlau



BAB III PENUTUP



III. 1 Kesimpulan a. Di dalam portofolio ini kita dapat mempelajari materi matematika tentang limit. Pada bab limit, materinya meliputi limit fungsi, limit fungsi aljabar, konsep limit fungsi aljabar dan sifat – sifat limit fungsi aljabar b.



Peluang merupakan bagian matematika yang bias diartikan sebagai menuju batas, dalam bahasa matematika keadaan ini umum disebut limit.



c. sifat – sifat limit fungsi aljabar apabila n merupakan bilangan bulat positif, k konstanta f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c



III. 2 Saran Pastinya perhitungan matematika dengan menggunakan limit fungsi digunakan manusia dalam kehidupan sehari-hari dimana kita sering dihadapkan pada suatu pertanyaan yang tidak diketahui jawabannya tetapi harus dijawab mungkin atau tidak mungkin. Saran kami limit fungsi itu tidak harus digunakan dalam kegiatan sehari-hari karena perhitungan menggunakan limit fungsi cukup rumit. Dan sebagian besar disekitar kita juga ada yang tidak bisa menghitung. Jadi dalam mengetahui sesuatu hal bukan hanya bisa menggunakan perhitungan limit fungsi saja tetapi bisa juga dengan praktik.



Daftar Pustaka id.wikipedia.org pujangga37.blogspot.com www.studiobelajar.com rumus.co.id rumus.co.id rumushitung.com