Uji Chi Dan Smirnov Kolmogorov [PDF]

Citation preview

Kompetensi 



Mahasiswa dapat menentukan jenis distribusi data







Uji Kecocokan Model Distribusi - Uji Chi-kuadrat - Uji Smirnov-Kolmogorov



Untuk menenukan kecocokan distribusi frekuensi dari sampel data terhadap fungsi distribusi peluang yang diperkirakan dapat menggambarkan/mewakili distribusi frekuensi tsb diperlukan pengujian parameter Pengujian parameter yang dapat dipakai: 1) Chi-kuadrat 2) Smirnov-kolmogorov



Uji Chi-Square •



• • • • • •



untuk menetukan a’pkah p’smaan distribusi peluang yg telah dipilih dpt mewakili dri distribusi statistik sampel data yg dianalisis. Rumus Dimana h2 = parameter chi-kuadrat terhitung G = jumlah sub-kelompok Οι = jumlah nilai pengamtan pada sub kelompok ke - i Ei = jumlah nilai teoritis pada sub kelompok ke i



Prosedur Uji-Kuadrat 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.



Urutkan data pengamatan (dari besar ke kecil atau sebaliknya) Kelompokkan data menjadi G sub-group, tiap-tiap sub group minimal 4 data pengamatan Jumlahkan data pengamatan sebesar Oi tiap-tiap sub group Jumlahkan data dari persamaan distribusi yang digunakan sebesar Ei Tiap-tiap sub group hitung nilai: dan Jumlah seluruh G sub group nilai untuk menentukan nilai chi-kuadrat hitung Tentukan derajat kebebasan dk=G – R – 1 (nilai R = 2, untuk distribusi normal dan binomial, dan nilai R = 1, untuk distribusi Poisson)



Interpretasi hasilnya adalah: Apabila peluang > 5% maka persamaan distribusi teoritis yg digunakan dpt diterima  Apabila peluang < 1%, maka persamaan distribusi teoritis tdk dpt diterima  Apabila peluang berada antara 1 – 5 %, tdk mungkin mengambil keputusan, misalnya perlu tambahan data. 



Contoh: 



Dari pos pengamatan volume total debit tahunna dari DPS Cikapundung di pos duga air Gandok, telah diperoleh data dari tahun 1958-1980, seperti ditunjukkan tabel 1. pada derajat kepercayaan 95% diterima, lakukan uji hipotesis bahwa data pada tabel 1, mengikuti distribusi normal, dgn menggunakan Uji Chi-Kuadrat.



Tabel 1. Perkiraan Volume Total Debit Sungai Cikapundung-Gandok No



Volume Total (juta m3/tahun)



Peluang (%)



Periode Ulang (tahun)



1



92.16



50



2



2



113.95



20



5



3



125.37



10



10



4



134.71



5



20



5



145.35



2



50



Jawab Berdasarkan data tabel 1, maka dpt disusun nilai peluang perhitungan seperti ditunjukkan pada tabel 2. Peluang perhitungan dihitung berdasarkan rumus maka: diperoleh garis lurus distribusi normal: X = + k. S X = 92.16 + 25.95 k k = nilai variabel reduksi Gauss



Tabel 2. Perhitungan peringkat – peluang – Periode ulang Volume Total Debit ahunan Sungai Cikapundung –Gandok Tahun 19581980



Volume X (Juta m3) 149.4 132.4 125.0 121.0 114.7 109.0 101.7 99.2 97.8 97.4 91.1 90.0 89.1 84.6 83.6 83.8 78.6 77.8 73.0 68.5 65.0 45.2 41.6



Peringkat (m) 1 0.04 2 0.08 3 0.13 4 0.17 5 0.21 6 0.25 7 0.29 8 0.33 9 0.38 10 0.42 11 0.46 12 0.50 13 0.54 14 0.58 15 0.63 16 0.67 17 0.71 18 0.75 19 0.79 20 0.83 21 0.88 22 0.92 23 0.96 N = 23 buah = 92.16 juta m3/tahun S = 25.95 juta m3/tahun



25.00 12.50 7.69 5.88 4.76 4.00 3.45 3.03 2.63 2.38 2.17 2.00 1.85 1.72 1.59 1.49 1.41 1.33 1.27 1.20 1.14 1.09 1.04



Untuk pengujian maka dpt dibuat sub kelompok, setiap sub kelompok minimal terdapat 5 buah data pengamatan.Apabila nilai peluang dari batas setiap sub kelompok peluang (P) = 0.25, maka variabel dari data pengamatan akan terletak sbb: Sub Kelompok 1 X < 74.77 Sub Kelompok 2 74.77 < X < 92.16 Sub Kelompok 3 92.16 < X < 109.54 Sub Kelompok 4 X > 109.54



Tabel 3. Perhitungan Uji Chi-Kuadrat Jumlah Data



No



Nilai Batas Sub kelompok



Oi



Ei



1



X < 74.77



5



5.75



2



74.77 – 92.16



8



5.75



3



92.16 – 109.54



5



5.75



4



109.54 > X



5



5.75



23



23



Jumlah



Oi- Ei -0.75



0.097826



2.25



0.880435



-0.75



0.097826



-0.75 -



0.097826 1.173913



Dari tabel 3, diperoleh nilai chi-kuadrat hitung adalah h2 = 1.17. berdasarkan tabel chikuadrat, Untuk mencapai nilai chi-kuadrat > 1.17; pada derajat kebebasan dk = G-R-1 = 4-2-1=1,  peluangnya berada antara 5% - 95% yaitu sekitar 65% Karena peluang nya > 5%, maka hipotesis bahwa volume debit tahunan DPS Cikapundung-Gandok, mengikuti distribusi normal dapat diterima. Batas kepercayaannya dapat dilihat pada tabel 4



Tabel 4.Volume Total DPS Cikapundung-Gandok No. Peiode Ulang Nilai Perkiraan (tahun) (juta m3) 1 2 3 4 5



2 5 10 20 50



92.93 113.95 125.37 134.71 145.35



Batas Daerah Kepercayaan (juta m3) 80.93 – 103.38 100.00 – 125.99 110.20 – 140.40 116.80 – 151.80 125.00 – 165.00



Uji Smirnov-Kolmogorov Uji kecocokan Smirnov-Kolmogorov, sering juga disebut Uji kecocokan non parametrik, karena pengujiannya tidak menggunakan fungsi distribusi tertentu.



Prosedur Uji Smirnov-Kolmogorov urutkan data (dari besar ke kecil atau sebaliknya) dan tentukan besarnya peluang dari masing-masing data tersebut; 2. tentukan nilai masing-masing peluang teoritis dari hasil penggambaran data (persamaan distribusinya); 3. dari kedua nilai peluang tersebut tentukan selisih terbesarnya antara peluang pengamatan dengan peluang teoritis, D = maksimum [P (Xm) – P’(Xm)] 1.



berdasarkan tabel nilai kritis (Smirnov – Kolmogorov test) tentukan harga Do Apabila D < Do maka distribusi teoritis yg dipakai u/ m’nentukn pers. distribusi dapat digunakan. Apabila D > Do maka distribusi teoritis yg dipakai u/ m’nentukn pers. Distribusi tidak dapat digunakan. 4.



Tabel 5. Nilai Kritis Do u/ Uji Smirnov-Kolmogorov N



a 0,2



0,10



0,05



0,01



5



0,45



0,51



0,56



0,67



10



0,32



0,37



0,41



0,49



15



0,27



0,30



0,34



0,40



20



0,23



0,26



0,39



0,36



25



0,21



0,24



0,27



0,32



30



0,19



0,22



0,24



0,29



35



0,18



0,20



0,23



0,27



40



0,17



0,19



0,21



0,25



45



0,16



0,18



0,20



0,24



50



0,15



0,17



0,19



0,23



N>50



1,07/N0.5 1,22/N0.5 1,36/N0.5 1,63/N0.5



a = Derajat Kepercayaan



Contoh Tentukan persamaan distribusi normal untuk data debit minimum sesaat sungai Cikapundung-Gandok tahun 1965-1984. lakukan uji kecocokan persamaannya dengan uji smirnov-kolmogorov



Tabel 4. Debit Minimum S. Cikapundung-Gandok No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20



Tahun 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984



Debit (m3/dt) 0.02 0.02 0.02 0.24 0.26 0.30 0.36 0.41 0.15 0.15 0.56 0.14 0.10 0.18 0.38 0.44 0.35 0.38 0.59



=0.266 m3/dt S =0.176 m3/dt Shg persamaannya X = 0.176. k + 0.266 m3/dt Periode ulang untuk debit minimum tidak menyatakan suatu nilai sama atau lebih dari besaran tertentu, akan tetapi menyatakan suatu nilai sama atau kurang dari besaran tertentu. Oleh itu apabila: P [ X > (X + k. S)] = a Maka P [ X < (X + k. S)] = 1- a



Uji Smirnov-Kolmogorov Dari pers garis lurus distribusi normal data debit minimum S. Cikapundung-Gandok adalah: X = 0.176. k + 0.266 m3/dt Apabila P’(x) = f (t) Dimana : X = debit minimum pengamatan (m3/dt) X = debit minimum rata-rata (m3/dt) t = variabel reduksi Gauss P’(x) = peluang dari k (lihat tabel luas dibawah kurva normal)



Tabel 5. Uji Smirnov-Kolmogorov Debit Minimum S. CikapundungGandok X



m



P(x) =m/(n+1)



P(x