Unsur-Unsur Primitif Dalam Geometri [PDF]

Citation preview

TUGAS GEOMETRI



Nama



: ELLIN JUNIARTI



NIM



: 06121408012



Prodi



: Pendidikan Matematika



FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SRIWIJAYA 2012/2013



SOAL 1. Cari pengertian definisi, aksioma, postulat. Perbedaan? Contohnya? 2. Cari pengertian dalil/teorema dan proposisi? Perbedaan? Contohnya? Bukti? 3. Cari pengertian corrolary dan lemma? Perbedaan? Bukti? JAWABAN 1. Definisi, Aksioma, dan Postulat Definisi dibuat dengan hanya menggunakan konsep yang tak terdefinisi dan atau konsep yang telah didefenisikan sebelumnya. Contoh dalam geometri titik, garis, dan bidang merupakan konsep-konsep yang tidak terdefinisi. Contoh: a. Dalam geometri kita mengenal namanya sinar, sinar adalah himpunan bagian dari garis yang memuat yang diketahui dan semua titik pada semua sisi (pihak) I titik yang diketahui tersebut. Titik yang diketahui adalah titik pangkal sinar. b. Ruang (space) adalah himpunan semua titik. c. Suatu bidang dikatakan sebagai bidang-bisektor-tegaklurus dari suatu ruas garis, jika dan hanya jika bidang tersebut tegak lurus terhadap ruas garis tersebut di titik tengah ruas garis tersebut. d. Dua buah bidang berbeda, atau suatu bidang dan suatu garis dikatakan saling sejajar, jika keduanya tidak berpotongan. Aksioma adalah pendapat yang dijadikan pedoman dasar dan merupakan dalil pemula, sehingga kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi. Aksioma juga merupakan suatu pernyataan yang diterima sebagai kebenaran dan bersifat umum, tanpa memerlukan pembuktian. Dengan kata lain, aksioma disebut juga pernyataan Pangkal, yakni pernyataan yang kebenarannya tanpa bukti. Kebenarannya, langsung kita terima saja. Contoh : a.



Melalui dua titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.



b.



Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.



c.



Melalui tiga buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah bidang.



d.



Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu tersebut.



e.



Perpotongan dua buah bidang yang berbeda adalah sebuah garis.



Postulat adalah pernyataan matematika yang disepakati benar tanpa pembuktian. Pernyataan ini diterima tanpa ada yang menyamakan postulat dengan aksioma sehingga mereka dapat dipertukarkan. Contoh : Dalam geometri: setiap garis paling sedikit berisi dua titik berbeda. Dengan mistar dan jangka: a.



Dapat dilukis garis dari suatu titik ke titik lain.



b. Dapat dihasilkan garis lurus terhingga dengan sembarang panjang. c.



Dapat dilukis lingkaran dengan sembarang titik sebagai pusat dan jari-jari sembarang panjang.



2. Dalil/teorema dan Proposisi Dalil (teorema) adalah suatu pernyataan matematika yang dirumuskan secara logika sesuai dengan asumsi-asumsi matematis yang telah diketahui dan masih memerlukan pembuktian, serta pernyataan itu dapat ditunjukkan bernilai benar. Contoh: a. Teorema pythagoras. Bukti: Teorema pythagoras menyatakan hubungan ketiga sisi segitiga siku-siku, dimana pada suatu segitiga siku-siku berlaku “kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-siku” Bukti:



Disediakan 4 buah segitiga siku-siku. Perhatikan gambar di atas. 4 segitiga di atas adalah segitiga yang sama. Mempunyai sisi-sisi a, b dan c. dan sisi c merupakan sisi miring dari segitiga tersebut. Ketiga segitiga disampingnya adalah hasil rotasi 90, 180 dan 270 derajat dari segitiga pertama. Luas masing-masing segitiga yaitu



. Sehingga luas 4 segitiga



tersebut adalah 2ab. Segitiga-segitiga tersebut kita atur sedemikian sehingga membentung persegi dengan sisi c seperti gambar berikut.



Perhatikan gambar hasil susunan 4 segitiga tersebut. gambar tersebut membentuk sebuah persegi dengan sisi c. dan didalamnya ada persegi kecil. Panjang sisi persegi kecil tersebut adalah ( b – a ). Secara langsung kita dapat menentukan luas persegi besar tersebut, yaitu c2. Dan secara tidak langsung, luas persegi besar dengan sisi c tersebut adalah sama dengan luas 4 segitiga ditambah luas persegi kecil yang mempunyai sisi ( b – a ). Sehingga diperoleh, c2 = 2ab + ( b – a )2 c2 = 2ab + b2 – 2ab + a2 c2 = b2 + a2 b. Jumlah dua sudut pada segitiga kurang dari 180° Bukti: ABC = segitiga sembarang C



Akdib :



B + C < 180°



Perpanjang AB melalui B hingga D maka sdt CBD = sdt eksterior Δ ABC B



A



CBD >



CBD >



ACB dan



180° -



CBA >



180° >



CBA +



Atau 180° > B +



D



B+



CBD = 180° -



ACB (teorema 1)



CBA



ACB ACB C



C < 180 ° (TERBUKTI)



Proposisi bisa disebut juga sebagai statement yaitu suatu kalimat yang mempunyai satu nilai kebenaran, yaitu benar (B) atau salah (S).



Contoh : a. 11 adalah bilangan prima (B) b. Misalkan p, q dan r adalah proposisi, dimana: p : Bumi adalah satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai kehidupan. (B) q : Satu dekade sama dengan 10 tahun. (B) r : 1 + 1 = 3. (S) Maka, ̅



: Bumi bukan satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai kehidupan. (S) r : Satu dekade sama dengan 10 tahun atau 1 + 1 = 3. (B)



3. Corrolary dan Lemma Corrolary (teorema akibat) adalah suatu proposisi yang secara langsung diperoleh dari teorema yang sudah dibuktikan. Dengan demikian, corrolary adalah suatu teorema yang muncul sebagai akibat dari teorema sebelumnya. Contoh: a. Dua garis tegak lurus terhadap garis yang sama pasti sejajar Bukti: Akdib bahwa jika l tegak lurus m dan l tegak



l



lurus n maka m sejajar n



1



Bukti : 1. l tegak lurus m →



1=



2. l tegak lurus n → 2=



4. Karena



3=



3



2



( keduanya sudut siku-siku )



3.



m



2 l



4



n



4



3 (keduanya siku-siku) 2 dan



3 dua sudut berseberangan



maka m dan n sejajar (TERBUKTI) Lemma adalah suatu pernyataan matematis didalam pembuktian suatu teorema. Dengan kata lain Lemma adalah “teorema kecil” yang digunakan sebagai batu pijakan untuk membuktikan suatu teorema. Jadi, lemma adalah teorema sederhana yang dipergunakan sebagai hasil-antara dalam pembuktian teorema lain. Contoh: a. Penjumlahan suatu sudut segitiga kurang dari atau sama dengan sudut luar terjauhnya. Bukti:



Memperhatikan



. Dengan teorema Saccheri-Legendre



Kedua ruas dikurangi dengan



, kita dapatkan



Lemma sudut luar



b. Jumlah ukuran dua sudut dalam suatu segitiga kurang dari