![Xii Mipa 2-Statistika [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/xii-mipa-2-statistika.jpg)
7 0 180 KB
1
STATISTIKA A.
PENDAHULUAN
1.
Statistika dan Statistik Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan data, penganalisaan data dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisaan yang dilakukan. Statistik adalah hasil-hasil pengolahan dan analisis data. Statistik dapat berupa mean, modus, median dan sebagainya. Statistik dapat digunakan untuk menyatakan kumpulan data berbentuk bilangan yang disusun dalam bentuk tabel atau diagram yang menggambarkan karakteristik dari data itu.
2.
Populasi dan Sampel Keseluruhan obyek yang akan diteliti dinamakan populasi. Sebagian dari populasi yang mewakili gambaran yang benar terhadap populasi (representative) dinamakan sample atau contoh.
3.
Datum dan Data Fakta (keterangan) tentang suatu masalah dapat berbentuk kategori (sifat), misalnya rusak, baik, senang, gagal atau juga berbentuk bilangan. Kesemuanya dinamakan data atau statistik. Datum adalah keterangan (informasi) yang diperoleh dari suatu pengamatan, dapat berupa angka, lambing atau sifat. Kumpulan datum dinamakan data. Pengumpulan data untuk analisis dapat dilakukan dengan mencacah, mengukur dan mencatat data dengan turus (tally).
4.
Data Ukuran dan Data Cacahan Data ukuran (data kontinu) merupakan data yang diperoleh dari hasil pengukuran. Misal data hasil menimbang atau mengukur tinggi badan. Data cacahan (data diskrit) merupakan data yang diperoleh dari hasil membilang atau menghitung. Misal data jumlah siswa sekolah SMA Bina Bangsa 1057 siswa.
5.
Data Kuantitatif dan Data Kualitatif Data kuantitatif adalah data yang berupa bilangan. Data diskrit dan data kontinu termasuk data kuantitatif. Misal data berat badan, tinggi badan, jumlah siswa dan sebagainya. Data kualitatif adalah data yang dikategorikan menurut kualitas objek yang dipelajari. Misal baik, senang, suka, puas dan sebagainya.
6.
Data Primer, Data Sekunder dan Data Mentah Data primer adalah data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh organisasi yang menerbitkannya. Data sekunder adalah data yang diterbitkan oleh organisasi yang bukan merupakan pengolahnya. Data mentah adalah data yang baru dikumpulkan dan belum pernah mengalami pengolahan apapun.
B.
DATA TUNGGAL
1.
Mean Data Tunggal Mean (rata-rata) notasinya x
x x 2 ..... xn x x 1 n n
a.
Jika datanya x1, x2 ,....,xn maka rata-ratanya :
b.
Jika x1 , x2 ,......,xn masing-masing mempunyai frekuensi f1 , f 2 ,......,f n maka rataratanya :
f x f x ..... fn xn fx x 1 1 2 2 f1 f2 .... fn f
2
c.
Jika rata-rata x1 berfrekuensi f1 x2 berfrekuensi f 2 ....... xn berfrekuensi f n Maka rata-rata keseluruhan (total)nya :
f x f x ..... f n xn f x xtotal 1 1 2 2 f1 f 2 ... f n f
CONTOH - 1a Tentukan mean dari data : 1, 3, 5, 7, 4 ! SOLUSI :
x
1 3 5 7 4 20 4 5 5
CONTOH – 1b Tentukan mean dari data : 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5 ! SOLUSI :
x
fx 3.2 2.3 1.4 4.5 6 6 4 20 36 3,6 3 2 1 4 10 10 f
CONTOH – 1c Diketahui data sebagai berikut : 4 5 6 7 8 9 3 2 5 3 n 3 Jika rata-ratanya 6,6, maka tentukan n ! SOLUSI :
x
fx 3.4 2.5 5.6 3.7 8n 3.9 6,6 3 2 5 3 n 3 f 12 10 30 21 8n 27 6,6 n 16 8n 100 6,6n 105,6 1,4 n 5,6 n4
CONTOH – 1d Rata-rata 5 orang 7,2 , rata-rata 3 orang 8,1 dan rata-rata 2 orang yang lain 9,6. Tentukan rata-rata 10 orang tersebut ! SOLUSI :
xtotal
5.7,2 3.8,1 2.9,6 7,95 10
3
VARIASI SOAL - 1 1. 2. 3.
Tentukan rataan hitung dari data : 5, 7, 8, 9, 11, 11, 12, 13, 14 ! Nilai ulangan matematika dari 7 siswa adalah 4, 2, 8, 5, 6, n, 9. Jika rataan hitungnya 6, maka tentukan n !
Dari tabel di bawah, tentukan nilai meannya ! x
4.
Diketahui data nilai sebagai berikut :
Nilai Frekuensi Jika rata-ratanya 5,95 maka tentukan a ! 5. Dari 10 siswa, 6 siswa rata-rata nilainya 6,5 dan 4 siswa lainnya rata-rata nilainya 7,5. Tentukan rata-rata nilai 10 siswa tersebut ! 6. Nilai rata-rata 39 siswa 5,0. Jika siswa x digabungkan nilainya, maka rata-ratanya menjadi 5,1. Tentukan nilai x! 7. Tinggi rata-rata A, B dan C adalah 160 cm. Tinggi rata-rata A dan B adalah 155 cm. Tinggi rata-rata B dan C adalah 150 cm. Berapa tinggi masing-masing ? 8. Rata-rata nilai siswa 6,32. Jika rata-rata nilai siswa putera 6,2 dan rata-rata nilai siswa puteri 6,4, maka tentukan perbandingan jumlah siswa putera dan puteri ! 9. Umur rata-rata dari sekelompok dokter dan jaksa adalah 40 tahun. Jika umur rata-rata dokter 35 tahun dan umur rata-rata jaksa 50 tahun, maka tentukan perbandingan banyaknya dokter dan jaksa ! 10. Tes matematika diberikan pada tiga kelas siswa berjumlah 100 orang. Nilai rata-rata kelas pertama, kedua dan ketiga adalah 7, 8 dan 7 ½ . Jika banyaknya siswa kelas pertama 25 orang dan kelas ketiga 5 orang lebih banyak dari kelas kedua, maka tentukan rata-rata nilai seluruh siswa ! 11. Kelas A terdiri atas 35 murid sedangkan kelas B terdiri atas 40 murid. Nilai rata-rata kelas B adalah 5 lebih 2 baik dari nilai rata-rata kelas A. Apabila nilai rata-rata gabungan antara kelas A dan B adalah 77 3 , maka tentukan nilai rata-rata kelas A ! 12. Dari 4 bilangan diketahui bilangan yang terkecil 20 dan yang terbesar 48. Tentukan interval rata-rata hitung yang mungkin dari ke-4 bilangan tersebut ! 13. Diketahui data sebagai berikut : Nilai Frekuensi Jika nilai siswa yang lebih rendah dari rata-rata dinyatakan tidak lulus, maka tentukan banyak siswa yang lulus !
14.
xo adalah rata-rata dari data x1 , x2 , x3 ,.......,x10 . Jika data berubah mengikuti pola
x x x x1 2, 2 4, 3 6,......... , 10 20 maka tentukan rata-rata yang baru ! 2 2 2 2
4
2.
Modus Data Tunggal Modus dari suatu data yaitu nilai datum yang paling sering muncul atau nilai datum yang memiliki frekuensi terbesar. Data yang memiliki satu modus dinamakan unimodus. Data yang memiliki dua modus dinamakan bimodus. Dan data yang memiliki lebih dari dua modus dinamakan multimodus.
3.
Kuartil Data Tunggal Jika suatu data terurut dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak, maka ketiga pembaginya disebut kuartil. Yaitu kuarti bawah Q 1 , kuartil tengah atau median Q 2 dan kuartil atas Q 3 .
-
Jika datanya ganjil, maka :
-
Jika datanya genap, maka :
Q1 x1 4
( n 1)
Q1 x1 4
, Q 2 x1
( n 2)
2 ,
( n 1)
, Q 3 x3
Q 2 1 xn xn , 2 1 2 2
4
( n 1)
Q 3 x1 4
(3n 2 )
xn maksudnya data ke-n. Statistik lima serangkai yaitu terdiri dari data terkecil, Q 1 , Q 2 , Q 3 , dan data terbesar. Rataan kuartil = R K 21 (Q 1 Q 3 ) Rataan tiga kuartil = R T 14 (Q 1 2Q 2 Q 3 )
4.
Desil Data Tunggal Jika suatu data dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka 9 pembaginya disebut desil. Letak dari data tunggal ditentukan rumus :
5.
D i x i( n 1) 10
Jangkauan Data Tunggal -
Jangkauan atau rentang atau range yaitu selisih data tertinggi dan terendah, rumusnya :
-
Jangkauan antarkuartil atau hamparan : H Q 3 Q 1
-
Simpangan kuartil atau jangkauan semi antarkuartil : Q d 12 Q 3 Q 1
-
Langkah : L 23 H 23 Q 3 Q 1
-
Pagar dalam : Pd Q 1 L
-
Pagar luar : PL Q 3 L
R xmaks xmin
5
CONTOH - 2a Tentukan modus dari data sebagai berikut : a.
5, 3, 4, 6, 1, 7
b.
3, 6, 7, 3, 5, 8, 6
SOLUSI : a. b.
Modus = - (tidak ada) Modus = 3 dan 6
CONTOH – 2b Tentukan median dari data : 6, 5, 7, 3, 5, 4, 7, 3, 5, 8, 4 ! SOLUSI : Urutan data : 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8
Q1
Q2
Q3
Jadi Q 1 4, Q 2 5, Q 3 7 CONTOH – 2c Tentukan median dari data berikut : Tinggi (cm) Banyak siswa
150 3
152 7
154 4
156 8
158 6
160 4
SOLUSI : Jumlah data = 3 + 7 + 4 + 8 + 6 + 4 = 32 (data genap) 1 1 x16 x17 1 156 156 156 Q 2 Median 1 x n x n x 32 x 32 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2
CONTOH – 2d Diketahui data : 5,5,8,8,8,10,10,10,10,9,6,9,6,6,4,2,4,4. Tentukan D 7 ! SOLUSI :
Urutan data : 2 4 4 4 5 5 6 6 6 8 8 8 9 9 10 10 10 10
D 7 x 7 (18 1) x13,3 x13 3 ( x14 x13 ) 9 3 (9 9) 9 10 10 10
6
CONTOH – 2e Diketahui data : 6,12,8,9,5,7,13,8,10,9,9,11,17,4,6. Tentukan : a.
jangkauan
b.
simpangan kuartil
c.
pagar dalam dan pagar luar
SOLUSI : a. b.
Jangkauan = 17 – 4 = 13 Urutan data : 4
5
6
6
7
8
8
Q1
9
9
9
10
Q2
11
12
13
17
Q3
1 (Q Q ) 1 (11 6) 2,5 Simpangan kuartil = 2 3 1 2
c.
L 3 (Q 3 Q 1 ) 3 (11 6) 7,5 2
2
PD Q 1 L 6 7,5 1,5 PL Q 3 L 11 7,5 18,5
VARIASI SOAL - 2 1.
Tentukan modus dan kuartil dari data : 7,6,5,7,4,3,4,6,4,8,9,3,7,5,5,1,9 !
2.
Tentukan Q 1 , Q 2 dan Q 3 dari data sebagai berikut :
3.
5 6 7 8 9 10 Frekuensi 3 5 7 5 4 2 Bilangan-bilangan 6,8,a,6,b,c,4 memiliki rataan 5 dan modus 4. Tentukan a, b dan c !
4.
Carilah enam bilangan bulat positif yang memiliki modus 4, median 5 dan rataan 5 !
5.
Diketahui data : 10,8,7,9,10,8,7,5,6,7,9,8,8,9,6. Tentukan statistik lima serangkainya !
6.
Tentukan desil keenam dari data : 5,6,3,7,9,2,9,4,6,7,2,7,8,3,3,3,6 !
7.
Tentukan desil keempat, rataan kuartil dan rataan tiga kuartilnya dari data :
Nilai
8.
Berat (kg)
44
48
52
56
60
64
Banyak siswa
3
4
10
11
6
6
Nilai ulangan statistik 35 siswa adalah sebagai berikut : Nilai
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Frekuensi
2
0
0
3
5
9
7
4
3
0
2
Tentukan : a. statistik lima serangkai b. langkah c. pagar dalam dan pagar luar
7
6.
Simpangan Rata-rata Data Tunggal
Simpangan rata-rata data tunggal dirumuskan : SR
f x x f
Lambang x artinya harga mutlak dari bilangan x yang didefinisikan sebagai berikut : x
x, jika x 0 x, jika x 0
Misal : 5 ( 5) 5 2 ( 2) 2 0 0 3 3
7.
dsb
Ragam Dan Simpangan Baku Data Tunggal
Simpangan baku data tunggal dirumuskan :
S
Ragam atau varians data tunggal dirumuskan :
f ( x x) f
S2
2
f ( x x) f
2
Jika suatu data dengan mean = x , median = Me, modus = Mo, jangkauan = J dan simpangan baku = S dan semua data dikalikan a dan ditambah b maka akan didapat : Mean baru = x' ax b Modus baru = Mo' aMo b Median baru = Me' aMe b Jangkauan baru = J' aJ Simpangan baku baru = S' aS
CONTOH - 3a Tentukan simpangan rata-rata dari data : 3,4,7,2,3,4,4,5 ! SOLUSI :
x
fx 1.2 2.3 3.4 1.5 1.7 2 6 12 5 7 32 4 1 2 3 1 1 8 8 f
SR
f x x f
1 2 4 2 3 4 3 4 4 15 4 17 4 2 2 0 1 3 1 8 8
8
CONTOH - 3b Tentukan ragam (varians) dan simpangan baku dari data : 6,7,4,5,3,2,8,5,2,8 !
SOLUSI :
x
fx 2.2 1.3 1.4 2.5 1.6 1.7 2.8 4 3 4 10 6 7 16 50 5 10 10 10 f
f (x x) Ragam = S2
2
f
2(2 5) 2 1(3 5) 2 1(4 5) 2 2(5 5) 2 1(6 5) 2 1(7 5) 2 2(8 5) 2 10 18 4 1 0 1 4 18 10 46 4,6 10
f (x x) f
Simpangan Baku = S
2
4,6 2,14
VARIASI SOAL - 3 1.
Tentukan simpangan rata-rata dari data : 7,8,4,5,7,3,6,8 !
2.
Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut : Nilai
6
7
8
9
frekuensi
2
3
4
1
3.
Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data 2, 5, 6, 8, 10, 11 !
4.
Nilai ulangan 10 orang siswa adalah 6,6,6,7,7,8,8,8,9,10. Tentukan ragam dan simpangan bakunya !
5.
Tentukan ragam dan simpangan baku dari data berikut : Nilai
5
7
8
9
10
Frekuensi
4
8
15
6
7
6.
Tentukan ragam (varians) dari data 4, 3, 5, 6, 4, 7, 8, 7, 9, 8, 6, 5, 6, 5, 7, 6 !
7.
Tentukan simpangan baku data : 2,3,4,5,6,6,7,8,9,10 !
8.
Pada suatu ujian yang diikuti 50 siswa diperoleh rata-rata nilai ujian 35, median 40 dan simpangan baku 10. Karena rata-rata nilai terlalu rendah maka semua nilai dikalikan 2, kemudian dikurangi 15. Akibatnya adalah …. A. rata-rata nilai menjadi 70 B. rata-rata nilai menjadi 65 C. simpangan baku menjadi 20
9 D. simpangan baku menjadi 5 E. median menjadi 80
C.
DATA BERKELOMPOK
1.
Daftar Distribusi Frekuensi Yaitu suatu daftar yang mengelompokkan (mendistribusikan) data menurut kelas dan banyaknya frekuensi masing-masing kelas. Untuk data yang macamnya sedikit bisa dibuat daftar distribusi frekuensi data tunggal dan jika macam datanya banyak maka dibuat daftar distribusi frekuensi data berkelompok.
1.1
Daftar Distribusi Frekuensi Data Tunggal Yaitu pengelompokkan data untuk data yang tidak terlalu beragam.
1.2
Daftar Distribusi Frekuensi Data Berkelompok Pengelompokkan data untuk data yang banyak ragam/macamnya. Langkah-langkah penyusunannya : 1. 2.
Tentukan jangkauan, yaitu j = data terbesar – data terkecil Tentukan banyaknya kelas, dengan menggunakan aturan STURGES, yaitu k = 1 + 3,3 log n, dimana n adalah banyaknya data. Nilai k dibulatkan ke bilangan bulat terdekat.
3.
Tentukan panjang interval kelas dengan rumus p
4. 5.
j . k
Harga p dibulatkan ke bilangan bulat terdekat. Tentukan batas bawah untuk kelas pertama. Batas bawah bisa diambil dari data terkecil, atau yang lebih kecil asalkan selisihnya harus kurang dari panjang kelas. Dengan menggunakan bantuan tally/tallus/tabulasi , hitunglah banyaknya frekuensi masing-masing interval kelas.
2.
Tabel Distribusi Frekuensi Relatif, Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Dan Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif
2.1
Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Frekuensi relatif = frel f (%)
2.2
fi x 100% f
Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Tabel distribusi frekuensi kumulatif ada 2 macam, yaitu : - Tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari f k Yaitu jumlah frekuensi semua nilai data yang kurang atau sama dengan nilai tepi atas pada setiap kelas.
10 -
2.3
Tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari f k Yaitu jumlah frekuensi semua nilai data yang lebih atau sama dengan nilai tepi bawah pada setiap kelas.
Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif Tabel distribusi frekuensi relatif kumulatif diperoleh dari tabel distribusi frekuensi kumulatif. Tabel distribusi frekuensi relatif kumulatif ada dua macam, yaitu : - Tabel distribusi frekuensi relatif kumulatif kurang dari - Tabel distribusi frekuensi relatif kumulatif lebih dari
fk (%)
3.
fk x 100% f
Histogram, Poligon Frekuensi Dan Ogive (Ogif) Histogram adalah bentuk penyajian daftar distribusi frekuensi dengan menggunakan diagram batang yang berimpit. Untuk data sumbu mendatar, digunakan tepi kelas masing-masing interval kelas. Dan untuk sumbu tegaknya digunakan frekuensi masing-masing interval kelas. Jika titik-titik tengah masing-masing kelas dari histogram dihubungkan maka akan didapat poligon frekuensi yang berupa diagram garis. Dari daftar distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih , jika masing-masing titik dihubungkan maka akan didapat poligon frekuensi kumulatif. Dan jika poligon frekuensi kumulatif itu diperhalus kurvanya maka akan didapat ogive (ogif). Jadi untuk frekuensi kumulatif kurang dari maka akan didapat ogive positif dan untuk frekuensi kumulatif lebih dari maka akan didapat ogive negatif. Beberapa istilah pada distribusi frekuensi : -
Batas kelas, yaitu nilai-nilai ujung yang terdapat pada suatu kelas (kelas interval) Batas kelas terdiri dari batas bawah (Bb) dan batas atas (Ba). Tepi kelas, yaitu batas kelas yang diberi toleransi setengah dari masing-masing ketelitian data yang digunakan pada masing-masing batas bawah dan batas atasnya. Tepi kelas terdiri dari tepi bawah (Tb) dan tepi atas (Ta). Tb Bb 1 . satuan ketelitian data 2
Ta Ba 1 . satuan ketelitian data 2
-
1 ( Bb Ba) Titik tengah kelas = 2
CONTOH - 4a Buatlah daftar distribusi frekuensi dari data nilai 20 siswa berikut : 4, 6, 5, 7, 5, 8, 9, 9, 5, 5, 4, 7, 7, 8, 6, 6, 6, 7, 5, 7 ! SOLUSI : Nilai
Frekuensi
4 5 6 7 8 9
2 5 4 5 2 2
CONTOH - 4b Buatlah daftar distribusi frekuensi dari data nilai 40 siswa berikut :
11 65 87 63 46
64 88 75 48
75 90 56 50
77 74 58 80
84 73 84 73
83 80 52 70
75 64 73 65
66 76 88 88
63 92 67 73
32 72 45 62
SOLUSI : Jangkauan = j = data terbesar – data terkecil = 92 – 32 = 60 Banyak kelas = k = 1 + 3,3 log 40 6,3 diambil k = 6 atau 7 Panjang kelas = p
j 60 10 k 6
Batas bawah kelas ke-1 misal diambil 30 Daftar distribusi frekuensinya : Kelas 30 – 39 40– 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99
Tabulasi 1 111 1111 1111 1111 1111 1111 11 1111 1111 11
Frekuensi 1 3 4 9 12 9 2
CONTOH - 4c Dari contoh 4b di atas, tentukan batas kelas, tepi kelas dan titik tengah masing-masing kelas interval ! SOLUSI : Kelas
Frekuensi
Tepi Kelas
30 – 39 40– 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99
1 3 4 9 12 9 2
29,5 – 39,5 39,5 – 49,5 49,5 – 59,5 59,5 – 69,5 69,5 – 79,5 79,5 – 89,5 89,5 – 99,5
Titik Tengah 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5
CONTOH - 4d Dari contoh 4b di atas, buatlah tabel distribusi frekuensi relatif, tabel distribusi frekuensi kumulatif dan tabel distribusi frekuensi relatif kumulatifnya ! SOLUSI : Kelas
F
f (%)
30 – 39 40– 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99
1 3 4 9 12 9 2
2,5 % 7,5 % 10 % 22,5 % 30 % 22,5 % 5%
FK
FRK
fk
fk
1 4 8 17 29 38 40
40 39 36 32 23 11 2
f k (%) f k (%) 2,5 % 10 % 20% 42,5 % 72,5 % 95 % 100 %
100 % 97,5 % 90 % 80 % 57,5 % 27,5 % 5%
CONTOH - 4e Dari contoh 4d di atas, buatlah histogram, poligon frekuensi, poligon frekuensi kumulatif dan ogivenya ! SOLUSI :
F 12
12 10 8
Histogram
6
Poligon Frekuensi
4 2 Kelas 0
29,5
F 40
39,5
49,5
59,5
69,5
24
16
8
0
29,5
39,5
49,5
59,5
89,5
69,5
99,5
32
79,5
79,5
89,5
Kelas 99,5
VARIASI SOAL - 4 1. 2.
Nilai matematika dari 20 siswa sebagai berikut : 60, 55, 55 80, 85, 55, 75, 80, 60, 70, 70, 90, 85, 65, 50, 60, 70, 85, 85, 60. Buatlah daftar distribusi frekuensinya dan tentukan rata-ratanya ! Berat badan 60 siswa dalam kg sebagai berikut :
3.
Buatlah : a. Daftar distribusi frekuensi b. Titik tengah masing-masing kelas c. Distribusi frekuensi relatif d. Distribusi frekuensi kumulatif e. Histogram f. poligon frekuensi g. ogive Data berikut menunjukkan banyak papaya yang terjual selama 50 hari.
125 113 169 136
126 128 162
171
119 132 106
109 113 165
117 129 129 109
Tentukan : a. Daftar distribusi frekuensi b. Titik tengah masing-masing kelas c. Distribusi frekuensi relatif d. Distribusi frekuensi kumulatif e. Histogram f. poligon frekuensi g. ogive
128 126
139 115 109
181 108
138
116 153
146
13
4.
Mean Data Berkelompok Cara menentukan mean (rata-rata) data berkelompok ada 3 cara, yaitu :
fx f
x
x xs
, dimana x titik tengah masing-masing kelas
fd f
, dimana xs rata-rata sementara (bisa diambil dari salah satu titik tengah kelas interval) dan
x xs p
5.
fu f
d (deviasi/simpangan) yang besarnya d = x xs
, dimana p panjang kelas dan u
d p
Modus Data Berkelompok
s Mo Tb p 1 s1 s2 Tb : p :
s1 s2
bawah kelas modus (kelas dengan frekuensi kelas terbesar), panjang kelas : frekuensi kelas modus – frekuensi kelas sebelumnya : frekuensi kelas modus – frekuensi kelas sesudahnya
CONTOH - 5a Tentukan mean dari data sebagai berikut :
14 Data 1-5 6-10 11-15 16-20
F 2 6 3 4
SOLUSI : Misal xs 8 Data 1-5 6-10 11-15 16-20 Jumlah
F 2 6 3 4 15
x 3 8 13 18
Fx 6 48 39 72 165
d -5 0 5 10
Fd -10 0 15 40 45
u -1 0 1 2
Fu -2 0 3 8 9
fx 165 11 15 f 45 fd 8 11 Cara II : x xs 15 f 9 fu 8 5 11 Cara III : x xs p 15 f Cara I :
x
CONTOH - 5b Tentukan modus dari data sebagai berikut : Data 1-5 6-10 11-15 16-20 SOLUSI :
F 2 6 3 4
s1 6 2 4 s2 6 3 3
s Mo Tb p 1 s1 s2
4 20 5,5 5 8,36 5,5 7 43
VARIASI SOAL - 5 1.
Diketahui data sebagai berikut :
Interval 2–6 7 - 11 12 - 16 17 - 21 22 - 26
Frekuensi 2 2 3 8 5
Tentukan rata-ratanya dan modusnya ! 2.
Diketahui data sebagai berikut :
15 Ukuran 16 - 20 21 - 25 26 - 30 31 - 35 36 - 40 41 - 45 46 - 50
Frekuensi 2 4 9 14 16 4 1
Tentukan mean dan modusnya ! 3.
Diketahui data sebagai berikut :
Nilai 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89
Frekuensi 3 3 14 37 25 8 4
Tentukan modusnya !
4.
F p
7 6 4 3 Ukuran 45,5
50,5
55,5
60,5
65,5
70,5
Rataan hitung data dari histogram di samping adalah 59. Tentukan p ! 5. F 12 8 5
6 4 3
2 29,5
Berat (kg) 34,5
39,5
44,5
49,5
Tentukan modus dari histogram di atas ! 6.
F
16 14
8
54,5
59,5
64,5
16 7 3
3 Ukuran (cm)
12
17
22
27
32
37
Tentukan modusnya ! 7.
Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut : Kelas 20 - 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 - 89
Frekuensi 3 7 8 12 9 6 5
Tentukan nilai modus dari data pada tabel di atas ! 8.
Perhatikan tabel distribusi nilai ulangan matematika berikut ini ! Nilai 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 - 60
Frekuensi 2 5 8 3 1
Tentukan modus dari data pada tabel di atas !
3.
Kuartil Data Berkelompok i f Fk 4 Q i Tb p FQi
Tb p Fk
: : :
FQ i :
4.
tepi bawah masing-masing kelas Q i panjang kelas jumlah frekuensi sebelum frekuensi Q i frekuensi kelas Q i i merupakan indeks yang besarnya 1,2 atau 3
Simpangan Rata-rata Data Berkelompok Untuk menentukan simpangan rata-rata data tunggal maupun data berkelompok digunakan rumus :
SR
f x x f
5.
Simpangan Baku
5.1
Simpangan Baku Data Tunggal S
f ( x x) f
2
17 5.2
Simpangan Baku Data Berkelompok Untuk menentukan simpangan baku data berkelompok ada 3 cara, yaitu :
1.
S
2.
S
f ( x x) f fd2 f
2
dimana x merupakan titik tengah masing-masing kelas interval
fd 2 f
dimana d x xs
xs : rata-rata sementara diambil bebas dari salah satu titik tengah
3.
fu2 S p f
fu 2 f
dimana u
d p
CONTOH - 6a Tentukan kuartil dari data sebagai berikut : Kelas 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 SOLUSI :
F 3 5 4 6 2
F 3 5 4 6 2 20 Letak Q 1 x 41 .20 x5 yaitu pada kelas 20 – 29
53 Q 1 19,5 10 19,5 4 23,5 5 Letak Q 2 x 12 .20 x10 yaitu pada kelas 30 – 39
10 (3 5) Q 2 29,5 10 29,5 5 34,5 4 Letak Q 3 x 43 .20 x15 yaitu pada kelas 40 – 49
15 (3 5 4) Q 3 39,5 10 39,5 5 44,5 6
18 CONTOH - 6b Tentukan simpangan rata-rata dari data sebagai berikut : Data 1–5 6 – 10 11 – 15 16 – 20
F 3 4 2 1
SOLUSI : Data
F
x
Fx
1-5 6 - 10 11 - 15 16 - 20
3 4 2 1 10
3 8 13 18
9 32 26 18 85
x
x x
5,5 0,5 4,5 9,5
F x x 16,5 2 9 9,5 37
Fx 85 8,5 F 10
SR
f x x f
37 3,7 10
CONTOH - 6c Tentukan simpangan baku dari data : 5, 6, 6, 4, 7, 8, 5, 7 ! SOLUSI :
x
S
fx 1.4 2.5 2.6 2.7 1.8 4 10 12 14 8 6 8 8 f f ( x x) f
2
42024 8
CONTOH - 6d Tentukan simpangan baku dari data : Data 0-2 3-5 6-8 9 - 11
1( 4 6) 2 2(5 6) 2 2(6 6) 2 2(7 6) 2 1(8 6) 2 8
Frekuensi 2 3 1 4
SOLUSI : Misal xs 4
12 1,5 1,22 8
19
Data
f
x
fx
0-2 3-5 6-8 9 - 11 Jumlah
2 3 1 4 10
1 4 7 10
2 12 7 40 61
x
f ( x x) 2
52,02 13,23 0,81 60,84 126,9
d
d2
fd
fd2
u
u2
fu
fu 2
-3 0 3 6
9 0 9 36
-6 0 3 24 21
18 0 9 144 171
-1 0 1 2
1 0 1 4
-2 0 1 8 7
2 0 1 16 19
fx 61 6,1 f 10
Cara I : . S
f ( x x) f
Cara II : . S
fd 2 f
2
126,9 12,69 3,56 10
fd 2 f
2 171 21 17,1 4,41 12,69 3,56 10 10
Cara III :
fu2 S p f
2 fu 2 19 7 3 1,9 0,49 3 1,41 3,56 3 f 10 10
2 f x x Varians yaitu simpangan baku yang dikuadratkan, jadi Varians = S2
f
VARIASI SOAL – 6 1.
2.
Diketahui data : 5, 6, 5, 7, 8, 3, 5, 6, 8, 7 . Tentukan : a. Rata-rata (Mean) b. Simpangan rata-rata c. Simpangan baku Diketahui data nilai matematika dari 40 siswa sebagai berikut : 56 45 55 31
3.
44 67 47 54
75 73 56 76
80 34 75 84
75 54 48 67
66 64 90 65
65 77 77 58
91 75 84 88
88 56 91 65
85 60 63 47
Tentukan : a. Distribusi frekuensinya dengan batas bawah kelas ke-1 adalah 30 dan panjang kelas 10 b. Kuartil Q 1 , Q 2 dan Q 3 c. Rata-rata d. Simpangan rata-rata e. Simpangan baku Diketahui data tinggi badan 20 siswa dalam cm sebagai berikut : 156 163
165 165
164 168
176 172
154 175
160 154
173 162
182 167
166 170
159 168
Tentukan : a. Distribusi frekuensinya dengan batas bawah kelas ke-1 adalah 150 dan panjang kelas 5
20
4.
b. Kuartil Q 1 , Q 2 dan Q 3 c. Rata-rata d. Simpangan rata-rata e. Simpangan baku Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut : Kelas 20 - 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 - 89
5.
6.
7.
Frekuensi 3 7 8 12 9 6 5
Tentukan median dari data di atas ! Tentukan kuartil atas dari data pada tabel berikut : Ukuran
F
1–5 6 – 10 11 – 15 16 – 20 21 – 25 26 – 30 31 – 35
3 17 18 22 25 21 4
Tentukan varians dari data Nilai
Frekuensi
20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89
3 7 8 12 9 6 5
yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut :
Perhatikan data berikut imi ! Berat Badan 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79
Frekuensi 4 6 8 10 8 4
Tentukan kuartil atas dari data pada tabel di atas ! 8.
Nilai ulangan harian dari suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar : F 10 9 8 5
5
3 Nilai
21 65
70
75
80
Tentukan kuartil bawah data tersebut ! 9.
Perhatikan tabel berikut ini : Nilai
Frekuensi
30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99
2 6 12 15 20 17 8
Tentukan median dari nilai tes tersebut ! 10.
Diketahui data sebagai berikut : Nilai 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99
F 1 3 11 21 43 32 9
Tentukan kuartil bawah dari data di atas !
85
90
