0 Persiapan [PDF]

Citation preview

BAB 0 Persiapan 0.1 Bilangan Real, Estimasi, dan Logika Dasar dari kalkulus adalah system bilangan real dan sifat-sifatnya. 



Bilangan Bulat dan Rasional bilangan paling sederhana di anatara semuanya adalah bilangan asli (natural number), 1, 2, 3, 4, 5, 6, …



Jika kita menyertakan negative dari bilangan asli dan nol, kita memperoleh bilangan bulat (integar) …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Untuk mengukur panjang, berat, atau volume, bilangan bulat saja tidaklah cukup. Jarak antara bilangan bulat terlampau renggang sehingga ketelitiannya (precision) kurang. Oleh katrnanya kita perlu meninjau hasil bagi (rasio atau kuosien) bilangan bulat (Gambar 1), yaitu bilangan seperti.



Perhatikan bahwa kita menyertakan



dan



, walaupun biasanya kita menuliskan keduanya



sebagai 8 dan -17, karena jika dilakukan operasi pembagian hasilnya akan sama saja. Kita tidak



menyertakan atau



karena mustahil memahami arti dari symbol-simbol ini. Ingat selalu



bahwa pembagian oleh 0 tidak pernah diperolehkan. Bilangan yang dituliskan dalam bentuk dengan m dan n bilangan bulat serta = 0, disebut bilangan rasional. Memperlihankan bahwa meskipun √ merupakan sisi miring sebuah segitiga siku-siku 1 (Gambar 2), √ tidak dapat dituliskan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat jadi √ adalah bilangan irasional.







Bilangan Real dapat dipandang sebagai label (penanda) untuk titik-titik di sepanjang sebuah garis mendatar. Di sana bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan atau kekiri (jarak berarah) dari suatu titik tetap yang disebut titi asal (origin) dan diberi label 0. Bilangan ini disebut koordinat dari titik tersebut, dan garis koordinat yang dihasilkan disebut sebagai garis real.



System bilangan real masih bisa diperluas lagi menjadi system bilangan kompleks. System bilangan ini terbentuk a + bi, dimana a dan b adalah bilangan real dan I = √







Decimal Berulang dan tak Berubah setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai decimal, karena sesuai definisi bilangan rasional selalu dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat; jika kita membagi pembilang dengan penyebut, kita memperoleh decimal. Sebagai contoh, = 0,5



= 0,375



= 0,428571428571428571



Bilangan irasional juga dapat dinyatakan sebagai decimal, sebagai contoh, √



= 1,4142135623 …,



= 3,1415926535



Decimal berakhir dapat dipandang sebagai decimal berulang dengan perulangan nol. Sebagai contoh,



= 0,375 = 0,3750000 Jadi, setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai decimal berulang. Dengan lain, jika x adalah bilangan rasional, maka x dapat dituliskan sebagai sebuah decimal berulang . CONTOH 1 : (Desimal berulang adalah bilangan rasional) Perhatikan bahwa x = 0,136136136 … adalah bilangan rasional. PENYELESAIAN : kita kurangkan x dari 1000x, dan kemudian menghitung x.



1000x = 136,136136 … X=



0,136136 …



999x = 136 X= 



Estimasi ketika menghadapi soal hitungan yang rumit, mahasiswa yang ceroboh mungkin akan menekan dengan cepat beberapa tombol kalkulator dan langsung menuliskan jawabannya, tanpa menyadari tanda kurung hilang atau jari salah tekan bisa memberikan hasil yang salah. Mahasiswa yang teliti dan memiliki rasa bilangan yang tinggi akan hasilnya terlalu besar atau terlalu kecil, dan menghitung ulang dengan benar. Kita juga harus tahu bagaimnana melakukan diluar kepala.



CONTOH 2 : Hitung (



430 + 72 +



7,5 )/2,75.



PENYELESAIAN : Mahasiswa yang bijak akan mengaproksimasikan ini sebagai ( 20 + 72 + 2)/3 dan mengatakan bahwa jawaban seharusnya berada disekitar 30. Jadi, ketika kalkulatornya memberikan jawaban 93,448, dia curiga (dan yang dia hitung ternyata adalah (√ + 72 + √ menghitung ulang dia mendapatkan jawaban yang benar : 34,43.







/ 2,75 ). Setelah



Sedikit tentang Logika Hasil-hasil penting dalam matematika disebut teorema. Beberapa yang terpenting diberi label Teorema dan biasanya diberi nama (misalnya Teorema Pythagoras). Yang lainnya muncul dalam soal-soal dan didahului dengan kata-



kata perlihatkan bahwa atau buktikan bahwa. Berlawanan dengan aksioma atau definisi, yang diterima begiyu saja, teorema memerlukan pembuktian.







Negasi dari pernyataan P dituliskan



. misalnya, jika P adalah pernyataan “Hari



hujan”, maka adalah pernyataan “Hari tidak hujan”. Pernyataan Q => dinamakan Kontraposisi dari pernyataan P => Q dan pernyataan ini setara terhadap P => Q. yang dimaksud dengan setara adalah P => Q dan => bersifat keduanya benar atau keduanya salah. Untuk contoh, kontrapositif dari “Jika Adi orang Maluku, maka Adi adalah orang Indonesia adalah “Jika Adi bukan orang maluku maka Adi bukan orang Indonesia.



0.2 Pertidak samaan dan nilai mutlak Menyelesaikan suatu persamaan (misalnya, 3x – 17 = 6 atau x – 6 = 0) adalah salah satu tugas yang tidak lazim dalam matematika. Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan tersebut berlaku. Berbeda dengan persamaan, yang himpunan pemcahannya umumnya terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlah bilangan berhingga, himpunan pemecahan suatu pertidaksamaan biasanya terdiri dari suatu keseluruhan interval bilangan atau, dalam beberapa kasus, gabungan dari interval-interval yang demikian. 



Interval pertidaksamaan a < x < b, yang sebenarnya adalah dua pertidaksamaan, a < x dan x < b, menunjukan interval terbuka yang terdiri dari suatu bilangan antara a dan b, tidak termasuk titik-titik ujung a dan b. sebaliknya, pertidaksamaan a ≤x ≤ b berarti interval tertutup yang berkorespondensi, yang mencangkup titik-titik ujung a dan b.







Menyelesaikan Pertidaksamaan seperti halnya dengan pertidaksamaan, prosedur



untuk menyelesaikan pertidaksamaan adalah mengubah pertidaksamaan atu langkah tiap kali himpunan pemecahannya jelas. Kita dapat melaksanankan operasi-operasi tertentu pada kedua ruas suatu pertidaksamaan tanpa mengubah himpunan pemecahannya. Khususnya : 1. Kita dapat menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas suatu pertidaksamaa. 2. Kita dapat mengalihkan kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan suatu bilangan positif. 3. Kita dapat mengalihkan kedua ruas dengan suatu bilangan negative, tetapi kemudian harus membalikkan dari tanda pertidaksamaannya.



Contoh : 1. Selesaikan pertidaksamaan 2x – 7 < 4x – 2 ? Peny : 2x – 7 < 4x – 2 2x < 4x + 5



(tambahkan 7)



2x < 5



(tambahkan – 4x )



x > -5/2



(tambahkan -1/2)



2. Selesaikan pertidaksamaan kuadrat x2 – x < 6 ? Peny : x2 – x < 6 X2 – x – 6 < 0



(tambahkan -6)



(x – 3)(x + 2) < 0



(faktorkan)



Kita lihat bahwa – 2 dan 3 adalah titik-titik pemisah : titik-titik ini membagi garis real menjadi tiga interval ( −∞, −2), (−2, 3), dan (3, ∞). Pada tiap interval ini, (x – 3) (x + 2) bertanda tetap, yakni selalu positif atau selalu negative. Untuk mencari tanda dalam tiap interval, kita uji −3, 0, dan 5 (sembarang titik pada ketiga interval tersebut akan memenuhi). Kita simpulkan bahwa himpunan penyelesaian untuk ( x – 3)( x + 2) adalah interval (−2, 3).







Nilai Mutlak suatu bilangan real x, dinyatakan oleh │x │, didefinisikan sebagai │ x │ = x jika x ≥ 0 │ x │ = −x jika x < o



Misalnya, │6│ = 6, │0│ = 0, dan │−5│= − (−5) = 5. Definisi dari dua tanda dua-pagar ini patut dikaji secara seksama. Perhatikan definisi ini tidak mengatakan bahwa │−x│ = x (cobalah x = −5 untuk melihat sebabnya). Adalah benar bahwa │x│ selalu taknegatif; adalah benar juga bahwa │−x│ = │x│ . salah satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah sebagai jarak (tak berarah). 



Sifat-sifat Nilai Mutlak tidak menimbulkan masalah dalam proses perkalian dan pembagian, tetapi tidak begitu dala proses penambahan dan pengurangan.



 Sifat-sifat Nilai Mutlak 1. │ab│= │a││b│



2. 3. 4. 



│a/b│= │a/b│ │a + b│≤ │a│+│b│ │a - b│≥││a│ − │b││



Pertidaksamaan yang Melibatkan Nilai Mutlak jika │x│ 3 atau x < −3. Ini merupakan kasus-kasus khusus dari pernyataan-pernyataan umum berikut yang berlaku ketita a > 0. │x│< a  − a < x < a │x│> a  x < −a atau x > a



Kita dapat menggunakan fakta ini, untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak, karena fakta tersebut memberikan cara menghilangkan tanda nilai mutlak.



0.3 Sistem Koordinat Rektanguler Dalam sebuah bidang, gambarkan dua garis real, satu mendtar dan satu tegak, sedemikian rupa sehingga keduanya berpotongan pada titik-titik nol dari kedua garis tersebut. Dua garis itu dinamakan sumbu-sumbu koordinat; perpotongannya diberi label 0 dan disebut titik asal. Menurut perjanjian, garis mendatar disebut sumbu x dan yang tegak disebut sumbu y. 



Rumus Jarak Bermodalkan pemahamaan tentang koordinat, kita akan berkenalan dengan sebuah rumus sederhana untuk jarak antara dua titik pada bidang. Ini didasarkan pada Teorema Pythagoras, yang mengatakan jika a dan b adalah panjang dari kedua kaki sebuah segitiga siku-siku dan c adalah sisi miring maka : a2 + b2 = c2 Sebaiknya, hubungan anatara ketiga sisi segitiga ini hanya berlaku untuk segitiga sikusiku.



Dua titik P dan Q, masing-masing dengan koordinat-koordinat (x1, x2) dan (x2, y2). Bersama dengan R, titik dengan koordinat-koordinat (x2, y1), P dan Q adalah titik-titik sudut sebuah segitiga siku-siku. Panjang PR dan RQ masing-masing│ x2 – x1 │dan│ y2 – y1│ . jika teorema Pythagoras diterapkan dan diambil akar kuadrat utama dari kedua ruas maka diperoleh Rumus Jarak. d (P, Q) = √(



)



√(



)







Persamaan Lingkaran. Lingkaran adalah himpunan suatu lingkaran yang terletak pada suatu jarak tetap (pusat). (x – h )2 + (y – k )2 = r2 Persamaan baku sebuah lingkaran.



 Rumus Titik Tengah  Bentuk Kemiringan Titik y– y1 = m (x – x1)



 Bentuk Kemiringan Perpotongan y = mx + b



 Persamaan Garis Tegak Ax + By + C = 0







A dan B tidak keduanya O



Garis-garis Sejajar secara ringakas kita menyatakan bahwa dua garis tak- tegak adalah sejajar jika dan hanya jika keduanya mempunyai kemiringan yang sama dan perpotongan-y berlainan. Dua garis tegak sejajar jika dan hanya jika keduanya adalah garis-garis yang berbeda.







Garis-garis Tegak Lurus dua garis tak tegak saling tegak lurus jika hanya kemiringan keduanya saling berkebalikan negative.



0.4 Grafik Persamaan Pengunaan koordinat untuk titik-titik pada bidang memungkinkan kita mendeskripsikan suatu kurva (objek geometri) menggunakan suatu persamaan (objek aljabar). Grafik suatu persamaan dalam x dan y terdiri atas titik-titik di bidang yang koordinat-koordinat (x, y)-nya memenuhi persamaan, yakni membuat suatu identitas yang benar.



 Prosedur Pengambaran Grafik untuk menggambarkan suatu persamaan,, misalnya y = 2x3 – x + 19, kita dapat mengikuti prosedur tiga langkah sederhana : Langkah 1 : Dapatkan koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan. Langkah 2 : Plotlah titik-titik pada bidang. Langkah 3 : Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus. Cara terbaik untuk melakukan langakah 1 adalah membuat sebuah table nilai-nilai. Berikan nilai-nilai pada satu variable, misalnya x, dan tentukan nlai-nilai yang berkorespondensi dan variable lainnya, dengan menuliskan hasil-hasilnya dalam bentuk table. CONTOH 1 : Gambarkan grafiq persamaan y =



 Kesimetrian Grafik dalam bentuk persamaan, kita memiliki tiga pengujian sederhana. Grafik suatu persamaan adalah. 1. Simetri terhadap sumbu-y jika penggantian x oleh –x menghasilkan persamaan yang setara (sebagai contoh y = x2) 2. Simetri terhadap sumbu-x jika penggantian y ole –y menghasilkan persamaan yang setara ()sebagai contoh x = y2 + 1) 3. Simetri terhadap titik asal jika penggantian x ole –x dan y oleh –y menghasilkan persamaan yang setara (y = x3 merupakan contoh yang bagus karena –y = (-x)3 setara dengan y = x3) CONTOH 1 : Gambarkan grafik x3



Penyelesaian :



Dalam mengambar grafik



0.5 Fungsi dan Grafiknya  Sebuah fungsi f adalah sebuah korenspondensi yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal (domain), dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatuu himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (range) fungsi. (Lihat gambar)



 Notasi Fungsi untuk member nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau f ). Maka f(x) yang dibaca “f dari x” atau “f pada x”, menunjukan nilai yang diberikan olef f kepada x. jadi, jika f(x) = x3 – 4, maka f(2) = 23 – 4 f(a) = a3 – 4 f(a + h) = (a + h)3 – 4 = a3 +3a2h + 3ah2 + h3 – 4



 Daerah asal dan daerah asli untuk menyebut suatu fungsi secara lengkap, kita harus menyatakan, selain aturan korespondensi daerah asal fungsi tersebut. Misalnya, jika F adalh fungsi yang didefinisikan oleh F(x) = x2 + 1 dengan daerah asal { -1, 0, 1, 2, 3} (Lihat Gambar), maka daerah hasil adalah {1, 2, 5, 10}. Aturan korespondensi bersama dengan daerah asal, menentukan daerah hasil.



 Grafik fungsi jika daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan real, kita dapat dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. Dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y=f(x.)  Fungsi Genap dan Ganjil Seringkali kita memperkirakan kesimetrian grafik suatu fungsi dengan memeriksa rumus fungsi tersebut. Jika f(-x) = f(x) untuk semua x, maka grafik simetri terhadap sumbu-y. fungsi yang demikian disebut fungsi genap, jika f(-x) = -f(x) untuk semua x, grafik simetri terhadap titik asal. Kita sebut fungsi yang demikian fungsi ganjil .



 Dua Fungsi Khusus diantara fungsi-fungsi yang akan sering digunakan sebagai contoh terhadap dua yang sangat khusus : fungsi nilai mutlak dan fungsi bilangan bulat terbesar. Fungsi-fungsi ini didefinisikan oleh. │x │= {



}



Dan │x│ = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. jadi │3,1│= │3, 1 = 3,1, sedangakan │-3, 1│= -4 dan │3, 1│= 3. Kita perhatikan grafik dari dua fungsi ini dalam gambar. Fungsi nilai mutlak adalah genap, karena │-x│= │x│. fungsi bilangan bulat terbesar bukan genap ataupun ganjil, seperti dapat anda lihat dari grafiknya.



0.6 Operasi pada Fungsi  Julmah, Selisih, Hasil-kali, Hasil-bagi, da pangkat. Perhatikan fungsifungsi f dan g dengan rumus-rumus. f (x) =



, g(x) = √



kita dapat membuat fungsi baru f + g dengan cara memberikan pada x nilai f(x) + g(x) = (x – 3 )/2 + √ ; yakni, (f + g)(x) = f(x) + g(x) =



+√



 Komposisi Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi g dengan f, dinyatakan oleh . jadi, ( ) (x) = g(f(x))  Catalog Parsial Fungsi sebuah fungsi berbentuk f(x) = k, dengan k konstanta (bilangan real) disebut fungsi konstanta. Grafiknya berupa sebuah garis mendatar.



Fungsi f(x) = x disebut identitas. Grafiknya berupa sebuah garis yang melalui titik asal.  Fungsi aljabar eksplisit adalah fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan fungsi identitas melalui lima operasi : penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar.



0.7 Fungsi Trigonometri















Anda mungkin telah melihat definisi fungsi trigonometri berdasarkan segitiga siku-siku. Gambar 1 meringkas definisi fungsi-fungsi sinus, kosinus, dan tangen. Secara lebih umum, kita mendefinisikan fungsi trigometri berdasarkan lingkaran satuan. Lingkaran satuan, yang kita nyatakan C , adalah lingkaran dengan jari-jari 1 dan pusat di titik-asal; dia mempunyai persamaan x2 + y2 = 1. Definisi Fungsi dan Kosinus misalnya t bilangan real yang menentukan titik P(x, y) seperti ditunjukkan diatas, maka. Sin t = y dan Cos t = x Grafik Sinus dan Kosinus untuk mengambarkan grafik y = sin t dan y = cos t, kita ikuti prosedur baku kita, buat table nilai, gambar titik-titik yang berkorespondensi, dan hubungan titik-titik ini dengan kurva mulus. Namun, sedemikian jauh kita mengetahui nilai-nilai sinus dan kosinus hanya untuk sedikit nilai t. sejumlah nilai lainnya dapat ditetapkan dari penelaran geometri.



Periode dan Amplitudo Fungsi Trigometri fungsi f dikatakan periode jika terdapat suatu bilangan p sedemikian rupa sehingga f(x + P) = f (x) untuk semua x dalam daerah asal f. bilangan positif terkecil p yang demikian disebut periode f. Fungsi sinus adalah periode karena sin (x + 2 ) = sin x untuk semua x. juga benar bahwa sin(x + 4 )= sin(x - 2 ) =sin(x + 12 ) = sin x







Empat Fungsi Trigonometri Lainnya kita cukup mengunakan fungsi sinus dan kosinus, tetapi penting juga memperkenalkan emat fungsi lainnya yaitu tangent, cotangent, secan, dan cosecant. sin



cos



tan t = cos



cot t = sin



sec t =



cosec t = sin







Hubungan terhadap Trigonometri Sudut 1 radien didefinisikan sebagai sudut yang berkorespondensi dengan busur panjang 1 satuan lingkaran. Sudut yang berkorenspondensi dengan satuan putaran penuh berukuran 360 , tetapi hanya radian. Secara setara, sudut lurus 180 atau radian, kenyataan yang bermanfaat untuk diingat. 180 =



radian



radian



Ini menuju kepada hasil 1 radian 



1



radian



Daftar Identitas- identitas (identitas Trigonometri) yang berikut ini adalah benar untuk semua x dan y, asalakan kedua ruas terdefinisi pada x dan y yang dipilih.



Identitas ganjil-genap



Identitas ko-fungsi



Sin (-x) = -sin x



sin ( - x ) = cos x



Cos (-x) = cos x



cos ( – x ) = sin x



Cos (-x) = - tan x



tan ( - x ) = cot x



Identitas Pythagoras



Identitas penambahan (



)



cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin tan (x + y) =



Identitas susut ganda Sin 2x = 2 sin x cos x Cos 2x = cos2 x – sin2 x = 2 cos2 x – 1 = 1- 2 sin2 x



Identitas Setengah sudut ( )=



√



cos ( ) =



√