![01 Kunci Jawaban Dan Pembahasan Mat 10a KTSP [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/01-kunci-jawaban-dan-pembahasan-mat-10a-ktsp.jpg)
4 0 4 MB
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
Bentuk Akar
Bentuk Pangkat
• • •
Pangkat bulat positif, nol, dan negatif Sifat-sifat pada pangkat bulat Operasi hitung bentuk pangkat bulat
• • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • •
Akar pangkat n suatu bilangan Konsep bentuk akar Operasi hitung bentuk akar Merasionalkan penyebut Pecahan bentuk akar Konsep pangkat pecahan Hubungan pangkat pecahan dengan bentuk akar Operasi hitung bentuk pangkat pecahan
Logaritma
• • •
Konsep logaritma Sifat-sifat logaritma Operasi hitung logaritma
Bersikap cermat dan percaya diri dalam menyelesaikan permasalahan sehari-hari dan permasalahan yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma. Mampu mendeskripsikan bilangan berpangkat bulat positif, nol, dan negatif. Mampu menentukan hasil operasi hitung bilangan berpangkat. Mampu menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dalam menyelesaikan perhitungan. Mampu menyelesaikan persamaan pangkat sederhana. Mampu mendeskripsikan bentuk akar. Mampu menentukan hasil operasi hitung bentuk akar. Mampu menggunakan sifat-sifat bentuk akar dalam menyelesaikan perhitungan. Mampu merasionalkan penyebut bentuk akar. Mampu mendeskripsikan bilangan berpangkat pecahan. Mampu menentukan hasil operasi hitung bilangan berpangkat pecahan. Mampu menjelaskan pengertian logaritma. Mampu menentukan nilai logaritma suatu bilangan. Mampu menentukan hasil operasi hitung logaritma . Mampu menggunakan sifat-sifat logaritma dalam menyelesaikan perhitungan. Mampu menyelesaikan persamaan logaritma sederhana.
Matematika Kelas X
1
A. Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Jawaban: d ⎛ 18x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠
−2
=
⎛ 2 × 32 × x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2×5 ⎠
=
⎛ 32 x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠
=
⎛ 5 ⎞ ⎜ 2 2⎟ ⎝3 x ⎠
−2
5 34 x 4
=
25 81x 4
⎛ 3a −2b3 c 4 ⎞ ⎜⎜ 3 −5 −2 ⎟ ⎟ ⎝ 15a b c ⎠
−1
15a 3b −5 c −2 3a −2b3 c 4
=
= 5a3 – (–2)b–5 – 3c–2 – 4 = 5a5b–8c–6
−2
5a 5 b8 c 6
= 2
6. Jawaban: c
2
=
5. Jawaban: d
⎛ 8p −3 q−2 ⎞ ⎜⎜ −1 −4 ⎟ ⎟ ⎝ 16p q ⎠
−2
=
⎛ 1q−2 −( −4) ⎞ ⎜⎜ −1−( −3) ⎟⎟ ⎝ 2p ⎠
−2
2. Jawaban: b ⎛ 1⎞ ⎜⎜ 5 ⎟⎟ ⎝ ⎠
−2
− ⎛⎜⎜
1⎞ ⎟⎟ ⎝3⎠
=
⎛ 2p2 ⎞ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ q ⎠
=
4p4 q4
−2
23
= = =
(5−1)−2 −(3−1)−2 23 ⎛ 24 xy −5 ⎞ ⎜⎜ 5 2 ⎟⎟ ⎝ 3 y ⎠
16
=
7x y z 84x −7 y −1z −4
= 4 ⎛⎜ p ⎞⎟
−1
⎛ 22 x −2 y −1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ −1 ⎝ 3x y ⎠
2
⎛ 35 y 2 ⎞ ⎛ 24 x −4 y −2 ⎞ ⎜⎜ 4 −5 ⎟⎟ ⎜⎜ 2 −2 2 ⎟⎟ ⎝ 2 xy ⎠ ⎝ 3 x y ⎠
=
(3 × 5 × 11)5 × (22 )7 (3 × 2 × 5 × 2 × 11)5
=
33 y 3 x3
=
(3 × 5 × 11)5 × (22 )7 (22 × 3 × 5 × 11)5
=
27y 3 x3
=
35 × 55 × 115 × 214 210 × 35 × 55 × 115
=
214 210
8. Jawaban: b ab−1 − a −1b a −1 + b−1
=
a − b 1 + a
=
a 2 − b2 ab b+a ab
=
a 2 − b2 ab
=
a 2 − b2 a+b
=
(a + b)(a − b) (a + b)
= 214 – 10 = 24 = 16
4. Jawaban: e 3 −4 −6
2
= 35 – 224 – 4x–4 – 1 – (–2)y2 + (–2) – (–5) – 2 = 3320x–3y3
3. Jawaban: e (15 × 11)5 × 47 (30 × 22)5
−2
7. Jawaban: c
52 − 32 23 25 − 9 8
= 8 =2
2
=
⎛ q2 ⎞ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ 2p ⎠
3
−4 −6
=
7x y z 3 × 4 × 7 × x −7 y −1 z −4
=
71 − 1 x 3 − ( −7) y −4 − ( −1)z −6 − ( −4) 3×4
=
70 x10 y −3 z −2 12
=
x10 12y 3 z2
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
b a 1 b
=a–b
ab
× a+b
⎝ q⎠
4
9. Jawaban: d 343x – 1 =
⎛ 1⎞ ⎜7⎟ ⎝ ⎠
=
4x − 3
⇔ (73)x – 1 = (7–1)4x – 3 ⇔ 73(x – 1) = 7(–1)(4x – 3) ⇔ 73x – 3 = 7–4x + 3 ⇔ 3x – 3 = –4x + 3 ⇔ 7x = 6
=
7× 35 8
3
− 7 2
1 8 1 2
−4
32 8
2
= 8 × 7
6
⇔
5×7×
3
x= 7
= 28
6
Jadi, nilai yang memenuhi adalah 7 . 10. Jawaban: b
2. a.
3x + 1 + 3x + 2 + 3x + 3 39
⎛ a −1 + b−1 ⎞ ⎜ −2 ⎟ ⎝ a − b−2 ⎠
2
=
=
⎛ b + a ⎞ ab ⎟ ⎜ ab 2 2 ⎜ b − a ⎟ 2 2 ⎝ a b a 2 b2 ⎠
=
⎛ a+b ⎜ ab ⎜ b2 − a 2 ⎜ a 2 b2 ⎝
= 27
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎛ 1+1 ⎜ a b ⎜ 1 − 1 ⎝ a 2 b2
2
⇔
3x + 1 + 3x + 1 + 1 + 3x + 1 + 2 39
= 27
⇔
3 x + 1 + 3 ⋅ 3 x + 1 + 32 ⋅ 3 x + 1 39
= 27
⇔
3x + 1(1 + 3 + 32 ) 39
= 27
⇔
3 x + 1( 13 ) 393
= 27
2 = ⎛⎜ a + b × (ab) ⎞⎟ 2 2
⇔
3x + 1 3
= 27
=
⎝ ab
⇔ 3x + 1 – 1 = 27 ⇔ 3x = 33 ⇔ x=3 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 3.
2−3 × 9−2 18 −3
+
612 × 24−2 123
2−3 × (32 )−2
= (2 × 32 )−3 2−3 × 3−4
+
(2 × 3)12 × (23 × 3)−2 (22 × 3)3
212 × 312 × 2−6 × 3−2
= 2−3 × 3−6 + 26 × 33 –3 – (–3) –4 – (–6) =2 ×3 + 212 + (–6) – 6 × 312 + (–2) – 3 0 2 0 7 =2 ×3 +2 ×3 = 9 + 2.187 = 2.196 b.
(72 × 2−3 × 53 ) − (52 × 7 × 22 ) 72 × 2−1 × 52
= =
52 × 7 × (5 × 7 × 2−3 − 22 ) 2
5 ×7 ×7×2 5 × 7 × 2−3 − 22 7 × 2−1
−1
2
2
b −a ⎠
⎛ (a + b)(ab) ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ b − a2 ⎠
2
⎛ ( a + b )(ab) ⎞ ⎟ ⎜ ( a + b )(−a + b) ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛ ab ⎞ ⎜ ( −a + b) ⎟ ⎝ ⎠
2
= ⎜ =
B. Kerjakan soal-soal berikut. 1. a.
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
= b.
a 2b 2 (−a + b)2
(a + b)−1(a −2 − b−2 ) (a −1 + b−1)(ab−1 − a −1b)
=
1 ⎛ 1 1⎞ − a + b ⎜⎝ a2 b2 ⎟⎠ ⎛ 1 1 ⎞⎛ a b ⎞ ⎜ + ⎟⎜ − ⎟ ⎝ a b ⎠⎝ b a ⎠
=
1 ⎛ b2 − a 2 ⎞ ⎜ ⎟ a + b ⎝⎜ a2 b2 ⎟⎠ 2 2 ⎞ ⎛ b+a a −b ⎜ ⎟ ab ⎝ ab ⎠
=
1 ⎛ ( b + a )(b − a) ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ a + b ⎜⎝ a 2 b2 ⎠ a + b ⎛ (a + b)(a − b) ⎞ ⎜ ⎟ ab ⎝ ab ⎠ b−a
=
(ab)2 (a + b)2 ( a − b) (ab)2
= =
b−a (a + b)2 (a − b)
−( a − b ) (a + b)2 ( a − b )
=–
1 (a + b)2
Matematika Kelas X
3
3. a.
n−1 + mn−2 1 − m2n−2
=
5 −1 + 3 × 5 −2 1 − 32 × 5 −2
=
1 3 + 5 25 9 1 − 25
=
5 3 + 25 25 25 9 − 25 25
⇔
8 25 16 25
=
8
1
= 2 (m –
5. a.
m + n⎞ n)–3 ⎛
2
⎜ ⎟ ⎝m −n⎠
×
⎝3−5⎠ −2
×
1 (3 + 5)−3
4
= 34
⇔
34x + 8 33x
= 34
Rumus ketinggian bola:
2n 3n
2n 3n
= 35 – n × 2n Ketinggian bola pada pemantulan ke-6: h(6) = 35 – 6 × 26 = 3–1 × 26 1
= 3 × 64
3 3
=
(2 ) (−1× 2)3 × (−1× 22 )2
=
29 (−1) × 2 × (−1)2 × 24
=
29 3 −1× 2 × 1× 24
64
= 3 cm Jadi, ketinggian bola pada pemantulan ke-6
3
2–x ×
(32x + 4 )2 33x
= 35 ×
1 (8)−3
64
b.
= –29 – 3 – 4 = –22 = –4 4. a.
⇔
= 243 ×
83 (−2)3 (−4)2
3
= 34
(33 )x
⎝ ⎠
= (–2)–3 × (–4)–2 × (8)3 =
2
n
3+5⎞ = (3 – 5)–3 × ⎛⎜ ⎟ ×
⎝ −2 ⎠
2 x+2
2 h(n) = 243 × ⎛⎜ ⎞⎟ 3
1 (m + n)−3 2
8 = (–2)–3 × ⎛⎜ ⎞⎟
((3 ) )
= 81
⇔ 34x + 8 – 3x = 34 ⇔ 3x + 8 = 34 ⇔ x+8=4 ⇔ x = –4 Jadi, nilai x = –4.
= 16
b.
(9 x + 2 )2 27 x
b.
adalah 3 cm. Tinggi bola pada pemantulan ke-10: h(10) = 35 – 10 × 210 = 3–5 × 210 1
= 243 × 1.024 ⎛ 1⎞ ⎜4⎟ ⎝ ⎠
x +1
1
= 32 ⇔ 2–x × (2–2)x + 1 = 2–5 ⇔ 2–x × (2–2x – 2) = 2–5 ⇔ 2–x + (– 2x – 2) = 2–5 ⇔ 2–3x – 2 = 2–5 ⇔ –3x – 2 = –5 ⇔ –3x = –3 ⇔ x=1 Jadi, nilai x = 1.
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
1.024
= 243 cm Jadi, ketinggian bola pada pemantulan ke-10 1.024
adalah 243 cm.
8. Jawaban: c
A. Pilihlah jawaban yang tepat.
45 − 28 − 3( 125 − 63)
1. Jawaban: b Oleh karena 121 = 11 maka merupakan bentuk akar.
121 bukan
= 3 5 – 2 7 – 15 5 + 9 7
243 =
=
16 × 3 +
16 ×
81× 3
3 +
81 ×
=4 3 +9 3 = 13 3 32 =
18 × 32 =
576 = 24
4. Jawaban: d 4
2 ×
4
12 ×
4
54 =
4
2 × 12 × 54
=
4
1.296
=
1.296
=
36 = 6
5. Jawaban: c 3
8.192 =
2×3
=
6
=
6
3
= (3 − 15) 5 + (−2 + 9) 7 = –12 5 + 7 7 9. Jawaban: c (2 2 –
3. Jawaban: a 18 ×
9 × 5 − 4 × 7 − 3( 25 × 5 − 9 × 7)
= 3 5 – 2 7 – 3 (5 5 – 3 7 )
2. Jawaban: b 48 +
=
8.192
=2 2( 2 + =2 2
6
4 ×2
6)–
2 +2 2
=2×2+2 2
2
6 –
6
2 –
3 –
3
2
6
2 –6
= 2( 3 – 1) 10. Jawaban: a x2 – y2 + 2xy = (x + y)(x – y) + 2xy 3 +2+
3 )( 2 –
3 )(2 +
+ 2(2 –
3 – 2 –
3)
3) 3 )(2 +
3)
= –8 3 + 2(4 – 3) = –8 3 + 2
6. Jawaban: e 3 50 − 8 + 128 − 5 18 = 3 25 × 2 − 4 × 2 + 64 × 2 − 5 9 × 2
=2–8 3 11. Jawaban: b 3
= 3(5 2) − 2 2 + 8 2 − 5(3 2)
233 ×
= (15 – 2 + 8 – 15) 2
= 2 3 × 72 − 125 × 5
=6 2
= 2 3 216 − 4 625
3
72 –
4
125 ×
4
5
4
3
7. Jawaban: a 1.100 − 5 44 + 275 − 2 11 =
6
=2 3 –2
= (4)(–2 3 ) + 2(2 –
= 46 2
6( 2 + 6)
=4+4 3 –2 3 –6
= (2 –
4.096 × 2
6 )( 2 + 6 )
100 × 11 − 5 4 × 11 + 25 × 11 − 2 11
4 = 2 63 − 54 =2×6–5 = 12 – 5 =7
= 10 11 − 5 × 2 11 + 5 11 − 2 11 = (10 – 10 + 5 – 2) ×
11
= 3 11
Matematika Kelas X
5
12. Jawaban: d
= 24 3 – 8 45 + 10 3 – 12 5 + 4 75 – 5 5
6 + 6 + 6 +. . . = x
Diketahui
. . . (1)
Kedua ruas dikuadratkan diperoleh:
+4×5 3 –5 5 = 24 3 – 24 5 + 10 3 – 12 5 + 20 3 – 5 5
6 + 6 + 6 + . . . = x2 . . . (2)
6+
= 24 3 + 10 3 + 20 3 – 24 5 – 12 5 – 5 5
Kurangkan (1) dari (2) diperoleh: 6+
= 24 3 – 8 × 3 5 + 10 3 – 12 5
= 54 3 – 41 5
6 + 6 + 6 + . . . = x2
Jadi, volume kubus (54 3 – 41 5 ) cm3.
6 + 6 + 6 +. . . = x
B. Kerjakan soal-soal berikut.
––––––––––––––––––––––––– – 6 = x2 – x ⇔ x2 – x – 6 = 0 ⇔ (x + 2)(x – 3) = 0 ⇔ x = –2 atau x = 3
1. a.
= 2 25 ×
((
=
(
3 + 2) + ( 5 + 2 ))
3 + 2) − ( 5 + 2 ) 2
((
7
7 7 –3×4 7
= –40 7 b.
(5 27 – 6 2 )(6 27 –
8)
= 5 27 × 6 27 – 6 2 × 6 27
3 + 2) − ( 5 + 2 ))
– 5 27 ×
2
8+6 2 ×
= 5 × 6 × 27 – 6 × 6 × 9×3 ×
–5×
= 3 + 4 3 + 4 − 5 − 2 10 − 2 14. Jawaban: d L=p×A
9×3
2 ×
4×2 + 6 ×
2 ×2×
+6×
8 2 × 4×2
2 ×3 3 –5×3 3 ×2 2
= 810 – 6 × 6 ×
= −2 10 + 4 3
2
= 810 – 108 6 – 30 6 + 24 = 834 – 138 6
= (9 2 − 5 3 ) ( 3 2 + 3 ) =9 2 ×3 2 +9 2 ×
3 –5 3 ×3 2
3
Jadi, luas persegi panjang ( 39 − 6 6 ) cm2.
= (2 3 –
5)(2 3 –
4
4
256 × 3
3
3
2 – 2 4 16 ×
+ 2 216 ×
3
2 –
= 3×3 × 2 –2×2 ×
4
4
4
3
256 ×
= (9 + 12) 3 2 + (–4 – 4) 4 3
= (12 – 4 15 + 5)(2 3 –
5)
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
5)
= 21 3 2 – 8 4 3
4
3 3
3 +2×6 × 2 – 4 ×
= 9 3 2 – 4 4 3 + 12 3 2 – 4 4 3
5)(2 3 –
768
= 3 3 27 × 2 – 2 4 16 × 3 + 2 3 216 × 2
3
15. Jawaban: e Volume kubus = r3 5 )3
3 3 54 – 2 4 48 + 2 3 432 –
= 3 3 27 ×
= 39 – 6 6
= (2 3 –
c.
–
= 54 + 9 6 – 15 6 – 15
6
9 ×
= 10 7 – 35 7 – 3 7 – 12 7
= (3 + 4 3 + 4) – (5 + 2 10 + 2)
–5 3 ×
7 –
=2×5 7 –5×7 7 –3×
13. Jawaban: b
( 2 + 3 + 2 + 5)(− 2 + 3 + 2 − 5)
7 – 5 49 ×
– 3 16 ×
x dengan x berupa bilangan positif maka diambil x = 3. Jadi, nilai x adalah 3.
=
63 – 3 112
= 2 25 × 7 – 5 49 × 7 – 9 × 7 – 3 16 × 7
6 + 6 + 6 + . . . mempunyai nilai
Oleh karena
2 175 – 5 343 –
4
3
2. Misalkan AB dan AC merupakan sisi siku-siku dan BC merupakan sisi miring. AB2
= ( 5 + 3 − 2)
= ( 5 + 3 – 2 )( 5 + 3 – 2 )
5( 5 + 3 − 2) + 3( 5 + 3 − 2) − 2( 5 + 3 − 2) 6 +2
= 5+3+2+
⇔
383
10
⇔
= 5 + 15 − 10 + 15 + 3 − 6 − 10 −
90x = 383
x = 90 Misalkan y = 1, ⎯1 10y = 11, ⎯1 10y – y = 11, ⎯1 – 1, ⎯1 ⇔ 9y = 10
2
=
⇔
y = 9
15 +
15 –
10 –
10
AC2 = ( 3 − 5 + 2)2
100
= 90 b.
= ( 3 − 5 + 2)( 3 − 5 + 2)
3( 3 − 5 + 2) − 5( 3 − 5 + 2)
Misalkan x = 3,412 ⇔
10x = 34,12
⇔
1.000x = 3.412,12
1.000x – 10x = 3.412,12 – 34,12
+ 2( 3 − 5 + 2)
⇔
= 3 − 15 + 6 − 15 + 5 − 10 + 6
990x = 3.378 3.378
⇔
− 10 + 2
Misalkan
= 10 – 2 15 – 2 10 + 2 6
⇔
10y = 10,6
⇔
100y = 106,6
= AB2 + AC2
⇔
= 10 + 10 + 2 15 – 2 15 – 2 10 – 2 10
⇔
–2 6 +2 6 = 20 – 4 10 10 )
4(5 − 10)
= (2 5 − 10 ) cm Jadi, panjang sisi miring segitiga tersebut
(2 5 − 10 ) cm. Misalkan x = 4,25 10x = 42,5 100x = 425,5 100x – 10x = 425,5 – 42,5
90y = 96 96
16
563
16
y = 90 = 15
⎯6 = 165 : 15 3,412 : 1,0 563
15
563
= 165 × 16 = 176
BC2 = 4(5 − 10) ⇔ BC =
y = 1,06
100y – 10y = 106,6 – 10,6
– 2 10 + 2 6 )
= 4(5 –
563
x = 990 = 165
= 3 + 5 + 2 – 15 – 15 – 10 – 10 + 6 + 6
= (10 + 2 15 – 2 10 – 2 6 ) + (10 – 2 15
3. a.
383
283
= 10 + 2 15 – 2 10 – 2 6
BC2
10
= 90 – 90
– 6– 6
=
383
42, ⎯5 – 1, ⎯1 = 90 – 9
4. a.
(2 x + y )(3 x – 5 y ) x 3 y 3 = (2 x × 3 x + y × 3 x – 2 x × 5 y –
y × 5 y ) x3y3
= (6x + 3 xy – 10 xy – 5y) x 3 y 3 = (6x – 7 xy – 5y) xy xy = 6x × xy xy – 7 xy × xy xy – 5y × xy xy = 6x2y xy – 7x2y2 – 5xy2 xy
Matematika Kelas X
7
5. Keliling = 2 × (p + A) b.
3
= =
=
16x 3 y 4 + 4 32x 5 y 7 2xy 3
16x 3 y 4 2xy
3
16x 3 y 4 (2xy)3
3
3
16x 3 y 4
3
=
3
=
3
8x 3 y 3
16x 3 y 4 8x 3 y 3
2y +
+ +
+
+ 4
4
32x 5 y 7 2xy
4
32x 5 y 7
4
(2xy)4
4
32x 5 y 7
4
16x 4 y 4
4
32x 5 y 7 16x 4 y 4
2xy
3
= 2 × (x + = 2 × (2x) = 4x Luas = p × A 3
= (x +
3
y2 + (x –
y2 )(x –
=x×x+ –
3
3
y2 ×
3
y2 ))
3
y2
y2 )
y2 × x – x × 3
3
y2
3 2 3 2 = x2 + x y – x y –
3
y4
2 3 4 = x − y 3 = x2 – y y Jadi, keliling persegi panjang 4x cm dan luasnya 3 (x2 – y y ) cm2.
A. Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Jawaban: e Bentuk sekawan dari 3 – 5 adalah 3 + 5. Bentuk sekawan dari 2 – 1 adalah 2 + 1. Bentuk sekawan dari 3 – 5 adalah 3 + 5 . Bentuk sekawan dari 6 – 2 adalah 6 + 2 . Jadi, pasangan bilangan yang saling sekawan adalah iii) dan iv).
3. Jawaban: a 9 2 2− 5
×
9(2 2 + 5)
=
18 2 + 9 5 8−5
=
18 2 + 9 5 3
= =
6(2 + 3) 22 − ( 3)2
=
6(2 + 3) 4−3
×
2+ 3 2+ 3
3)
4. Jawaban: b 21 2 3+ 5
=
21 2 3+ 5
×
21(2 3 − 5)
= (2 3)2 − ( 5)2 =
42 3 − 21 5 12 − 5
=
42 3 − 21 5 7
= 6 3 −3 5
8
2 2+ 5 2 2+ 5
= 6 2 +3 5
6 2− 3
= 6(2 +
9 2 2− 5
= (2 2)2 − ( 5)2
2. Jawaban: b 6 2− 3
=
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
2 3− 5 2 3− 5
5. Jawaban: e 5 +2 3 5 −3 3
9. Jawaban: e K= 4 × s
=
5 +2 3 5 −3 3
5 +3 3 5 +3 3
=
5 × 5 +2 3 × 5 + 5 ×3 3 +2 3 ×3 3 ( 5)2 − (3 3)2
=
25 + 2 15 + 3 15 + 6 9 ( 5)2 − (3 3)2
×
=4×
4 3+4 2
23 + 5 15 −22
=2 3 +2 Jadi, keliling persegi ( 2 3 + 2 ) cm.
=
4(22 − ( 3)2 ) 3+ 5
=
4(4 − 3)(3 − 5) 32 − ( 5)2 4(3 − 5) 4
3− 5 3− 5
×
=
4 (3 − 5 ) 9−5
=3– 5
( 3 + 2)2
3+ 2 3− 2
⎛ 6 3 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝2 2 +3⎠ ⎛ 6 3 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝2 2 +3⎠
⎛ 6 3 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝2 2 +3⎠
⎛ 6 3(3 − 2 2) ⎞ ⎟ 2 ⎟ ⎝ (2 2 + 3) ⎠
= π ⎜⎜
( 3 − 2)2 3+ 2 3+ 2
×
⎛
( 3)2 − ( 2)2
=
3+ 6 + 6 +2 3−2
=
5+2 6 1
⎞ ⎟⎟ ⎝8+6 2 +6 2 +9⎠
= π ⎜⎜
3× 3+ 2× 3+ 3× 2+ 2× 2
=
18 3 − 12 6
⎛ 18 3 − 12 6 ⎞ ⎟⎟ ⎝ 12 2 + 17 ⎠
= π ⎜⎜
×
12 2 − 17 12 2 − 17
⎛ 18 3 × 12 2 − 12 6 × 12 2 − 18 3 × 17 + 12 6 × 17 ⎞ ⎟ ⎟ (12 2)2 − 172 ⎝ ⎠
= π ⎜⎜
=5+2 6
⎛ 216 6 − 288 3 − 306 3 + 204 6 ⎞ ⎟⎟ 288 − 289 ⎝ ⎠
8. Jawaban: d
18 + 12
2
⎛3−2 2 ⎞ ⎟⎟ ⎝3+2 2 ⎠
= π ⎜⎜
(3 + 2) − 2 3 × 2
=
18 − 12
⎛ 2 − 1⎞ ⎟⎟ ⎝ 2 + 1⎠
= π ⎜⎜
⎛ 2 − 2 2 + 1⎞ ⎟⎟ ⎝ 2 + 2 2 + 1⎠
(3 + 2) + 2 3 × 2
=
+
10. Jawaban: d Volume tabung: V = πr 2 t
= π ⎜⎜
=
=
4( 3 + 1) 3 −1
=
7. Jawaban: c
18 + 12
=
3 +1 3 +1
×
=
=
18 − 12
4 3 −1
5 + 5 15 + 18 5 − 27
4(2 + 3)(2 − 3) (3 + 5)
5−2 6
=
=
6. Jawaban: d
5+2 6
1 3 −1
= π ⎜⎜ 5 1+ 6
×
18 − 12 18 − 12
=
18 − 2 18 × 12 + 12 18 − 12
=
30 − 12 6 6
+
+
+
5 1+ 6
5−5 6 1− 6
×
1− 6 1− 6
⎛ 420 6 − 594 3 ⎞ ⎟ ⎝ −1 ⎠
=π⎜
= (594 3 – 420 6 )π cm3 Jadi, volume tabung (594 3 – 420 6 )π cm3.
5−5 6 −5
= (5 − 2 6) + (−1 + 6) = 4− 6
Matematika Kelas X
9
B. Kerjakan soal-soal berikut.
9+4 5
1. a.
=
4 + 2×2 5 + 5
=
22 + 2 × 2 5 + ( 5)2
=
(2 + 5)2
=2+ 5 Jadi,
26 − 612
d.
11 + 5
=
=
(2 3 − 2)2
36
=
11 − 5
×
11 + 5
36( 11 − 5) 2
1 x −1− x
3. a.
2
( 11) − ( 5)
=
36( 11 − 5) 11 − 5
=
36 6
( 11 − 5 )
(17 + 4) − 2 17 × 4
17 − 9 17 − 4 17 − 3 17 − 2
×
17 + 2 17 + 2
17 − 3 17 + 2 17 − 6 ( 17)2 − (2)2 17 − 17 − 6 17 − 4
=
11 − 17 13
=
1 x −1− x
=
x −1+ x (x − 1) − x
=
x −1+ x −1
×
x −1+ x x −1+ x
= − x −1− x 1 x +h − x −h
b.
=
1 x +h − x −h
=
x +h + x −h (x + h) − (x − h)
=
x +h + x −h 2h
×
x+h + x−h x+h + x−h
2 13 − 7
=
10 − 3 13 2 13 − 7
×
2 13 + 7 2 13 + 7
10 × 2 13 − 3 13 × 2 13 + 10 × 7 − 3 13 × 7 2
(2 13) − 7
2
=
20 13 − 6 × 13 + 70 − 21 13 52 − 49
=
− 13 − 8 3
7− 5
4. a.
3 6 −4 2 5 2 −2 6
= =
11 + 2 28
=
10
(17 + 9) − 2 17 × 9
=
11 − 5
10 − 3 13
=
c.
7 − 35 − 2 7 + 2 5 3
(2 3)2 − 2 × 2 × 2 3 + 22
= 6( 11 − 5 ) b.
=
=
= =
7 − 35 − 2 7 + 2 5 7−4
=
16 − 8 3 = 2 3 – 2.
36
2. a.
=
12 − 2 × 4 3 + 4
=2 3 –2 Jadi,
( 7)2 − (2)2
=
21 − 272
9+4 5 = 2 + 5 .
16 − 8 3 =
b.
7 − 35 − 2 7 + 2 5
=
7− 5 (7 + 4) + 2 7 × 4
7− 5 7 +2
×
=
7 −2 7 −2
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
=
3 6 −4 2 5 2 −2 6
×
5 2 +2 6 5 2 +2 6
3 6 ×5 2 −4 2 ×5 2 +3 6 ×2 6 −4 2 ×2 6 (5 2)2 − (2 6)2 30 3 − 40 + 36 − 16 3 50 − 24
=
14 3 − 4 26
4 5 − 17 3 5 − 2 17
7
2
= – 23 + ⎜ 23 ⎟ 85 ⎝ ⎠ 7
26
2
= a 3 – b = 13 3 – 13
5 2 −2 6
7
5
Diperoleh a = – 23 dan b = – 23
2
Diperoleh a = 13 dan b = 13 .
m0
5. m =
1−
4 5 − 17
b.
⎛ −5 ⎞
26
= 13 3 – 13 3 6 −4 2
= a + b 85
v2 c2
3 5 − 2 17
= = = =
4 5 − 17 3 5 − 2 17
×
3 5 + 2 17
c2 − v 2 c2
4 5 × 3 5 − 17 × 3 5 + 4 5 × 2 17 − 17 × 2 17 (3 5)2 − (2 17)2
m0
=
60 − 3 85 + 8 85 − 34 45 − 68
c2 − v 2 c2
26 + 5 85 −23
=–
26 23
+
⎛ −5 ⎜ ⎝ 23
A. Pilihlah jawaban yang tepat.
27 + 16 –
c2 − v 2
c2 − v2
1
1
8
8 −
2 3
2 3
3 4
= (33) + (24) – =3
3×
2 3
+2
= 32 + 23 –
c2 − v 2
m0 × c c 2 − v 2
36 2 3
c2 − v 2
×
2. Jawaban: e
1. Jawaban: c 3 4
m0 × c
=
85 ⎞⎟ ⎠
=
2 3
m0
=
3 5 + 2 17
4×
3 4
2 2 −2
3
2
(23 ) 3
–
= 32 + 23 – 2 × 22 =9+8–8=9
27 3 −
23
2
−
2 3
2
3
2 3 × ⎛⎜ − ⎞⎟ ⎝ 3⎠
() 1 2
−2
=
( 62 ) 2 2
( 33 ) 3 − ( 2−1 )−2
=
6 32 − 22
=
6 9−4
6
= 5
Matematika Kelas X
11
12
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
3. Jawaban: b 5 6
3 × 12 2
63 × 2
7 12
−
1 4
=
=
6. Jawaban: a
5 6
3 × (3 × 22 ) 2
−
5 6
7 12
14 12
2 3
2 3
(3 × 2) 3 × 2 3 ×3
×2
3 ×2 ×2 5
7 2 − 12 3
+
= 36 3 4
= 3 ×2
−
−1
⎛ 23 ⎞ ⎜a ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ b2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − 23 a = ⎜⎜ − 1 ⎜b 2 ⎝
7 12 1 4
1 4
14
× 2 12
−
2 1 − (− ) 3 4
−
3
= =
⎛ 21 ⎜b ⎜ 1 ⎜ a3 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
4 3
2
1
a3
×
1 2
+
1
× (a b ) :
4
−
2
1
b2 4
+
1
1 2
1 − (− ) −
1 2
7. Jawaban: e 2
(1 + a)2 − 2a (1 + a)−1
4. Jawaban: c =
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1 2
= a 3 3 3b = a1b1 = ab
3 4
= 64
125x 7 64y12
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
a 3 a 3b b
3 4
= (3 × 2)
3
−
=
× (a b ) :
⎛ 21 ⎜b ⎜ 1 ⎜ a3 ⎝
2 3
(1 + a)
1
⎛ 125x 7 ⎞ 3 ⎜⎜ 64y12 ⎟⎟ ⎝ ⎠
=
⎛ ⎜⎜ 3 12 ⎟⎟ ⎝4 y ⎠ 3×
1 3
4
3×
1 3
2
1 3
12 ×
1 3
y
51 x 3 41 y 4
=
5x 2 x 3 4y 4
=
5x 2 3 x 4y 4
3
8x 6 y 3
=
(9x
=
3
84 3 8 8 83 8
1 y3 )2
3
=
1
(32 ) 2 × x (23 ) × x
4×
1 2
6×
1 3
×y ×y
3×
1 2
3×
1 3
3
1
=
3 2
=
1 1
84 (8 × 8 2 ) 3 1 1
1
1
84 8 3 8 6
1 1
(8 × 8 3 ) 2
1 1
(84 8 3 8 6 ) 3 1 1
(8 × 8 3 ) 2
−1 4
=
1
1
8 3 8 9 8 18 1
1
8286 4
y
2a 1+ a
(8 × 8 3 ) 2 3
=
= 2 x2 – 2 y 2 3
1+ a –
= 83
+
1 1 1 1 + − − 9 18 2 6
5
= 86 = 23 ×
5 6
1
= 22 2
= 22 2 = 4 2
Matematika Kelas X
1
– 2
1
3
1
= 2 x0y 2
1
– 2a(1 + a)– 2
1
=
3x 2 y 2 2x 2 y1
3
1 2
84 8 × 8 2
3
=
1
(1 + a) 2
8 × 83 3
1
1 3
1 2
8. Jawaban: a
(8x 6 y 3 ) 3
=
–
−
1
5. Jawaban: d 4
2a(1 + a)
= (1 + a) 2 – 2a(1 + a)–1
1
9x 4 y 3
1
= (1 + a)1 –
1
=
(1 + a)1 (1 + a) 2
7×
x
1 2
(1 + a) 2
1 53 x 7 ⎞ 3
5
−
2 = (1 + a) − 2a(11 + a)
13
9. Jawaban: b 7x
−
3 2
6
y5
1 − 3
5 4
(x − 6y )x
−2
1
= (24 32 + 2 – (–1))– 3 × 22 × 3 × 3–4 × 3–1
3 − 2
6
7 × 4 × 275
=
5 4
−
1
1 3
(4 − 6 × 27 )4
=
7×2 (2
2×
5 4
3 2
2 × (− )
− 6×3
= (24 35)– 3 × 22 × 3 × 3–4 × 3–1
−2
6
4
× 3 1 3
3 × (− )
)2
4
= 2– 3
2 × ( −2)
=
(2 − 6 × 3−1)2−4
2
= = =
1 2
1
− 2
+1–4–1
2 –5 3
2
5 2
2
× 3– 3
=2 ×3
7 × 2−3 × 3 6
7 × 2−3 − ( −4) × 3
5
+2
2 3
15
=
5
= 2– 3 × 3– 3 × 22 × 3 × 3–4 × 3–1
3×5
2
= 1 2
3
6 3
=
7×2 ×3 × 3 4 2 −2
b.
7× 2 ×9× 3
3
23
=
2 5 3
3
3
35 32
4
3
3
3
243 9
(27
−
1 3
−
22
1
+ 4 2)
−
3 3 3 2
30
=
=
2 (2 2 − 1)
63 3
×
2 2 −1
=
2 2 +1
63 3(2 2 + 1) 8 −1
=
63 3(1 + 2 2) 7
=
1
(92x + 4) 2
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠
=
1
1 ((32)2x + 4) 2 = ⎛⎜ ⎞⎟ 3
⇔
⎝ 3⎠
+2
(3 −1 + 2 −1) 1
(
)
−(3x + 3)
= −(3x + 3)
−
3 2
5 6
−
3 2
1
1
5
5
= −(3x + 3)
2. a.
16x 6 y 4 ×
3
−
3 2
−
3 1 − 2 2
−
3 1 + 2 2
−
3 2 1
1
× 62 × 52
5 −2 6 −1
=
61 52
=
(3 x ) 3 (42 x 6 y 4 ) 2
=
3x 3 (4x3y2)
=
=
12 × 9
⎛ (22 × 3)2 × 32 ⎞ ⎜ ⎟ 3−1 ⎝ ⎠ ⎛ 24 × 32 × 3 2 ⎞ ⎜ ⎟ 3−1 ⎝ ⎠
−
−
1 3
1 3
×
×
×3
=
1
(43 y12 ) 3
4y 4
4x 3 y 2 3x 3 4y 4
7
(32)–2
b.
×
3–1
(1 − ( ) ) () x y
y x 2
2
−
3 2
(1 − ) = y2 x
x2
−1
( =
y2
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
3 2
−1
x2 − y2 x
−
2
2
)
x2 − y2 y2
14
13 3
y2 − 4
1
= 3x 7 3 x
−1
× 3) ×
3 +
= 3x 3 y −2
12 × 9 −2 × 3 −1 1
(22
1
13
1 −2
3 13
13
B. Kerjakan soal-soal berikut. :
6
= 25 1
27x13 64y12
= 3x
1. a.
2
1
()
6
1
1 3
)
3 2
−
1
6
⇔ 32 × (2x + 4) × 2 = 3–1 × – (3x + 3) ⇔ 32x + 4 = 33x + 3 ⇔ 2x + 4 = 3x + 3 ⇔ 2x – 3x = 3 – 4 ⇔ –x = –1 ⇔ x=1 Jadi, himpunan penyelesaiannya {1}.
−
⎝ 2⎠
62 × 52
⎝ ⎠
⎛ 122 × 9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3−1 ⎠
1 2 × ⎛⎜ − ⎞⎟ − 3
1
1 1 + 3 2
= 1
1 3 × ⎛⎜ − ⎞⎟
12 729
5× 6
=
10. Jawaban: d
⇔
243 27
(3
3
=
3
62 × 52
= (1 + 2 2 ) 9 3
⎛ ⎞ 92x + 4 = ⎜⎝ 3 ⎟⎠
12
52 × 62
2 2 +1
=
3
−
3 2
1 y2
=
3x 7 3 x y2
−
3
2 2 2 2 = (x −3 y ) × y −
(x 2 )
=
3.
=
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1 2
2 × (x − y ) x3y2
b.
x3 y2 2
(x 2 − y 2 )
x3y2 (x 2 − y 2 )2 x 2 − y 2 3
⎞4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 3 4
3
=
3
= 22 3 =
2
−
3 16
4. a.
⎛ 1 ⎞ ⎜ 32 ⎟ ⎝ ⎠
3x +
1 2
2
⇔
2
⇔
3x +
x−4
1 = ⎛⎜ ⎞⎟ 32 ⎝
3x +
1 2
1 2
x−4 2
⎠
= (2−5 )
x−4 2
⎛x −4⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠
= –5 ⎜
⇔ ⇔
6x + 1 = –5x + 20 11x = 19
⇔
x = 11
19
83x + 2 = (16) ⇔
8
⇔
23 ×
⇔
22
3
–
3 4
3x + 2 2
= (24)
3 4
3x + 2 2
= 24 ×
3 (− ) 4
–
(3x + 2)
= 2–3
3
3 4
⇔
3 2
4
x =–3 4
3
2 2 4
=
⇔ 2 (3x + 2) = –3 ⇔ 3x + 2 = –2
3
− (34 ) 16
Jadi, himpunan penyelesaiannya {– 3 }.
34
=
1 2
3x +
⇔
5. a.
Untuk a = 256 dan b = 81:
(28 )16
2
1 . 9
19
3
−
1 9
Jadi, penyelesaiannya x = 11 .
3 3 − ⎛ 1 − 1 ⎞4 = ⎜ a 4 b 4 ⎟ = a 16 b 16 ⎝ ⎠
3
x =
1 2
⎛ 5 + (− 1) − 1 − (− 1) − 1 − 1 − (− 1) ⎞ = ⎜ a6 2 3 4 b 4 3 3 ⎟ ⎝ ⎠
= (256)16 (81)
⇔
Jadi, penyelesaiannya x =
3
1 1 − − ⎛ 56 ⎜ a × a 2b 4 1 1 ⎜ 1 1 ⎜ a 3 b 3 a − 4 b− 3 ⎝
9x = 1
(x 2 − y 2 )
=
−
2
3 1− ( − ) 2
=
⎛ 1 1 ⎜ 5 1 3 ⎛ ab 2 ⎞ ⎜ ⎜ a 6 ⎜⎛ ⎜ ⎝ ab ⎟⎠ ⎜⎜ 21 23 ⎝a b ⎜ ⎝
2
⇔
33
=
2 2 4 27
92x + 1 =
b.
3
92x + 1 = (81)
⇔
81 3x − 1
⇔
=
⎛ 34 ⎞ 2 ⎜⎜ x − 1 ⎟⎟ ⎝3 ⎠
⇔
34x + 2 = (34 – x + 1)
⇔
34x + 2 = 3
⇔
4x + 2 =
5−x 2
5−x 2
⇔ 2(4x + 2) = 5 – x ⇔ 8x + 4 = 5 – x
1 2
5 4 1
2x + 1 3
9
⇔
2x + 1 3
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
–
(92x + 1) 3 = (92)
⇔ 1
(32)2x + 1
–
–
=9
=–
5 4
5 2
5 2
2(2x + 1) = –5 × 3 4x + 2 = –15 4x = –17 17
x=– 4
17
Jadi, himpunan penyelesaiannya {– 4 }.
Matematika Kelas X
15
7. Jawaban: e
A. Pilihlah jawaban yang tepat.
2
log 50 − 2 log 5 2 log 6 + 2 log 10 − 2 log 12
1. Jawaban: b Perhatikan: an = b ⇔ alog b = n. 1) 2log 3 = 8 ⇔ 3 = 28 (salah) Pernyataan pada pilihan a salah. 2) 2log 8 = 3 ⇔ 8 = 23 (benar) Pernyataan pada pilihan b benar. 3) 2log 9 = 3 ⇔ 9 = 23 (salah) Pernyataan pada pilihan c salah. 4) 3log 2 = 8 ⇔ 2 = 38 (salah) Pernyataan pada pilihan d salah. 5) 3log 2 = 9 ⇔ 2 = 39 (salah) Pernyataan pada pilihan e salah. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan b.
= =
y=
3
64 = 4
6 + 2log 4 – 2log 3 = 2log
2
log 52 × 5log 34 + 2 log 21 3 log 36 − 3log 4
2 × 4 × 3log 5 × 5log 3 + 3
8 × 3log 3 + 3
2 3
216 + log
=
= = 1 = 6log 63 + log ⎛⎜ ⎞⎟
2
⎝7⎠ 1
1
= 3 × 6log 6 + 2 × 7 log 7 =3×1+2×1 =5
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
1 2
× 2log 2
log 9
1 2 × log 2 2
2
log 3
8 × 1 + 21 × 1 2 17 2
2
= 17 4
log 6 ( log 18)2 − (3 log 2)2
=
1 7
log 10 log 5
3
6. Jawaban: d
16
3
= =
1
3
log 6 2 3 3 ( log 18 + log 2)(3 log 18 − 3log 2)
3 3 × 54
1 49
log 10 log 5
2
3
3 3 + 3log 54 – 3log 2 3
1 7
2
9. Jawaban: a
= 3log 81 = 3log 34 = 4 × 3log 3 =4×1 =4
6log
=
=
5. Jawaban: d
= 3log
=
=
6×4 3
= 2log 8 = 2log 23 = 3 × 2log 2 =3×1 =3 3log
log
log 25 × 5log 81 + 4log 2 3 log 36 − 3log 4
=
4. Jawaban: d 2log
2
8. Jawaban: b
3. Jawaban: b ylog 64 = 3 ⇔ 64 = y3 ⇔
50 5 6 × 10 12
log
= 5log 10
2. Jawaban: a Misalkan: 3log 81 = x ⇔ 3x = 81 ⇔ 3x = 34 ⇔ x = 4 Jadi, nilai 3log 81 = 4.
3
2
=
1 2
× 3log 6
(3 log (18 × 2))
3
3
1 2
(
3
log ⎛⎜ 18 ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠
× 3log 6
log 36 × 3log 9 1 2
× 3log 6
log 62 × 3log 32 1 2
× 3 log 6
(2 × 3 log 6 )(2 × 3log 3) 1 2
2× 2×1
1
= 8
)
10. Jawaban: a 2log
8
5log
3
+ 25 2log
= (23) = 23 ×
2log
2log
=2
3
33
3
–
5log
+ 52 × 5log
+5
2
5log
22
15. Jawaban: d
5
+ (52)
–
(3 )
– 2
5
–
3
3
5
5
log 2 3
3( −1) 5
5
log 4
log 2
log 4−1 5
log 2
4 2
1 –8
=
plog
−1 3 log 4
−1
= 33 + 22 – = 27 + 4
2
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 8.
3 1 log 4 3 5 log 2
7 30 8
1
⇔ plog 6 + plog 2 – plog 9 = –1 plog 6 ×
⇔
9
=
= –1
⇔
plog 1
= –1
⇔
plog 1
= plog p–1
3 3
B. Kerjakan soal-soal berikut. 1. a.
3log
12. Jawaban: a 81 =
1 2
⇔ 3–1 = p–1 ⇔ p=3 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 3.
11. Jawaban: b 2log 45 = 2log (9 × 5) = 2log 9 + 2log 5 = 2log 32 + 2log 5 = 2 × 2log 3 + 2log 5 = 2p + q 25log
1
6 – plog 9 + plog 2 = –1
1
25
5
7 2 – 3log 36 + 3log 6 – 4 15
5
25
15
5
25
log 81 log 25
= 3log 2 + 3log 6 – 3log 36 – 3log 34
3
= 3log 2 + 3log 6 – 3log 36 – 3log 81
log 81 3 log 25
⎛
⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 36 × 81⎠ 15
3log ⎜ 252 ⎜
×
5 6
log 3 3 log 52
=
=
4 × 3log 3 2 × 3log 5
= 3log ⎜⎝ 2 × 6 × 25 × 81⎟ ⎠
=
4 ×1 2×p
=
2 p
=
3
4
⎛ 15
1⎞
36
⎛ 1⎞
= 3log ⎜ 9 ⎟ ⎝ ⎠ = 3log 3–2 = –2
13. Jawaban: d Diketahui b = a4 alog b – blog a = alog a4 – a4log a 1
= 4 × alog a – 4 alog a 1
=4×1– 4 ×1 =4–
5
1 4
=
3 34
14. Jawaban: c 3log (4x – 5) = 3 ⇔ 3log (4x – 5) = 3log 33 ⇔ 4x – 5 = 33 ⇔ 4x – 5 = 27 ⇔ 4x = 27 + 5 ⇔ 4x = 32 ⇔ x=8
b.
2log 5 300 × 2
−4
3 × 52
1
=
−4 2log ⎛ 300 × 2 ⎞ 5
⎜ ⎝ 3 × 52
⎟ ⎠
1
= 2log ⎛⎜
300 ⎞5 ⎟ ⎝ 16 × 3 × 25 ⎠
1
⎛ 300 ⎞
1
⎛ 1⎞
= 5 × 2log ⎜ 1.200 ⎟ ⎝ ⎠ = 5 × 2log ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 1
= 5 × 2log 2–2 1
= 5 × (–2) × 1 2
=–5
Matematika Kelas X
17
2. a.
log
13 a
3
a2 + log b2 − log ab2 log ab 2
1
log ab −
1 3
−
1 3
log a
=
2
+ log b 3 − log ab2
log
a
2 × b3
−
1 3
log a
4 3
b
−
−
1 (ab) 2
b
2 3
Jadi, nilai a adalah
−2
4. a.
4 3
4 3
=
(ab)
4 – 3
log (ab)
4 −3 1 2
ablog
ab
4
b
b. 8
× blog
1 c2
× clog
1 d3
× dlog
1 e4
× elog
1 a5
= alog b–1 × blog c–2 × clog d–3 × dlog e–4 × elog a–5 = (–1) × alog b × (–2) × blog c × (–3) × clog d × (–4) × dlog e × (–5) × elog a = (–1)(–2)(–3)(–4)(–5)alog b × blog c × clog d × dlog e × elog a = –120 × alog a = –120 × 1 = –120 (alog 3 – 1) 3log a = 5 ⇔ alog 3 × 3log a – 3log a = 5 alog a – 3log a = 5 ⇔ ⇔ 1 – 3log a = 5 ⇔ 1 – 5 = 3log a ⇔ –4 = 3log a
(4x + 2) –
3log
⇔
3log 4x + 2
=2
⇔
3log 4x + 2
= 3log 32
⇔
4x + 2 x−2
x−2
(x – 2) = 2
=9
2log 2log
x – 2log 2log 2log 16 = 2 ⇔ 2log 2log x – 2log 2log (2log 24) = 2 2log 2log x – 2log 2log 4 = 2 ⇔ 2log 2log x – 2log (2log 22) = 2 ⇔ 2log 2log x – 2log 2 = 2 ⇔ 2log 2log x – 1 = 2 ⇔ 2log 2log x = 3 ⇔ 2log x = 23 ⇔ 2log x = 8 ⇔ 2log x = 2log 28 ⇔ 2log x = 2log 256 ⇔ ⇔ x = 256 Jadi, nilai x yang memenuhi 256.
5. Diketahui: TI = 70 dB I0 = 10–12 Wm–2 TI = 10 log ⇔
I I0
70 = 10 log
1
⇔
a = 3–4 = 81 1
Jadi, nilai a adalah 81 .
⇔
7 = log
⇔ log 107 = log
alog
81 – 2 × alog 27 + alog 243 = 6 ⇔ 81 – alog 272 + alog 243 = 6 alog
⇔
3.
3log
x−2
3
⇔ 4x + 2 = 9x – 18 ⇔ –5x = –20 ⇔ x=4 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 4.
4 – 3
=–3 ×2×1=–3 alog 1
27 1
log ab ab log
6
= 32 =
−1
log (ab)
=
18
a=
1
log ab
=
b.
=6 =6 alog 27 = 6 27 = a6
= (33) 6
log ab −
=6
alog 33
ab2
log a
=
3. a.
3
34 + 5 – 6
log ab
=
b.
alog
5
6
⇔
log ab
=
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
2
log a × a 3 + log b 3 − log ab2
=
4
alog 3 × 3
⇔
alog 81 × 243
272
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
=6
⇔
107 =
I 10−12
I 10−12 I 10−12
I 10−12
⇔ I = 107 · 10–12 = 107 – 12 = 10–5 Jadi, intensitas kebisingan truk tersebut 10–5 Wm–2.
A. Pilihlah jawaban yang tepat.
=
m+2 m m−2 2m
=
m+2 m
1. Jawaban: e 8−2 × 244 365 × 256−1
=
(23 )−2 × (23 × 3)4 (22 × 32 )5 × (28 )−1
=
2−6 × 212 × 34 210 × 310 × 2−8
= = 24 × 3–6
×
34 – 10
=
=
= –3 + 8 2 =8 2 –3 5 −3 6
3 24 + 2 3( 32 − 2 18)
15p q q 3p2 q
= 3 24 + 2 3 × 32 × 2 3 × 2 18
3 × 5 × p5q−3 q6 3p2 q
= 3 4 × 6 + 2 3 16 × 2 − 4 3 9 × 2 = 3(2 6) + 2 3(4 2) − 4 3(3 2)
5p5 – 2q–3 + 6 – 1
= = 5p3q2
= 6 6 + 8 6 − 12 6
3. Jawaban: b
= 2 6
=
2n + 2 (2 × 3)n − 4 (22 × 3)n − 1
=
2n + 2 × 2n − 4 × 3n − 4 22(n − 1) × 3n − 1
8. Jawaban: a
(
2 + 3 − 5) ( 2 + 3 + 5) = (( 2 + 3) − 5)(( 2 + 3) + 5))
= 2(n + 2) + (n – 4) – 2(n – 1) × 3(n – 4) – (n – 1) = 2n + 2 + n – 4 – 2n + 2 × 3n – 4 – n + 1 = 20 × 3–3 = 3–3 =
– ( 4 − 50 ) = 1 + 3 2 – 4 + 25 × 2
7. Jawaban: b
(q2)3 =
2n + 2 6n − 4 12n − 1
m
=1–4+3 2 +5 2
2. Jawaban: b 15p q 3p2 q
(1 + 3 2 )
24 36 16 729
=
2m
× m − 2 × (m – 2) × 2 = m(m + 2) 6. Jawaban: c
2–6 + 12 – 10 – (–8)
5 −3
m
× (m – 2) × 2
1 27
= (2 + 2 6 + 3) – 5 =2 6 9. Jawaban: e
((
4. Jawaban: c f(x) = 7x f(2x + 5) = 72x + 5 = 72x × 75 f(x – 3) = 7x – 3 = 7x × 7–3 f(3x + 1) = 73x + 1 = 73x × 71 f(2x + 5) × f(x − 3) f(3x + 1)
= ( 2 + 3)2 − ( 5)2
=
3 + 2) − ( 5 + 2 ) 2
2
)(
10 + 2 3 )
= ( 3 + 4 3 + 4 − 5 − 2 10 − 2 ) = ( −2 10 + 4 3 )
(72x × 75 )(7x × 7−3 ) 73x × 71
= 72x + x – 3x × 75 + (–3) – 1 = 70 × 71 =7
(
(
10 + 2 3 )
10 + 2 3 )
= –20 – 4 30 + 4 30 + 24 =4 10. Jawaban: b 3 5
1.024a15b30 = 2
3 5
210 a15b30
5. Jawaban: b ⎛ 1 + 2m−1 ⎞ ⎛ m − 2 ⎞ ⎜⎜ −1 −1 ⎟ −1 ⎟ ⎟⎜ ⎝ 2 − m ⎠ ⎝ 2m ⎠
=
2 m 1 − 1 2 m
1+
×
m−2 2 m
=
3 5
=
3
(22 a 3b6 )5
22 a 3 b6
Matematika Kelas X
19
=
3
(ab2 )3 × 22
= ab2 3 22 =
ab2 3
4
=
(a + b)(a − b) − (a − b) ab a−b
= a + b – ab 14. Jawaban: c
11. Jawaban: d
19 + 8 3
7 −2 5
(16 + 3) + 2 16 × 3
=
3 +1
1+ 3
7 +2 5
= = = = =
7 −2 5
×
7 +2 5
16 + 3
=
7 −2 5
1+ 3
7 −2 5
7× 7 −2 5× 7 − 7×2 5 +2 5×2 5 ( 7)2 − (2 5)2
27 − 4 35 −13 4 35 − 27 13
1− 3
×
1+ 3
1− 3
4 × 1+ 3 × 1− 4 × 3 − 3 × 3
=
7 − 2 35 − 2 35 + 20 7 − 20
12. Jawaban: a
4+ 3
=
(1)2 − ( 3)2
=
4−3 3 −3 1− 3
=
1− 3 3 −2
=
3 3 −1 2
15. Jawaban: b
6 3 − 3+ 2 2+3 2
7
5
1212 × 18 6
3 2+3 2
× 2−3 2 2− 3 2
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠
−4
1
5
7
=
(22 × 3)12 × (2 × 32 ) 6 2−4
× 34
1
× 34
=
6 3− 2 × 3+ 2 3− 2
=
18 − 6 2 6 − 9 2 − 9−2 4 − 18
=
=
18 − 6 2 6 − 9 2 − 7 −14
= 2 6 + 6 – (–4) × 3 12 = 26 × 3–2
=
2(18 − 6 2) + (6 − 9 2) 14
=
36 − 12 2 + 6 − 9 2 14
=
42 − 21 2 14
=3–
3 2
–
= = =
7
10
1
2 −4 × 34 × 3 4 7
5
7
+
26 32
=
64
= 9
1 − ⎛ 21 ⎜ (3) − (2) 2 1 ⎜ 1 ⎜ 2 2 − (3)− 2 ⎝
2
×
a− b a− b
a a( a − b) + b b( a − b) ( a)2 − ( b)2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
2
=
1 2 1 3
2
=
⎛ ⎜ ⎜⎜ ⎝
=
⎛ 6 −1 3 ⎞ × ⎜⎜ ⎟ 2 6 − 1⎟⎠ ⎝
=
⎛ 3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠
a 2 − a ab + b ab − b2 a−b a 2 − b2 + ( −a + b) ab a−b
3
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
6 −1⎞ 2 ⎟ 6 −1⎟ ⎟ 3 ⎠
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎛ 3− ⎜ ⎜ 2− ⎝
= 2 20
5
7
2 6 × 3 12 × 2 6 × 3 6
16. Jawaban: c
13. Jawaban: a a a +b b a+ b
3
−4
2
10 6
1
–4– 4
17. Jawaban: a 1
1
2
3
3 2 4 3 25 × 16 × 27 6250,25 × 810,5
=
3
=
2
3
(52 ) 2 × (24 ) 4 × (33 ) 3 1
1
3
3 5 ×2 ×3
=
2
51 × 32
=
= 3 23 =2
=
18. Jawaban: c (a
−
= (a
3 2
−
−
3 2
= a–1b =
a −1b 1 − 3
−
2 3
2 9
−
4
1
=
(a 2 )−2 b 3 4
1
1 2
1
=
: (a
−
1 3
1 3
−
×b
−
5
3 2 − 6(2−1) 3×4 2 9 3 −3 3 ×4 2 3 (3 3 − 1)
×
4 2(3 3 + 1) 27 − 1
2 3
= =
2 3
3x + 1 2
x−4 1 ⎞ = ⎛⎜ ⇔ ⎟
3
⇔
3
3x + 1
⎝ 243 ⎠
2
3x + 1
⇔
2
1 2
3x +
⇔ 3x – ⇔ ⇔
5 2 1 2
= (35) 5
= 32 =
5 2
x−4 2
log 125 log 20 2
x – 10
2
2
=
2
x
6
y5 1 − 3
5 4
(x − 6y )x
−2
=
x
3 − 2
− ( −2)
5 4
2 6x – 1 = ⎛⎜ ⎞⎟ 3
−
⇔
21
x=– 2
=
5 6
1
(x − 6y 3 ) 1
5
x2y6 5
x 4 − 6y
−
1 3 1
Substitusikan x = 9 dan y = 8 ke dalam 1
5
(9) 2 (8) 6 5
(9) 4 − 6(8)
−
1 3
5
x2y6 5
3 × 2log 5 log 22 + 2log 5
3×p 2 × 2log 2 + p
=
3p 2+p
x +1
⎝ ⎠
1 2
x = –21
y
log 53 log (22 × 5)
22. Jawaban: b
x – 10
x = –10 –
log 125 log 20
2
=
=
20. Jawaban: b 3 − 2
(3 3 + 1)
(3 3)2 − 12
(ab)2
3
(3 3 + 1)
4 2(3 3 + 1)
20log 125
2 4 − 9 9
19. Jawaban: a
=
(31)(2 2 )
21. Jawaban: e Diketahui 2log 5 = p.
1 3
1 3
= 13 2 (3 3 + 1)
4 9
−
−
2
4
b9)
2 9
b
= (ab) =
−
−1 +
=a
3
−2 b 3 ) 3 : ((a 2 ) (b 3 )) 3
−
a b
=a
1
b 3 )2 :
5
(32 ) 4 − 6(23 ) 5
1
(54 ) 4 × (34 ) 2
=
3
5
1
(32 ) 2 (23 ) 6
x 4 − 6y
−
1 3
.
2 (2 × 3)x – 1 = ⎛⎜ ⎞⎟ 3
x +1
⎝ ⎠
⇔ 2x – 1 × 3x – 1 =
2 x +1 3 x +1
⇔ 3x – 1 × 3x + 1 =
2 x +1 2 x −1
⇔ 3x – 1 + (x + 1) = 2x + 1 – (x – 1) ⇔ 32x = 22 ⇔ 32x = 4 ⇔ 2x = 3log 4 ⇔ 2x = 3log 22 ⇔ 2x = 2 × 3log 2 ⇔ x = 3log 2 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 3log 2.
Matematika Kelas X
21
23. Jawaban: c 6log 14
= = =
1
= log
⎛ p − 1⎞ 2 ⎜ p + 1⎟ ⎝ ⎠
2
log (2 × 7) 2 log (2 × 3)
= log
⎛ p − 1⎞ 2 ⎜ p + 1⎟ ⎝ ⎠
+ log ((p – 1) 2(p + 1) 2)
2
= log
1 ⎛ ⎜ (p − 1) 2 1 ⎜ ⎜ (p + 1) 2 ⎝
× (p – 1) 2 × (p + 1) 2 ⎟
log 14 2 log 6
log 2 + 2log 7 2 log 2 + 2log 3
3
=
12x + 4 = 2log 23 12x + 4 = 8 12x + 4
)
2
=
=
82
⇔ 12x + 4 = 64 ⇔ 12x = 60 ⇔ x=5 Nilai 3x = 3(5) = 15
= =
25. Jawaban: e plog
2 3
q + qlog p = log 2 3
= log
4 9
4 9
2
⎛2⎞ ⎜3⎟ ⎝ ⎠
2
+
2 ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠
1
log
50
= 3log 15 – = 3log 15 –
1 22
1 log 3
1 log 3 log 50
+ +
log 50 log 3
+
30
1 log 3
= log
22
)
× log 12
log 144 × 3log 9 1 × 3log 12 2
3
log 122 × 3log 32 1 × 3log 12 2
2 × 3log 12 × 2 × 3log 3 1 × 3log 12 2 2 × 2 ×1 1 2
=8
4
2
+ 16
3log
22
2
log 2
–
5 3
4log
5
log 5
3
log 3
+ (42)
2
4log
– 3
+4
22
5
– 3
5
5
= 22 + 22 – 3
1 log 3 log 30
5
=4+4– 3
log 30 log 3
19
1
+ 2 × log (p2 – 1) 1
36 4
3
3
=3
27. Jawaban: a
⎛ p − 1⎞ 2 ⎜ p + 1⎟ ⎝ ⎠
1 2
3log
15 × 30 50
p −1 p+1
⎛2⎞ ⎜3⎟ ⎝ ⎠
=
1
log (12) 2
(3 log 36 × 4)(3 log
= (32)
= 3log 9 = 3log 32 = 2
log
1 2
log 12
3
3log
= 3log 15 – 3log 50 + 3log 30 = 3log
+
(3 log 36 + 3log 4)(3 log 36 − 3log 4)
9
26. Jawaban: c 15 –
⎠
29. Jawaban: a
1
=
=
+ log 3
=2+ 2
3log
⎞ ⎟
(3 log 36)2 − (3 log 4)2
12x + 4 = 3
(
1
28. Jawaban: c
24. Jawaban: a
⇔
1
= log (p – 1)
b +1
⇔
1
1
= a +1
2log
1
= log (p – 1) 2
1+ b
⇔
+ log ((p – 1)(p + 1) 2 )
1
= 1+ a
2log
1
2
1
+ log (p2 – 1) 2
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
= 3
30. Jawaban: e 2 × 3log y = 3log (x + 1) + 2 ⇔ 2 × 3log y = 3log (x + 1) + 3log 32 3log y2 = 3log (x + 1)9 ⇔ ⇔ y2 = (x + 1)9 ⇔ y2 = 9(x + 1)
B. Kerjakan soal-soal berikut. 2
1. a.
(7 × 2
=
−3
3
2
=
−3
3
7 ×2 ×5 72 × 2−1 × 52
–
2
1
5 ×7×2 72 × 2−1 × 52
= 702–251 – 507–123
= 3. a.
–
32 28
=
1 4
14 2
2 − 3
3 2
4
1 2
6
22 × 22 × 24
× 2 × 2−1 × 2 × 22 × 2
2 3
= 56 + 44 3 b.
1 2
+
27xy −1 z −8 84x −6 y 4 z −2
×
7x 2 − ( −1) y −3 − ( −5) z2 − ( −4) 54 3
2 6
7x y z 54
7
3)
−5 −6
27x y z 84
×
7 × 27 542 ×
×
27x1 − ( −6) y −1 − 4 z −8 − ( −2) 84
1 10 x 24
y–3
=
1 x−y ⎛ y−x ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ xy ⎠
× 2
×
y2 − x2 2 2
x y
x2 − y2 xy
(6 + 5) − 2 6 × 5
=
6 –
=
1 6− 5
=
6+ 5 6−5
=
6 +
5 6+ 5 6+ 5
×
5
4×6 = 2 6
24 =
1 6− 5
–
24
= 2( 6 − 5) + ( 6 + 5) − 2 6 = 2 6 –2 5 +
x10 24y 3
(x − y)−1(x −2 − y −2 ) (x −1 − y −1)2 (xy −1 − x −1 y) 1 1 ⎞ ⎛ 1 ×⎜ − ⎟ x − y ⎜⎝ x 2 y2 ⎟⎠ 2 ⎛ 1 1⎞ ⎛ x y ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝x y⎠ ⎝y x⎠
=
2 11 − 120 +
x3 + 7 y2 + (–5) z6 + (–6)
12 84
(6 + 5) − 4 × 6 × 5
Sehingga:
1
=
1 6− 5
2)
7x 2 y −3 z2 54x −1 y −5 z −4
=
11 − 120 =
1)
–1+2
= 24 x10 y–3 z0
b.
12 )
–4+4 3
= 23 =8
=
xy (y − x)3
2 3 1 2 − + − 1+ + 2 + 3 2 2 3
3
=
−(y − x)3 (y + x)
= 30 + 30 3 + 10 3 + 30 – 4 + 4 3
3
= 22
=
−(xy)
(xy)3
×
(5 + 75) (6 + 12 ) – 2(2 –
4 × 4 6 16
2 −2 × 2 2 × 2–1 ×
3
= 2
=
2
=5×6+5 3×6+5×2 3+5 3 ×2 3
× 2 2 ×
= 2
2. a.
y+x
= (5 + 5 3) (6 + 2 3 ) – 2 (2 − 2 3)
3
3
(xy)2
= (5 + 25 × 3) (6 + 4 × 3 ) – 2 (2 − 4 × 3)
= 28 b.
( y − x )(y + x)
(y − x)2 ×( −(y − x)(x + y))
8
= 4−7 35 28
×
(xy)3
=
=
−( y − x )
=
2
(x − y)(x + y) xy
×
(x y)2
= 72 – 22–3 – (–1)53 – 2 – 52 – 271 – 222 – (–1) 5
(y − x)2
2
× 5 ) − (5 × 7 × 2 ) 72 × 2−1 × 52
2
(y − x)(y + x) 1 × x−y (xy)2
=
6 –
6 +
5 –2 6
5 1
4. a.
52 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
×
⎛ ⎛ 1 ⎞2x + 6 ⎞ 6 ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 25 ⎠ ⎠
1
= 25 1
52 × ((5–2)2x + 6) 6 = 5–2 52 × 5–2 × (2x + 6) × 2 – 3
52 × 5 2+
5
2 (– 3
1 6
= 5–2
x–2
= 5–2
x – 2)
= 5–2
Matematika Kelas X
23
2 3
– x
⇔
5
⇔
– x = –2
6.
= 5–2
2 3
x = –2 × ⎜ − ⎟
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝7⎠
2
×
=
2
2 ( 3
–2 +
⇔
7
⇔
7 2 3
⇔
2 3
1 3
x+
= 73
x+
1 3)
x–
5 3
=3 14
2 3
⇔
= 73 = 73
5 3
x–
x= 3
14
⇔
3
x= 3 × 2 =7 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 7. 3 2
1 2
1 3
5. p = (x + x )(x – x 3
1 – 3
1
1
x
E
B
BE2 + CE2 x2 + x2
= x 2 AB = AE + EB =x+x = 2x a. Keliling trapesium ABCD = 28 ⇒ AB + BC + CD + AD = 28
1
⇔ (7–1)2 × (72x + 1) 3 = 73 7–2 × 7 3
x
BC =
72x +1 = 343
3
⇔
x
A
⇔ x =3 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 3. b.
C
x
⎛ 3⎞ ⎝ 2⎠
⇔
D
⇒
2x + x 2 + x + x = 28
⇔
4x + x 2 = 28
⇔
x(4 +
2 ) = 28
⇔
x=
⇔
x=
) 3
1
1
1
1
= x 2 × x 3 + x 2 × x 3 – x 2 × x– 3 – x 2 × x– 3 3
+
= x2
1 3
1
+ x2
11
+
5
1 3
3
– x2
7
–
1 3
1
– x2
–
1
1
5
2
1
–
1
–
= x2x + x 1 2
=x
1 2
+1
3
1
+1
1
–x
5
–
= x2 + x2 – x6 – x 1 – 6
=x p q
1
=
5 3
–
x – x2x3 – x
1 – 2
+x
1
1 2
+
1 3
1 2
1
b.
x3
1 – 2
–x
+
1
1 6
1
=x
1
– (– ) 6
2 6 1
= x3 =
3
Jadi, panjang AB = (16 + 4 2 ) cm dan BC = (8 2 + 4) cm.
x
c.
Luas trapesium ABCD 1
= 2 × (AB + CD) × AD 1
= 2 × (3x) × x 3
= 2 x2 3
= 2 (8 + 2 2 )2
24
112 + 28 2 14
= (8 2 + 4) cm
2
x 6 (x 3 + x 3 − x1 − x 0 )
= x6
=
Panjang BC = x 2 = (8 + 2 2 ) 2
2 3
2
5
28 × 4 + 28 2 16 − 2
= (16 + 4 2 ) cm
x 6 (x 3 + x 3 − x1 − x 0 ) −
4+ 2
Panjang AB = 2x = 2 × (8 + 2 2 )
1 3
(x + x – x1 – x0) 5
4+ 2
Jadi, nilai x = 8 + 2 2 .
1
)(x – x 3 )
1 2
×
=8+2 2
= x 6 (x 3 + x 3 – x1 – x0) q = (x 2 + x
28 4− 2
=
1 3
= x 6 + x6 – x6 – x6
28 4− 2
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
3
= 2 (64 + 32 2 + 8)
a.
12log 112
3
= 2 (72 + 32 2 )
3log
27
3log
=3
3log
=3
+ 16
3log
= 33 ×
1 3
2log
5
53
5
+ 24 × 2log
(3
+2
125
1
– 2log
–
1 9
2log
+2
1 2 )4
5 8
5
log 3
2
log 3
2
5
5
2
5
– 5
–
2
1 8
5
2
5
11
1 32
23 ×
2
=
×
−3
25 4
–
−5
−11
=
b.
6log 686
1
25 4
64
=
=
3
–1
– 4 log 4 2 =
3 2
1 25
3
log 686 3 log 6
3
log 73 × 2 log 2 × 3
3 3
log 73 + 3log 2 log 2 + 3log 3
3
3 × 3log 7 + 3log 2 3 log 2 + 1 1
3
=
36 24
91
5log
2ab + 1 a(b + 1)
log 3
1
– 3log 81 – 0,1log (0,01) 3
1
= 5log 5–2 – 3log 34 – 0,1log ((0,1)2) 3
3× a + b 2
b 2
+1
=
6 + ab 2a b+2 2
=
6 + ab 2a
=
6 + ab a(b + 2)
= 24 c.
b +1
−1
−5
+
2× +1
=
log 27
1 a
2ab +1 a
3
= 6 × 4 + 2 55 24
b 2
=
log 3
log 3
4× 2 +
log 3
log 64 4 2 – 4 log
–5
log 24 + 3log 7 log 22 + 3log 3
4 × 3log 2 + 3log 7 2 × 3log 2 + 3log 3
=
log 3
=
= 2 log 2 2 × 2 log 2 11 2
3
3
log 32 2 × –3
3
log 24 × 7 log 22 × 3
b
1 – 3 2
–
3
=
= 125 + 9 – 27 = 125 b.
3
=
Jadi, luas trapesium ABCD (108 + 48 2) cm2.
log 112 log 12
3
=
= 108 + 48 2
7. a.
3
=
2
× b+2
2
= 5log 5–2 – 3log 34 – 0,1log (0,1) 3 2
9. a.
2
= –2 – 4 – 3 = –6 3 8.
7log
3=a ⇔
log 3 log 7
=a
⇔
log 7 log 3
= a
b.
1
xlog
x2y + ylog x3y–1 – xlog y = xlog x2 + xlog y + ylog x3 + ylog y–1 – xlog y = 2 + xlog y + 3 × ylog x – 1 – xlog y = 1 + 3 × ylog x (terbukti) 3
2 × 4log 45 – 4log 5 – 3 × 4log 5 = 4log 452 – 4log
1
⇔ 3log 7 = a 3log 4 = b ⇔ 3log 22 = b ⇔ 2 3log 2 = b ⇔
3log
2 =
b 2
⎛5⎞ ⎜3⎟ ⎝ ⎠
−1
+ (–3) × 4log 5
5
= 4log 452 + 4log 3 + 4log 5–3 5
1
= 4log (452 × 3 × 3 ) 5
Matematika Kelas X
25
5
1
= 4log ((32 × 5)2 × 3 × 3 ) 5 5
⇔
1
⇔
= 4log (34 × 52 × 3 × 3 ) 5 4 4 – 1 2 + 1 – 3 = log 3 ×5 = 4log 33 × 50 = 4log 33 = 3 × 4log 3 (terbukti) 10.
16
log (x − 2) −
⇔ ⇔
⇔
26
16log
1 log (x 2 − 4x + 4)
16
1
(x – 2) – 16log (x2 – 4x + 4) = −2 16log
(x – 2) – 16log (x – 2)2 = 16log 16
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
4 (x – 2) – 16log (x – 2)2 = 16log (2 ) 16log (x − 2)
(x − 2)2
16log
1 x−2 1 x−2
= 16log 2–2 1
= 16log 4 1
= 4 ⇔ x–2=4 ⇔ x=6 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 6.
= –2 ⇔
16log
−
1 2
−
1 2
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
Fungsi
Persamaan Kuadrat
Fungsi Kuadrat
• Konsep fungsi • Domain, kodomain, dan range fungsi • Grafik fungsi
• Penyelesaian persamaan kuadrat • Jenis-jenis akar persamaan kuadrat • Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat • Persamaan kuadrat baru
• Unsur-unsur grafik fungsi kuadrat • Grafik fungsi kuadrat • Fungsi kuadrat baru
• • • • • • • • • • • • • • •
Pertidaksamaan Kuadrat dan Pertidaksamaan Satu Variabel
Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat dan Pemakaian Persamaan Kuadrat
• Pertidaksamaan linear • Pertidaksamaan kuadrat • Pertidaksamaan pecahan
• Permasalahan d e t e r m i n a n persamaan kuadrat • Permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan kuadrat
Bersikap kreatif menggunakan alternatif lain dalam menyelesaikan masalah. Mampu mendeskripsikan konsep fungsi Mampu menentukan domain, kodomain, dan range fungsi Mampu menggambar grafik fungsi Mampu menentukan penyelesaian persamaan kuadrat Mampu menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat Mampu menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat Mampu menyusun persamaan kuadrat Mampu menentukan unsur-unsur grafik fungsi kuadrat Mampu menggambar grafik fungsi kuadrat Mampu menyusun fungsi kuadrat Mampu menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear Mampu menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat Mampu menentukan penyelesaian pertidaksamaan pecahan Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat
Matematika Kelas X
27
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Fungsi adalah relasi yang mengawankan setiap anggota domain (A) dengan tepat satu anggota kodomain (B). a. Bukan fungsi karena ada anggota domain A yang mempunyai dua kawan di B. b. Bukan fungsi karena ada anggota domain A yang tidak mempunyai kawan di B. c. Fungsi karena setiap anggota domain A mempunyai tepat satu kawan di B. d. Bukan fungsi karena ada anggota domain A yang mempunyai dua kawan di B. e. Bukan fungsi karena ada anggota domain A yang tidak mempunyai kawan di B. Jadi, diagram panah yang menggambarkan fungsi adalah c. 2. Jawaban: b Fungsi dari himpunan P ke himpunan Q adalah pengawanan yang mengawankan setiap anggota P dengan tepat satu anggota Q, misalkan pengawanan (i) dan (iii). Pengawanan (ii) dan (iv) bukan fungsi karena ada anggota P yang mempunyai dua kawan di Q. 3. Jawaban: d Range adalah himpunan dari anggota kodomain yang memiliki pasangan dengan anggota domain. Pada fungsi g yang dinyatakan dalam pasangan berurutan, rangenya adalah bilangan kedua pada setiap pasangan berurutan. Jadi, range pada fungsi g adalah {1, 2, 3, 4}. 4. Jawaban: d Dari diagram panah diperoleh g(–2) = 2 dan g(2) = 3. Jadi, g(–2) + g(2) = 2 + 3 = 5. 5. Jawaban: a h(x) = 3 2
x x−3
h( ) =
3 2
3 2
×
−3
2 2
=
3 3−6
=
3 −3
= –1
3 2
Jadi, nilai h( ) = –1. 6. Jawaban: d g(x) = –x – 2 Untuk x = –3 diperoleh: g(–3) = –(–3) – 2 = 3 – 2 = 1
28
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
g((–3)2) = g(9) = –9 – 2 = –11 Untuk x = –3 maka: 2(g(x))2 + g(x2) – 3g(x) = 2(g(–3))2 + g((–3)2) – 3g(–3) = 2 × 12 + (–11) – 3 × 1 = 2 – 11 – 3 = –12 7. Jawaban: b Oleh karena x = –2 < 2, maka menggunakan rumus f(x) = 4 – 2x. f(–2) = 4 – 2(–2) = 4 + 4 = 8 8. Jawaban: e f(2x + 3) = 5x – 3 Untuk x = –2 diperoleh: f(2(–2) + 3) = 5(–2) – 3 ⇔ f(–4 + 3) = –10 – 3 ⇔ f(–1) = –13 Jadi, nilai f(–1) = –13. 9. Jawaban: c Fungsi pecahan tak terdefinisi apabila penyebutnya nol. Jadi, fungsi f(x) tak terdefinisi apabila: 4 – 2x = 0 ⇔ –2x = –4 ⇔ x=2 10. Jawaban: a f(w) =
1 2w + 3
terdefinisi jika memenuhi syarat: 3
2w + 3 > 0 ⇔ 2w > –3 ⇔ w > – 2 Jadi, daerah asal alami fungsi tersebut 3
{w | w > – 2 , w ∈ R}. 11. Jawaban: b –3 ∈ x < –2, jadi f(–3) = (–3)2 – (–3) = 9 + 3 = 12 –2 ∈ –2 ≤ x < 2, jadi f(–2) = (–2) – 5 = –7 –1 ∈ –2 ≤ x < 2; jadi f(–1) = (–1) – 5 = –6 0 ∈ –2 ≤ x < 2; jadi f(0) = (0) – 5 = –5 1 ∈ –2 ≤ x < 2; jadi f(1) = (1) – 5 = –4 2 ∈ –2 ≤ x ; jadi f(2) = –1 – 8(2) = –17 Range = {–17, –7, –6, –5, –4, 12}. 12. Jawaban: b Himpunan pasangan berurutan pada pilihan b merupakan suatu fungsi satu-satu karena setiap anggota domain mempunyai pasangan berbeda di kodomain.
f(–2) = 18 ⇒ (–2)2 + 3(–2) + m = 18 ⇔ 4 – 6 + m = 18 ⇔ m – 2 = 18 ⇔ m = 18 + 2 ⇔ m = 20 Diperoleh f(x) = x2 + 3x + 20. f(–1) = (–1)2 + 3(–1) + 20 = 1 – 3 + 24 = 18 Diperoleh grafik f(x) melalui titik (–1, 18) sehingga nilai n = 18. Jadi, nilai m – n = 20 – 18 = 2.
13. Jawaban: b Diagram panah pada pilihan b menunjukkan suatu fungsi dari A ke B yang surjektif karena setiap anggota B mempunyai prapeta di A. 14. Jawaban: a Grafik (i) dan (ii) menunjukkan fungsi berkorespondensi satu-satu karena setiap garis tegak bertemu tepat satu titik dengan grafik dan setiap garis mendatar bertemu tepat satu titik dengan grafik. 15. Jawaban: b Fungsi linear: f(x) = 2x + n Grafik fungsi f(x) melalui titik (–3, –12), berarti: f(–3) = –12 ⇒ 2(–3) + n = –12 ⇔ –6 + n = –12 ⇔ n = –12 + 6 ⇔ n = –6 Diperoleh f(x) = 2x – 6. f(5) = 2(5) – 6 = 4 Jadi, nilai f(5) = 4.
17. Jawaban: b g(x) = 5 – 3x Grafik fungsi g(x) melalui titik (a, –19), berarti: g(a) = –19 ⇒ 5 – 3a = –19 ⇔ –3a = –19 – 5 ⇔ –3a = –24 ⇔ a=8 Jadi, nilai a = 8. 18. Jawaban: b Fungsi linear: f(x) = 2x – 10 f(0) = 2(0) – 10 = 0 – 10 = –10 Diperoleh titik potong dengan sumbu Y (0, –10). f(x) = 0 ⇒ 0 = 2x – 10 ⇔ 2x = 10 ⇔ x=5 Diperoleh titik potong dengan sumbu X (5, 0). Gambar yang sesuai ada pada pilihan b. 19. Jawaban: b g(x) = 2x2 – x + 5 g(–2) = 2(–2)2 – (–2) + 5 = 8 + 2 + 5 = 15 Grafik fungsi kuadrat g(x) melalui titik (–2, 15). 20. Jawaban: b f(x) = x2 + 3x + m Grafik f(x) melalui titik (–2, 18), berarti:
Uraian
1. a.
b. 2.
fungsi f: P → Q Domain: P = {–2, –1, 0, 1, 2} Kodomain: Q = {–8, –6, –4, –2, 0, 2} Range: R = {–6, –2, 0} Fungsi f = {(–2, –6), (–1, –2), (0, 0), (1, –2), (2, 0)} x2 – 4 untuk x ≥ 2 2 – x untuk x < 2 Oleh karena 5 ≥ 2 maka: f(5) = 52 – 4 = 25 – 4 = 21 Oleh karena –5 < 2 maka: f(–5) = 2 – (–5) = 7 Jadi, nilai fungsi f untuk x = 5 adalah 21 dan nilai fungsi f untuk x = –5 adalah 7. f(2) = 22 – 4 = 4 – 4 = 0 f(–2) = 2 – (–2) = 2 + 2 = 4 Jadi, f(2) + f(–2) = 0 + 4 = 4.
f(x) = a.
b.
3. a.
b.
16. Jawaban: e Fungsi: f(x) = 2x2 – 4x + 3 Grafik fungsi f(x) memotong sumbu Y jika x = 0. f(0) = 2(0)2 – 4(0) + 3 = 3 Jadi, grafik fungsi f(x) memotong sumbu Y di titik (0, 3).
B.
f(x) = 10 – 2x f(1) = 10 – 21 = 10 – 2 = 8 f(2) = 10 – 22 = 10 – 4 = 6 f(3) = 10 – 23 = 10 – 8 = 2 f(4) = 10 – 24 = 10 – 16 = –6 f(5) = 10 – 25 = 10 – 32 = –22 daerah hasil = {–22, –6, 2, 6, 8}. f(x) =
x 2 + 2x − 15 x+5
f(1) =
1 + 2 − 15 1+ 5
= 6
f(2) =
4 + 4 − 15 2+5
= 7 = –1
f(3) =
9 + 6 − 15 3+5
= 8 =0
f(4) = f(5) =
−12
= –2
−7
0
9 16 + 8 − 15 = 9 = 4+5 25 + 10 − 15 20 = 10 5+5
1 =2
Daerah hasil = {–2, –1, 0, 1, 2}.
Matematika Kelas X
29
4. f(x) = px – 6 Dari diagram garis diperoleh f(2) = 14, f(5) = a, dan f(b) = –8. f(2) = 14 ⇒ 2p – 6 = 14 ⇔ 2p = 14 + 6 ⇔ 2p = 20 ⇔ p = 10 Diperoleh f(x) = 10x – 6. f(5) = a ⇒ a = 10(5) – 6 = 50 – 6 = 44 f(b) = –8 ⇒ 10b – 6 = –8 ⇔ 10b = –8 + 6 ⇔ 10b = –2 ⇔ b = –0,2 Jadi, nilai p = 10, a = 44, dan b = –0,2. 5. f(x) = x2 + 1 f(0) = 02 + 1 = 1 f(1) = 12 + 1 = 2 f(2) = 22 + 1 = 5
A
c.
Y 5 4 3 2 1 0 –2 –1 –1 –2 –3 –4
8. a.
B
0 1 2
30
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
f(x) = 4x – 8 f(0) = 0 – 8 = –8 melalui titik (0, –8) f(2) = 8 – 8 = 0 melalui titik (2, 0) Grafik fungsi f(x) = 4x – 8: X
2
0
–8
b.
2
g(x) = – 3 x + 12 g(0) = 0 + 12 = 12 g(6) = –4 + 12 = 8
6. f(x) = 2x – 3 a. Grafik fungsi f(x) melalui (4, n), berarti: f(4) = n ⇒ n = 2(4) – 3 = 8 – 3 = 5 Jadi, nilai n = 5. b. Grafik fungsi f(x) melalui (n, –7), berarti: f(n) = –7 ⇒ 2n – 3 = –7 ⇔ 2n = –4 ⇔ n = –2 7. f(x) = x2 – 2x – 3 Domain: A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} f(–2) = (–2)2 – 2(–2) – 3 = 4 + 4 – 3 = 5 f(–1) = (–1)2 – 2(–1) – 3 = 1 + 2 – 3 = 0 f(0) = (0)2 – 2(0) – 3 = 0 – 0 – 3 = –3 f(1) = (1)2 – 2(1) – 3 = 1 – 2 – 3 = –4 f(2) = (2)2 – 2(2) – 3 = 4 – 4 – 3 = –3 f(3) = (3)2 – 2(3) – 3 = 9 – 6 – 3 = 0 f(4) = (4)2 – 2(4) – 3 = 16 – 8 – 3 = 5 a. Daerah hasil: Rf = {–4, –3, 0, 5} b. Fungsi f = {(–2, 5), (–1, 0), (0, –3), (1, –4), (2, –3), (3, 0), (4, 5)}
X
1 2 3 4
Y
1 2 3 4 5
Fungsi f(x) adalah fungsi injektif karena setiap anggota himpunan A mempunyai bayangan berbeda di B. Fungsi f(x) bukan fungsi surjektif karena 3 ∈ B dan 4 ∈ B tidak memiliki prapeta di A. Karena f(x) bukan fungsi surjektif, pasti f(x) bukan fungsi bijektif. Jadi, f(x) merupakan fungsi injektif saja.
Diagram kartesius:
2
Grafik fungsi g(x) = – 3 x + 12: Y 12 8
0
9. a.
X
6
h(x) = 2 – x – x2 x
–3
–2
–1
0
1
2
3
h(x)
–4
0
2
2
0
–4
–10
Koordinat titik-titiknya (–3, –4), (–2, 0), (–1, 2), (0, 2), (1, 0), (2, –4), (3, –10).
b.
Gambar grafik h(x) = 2 – x – x2
Gambar titik-titik bantu pada koordinat kartesius, kemudian hubungkan dengan kurva mulus.
Y 3 2 1 –4 –3 –2–1 0 –1 –2 –3
5 4 3 2 1
X
1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 X –1 –2 –3 –4 –5 (0, –5) (6, –5) x=3
h(x) = 2 – x – x2
–4 –5 –6 –7 –8 –9 –10
10. a.
f(x) = –x2 + 6x – 5 dengan daerah asal {x | 0 ≤ x ≤ 6, x ∈ R}. Ambil beberapa titik bantu.
x
0
1
2
3
4
5
6
–x2
0
–1
–4
–9
–16
–25
–36
6x
0
6
12
18
24
30
36
–5
–5
–5
–5
–5
–5
–5
–5
f(x)
–5
0
3
4
3
0
–5
(2, 3)
(3, 4)
(4, 3)
(x, f(x)) (0, –5) (1, 0)
⇔x=
b.
Dari grafik diperoleh pembuat nol fungsi: x = 1 dan x = 5 Persamaan sumbu simetri: x = 3. Nilai balik maksimum: y = 4. Koordinat titik balik (3, 4). Daerah hasil {y | –5 ≤ y ≤ 4, y ∈ R}.
(5, 0) (6, –5)
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan. 3x2 – 2x – 8 = 0 ⇔ (3x + 4)(x – 2) = 0 ⇔ 3x + 4 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ 3x = –4 atau x = 2 4 –3
Y
atau x = 2 4
Diperoleh penyelesaian x = – 3 atau x = 2. 4
Jadi, himpunan penyelesaiaannya {– 3 , 2}. 2. Jawaban: a Persamaan kuadrat: x2 – 6x + 4 = 0 Diperoleh a = 1, b = –6, dan c = 4 sehingga: D = b2 – 4ac = (–6)2 – 4(1)(4) = 36 – 16 = 20
Mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan rumus abc. x=
−b ± D 2a
=
−(−6) ± 20 2×1
=
6±2 5 2
=3±
5
Jadi, salah satu akar persamaan kuadrat tersebut adalah 3 +
5.
3. Jawaban: e (2x – 3)2 – 12 = 0 ⇔ (2x – 3)2 = 12 ⇔ ⇔ ⇔
2x – 3 = ± 12 2x = 3 ± 2 3 3
x= 2 ± 3
Jadi, penyelesaiannya 2 +
3 3
3 atau – 2
Matematika Kelas X
3.
31
4. Jawaban: d 2x2 – 13x – 7 = 0 ⇔ (2x + 1)(x – 7) = 0
9. Jawaban: e x 1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + x – 2 = 0.
1
b
⇔ x = – 2 atau x = 7
1
Oleh karena x2 > x1, maka x1 = – 2 dan x2 = 7. Jadi, nilai 2x1 + 3x2 = 20.
1
a= 2
1
p = –4 atau 1
10. Jawaban: d 2x2 + 3x – 6 = 0 Diperoleh: a = 2, b = 3, c = –6 b
3
x1 + x2 = – a = – 2 −6
x1x2 = a = 2 = –3 2x1x22 + 2x12x2 = 2x1x2(x1 + x2) = 2(–3) (– 2 ) =9
11. Jawaban: a Dari persamaan kuadrat 3x2 – x + 9 = 0, diperoleh:
49
a> 8
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
1
c
9
x1x2 = a = 3 = 3 x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 1
= ( 3 )2 – 2(3) 1
= 9 –6
1
8. Jawaban: b 2x2 – 7x + a = 0 Persamaan kuadrat tidak mempunyai penyelesaian apabila: D < 0 ⇔ (–7)2 – 4 × 2 × a < 0 ⇔ 49 – 8a < 0 ⇔ 49 < 8a
−1
b
x1 + x2 = – a = – 3 = 3
p=–2
7. Jawaban: a x2 – 8x + c = 0 Persamaan kuadrat di atas mempunyai penyelesaian tunggal apabila: D = 0 ⇔ (–8)2 – 4 × 1 × c = 0 ⇔ 64 – 4c = 0 ⇔ 4c = 64 ⇔ c = 16
32
=5
3
Jadi, HP = {–4, – 2 }.
⇔
2
= 9( 9 ) + 4
+ 5x – 12 = 0
⇔ x2 + 10x – 24 = 0 ⇔ (x + 12)(x – 2) = 0 ⇔ x = –12 atau x = 2 Jadi, akar yang lain adalah –12. 6. Jawaban: e Misalkan y = 2p + 3 (2p + 3)2 + 3(2p + 3) – 10 = 0 ⇒ y2 + 3y – 10 = 0 ⇔ (y + 5)(y – 2) = 0 ⇔ y = –5 atau y=2 ⇔ 2p + 3 = –5 atau 2p + 3 = 2 ⇔ 2p = –8 atau 2p = –1 ⇔
1
9(x1 + x2)2 – 6x1x2 = 9(– 3 )2 – 6(– 3 )
c
Diperoleh persamaan kuadrat: 2 x2 + 5x – 12 = 0 1 2 x 2
2
= a =–3
1
5. Jawaban: e Substitusikan x = 2 ke persamaan kuadrat: ax2 + 5x – 12 = 0 ⇔ a(2)2 + 5(2) – 12 = 0 ⇔ 4a + 10 – 12 = 0 ⇔ 4a – 2 = 0 ⇔ 4a = 2 ⇔
c
x1 x2
1
2x1 + 3x2 = 2(– 2 ) + 3(7) = –1 + 21 = 20
1
Diperoleh: x1 + x2 = – a = – 3 dan
53
=– 9 x1 x2
+
x2 x1
=
x12 + x12 x1x 2
=
−
53 9
3
53
= – 27
12. Jawaban: e Akar-akar x2 + (a – 1)x + 6 = 0 adalah x1 dan x2. b
x1 + x2 = – a = –(a – 1) = 1 – a c
x1 × x2 = a = 6 Oleh karena berlaku x12 + x22 = 13 maka: x12 + x22 = 13 ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 13 ⇔ (1 – a)2 – 2 × 6 = 13 ⇔ 1 – a = ± 25 ⇔ a = 1 ±5 ⇔ a = –4 atau a = 6 Oleh karena a > 0 maka yang memenuhi a = 6.
13. Jawaban: d Persamaan kuadrat: x2 + (p + 1)x + 8 = 0 Diperoleh: α + β = –(p + 1) dan α × β = 8 1
Diketahui α = 2 β, maka: α×β=8 ⇔
1 2
β×β=8
1
α= 2β= 2 ×4=2 α + β = –(p + 1) ⇔ 4 + 2 = –p – 1 ⇔ p = –1 – 4 – 2 ⇔ p = –7 Jadi, nilai p = –7. 14. Jawaban: d Oleh karena α dan β adalah akar-akar dari persamaan x2 + ax + b = 0 maka α × β = b dan α + β = –a. α2β + αβ2 = 6 ⇔ αβ(α + β) = 6 ⇔ (–a)b = 6
α–1 + β–1 =
3 2
⇔ ⇔
b= α+β αβ −a b
⇔ ⇔ −6
36
=
−6 a
3 2 3 2
–a = 2 b −6
3
–a = 2 × a –a2 = –9 a2 = 9 36
b2 = ( a )2 = 2 = 9 = 4 a Jadi, nilai a2 – b2 = 9 – 4 = 5. 15. Jawaban: c x2 + bx – 2 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 x1 + x2 = –b dan x1 × x2 = –2 x1 2x 2
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
3 ) + (2 –
3)=4
17. Jawaban: e 2x2 – 5x + 1 = 0 Diperoleh: a = 2, b = –5, c = 1
1
= (x1 – 2 ) 1
x1 = 2x2(x1 – 2 ) 1
x1 = 2x2 × x1 – 2x2 × 2 x1 = 2x2 × x1 – x2 x1 + x2 = 2x1 × x2 –b = 2(–2) b=4
−5
b
5
x1 + x2 = – a = – 2 = 2 c
1
x1x2 = a = 2 Akar-akar persamaan kuadrat baru α = (x1 – 1) dan β = (x2 – 1). α + β = (x1 – 1) + (x2 – 1) = x1 + x2 – 2 5
1
= 2 –2= 2 αβ= (x1 – 1)(x2 – 1) = x1x2 – x1 – x2 + 1 = x1x2 – (x1 + x2) + 1 1
3
⇔ ⇔
=
3
x1x2 = (2 + 3 )(2 – 3 ) =4–3=1 Persamaan kuadratnya: x2 – 4x + 1 = 0
β2
⇔
3 dan x2 = 2 –
x1 = 2 +
x1 + x2 = (2 +
⇔ = 16 ⇔ β = ±4 β positif, maka β = 4. 1
16. Jawaban: a Akar-akar persamaan kuadrat:
5
= 2 – 2 +1 = –1 Persamaan kuadrat baru: 1
x2 – 2 x – 1 = 0 ⇔ 2x2 – x – 2 = 0 18. Jawaban: d x2 – 5x – 1 = 0 mempunyai akar p dan q p + q = 5 dan pq = –1 Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah: x2 – (2p + 1 + 2q + 1)x + (2p + 1)(2q + 1) = 0 ⇔ x2 – (2(p + q) + 2)x + (4pq + 2(p + q) + 1) = 0 ⇔ x2 – (2(5) + 2)x + (4(–1) + 2(5) + 1) = 0 ⇔ x2 – 12x + 7 = 0 2 Jadi, persamaan kuadrat baru x – 12x + 7 = 0. 19. Jawaban: e 2x2 + 6x + 3 = 0 mempunyai akar x1 dan x2 3
x1 + x2 = –3 dan x1 × x2 = 2 3
Misalkan a = x1 + x2 = –3 dan b = x1 × x2 = 2 .
Matematika Kelas X
33
Persamaan kuadrat dengan akar-akar a dan b: x2 – (a + b)x + ab = 0 3
x1,2 =
−b ± D 2a
=
4 − 24 4
3
⇔ x2 – (–3 + 2 )x + (–3) 2 = 0 3
⇔
9
1
x2 + 2 x – 2 = 0 2x2 + 3x – 9 = 0
⇔
20. Jawaban: b Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar α dan β. −b
=1± 2 6 Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut 1
2. a.
c
α + β = a dan α × β = a Persamaan kuadrat baru yang akarnya –α dan –β adalah x2 – (–α + (–β))x + (–α)(–β) = 0 ⇔ x2 – (–(α + β))x + α × β = 0 ⇔ x2 + (α + β)x + α × β = 0 −b
⇔
b.
c
Uraian a. x2 – 5x + 6 = 0 ⇔ (x – 2)(x – 3) = 0 ⇔ x = 2 atau x = 3 Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut 2 atau 3. b. x2 + 3x – 2 = 0 a = 1, b = 3, c = –2 D = b2 – 4ac = 32 – 4(1)(–2) =9+8 = 17 x1,2 =
−b ± D 2a
=
−3 ± 17 2
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut −3 + 17 2
c.
atau
−3 ± 17 2
.
3x2 + 8x + 4 = 0 ⇔ (3x + 2)(x + 2) = 0 2
⇔ x = – 3 atau x = –2 Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut 2
– 3 atau –2. d.
34
2x2 – 4x – 1 = 0 a = 2, b = –4, c = –1 D = b2 – 4ac = (–4)2 – 4(2)(–1) = 16 + 8 = 24
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
(x + 2)2 = 2(x + 5) – 3 ⇔ x2 + 4x + 4 = 2x + 10 – 3 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 1) = 0 ⇔ x = –3 atau x = 1 Jadi, himpunan penyelesaiannya {–3, 1}. (5 – 2x)2 – 7 = 1 ⇔ (5 – 2x)2 = 8 ⇔
x2 + a x + a = 0 –––––––––––––––––––––– × a ⇔ ax2 – bx + c = 0 B. 1.
1
1 + 2 6 atau 1 – 2 6 .
5 – 2x = ± 8
⇔
2x = 5 ± 2 2 5
⇔
x= 2 ±
2 5
Jadi, himpunan penyelesaiannya { 2 + 5 2
c.
–
2,
2 }.
Ingat: a2 – b2 = (a + b)(a – b) (2x – 3)2 – (x + 5)2 = 0 ⇔ ((2x – 3) + (x + 5))((2x – 3) – (x + 5)) = 0 ⇔ (3x + 2)(x – 8) = 0 2
⇔ x = – 3 atau x = 8 2
d.
Jadi, himpunan penyelesaiannya {– 3 , 8}. Ingat: a2 – 3a – 18 = (a + 3)(a – 6) (x – 5)2 – 3(x – 5) – 18 = 0 ⇔ ((x – 5) + 3)((x – 5) – 6) = 0 ⇔ (x – 2)(x – 11) = 0 ⇔ x = 2 atau x = 11 Jadi, himpunan penyelesaiannya {2, 11}.
3. Misal: x1 akar x2 – 3x + p = 0 maka x1 + 3 akar x2 – 3x – 2p = 0 sehingga berlaku: (x1 + 3)2 – 3(x1 + 3) – 2p = 0 ⇔ x12 + 6x1 + 9 – 3x1 – 9 – 2p = 0 ⇔ x12 + 3x1 – 2p = 0 . . . (1) 2 x1 akar x – 3x + p = 0 maka x12 – 3x1 + p = 0 . . . (2) Eliminasi x12 dari (1) dan (2): x12 + 3x1 – 2p = 0 x12 – 3x1 + p = 0 –––––––––––––––– – p 6x1 – 3p = 0 ⇔ 6x1 = 3p ⇔ x1 = 2
p
Substitusi x1 = 2 ke (2): x12 – 3x1 + p = 0 p
b.
p
⇔ ( 2 )2 – 3( 2 ) + p = 0 p2
3p
⇔ – 2 +p=0 4 ––––––––––––––––––– × 4 ⇔ p2 – 6p + 4p = 0 ⇔ p2 – 2p = 0 ⇔ p(p – 2) = 0 ⇔ p = 0 atau p = 2 Jadi, p = 2 (karena p bilangan asli). 4. a.
a = 3, b = 2 2 , c = –5
⇔ x =± 5
= 8 + 60 = 68 > 0 Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat
D = b2 – 4ac = (2 2 )2 – 4 × 3 × (–5) 5 }.
x – 2 x – 15 = 0 ⇔ ( x
)2
3a2 + 2 2 a – 5 = 0 mempunyai dua akar real berbeda.
– 2 x – 15 = 0
⇔ ( x – 5)( x + 3) = 0
d.
⇔ x = 5 atau x = –3 (TM) ⇔ x = 25 Jadi, himpunan penyelesaiannya {25}. c.
x (4
⇔
–
5 x
D=
b2
= 4 3 – 13 ≈ –6,07 < 0
⇔
(x + 10)(x – 2) = 0
Oleh karena (−1) + 5 – (–1) + 1 ≠ 0, maka x = –1 bukan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaiannya {4}. 4y2 + 20y + 25 = 0 a = 4, b = 20, c = 25 D = b2 – 4ac = 202 – 4 × 4 × 25 = 400 – 400 = 0
3)
= 27 – 40 + 4 3
x2 + 8x – 20 = 0
x+5 =x–1 x + 5 = (x – 1)2 x + 5 = x2 – 2x + 1 2 x – 3x – 4 = 0 (x + 1)(x – 4) = 0 x = –1 atau x = 4
3
– 4ac
= (–3 3 )2 – 4 × 1 × (10 –
+ 2 = 0) × 4x
x+5 –x+1=0
3 =0
a = 1, b = –3 3 , c = 10 –
⇔
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
5. a.
m2 – 3 3 m + 10 –
x2 – 20 + 8x = 0
⇔ x = –10 atau x = 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya {–10, 2}. d.
3a2 + 2 2 a – 5 = 0
x4 – 25 = 0 ⇔ (x2 – 5)(x2 + 5) = 0 ⇔ x2 = 5 atau x2 = –5 (TM) Jadi, himpunan penyelesaiannya {– 5 ,
b.
c.
Oleh karena D = 0 maka persamaan kuadrat 4y2 + 20y + 25 = 0 mempunyai akar real yang sama. 2p2 – 3p + 8 = 0 a = 2, b = –3, c = 8 D = b2 – 4ac = (–3)2 – 4 × 2 × 8 = 9 – 64 = –55 < 0 Oleh karena D < 0 maka persamaan kuadrat 2p2 – 3p + 8 = 0 tidak mempunyai akar real.
Oleh karena D < 0 maka persamaan kuadrat m2 – 3 3 m + 10 – 3 = 0 tidak mempunyai akar nyata. 6. D = b2 – 4ac = (–(2n – 1))2 – 4 × n × n = 4n2 – 4n + 1 – 4n2 = –4n + 1 a. Persamaan kuadrat mempunyai akar real jika D ≥ 0: –4n + 1≥ 0 ⇔ –4n ≥ –1 b.
⇔
1
⇔
n= 4
n≤ 4 Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar jika D = 0: –4n + 1= 0 ⇔ –4n = –1 1
Matematika Kelas X
35
c.
Persamaan kuadrat mempunyai akar real dan berlainan jika D > 0: –4n + 1> 0 ⇔ –4n > –1 1
⇔
d.
8. a.
n< 4 Persamaan kuadrat mempunyai akar imajiner jika D < 0: –4n + 1< 0 ⇔ –4n < –1 1
⇔
x1 × x2 = 1 ⇒
b.
n> 4
7. 3x2 + 2x – 18 = 0 b
2
x1 + x2 = – a = – 3 x1 × x2 = a = 3 = –6 a. x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 9. a.
4
= 9 + 12 = 12 9 1 x12
+
1 x22
=
x 22 x12 x 22
=
x 22 + x12 x12 x 2 2
=
x12 + x 2 2 (x1 x 2 )2
=
4 12 9 ( −6)2
+
x12 x12 x 22
b.
2
2
=63 20
= 3 2
x1 × x2 = 3 × 6 = 4 Persamaan kuadrat:
28
= 81 c.
+
= (x1 + = (x1 + = = =
d.
x12 x2
+
x22 x1
20
x2)3 x2)3
–
3x12
x2 –
=
x13 x1 x 2
=
x13 + x 23 x1 x 2
+
)
x 23 x1 x 2
8 −12 27
−6
166
= 81 4
= 2 81 36
x2 – 3 x + 4 = 0 ⇔ 3x2 – 20x + 12 = 0
3x1x22
– 3x1x2(x1 + x2)
2 2 (– 3 )3 – 3(–6)(– 3 8 – 27 – 12 8 –12 27
=
2
x1 = 3 dan x2 = 6 x1 + x2 = 3 + 6
112
x23
x1 = –8 dan x2 = 5 x1 + x2 = –8 + 5 = –3 x1 × x2 = –8 × 5 = –40 Persamaan kuadrat: x2 + 3x – 40 = 0
= 9 ⋅ 36
x13
1
x = 3 atau x = 3 1
2
b.
=1
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat adalah 3 atau 3.
= (– 3 )2 – 2(–6) 4
2p − 7 p−2
⇔ 2p – 7 = p – 2 ⇔ p=5 Jadi, nilai p = 5. (p – 2)x2 – 2px + 2p – 7 = 0 ⇒ (5 – 2)x2 – 2(5)x + 2(5) – 7 = 0 ⇔ 3x2 – 10x + 3 = 0 ⇔ (3x – 1)(x – 3) = 0 ⇔
−18
c
(p – 2)x2 – 2px + 2p – 7 = 0 a = p – 2, b = –2p, c = 2p – 7 Persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang saling berkebalikan, berarti:
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
c.
x1 = – 3 dan x2 = –3 3 x1 + x2 = – 3 + (–3 3 ) = –4 3 x1 × x2 = – 3 × (–3 3 ) = 9 Persamaan kuadrat: x2 + 4 3 x + 9 = 0
d.
x1 = 4 –
5 dan x2 = 4 +
x1 + x2 = (4 –
5 ) + (4 +
5 5)=8
x1 × x2 = (4 – 5 )(4 + 5 ) = 16 – 5 = 11 Persamaan kuadrat: x2 – 8x + 11 = 0
10. a dan b akar-akar persamaan x2 – x + 3 = 0 maka: α + β = 1 dan α × β = 3 a. x2 – (x1 + x2)x + x1· x2 = 0 1
x2 – ( α + 1 +
=0
⇔
x2 –
=0
⇔ x2 – ( ⇔ ⇔ ⇔ b.
A.
1 1 1 )x + α + 1 β+1 β+1 β + 1+ α + 1 1 ( (α + 1)(β + 1) )x + (α + 1)(β + 1)
⇔
α+β+2 1 )x + αβ + (α + β) + 1 αβ + (α + β) + 1 1+ 2 1 x2 – ( 3 + 1 + 1 )x + 3 + 1+ 1 3 1 x2 – 5 x + 5
c.
x2 – (x1 + x2)x + x1 × x2 = 0 ⇔ x2 – (α3 + β3)x + α3 × β3 = 0 ⇔x2 – ((α + β)3 – 3αβ(α + β))x + (αβ)3 = 0 ⇔ x2 – (13 – 3 × 3 × 1)x + 33 = 0 ⇔ x2 + 8x + 27 = 0
d.
x2 – (x1 + x2)x + x1 × x2 = 0 α
α
β
β
=0
⇔ x2 – ( β + α )x + β × α = 0
=0
⇔
x2 – (
=0
⇔ x2 – (
(α + β)2 – 2αβ )x α×β
5x – 3x + 1 = 0 2
x2
– (x1 + x2)x + x1 × x2 = 0 ⇔ x2 – (α2 + β2)x + α2 × β2 = 0 ⇔x2 – ((α + β)2 – 2α × β)x + (αβ)2 = 0 ⇔ x2 – (12 – 2 × 3)x + 32 = 0 ⇔ x2 + 5x + 9 = 0
Pilihan Ganda
1. Jawaban: d f(x) = x2 – 4x + 12 f(2) = (2)2 – 4(2) + 12 = 4 – 8 + 12 =8 Grafik fungsi f(x) melalui titik (2, 8), tetapi tidak melalui titik (2, 24) dan (2, 16). f(0) = (0)2 – 4(0) + 12 = 0 – 0 + 12 = 12 Grafik fungsi f(x) melalui titik (0, 12), tetapi tidak melalui titik (0, 8). f(–2) = (–2)2 – 4(–2) + 12 = 4 + 8 + 12 = 24 Grafik fungsi f(x) melalui titik (–2, 24). Jadi, grafik fungsi f(x) melalui titik (–2, 24). 2. Jawaban: e g(x) = 2x2 + 5x + p Grafik fungsi g(x) melalui titik (3, –2), berarti: g(3) = –2 ⇔ 2(3)2 + 5(3) + p = –2 ⇔ 18 + 15 + p = –2 ⇔ 33 + p = –2 ⇔ p = –35 Jadi, nilai p = –35.
⇔
x2 – (
⇔ ⇔
α 2 + β2 α×β
)x + 1 = 0
12 − 2 × 3 )x 3 5 x2 + 3 x
+1=0 +1=0 +1=0
3x2 + 5x + 3 = 0
3. Jawaban: b h(x) = 3x2 + 4 Grafik fungsi h(x) melalui titik (a, 16), berarti: h(a) = 16 ⇔ 3a2 + 4 = 16 ⇔ 3a2 – 12 = 0 ⇔ a2 – 4 = 0 ⇔ (a + 2) (a – 2) = 0 ⇔ a = –2 atau a = 2 Jadi, nilai a = –2. 4. Jawaban: b y = 5x2 – 20x + 1 a = 5, b = –20, c = 1 Persamaan sumbu simetri: b
−20
x = – 2a = – 2 × 5 = 2 Jadi, persamaan sumbu simetrinya x = 2. 5. Jawaban: c f(x) = –x2 + 4x + 8 a = –1 < 0 berarti grafik membuka ke bawah atau mempunyai titik balik maksimum. 6. Jawaban: b Fungsi kuadrat: y = 3x2 – x – 2 Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X, berarti: y=0 ⇒ 3x2 – x – 2 = 0 ⇔ (3x + 2)(x – 1) = 0 2
⇔ x = – 3 dan x = 1
Matematika Kelas X
37
2
Diperoleh titik potong dengan sumbu X: (– 3 , 0) dan (1, 0) Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu Y, berarti: x = 0 ⇒ y = 3(0)2 – (0) – 2 = –2 Diperoleh titik potong dengan sumbu Y: (0, –2) 2
Jadi, titik potongnya (– 3 , 0), (1, 0), dan (0, –2). 7. Jawaban: c Grafik fungsi f(x) = 8 – 2x – x2 terbuka ke bawah sehingga f(x) mempunyai nilai minimum bilangan real yang sangat kecil (negatif tak hingga). 8. Jawaban: d Fungsi kuadrat y = (x – 6)(x + 2). Titik potong terhadap sumbu X adalah (6, 0) dan (–2, 0). Absis puncak xP =
x1 + x 2 2
=
6 + (−2) 2
=2
Ordinat puncak yP = (2 – 6)(2 + 2) = –4(4) = –16 Koordinat titik puncak atau titik balik (2, –16). 9. Jawaban: a f(x) = –3x2 + 12x + 8 a = –3 < 0 berarti parabola terbuka ke bawah. b
12
x = – 2a = – 2(−3) = 2 Nilai maksimum fungsi f: f(2) = –3(2)2 + 12(2) + 8 = –12 + 24 + 8 = 20 Daerah hasil fungsi f adalah {y | y ≤ 20}. 10. Jawaban: a y = –x2 – 2x + 8 1) Menentukan titik potong terhadap sumbu X (y = 0). –x2 – 2x + 8 = 0 ⇔ x2 + 2x – 8 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 2) = 0 ⇔ x + 4 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –4 atau x=2 Diperoleh titik potong (–4, 0) dan (2, 0). 2) Menentukan titik potong terhadap sumbu Y (x = 0). y=0–0+8=8 Diperoleh titik potong (0, 8). 3) Koefisien dari x2 bernilai negatif (a < 0), maka grafik terbuka ke bawah. Jadi, grafik yang sesuai gambar pada pilihan a.
38
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
11. Jawaban: d h(t) = 30t – 5t2 = –5t2 + 30 h(t) merupakan parabola dengan sumbu simetri t b
= – 2a = –
30 2( −5)
=3
Nilai maksimum h: h(3) = 30(3) – 5(3)2 = 90 – 45 = 45 Jadi, tinggi bola maksimum 45 m. 12. Jawaban: d Grafik menghadap ke bawah berarti a < 0. Grafik memotong sumbu Y di c negatif berarti c < 0. Grafik tidak memotong sumbu X berarti D < 0. 13. Jawaban: b Jika koordinat titik balik fungsi kuadrat adalah (p, q), rumusnya: f(x) = a(x – p)2 + q Sebaliknya, koordinat titik balik fungsi kuadrat f(x) = 2(x + 2)2 + 3 adalah (–2, 3). 14. Jawaban: d Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik (1, 0) dan (3, 0), berarti persamaannya: y = a(x – 1)(x – 3) Grafik fungsi kuadrat melalui titik (–1, –16), berarti: y = a(x – 1)(x – 3) ⇒ –16 = a(–1 – 1)(–1 – 3) ⇔ –16 = a(–2)(–4) ⇔ –16 = 8a ⇔ a = –2 Jadi, persamaan grafik fungsi kuadratnya: y = –2(x – 1)(x – 3) ⇔ y = –2(x2 – 4x + 3) ⇔ y = –2x2 + 8x – 6 15. Jawaban: d Dari gambar diperoleh koordinat puncak (p, q) = (3, –2), berarti persamaannya: y = a(x – p)2 + q ⇔ y = a(x – 3)2 – 2 Grafik melalui titik (2, 0), sehingga diperoleh: y = a(x – 3)2 – 2 ⇔ 0 = a(2 – 3)2 – 2 ⇔ 0=a–2 ⇔ a=2
Persamaan grafik fungsi kuadrat: y = a(x – 3)2 – 2 ⇔ y = 2(x – 3)2 – 2 ⇔ y = 2(x2 – 6x + 9) – 2 ⇔ y = 2x2 – 12x + 16 B.
b.
b
x = – 2a = –
⇔ q=
1 –3
Jadi, nilai p = 25 dan q =
3. a.
f(x) = 2x2 + 6x + 15 → a = 2 > 0 −b
6
x = 2a = – 2 × 2 6
=–4 3
=–2 Nilai minimum fungsi: 3
1
Grafik mencapai nilai maksimum di titik (p, 1 3 ), berarti: −D 4a
atau 1.
2. g(x) = x2 – 3x + r a. Grafik fungsi melalui (1, 4) g(1) = 4 ⇒ 1 – 3 + r = 4 ⇔ r = 6 Grafik fungsi melalui (5, p). g(5) = p ⇒ p = 52 – 3(5) + 6 = 25 – 15 + 6 = 16 Jadi, r = 6 dan p = 16. b. Grafik fungsi memotong sumbu Y apabila x = 0. g(x) = x2 – 3x + 6 g(0) = 02 – 3(0) + 6 =0–0+6 =6 Jadi, koordinat titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 6).
3
3
f(– 2 ) = 2(– 2 )2 + 6(– 2 ) + 5 9
= 2 –9+5 1
= 2
=4
4. y = –3x2 + nx + 1 a = –3, b = n, c = 1
=13 ⇒
−(n2 − 4(−3)(1)) 4( −3)
⇔
−(n2 + 12) −12
⇔
n2 + 12 12
1
atau q = 1 1 –3
8 2 × (−1)
Nilai maksimum fungsi: g(4) = –(4)2 + 8(4) – 3 = –16 + 32 – 3 = 13 Daerah hasil: {y | y ≤ 13}.
Uraian
1. f(x) = 3x2 – 2x – 8 Grafik fungsi f(x) melalui titik (–3, p), berarti: f(–3) = p ⇒ p = 3(–3)2 – 2(–3) – 8 = 27 + 6 – 8 = 25 Grafik fungsi f(x) melalui titik (q, –7), berarti: f(q) = –7 ⇒ 3q2 – 2q – 8 = –7 ⇔ 3q2 – 2q – 1 = 0 ⇔ (3q + 1)(q – 1) = 0
g(x) = –x2 + 8x – 3 → a = –1 < 0
1)
2)
1
=13 4
= 3 4
= 3 n2 + 12 = 16 n2 = 4 n=±2
⇔ ⇔ ⇔ Untuk n = 2 y = –3x2 + 2x + 1 b
2
b
−2
1
p = – 2a = – 2(−3) = 3 Untuk n = –2 y = –3x2 – 2x + 1
1
p = – 2a = – 2(−3) = – 3
Jadi, pasangan nilai n dan p yang mungkin adalah 1
1
2 dan 3 atau –2 dan – 3 . 5. y = f(x) = x2 – 4x – 5 a. Grafik memotong sumbu X jika y = 0, diperoleh: x2 – 4x – 5 = 0 ⇔ (x + 1)(x – 5) = 0 ⇔ x = –1 atau x = 5 Titik potong grafik dengan sumbu X yaitu (–1, 0) dan (5, 0). Grafik memotong sumbu Y jika x = 0, diperoleh: y = f(0) = 02 – 4 · 0 – 5 = –5 Titik potong grafik dengan sumbu Y yaitu (0, –5). Jadi, titik-titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y berturut-turut (–1, 0), (5, 0), dan (0, –5).
1
Daerah hasil: {y | y ≥ 2 }.
Matematika Kelas X
39
b.
Oleh karena a = 1 > 0, maka parabola terbuka ke atas dan titik puncaknya minimum. Koordinat titik puncak (xP, yP). −4
b
xP = – 2a = – 2(1) = 2 yP = f(xP) = f(2) = 22 – 4(2) – 5 = 4 – 8 – 5 = –9 Jadi, koordinat titik baliknya (2, –9). c.
Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x – 5: Y
Nilai a dicari dengan mensubstitusikan (0, 3) ke persamaan y = a(x + 1)(x – 3). Diperoleh: 3 = a(0 + 1)(0 – 3) ⇔ 3 = a(1)(–3) ⇔ 3 = –3a ⇔ a = –1 Persamaan grafiknya: y = –1(x + 1)(x – 3) ⇔ y = –(x2 – 2x – 3) ⇔ y = –x2 + 2x + 3 8. a.
–1 0
2
5
X
–5
–9
6. f(x) = x2 + 2x + 8 a. Memotong sumbu Y berarti x = 0. f(0) = 02 + 2 × 0 + 8 = 0 + 0 + 8 = 8 Koordinat titiknya (0, 8). b.
b
b.
2
x = – 2a = – 2 × 1 = –1 f(–1) = (–1)2 + 2(–1) + 8 = 1 – 2 + 8 = 7 Oleh karena a = 1 > 0 maka grafik terbuka ke atas dan jenis titik puncaknya minimum. Jadi, koordinat titik minimum parabola (–1, 7).
c.
Grafik fungsi f(x):
9. a.
Y
Fungsi kuadrat dengan koordinat titik puncak (2, 1): f(x) = a(x – 2)2 + 1 Grafik melalui titik (4, –3), berarti: f(4) = –3 ⇔ a(4 – 2)2 + 1 = –3 ⇔ 4a = –4 ⇔ a = –1 Rumus fungsi kuadrat: f(x) = –1(x – 2)2 + 1 = –(x2 – 4x + 4) + 1 = –x2 + 4x – 3 Grafik memotong sumbu X, berarti: f(x) = 0 ⇔ –x2 + 4x – 3 = 0 ⇔ x2 – 4x + 3 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 3) = 0 ⇔ x = 1 atau x = 3 Jadi, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik (1, 0) dan (3, 0). h(t) = 60t – 7,5t2 Peluru mencapai maksimum untuk D
h(t) = – 4a
8
=–
7
=– =
–1 0
X
7. Grafik memotong sumbu X di titik (–1, 0) dan (3, 0), maka persamaannya: y = a(x – x1)(x – x2) ⇔ y = a(x + 1)(x – 3) Grafik melalui titik (0, 3).
40
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
b.
(b2 − 4ac) 4a (602 − 4 × (−7,5) × 0) 4( −7,5)
−(3.600) −30
= 120 Jadi, tinggi maksimum peluru itu 120 meter. Waktu yang diperlukan sehingga mencapai tinggi maksimum: −b
t = 2a −60
⇔ t = 2(−7,5) ⇔ t =4 Jadi, waktu yang diperlukan untuk mencapai tinggi maksimum peluru itu adalah 4 detik.
10. a.
1
Luas ∆AEF = 2 × AE × AF
Luas ∆CEF = luas persegi ABCD – luas ∆AEF – luas ∆EBC – luas ∆CDF = 64 – (4x – x2) – (32 – 4x) – 8x = 64 – 4x + x2 – 32 + 4x – 8x = 32 – 8x + x2 Luas segitiga CEF: L(x) = 32 – 8x + x2 Luas minimum:
b.
1
= 2 × x × (8 – 2x) = 4x – x2 1
Luas ∆EBC = 2 × EB × BC 1
c.
= 2 × (8 – x) × 8 = 32 – 4x
D
Lmin = – 4a
1
Luas ∆CDF = 2 × CD × DF =
1 2
× 8 × 2x
= 8x
=–
(−8)2 − 4(1)(32) 4(1)
=–
64 − 128 4
64
= 4 = 16 Jadi, luas minimum segitiga CEF adalah 16 cm2.
A.
Jadi, garis y = 2x + 10 tidak berada di atas garis y = 1 – x pada interval x ≤ –3.
Pilihan Ganda
1. Jawaban: b 3 2
1
4
(x – 4) + 6 < 3x – 3
––––––––––––––––––––– × 6 ⇔ 9(x – 4) + 1 < 18x – 8 ⇔ 9x – 36 + 1 < 18x – 8 ⇔ 9x – 35 < 18x – 8 ⇔ 8x – 18x < 35 – 8 ⇔ –9x < –27 ⇔ x>3 Himpunan penyelesaian: {x| x > 3} 2. Jawaban: e Penyelesaian pertidaksamaan 6 – 2(y – 3) ≤ n(2y – 4) adalah y ≤ 1, berarti batas penyelesaiannya 6 – 2(y – 3) = n(2y – 4) dipenuhi oleh y = 1 yaitu: 6 – 2(1 – 3) = n(2(1) – 4) ⇔ 6 + 4 = –2n ⇔ 2n = –10 ⇔ n = –5 Jadi, nilai n = –5. 3. Jawaban: d Garis y1 = 2x + 10 tidak berada di atas garis y2 = 1 – x, berarti y1 tidak lebih dari y2 (y1 ≤ y2). y1 ≤ y2 ⇔ 2x + 10 ≤ 1 – x ⇔ 3x ≤ –9 ⇔ x ≤ –3
4. Jawaban: c Kuadrat dari x + 2 kurang dari 16, berarti: (x + 2)2 < 16 ⇔ – 16 < (x + 2) < 16 ⇔ –4 < x + 2 < 4 ⇔ –4 – 2 0 ⇔ (x + 3 + 2)(x + 3 – 2) > 0 ⇔ (x + 5)(x + 1) > 0
⇔
(2x − 5) − 2(x + 3) (x + 3)(2x − 5)
≥0
⇔
2x − 5 − 2x − 6 (x + 3)(2x − 5)
≥0
⇔
−11 (x + 3)(2x − 5)
≥0
–5
–1
⇔ x < –5 atau x > –1 Nilai x yang memenuhi kedua pertidaksamaan di atas adalah x < –5 atau x > 5. Jadi, HP = {x | x < –5 atau x > 5}. 4−x 2x + 3
≤
5 5
Syarat: (x + 3)(2x – 5) ≠ 0 ⇔ x ≠ –3 atau x ≠ 2 +
2x − 5
⇔
4 − x − 2x + 5 2x + 3
≤0
⇔
9 − 3x 2x + 3
≤0
5
x 2 − 4x + 3 ≤0 x 2 − 3x − 10 (x − 1)(x − 3) ⇔ (x − 5)(x + 2) +
–
≤ 0 dengan syarat x ≠ 5, x ≠ –2 +
1
– 3
+ 5
Jadi, penyelesaiannya –2 < x ≤ 1 atau 3 ≤ x < 5. 13. Jawaban: a
3
2x + 3 = 0 ⇔ x = – 2
x(x + 4) < 2 3
–
+
12. Jawaban: c
–2
Pembuat nol: 9 – 3x = 0 ⇔ x = 3
3 –2
+
5 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | –3 < x < 2 , x ∈ R}.
⇔ 2x + 3 – 2x + 3 ≤ 0
–
–
–3
2x − 5 2x + 3
4−x
– 2x − 5 ≥ 0
Pembuat nol x = –3 dan x = 2
9. Jawaban: a
3
3
Penyelesaian: x < – 2 atau x ≥ 3.
42
0 ⇔ (x + 5)(x – 5) > 0
12x 3x
Batas-batas penyelesaian: 4 – 12x = 0 dan 3x = 0
1
Penyelesaian pertidaksamaan: x < –5 atau x > 1 Jadi, kurva y = x2 + 4x – 5 berada di bawah sumbu X pada interval x < –5 atau x > 1.
2)
4 3x
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
⇔ x(x + 4) < (2 3 )2 ⇔ x2 + 4x < 12 2 ⇔ x + 4x – 12 < 0 ⇔ (x + 6) (x – 2) < 0
Pembuat nol: x = –6 atau x = 2 Grafik penyelesaian: +
–
+
11 11
2
Jadi, HP = {x | x < –5 atau x > 3 }.
Syarat: x(x + 4) ≥ 0 Pembuat nol: x = 0 atau x = –4 –
+
B. Uraian 1. a. 2(x – 5) ≤ 4(x + 2) – x + 3 ⇔ 2x – 10 ≤ 4x + 8 – x + 3 ⇔ 2x – 10 ≤ 3x + 11 ⇔ –x ≤ 21 ⇔ x ≥ –21 Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear adalah x ≥ –21.
–
–4
0
Irisan kedua grafik –6 –4
0 2
Nilai x yang memenuhi: –4 ≤ x ≤ 0.
b.
14. Jawaban: d 10 − x 2 < 2 + x ⇔ 10 – x2 < (2 + x)2 ⇔ 10 – x2 < 4 + 4x + x2 ⇔ 2x2 + 4x – 6 > 0 ⇔ x2 + 2x – 3 > 0 Pembuat nol: x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 1) = 0 ⇔ x = –3 atau x = 1 +
– –3
+
− 10
b.
8
–
1
2
– 1) ≥ 3 (x + 2) – 4 –––––––––––––––––––––––– × 6 ⇔ (2x – 1) ≥ 4(x + 2) – 24 ⇔ 2x – 1 ≥ 4x + 8 – 24 ⇔ 2x – 4x ≥ 1 – 16 ⇔ –2x ≥ –15 ⇔ 2x ≤ 15 1
x≤72
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear
10
–2
1 (2x 6
⇔
1
adalah x ≤ 7 2 . d.
–3
8
adalah x < 3 .
2 + x > 0 ⇔ x > –2
− 10
x
– (x + 3) > 4 – 5 ––––––––––––––––––––––––– × 12 ⇔ 16 – 12(x + 3) > 3x – 60 ⇔ 16 – 12x – 36 > 3x – 60 ⇔ –12x – 20 > 3x – 60 ⇔ –12x – 3x > 20 – 60 ⇔ –15x > –40 ⇔ 15x < 40 x< 3 Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear
Syarat-syarat lain: a. agar mempunyai penyelesaian maka 10 – x2 ≥ 0 ⇔ ( 10 – x)( 10 + x) ≥ 0 Pembuat nol: x = – 10 dan x = 10 +
4 3
⇔
c.
1
–
+ 11 3
Penyelesaian: x < –5 atau x > 3
+
–6
– –5
10
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut 1 < x ≤ 10 . 15. Jawaban: d |2x – 3| > |x – 8| ⇔ (2x – 3)2 > (x – 8)2 ⇔ (2x – 3)2(x – 8) – (x – 8)2 > 0 ⇔ ((2x – 3) + (x – 8))((2x – 3) – (x – 8)) > 0 ⇔ (3x – 11)(x + 5) > 0
3x − 5 4
1− 2x
< +x+2 6 ––––––––––––––––––––––––––––––– × 12 ⇔ 3(3x – 5) < 2(1 – 2x) + 12x + 24 ⇔ 9x – 15 < 2 – 4x + 12x + 24 ⇔ 9x – 15 < 8x + 26 ⇔ 9x – 8x < 15 + 26 ⇔ x < 41 Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear adalah x < 41.
Matematika Kelas X
43
2. a.
3x2 + 5x – 2 ≥ 0 ⇔ (3x – 1)(x + 2) ≥ 0
3. a. 1
Batas-batas penyelesaian: x = 3 dan x = –2 +
–
+
1 3
–2
+
Diperoleh penyelesaian: x ≤ –2 atau x ≥ 1
x ≥ 3 , x ∈ R}. (2x + 3)2 + 4x + 3 < 0 ⇔ 4x2 + 12x + 9 + 4x + 3 < 0 ⇔ 4x2 + 16x + 12 < 0 ⇔ x2 + 4x + 3 < 0 ⇔ (x + 3)(x + 1) < 0 Batas-batas penyelesaian: x = –3 dan x = –1 +
– –3
c.
2 (x 3
b.
+ 2) + 1 ≤
+
4. a.
3 2
2 + 10x + 17 2x + 3
0 ⇔((x – 3) – (3x + 5))((x – 3) + (3x + 5)) > 0 ⇔ (–2x – 8)(4x + 2) > 0 1 Batas-batas penyelesaian: x = –4 dan x = – 2 – + – 1
–2
1
Diperoleh penyelesaian: –4 ≤ x ≤ – 2
Jadi, himpunan penyelesaian {x| –4 ≤ x ≤ –
b.
3x 2−x
≥ 2x + 1 3x 2−x
⇔
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
– (2x + 1) ≥ 0 (2x + 1)(2 − x) 2−x
≥0
⇔
3x − (4x − 2x 2 + 2 − x) 2−x
≥0
⇔
2x 2 − 2 2−x
≥0
3x 2−x
⇔
–
Batas-batas penyelesaian: 2x2 – 2 = 0 dan 2 – x = 0 ⇔ x2 = 1 dan x = 2 ⇔ x = ±1 dan x = 2 +
x ∈ R}.
–1,5
Penyelesaian pertidaksamaan: –1,9 ≤ x ≤ –1,5 Jadi, himpunan penyelesaiannya {x| –1,9 ≤ x ≤ –1,5, x ∈ R}.
3
44
5(2x + 3)
+ 2x + 3 < 0
⇔
+
Jadi, himpunan penyelesaian {x| x ≤ – 2 atau
1 , 2
2 2x + 3
+5 5
Batas-batas penyelesaian: x = – 2 dan x = 1 –
– 0
–––––––––––––––––––––––––––– × 3 ⇔ 2(x + 2) + 3 ≤ (2x + 1)2 ⇔ 2x + 4 + 3 ≤ 4x2 + 4x + 1 ⇔ –4x2 – 2x + 6 ≤ 0 ⇔ 2x2 + x – 3 ≥ 0 ⇔ (2x + 3)(x – 1) ≥ 0
+
Grafik fungsi f(x) di atas garis y = 5 – x apabila: f(x) > y ⇒ x2 – 6x + 5 > 5 – x ⇔ x2 – 5x > 0 ⇔ x(x – 5) > 0 +
–1
1 (2x 3
+ 5
⇔1 0 ⇒ 5p2 – 12p + 4 > 0 ⇔ (5p – 2)(p – 2) > 0 +
– 2 5
⇔ p
2
+ 3
Jadi, nilai n yang memenuhi n < –5 atau n > 3. 9. Jawaban: d Fungsi kuadrat: f(x) = (p – 2)x2 + 2px + p + 3 Fungsi kuadrat f(x) definit positif jika koefisien x2 bernilai positif dan diskriminannya bernilai negatif. 1) p – 2 > 0 ⇔ p > 2 2) D < 0 ⇔ b2 – 4ac < 0 2 ⇔(2p) – 4(p – 2)(p + 3)< 0 ⇔ 4p2 – 4(p2 + p – 6) < 0 ⇔ 4p2 – 4p2 – 4p + 24 < 0 ⇔ –4p < –24 ⇔ p>6 Nilai a yang memenuhi 1) dan 2) adalah p > 6. Jadi, fungsi kuadrat f(x) definit positif jika p > 6. 10. Jawaban: c Syarat (1): syarat agar dua akarnya berlainan: D > 0 ⇔ (–8)2 – 4(1)(2a) > 0 ⇔ 64 – 8a > 0 ⇔ a 0. (2p)2 – 4 × (p – 2) × (p – 1) > 0 ⇔ 4p2 – 4(p2 – 3p + 2) > 0 ⇔ 4p2 – 4p2 + 12p – 8 > 0 2
⇔
p> 3
. . . (i)
−2p
x1 + x2 < 0 ⇔ p − 2 < 0 ⇔ p < 0 atau p > 2 . . . (ii) p −1
8. Jawaban: a Persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berbeda jika D > 0. (n – 1)2 – 4(4 – n) > 0 ⇔ n2 – 2n + 1 – 16 + 4n > 0 ⇔ n2 + 2n – 15 > 0 ⇔ (n + 5)(n – 3) > 0 +
Syarat (2): syarat agar dua akarnya positif: x1 × x2 > 0 ⇔ 2a > 0 ⇔ a>0 Jadi, yang memenuhi syarat (1) dan syarat (2) adalah 0 < a < 8.
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
x1 × x2 > 0 ⇔ p − 2 > 0 ⇔ p < 1 atau p > 2 . . . (iii) Dari ketiga syarat di atas diperoleh nilai p yang memenuhi adalah p > 2. 12. Jawaban: c Substitusikan h(t) = t + 14 ke h(t) = 14 + 9t – t2 14 + 9t – t2 = t + 14 ⇔ t2 – 8t = 0 ⇔ t(t – 8) = 0 ⇔ t = 0 atau t = 8 Tampak bahwa kedua peluru itu bertemu ketika t = 0 (ketika mulai ditembakkan) dan t = 8. 13. Jawaban: a Misalkan panjangnya p, maka lebarnya (p – 4). L = p(p – 4) = 96 ⇔ p2 – 4p = 96 2 ⇔ p – 4p – 96 = 0 ⇔ (p – 12)(p + 8) = 0 ⇔ p = 12 atau p = –8 (tidak mungkin) Jadi, panjangnya 12 cm. 14. Jawaban: c Ketinggian bola pada saat di tanah adalah nol. h(t) = 0 ⇔ 18t – 6t2 = 0 ⇔ 6t(3 – t) = 0 ⇔ t = 0 atau t = 3 Jadi, bola berada di udara dari detik ke-0 sampai detik ke-3 yaitu selama 3 detik.
(45 – 2x) cm
x 45 cm
Luas daerah berbayang 1.036 cm2, berarti: (45 – 2x)(36 – 2x) = 1.036 ⇔ 1.620 – 162x + 4x2 = 1.036 ⇔ 4x2 – 162x + 584 = 0 ⇔ 2x2 – 81x + 292 = 0 ⇔ (2x – 73)(x – 4) = 0 ⇔
x=
73 2
3. Misalkan kecepatan berlari = v l dengan waktu = tl dan kecepatan sepeda motor = vm dengan waktu = tm. 3
36 cm
(36 – 2x) cm
15. Jawaban: c Misalkan lebar bingkai = x cm.
atau x = 4
73
Lebar bingkai 2 cm tidak mungkin. Jadi, lebar bingkai 4 cm. B. Uraian 1. Persamaan kuadrat: 2x2 – (m + 2)x + 2m – 2 = 0 Diperoleh: a = 2, b = –(m + 2), dan c = 2m – 2 D = b2 – 4ac = (–(m + 2))2 – 4 × 2 × (2m – 2) = m2 + 4m + 4 – 16m + 16 = m2 – 12m + 20 = (m – 2)(m – 10) a. Persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan: D > 0 ⇔ (m – 2)(m – 10) > 0 ⇔ m < 2 atau m > 10 Jadi, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan jika m < 2 atau m > 10. b. Persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama: D = 0 ⇒ (m – 2)(m – 10) = 0 ⇔ m = 2 atau m = 10 Jadi, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama jika m = 2 atau m = 10. c. Persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real: D < 0 ⇔ (m – 2)(m – 10) < 0 ⇔ 2 < m < 10 Jadi, persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real jika 2 < m < 10. 2. y = x2 – 2ax + 3a + 4 tidak memotong sumbu X berarti persamaan x2 – 2ax + 3a + 4 = 0 tidak mempunyai akar real (D < 0). D < 0 ⇔ (–2a)2 – 4 × 1 × (3a + 4) < 0 ⇔ 4a2 – 12a – 16 < 0 ⇔ a2 – 3a – 4 < 0 ⇔ (a + 1)(a – 4) < 0 ⇔ –1 < a < 4 Jadi, nilai a yang memenuhi adalah –1 < a < 4.
Diketahui bahwa tA + tm = 45 menit = 4 jam dan vs = vA + 14. 3
tA + tm = 4 3 vA
= 4
5 v A + 14
= 4
3(v A + 14) + 5v A v A (v A + 14)
= 4
3 vA
⇔ ⇔
3
5 vm
⇔
+
+
3 3
⇔ 4(3vA + 42 + 5vA) = 3(vA2 + 14vA) ⇔
32vA + 168 = 3vA2 + 42vA
⇔ 3vA2 + 10vA – 168 = 0 ⇔ (3vA + 28)(vA – 6) = 0 28
⇔ vA = – 3 atau vA = 6 Jadi, rata-rata kecepatan lari Edo 6 km/jam. 4. P = (I1 + I2)2 × R ⇔ 80 = (2I2 + I2)2 × 5 ⇔ (3I2)2 = 16 ⇔ 3I2 = ±4 4
⇔
I2 = ± 3 4
4
⇔ I2 = 3 = 1,33 atau I2 = – 3 (tidak mungkin) Jadi, I2 = 1,33 A. 5. Misalkan banyaknya komputer yang dibeli = n, maka banyak komputer yang terjual = n – 1 Harga beli setiap komputer = Harga jual setiap komputer =
120.000.000 n 135.000.000 n−1
Untuk setiap komputer maka untung = harga jual – harga beli 135.000.000
120.000.000
⇔ – = 1.500.000 n−1 n ––––––––––––––––––––––––––––––––– × n(n – 1) ⇔ n×135.000.000 – (n – 1)120.000.000 = 1.500.000×n(n – 1) ⇔ 270n – (n – 1)240 = 3n(n – 1) ⇔ 270n – 240n + 240 = 3n2 – 3n ⇔ 3n2 – 3n – 30n – 240= 0 ⇔ 3n2 – 33n – 240 = 0 ⇔ n2 – 11n – 80 = 0 ⇔ (n – 16)(n + 5) = 0 ⇔ n = 16 atau n = –5 (tidak mungkin) Jadi, jumlah komputer yang terjual = n – 1 = 16 – 1 = 15 komputer.
Matematika Kelas X
47
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Pada gambar I, ada anggota domain A yang tidak memiliki kawan di B dan ada anggota domain yang memiliki dua pasangan di B. Sedangkan pada diagram II, ada anggota domain A yang memiliki dua pasangan di B, sehingga I dan II bukan fungsi. Pada diagram panah III dan IV, setiap anggota domain (A) dipasangkan dengan tepat satu anggota kodomain (B) sehingga III dan IV merupakan fungsi. 2. Jawaban: c {(0, a), (1, a), (2, b), (3, b), (4, e)} bukan fungsi dari himpunan P ke himpunan Q karena 4 ∈ P dikawankan ke e ∉ Q. 3. Jawaban: e 2 − x 2 untuk x < − 2 f(x) = 4x − 5 untuk x ≥ − 2 Untuk x = –1 > –2 maka f(x) = 4x – 5. Jadi, f(–1) = 4(–1) – 5 = –9. 4. Jawaban: d f: x → 4x – n berarti f(x) = 4x – n. f(3) = 18 ⇒ 4(3) – n = 18 ⇔ 12 – n = 18 ⇔ –n = 18 – 12 ⇔ n = –6 Diperoleh f(x) = 4x – (–6) = 4x + 6. f(–3) = 4(–3) + 6 = –12 + 6 = –6 Jadi, nilai f(–3) = –6. 5. Jawaban: a h(x) = 2x2 – 2x h(–2) = 2 × (–2)2 – 2–2 = 8 –
1 4
=
1
3 74 1
h(–1) = 2 × (–1)2 – 2–1 = 2 – 2 = 1 2 h(0) = 2 × 02 – 20 = 0 – 1 = –1 h(1) = 2 × 12 – 21 = 2 – 2 = 0 h(2) = 2 × 22 – 22 = 8 – 4 = 4 1
3
Daerah hasil {–1, 0, 1 2 , 4, 7 4 }.
6. Jawaban: d g(x) = 3 – 2x g(a) = 19 ⇒ 3 – 2a = 19 ⇔ –2a = 19 – 3 ⇔ –2a = 16 ⇔ a = –8 Jadi, nilai a adalah –8.
48
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
7. Jawaban: e 1
y= 4x + 3 x = 0 ⇒ y = (0) + 3 = 0 + 3 = 3 Diperoleh titik potong dengan sumbu Y (0, 3). 1
y=0 ⇒
0 = 4x + 3 1 x 4
⇔
= –3
⇔ x = –3 × 4 = –12 Diperoleh titik potong dengan sumbu X (–12, 0). Gambar yang sesuai ada pada pilihan e. 8. Jawaban: b g(x) = x2 + px + 6 g(2) = 18 ⇒ 22 + p(2) + 6 = 18 ⇔ 4 + 2p + 6 = 18 ⇔ 2p = 8 ⇔ p=4 9. Jawaban: d Mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan. x2 + 3x – 18 = 0 ⇔ (x + 6)(x – 3) = 0 ⇔ x = –6 atau x = 3 Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut –6 dan 3. 10. Jawaban: c 2x2 + 4x – 5 = 0 a = 2, b = 4, c = –5 D = b2 – 4ac = (4)2 – 4(2)(–5) = 16 + 40 = 56 −b ± D 2a
−b ± 56 4
1
= –1 ± 2 14 Jadi, penyelesaian persamaan kuadrat tersebut x1,2 =
1
=
x = –1 ± 2 14 . 11. Jawaban: d Substitusikan x = 8 ke dalam persamaan (x – 3)2 – n = 0. (x – 3)2 – n = 0 ⇔ (8 – 3)2 – n = 0 ⇔ n = 52 = 25 Diperoleh persamaan kuadrat: (x – 3)2 – 25 = 0 (x – 3)2 – 25 = 0 ⇔ (x – 3)2 = 25 ⇔ x–3=±5 ⇔ x=3±5 ⇔ x = –2 atau x = 8 Jadi, nilai akar yang lain adalah –2.
12. Jawaban: a 3x2 + 10x – 8 = 0 ⇔ (3x – 2)(x + 4) = 0 2
⇔ x = 3 atau x = –4 2
Oleh karena x2 > x1, maka x1 = –4 dan x2 = 3 . 2
x1 + 3x2 = –4 + 3( 3 ) = –4 + 2 = –2 Jadi, nilai x1 + 3x2 = –2. 13. Jawaban: d Persamaan kuadrat: x2 – 12x + 35 = 0 mempunyai penyelesaian x1 dan x2. Dengan memfaktorkan, diperoleh: x2 – 12x + 35 = 0 ⇔ (x – 7)(x – 5) = 0 ⇔ x = 7 atau x = 5 Oleh karena x1 > x2 maka x1 = 7 dan x2 = 5. x12 – x22 = 72 – 52 = 49 – 25 = 24 14. Jawaban: b x2 – 3x – 5 = 0 Diperoleh: a = 1, b = –3, c = –5 x1 + x2 = x1 × x2 =
−3 b – =– 1 a c −5 = 1 = a
=3 –5
(x1 + x2)2 + 3x1 × x2 = (3)2 + 3(–5) = 9 – 15 = –6 Jadi, nilai (x1 + x2)2 + 3x1 × x2 = –6. 15. Jawaban: b Persamaan kuadrat: 2x2 – 3x + 5 = 0 mempunyai penyelesaian α dan β. α+β=
b –a
c
−3 2
=–
=
3 2
5
αβ = a = 2 α β
+
β α
= = = = =
α2
+ β2
αβ (α + β)2 − 2αβ αβ 3 2
9 4
2
− 2 5 5 2
−5 5 2
9 − 20 10
2
4
× 4
16. Jawaban: c Persamaan kuadrat: x2 + (a – 1)x + 2 = 0 Diperoleh: α + β = a – 1 dan α × β = 2 Diketahui α = 2β, maka: α×β=2 ⇔ 2β × β = 2 ⇔ β2 = 1 ⇔ β = ±1 Untuk β = 1 α = 2β = 2(1) = 2 α+β=a–1 ⇔ 2+1=a–1 ⇔ a=4 Untuk β = –1 α = 2β = 2(–1) = –2 α+β=a–1 ⇔(–2) + (–1) = a – 1 ⇔ a = –2 Oleh karena a > 0 maka a = 4. 17. Jawaban: e Persamaan kuadrat x2 + 4x + p = 0. Diperoleh: x1 + x2 = –4 x1x2 = p x12 + x22 = 12 ⇔ (x1 + – 2x1x2 = 12 ⇔ (–4)2 – 2p = 12 ⇔ 16 – 2p = 12 ⇔ 4 – 2p = 0 ⇔ p =2 Jadi, nilai p = 2. x2)2
18. Jawaban: b x2 – 6x + 3 = 0 Diperoleh: a = 1, b = –6, c = 3 −6 b =– 1 a c 3 = 1 =3 a
α+β=– αβ =
=6
(3α + 1) + (3β + 1) = 3α + 3β + 2 = 3(α + β) + 2 = 3(6) + 2 = 18 + 2 = 20 (3α + 1)(3β + 1) = 3α(3β + 1) + (3β + 1) = 9αβ + 3α + 3β + 1 = 9αβ + 3(α + β) + 1 = 9(3) + 3(6) + 1 = 27 + 18 + 1 = 46 Persamaan kuadrat baru: x2 – 20x + 46 = 0.
11
= – 10
Matematika Kelas X
49
19. Jawaban: c Grafik memotong sumbu X jika y = 0. y = f(x) = (x – 1)2 – 4 ⇔ (x – 1)2 – 4 = 0 ⇔ (x – 1)2 = 4 ⇔ x – 1 = ±2 ⇔ x=1±2 ⇔ x = 3 atau x = –1 Jadi, titik potongnya (–1, 0) dan (3, 0). 20. Jawaban: c y = f(x) = ax2 – 5x – 3 memotong sumbu X di 1
(– 2 , 0) berarti: 1
24. Jawaban: c f(x) = ax2 + bx + c f(2) = 22a + 2b + c ⇔ 0 = 4a + 2b + c . . . (1) f(4) = 42a + 4b + c ⇔ 0 = 16a + 4b + c . . . (2) Sumbu simetri x =
f(– 2 ) = 0 1
1
⇔a(– 2 )2 – 5(– 2 ) – 3 = 0 1
5
⇔ a× 4 + 2 –3=0 –––––––––––––––––––––– × 4 ⇔ a + 10 – 12 = 0 ⇔ a–2=0 ⇔ a=2 21. Jawaban: a Dari y = f(x) = –x2 + 2x + 3 diperoleh: a = –1, b = 2, c = 3 Koordinat titik balik (xP, yP). b
xP = – 2a = –
2 2(−1)
=1
yP = f(xP) = f(1) = –(1)2 + 2(1) + 3 = –1 + 2 + 3 =4 Jadi, koordinat titik baliknya (1, 4). 22. Jawaban: d f(x) = x2 + 4x + 4 a = 1 > 0 → parabola terbuka ke atas b
4
Sumbu simetri: x = – 2a = – 2 = –2 Nilai minimum: f(–2) = (–2)2 + 4(–2) + 4 =4–8+4 =0 Koordinat titik balik minimum (–2, 0). Grafik yang sesuai pada pilihan d. 23. Jawaban: e −b
(a − 3)
Sumbu simetri x = 2a = –1 ⇔ – = –1 2(a + 2) ⇔ a – 3 = 2(a + 2) ⇔ a – 3 = 2a + 4 ⇔ a = –7 Fungsi kuadrat f(x) = (–7 + 2) x2 + (–7 – 3) x – 20 ⇔ f(x) = –5x2 – 10x – 20 50
Nilai ekstrem: f(–1) = –5(–1)2 – 10(–1) – 20 = –5 + 10 – 20 = –15 Jadi, nilai ekstrem fungsi kuadrat tersebut maksimum –15.
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
2+4 2
=3
Titik puncak (3,5) ⇒ 5 = 32a + 3b + c 5 = 9a + 3b + c . . . (3) Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2): 4a + 2b + c = 0 16a + 4b + c = 0 –––––––––––––– – –12a – 2b = 0 ⇔ –12a = 2b ⇔ –6a = b Eliminasi c dari persamaan (2) dan (3): 16a + 4b + c = 0 9a + 3b + c = 5 –––––––––––––– – 7a + b = –5 . . . (4) Substitusikan b = –6a ke dalam persamaan (4) 7a + (–6a) = –5 ⇔ a = –5 Substitusikan a = –5 ke dalam persamaan b = – 6a. b = (–6) × (–5) = 30 Substitusikan a = –5 dan b = 30 ke dalam persamaan (1): 4a + 2b + c = 0 ⇔ 4(–5) + 2(30) + c = 0 ⇔ –20 + 60 + c= 0 ⇔ c = –40 Jadi, fungsi kuadrat tersebut f(x) = –5x2 + 30x – 40. 25. Jawaban: a Dari gambar diketahui bahwa grafik memotong sumbu X di titik x1 = 2 dan x2 = 8, maka persamaan grafiknya: y = a(x – x1)(x – x2) = a(x – 2)(x – 8) Grafik melalui titik (4, 8) maka: ⇒ 8 = a(4 – 2)(4 – 8) ⇔ 8 = a(2)(–4) ⇔ 8 = –8a ⇔ a = –1
30. Jawaban: e Dua akar berkebalikan maka x1 × x2 = 1
Persamaan grafik menjadi: y = –1(x – 2)(x – 8) = –1(x2 – 10x + 16) = –x2 + 10x – 16
⇔ ⇔ ⇔
26. Jawaban: d –x2 + 4x + 5 ≤ 0 ⇔ (–x + 5)(x + 1) ≤ 0
+
−b
B.
5
Himpunan penyelesaian: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 5}. 27. Jawaban: b x(x + 3) – 6 ≥ 6x + 4 ⇔ x2 + 3x – 6 ≥ 6x + 4 2 ⇔ x – 3x – 10 ≥ 0 ⇔ (x – 5)(x + 2) ≥ 0 –
+
+
–2
2. a.
28. Jawaban: d 1
b.
1
1
⇔
3 − x − 2x 2x(3 − x)
≤0
⇔
3 − 3x 2x (3 − x)
≤0
⇔
3(1 − x) 2x(3 − x)
≤0
+ 0
– 1
+ 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | x < 0 dan 1 ≤ x < 3, x ∈ R} 29. Jawaban: d Syarat parabola memotong di dua titik, D > 0. b2 – 4ac > 0 2 ⇔ (–3m) – 4m(3n) > 0 ⇔ 9m2 – 12mn > 0 ⇔ 3m2 – 4mn > 0 ⇔ m(3m – 4n) > 0 4n
Pembuat nol: m = 0 atau m = 3 . Grafik penyelesaian: +
– 0
2⋅
3 2
−1
3
2
= 3
f(x) = 2x2 – x + n f(2) = –12 ⇒ 2(2)2 – (2) + n ⇔ 8–2+n ⇔ n+6 ⇔ n
= –12 = –12 = –12 = –18
f(x) = 2x2 – x – 18. f(–1) = 2(–1)2 – (–1) – 18 = 2 + 1 – 18 = –15 Jadi, nilai f(–1) = –15.
3. Dari persamaan kuadrat x2 + (a – 1)x – 90 = 0 diperoleh: x1 + x2 = –(a – 1) = 1 – a x1 × x2 = –90
Pembuat nol fungsi: x = 1, x = 0, atau x = 3 Syarat: 2x(3 – x) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 dan x ≠ 3.
–
=
1. g = {(0, 5), (–1, 3), (–2, 1), (–3, –1), (–4, –3)} a. Domain: D = {0, –1, –2, –3, –4} Range: R = {5, 3, 1, –1, –3} b. Dari himpunan pasangan berurutan diperoleh: g(0) = 5 g(–3) = –1 g(0) – g(–3) = 5 – (–1) = 6
5
≤ 3 − x ⇔ 2x – 3 − x ≤ 0
2k − 1 3
Uraian
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x ≤ –2 atau x ≥ 5. 1 2x
3
k= 2
x1 + x2 = a =
–
–1
=1 –2k = –6 + 3 –2k = –3
⇔
Pembuat nol: x = 5 atau x = –1 –
−2k + 6 3
Oleh karena x1 = 19 + x2 maka diperoleh: x1 × x2 = –90 ⇔ (19 + x2) x2 = –90 ⇔ 19x2 + x22 = –90 2 ⇔ x2 + 19x2 + 90 = 0 ⇔ (x2 + 10)(x2 + 9) = 0 ⇔ x2 = –10 atau x2 = –9 Untuk x2 = –10 ⇒ x1 = 19 + (–10) = 9 x1 + x2 = 1 – a ⇔ –10 + 9 = 1 – a ⇔ –1 = 1 – a ⇔ a=2 Untuk x2 = –9 ⇒ x1 = 19 + (–9) = 10 x1 + x2 = 1 – a
+ 4n 3
4n
Nilai m yang memenuhi m < 0 atau m > 3 .
⇔ 10 – 9 = 1 – a ⇔ 1=1–a ⇔ a = 0 (tidak memenuhi karena a > 0) Jadi, nilai a = 2. Matematika Kelas X
51
4. 6x2 + 4x – 5 = 0 Diperoleh a = 6, b = 4, c = –5 p+q=
b –a
=
4 –6
=
−5
c
Titik potong grafik dengan sumbu X yaitu 1
(– 2 , 0) dan (4, 0).
2 –3
b.
Grafik memotong sumbu Y jika x = 0, diperoleh: y = f(0) = 2 × (0)2 – 7 × 0 – 4 = –4 Titik potong grafik dengan sumbu Y yaitu (0, – 4).
c.
Oleh karena a = 2 > 0, maka parabola terbuka ke atas dan titik puncaknya minimum. Koordinat titik puncak (xP, yP).
5
pq = a = 6 = – 6
(p2 – 1) + (q2 – 1) = p2 + q2 – 2 = (p + q)2 – 2pq – 2 2 (– 3 )2
=
4
–
5 2(– 6 )
–2
5
= 9 + 3 –2
xP = –
1
= 9
b 2a
5
2
–
=
5
4 9
–
5 3
+1
–
7 4
7 4
49 16
– 7 – 5 = –8
15 16 3 4
d.
15 ). 16
Grafik fungsi kuadrat f(x): Y
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (p2 – 1) dan (q2 – 1): x2 –
3 4
Jadi, koordinat titik puncaknya (1 , –8
15
15 36
=1
= ( )2 – 4( ) – 5
= – 36
1 x 9
7 4
=
7 4
= (– 6 )2 – (– 3 )2 + 2(– 6 ) + 1 =
−7 2(2)
yP = f(xP) = f( )
(p2 – 1)(q2 – 1)= p2q2 – (p2 + q2) + 1 = (pq)2 – (p + q)2 + 2pq + 1
25 36
=–
X
O –
=0
1 2
3 14
4
–4
⇔ 36x2 – 4x – 15 = 0 15
–8 16
5. Nilai maksimum f(x) adalah 5. −D 4a
=5 −(b − 4ac) 4a
=5
−((k + 5) − 4(−2)(1 − 2k)) 4(−2)
=5
⇔ ⇔ ⇔
7. a. 2
2
2
−(k + 10k + 25 + 8 − 16k) −8
2x2
6. y = f(x) = – 7x – 4. a. Grafik memotong sumbu X jika y = 0, diperoleh: 2x2 – 7x – 4 = 0 ⇔ (2x + 1)(x – 4) = 0 ⇔
52
x=
1 –2
5
4x – 5 = 0 ⇔ x = 4 x–3=0⇔x=3
=5
⇔ k2 – 6k + 33 = 40 ⇔ k2 – 6k – 7 = 0 ⇔ (k – 7)(k + 1) = 0 ⇔ k = 7 atau k = –1 Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k = 7 atau k = – 1.
atau x = 4
Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
(2x – 5) 2 – 8 > 2 – 3x ⇔4x2 – 20x + 25 – 8 – 2 + 3x > 0 ⇔ 4x2 – 17x + 15 > 0 ⇔ (4x – 5)(x – 3) > 0 Pembuat nol:
+
– 5 4
+
3 5
Jadi, penyelesaiannya: x < 4 atau x > 3 b.
6x + 8 2x + 1
⇔
≤4 6x + 8 2x + 1
–4≤0
⇔
6x + 8 − 4(2x + 1) 2x + 1
≤0
⇔
6x + 8 − 8x − 4 2x + 1
≤0
⇔
−2x + 4 2x + 1
≤0
Pembuat nol: –2x + 4 = 0 ⇔ x = 2 2x + 1 = 0 ⇔ x = –
9. a.
x1 ⋅ x2 = 1 ⇔
1 –2
+
b.
–
1 2
1
8. (k – 1)x2 + 4x + 2k = 0 mempunyai dua akar real jika D > 0. 42 – 4 × (k – 1) × 2k > 0 ⇔ 16 – 8k2 + 8k > 0 ⇔ 2 + k – k2 > 0 ⇔ (2 – k)(1 + k) > 0 Pembuat nol: k = 2 dan k = –1 + 1
– 4
2p 6
+ 5
=1
⇔ p =3 Dua akar berlawanan x1 + x2 = 0 ⇔ –
2
Penyelesaian: x < – 2 atau x ≥ 2
–
Dua akar berkebalikan
⇔ ⇔
(4p + 1) 6
=0
4p + 1 = 0 1
p =–4
10. p = 3A L ≥ 75 ⇒ 3A × A ≥ 75 ⇔ 3A2 ≥ 75 ⇔ A2 ≥ 25 ⇔ A ≤ –5 atau A ≥ 5 Oleh karena lebar bernilai positif maka diperoleh A ≥ 5 atau lebar terkecil 5 cm. Jadi, panjang kawat paling sedikit: K = 2(3A + A) = 2(15 + 5) = 40 cm.
Jadi, batas-batas nilai k agar mempunyai dua akar real adalah –1 < k < 2 dan k ≠ 1.
Matematika Kelas X
53
−1 4 −3 −2 Jadi, bentuk paling sederhana dari (3 2a −b1 −2) 2
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c 1 8
2 3 − 3 4
(6a b c )
adalah
1
p q r
3 4
(16) (27)
−
2 3
=
1 8 256
=
1 8 4 4 3 − 3 2 3 28
1
= (2
b8c4 4a12
2
3
1 −8 8
)
× 23 × 3–2
.
4. Jawaban: c 27y −2 3 −5 16x y
−1
27y2 3 4x
2
=
4
=
= 9 1
3
−
2 3
4
= 9.
2. Jawaban: d 256
−
3 4
4
+
81 64
625
( )+
8 −
3
=
2
3 4
( )
3
81 2 64
1
(625)4
= = = = =
5
(543)64 −6 +
5. Jawaban: b xy + yx + y = 3(–1) + (–1)3 + (–1) = –3 + (–1)2 = –3 + 1 = –2 Jadi xy + yx + y = –2.
(2 3 2)3 × 6 2 × ( 3)−2 4 ( 24)6 × (2 3 2)4 × (3 3)−1
1
2
29
5 −6
1
9
×2 +3 5 × 29 23 + 36 5 × 29 8 + 729 5 ⋅ 512 2
6
=
5
Jadi,
−
3 4
4
81 64
+
1
6
625
=
5
(3−1a4b−3 )−2 (6a2b−1c−2 )2
=
9
4
3
22 × 3 2 × 24 × 2 3 × 3−1 × 3
= = = =
54
=
59 6
−3
a b 22 c−4
=
13 2
2
13
2 − 2 −8 − 4 6 − ( −2)
3 a b 4c−4
+4+
= 22
3 a b 2232 a4b−2c−4
0 −12 8
9
2
2 −8 6
3
2 22
737 2.560
32 a−8b6 2 4 −2 −4 6 ab c
= 2
4 3
bc 4a12
Ulangan Tengah Semester
=
32 3
2
1 3
5 2
5
× 32 3
× 32
−1 1 2
+ ( −1) + ( − )
3
× 32 × 30 − 1 3
59 6
3
× 32
−0
3
× 32
3
8 4
5
23 × 21 × 2 2 × 3 2 × 3−1
3 + 1+
3. Jawaban: d
1
(23 × 3)4 × (2 × 23 )4 × (3 × 3 2 )−1
=
3
1
(2 × 2 3 )3 × (2 × 3)2 × (3 2 )−2
737
= 2.560 256
27y x3
6. Jawaban: d
3
34 2 2−6 + 6 2
×
27 ⋅ 27y4 16 x6
= 27x3 – 6y4 – 5 + 2 = 27x–3y
= 2–1 × 23 × 3–2 = 22 × 3–2
Jadi, nilai p 8 q 4 r
16 x 3 y−5 27 y −2
=
3 3 23 3 2
=
3 3 8 32
−
1 2
7. Jawaban: c 4
1 + 1 + 1 = 1 + 2
4
(1 +
2)2
= (1 +
2 )2
=
1
4
=1+2 2 +2 =3+2 2
11. Jawaban: e Luas belah ketupat =
1 2
× d1 × d2
=
1 2
× ( 5 + 2 3 )(4 3 – 3 5 )
=
1 2
×( 5 ×4 3 –
= =
3 7 × 3 7 − 2× 5 2 × 3 7 + 5 2 × 5 2 (3 7)2 − (5 2)2
=
63 − 30 14 + 50 63 − 50
=
113 − 30 14 13
3 7 −5 2 3 7 −5 2
×
7 − 40
+
5+2 2
5+ 2 5+ 2
=
5 5− 2
=
5( 5 + 2) 5−2
=
5× 5+ 5× 2 3
×
+
+
(5 + 2) − 2 5 × 2
( 5 − 2) 5+2 2
+
5+2 2
×
5−2 2 5−2 2
5× 5 − 2× 5 − 5×2 2 + 2×2 2 5−8
= 5 + 10 + 5 − 10 − 2 10 + 4
=
1 2
× (4 15 – 3 × 5 + 8 × 3 – 6 15 )
=
1 2
× (9 – 2 15 ) = 92 – 15
Jadi, luas belah ketupat ( 92 – 15 ) cm2. 12. Jawaban: e Misalkan panjang kubus a cm. Panjang diagonal ruang E kubus = a 3 cm. Panjang kerangka kubus dan keempat diagonal ruangnya = 36 cm. A 12a + 4a 3 = 36 ⇔ 4a(3 + 3 ) = 36 ⇔
a=
⇔
a=
⇔
a=
−3
3
=
5 + 10 − 9 + 3 10 3
=
=
4 10 − 4 3
= =
10. Jawaban: e 1 ( 2)x − 2
=2+ 1
⇔
1 2 x−2
3 2−1
=2+
(2 )
1
⇔ ⇔
2
2
1 2
− x +1
2
⇔
1 – x 2
⇔
1 x −1 2
1 −( x − 1) 2
⇔
5 ×3 5 +2 3 ×4 3
– 2 3 × 3 5) 3 7 −5 2 3 7+5 2
9. Jawaban: d 5 5− 2
– x=2
⇔ x = –4 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah –4.
8. Jawaban: b 3 7 −5 2 3 7+5 2
1 2
⇔
= 3 1 2
=2+2×3
=
23
+1=3
1 – x 2
=3–1
H F
D
C a
a
B
36 4(3 + 3) 9 3+ 3 9 3+ 3
×
3− 3 3− 3
27 − 9 3 9−3
27 − 9 3 6 3(9 − 3 3) 6 9−3 3 2
Jadi, panjang sisi kubus tersebut
9−3 3 2
cm.
13. Jawaban: a 2log
=8
H
1
1
18 – 2log 8 2 + 2log 27 – 2log 3 1
1
= 2log 18 + 2log 27 – (2log 8 2 + 2log 3 ) 1
1
= 2log (18 × 27 ) – 2log ( 8 2 × 3 ) = 2log
18 × 8 2
1 27 1 ×3
Matematika Kelas X
55
=
2 3
2log
8 2× 2 8 2
= 2log
((a ) )
−
2 3
2 23 2
= 2log =
17. Jawaban: d 2log a = 3 ⇔ a = 23
1 3
1 2
3 = 2
( )
= 2log 2
−
5 2
=
1
(
Jadi, (a2 )3
)
−
1 2
3
3
1
log 227 − 3log 3 log 27 − 3log 3
=a
⇔
log 7 log 2
1 a
⇔
2 log 7
=
log 98 log 6
2
=
=
= a1
2
log 2 × 72 log 2 × 3
2
=
1 + 2 × 2log 7 1 + 2log 3
=
1 + 2( a1 ) 1+ b
Jadi, 6log 98 =
1
32 − 1 3 2
−
1 2
19. Jawaban: e Ingat: an = b ⇔ n = alog b 3 9 log x = 25 ⇔ 3log x = 9log 25 2 ⇔ 3log x = 3 log 52
log 2 + 2log 72 log 2 + 2log 3
a+2
3
log 3 2 − 3log 3 2
= 1 =8
⇔
3log
2
x = 2 3log 5 ⇔ 3log x = 3log 5 ⇔ x=5 Jadi, himpunan penyelesaiannya {5}.
2
= 1 +a b =
3
8
log 2 log 7
2
(3 log 33 )2 − 3log 3
= =
15. Jawaban: d
2
1
= 512 .
18. Jawaban: b
= log 10 × log 10 = log 10–1 × 1 = –1
=
1 2
= 512
75
2=a ⇔
−
= 2–9
= log 150 × log 7,5
6log 98
( )
( )
5 –2
15
1
3 − 2
6 = 2 = 218
14. Jawaban: b (log 15 – log 150)(log75 – log 7,5)
20. Jawaban: e a+2 a(b + 1)
a+2 a(b + 1)
.
x=
a+b a−b
= log (a + b)4 + log (a – b)2 – log (a2 – b2)3 – log
a+b a−b
= log = log
1 4 1
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 4 .
Ulangan Tengah Semester
4 log (a + b) + 2 log (a – b) – 3 log (a2 – b2) – log
= log
16. Jawaban: c 4log (8 × 4x) = 2 – x ⇔ 4log (8 × 4x) = 4log 42 – x ⇔ 8 × 4x = 42 – x 3 ⇔ 2 × 22x = 22(2 – x) ⇔ 22x + 3 = 24 – 2x ⇔ 2x + 3 = 4 – 2x ⇔ 4x = 1
56
7
22
⇔
− 3 2
2
2log
7log
1
2
(a + b)4 (a − b)2 3
a+b
(a2 − b2 ) × a − b
(a + b)4 (a − b)2 a+b
((a + b)(a − b))3 a − b (a + b)4 (a − b)2 4 2 (a + b) (a − b)
= log 1 log x = log 1 ⇔ x = 1 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 1.
21. Jawaban: b f: x 6 y dikatakan suatu fungsi jika setiap x dikawankan tepat satu kali. Y
Y
−b
Y
Y
24. Jawaban: e f(x) = –2x2 + 4x + 3 Nilai ekstrim fungsi dicapai pada titik balik yaitu
xp = – x1 x2 0 x3
X
0
x1x2 x3
X
x1 x2 0 x3
X
x1 0 x2 x3
D
(xp, yp) = ( 2a , 4a ).
X
Keempat grafik di atas bukan merupakan grafik suatu fungsi karena ada beberapa x yang dikawankan lebih dari satu kali. Y Grafik di samping merupakan grafik suatu fungsi karena setiap x dikawankan tepat satu X kali. Jadi, grafik suatu fungsi f: x 6 y ditunjukkan pada gambar pilihan b. 22. Jawaban: a Diketahui f(x) = ax + b. f(–3) = 9 ⇔ –3a + b = 9 . . . (1) f(4) = –5 ⇔ 4a + b = –5 . . . (2) Diperoleh: –3a + b= 9 4a + b = –5 ––––––––––– – –7a = 14 ⇔ a = –2 a = –2 ⇒ –3a + b = 9 ⇔ 6+b=9 ⇔ b=3 Diperoleh a = –2 dan b = 3. Jadi, rumus fungsi f adalah f(x) = –2x + 3. 23. Jawaban: e Fungsi f: A → B disebut fungsi injektif jika dan hanya jika untuk setiap a1 dan a2 anggota A dengan a1 ≠ a2 maka berlaku f(a1) ≠ f(a2). 1) Diagram panah pada pilihan a bukan fungsi injektif karena f(2) = f(3) = b. 2) Diagram panah pada pilihan b bukan fungsi injektif karena f(1) = f(3) = a dan f(5) = f(7) = c. 3) Diagram panah pada pilihan c bukan fungsi injektif karena f(4) = f(8) = c. 4) Diagram panah pada pilihan d bukan fungsi karena ada anggota A yang tidak mempunyai kawan di B. 5) Diagram panah pada pilihan e merupakan fungsi injektif.
4 2(−2)
−4
= −4 = 1
yp = f(1) = –2 × 12 + 4 × 1 + 3 = 5 Nilai-nilai y pada ujung interval –2 ≤ x ≤ 3: x = –2 ⇒ f(–2) = –2(–2)2 + 4(–2) + 3 = –13 x = 3 ⇒ f(3) = –2(3)2 + 4(3) + 3 = –3 Oleh karena x = 1 berada di dalam interval –2 ≤ x ≤ 3 dan f(1) = 5 maka daerah hasil fungsi adalah {y | –13 ≤ y ≤ 5, y ∈ R}. 25. Jawaban: c Diketahui f(x) =
x+4 2x 2 + 7x + 3
Agar f(x) terdefinisi,
x + 4 dan 2x2 + 7x + 3 harus
terdefinisi.
x + 4 terdefinisi jika x + 4 ≥ 0. x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ –4 . . . (1) 2 2x + 7x + 3 ≠ 0 ⇔ (2x + 1)(x + 3) ≠ 0 ⇔ 2x + 1 ≠ 0 atau x + 3 ≠ 0 1
⇔
x ≠ – 2 atau x ≠ –3 Irisan daerah penyelesaian (1) dan (2).
–4
–3
. . . (2)
1
–2
1
Jadi, daerah asal alaminya {x | x ≥ –4, x ≠ –3, x ≠ – 2 }. 26. Jawaban: a Fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik (–4, 0) dan (5, 0). Rumus fungsi kuadrat tersebut yaitu: y = a(x – x1)(x – x2) = a(x + 4)(x – 5) Fungsi kuadrat melalui (2, –9) sehingga diperoleh: –9 = a(2 + 4)(2 – 5) ⇔ –9 = a(6)(–3) ⇔
1
a= 2
Diperoleh fungsi kuadrat: 1
y = 2 (x + 4)(x – 5) 1
⇔
y = 2 (x2 – x – 20)
⇔
y = 2 x2 – 2 x – 10
1
1
1
1
Jadi, fungsi kuadrat tersebut y = 2 x2 – 2 x – 10. Matematika Kelas X
57
27. Jawaban: e I. x2 + x – 12 = 0 ⇔ (x – 3)(x + 4) = 0 ⇔ x = 3 atau x = –4 II. x2 – x – 12 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 4) = 0 ⇔ x = –3 atau x = 4 III.
1 2 x 3
⇔
30. Jawaban: d Persamaan kuadrat pertama: 2x2 + 11x – 21 = 0 11
Diperoleh: x1 + x2 = – 2
21
x1 × x2 = – 2 Persamaan kuadrat yang baru mempunyai akarakar 2 kali akar-akar 2x2 + 11x – 21 = 0. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru x3 = 2x1 x4 = 2x2 x3 + x4 = 2x1 + 2x2 = 2(x1 + x2)
1
+ 3x – 4 = 0 x2 + x – 12 = 0
⇔ (x – 3)(x + 4) = 0 ⇔ x = 3 atau x = –4 IV. x2 – 7x + 12 = 0 ⇔ (x – 3)(x – 4) = 0 ⇔ x = 3 atau x = 4 V.
1 2 x 2
11
1
+ 2x – 6 = 0 ⇔ x2 + x – 12 = 0 ⇔ (x – 3)(x + 4) = 0 ⇔ x = 3 atau x = –4 Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan –4 adalah I, III, dan V. 28. Jawaban: b Persamaan kuadrat x2 – kx – 30 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Diperoleh: b
x1 + x2 = – a ⇔ x1 + x2 = k x1 × x2 =
c a
= 2 × (– 2 ) = –11 x3 × x4 = (2x1)(2x2) = 4(x1 × x2) 21
= 4 × (– 2 ) = –42 Persamaan kuadrat yang baru yaitu: x2 – (x3 + x4)x + (x3 × x4) = 0 ⇔ x2 + 11x – 42 = 0 Jadi, persamaan kuadrat yang baru x2 + 11x – 42 = 0. 31. Jawaban: a 2x2 – x + 4 = 0 ⇒ a = 2, b = –1, c = 4 α + β = – ba = –( −21 ) = 21
⇔ x1 × x2 = –30
x12 + x22 = 61 x2)2 – 2x1 × x2 k2 – 2(–30) =
Diketahui ⇔ (x1 + = 61 ⇔ 61 ⇔ k2 + 60 – 61 = 0 ⇔ k2 – 1 = 0 ⇔ (k + 1)(k – 1) = 0 ⇔ k = –1 atau k = 1 Jadi, nilai k = 1 atau k = –1.
αβ = ac = 42 = 2 Hasil penjumlahan akar-akar yang baru: α β+1
+
β α +1
x1 – x2 =
D a
=
b2 − 4ac a
α 2 + β2 + α + β
= =
(−48) − 4 ⋅ 6 ⋅ 90 6 144 6 12 6
= =2 x12 – x2 2 = ( x1 + x2)(x1 – x2) = 8 × 2 = 16 Jadi, nilai x12 – x2 2 = 16. 58
Ulangan Tengah Semester
(α + β)2 − 2αβ + (α + β) αβ + (α + β) + 1 1 2
2
− 2⋅2+
2+
1 2
1 2
+1
= – 13 14 Hasil perkalian akar-akar yang baru:
2
= =
α( α + 1) + β(β + 1) ( α + 1)(β + 1)
= αβ + (α + β) + 1
29. Jawaban: e 6x2 – 48x + 90 = 0 ⇒ a = 6, b = –48, c = 90 x1 + x2 = – ba = –( −648 ) = 8
=
α β+1
×
β α +1
=
αβ αβ + (α + β) + 1
=
2 2+
1 2
+1
Persamaan kuadrat baru x2 – (
α β +1
⇔
x2 – (– 13 )x + 47 = 0 14
+
β )x α +1
–
α β +1
×
β α +1
=
2 7 2
= 47
=0
⇔ 14x2 + 13x + 8 = 0 Jadi, persamaan kuadrat yang baru 14x2 + 13x + 8 = 0.
32. Jawaban: e 2x2 – 11x + 15 ≥ 0 ⇔ (2x – 5)(x – 3) ≥ 0 Pembuat nol: (2x – 5)(x – 3) = 0 ⇔ 2x – 5 = 0 atau x – 3 = 0 5
⇔
x = 2 atau +
x=3
– 5 2
Grafik memotong sumbu X di y = 0: y = 2(x + 2)(x + 5) = 0 ⇔ (x + 2)(x + 5) = 0 ⇔ x = –2 atau x = –5 Oleh karena y = 2x2 + 14x + 20 mempunyai nilai a = 2 > 0 maka grafik membuka ke atas. Diperoleh grafik membuka ke atas dan memotong sumbu X di x = –2 dan x –5. Jadi, grafik yang sesuai pada pilihan b.
+
36. Jawaban: d Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c menyinggung sumbu X jika D = b2 – 4ac = 0.
3 5
Diperoleh x ≤ 2 atau x ≥ 3. Jadi, himpunan penyelesaiannya 5
{x | x ≤ 2 atau ≥ 3, x ∈ R}. 33. Jawaban: b 6 – 3(x – 2) > (x + 2)2 ⇔ 6 – 3x + 6 > x2 + 4x + 4 ⇔ –x2 – 4x – 4 + 6 – 3x + 6 > 0 ⇔ –x2 – 7x + 8 > 0 ⇔ x2 + 7x – 8 < 0 Pembuat nol: x2 + 7x – 8 = 0 ⇔ (x – 1)(x + 8) = 0 ⇔ x = 1 atau x = –8 +
– –8
+ 1
Jadi, nilai x yang memenuhi {x | –8 < x < 1, x ∈ R). 34. Jawaban: e x – 3 < 4x – 3 < 2x – 1 artinya x – 3 < 4x – 3 dan 4x – 3 < 2x – 1. (1) x – 3 < 4x – 3 ⇔ 3x > 0 ⇔ x > 0 (2) 4x – 3 < 2x – 1 ⇔ 2x < –1 + 3 ⇔ 2x < 2 ⇔ x 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik berbeda) Jadi, fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu X adalah y = 4x2 + 4x + 1. e.
37. Jawaban: e Dari soal diketahui bahwa grafik mempunyai titik puncak (0, 2), sehingga fungsi kuadrat dapat disusun dengan rumus y = a(x – xp)2 + yp dengan (xp, yp) adalah titik puncak. y = a(x – 0)2 + 2 y = ax2 + 2 Grafik melalui titik (1, 8) ⇒ 8 = a × 12 + 2 ⇔ a=6 Fungsi kuadrat menjadi
0
(2) Irisan (1) dan (2)
a.
f(x) = 6x2 + 2 ⇒ a = 6, b = 0, c = 2 Nilai 2a – 5b + c = 2 × 6 – 5 × 0 + 2 = 14 38. Jawaban: c p
Dari f(x) = px2 + (2p + 4)x + 8 + 4 diperoleh: p
a = p, b = (2p + 4), c = (8 + 4 )
Matematika Kelas X
59
Fungsi kuadrat f(x) memotong sumbu X di dua titik berbeda jika D > 0. b2 – 4ac > 0 (2p + 4)2 – 4p(8 +
p ) 4
B.
Uraian 1
1. a.
>0
=
⇔ 4p2 + 16p + 16 – 32p – p2 > 0 ⇔ 3p2 – 16p + 16 > 0 Pembuat nol: (3p – 4)(p – 4) = 0 ⇔ 3p – 4 = 0 atau p – 4 = 0 4
⇔
p = 3 atau +++
+++ 4
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p
0
2. a.
65(4 + 3) 16 − 3
–
12(3 + 3) 9−3
=
65(4 + 3) 13
–
12(3 + 3) 6
– 13
+ 17
Jadi, ketinggian peluru tidak kurang dari 221 m terjadi pada saat 13 ≤ t ≤ 17.
60
7
Ulangan Tengah Semester
3+ 3
× 3+ 3
9
=
log a 2 + log (b 2 )2 + log a 2 log a + log b
=
log a 2 + log b7 + log a 2 log a + log b
=
3
40. Jawaban: d Ketinggian peluru tidak kurang dari 221 m, berarti mempunyai pertidaksamaan: 30t – t2 ≥ 221 ⇔ 30t – t2 – 221 ≥ 0 ⇔ t2 – 30t + 221 ≤ 0 ⇔ (t – 17)(t – 13) ≤ 0 Pembuat nol: (t – 17) = 0 atau (t – 13) = 0 ⇔ t = 13 atau t = 17
12 3− 3
× 4+ 3 –
log a2 a + log (b3 b)2 + log a4 a log a + log b
=
Nilai p yang memenuhi adalah p < –1 atau p > 4 .
+
4+ 3
=
9
5 log a 2
9
+ 2 log a + 7 log b
log a + log b
+++ 3 4
–1
12 3− 3
–
5
3
–––
–
5
2−5 2−6
5
p = 4 atau p = –1 +++
−
(24 ) 4 (23 )−2
= 5(4 + 3 ) – 2(3 + 3 ) = 20 + 5 3 – 6 – 2 3 = 14 – 3 3
⇔ 4p2 + p – 3 > 0 Pembuat nol: 4p2 + p – 3 = 0 ⇔ (4p – 3)(p + 1)= 0 ⇔
2 (26 )3
65 4− 3
atau p > 4.
Agar memotong sumbu X nilai D > 0. b2 – 4ac > 0 ⇔ (2p)2 – 4 × p × (
×
5
=
39. Jawaban: d f(x) = px2 + 2px + (
−
16 4 8−2
= 3 × 24 – 2–5 – (–6) = 3 × 24 – 21 = 48 – 2 = 46 b.
–––
1 (33 )3
= 31 × 24 –
p=4
4 3
2
(27)3 × 64 3 –
7 log a + 7 log b log a + log b 7(log a + log b)
= log a + log b b.
8log
=7
3 × 5log 64 × 3log
5
= log 3 × log 5 × 5 log 64 8
3
1
1
5 2 8 3 = log 3 2 × log 52 × log 8
1
1
= 2 × 2 × 2 × 8log 3 × 3log 5 × 5log 8 1
1
1
1
= 2 × 2 × 2 × 8log 8 = 2 × 2 ×2×1 1
= 2
3. Suatu fungsi f: A → B merupakan fungsi surjektif jika daerah hasil kodomain = B. a. f = {(1, a), (2, e), (3, i), (4, o)} Daerah hasil fungsi f = {a, e, i, o} = B. Jadi, fungsi f merupakan fungsi surjektif. b g = {(1, a), (2, e), (3, e), (4, o)} Daerah hasil fungsi g = {a, e, o} ≠ B. Jadi, fungsi g bukan fungsi surjektif. c. h = {(1, a), (2, e), (3, i), (4, o)} Daerah hasil fungsi h = {a, e, i, o}. Jadi, fungsi h merupakan fungsi surjektif. Jadi, fungsi yang merupakan fungsi surjektif adalah f dan h. 4. a.
1)
⇔
k2 k−2
=2+
⇔
k2 k−2
=
⇔
k2 k−2
=
Domainnya: {x | –5 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}. Daerah hasil f(x) = 25 − x 2 adalah f(x) ≥ 0.
⇔
6. a.
25 − x 2 terdefinisi jika 25 – x2 ≥ 0 25 – x2 ≥ 0 ⇔ (5 – x)(5 + x) ≥ 0 +
– 5
2
p = 5 atau
Jadi, domainnya Df: {x | x ≤ –5 atau x ≥ 5, x ∈ R} dan rangenya Rf = {f(x) | f(x) ≥ 0, x ∈ R}. f(x) = 1)
Domain harus memenuhi syarat
2 5
x+4
p < 5 atau p > 2). Grafik fungsi kuadrat y = px2 + (p + 2)x – p + 4 menyinggung sumbu X jika D = 0. ⇔ (p + 2)2 – 4p(–p + 4) = 0 ⇔ (5p – 2)(p – 2) = 0 2
⇔
2
p = 5 atau p = 2.
. . . (2)
Daerah hasil f(x) =
x 2 + 9x + 18 x+4
adalah
f(x) ∈ R. Diperoleh Rf = {f(x) | f(x) ∈ R}. Jadi, diperoleh Df = {x | x > –4, x ∈ R} dan Rf = {f(x) | f(x) ∈ R}. k2x
– + (3k – 2) = 0 5. (k – Diperoleh a = k – 2, b = –k2, c = 3k – 2 k2
p + q = – ba = –( k − 2 ) = k − 2 3k − 2 k−2
2
p = 5 atau p = 2 Jadi, grafik menyinggung sumbu X jika nilai
⇔ x+4≠0 ⇔ x ≠ –4
p × q = ac =
+
2
b.
x+4 ≠0
−k2
–
p=2
Jadi, grafik memotong sumbu X jika nilai
x + 4 tidak boleh bernilai nol sehingga:
2)x2
+
x 2 + 9x + 18 x+4
terdefinisi untuk x + 4 ≥ 0. x+4 ≥0 ⇔ x ≥ –4 . . . (1)
2)
5k − 6 k−2
⇔ k2 = 5k – 6 2 ⇔ k – 5k + 6 = 0 ⇔ (k – 2 )(k – 3) = 0 ⇔ k = 2 atau k = 3 Jadi, nilai k yang memenuhi 2 atau 3.
f(x) =
–5
b.
3k − 2 k−2 2(k − 2) 3k − 2 k−2 + k−2
Grafik fungsi kuadrat y = px2 + (p + 2)x – p + 4 memotong sumbu X di dua titik jika D > 0. b2 – 4ac > 0 2 ⇒ (p + 2) – 4p(–p + 4) > 0 ⇔ p2 + 4p + 4 + 4p2 – 16p > 0 ⇔ 5p2 – 12p + 4 > 0 ⇔ (5p – 2)(p – 2) > 0 Pembuat nol: (5p – 2)(p – 2) = 0 ⇔ 5p – 2 = 0 atau p – 2 = 0
–
2)
(p + q) = 2 + (pq)
7. x1 dan x2 akar-akar dari x2 – 4x + 3 sehingga diperoleh: x1 + x2 = 4 x1 × x2 = 3 Persamaan kuadrat baru yang dicari mempunyai akar-akar (4x1 + 2) dan (4x2 + 2) sehingga: (4x1 + 2) + (4x2 + 2) = 4(x1 + x2) + 4 =4×4+4 = 20 (4x1 + 2)(4x2 + 2) = 16x1x2 + 8(x1 + x2) + 4 = 16 × 3 + 8 × 4 + 4 = 48 + 32 + 4 = 84
Matematika Kelas X
61
Persamaan kuadrat yang baru yaitu: x2 – [(4x1 + 2) + (4x2 + 2)]x + (4x1 + 2)(4x2 + 2) = 0 ⇔ x2 – 20x + 84 = 0 Jadi, persamaan kuadrat yang baru x2 – 20x + 84 = 0. 8. a.
b.
Grafik memotong sumbu X pada (–2, 0) dan (6, 0) sehingga bentuk fungsi kuadrat: y = a(x + 2)(x – 6) Grafik juga melalui titik (0, 12) sehingga diperoleh: 12 = a(0 + 2)(0 – 6) ⇔ 12 = a(–12) ⇔ a = –1 Persamaan fungsi kuadrat y = –1(x + 2)(x – 6) ⇔ y = –(x2 + 2x – 6x – 12) ⇔ y = –x2 + 4x + 12 Misalkan titik puncak fungsi tersebut (xP, yP) xP = yP =
−b −4 = =2 2a 2(−1) 2 D b − 4ac – 4a = – 4a 42 − 4 ⋅ (−1) ⋅ 12 =– 4 ⋅ (−1) 16 + 48 = – −4 64 = 4
Menentukan titik puncak. −2
−b x = 2a = 2(−1) = 1 y = –12 + 2 × 1 – 1 = 0 Koordinat titik puncak (1, 0). Kurva menghadap ke bawah (a < 0) Y
–5 –4 –3 –2
–1 0 –1
62
Ulangan Tengah Semester
2
3
4
5
X
–2 –3 –4 –5
4
1
10. h(t) = 1 + 5 t – 5 t2 a. Tinggi maksimum diperoleh apabila −
4
4
−b t = 2a ⇒ t = 51 = 2 = 2 2− 5
Fungsi maksimum = h(2) 4
1
= 1 + 5 × 2 – 5 × 22
= 16 Jadi, titik puncaknya (2, 16). 9. Menentukan titik potong dengan sumbu X. y = 0 ⇒ –x2 + 2x – 1 = 0 ⇒ x2 – 2x + 1 = 0 ⇒ (x – 1)(x – 1) = 0 ⇒ x =1 Grafik memotong sumbu X di titik (1, 0). Menentukan titik potong dengan sumbu Y. x = 0 ⇒ y = –02 + 2 × 0 – 1 ⇔ y = –1 Grafik memotong sumbu X di titik (0, –1)
1
5
8
4
= 5 + 5 – 5 9
= 5 = 1,8 b.
Jadi, tinggi maksimum batu 1,8 meter. Batu jatuh di tanah, berarti ketinggiannya nol. 4
1
h(t) = 0 ⇒ 1 + 5 t – 5 t2 = 0 ⇔ t2 – 4t – 5 = 0 ⇔ (t + 1)(t – 5) = 0 ⇔ t = –1 atau t = 5 Oleh karena waktu bernilai positif maka t = 5. Jadi, batu jatuh di tanah pada detik ke-5.
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• •
Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• •
Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat serta Sistem Persamaan Kuadrat
• • • •
• • • • • • • • • • • • • • • • •
Konsep Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Konsep Sistem Persamaan Kuadrat Penyelesaian Sistem Persamaan Kuadrat
Bersikap cermat saat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat. Mampu menjelaskan pengertian sistem persamaan linear dua variabel. Mampu menjelaskan cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Mampu menyelidiki sifat sistem persamaan linear dua variabel berdasarkan jenis penyelesaiannya. Mampu membuat model matematika berbentuk sistem persamaan linear dua variabel. Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel. Mampu menjelaskan pengertian sistem persamaan linear tiga variabel. Mampu menjelaskan cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Mampu menyelidiki sifat sistem persamaan linear tiga variabel berdasarkan jenis penyelesaiannya. Mampu membuat model matematika berbentuk sistem persamaan linear tiga variabel. Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel. Mampu menjelaskan pengertian sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat. Mampu menjelaskan cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat. Mampu menggambar kedudukan garis lurus dan fungsi kuadrat. Mampu menyelidiki hubungan diskriminan dan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat. Mampu membuat model matematika berbentuk sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat. Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat.
Matematika Kelas X
63
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Misalkan: p = panjang persegi panjang = lebar persegi panjang Diperoleh: =p–3 ⇔ p– =3 . . . (1) K = 2(p + ) ⇔ 32 = 2(p + ) ⇔ p + = 16 . . . (2) Diperoleh SPLDV p– =3 p + = 16 Jadi, SPLDV dari permasalahan tersebut p – = 3 dan p + = 16. 2. Jawaban: c Persamaan garis 1 melalui titik (–6, 0) dan (0, 5) sehingga persamaannya 5x – 6y = –30. Persamaan garis 2 melalui titik (4, 0) dan (0, 3) sehingga persamaannya 3x + 4y = 12. Diperoleh SPLDV 5x – 6y = –30 3x + 4y = 12 3. Jawaban: b Misalkan: x = banyak kelereng besar y = banyak kelereng kecil Diperoleh SPLDV: 50x – 30y = 50 50x + 30y = 1.550 Eliminasi y. 50x – 30y = 50 50x + 30y = 1.550 ––––––––––––––– + 100x = 1.600 ⇔ x = 16 Substitusikan x = 16 ke dalam persamaan 50x – 30y = 50. 50 × 16 – 30y = 50 ⇔ 800 – 30y = 50 ⇔ 30y = 750 ⇔ y = 25 Jadi, banyak kelereng besar 16 dan banyak kelereng kecil 25. 4. Jawaban: d Misalkan: x = harga 1 kg jeruk y = harga 1 kg apel Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel berikut. 2x + 2y = 41.000 . . . (1) 4x + 3y = 71.000 . . . (2)
64
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
Eliminasi x dari sistem persamaan. 2x + 2y = 41.000 × 2 4x + 4y = 82.000 4x + 3y = 71.000 × 1 4x + 3y = 71.000 –––––––––––––– – y = 11.000 Substitusikan y = 11.000 ke dalam persamaan (1). 2x + 2y = 41.000 ⇔ 2x + 2 × 11.000 = 41.000 ⇔ 2x + 22.000 = 41.000 ⇔ 2x = 19.000 ⇔ x = 9.500 3x + 2y = 3 × 9.500 + 2 × 11.000 = 28.500 + 22.000 = 50.500 Uang kembalian = 100.000 – 50.500 = 49.500 Jadi, uang kembalian yang diterima Widya adalah Rp49.500,00. 5. Jawaban: b Misalkan: x = banyak karung beras 100 kg y = banyak karung beras 50 kg Dari permasalahan tersebut diperoleh persamaan linear sebagai berikut. x + y = 125 . . . (1) 100x + 50y = 8.750 ⇔ 2x + y = 175 . . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). x + y = 125 2x + y = 175 ––––––––––– – –x = –50 ⇔ x = 50 Substitusikan x = 50 ke dalam persamaan (1). x + y = 125 ⇒ 50 + y = 125 ⇔ y = 75 Jadi, banyak karung beras 100 kg dan 50 kg berturut-turut 50 dan 75. 6. Jawaban: e +
⇔ ⇔ ⇔ +
⇔ ⇔ ⇔
–
+ +
=1 +
6( – ) = 1 × 6 2x + 4 – 3y – 9 = 6 2x – 3y = 11 +
+ +
. . . (1)
=4 +
6( + ) = 6 × 4 6 + 3x + 4y + 10 = 24 3x + 4y = 8
. . . (2)
Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh: 2x – 3y = 11 × 3 6x – 9y = 33 3x + 4y = 8 × 2 6x + 8y= 16 –––––––––– – –17y = 17 ⇔ y = –1 y = –1 ⇒ 2x – 3y = 11 ⇔ 2x + 3 = 11 ⇔ 2x = 8 ⇔ x=4 x + y = 4 + (–1) =3 Jadi, x + y = 3. 7. Jawaban: c Misalkan: A = umur Anang sekarang B = umur Bima sekarang Tiga tahun lalu umur Anang sama dengan 2 kali umur Bima, dapat ditulis: A – 3 = 2 × (B – 3) ⇔ A = 2B – 3 . . . (1) Dua tahun yang akan datang 4 kali umur Anang sama dengan umur Bima ditambah 36 tahun. Dapat ditulis: 4 × (A + 2) = (B + 2) + 36 ⇔ B = 4A – 30 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). A = 2(4A – 30) – 3 ⇔ A = 8A – 63 ⇔ 7A = 63 ⇔ A=9 Jadi, umur Anang sekarang 9 tahun.
9. Jawaban: e Himpunan penyelesaian SPLDV {(–1, 2)}, berarti x = –1, y = 2. Substitusikan x = –1 dan y = 2 ke dalam SPLDV. +
+
⇔
+
=2 − +
+
⇔ 3(a – 1) + 2(2 + b) = 12 ⇔ 3a – 3 + 4 + 2b = 12 ⇔ 3a + 2b = 11 −
+
− + − −
⇔
Eliminasi
dari sistem persamaan.
+
=1
×2
– =8
×1
+
=2
+ =1 ⇒
4+ =1
⇔ ⇔ +
=
−
=
= –3
y=
= 18
–
= –2
.
+
= –7 × 1
–
=7
× 2
+
= –7
–
= 14
⇔
=7
x=2
= 10
ke dalam persamaan
= 1.
− +
Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan –
Substitusikan x =
+
––––––––––– +
⇔ x=
= –2
– =8 ––––––––– +
. . . (1)
⇔ 3(–1 – a) + 4(2 – (4b + 1)) = –24 ⇔ –3 – 3a + 8 – 16b – 4 = –24 ⇔ –3a – 16b = –25 . . . (2) Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh: 3a + 2b = 11 –3a – 16b = –25 –––––––––––––– + –14b = –14 ⇔ b=1 b = 1 ⇒ 3a + 2b = 11 ⇔ 3a + 2 = 11 ⇔ 3a = 9 ⇔ a=3 a+b=3+1=4 Jadi, nilai a + b = 4. 10. Jawaban: d Eliminasi
8. Jawaban: b
=2
= 7.
+
–
–
=7 ⇒ 3–
=7
⇔
=4
⇔
y =–
Jadi, nilai x dan y berturut-turut 2 dan – . 11. Jawaban: e Misalkan: x = banyak ikan beta jenis I y = banyak ikan beta jenis II
Matematika Kelas X
65
Diperoleh SPLDV: x + y = 325 . . . (1) 4.000x + 5.000y = 1.500.000 ⇔ 4x + 5y = 1.500 . . . (2) x + y = 325 × 5 5x + 5y = 1.625 4x + 5y = 1.500 × 1 4x + 5y = 1.500 ––––––––––––– – x = 125 Jadi, ikan beta jenis I terjual 125 ekor. 12. Jawaban: a Misalkan: x = umur Andi sekarang y = umur Fiki sekarang
x – 4 = (y – 4) ⇔
x – y=4–
⇔
x – y=2
⇔
2x – y = 4
x + 4 = (y + 4) ⇔
. . . (1)
x – y= –4
⇔ x – y = –1 ⇔ 4x – 3y = –4 . . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). 2x – y = 4 × 3 6x – 3y = 12 4x – 3y = –4 × 1 4x – 3y = –4 –––––––––– – 2x = 16 ⇔ x=8 Substitusikan x = 8 ke dalam persamaan (1). 2x – y = 4 ⇔ 2(8) – y = 4 ⇔ y = 12 Jadi, selisih umur Fiki dan Andi sekarang y – x = 12 – 8 = 4 tahun. 13. Jawaban: b Misalkan: a = angka pertama b = angka kedua Diperoleh SPLDV: 3a – 2 = b ⇔ 3a – b = 2 . . . (1) a + 2b = 17 . . . (2) Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2). 3a – b = 2 × 2 6a – 2b = 4 a + 2b = 17 × 1 a + 2b = 17 –––––––––– + 7a = 21 ⇔ a=3 a = 3 ⇒ 3a – b = 2 ⇔ 9–b=2 ⇔ b=7 Bilangan = ab = 37 Jadi, bilangan tersebut 37.
66
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
14. Jawaban: a + − −
= –6
⇔ x + 2y – 3 = –6x + 18y ⇔ 7x – 16y = 3 − − −
. . . (1)
= –3
⇔ 2x – y – 5 = –6y + 3x ⇔ x – 5y = –5 . . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). 7x – 16y = 3 × 1 7x – 16y = 3 x – 5y = –5 × 7 7x – 35y = –35 ––––––––––––– – 19y = 38 ⇔ y=2 Substitusikan y = 2 ke dalam persamaan (2). y = 2 ⇒ x – 5y = –5 ⇔ x – 10 = –5 ⇔ x=5 x–y=5–2=3 Jadi, nilai x – y = 3. 15. Jawaban: c {(2, 5)} atau x = 2 dan y = 5 merupakan penyelesaian SPLDV, sehingga berlaku: −
+
−
⇔
+
=5
=5
=5
⇔ +
+
−
+
⇔
+
=3
+
−
=3
+
=3
⇔
. . . (1)
. . . (2)
Eliminasi dari persamaan (1) dan (2).
+ = 5
+ =3 –––––––––––– –
– =2
⇔ – =2 ⇔
−
=2
⇔
=2
⇔
b= =2
Substitusikan b = 2 ke dalam persamaan (2).
b=2 ⇒
⇔
–
= 1.
+2=3
–
=1 ⇔
⇔
=1
⇔ a=3 Jadi, nilai a dan b berturut-turut 3 dan 2. 16. Jawaban: e Persamaan ketiga garis: x – 4y = 12 . . . (1) 2x – y = 10 . . . (2) ax + 3y= 2 . . . (3) Titik potong ketiga garis sama dengan titik potong garis (1) dan (2). Menentukan titik potong garis (1) dan (2). Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). x – 4y = 12 × 2 2x – 8y = 24 2x – y = 10 × 1 2x – y = 10 ––––––––––– – –7y = 14 ⇔ y = –2 Substitusikan y = –2 ke dalam persamaan (1). x – 4y = 12 ⇒ x – 4(–2) = 12 ⇔ x + 8 = 12 ⇔ x=4 Diperoleh titik potong ketiga garis (4, –2). Oleh karena ketiga garis berpotongan di titik (4, –2) maka garis ax + 3y = 2 melalui titik (4, –2) sehingga: 4a + 3(–2) = 2 ⇔ 4a – 6 = 2 ⇔ 4a = 8 ⇔ a=2 Jadi, nilai a = 2. 17. Jawaban: a Menentukan nilai p dan q. Eliminasi
+ – +
Substitusikan nilai q = 1 ke dalam persamaan
=3
+
⇔ p=2 p = 2 dan q = 1 memenuhi sistem persamaan 2x – 3y = 1 dan x + 2y = n. Misalkan p = y dan q = x. 2q – 3p = 1 ⇔ 2×1–3×2=1 ⇔ 2 – 6 = 1 (salah) Misalkan p = x dan q = y. 2p – 3q = 1 ⇔ 2×2–3×1=1 ⇔ 4 – 3 = 1 (benar) Substitusikan x = p = 2 dan y = q = 1 ke persamaan x + 2y = n. 2+2×1=n ⇔ n=4 Jadi, nilai n = 4. 18. Jawaban: d Misalkan: x = usia Bima sekarang y = usia kak Lusi sekarang Diperoleh: 2x = y + 10 ⇔ 2x – y = 10 . . . (1) 3(x – 5) = y + 10 ⇔ 3x – 15 = y + 10 ⇔ 3x – y = 25 . . . (2) 2x – y = 10 3x – y = 25 ––––––––––– – –x = –15 ⇔ x = 15 x = 15 ⇒ 2x – y = 10 ⇔ 30 – y = 10 ⇔ y = 20 x + y = 15 + 20 = 35 Jadi, jumlah usia mereka sekarang 35 tahun.
–
= 1 dan
Misalkan pecahan tersebut . Sistem persamaan yang terbentuk: + −
= 3. × 1
=3
× 2
–
=1
+ =6 –––––––––– – – ⇔
=2
19. Jawaban: c
dari persamaan
=1
= –5
− −
= ⇔ 3(x + 1) = 2(y – 2) ⇔ 3x + 3 = 2y – 4 ⇔ 3x – 2y = –7
. . . (1)
= ⇔ 3(x – 1) = y – 2 ⇔ 3x – 3 = y – 2 ⇔ 3x – y = 1
. . . (2)
q=1
Matematika Kelas X
67
b.
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 3x – 2y = –7 3x – y = 1 ––––––––––– – –y = –8 ⇔ y=8 Substitusikan y = 8 ke dalam persamaan (2). 3x – y = 1 ⇒ 3x – 8 = 1 ⇔ 3x = 9 ⇔ x=3
Jadi, pecahan yang dimaksud . 20. Jawaban: a Misalkan: p = jam kerja pekerja A q = jam kerja pekerja B p+q=8 . . . (1) 50p + 60q = 435 . . . (2) Eliminasi p dari persamaan (1) dan (2). p+ q =8 × 50 50p + 50q = 400 50p + 60q = 435 × 1 50p + 60q = 435 ––––––––––––– – –10q = –35 ⇔ q = 3,5 Pekerja B bekerja selama 3,5 jam. Jadi, kue yang dibungkus pekerja B = 3,5 × 60 = 210 buah.
2. Misalkan: x = berat 1 sachet kopi instan y = berat 1 sachet biskuit Diperoleh SPLDV: 8x + 5y = 330 12x + 6y = 468 Eliminasi x dari kedua persamaan. 8x + 5y = 330 × 3 24x + 15y = 990 12x + 6y = 468 × 2 24x + 12y = 936 –––––––––––––– – 3y = 54 ⇔ y = 18 Substitusikan y = 18 ke dalam persamaan 8x + 5y = 330. y = 18 ⇒ 8x + 5y = 330 ⇔ 8x + 90 = 330 ⇔ 8x = 240 ⇔ x = 30 Berat 10 sachet kopi instan dan 10 sachet biskuit: 10x + 10y = 10(x + y) = 10(30 + 18) = 10(48) = 480 Jadi, berat isi kantong plastik 480 gram.
B. Uraian 1. a. SPLDV: 2x + 4y = 22 dan 5x + 3y = 6. Titik-titik yang dilalui garis 2x + 4y = 22: x
0
y
5
2x + 4y = 22 ⇔ x + 2y = 11 Eliminasi x dari kedua persamaan. x + 2y = 11 × 5 5x + 10y = 55 5x + 3y = 6 × 1 5x + 3y = 6 –––––––––––– – 7y = 49 ⇔ y=7 Substitusikan y = 7 ke dalam persamaan x + 2 = 11. y = 7 ⇒ x + 2y = 11 ⇔ x + 14 = 11 ⇔ x = –3 Jadi, himpunan penyelesaiannya {(–3, 7)}.
11 0
Titik yang dilalui (0, 5 ) dan (11, 0).
3. Misalkan: v1 = kecepatan truk v2 = kecepatan mobil Persamaan linear yang terbentuk: v2 = 16 + v1 Jarak kota A dan B = 4v2 = 5v1 4v2 = 5v1 ⇔ 4(16 + v1) = 5v1 ⇔ 64 + 4v1 = 5v1 ⇔ v1 = 64 km/jam v2 = 16 + v1 = 16 + 64 = 80 km/jam
Titik-titik yang dilalui garis 5x + 3y = 6: x
0
y
2
0
Titik yang dilalui ( , 0) dan (0, 2). Gambar grafik SPLDV: Y
Jadi, kecepatan rata-rata truk 64 km/jam dan kecepatan rata-rata mobil 80 km/jam.
5 5x + 3y = 6
2x + 4y = 22
4. Misalkan: x = usia Lia sekarang y = usia Paman Banu sekarang
2 0
68
. . . (1) . . . (2)
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
X 11
Diperoleh: x=
(y
+ 4)
⇔ 5x = y + 4 ⇔ 5x – y = 4 x–4=
(y
. . . (1)
– 4)
⇔ 8x – 32 = y – 4 ⇔ 8x – y = 28 . . . (2) Eliminasi x dari kedua persamaan. 5x – y = 4 8x – y = 28 –––––––––– – –3x = –24 ⇔ x=8 Substitusikan x = 8 ke dalam persamaan (1). x = 8 ⇒ 5x – y = 4 ⇔ 40 – y = 4 ⇔ y = 36 Jadi, sekarang usia Lia 8 tahun, sedangkan usia Paman Banu 36 tahun. 5. Misalkan: x = banyak lembar uang dua ribuan y = banyak lembar uang lima ribuan Diperoleh: x + y = 17 . . . (1) 2.000x + 5.000y = 49.000 ⇔ 2x + 5y = 49 . . . (2) Eliminasi x dari kedua persamaan. x + y = 17 × 2 2x + 2y = 34 2x + 5y = 49 × 1 2x + 5y = 49 ––––––––––– – –3y = –15 ⇔ y=5 Substitusikan y = 5 ke dalam persamaan (1). y = 5 ⇒ x + y = 17 ⇔ x + 5 = 17 ⇔ x = 12 Jadi, uang dua ribuan di laci tersebut sebanyak 12 lembar. 6. Misalkan: x = berat 1 bolpoin y = berat 1 pensil Diperoleh SPLDV berikut. 12x + 8y = 1.000 ⇔ 3x + 2y = 250 . . . (1) 9x + 15y = 1.335 ⇔ 3x + 5y = 445 . . . (2) Eliminasi x dari kedua persamaan. 3x + 2y = 250 3x + 5y = 445 –––––––––––– – –3y = –195 ⇔ y = 65
Substitusikan y = 65 ke dalam persamaan (1). y = 65 ⇒ 3x + 2y = 250 ⇔ 3x + 130 = 250 ⇔ 3x = 120 ⇔ x = 40 Kantong plastik I berisi semua bolpoin sehingga beratnya: Berat = 40 × (12 + 9) = 40 × 21 = 840 gram Kantong plastik II berisi semua pensil sehingga beratnya: Berat = 65 × (8 + 15) = 65 × 23 = 1.495 gram Selisih berat = 1.495 – 840 = 655 gram Jadi, selisih berat isi kedua plastik tersebut 655 gram. 7. Sistem persamaannya: 6a = 5b ⇔ 6a – 5b = 0 . . . (1) 2a – b = 4 . . . (2) Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2). 6a – 5b = 0 × 1 6a – 5b = 0 2a – b = 4 × 3 6a – 3b = 12 ––––––––––– – –2b = –12 ⇔ b=6 Substitusikan b = 6 ke dalam persamaan (1). 6a – 5(6) = 0 ⇔ 6a = 30 ⇔ a=5 Jadi, bilangan tersebut 56. 8. Misalkan: x = berat 1 sachet kopi gula y = berat 1 sachet krimer 1 lusin sachet kopi gula = 12 buah sachet kopi gula Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel berikut. 12x + 8y = 1.180 . . . (1) 9x + 15y = 1.335 . . . (2) Eliminasi x dari sistem persamaan. 12x + 8y = 1.180 × 3 36x + 24y = 3.540 9x + 15y = 1.335 × 4 36x + 60y = 5.340 ––––––––––––––– – –36y = –1.800 ⇔ y = 50 Substitusikan y = 50 ke dalam persamaan (1). 12x + 8y = 1.180 ⇔ 12x + 8 × 50 = 1.180 ⇔ 12x + 400 = 1.180 ⇔ 12x = 780 ⇔ x = 65
Matematika Kelas X
69
Jumlah sachet kopi gula = 12 + 9 = 21 Berat isi plastik I = 21 × 65 = 1.465 gram Jumlah sachet krimer = 8 + 15 = 23 Berat isi plastik II = 23 × 50 = 1.150 gram Jadi, berat isi plastik I adalah 1.465 gram dan plastik II adalah 1.150 gram. 9. Misalkan: x = lama pipa A mengalirkan air (menit) y = lama pipa B mengalirkan air (menit) Sistem persamaan yang terbentuk: x + y = 25 . . . (1) 8x + 14y = 248 . . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). x + y = 25 × 14 14x + 14y = 350 8x + 14y = 248 ×1 8x + 14y = 248 –––––––––––––– – 6x = 102 ⇔ x = 17
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Diketahui: b = panjang pensil biru h = panjang pensil hijau m = panjang pensil merah Dari permasalahan tersebut diperoleh persamaanpersamaan berikut.
++
= 13
⇔ b + h + m = 39 b + m = 2h ⇔ b – 2h + m = 0 h+m=b+7 ⇔ h+m–b=7 SPLTV: b + h + m = 39 b – 2h + m = 0 h+m–b=7
. . . (1) . . . (2) . . . (3)
2. Jawaban: e + +
=2
⇔ 2a + b + 1 = 2c ⇔ 2a + b – 2c = –1 a – 2b + 3c = 23 3a – b + 2c = 26
70
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
. . . (1) . . . (2) . . . (3)
Pipa A mengalirkan air selama 17 menit. Banyak air yang dialirkan pipa A = 17 × 8 = 136 liter. 10. Misalkan: x = banyak beras jenis A yang dibeli Bu Titik (dalam kg) y = banyak beras jenis B yang dibeli Bu Titik (dalam kg) Sistem persamaan linear yang terbentuk: (1) x + y = 8 ⇔ x = 8 – y (2) 7.500x + 8.200y = 62.100 ⇔ 75x + 82y = 621 Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 75x + 82y = 621 ⇒ 75(8 – y) + 82y = 621 ⇔ 600 – 75y + 82y = 621 ⇔ 7y = 21 ⇔ y=3 Substitusikan y = 3 ke dalam persamaan (1). x=8–y=8–3=5 Jadi, Bu Titik membeli beras jenis A sebanyak 5 kg dan membeli beras jenis B sebanyak 3 kg.
Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2). 2a + b – 2c = –1 × 2 4a + 2b – 4c = –2 a – 2b + 2c = 23 × 1 a – 2b + 3c = 23 ––––––––––––––– + 5a – c = 21 . . . (4) Eliminasi b dari persamaan (1) dan (3). 2a + b – 2c = –1 3a – b + 2c = 26 –––––––––––––– + 5a = 25 ⇔ a=5 Substitusikan a = 5 ke dalam persamaan (4). 5a – c = 21 ⇔ 25 – c = 21 ⇔ c=4 Substitusikan a = 5 dan c = 4 ke dalam persamaan (2). a – 2b + 3c = 23 ⇔ 5 – 2b + 12 = 23 ⇔ 17 – 2b = 23 ⇔ –2b = 6 ⇔ b = –3 Jadi, himpunan penyelesaiannya {(5, –3, 4)}. 3. Jawaban: e Misalkan: x = uang Adi y = uang Beni z = uang Cindy
Sistem persamaan linear yang terbentuk dari permasalahan tersebut: x = y + 2z + 40.000 ⇔ x – y – 2z = 40.000 . . . (1) x + y + z = 200.000 . . . (2) y – z = 10.000 . . . (3) Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). x – y – 2z = 40.000 x + y + z = 200.000 –––––––––––––––––– – –2y – 3z = –160.000 ⇔ 2y + 3z = 160.000 . . . (4) Eliminasi y dari persamaan (3) dan (4). y – z = 10.000 × 2 2y – 2z = 20.000 2y + 3z = 160.000 × 1 2y + 3z = 160.000 ––––––––––––––– – –5z = –140.000 ⇔ z = 28.000 Substitusikan nilai z = 28.000 ke dalam persamaan (3). y – z = 10.000 ⇒ y – 28.000 = 10.000 ⇔ y = 38.000 Substitusikan y = 38.000 dan z = 28.000 ke dalam persamaan (2). x + y + z = 200.000 ⇔ x + 38.000 + 28.000 = 200.000 ⇔ x + 66.000 = 200.000 ⇔ x = 134.000 Diperoleh x + y = 134.000 + 38.000 = 172.000 Jadi, jumlah uang Adi dan Beni Rp172.000,00. 4. Jawaban: e Persamaan dalam SPLTV yaitu: 3a – b + 2c = 16 . . . (1) 2a + b + c = 1 . . . (2) 4a – 2b + c = 18 . . . (3) Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2). 3a – b + 2c = 16 × 1 3a – b + 2c = 16 2a + b + c = 1 × 2 4a + 2b + 2c = 2 ––––––––––––––– – –a – 3b = 14 . . . (4) Eliminasi c dari persamaan (2) dan (3). 2a + b + c = 1 4a – 2b + c = 18 ––––––––––––––– – –2a + 3b = –17 . . . (5) Eliminasi b dari persamaan (4) dan (5). –a – 3b = 14 –2a + 3b = –17 ––––––––––––– + –3a = –3 ⇔ a=1
a = 1 ⇒ –a – 3b = 14 ⇔ –1 – 3b = 14 ⇔ –3b = 15 ⇔ b = –5 3a – b + 2c = 16 ⇔ 3 × 1 – (–5) + 2c = 16 ⇔ 3 + 5 + 2c = 16 ⇔ 2c = 8 ⇔ c=4 a – b + c = 1 – (–5) + 4 = 10 Jadi, nilai a – b + c = 10. 5. Jawaban: a Misalkan bilangan tersebut abc dengan a = angka pertama, b = angka kedua, c = angka ketiga. Diperoleh: a + b + c = 11 . . . (1) 2a + b = c ⇔ 2a + b – c = 0 . . . (2) a + b – c = –1 . . . (3) Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2). a + b + c = 11 2a + b – c = 0 ––––––––––––– + 3a + 2b = 11
. . . (4)
Eliminasi c dari persamaan (1) dan (3). a + b + c = 11 a + b – c = –1 –––––––––––– + 2a + 2b = 10
. . . (5)
Eliminasi b dari persamaan (4) dan (5). 3a + 2b = 11 2a + 2b = 10 ––––––––––– – a=1 a=1 ⇒ a+b=5 ⇔ 1+b=5 ⇔ b=4 Substitusikan a = 1 dan b = 4 ke dalam persamaan (1). a + b + c = 11 ⇔ 1 + 4 + c = 11 ⇔ c=6 Bilangan = abc = 146 Jadi, bilangan tersebut 146. 6. Jawaban: a Sistem persamaan linear tiga variabel
–
+
=9
. . . (1)
+
–
= –19
. . . (2)
–
+
=2
. . . (3)
Matematika Kelas X
71
dari persamaan (1) dan (2).
+
=9
–
= –19
Eliminasi
–
+
7. Jawaban: b +
−
–
= –10
Eliminasi
dari persamaan (1) dan (3).
. . . (4)
–
+
=9
×2
–
+
= 18
–
+
=2
×1
–
+
=2
–––––––––––––– –
– + Eliminasi
–
– +
= 16 . . . (5)
dari persamaan (4) dan (5).
= –10 = 16
×3
– = –30
×1
– + = 16 –––––––––––– +
= –14
⇔
x =–
Substitusikan nilai x = – ke dalam persamaan (4).
–
–
= –10
⇔ –6 –
= –10
⇔
=4
⇔
z=
= –10 ⇒
−
Substitusikan nilai x = – dan z = ke dalam persamaan (1).
–
+
=9 ⇒ ⇔
−
–
–2 –
+
+8=9
⇔
⇔
y=–
= –3
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
= .
⇔
=4
. . . (1)
x – 3z = 2y
⇔ x – 2y – 3z = 0 . . . (3) Diperoleh SPLTV: –2x + 3y + 2z = 0 . . . (1) 2x + y – 6z = 0 . . . (2) x – 2y – 3z = 0 . . . (3) Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). –2x + 3y + 2z = 0 2x + y – 6z = 20 –––––––––––––––– + 4y – 4z = 20 ⇔ y–z=5 . . . (4) Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3). –2x + 3y + 2z = 0 × 1 –2x + 3y + 2z = 0 x – 2y – 3z = 0 × 2 2x – 4y – 6z = 0 ––––––––––––––– + –y – 4z = 0 ⇔ –y = 4z ⇔ y = –4z . . . (5) Substitusikan persamaan (5) ke dalam persamaan (4). y–z=5 ⇔ –4z – z = 5 ⇔ –5z = 5 ⇔ z = –1 Substitusikan z = –1 ke dalam persamaan (5). y = –4z = –4 × (–1) = 4 Substitusikan y = 4 dan z = –1 ke dalam persamaan (1). –2x + 3y + 2z = 0 ⇔ –2x + 12 – 2 = 0 ⇔ –2x + 10 = 0 ⇔ –2x = –10 ⇔ x=5 −
=
− −
Jadi, nilai
=9
Jadi, nilai x – y + z = – – (– ) +
72
3y + 2z = 2x
⇔ –2x + 3y + 2z = 0 2x + y – 6z = 20 . . . (2)
––––––––––––––– +
=2 ⇔
= –1
−
= –1.
8. Jawaban: a Misalkan: x = banyak baju dalam paket per lusin y = banyak celana dalam paket per lusin z = banyak kaos dalam paket per lusin Sistem persamaan yang terbentuk dari permasalahan tersebut: 5x + 6y + 5,5z = 24,5 . . . (1) x + y + z = 4,5 . . . (2)
5x + 6y = 2,5 + 3 × 5,5z ⇔ 5x + 6y – 16,5z = 2,5 . . . (3) Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 1 × (1) 5x + 6y + 5,5z = 24,5 5 × (2) 5x + 5y + 5z = 22,5 –––––––––––––––––– – y + 0,5z = 2 . . . (4) Eliminasi x dan y dari persamaan (1) dan (3). 5x + 6y + 5,5z = 24,5 5x + 6y – 16,5z = 2,5 –––––––––––––––––– – 22z = 22 ⇔ z=1 Substitusikan nilai z = 1 ke dalam persamaan (4). y + 0,5z = 2 ⇒ y + 0,5 × 1 = 2 ⇔ y = 1,5 Substitusikan nilai y = 1,5 dan z = 1 ke dalam persamaan (2). x + y + z = 4,5 ⇒ x + 1,5 + 1 = 4,5 ⇔ x=2 Jadi, banyak baju, celana, dan kaos dalam paket berturut-turut 2 lusin, 1,5 lusin, dan 1 lusin. 9. Jawaban: d Misalkan: x = harga 1 kg mangga y = harga 1 kg jeruk z = harga 1 kg anggur Dari permasalahan tersebut diperoleh SPLTV: 2x + 2y + z = 88.000 . . . (1) x + 2y + 2z = 128.000 . . . (2) 2x + 2y + 3z = 184.000 . . . (3) Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 2x + 2y + z = 88.000 x + 2y + 2z = 128.000
×1 ×2
2x + 2y + z = 88.000 2x + 4y + 4z = 256.000 ––––––––––––––––––– – –2y – 3z = –168.000 ⇔ 2y + 3z = 168.000 . . . (4)
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3). 2x + 2y + z = 88.000 2x + 2y + 3z = 184.000 –––––––––––––––––––– – –2z = –96.000 ⇔ z = 48.000 Substitusikan z = 48.000 ke dalam persamaan (4). 2y + 3z = 168.000 ⇔ 2y + 144.000 = 168.000 ⇔ 2y = 24.000 ⇔ y = 12.000 Jadi, harga 1 kg jeruk Rp12.000,00. 10. Jawaban: c Misalkan: x = usia Ari y = usia Badu z = usia Rina x:y:z=3:4:6 Sistem persamaan yang terbentuk dari permasalahan tersebut:
(1)
x:y=3:4 ⇔ 4x = 3y ⇔ 4x – 3y = 0 (2) x:z=3:6 ⇔ 6x = 3z ⇔ 2x – z = 0 (3) x+y=4+z ⇔ x+y–z=4 Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 4x – 3y = 0 ×1 4x – 3y = 0 2x – z = 0 ×2 4x – 2z = 0 ––––––––––– – –3y + 2z = 0 . . . (4) Eliminasi x dari persamaan (2) dan (3). 2x – z = 0 × 1 2x – z = 0 x+y–z=4 ×2 2x + 2y – 2z = 8 –––––––––––––– – –2y + z = –8 . . . (5) Eliminasi z dari persamaan (4) dan (5). –3y + 2z = 0 ×1 –3y + 2z = 0 –2y + z = –8 ×2 –4y + 2z = –16 ––––––––––––– – y = 16 Substitusikan y = 16 ke dalam persamaan (1). 4x – 3y = 0 ⇒ 4x – 3 × 16 = 0 ⇔ 4x = 48 ⇔ x = 12 Substitusikan x = 12 dan y = 16 ke dalam persamaan (3). x + y – z = 4 ⇒ 12 + 16 – z = 4 ⇔ 28 – z = 4 ⇔ z = 24 Jadi, usia Ari, Badu, dan Rina berturut-turut 12, 16, dan 24 tahun. 11. Jawaban: b 3x – 2z = 5 2x + 3y = 3 x + 5y – z = –4
. . . (1) . . . (2) . . . (3)
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 3x – 2z = 5 ×2 6x – 4z = 10 2x + 3y = 3 ×3 6x + 9y = 9 ––––––––––– – –9y – 4z = 1 . . . (4) Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3). 3x – 2z = 5 ×1 3x – 2z = 5 x + 5y – z = –4 × 3 3x + 15y – 3z = –12 –––––––––––––––– – –15y + z = 17 . . . (5) Eliminasi z dari persamaan (4) dan (5). –9y – 4z = 1 ×1 –9y – 4z = 1 –15y + z = 17 ×4 –60y + 4z = 68 –––––––––––– + –69y = 69 ⇔ y = –1 Matematika Kelas X
73
Substitusikan y = –1 ke dalam persamaan (4). –9y – 4z = 1 ⇔ –9(–1) – 4z = 1 ⇔ 9 – 4z = 1 ⇔ z=2 Substitusikan z = 2 ke dalam persamaan (1). 3x – 2z = 5 ⇔ 3x – 2 × 2 = 5 ⇔ 3x = 9 ⇔ x=3 2x + 3z = 2 × 3 + 3 × 2 = 12 Jadi, nilai 2x + 3z = 12. 12. Jawaban: b Misalkan: x = besar sudut terkecil y = besar sudut menengah z = besar sudut terbesar Sistem persamaan linear yang terbentuk dari permasalahan tersebut:
x = y . . . (1) z = 2(x + y) . . . (2) x + y + z = 180° . . . (3) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (3). x + y + z = 180° ⇔ x + y + 2(x + y) = 180° ⇔ x + y + 2x + 2y = 180° ⇔ 3x + 3y = 180° . . . (4) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (4). 3x + 3y = 180°
⇔ 3( y) + 3y = 180° ⇔ y + 3y = 180° ⇔ 4y = 180° ⇔ y = 45° Substitusikan nilai y = 45° ke dalam persamaan (4). 3x + 3y = 180° ⇔ 3x + 3(45°) = 180° ⇔ 3x + 135° = 180° ⇔ 3x = 45° ⇔ x = 15° Substitusikan nilai x = 15° dan y = 45° ke dalam persamaan (2). z = 2(x + y) ⇔ z = 2(15° + 45°) ⇔ z = 2 · 60° ⇔ z = 120° Jadi, besar sudut-sudut segitiga tersebut 15°, 45°, dan 120°. 13. Jawaban: c y = ax2 + bx + c Kurva melalui (–3, 28) ⇒ 9a – 3b + c = 28 . . . (1) Kurva melalui (1, 0) ⇒ a + b + c = 0 . . . (2) Kurva melalui (2, 3) ⇒ 4a + 2b + c = 3 . . . (3) 74
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2). 9a – 3b + c = 28 a+ b +c=0 –––––––––––––– – 8a – 4b = 28 ⇔ 2a – b = 7 . . . (4) Eliminasi c dari persamaan (2) dan (3). a+ b +c=0 4a + 2b + c = 3 –––––––––––––– – –3a – b = –3 . . . (5) Eliminasi b dari persamaan (4) dan (5). 2a – b = 7 –3a – b = –3 ––––––––––– – 5a = 10 ⇔ a = 2 Substitusikan a = 2 ke dalam persamaan (4). 2a – b = 7 ⇒ 2 × 2 – b = 7 ⇔ b = 4 – 7 = –3 Substitusikan a = 2 dan b = –3 ke dalam persamaan (2). a + b + c = 0 ⇒ 2 + (–3) + c = 0 ⇔ c = 1 Jadi, persamaan kurva: y = 2x2 – 3x + 1. 14. Jawaban: e Misalkan: p = panjang = lebar t = tinggi Jumlah panjang semua rusuknya 60 cm, sehingga: 4p + 4 + 4t = 60 ⇔ p + + t = 15 . . . (1) Keliling alas dikurangi tinggi sama dengan 6 cm, sehingga: 2(p + ) – t = 6 ⇔ 2p + 2 – t = 6 . . . (2) Panjang balok adalah setengah tinggi balok, sehingga:
p = t ⇔ t = 2p . . . (3) Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1) dan (2). . . . (4) p + + 2p = 15 ⇔ 3p + = 15 2p + 2 – 2p = 6 ⇔ 2 = 6 ⇔ = 3 Substitusikan = 3 ke dalam persamaan (4). 3p + 3 = 15 ⇔ p = 4 Substitusikan p = 4 ke dalam persamaan (3) diperoleh t = 2 × 4 = 8. Jadi, luas permukaan balok: L = 2 × (p × ) + 2 × ( × t) + 2 × (p × t) = 2 × (4 × 3) + 2 × (3 × 8) + 2 × (4 × 8) = 24 + 48 + 64 = 136 cm2 15. Jawaban: a Sistem persamaan linear tiga variabel
2x + 2y – z =
–x + 3y + 2z =
3x – y + z =
. . . (1) . . . (2) . . . (3)
Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2).
2x + 2y – z =
–x + 3y + 2z =
Eliminasi c dari persamaan (1) dan (3). 2a – 3b + c = 19 a – 4b – c = 14 –––––––––––––– + 3a – 7b = 33 . . . (5) Eliminasi a dari persamaan (4) dan (5). 7a – 4b = 40 × 3 21a – 12b = 120 3a – 7b = 33 × 7 21a – 49b = 231 –––––––––––––– – 37b = –111 ⇔ b = –3 b = –3 ⇒ 3a – 7b = 33 ⇔ 3a + 21 = 33 ⇔ 3a = 12 ⇔ a=4 a = 4, b = –3 ⇒ 2a – 3b + c = 19 ⇔ 8 + 9 + c = 19 ⇔ 17 + c = 19 ⇔ c=2 2a – b + c = 2 × 4 – (–3) + 2 =8+3+2 = 13
×2
4x + 4y – 2z =
×1
–x + 3y + 2z = ––––––––––––––– +
3x + 7y = . . . (4) Eliminasi z dari persamaan (1) dan (3).
2x + 2y – z =
3x – y + z = –––––––––––––– +
. . . (5) 5x + y = Eliminasi y dari persamaan (4) dan (5).
3x + 7y =
×1
5x + y =
×7
3x + 7y =
35x + 7y = –––––––––––––– –
–32x = – ⇔
x=
2.
Substitusikan x = dan y = ke dalam persamaan (1).
2 × + 2 × – z = ⇔ – z =
⇔
–z = –
⇔
z=
. . . (1)
+4=5 + −
=1
⇔ x + 2y = z – 1 ⇔ x + 2y – z = –1
y=
+ −
⇔
7y =
⇔
=3
⇔ 2x – y = 3z ⇔ 2x – y – 3z = 0
Substitusikan x = ke dalam persamaan (4). 3 × + 7y = ⇔
−
Jadi, (xy) : z = ( × ) : = : = 4 : 3. B. Uraian 1. 2a – 3b + c = 19 . . . (1) 3a + 2b – 2c = 2 . . . (2) a – 4b – c = 14 . . . (3) Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2). 2a – 3b + c = 19 × 2 4a – 6b + 2c = 38 3a + 2b – 2c = 2 × 1 3a + 2b – 2c = 2 ––––––––––––––– + 7a – 4b = 40. . . (4)
++ −
. . . (2)
=7
⇔ x + y + 4 = 28 – 7z ⇔ x + y + 7z = 24 . . . (3) Eliminasi x dari perasmaan (1) dan (2). 2x – y – 3z = 0 × 1 2x – y – 3z = 0 x + 2y – z = –1 × 2 2x + 4y – 2z = –2 ––––––––––––––– – –5y – z = 2 . . . (4) Eliminasi x dari persamaan (2) dan (3). x + 2y – z = –1 x + y + 7z = 24 ––––––––––––– – y – 8z = –25 . . . (5) Eliminasi y dari persamaan (4) dan (5). –5y – z = 2 ×1 –5y – z = 2 y – 8z = –25 × 5 5y – 40z = –125 ––––––––––––– + –41z = –123 ⇔ z=3 z = 3 ⇒ –5y – z = 2 ⇔ –5y – 3 = 2 ⇔ –5y = 5 ⇔ y = –1
Matematika Kelas X
75
y = –1, z = 3 ⇒ x + 2y – z = –1 ⇔ x – 2 – 3 = –1 ⇔ x – 5 = –1 ⇔ x =4 Jadi, nilai x, y, dan z berturut-turut 4, –1, dan 3.
+
=
. . . (1)
+
=1
. . . (2)
+
=
. . . (3)
Eliminasi
3.
+
dari persamaan (1) dan (2).
=
+ =1 –––––––––– –
=
Eliminasi
–
+
. . . (4) dari persamaan (3) dan (4).
=
– = –––––––––– +
⇔
=
=2
⇔ x=2 Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan (1). x=2
=
Nilai 2(
76
⇒
+
=
⇔
+
=
⇔
=
⇔
=
–1
⇒
+
=1
⇔
+
=1
⇔
=1–
⇔
=
+
+
)
=
+
+
=1+
+
=1+
=2
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
4. Misalkan: m = banyak kelereng merah k = banyak kelereng kuning h = banyak kelereng hijau Dari permasalahan tersebut diperoleh SPLTV: m + k + h = 58 . . . (1) 2m + k – 2h = 30 . . . (2) m – 2k + 3h = 52 . . . (3) Eliminasi k dari persamaan (1) dan (2). m + k + h = 58 2m + k – 2h = 30 ––––––––––––––– – –m + 3h = 28 . . . (4) Eliminasi k dari persamaan (1) dan (3). m + k + h = 58 × 2 2m + 2k + 2h = 116 m – 2k + 3h = 52 × 1 m – 2k + 3h = 52 –––––––––––––––– + 3m + 5h = 168. . . (5) Eliminasi m dari persamaan (4) dan (5). –m + 3h = 28 × 3 –3m + 9h = 84 3m + 5h = 168 × 1 3m + 5h = 168 ––––––––––––– + 14h = 252 ⇔ h = 18 h = 18 ⇒ –m + 3h = 28 ⇔ –m + 54 = 28 ⇔ –m = –26 ⇔ m = 26 h = 18, m = 26 ⇒ m + k + h = 58 ⇔ 26 + k + 18 = 58 ⇔ 44 + k = 58 ⇔ k = 14 Jadi, banyak kelereng merah 26, kelereng kuning 14, dan kelereng hijau 18. 5. Misalkan: x = banyak jeruk dalam kg y = banyak apel dalam kg z = banyak mangga dalam kg Dari permasalahan tersebut diperoleh sistem persamaan: x + y + z = 60 . . . (1) y = x – 10 . . . (2) 9.000x + 14.000y + 6.000z = 555.000 ⇔ 9x + 14y + 6z = 555 . . . (3) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1) dan (3). (1) x + y + z = 60 ⇒ x + (x – 10) + z = 60 ⇔ 2x + z = 70. . . (4) (3) 9x + 14y + 6z = 555 ⇔ 9x + 14(x – 10) + 6z = 555 ⇔ 9x + 14x – 140 + 6z = 555 ⇔ 23x + 6z = 695 . . . (5) Eliminasi z dari persamaan (4) dan (5). 2x + z = 70 × 6 12x + 6z = 420 23x + 6z = 695 × 1 23x + 6z = 695 –––––––––––––– – –11x = –275 ⇔ x = 25
Substitusikan x = 25 ke dalam persamaan (2) dan (4). y = x – 10 = 25 – 10 = 15 2x + z = 70 ⇒ 2 × 25 + z = 70 ⇔ 50 + 7 = 70 ⇔ z = 20 Jadi, banyak jeruk, apel, dan mangga dalam gerobak buah berturut-turut 25 kg, 15 kg, dan 20 kg. 6. Misalkan: x = bilangan pertama y = bilangan kedua z = bilangan ketiga Dari permasalahan tersebut diperoleh SPLTV dengan persamaan: x+y+z=6 . . . (1) 2x – y – 2z = 1 . . . (2) 3x + 2y = 15 – z ⇔ 3x + 2y + z = 15 . . . (3) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). x+y+z=6 2x – y – 2z = 1 ––––––––––––– + 3x – z = 7 . . . (4) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (3). x+y+z=6 × 2 2x + 2y + 2z = 12 3x + 2y + z = 15 × 1 3x + 2y + z = 15 ––––––––––––––– – –x + z = –3. . . (5) Eliminasi z dari persamaan (4) dan (5). 3x – z = 7 –x + z = –3 ––––––––– + 2x = 4 ⇔ x=2 x = 2 ⇒ 3x – z = 7 ⇔ 6–z=7 ⇔ z = –1 x = 2, z = –1 ⇒ x + y + z = 6 ⇔ 2+y–1=6 ⇔ y+1=6 ⇔ y=5 zyx = (–1) × 5 × 2 = –10 Jadi, bilangan baru tersebut –10. 7. Misalkan: x = angka ratusan y = angka puluhan z = angka satuan Nilai bilangan = 100x + 10y + z Sistem persamaan yang terbentuk dari permasalahan tersebut: x+y+z=9 . . . (1) x – 2y – 3z = 2 . . . (2) 2x + y – 4z = 11 . . . (3)
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). x + y + z= 9 x – 2y – 3z = 2 ––––––––––––– – 3y + 4z = 7 . . . (4) Eliminasi x dari persamaan (2) dan (3). x – 2y – 3z = 2 × 2 2x – 4y – 6z = 4 2x + y – 4z = 11 × 1 2x + y – 4z = 11 –––––––––––––––– – –5y – 2z = –7 . . . (5) Eliminasi z dari persamaan (4) dan (5). 3y + 4z = 7 ×1 3y + 4z = 7 –5y – 2z = –7 × 2 –10y – 4z = –14 –––––––––––––– + –7y = –7 ⇔ y=1 Substitusikan y = 1 ke dalam persamaan (4). 3y + 4z = 7 ⇒ 3(1) + 4z = 7 ⇔ 3 + 4z = 7 ⇔ 4z = 4 ⇔ z=1 Substitusikan y = 1 dan z = 1 ke dalam persamaan (1). x+y+z=9 ⇔ x+1+1=9 ⇔ x+2=9 ⇔ x=7 Nilai bilangan = 100 × 7 + 10 × 1 + 1 = 711. Jadi, bilangan tersebut 711. 8. Misalkan: x = harga beli baju per potong y = harga bali celana per potong z = harga beli kaos per potong Sistem persamaan yang terbentuk dari permasalahan tersebut: (1) 5 × 12x + 4 × 12y + 6 × 12z = 3.060.000 ⇔ 5x + 4y + 6z = 255.000 (2) 4 × 12(x + 6.000) + 2 × 12(y + 7.000) + 3 × 12(z + 5.000) = 2 × 472.000 ⇔ 4x + 24.000 + 2y + 14.000 + 3z + 15.000 = 206.000 ⇔ 4x + 2y + 3z = 153.000 (3) y = 5.000 + z Eliminasi y dan z dari persamaan (1) dan (2). 5x + 4y + 6z = 255.000 × 1 5x + 4y + 6z = 255.000 4x + 2y + 3z = 153.000 × 2 8x + 4y + 6z = 306.000 –––––––––––––––––––– – –3x = –51.000 ⇔ x = 17.000
Substitusikan x = 17.000 ke dalam persamaan (1). 5x + 4y + 6z = 255.000 ⇔ 5 × 17.000 + 4y + 6z = 255.000 ⇔ 4y + 6z = 170.000 ⇔ 2y + 3z = 85.000 . . . (4)
Matematika Kelas X
77
Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (4). 2y + 3z = 85.000 ⇒ 2(5.000 + z) + 3z = 85.000 ⇔ 10.000 + 2z + 3z = 85.000 ⇔ 5z = 75.000 ⇔ z = 15.000 Substitusikan z = 15.000 ke dalam persamaan (3). y = 5.000 + z = 5.000 + 15.000 = 20.000 Jadi, harga beli baju, celana, dan kaos per potong berturut-turut Rp17.000,00, Rp20.000,00, dan Rp15.000,00. 9. Misalkan: x = banyak penonton kelas satu y = banyak penonton kelas dua z = banyak penonton kelas tiga Sistem persamaan yang terbentuk dari permasalahan tersebut: (1) x + y + z = 1.500 (2) z = 200 + y (3) 30.000x + 20.000y + 15.000z = 29.500.000 ⇔ 30x + 20y + 15z = 29.500 ⇔ 6x + 4y + 3z = 5.900 Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3). x + y + z = 1.500 6x + 4y + 3z = 5.900
×6 ×1
6x + 6y + 6z = 9.000 6x + 4y + 3z = 5.900 ––––––––––––––––– – 2y + 3z = 3.100 . . . (4)
Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (4). 2y + 3z = 3.100 ⇒ 2y + 3(200 + y) = 3.100 ⇔ 5y + 600 = 3.100 ⇔ 5y = 2.500 ⇔ y = 500 Substitusikan y = 500 ke dalam persamaan (2). z = 200 + 500 = 700 Substitusikan y = 500 dan z = 700 ke dalam persamaan (1). x + y + z = 1.500 ⇒ x + 500 + 700 = 1.500 ⇔ x = 300 Hasil penjualan tiket kelas satu = 300 × 30.000 = 9.000.000 Jadi, hasil penjualan tiket kelas satu Rp9.000.000,00.
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Persamaan-persamaan pada sistem yaitu: y = 2x2 + x + k . . . (1) y = –2x – 1 . . . (2)
78
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
10. Misalkan: x = banyak pakaian model A yang diproduksi y = banyak pakaian model B yang diproduksi z = banyak pakaian model C yang diproduksi Sistem persamaan linear pada permasalahan di atas: 0,1x + 0,1y + 0,3z = 68 ⇔ x + y + 3z = 680 . . . (1) 0,3x + 0,2y + 0,4z = 116 ⇔ 3x + 2y + 4z = 1.160 . . . (2) 0,1x + 0,2y + 0,1z = 51 ⇔ x + 2y + z = 510 . . . (3) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). x + y + 3z = 680 × 2 2x + 2y + 6z = 1.360 3x + 2y + 4z = 1.160 × 1 3x + 2y + 4z = 1.160 ––––––––––––––––– – –x + 2z = 200 . . . (4) Eliminasi y dari persamaan (2) dan (3). 3x + 2y + 4z = 1.160 x + 2y + z = 510 ––––––––––––––––– – 2x + 3z = 650 . . . (5) Eliminasi x dari persamaan (4) dan (5). –x + 2z = 200 × 2 –2x + 4z = 400 2x + 3z = 650 × 1 2x + 3z = 650 ––––––––––––– + 7z = 1.050 ⇔ z = 150 Substitusikan z = 150 ke dalam persamaan (4). –x + 2 × 150 = 200 ⇔ x = 300 – 200 = 100 Substitusikan x = 100 dan z = 150 ke dalam persamaan (3). x + 2y + z = 510 ⇔ 100 + 2y + 150 = 510 ⇔ 2y = 260 ⇔ y = 130 Jadi, banyak pakaian modal A, model B, dan model C yang diproduksi berturut-turut 100 potong, 130 potong, dan 150 potong.
Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). 2x2 + x + k = –2x – 1 ⇔ 2x2 + x + 2x + k + 1= 0 ⇔ 2x2 + 3x + (k + 1) = 0 Diperoleh a = 2, b = 3, c = k + 1.
Sistem persamaan mempunyai satu penyelesaian jika D = 0. D = b2 – 4ac ⇔ 0 = 32 – 4 × 2 × (k + 1) ⇔ 9 – 8(k + 1) = 0 ⇔ 8(k + 1) = 9
⇔
k+1=
⇔
k= –
⇔
k=
k = ⇒ 8k = 8 × = 1 Jadi, nilai 8k = 1. 2. Jawaban: c Sistem persamaan: y = x2 – 4x + 4 . . . (1) y=x+p . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). x2 – 4x + 4 = x + p ⇔ x2 – 5x + 4 – p = 0 Diperoleh a = 1, b = –5, c = 4 – p. Sistem mempunyai satu penyelesaian jika D = 0. D = b2 – 4ac ⇔ (–5)2 – 4 × 1 × (4 – p) =0 ⇔ 25 – 16 + 4p = 0 ⇔ 9 + 4p = 0 ⇔ 4p = –9 ⇔ 4p – 1 = –9 – 1 ⇔ 4p – 1 = –10 Jadi, nilai 4p – 1 = –10. 3. Jawaban: d Persamaan-persamaan: 2y = 2x2 + x – 30 . . . (1) 2y = –x2 – 2x + 6 . . . (2) Diperoleh: 2x2 + x – 30 = –x2 – 2x + 6 ⇔ 2x2 + x2 + x + 2x – 30 – 6 = 0 ⇔ 3x2 + 3x – 36 = 0 ⇔ x2 + x – 12 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 3) = 0 ⇔ x = –4 atau x = 3 Untuk x = –4 ⇒ 2y = 2x2 + x – 30 ⇔ 2y = 2(–4)2 – 4 – 30 ⇔ 2y = 32 – 34 ⇔ 2y = –2 ⇔ y = –1 Titik potongnya (–4, –1). Untuk x = 3 ⇒ 2y = 2x2 + x – 30 ⇔ 2y = 2(3)2 + 3 – 30 ⇔ 2y = 18 + 3 – 30 ⇔ 2y = –9 ⇔
y = –4
Titik potongnya (3, –4 ). Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut
(–4, –1) dan (3, –4 ). 4. Jawaban: b Persamaan-persamaan: y = x2 – 10x + 21 . . . (1) y = 2x + p . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1). x2 – 10x + 21 = 2x + p ⇔ x2 – 10x – 2x + 21 – p = 0 ⇔ x2 – 12x + 21 – p = 0 Agar tidak memotong atau menyinggung, nilai D < 0. D = b2 – 4ac = (–12)2 – 4 × 1 × (21 – p) = 144 – 84 + 4p = 60 + 4p D < 0 ⇒ 60 + 4p < 0 ⇔ 4p < –60 ⇔ p < –15 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p < –15. 5. Jawaban: c y = px – 2 . . . (1) . . . (2) y = x2 + x – 2 Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). px – 2 = x2 + x – 2 ⇔ x2 + x – px = 0 ⇔ x2 + (1 – p)x = 0 Garis menyinggung kurva, sehingga D = 0. (1 – p)2 – 4 × 1 × 0 = 0 ⇔ (1 – p)2 = 0 ⇔ p=1 Jadi, nilai p = 1. 6. Jawaban: e x2 – x – y = 6 ⇔ y = x2 – x – 6 . . . (1) y–x=2 ⇔ y=x+2 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1). x + 2 = x2 – x – 6 ⇔ x2 – 2x – 8 = 0 ⇔ (x – 4)(x + 2) = 0 ⇔ x = 4 atau x = –2 Substitusikan x = 4 dan x = –2 ke dalam persamaan (2). Untuk x = 4 ⇒ y = 4 + 2 = 6 → (4, 6) Untuk x = –2 ⇒ y = –2 + 2 = 0 → (–2, 0) Jadi, (x, y) yang memenuhi adalah (4, 6) atau (–2, 0). 7. Jawaban: a y = –2x –1 y = –x2 – 2x + 3 –––––––––––––– – 0 = x2 – 4 ⇔ x2 – 4 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) = 0 ⇔ x = 2 atau x = –2
Matematika Kelas X
79
Oleh karena titik A di kuadran II maka xA = –2. Substitusikan x A = –2 ke dalam persamaan y = –2x – 1. ⇔ yA = –2(–2) – 1 = 3 Diperoleh koordinat titik A(–2, 3). Persamaan garis g: − −
=
−
−
⇔
− −
= +
⇔
− −
=
⇔ ⇔
+
+
x = atau x = 1
⇒ y = ( )2 + 4 × – 2
= +6–2
= +4 = x=1
+
=6
⇒ y = 12 + 4 × 1 – 2 =1+4–2=3
Jumlah nilai ordinat = 6 + 3
=9
9. Jawaban: b (p + 2)x2 – 3x + 12 = 5x + 4p ⇔ (p + 2)x2 – 8x + (12 – 4p) = 0 Oleh karena kurva dan garis saling bersinggungan maka D = 0. b2 – 4ac = 0 (–8)2 – 4 × (2 + p)(12 – 4p) = 0 ⇔ 64 – 4(–4p2 + 4p + 24) = 0 ⇔ 64 + 16p2 – 16p – 96 = 0 ⇔ 16p2 – 16p – 32 = 0 ⇔ p2 – p – 2 = 0
80
x=1+ y
xy = 1.512
8. Jawaban: e Persamaan-persamaan . . . (1) y = 3x2 – x + 1 y = x2 + 4x – 2 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 3x2 – x + 1 = x2 + 4x – 2 ⇔ 2x2 – 5x + 3 = 0 ⇔ (2x – 3)(x – 1) = 0
x=
10. Jawaban: e Misalkan: x = usia Ali sekarang y = usia Badu sekarang Sistem persamaan yang terbentuk: (x – 6) : (y – 6) = 5 : 6 ⇔ 6(x – 6) = 5(y – 6) ⇔ 6x – 5y = 6 ⇔
2y – 6 = –x – 2 x + 2y = 4
⇔
⇔ (p – 2)(p + 1) = 0 ⇔ p – 2 = 0 atau p + 1 = 0 ⇔ p = 2 atau p = –1 Jadi, nilai p = –1 atau p = 2.
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
. . . (2)
Substitusikan x = 1 + ⇔
. . . (1)
y ke dalam persamaan (2).
(1 + y)y = 1.512
⇔
y + y2 = 1.512 ⇔ 5y2 + 6y – 9.072 = 0 ⇔ (5y + 216)(y – 42) = 0 ⇔
y = – atau y = 42 Oleh karena usia bernilai positif maka y = 42. Jadi, usia Badu sekarang 42 tahun.
B. Uraian 1. Persamaan-persamaan: y = x2 + px + 1 . . . (1) y = 2x – 3 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). x2 + px + 1 = 2x – 3 ⇔ x2 + (p – 2)x + 4 = 0 Diperoleh a = 1, b = p – 2, dan c = 4. Sistem mempunyai 1 penyelesaian jika D = 0. D = b2 – 4ac ⇔ (p – 2)2 – 4 × 1 × 4 = 0 ⇔ p2 – 4p + 4 – 16 = 0 ⇔ p2 – 4p – 12 = 0 ⇔ (p – 6)(p + 2) = 0 ⇔ p = 6 atau p = –2 Untuk p = –2, diperoleh: x2 + (p – 2)x + 4 = 0 ⇔ x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ (x – 2)2 = 0 ⇔ x=2 x = 2 ⇒ y = 2x – 3 =4–3=1 Penyelesaiannya (2, 1).
Untuk p = 6, diperoleh: x2 + (p – 2)x + 4 = 0 ⇔ x2 + 4x + 4 = 0 ⇔ (x + 2)2 = 0 ⇔ x = –2 x = –2 ⇒ y = 2x – 3 = –4 – 3 = –7 Penyelesaiannya (–2, –7). Jadi, nilai p = 6 atau p = –2, sedangkan penyelesaian sistem persamaan (2, 1) atau (–2, –7). 2. Misalkan: a = panjang b = lebar K = 2a + 2b = 82 ⇔ 2a = 82 – 2b ⇔ a = 41 – b . . . (1) Panjang diagonalnya 29 cm sehingga a2 + b2 = 292 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). (41 – b)2 + b2 = 292 ⇔ 1.681 – 82b + b2 + b2 = 841 2 ⇔ 2b – 82b + 1.681 – 841 = 0 ⇔ 2b2 – 82b + 840 = 0 ⇔ b2 – 41b + 420 = 0 ⇔ (b – 21)(b – 20) = 0 ⇔ b = 21 atau b = 20 Substitusikan b = 21 dan b = 20 ke dalam persamaan (1). Untuk b = 21 → a = 41 – 21 = 20 Untuk b = 20 → a = 41 – 20 = 21 Persegi panjang tersebut memiliki panjang 21 cm dan lebar 20 cm. Jadi, luas persegi panjang: L = 20 × 21 = 420 cm2. 3. a.
Diketahui: m2 – n2 = 156 . . . (1) m + n = 26 ⇔ m = 26 – n . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). m2 – n2 = 156 ⇔ (26 – n)2 – n2 = 156 ⇔ 676 – 52n + n2 – n2 = 156 ⇔ –52n = –520 ⇔ n = 10 n = 10 ⇒ m = 26 – n = 26 – 10 = 16 Jadi, m = 16, n = 10.
b.
(m – n)2 = (16 – 10)2 = 62 = 36 Jadi, kuadrat selisih bilangan-bilangan tersebut 36.
4. Misalkan: p = panjang balok = 8 cm = lebar balok t = tinggi balok Lebar balok 2 cm lebih dari tinggi balok maka =2+t . . . (1) Luas permukaan balok= 158 ⇒ 2(p + pt + t) = 158 ⇔ 8 + 8t + t = 79 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 8 + 8t + t = 79 ⇔ 8(2 + t) + 8t + (2 + t)t = 79 ⇔ 16 + 8t + 8t + 2t + t2 = 79 ⇔ t2 + 18t – 63 = 0 ⇔ (t + 21)(t – 3) = 0 ⇔ t + 21 = 0 atau t – 3 = 0 ⇔ t = –21 atau t=3 Oleh karena tinggi balok selalu bernilai positif maka t = 3 cm. Substitusikan t = 3 ke dalam persamaan (1). = 2 + t = 2 + 3 = 5 cm Volume balok = p t =8×5×3 = 120 cm3 Jadi, volume balok 120 cm3. 5. Persamaan-persamaan: 2y = 2px + 6 ⇔ y = px + 3 . . . (1) y = 2x2 + x + 5 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). px + 3 = 2x2 + x + 5 ⇔ 2x2 + (1 – p)x + 2 = 0 Diperoleh: a = 2, b = 1 – p, c = 2. Sistem persamaan mempunyai satu penyelesaian sehingga D = 0. D=0 ⇔ b2 – 4ac = 0 ⇔ (1 – p)2 – 4 × 2 × 2 = 0 ⇔ 1 – 2p + p2 – 16 = 0 ⇔ p2 – 2p – 15 = 0 ⇔ (p – 5)(p + 3) = 0 ⇔ p = 5 atau p = –3 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p = 5 atau p = –3.
Matematika Kelas X
81
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Sistem persamaan linear dan kuadrat memuat persamaan linear dan persamaan kuadrat. Sistem persamaan yang sesuai ditunjukkan oleh pilihan d. 2. Jawaban: a Misalkan: a = banyak anggota yang berusia kurang dari 10 tahun b = banyak anggota yang berusia 10 tahun atau lebih Banyak anggota = 80 ⇔ a + b = 80 . . . (1) Banyak anggota yang berusia kurang dari 10 tahun 12 orang kurang dari banyak anggota yang berusia 10 tahun atau lebih, sehingga: a = b – 12 ⇔ b – a = 12 . . . (2) Sistem persamaan: a + b = 80 b – a = 12 3. Jawaban: b Diperoleh SPLDV: 4x – 5y = 34 . . . (1) 3x + 7y = 4 . . . (2) Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 4x – 5y = 34 × 3 12x – 15y = 102 3x + 7y = 4 ×4 12x + 28y = 16 ––––––––––––– – –43y = 86 ⇔ y = –2 y = –2 ⇒ 4x – 5y = 34 ⇔ 4x + 10 = 34 ⇔ 4x = 24 ⇔ x=6 Titik potong garis = (x, y) = (6, –2) 4. Jawaban: d (m, n) merupakan penyelesaian sistem persamaan sehingga:
–
−
=6
⇔ 2(2m + 3) – 3(n – 2) = 36 ⇔ 4m + 6 – 3n + 6 = 36 ⇔ 4m – 3n = 24 . . . (1) 2m + n = 2 . . . (2) Eliminasi n dari persamaan (1) dan (2). 4m – 3n = 24 × 1 4m – 3n= 24 2m + n = 2 × 3 6m + 3n = 6 ––––––––––– + 10 m = 30 ⇔ m= 3
82
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
Substitusikan m = 3 ke dalam persamaan (2). 2m + n = 2 ⇒ 2 × 3 + n = 2 ⇔ n = –4
Nilai = – 5. Jawaban: c Sistem persamaan dari permasalahan tersebut: p – = 12 . . . (1) K = 80 ⇔ 2(p + ) = 80 ⇔ p + = 40 . . . (2) Eliminasi dari persamaan (1) dan (2). p – = 12 p + = 40 –––––––– + 2p = 52 ⇔ p = 26 cm p = 26 ⇒ p – = 12 ⇔ 26 – = 12 ⇔ = 14 cm Jadi, panjang dan lebar persegi panjang tersebut berturut-turut 26 cm dan 14 cm. 6. Jawaban: e SPLDV: 3x + 2y = 9 . . . (1) 4x – 3y = 29 . . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan persamaan (2). 3x + 2y = 9 ×3 9x + 6y= 27 4x – 3y = 29 ×2 8x – 6y = 58 –––––––––– + 17x = 85 ⇔ x=5 x = 5 ⇒ 3x + 2y = 9 ⇔ 15 + 2y = 9 ⇔ 2y = –6 ⇔ y = –3 z = (x – y)2 = (5 – (–3))2 = 82 = 64 7. Jawaban: d Misalkan: b = usia Bobi pada tahun 2015 w = usia Weni pada tahun 2015 Diperoleh persamaan-persamaan berikut. b=w–8 ⇔ w–b=8 . . . (1)
(b – 2) = (w – 2) ⇔ 3(b – 2) = w – 2 ⇔ 3b – 6 = w – 2 ⇔ w – 3b = –4 . . . (2)
Eliminasi w dari persamaan (1) dan (2). w–b=8 w – 3b = –4 ––––––––– – 2b = 12 ⇔ b=6 Usia Bobi sekarang = b = 6 tahun Sekarang tahun 2015 sehingga: tahun kelahiran Bobi = 2015 – 6 = 2009 Jadi, Bobi lahir pada tahun 2009. 8. Jawaban: c Misalkan: a = harga sebuah buku b = harga sebuah bolpoin c = harga sebuah pensil Sistem persamaan linear yang terbentuk dari permasalahan tersebut: 4a + 2b + 3c = 26.000 . . . (1) 3a + 3b + c = 21.500 . . . (2) 3a + c = 12.500 . . . (3) Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2). 4a + 2b + 3c = 26.000 × 3 12a + 6b + 9c = 78.000 3a + 3b + c = 21.500 × 2 6a + 6b + 2c = 43.000 ––––––––––––––––––– – 6a + 7c = 35.000 . . . (4)
Eliminasi a dari persamaan (3) dan (4). 3a + c = 12.500 × 2 6a + 2c = 25.000 6a + 7c = 35.000 × 1 6a + 7c = 35.000 ––––––––––––––– – –5c = –10.000 ⇔ c = 2.000 Substitusikan c = 2.000 ke dalam persamaan (3). 3a + 2.000 = 12.500 ⇔ 3a = 10.500 ⇔ a = 3.500 Substitusikan a = 3.500 dan c = 2.000 ke dalam persamaan (1). 4 × (3.500) + 2b + 3 × (2.000) = 26.000 ⇔ 2b + 20.000 = 26.000 ⇔ 2b = 6.000 ⇔ b = 3.000 2b + 2c = 2 × (3.000) + 2 × (2.000) = 10.000 Jadi, uang yang harus dibayarkan Dina Rp10.000,00. 9. Jawaban: b Misalkan: x = harga 1 kg apel y = harga 1 kg jeruk Sistem persamaan yang terbentuk dari permasalahan tersebut: 2x + 3y = 57.000 . . . (1) 3x + 5y = 90.000 . . . (2)
Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). 2x + 3y = 57.000 × 5 10x + 15y = 285.000 3x + 5y = 90.000 × 3 9x + 15y = 270.000 ––––––––––––––––– – x = 15.000 Substitusikan x = 15.000 ke dalam persamaan (1). 2x + 3y = 57.000 ⇒ 2(15.000) + 3y = 57.000 ⇔ 3y = 27.000 ⇔ y = 9.000 x + y = 15.000 + 9.000 = 24.000 Uang kembalian yang diterima Surya = Rp50.000,00 – Rp24.000,00 = Rp26.000,00. 10. Jawaban: c Dari permasalahan tersebut diperoleh sistem persamaan: . . . (1) y = x2 – 8x + p y = –12x + 3 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). –12x + 3 = x2 – 8x + p ⇔ x2 + 12x – 8x + p – 3 = 0 ⇔ x2 + 4x + p – 3 = 0 . . . (3) Diperoleh a = 1, b = 4, c = p – 3. Garis h menyinggung y = x2 – 8x + p di satu titik jika determinan persamaan (3) bernilai nol. D=0 ⇔ b2 – 4ac = 0 ⇔ 42 – 4 × 1 × (p – 3) = 0 ⇔ 16 – 4p + 12 = 0 ⇔ –4p = –28 ⇔ p=7 Jadi, nilai p = 7. 11. Jawaban: b Sistem-sistem dalam SPLTV sebagai berikut.
+ + +
=4 = =
Eliminasi
+
. . . (1)
=4
. . . (2) . . . (3) dari persamaan (1) dan (2).
+ = ––––––––– –
–
=
. . . (4)
Matematika Kelas X
83
Eliminasi
+
=
dari persamaan (3) dan (4).
– = ––––––––– +
=6
⇔
=6
⇔
x=1
2×
x=1
⇔
⇔
y=3
⇒ ⇔
x=1
+
3+
⇒
⇔
3+
+
=4 =4 =1
= =
⇔
⇔
z=6
=
x + y + z=1+3+6 = 10 Jadi, nilai x + y + z = 10. 12. Jawaban: d Persamaan-persamaan dalam SPLTV: 3m + 2n – 4p = –23 . . . (1) 2m + 4n + 3p = –3 . . . (2) 4m – 3n + 5p = 55 . . . (3) Eliminasi n dari persamaan (1) dan (2). 3m + 2n – 4p = –23 × 2 6m + 4n – 8p = –46 2m + 4n + 3p = –3 × 1 2m + 4n + 3p = –3 ––––––––––––––– – 4m – 11p = –43 ...(4) Eliminasi n dari persamaan (1) dan (3). 3m + 2n – 4p = –23 × 3 9m + 6n – 12p= –69 4m – 3n + 5p = 55 × 2 8m – 6n + 10p= 110 –––––––––––––––– + 17m – 2p = 41 . . . (4) Eliminasi p dari persamaan (4) dan (5). 4m – 11p = –43 × 2 8m – 22p = –86 17m – 2p = 41 × 11 187m – 22p = 451 –––––––––––––––– – –179m = –537 ⇔ m= 3
m = 3 ⇒ 4m – 11p = –43 ⇔ 12 – 11p = –43 ⇔ –11p = –55 ⇔ p=5 m = 3, p = 5 ⇒ 3m + 2n – 4p = –23 ⇔ 9 + 2n – 20 = –23 ⇔ 2n – 11 = – 23 ⇔ 2n = –12 ⇔ n = –6 m – p + 2n = 3 – 5 + 2 × (–6) = –2 – 12 = –14 13. Jawaban: d Misalkan: x = harga sebuah sabun y = harga sebuah pasta gigi z = harga sebotol sampo Sistem persamaan yang terbentuk: 3x + 2y + z = 16.600 y = 2x + 250 z = 2y – 900
Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1). 3x + 2y + z = 16.600 ⇔ 3x + 2y + (2y – 900) = 16.600 ⇔ 3x + 4y = 17.500 . . . (4) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (4). 3x + 4y = 17.500 ⇒ 3x + 4(2x + 250) = 17.500 ⇔ 3x + 8x + 1.000 = 17.500 ⇔ 11x = 16.500 ⇔ x = 1.500 Substitusikan x = 1.500 ke dalam persamaan (2). y = 2x + 250 = 2(1.500) + 250 = 3.250 Substitusikan y = 3.250 ke dalam persamaan (3). z = 2y – 900 = 2(3.250) – 900 = 5.600 Harga 4 sabun mandi dan 2 botol sampo = 4x + 2z = 4 · 1.500 + 2 · 5.600 = 17.200. Jadi, uang yang harus dibayarkan Bu Erna Rp17.200,00. 14. Jawaban: d Misalkan: a = sisi pertama segitiga b = sisi kedua segitiga c = sisi ketiga segitiga Diperoleh SPLDV dengan persamaan-persamaan berikut. a + 2b – c = 23 . . . (1) 2a – b + 3c = 71 . . . (2) + +
84
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
. . . (1) . . . (2) . . . (3)
= 15 ⇔ a + b + c = 45
. . . (3)
Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2). a + 2b – c = 23 × 2 2a + 4b – 2c = 46 2a – b + 3c = 71 × 1 2a – b + 3c = 71 ––––––––––––––– – 5b – 5c = –25 ⇔ b – c = –5 . . . (4) Eliminasi a dari persamaan (1) dan (3). a + 2b – c = 23 a + b + c = 45 –––––––––––– – b – 2c = –22 . . . (5) Eliminasi b dari persamaan (4) dan (5). b – c = –5 b – 2c = –22 –––––––––– – c = 17 c = 17 ⇒ b – c = –5 ⇔ b – 17 = –5 ⇔ b = 12 b = 12, c = 17 ⇒ a + b + c = 45 ⇔ a + 12 + 17 = 45 ⇔ a + 29 = 45 ⇔ a = 16 Jadi, panjang sisi segitiga tersebut berturut-turut 16 cm, 12 cm, dan 17 cm.
. . . (1) . . . (2) . . . (3)
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke dalam persamaan (3). x + y – 2z = –6 ⇒ 2y + y – 2 × 3y = –6 ⇔ –3y = –6 ⇔ y=2 Substitusikan y = 2 ke persamaan (1) dan (2). x = 2y ⇒ x = 2 × 2 = 4 z = 3y ⇒ z = 3 × 2 = 6 Nilai x – y + z = 4 – 2 + 6 = 8. 16. Jawaban: b Misalkan: a = berat badan Apri b = berat badan Bambang c = berat badan Cici Dari permasalahan tersebut diperoleh SPLDV berikut. = 49 ⇔ a + b = 98 . . . (1) = 47 ⇔ a + c = 94 . . . (2) = 48 ⇔ b + c = 96
+ +
=
+
= = 48 Jadi, rata-rata berat badan Apri, Bambang, dan Cici 48 kg. 17. Jawaban: d Persamaan-persamaan dalam SPLTV:
p – + r = 14 2p + 3q– r = 5
15. Jawaban: a x:y:z=2:1:3 x : y = 2 : 1 ⇔ x = 2y y : z = 1 : 3 ⇔ z = 3y x + y – 2z = –6
+ + +
Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2). a + b = 98 a + c = 94 –––––––– – b–c =4 . . . (4) Eliminasi c dari persamaan (3) dan (4). b + c = 96 b–c=4 ––––––––– + 2b = 100 ⇔ b = 50 b = 50 ⇒ a + b = 98 ⇔ a + 50 = 98 ⇔ a = 48
. . . (3)
p + 3q –
=1
. . . (1) . . . (2) . . . (3)
Eliminasi p dari persamaan (1) dan (2).
p – + r = 14 × 2 2p + 3q – r = 5 × 1
2p – q + 2r = 28
2p + 3q – r = 5 ––––––––––––– – –4q + 3r = 23 . . . (4) Eliminasi p dari persamaan (1) dan (3).
p – + r = 14
p + 3q – = 1 –––––––––––– –
– q + r = 13
⇔ 10(– q + r)= 10 × 13 ⇔ –35q + 12r = 130 . . . (5) Eliminasi r dari persamaan (4) dan (5). –4q + 3r = 23 × 4 –16q + 12r = 92 –35q + 12r = 130 × 1 –35q + 12r = 130 –––––––––––––– – 19q = –38 ⇔ q = –2 q = –2 ⇒ –4q + 3r = 23 ⇔ 8 + 3r = 23 ⇔ 3r = 15 ⇔ r=5
Matematika Kelas X
85
q = –2, r = 5 ⇒
p + 3q – = 1 ⇔ p + (–6) – 1 = 1 ⇔ p–7=1 ⇔ p=8
Rata-rata =
++
= = =
+ − + 3
18. Jawaban: a Misalkan: x = uang Siti mula-mula y = uang Nunik mula-mula z = uang Hani mula-mula Sistem persamaan linear yang terbentuk: x : y = 3 : 4 ⇔ 4x = 3y ⇔ 4x – 3y = 0 . . . (1) x + 7.000 = y – 7.000 + 4.000 ⇔ x – y = –10.000 . . . (2) z – 4.000 = 14.000 + x + 7.000 ⇔ z = x + 25.000 . . . (3) Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 1 × Pers (1) 4x – 3y = 0 4 × Pers (2) 4x – 4y = –40.000 ––––––––––––––– – y = 40.000 Substitusikan y = 40.000 ke dalam persamaan (2). x – y = –10.000 ⇒ x – 40.000 = –10.000 ⇔ x = 30.000 Substitusikan x = 30.000 ke dalam persamaan (3). z = x + 25.000 ⇒ z = 30.000 + 25.000 = 55.000 Jadi, uang Siti, Nunik, dan Hani mula-mula berturut-turut Rp30.000,00; Rp40.000,00; dan Rp55.000,00. 19. Jawaban: c Misalkan: x = banyak penonton anak-anak y = banyak penonton pria dewasa z = banyak penonton wanita dewasa Jumlah penonton = x + y + z. Sistem persamaan yang terbentuk: x = 20%(x + y + z) ⇔
x = (x + y + z) ⇔ 5x = x + y + z ⇔ 4x – y – z = 0 . . . (1)
y = (x + y + z) ⇔ 3y = x + y + z ⇔ x – 2y + z = 0 . . . (2) z = 200 + y . . . (3)
86
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 4x – y – z = 0 4x – y – z = 0 x – 2y + z = 0 4x – 8y + 4z = 0 ––––––––––––– – 7y – 5z = 0 . . . (4) Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (4). 7y – 5z = 0 ⇒ 7y – 5(200 + y) = 0 ⇔ 7y – 1.000 – 5y = 0 ⇔ 2y = 1.000 ⇔ y = 500 Substitusikan y = 500 ke dalam persamaan (3). z = 200 + y ⇒ z = 200 + 500 = 700 Substitusikan y = 500 dan z = 700 ke dalam persamaan (2). x – 2y + z = 0 ⇔ x – 2 × 500 + 700 = 0 ⇔ x = 300 Jumlah penonton = 300 + 500 + 700 = 1.500. Jadi, jumlah penonton pertunjukan 1.500 orang. 20. Jawaban: b Persamaan-persamaan dalam sistem tersebut sebagai berikut. 2y = 4x + 18 ⇔ y = 2x + 9 . . . (1) . . . (2) y = 2x2 + 3x + 6 Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 2x + 9 = 2x2 + 3x + 6 ⇔ 2x2 + 3x – 2x + 6 – 9 = 0 ⇔ 2x2 + x – 3 = 0 ⇔ (2x + 3)(x – 1) = 0 ⇔
x = – atau x = 1
Untuk x = – ⇒ y = 2 × (– ) + 9 = –3 + 9 =6
Penyelesaiannya (– , 6) Untuk x = 1 ⇒
y =2×1+9 = 11 Penyelesaiannya (1, 11).
Jadi, himpunan penyelesaiannya {(– , 6), (1, 11)}. 21. Jawaban: c Persamaan-persamaan dalam sistem sebagai berikut. y = px2 + 4x + 9 . . . (1) y = –2x – 9 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). px2 + 4x + 9 = –2x – 9
⇔ px2 + 4x + 2x + 9 + 9 = 0 ⇔ px2 + 6x + 18 = 0 . . . (3) Diperoleh a = p, b = 6, c = 18. Sistem persamaan mempunyai 1 penyelesaian jika diskriminan persamaan (3) bernilai nol. D = b2 – 4ac ⇔ 62 – 4 × p × 18 = 0 ⇔ 36 – 72p = 0 ⇔ 72p = 36
⇔
p=
Jadi, nilai p = . 22. Jawaban: b Garis g: y = ax + b melalui titik (0, 1) berarti garis g memotong sumbu Y di titik (0, 1) sehingga persamaan garis menjadi y = ax + 1. Substitusikan y = ax + 1 ke dalam persamaan y = x2 + 4x + 2. ⇒ ax + 1 = x2 + 4x + 2 ⇔ x2 + (4 – a)x + 1 = 0 Garis menyinggung kurva maka D = 0. ⇒ (4 – a)2 – 4 × 1 × 1 = 0 ⇔ (4 – a)2 – 4 = 0 ⇔ (4 – a)2 – 22 = 0 ⇔ (4 – a – 2)(4 – a + 2) = 0 ⇔ (2 – a)(6 – a) = 0 ⇔ 2 – a = 0 atau 6 – a = 0 ⇔ a = 2 atau a=6 Diperoleh persamaan garis g : y = 2x + 1 atau y = 6x + 1. 23. Jawaban: c Persamaan-persamaan yang saling berpotongan: y = 2x2 + 6x – 11 . . . (1) y = x2 + 2x + 10 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). 2x2 + 6x – 11 = x2 + 2x + 10 =0 ⇔ 2x2 – x2 + 6x – 2x – 11 – 10 ⇔ x2 + 4x – 21 = 0 ⇔ (x + 7)(x – 3) = 0 ⇔ x = –7 atau x = 3 Disyaratkan x1 > x2, sehingga diambil x1 = 3. x1 = 3 ⇒ y1 = 2x12 + 6x1 – 11 = 2(3)2 + 6 × 3 – 11 = 2 × 9 + 18 – 11 = 18 + 7 = 25 Diperoleh titik A(x1, y1) = A(3, 25). Sumbu koordinat = O(0, 0).
Persamaan garis yang melalui O(0, 0) dan A(3, 25) sebagai berikut.
−
−
=
− −
⇔
− −
= −
−
⇔
−
=
−
⇔ 25(x – 3) = 3(y – 25) ⇔ 25x – 75 = 3y – 75 ⇔ 3y – 25x = 0 ⇔
y= x Jadi, persamaan garis yang melalui titik A dan
sumbu koordinat adalah y = x. 24. Jawaban: d 5x2 – 4x + 2n = 6x + 3 ⇔
5x2 – 10x + (2n – 3) = 0
Kedua kurva saling bersinggungan jika D = 0. b2 – 4ac = 0 ⇔ (–10)2 – 4 × 5(2n – 3) = 0 ⇔ 100 – 40n + 60 = 0 ⇔ 40n = 160 ⇔ n=4 25. Jawaban: c Misalkan: p = panjang balok = lebar balok t = tinggi balok Diketahui p = + 2 Luas permukaan balok = 348 ⇔ 2(p + pt + t) = 348 ⇔ ( + 2) + ( + 2)9 + 9 = 174 2 + 2 + 9 + 18 + 9 = 174 ⇔ 2 + 20 = 156 ⇔ . . . (1) Volume balok = 432. ⇔ p t = 432 ⇔ ( + 2) × 9 = 432 2 + 2 = 48 ⇔ . . . (2) 2 Eliminasi dari persamaan (1) dan (2). 2 + 20 = 156 2 + 2 = 48 ––––––––––––– – 18 = 108 ⇔ =6 p = + 2 ⇔ p = 6 + 2 ⇔ p = 8 cm
Matematika Kelas X
87
Luas alas balok = p × =8×6 = 48 cm2 Jadi, luas alas balok 48 cm2. 26. Jawaban: c 2x + y – 8 = 0 ⇔ y = –2x + 8 . . . (1) 2 2 x + y + 3xy + 1 = 0 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). x2 + (–2x + 8)2 + 3x(–2x + 8) + 1 = 0 ⇔ x2 + 4x2 – 32x + 64 – 6x2 + 24x + 1 = 0 ⇔ –x2 – 8x + 65 = 0 ⇔ x2 + 8x – 65 = 0 ⇔ (x + 13)(x – 5) = 0 ⇔ x + 13 = 0 atau x – 5 = 0 ⇔ x = –13 atau x = 5 Substitusikan nilai x = –13 dan x = 5 ke dalam persamaan (1). Untuk x = –13 maka y = –2(–13) + 8 = 34 Untuk x = 5 maka y = –2 × 5 + 8 = –2 Jadi, himpunan penyelesaian sistem dalam persamaan adalah {(–13, 34), (5, –2)}. 27. Jawaban: b (2, 1) merupakan penyelesaian dari sistem persamaan: by = (a – a2)x + a2 + 3 2by = ax + 2 Dengan demikian diperoleh: b × 1 = (a – a2)2 + a2 + 3 ⇔ b = 2a – 2a2 + a2 + 3 ⇔ b = –a2 + 2a + 3 . . . (1) 2b × 1 = a × 2 + 2 ⇔ 2b = 2a + 2 ⇔ b=a+1 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). a + 1 = –a2 + 2a + 3 2 ⇔ a –a–2=0 ⇔ (a – 2)(a + 1) = 0 ⇔ a – 2 = 0 atau a + 1= 0 ⇔ a = 2 atau a = –1 Substitusikan a = 2 dan a = –1 ke dalam persamaan (2). Untuk a = 2 ⇒ b = 2 + 1 = 3 Nilai a + b = 2 + 3 = 5 Untuk a = –1 ⇒ b = –1 + 1 = 0 Nilai a + b = –1 + 0 = –1 Jadi, nilai a + b adalah 5 atau –1.
88
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
28. Jawaban: e y = 4x + p . . . (1) y = x2 – 2x + 3 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 4x + p = x2 – 2x + 3 ⇔ x2 – 2x + 3 – 4x – p = 0 ⇔ x2 – 6x + (3 – p) = 0 Syarat sistem persamaan mempunyai penyelesaian tunggal adalah D = 0. (–6)2 – 4 × 1 × (3 – p) = 0 ⇔ 36 – 4(3 – p) = 0 ⇔ 36 – 12 + 4p = 0 ⇔ 4p = –24 ⇔ p = –6 Jadi, p = –6. 29. Jawaban: a y = 2x2 – 4x + 3 . . . (1) 2 y = x – 6x + 6 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 2x2 – 4x + 3 = x2 – 6x + 6 ⇔ 2x2 – 4x + 3 – x2 + 6x – 6 = 0 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 1) = 0 ⇔ x = –3 atau x = 1 Substitusikan x = –3 dan x = 1 ke dalam persamaan (1). Untuk x = –3 ⇒ y = 2(–3)2 – 4(–3) + 3 = 18 + 12 + 3 = 33 Untuk x = 1 ⇒ y = 2(1)2 – 4(1) + 3 =2–4+3 =1 Jadi, nilai y yang memenuhi 33 atau 1. 30. Jawaban: d Misalkan: x = bilangan x>y y = bilangan Sistem persamaan yang terbentuk: x–y=2 ⇔ y=x–2 . . . (1) (x + y)2 = 256 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). (x + x – 2)2 = 256 ⇔ (2x – 2)2 – 256 = 0 ⇔ (2x – 2)2 – 162 = 0 ⇔ (2x – 2 – 16)(2x – 2 + 16) = 0 ⇔ (2x – 18)(2x + 14) = 0
⇔ 2x – 18 = 0 atau 2x + 14 = 0 ⇔ x = 9 atau x = –7 Oleh karena kedua bilangan bulat positif maka x = 9. Diperoleh y = 9 – 2 = 7. Jadi, bilangan yang terkecil adalah 7.
2. a.
Persamaan-persamaan pada SPLDV: 3x + 5y = –7 . . . (1) 4x – 3y = –19 . . . (2) Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). × 4 12x + 20y = –28 × 3 12x – 9y = –57 ––––––––––––– – 29y = 29 ⇔ y=1 y = 1 ⇒ 3x + 5y = –7 ⇔ 3x + 5 = –7 ⇔ 3x = –12 ⇔ x = –4 Jadi, himpunan penyelesaiannya {(–4, 1)}.
Persamaan-persamaan pada SPLDV: 3x + y + 4z = 4 . . . (1) 5x – y + 3z = 19 . . . (2) 2x + 2y + 3z = –5 . . . (3) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). 3x + y + 4z = 4 5x – y + 3z = 19 ––––––––––––– + 8x + 7z = 23 . . . (4) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (3). 3x + y + 4z = 4 × 2 6x + 2y + 8z = 8 2x + 2y + 3z = –5 × 1 2x + 2y + 3z = –5 –––––––––––––– – 4x + 5z = 13 ...(5) Eliminasi x dari persamaan (4) dan (5). 8x + 7z = 23 × 1 8x + 7z = 23 4x + 5z = 13 × 2 8x + 10z = 26 ––––––––––– – –3z = –3 ⇔ z=1 z = 1 ⇒ 4x + 5z = 13 ⇔ 4x + 5 = 13 ⇔ 4x = 8 ⇔ x=2 x = 2, z = 1 ⇒ 3x + y + 4z = 4 ⇔ 6+y+4=4 ⇔ 10 + y = 4 ⇔ y = –6 Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2, –6, 1)}.
⇔
3x + 5y = –7 4x – 3y = –19
b.
. . . (1) . . . (2)
px2 – 3x + 1 = –x – 1 ⇔ px2 – 3x + x + 1 + 1 = 0 ⇔ px2 – 2x + 2 = 0 . . . (3) Diperoleh: a = p, b = –2, c = 2 Agar sistem persamaan mempunyai satu penyelesaian nilai determinan persamaan (3) harus nol. D = b2 – 4ac = 0 ⇔ (–2)2 – 4 × p × 2 = 0 ⇔ 4 – 8p = 0
B. Uraian 1. a.
y = px2 – 3x + 1 y = –x – 1
8p = 4 ⇔ p =
Jadi, p = . b.
y = x2 + 4x + 2 = 0
y = px –
x2 + 4x + 2 = px –
⇔ x2 + 4x – px + 2 + = 0 ⇔
x2 + (4 – p)x + = 0
Diperoleh a = 1, b = 4 – p, c = . D=0 ⇔
b2 – 4ac = 0
⇔ (4 – p)2 – 4 × 1 × = 0 ⇔
(4 – p)2 – 9 = 0
⇔
(4 – p)2 = 9
⇔
4 – p = ±3
Untuk 4 – p = 3 ⇒ p = 1 Untuk 4 – p = –3 ⇒ p = 7. Jadi, p = 1 atau p = 7. 3. Misalkan: x = berat daging sapi dalam kilogram y = berat ikan segar dalam kilogram Dari permasalahan di atas dapat dibentuk sistem persamaan linear berikut. Persamaan linear untuk kebutuhan kalori: 500x + 350y = 27.500 . . . (1) Persamaan linear untuk kebutuhan protein: 200x + 400y = 16.200 . . . (2)
Matematika Kelas X
89
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 500x + 350y = 27.500 200x + 400y = 16.200
×2 ×5
1.000x + 700y = 55.000 1.000x + 2.000y = 81.000 ––––––––––––––––––––– – –1.300y = –26.000 ⇔ y = 20
Substitusikan y = 20 ke dalam persamaan (2). 200x + 400y = 16.200 ⇔ 200x + 400(20) = 16.200 ⇔ 200x = 16.200 – 8.000
⇔
x = = 41 Kebutuhan daging sapi pada hari Senin 41 kg dan ikan segar 20 kg. Biaya yang harus dikeluarkan rumah sakit untuk memenuhi kebutuhan kalori dan protein pasien pada hari Senin = x × Rp40.000,00 + y × Rp15.000,00 = 41 × Rp40.000,00 + 20 × Rp15.000,00 = Rp1.640.000,00 + Rp300.000,00 = Rp1.940.000,00
4. Panjang = a Lebar =b Tinggi = c
H
D
Dari permasalahan terb A sebut diperoleh: B a Keliling alas = keliling persegi panjang ABCD ⇔ 76 = 2(a + b) ⇔ a + b = 38 . . . (1) Keliling sisi tegak depan= keliling ABFE ⇔ 80 = 2(a + c) ⇔ a + c = 40 . . . (2) Keliling sisi tegak samping = keliling BCGF ⇔ 68 = 2(b + c) ⇔ b + c = 34 . . . (3) SPLTV dari masalah tersebut: a + b = 38 a + c = 40 b + c = 34 Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2). a + b = 38 a + c = 40 –––––––– – b – c = –2 . . . (4) Eliminasi a dari persamaan (3) dan (4). b + c = 34 b – c = –2 ––––––––– + 2b = 32
90
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
5. Misalkan: x = besar pinjaman di bank A y = besar pinjaman di bank B z = besar pinjaman di lembaga keuangan z = 80.000.000 – 70.000.000 = 10.000.000 Sistem persamaan linear yang terbentuk dari permasalahan tersebut: x + y = 70.000.000 . . . (1)
G
c
⇔ x + y + 1.300.000 = 8.500.000
F
E
⇔ b = 16 cm b = 16 ⇒ b – c = –2 ⇔ 16 – c = –2 ⇔ c = 18 cm a + b = 38 ⇔ a + 16 = 38 ⇔ a = 22 cm VABCD.EFGH = a × b × c = 22 × 16 × 18 = 6.336 cm3 Jadi, volume kubus tersebut 6.336 cm3.
C
⇔
x + y + × 10.000.000 = 8.500.000
x + y = 7.200.000 ⇔ 11x + 10y = 720.000.000 . . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). x + y = 70.000.000 × 10 10x + 10y = 700.000.000 11x + 10y = 720.000.000 × 1 11x + 10y = 720.000.000 ––––––––––––––––––– – –x = –20.000.000 ⇔ x = 20.000.000
Substitusikan x = 20.000.000 ke dalam persamaan (1). x + y = 70.000.000 ⇔ 20.000.000 + y = 70.000.000 ⇔ y = 50.000.000 Jadi, besar pinjaman Pak Didin di bank A dan bank B berturut-turut Rp20.000.000,00 dan Rp50.000.000,00. 6. Misalkan: a = sisi pertama b = sisi kedua c = sisi ketiga Dari permasalahan tersebut diperoleh SPLTV: a + b + c = 23 . . . (1) 2a + b = 2 + 2c ⇔ 2a + b – 2c = 2 . . . (2) a + 2b + c = 31 . . . (3) Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2). a + b + c = 23 × 2 2a + 2b + 2c = 46 2a + b – 2c = 2 × 1 2a + b – 2c = 2 –––––––––––––– – b + 4c = 44 . . . (4)
Eliminasi a dari persamaan (1) dan (3). a + b + c = 23 a + 2b + c = 31 ––––––––––––– – –b = –8 ⇔ b = 8 cm b = 8 cm ⇒ b + 4c = 44 ⇔ 8 + 4c = 44 ⇔ 4c = 36 ⇔ c = 9 cm a + b + c = 23 ⇔ a + 8 + 9 = 23 ⇔ a + 17 = 23 ⇔ a = 6 cm Jadi, ukuran sisi-sisi segitiga ABC berturut-turut 6 cm, 8 cm, dan 9 cm. 7. Misalkan: x = banyak buku yang dibaca Agus y = banyak buku yang dibaca Budi z = banyak buku yang dibaca Anto Sistem persamaan yang terbentuk dari permasalahan tersebut: x:y=6:5 ⇔ 5x = 6y ⇔ 5x – 6y = 0 . . . (1) y:z=5:7 ⇔ 7y = 5z ⇔ 7y – 5z = 0 . . . (2) x + z = 65 . . . (3) Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3). 5x – 6y = 0 ×1 5x – 6y = 0 x + z = 65 × 5 5x + 5z = 325 ––––––––––––– – –6y – 5z = –325 . . . (4) Eliminasi z dari persamaan (2) dan (4). 7y – 5z = 0 –6y – 5z = –325 ––––––––––––– – 13y = 325 ⇔ y = 25 Substitusikan y = 25 ke dalam persamaan (1). 5x – 6y = 0 ⇒ 5x – 6 · 25 = 0 ⇔ 5x = 150 ⇔ x = 30 Substitusikan x = 30 ke persamaan (3). x + z = 65 ⇒ 30 + z = 65 ⇔ z = 35 Jadi, banyak buku yang telah dibaca Agus, Budi, dan Anto berturut-turut 30, 25, dan 35. 8. Misalkan: x = harga 1 buku tulis y = harga 1 pensil z = harga 1 penghapus Diperoleh SPLTV berikut. 2x + y + 3z = 10.500 . . . (1) y + 2z + x = 6.800 . . . (2) 3x + 3y + 3z = 15.600 . . . (3)
Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). 2x + y + 3z= 10.500 y + 2z + x = 6.800 –––––––––––––––– – x + z = 3.700 . . . (4) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (3). 2x + y + 3z = 10.500 3x + 3y + 3z = 15.600
×3 ×1
6x + 3y + 9z = 31.500 3x + 3y + 3z = 15.600 –––––––––––––––––– – 3x + 6z = 15.900 ⇔ x + 2z = 5.300 . . . (5)
Eliminasi x dari persamaan (4) dan (5). x + z = 3.700 y + 2z= 5.300 –––––––––––– – –z = –1.600 ⇔ z = 1.600 z = 1.600 ⇒ x + z = 3.700 ⇔ x + 1.600 = 3.700 ⇔ x = 2.100 2x + y + 3z = 10.500 ⇔ 2 × 2.100 + y + 3 × 1.600 = 10.500 ⇔ 4.200 + y + 4.800 = 10.500 ⇔ y + 9.000 = 10.500 ⇔ y = 1.500 4x + 2y + z = 4 × 2.100 + 2 × 1.500 + 1.600 = 8.400 + 3.000 + 1.600 = 13.000 Jadi, Lusi harus membayar sebesar Rp13.000,00. 9. Titik B(–4, 2) merupakan titik potong garis dan kurva maka: 4 × 2 = a(–4)2 + 12(–4) + 8 ⇔ 8 = 16a – 40 ⇔ 16a = 48 ⇔ a=3 Substitusikan a = 3 dan (–4, 2) ke dalam persamaan garis . 2y – ax = b ⇒ 2 · 2 – 3(–4) = b ⇔ b = 16 Persamaan garis menjadi: 2y – 3x = 16 ⇔ 2y = 3x + 16
. . . (1)
Persamaan kurva menjadi: 4y = 3x2 + 12x + 8 . . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). 2y = 3x + 16 × 2 4y = 6x + 32 4y = 3x2 + 12x + 8 × 1 4y = 3x2 + 12x + 8 –––––––––––––––– – 0 = –3x2 – 6x + 24 ⇔ x2 + 2x – 8 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 2) = 0 ⇔ x + 4 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –4 atau x=2
Matematika Kelas X
91
Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan (1). 2y = 3x + 16 ⇒ 2y = 3 × 2 + 16 ⇔ 2y = 22 ⇔ y = 11 Jadi, koordinat titik A(2, 11). 10. x2 + y2 + 2x – 19 = 0 x2 + y2 + 5x + y – 26 = 0
. . . (1) . . . (2)
Eliminasi x2 dan y2 dari persamaan (1) dan (2). x2 + y2 + 2x – 19 = 0 2 x + y2 + 5x + y – 26 = 0 –––––––––––––––––––––––– – –3x – y + 7 = 0 ⇔ y = 7 – 3x . . . (3)
Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1). x2 + y2 + 2x – 19 = 0 2 ⇔ x + (7 – 3x)2 + 2x – 19 = 0 ⇔ x2 + (49 – 42x + 9x2) + 2x – 19 = 0 ⇔ 10x2 – 40x + 30 = 0 ⇔ x2 – 4x + 3 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 3) = 0 ⇔ x = 1 atau x = 3 Substitusikan x = 1 dan x = 3 ke dalam persamaan (3). Untuk x = 1 ⇒ y = 7 – 3(1) =7–3=4 Untuk x = 3 ⇒ y = 7 – 3(3) = 7 – 9 = –2 Jadi, himpunan penyelesaiannya {(1, 4), (3, –2)}.
92
Sistem Persamaan Linear-Kuadrat
5.
A. Pilihan Ganda 1.
− +
Jawaban: c +
−
− +
+
=
−
− +
+
Jawaban: b +5 = =
−
= − +
2log
−
⋅ ⋅ −
=
−
−
− +
−
=
=
⋅ = ⋅
=
=
=
p = pm sehingga m =
⋅
( )
=p
= + 2log 6.
b=
5
blog
a =
=
=
=
⇔
× – 2n ×
8 + 8n = 5 – 12n
⇔
20n = –3
⇔
n=
−
−
=
−
8.
log ( )–1 = –
– 2n
Jadi, nilai n yang memenuhi adalah .
log
Jadi, nilai blog a = – .
Jawaban: d ⇔ 2 × + n × =
( )4
Jawaban: a
2 + n =
= 9 + 8 – 12 = 5 7.
=
= 3 × + 2 × – 6 ×
Jawaban: d a = 0,6666. . . diubah menjadi bentuk pecahan biasa terlebih dahulu. 10a = 6,6666. . . a = 0,6666. . . ––––––––––––––– – 9a = 6 ⇔ a =
2log
3 + 2 – 6
+
= 1 + + 2log
Jadi, nilai m = . 4.
2log
=1+
Jawaban: c
+ = 2log 2
= 2log 2 + 2log
⋅ ⋅ −
= t3x – 3 + 6 · s3 – 6y + 6y = t3x + 3 · s3 3.
+5
=2
Jawaban: a
−
− + −
+5
=2 –5+5
= 24m – m + 2 + 1 33n – 2n – 3 – 1 = 23m + 3 3n – 4 2.
− − −
Jawaban: c 2n + 3 – 2n + 2 – 2n = 192 ⇔ 2n × 23 – 2n × 22 – 2n = 192 ⇔ 2n(8 – 4 – 1) = 192 ⇔ 2n = 64 ⇔ 2n = 26 ⇔ n=6 Jadi, nilai n = 6.
Matematika Kelas X
93
(x1 + x2)2 + (x1 – x2)2
9. Jawaban: d
− .
Penyebut dari fungsi yaitu
− harus lebih dari nol agar fungsi terdefinisi.
= 2(x1 + x2)2 – 4x1x2
⇔ 25 – x2 > 0 ⇔ (5 – x)(5 + x) > 0
= 2(4)2 – 4 × 3 = 20
Pembuat nol: (5 – x) = 0 atau (5 + x) = 0 ⇔ x = 5 atau x = –5 ++ –5
= 2x12 + 2x22 = 2(x12 + x22)
− > 0
––
= (x12 + 2x1x2 + x22) + (x12 – 2x1x2 + x22)
––
(x1 + x2)2(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2(x12 + x22 – 2x1x2) = 42((x1 + x2)2 – 2x1x2 – 2x1x2) = 16(42 – 2 × 3 – 2 × 3) = 16(4) = 64
5
Persamaan kuadrat baru yaitu:
Nilai x yang memenuhi adalah –5 < x < 5. Jadi, domain fungsi tersebut adalah {x | –5 < x < 5}.
x2 – ((x1 + x2)2 + (x1 – x2)2)x + (x1 + x2)2(x1 – x2)2
10. Jawaban: c Grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X jika D < 0.
13. Jawaban: b Suatu fungsi selalu bernilai positif untuk sebarang nilai x jika D < 0 dan a > 0.
b2 – 4ac < 0 ⇔ (6k)2 – 4(9k – 1)(k + 1) < 0
⇔ x2 – 20x + 64 = 0
Fungsi Kuadrat 3x2 – 5x – 4 5x2 – 2x + 3 3x2 + 5x – 4 –5x2 + 2x – 3 –3x2 – 2x + 3
⇔ 36k2 – 4(9k2 + 8k – 1) < 0 ⇔ ⇔
36k2 – 36k2 – 32k + 4 < 0 32k > 4
⇔
k>
Jadi, batas nilai k adalah k >
.
11. Jawaban: b Grafik memotong sumbu X di titik A(1, 0) dan B(4, 0) sehingga f(x) = a(x – 1)(x – 4). Grafik melalui titik C(0, –4) sehingga f(0) = –4. f(0) = a(0 – 1)(0 – 4) ⇔ –4 = 4a ⇔ a = –1 Persamaan grafik menjadi: f(x) = –1(x – 1)(x – 4) = –(x2 – 5x + 4) = –x2 + 5x – 4 Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat adalah f(x) = –x2 + 5x – 4.
Dari x2 – 4x + 3 = 0 diperoleh a = 1, b = –4, dan c = 3. x1 + x2 = – x1 · x2 =
94
=4
=3
Ulangan Akhir Semester
3>0 5>0 3>0 –5 < 0 –3 < 0
Nilai D (–5)2 – 4 · 3(–4) > 0 (–2)2 – 4 · 5 · 3 < 0 52 – 4 · 3 · (–4) > 0 22 – 4 · (–5) · (–3) < 0 (–2)2 – 4 · (–3) · 3 > 0
Dari tabel di atas terlihat bahwa fungsi 5x2 – 2x + 3 mempunyai a = 5 > 0 dan D = –56 < 0. Jadi, fungsi yang selalu bernilai positif untuk sebarang nilai x adalah pilihan b. 14. Jawaban: d f(x) = 3x2 + 3x + 6 mempunyai a = 3, b = 3, dan c = –6. D = b2 – 4ac = 32 – 4 × 3 × (–6) = 81 Oleh karena D = 81 > 0 maka grafik fungsi f(x) memotong sumbu X di dua titik atau fungsi f(x) mempunyai dua akar yang berbeda. Jadi, pernyataan yang benar pilihan d. 15. Jawaban: d
Sumbu simetri: x = ⇔
12. Jawaban: b
Nilai a
⇔ ⇔ ⇔
− − +
=
= –5p = 2(p2 + 1) 2p2 + 5p + 2 = 0
⇔ (2p + 1)(p + 2) = 0 ⇔ 2p + 1 = 0 atau p + 2 = 0
Absis titik balik:
⇔
p = – atau p = –2
+
Oleh karena p bilangan bulat maka diambil p = –2. Diperoleh: f(x) = ((–2)2 + 1)x2 + 2(–2)x – 10 = x1x2 =
5x2
– 4x – 10
= – = –2 Jadi, hasil kali akar-akarnya adalah –2.
= + 2x + 1) + 2 = 5x – 6x + 5
– 8x + 4)
Jadi, persamaan grafik fungsi kuadratnya adalah y = –x2 + 2x + 3.
= 5(x2 – x + ( )2) – 5( )2 + 5
19. Jawaban: c
Dari persamaan
= 5(x – )2 – 5 × + 5
= 5(x – )2 +
Disimpulkan: a(x + p)2 + q = 5(x – )2 + ,
sehingga a = 5, p = – , dan q = .
5apq = 5 × 5 × (– ) × = –48 Jadi, nilai 5apq = –48.
17. Jawaban: c Nilai maksimum fungsi = 25.
⇔ ⇔
– = 25 − – + − × − × – × −
+ (m – 4)x + 18 = 0 diperoleh
= 5(x – )2 – + 5
⇒
a = –1
⇔ y = –x2 + 2x + 3
= 5(x2 – x + ( )2 – ( )2) + 5
3=a+4
⇔
y = –(x – 1)2 + 4
⇔
Persamaan grafik fungsi kuadratnya:
= 5(x2 – x) + 5
18. Jawaban: c Persamaan grafik fungsi kuadrat yang puncaknya di titik (1, 4) berbentuk y = f(x) = a(x – 1)2 + 4. f(0) = a(0 – 1)2 + 4
(x + 1)2 + (2x – 2)2 (4x2
= − = –3 Jadi, titik balik maksimum fungsi tersebut (–3, 25).
Grafik melalui titik (0, 3), maka f(0) = 3.
16. Jawaban: a (x2
+
−
x = = ⋅ −
= 25 = 25
⇔ m2 + 4m + 4 + 16m = 100 ⇔ m2 + 20m – 96 = 0 ⇔ (m + 24)(m – 4) = 0 ⇔ m + 24 = 0 atau m – 4 = 0 ⇔ m = –24 atau m = 4 Oleh karena m > 0 maka m = 4.
a = , b = m – 4, dan c = 18. Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar jika D = 0. D=0 ⇔ b2 – 4ac = 0
⇔ (m – 4)2 – 4 × × 18 = 0 ⇔ m2 – 8m + 16 – 36 = 0 ⇔ m2 – 8m – 20 = 0 ⇔ (m + 2)(m – 10) = 0 ⇔ m = –2 atau m = 10 Jadi, nilai m = –2 atau m = 10. 20. Jawaban: d 2x2 + 4x – 60 > x2 + 3x + 12 ⇔ x2 + x – 72 > 0 ⇔ (x – 8)(x + 9) > 0 Pembuat nol: (x – 8)(x + 9) = 0 ⇔ x – 8 = 0 atau x + 9 = 0 ⇔ x = 8 atau x = –9 ++
–– –9
++ 8
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah {x | x < –9 atau x > 8}.
Matematika Kelas X
95
21. Jawaban: c Persamaan kuadrat mempunyai dua akar real dan berbeda jika D > 0. b2 – 4ac > 0 2 ⇔ (4k) – 4(1 + k) × 9 > 0 ⇔ 16k2 – 36k – 36 > 0 ⇔ 4k2 – 9k – 9 > 0 ⇔ (4k + 3)(k – 3) > 0 Pembuat nol: 4k + 3 = 0 atau k – 3 = 0
⇔
k = – atau ++
–– –
k=3 ++
3
Jadi, nilai k adalah k < – atau k > 3. 22. Jawaban: b Substitusikan y = mx + 11 ke dalam persamaan kurva. mx + 11 = 2x2 – x + 13 2 ⇔ 2x – (m + 1)x + 2 = 0 Garis tidak memotong kurva jika D < 0. b2 – 4ac < 0 ⇔ (–(m + 1))2 – 4 × 2 × 2 < 0 ⇔ (m + 1)2 – 42 < 0 ⇔ (m + 1 – 4)(m + 1 + 4) < 0 ⇔ (m – 3)(m + 5) < 0 Pembuat nol: m – 3 = 0 atau m + 5 = 0 ⇔ m = 3 atau m = –5 ++
–– –5
++ 3
Jadi, batas-batas nilai m adalah –5 < m < 3. 23. Jawaban: b Misalkan: x = banyak air yang dapat ditampung wadah kecil y = banyak air yang dapat ditampung wadah besar Diperoleh SPLDV: 2x + y = 8 . . . . (1) y–x=2 . . . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). 2x + y = 8 y–x=2 ––––––––– – 3x = 6 ⇔ x=2
96
Ulangan Akhir Semester
Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan y – x = 2. y–2=2 ⇔ y=4 Jadi, wadah kecil dapat menampung air 2 cangkir, sedangkan wadah besar 4 cangkir. 24. Jawaban: e Misalkan: x = banyak soal ”Benar/Salah” y = banyak soal ”Pilihan Ganda” Diperoleh SPLDV: x + y = 20 . . . . (1) 3x + 11y = 100 . . . . (2) Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). x + y = 20 ×3 3x + 3y = 60 3x + 11y = 100 ×1 3x + 11y = 100 –––––––––––– – –8y = –40 ⇔ y=5 Jadi, banyak soal ”Pilihan Ganda” ada 5 buah. 25. Jawaban: b Substitusikan y = 2x – 2 ke dalam persamaan y = x2 – x – 6. 2x – 2 = x2 – x – 6 ⇔ x2 – x – 2x – 6 + 2 = 0 ⇔ x2 – 3x – 4 = 0 ⇔ (x – 4)(x + 1) = 0 ⇔ x = 4 atau x = –1 Jadi, penyelesaiannya x = –1 atau x = 4. 26. Jawaban: b Substitusikan y = 3x – 5 ke dalam persamaan kurva y = 3x2 – 7x – 2. 3x2 – 7x – 2 = 3x – 5 ⇔ 3x2 – 10x + 3 = 0 ⇔ (3x – 1)(x – 3) = 0 ⇔ 3x – 1 = 0 atau x – 3 = 0 ⇔
x = atau
x=3
Untuk x = , nilai y = 3 × – 5 = –4 Untuk x = 3, nilai y = 3 × 3 – 5 = 4
Jadi, titik potongnya adalah ( , –4) dan (3, 4). 27. Jawaban: d y = ax + 6 y = ax2 + (a + 4)x + 36 Eliminasi y dari (1) dan (2). y = ax + 6 y = ax2 + (a + 4)x + 36 –––––––––––––––––––––– – 0 = –ax2 + (a – a – 4)x – 30
. . . (1) . . . (2)
⇔ 0 = –ax2 – 4x – 30 2 ⇔ ax + 4x + 30 = 0 . . . (3) Persamaan (3) akan mempunyai penyelesaian tunggal jika D = 0.
42 – 4 × a × 30 = 0 ⇔ a = =
Jadi, nilai a = . 28. Jawaban: b Substitusikan (16, m) ke dalam persamaan garis
y = x – 2.
m = × 16 – 2 = 2 Substitusikan (16, 2) ke dalam persamaan kurva y2 + ky – x – 4 = 0. 22 + 2k – 16 – 4 = 0 ⇔ 2k = 16 ⇔ k=8 Jadi, nilai m = 2 dan k = 8. 29. Jawaban: c y = x2 + 2x + c . . . (1) y = –x2 – 2x + q . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). x2 + 2x + c = –x2 – 2x + q 2 2 ⇔ x + x + 2x + 2x + c – q = 0 ⇔ 2x2 + 4x + c – q = 0 Syarat ke dua parabola berpotongan di satu titik adalah D = 0. ⇔ b2 – 4ac = 0 2 ⇔ 4 – 4 × 2 × (c – q) = 0 ⇔ 8(c – q) = 16 ⇔ c–q=2 Jadi, nilai c – q = 2. 30. Jawaban: b PT =
+ =
+ = 13x cm
Keliling PQRST = panjang kawat ⇔ PQ + QR + RS + ST + PT = 70 ⇔ 5x + y + 12x + y + 13x = 70 ⇔ 30x + 2y = 70 ⇔ 15x + y = 35 ⇔ y = 35 – 15x Luas PQRST = 240 RS(PR
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ ST) = 240
× 12x(5x + y + y) = 240 x(5x + 2y) = 40 5x2 + 2xy = 40
⇔ 5x2 + 2x(35 – 15x) = 40 2 ⇔ 5x + 70x – 30x2 – 40 = 0 ⇔ –25x2 + 70x – 40 = 0 ⇔ 25x2 – 70x + 40 = 0 ⇔ 5x2 – 14x + 8 = 0 ⇔ (5x – 4)(x – 2) = 0 ⇔ 5x – 4 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔
x = atau
x=2
Untuk x = , nilai y = 35 – 15 × = 23 Untuk x = 2, nilai y = 35 – 15 × 2 = 5
Jadi, nilai x = dan y = 23 atau x = 2 dan y = 5. 31. Jawaban: b Diketahui: x = harga tiket dewasa y = harga tiket pelajar 5x + 2y = 48 3x + 2y = 32 –––––––––––– – 2x = 16 ⇔ x=8 Jadi, harga tiket dewasa 8 dolar Amerika. 32. Jawaban: d y – 2x = –2 ⇔ y = 2x – 2 Substitusikan y = 2x – 2 ke dalam persamaan y = x2 – 2x + 2. 2x – 2 = x2 – 2x + 2 ⇔ x2 – 2x – 2x + 2 + 2 = 0 ⇔ x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ (x – 2)2 = 0 ⇔ x=2 Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan y = 2x – 2. y=2×2–2=2 Jadi, penyelesaiannya (2, 2) 33. Jawaban: a y – 5x = 25 ⇔ y = 5x + 25 Substitusikan y = 5x + 25 ke dalam persamaan y = x2 + 1. 5x + 25 = x2 + 1 ⇔ x2 – 5x – 24 = 0 ⇔ (x – 8)(x + 3) = 0 ⇔ x = 8 atau x = –3 Untuk x = 8, nilai y = 5 × 8 + 25 = 65 Untuk x = –3, nilai y = 5 × (–3) + 25 = 10 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(8, 65), (–3, 10)}.
Matematika Kelas X
97
Pembuat nol: x(x – 2) = 0 x = 0 atau x – 2 = 0 ⇒ x = 2
34. Jawaban: d
+ > x + 3 mempunyai penyelesaian: 1)
+ > x + 3 (kuadratkan kedua ruas) ⇔ x + 3 > x2 + 6x + 9 ⇔ –x2 + x – 6x + 3 – 9 > 0 ⇔ –x2 – 5x – 6 > 0 (kedua ruas di⇔ x2 + 5x + 6 < 0 kalikan –1) ⇔ (x + 3)(x + 2) < 0 Pembuat nol: (x + 3) (x + 2) = 0 ⇔ (x + 3) = 0 atau (x + 2) = 0 ⇔ x = –3 atau x = –2 ++
––
++
–3
2)
. . . (1)
++
– 0
3)
++
. . . (2)
2
Syarat 3x + 6 > 0 3x + 6 > 0 ⇔ 3x > –6 ⇔ x > –2 ––
++
. . . (3)
–2
Penyelesaian (1), (2), dan (3) dapat digambarkan dalam garis bilangan berikut.
–2
Syarat x + 3 > 0 x+3>0 ⇔ x > –3
–1
6 0
2
–2 –1 0
2
. . . (2) –3
–2
Penyelesaian (1) dan (2) digambarkan pada garis bilangan:
6
Jadi, penyelesaiannya –1 < x < 0 atau 2 < x < 6. –3
–2
–3
–2
–3
–2
36. Jawaban: d x + 6 ≥ x2 + 2x ⇔ + 2x – x – 6 ≤ 0 ⇔ x2 + x – 6 ≤ 0 ⇔ (x + 3)(x – 2) ≤ 0 Pembuat nol: x + 3 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –3 atau x=2 x2
Jadi, nilai yang memenuhi –3 < x < –2. 35. Jawaban: e
− – + < 0 mempunyai penyelesaian: 1)
− – ⇔
+ < 0
−
0 x2 – 2x > 0 ⇔ x(x – 2) > 0
Ulangan Akhir Semester
−
−
−
< 3 ⇔ –3 < − < 3, artinya terdapat dua kemungkinan penyelesaian.
−
−
⇔ ++ 6
2
37. Jawaban: e
1)
Pembuat nol: (x + 1)( x – 6) = 0 ⇔ x = –1 atau x = 6
–1
++
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah {x | –3 ≤ x ≤ 2}.
+
––
–– –3
⇔ x2 – 2x < 3x + 6 (kuadratkan kedua ruas) ⇔ x2 – 2x – 3x – 6 < 0 ⇔ x2 – 5x – 6 < 0 ⇔ (x +1)(x – 6) < 0
++
++
⇔ . . . (1)
⇔ ⇔
> –3
− +3
− −
− + −
−
− + −
− −
−
>0 >0 >0 >0
Pembuat nol: 4x – 5 = 0 atau x – 1 = 0
⇔
x = atau x=1 Nilai x yang memenuhi dapat digambarkan dengan garis bilangan berikut. ++
––
++
1
2)
−
−
⇔ ⇔
− +
−
⇔
