02 Deret Tak Hingga [PDF]

Citation preview

2. DERET BILANGAN REAL 2. 1 KEKONVERGENAN DERET 2.1.1 Definisi



Deret takhingga



a adalah pasangan terurut



an



n 1 n



n 1



, sn



n 1



dimana



an



n 1



adalah



barisan bilangan real dan



s n a1 a2 ... an , n an disebut suku ke-n (nth term) dari deret. s n disebut jumlah parsial ke-n (nth partial sum) dari deret. a kadang kadang ditulis a1 a2 ... an + … atau secara sederhana ditulis a1 a2 ...



n 1 n



Boleh juga dalam penulisan indexnya diawali dengan 0, sehingga beberapa deret kadang ditulis dengan a (sehingga dalam kasus ini s n



n 1 n



ditulis dengan 2.1.2



sn



n 0



Definisi



x 2 ... dapat



xn . a



Misalkan



a1 a2 ... an ,



. Jika s n



n 1



adalah



n 1 n



n



konvergen ke A. Jika s n Jika



a0 a1 a2 ... an ) sebagai contoh deret 1 x



n 1



deret



bilangan



konvergen ke A



real



dengan



maka deret



jumlah



parsial



a disebut deret yang



n 1 n



a disebut divergen.



divergen maka deret



n 1 n



a konvergen ke A maka bisa ditulis



a = A. Jadi



n 1 n



n 1 n



a bukan hanya digunakan untuk



n 1 n



menyatakan deret, namun juga digunakan untuk menyatakan jumlah deret tersebut (jika deret tersebut konvergen).



a konvergen ke A dan



2.1.3 Teorema Jika



b



n 1 n



konvergen ke A + B, juga jika c



maka



n 1



konvergen ke B maka deret



n 1 n



n 1



an b n



can konvergen ke cA.



Bukti:



a konvergen maka lim an



2.1.4 Test Suku ke-n. Jika



n 1 n



n



Bukti: gunakan definisi dan fakta bahwa an 2.1.5 Kriteria Cauchy untuk Deret. Deret 0, n 0



sn



s n 1 (Bartle, hal 91).



a konvergen jika dan hanya jika



n 1 n



sehingga jika m



n



n0



2.1.6 Teorema. Deret dg Suku Non Negatif. Misalkan an



a konvergen jika dan hanya jika s k



Maka deret



n 1 n



a



lim s k



n 1 n



k



0.



k 1



sm n 1



sn adalah barisan bilangan real yang non negatif.



terbatas. Dan dalam kasus ini



sup s k : k



Bukti: gunakan teorema bahwa barisan yang monoton adalah konvergen jhj barisan tersebut terbatas (Bartle, hal 91). 2.1.7 Teorema. Test Deret Berganti Tanda. Misalkan an



an



1. 2. maka deret



n 1



lim an



n



n 1



n 1



adalah barisan bilangan real yang positif, jika:



barisan tidak naik. 0



( 1) n 1 an konvergen.



Bukti : Lihat Golberg, hal 73, Bartle, hal 264.



Catatan kuliah ini dapat di download di : http://math-76.co.nr kalau ada koreksi bisa kirim ke email: [email protected]



1



2.1.8 Test Perbandingan. Misalkan n0



sehingga n



n 0 , 0 an



an



bn



adalah barisan bilangan real dan misalkan



n 1



a konvergen.



n 1 n



n 1 n



a divergen maka



2. jika



dan



b n maka berlaku:



b konvergen maka



1. jika



n 1



b divergen.



n 1 n



n 1 n



Bukti: Lihat Bartle, hal 93. 2.1.9 Test Perbandingan Limit. Misalkan an limit berikut ini ada di 1. jika r



0 maka



2. jika r



0 , jika



: r



n 1



dan b n



n 1



adalah barisan bilangan positif dan misalkan



an bn



lim



n



a konvergen jhj



n 1 n



b konvergen maka



n 1 n



b konvergen.



n 1 n



a konvergen



n 1 n



Bukti: Lihat Bartle, hal 93. 2.1.10 Test Dirichlet. Misalkan an



b terbatas maka



n 1 n



n 1



barisan tak naik dengan lim an n



0 dan jika jumlah parsial sn dari



a b konvergen.



n 1 n n



2.1.11 Test Abel. Misalkan



an



n 1



barisan monoton dan konvergen dan



b konvergen



n 1 n



maka



a b konvergen.



n 1 n n



2.1.12 Contoh Soal 1. r n konvergen untuk r n 1



1 . (gunakan definisi).



n



2. 3. 4.



n 1



n 1



1



divergen. (gunakan definisi).



1 konvergen. (pecah dulu jadi dua suku). n (n 1)



1 divergen. n Bukti : 1 1 sn 1 ... , n 2 n sn 1 sn , n . Jadi s n n 1



ditunjukkan kalau s n



s 2n



1 1 2 3 1 1 1 2 4 1 1 1 2 2 n 1 2 1



n 1



1 1 1 1 ... sn jelas bahwa 2 n n 1 n 1 adalah barisan tak turun. Untuk menunjukkan divergen tinggal



dan n 1



sn



1



1



tak terbatas.



1 1 1 1 1 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 4 8 8 8 8 1 1 ... 2 2



... ...



1 n 1



2 1 2n



1 ...



...



1 2n



1 2n



Catatan kuliah ini dapat di download di : http://math-76.co.nr kalau ada koreksi bisa kirim ke email: [email protected]



2



s 2n



Karena



n 1



adalah sub barisan dari s n



yang tak terbatas, maka s n



n 1



1 divergen. n Atau bisa juga ditunjukkan dengan menggunakan kriteria cauchy bahwa s n sehingga s n



(yakni 5. 6. 7.



s 2n



sn



n 1



divergen, akibatnya



n 1



tak terbatas



n 1



n 1



bukan barisan cauchy



1/ 2 ) shg ia divergen.



1 konvergen. (bartle hal 91) n2 1 konvergen (gunakan test perbandingan, bandingkan dg no 5) 1 2 n n 1 konvergen. (gunakan test perbandingan limit, bandingkan dg no 5). 1 2 n n 1



n 1



n



n



2.2 KONVERGEN BERSYARAT & KONVERGEN ABSOLUT 2.2.1 Definisi misalkan a deret bilangan real. n 1 n 1. jika



n 1



2. jika



an konvergen maka



a konvergen absolut.



n 1 n



a konvergen, namun



n 1 n



n 1



an divergen, maka



a konvergen bersyarat (Konvergen



n 1 n



tidak absolut). 2.2.2 contoh 1 1. konvergen absolut karena n 1 2 n 2.



1 n 1



n 1



1 konvergen n2



n 1



n



konvergen bersyarat karena



n 1



1 n 1



konvergen namun



n



1 n 1



n



n 1 n 1



1 n



divergen. TEST UNTUK KEKONVERGENAN ABSOLUT 2.2.3 Test Perbandingan Limit II. Misalkan an n 1 dan b n n 1 adalah barisan bilangan tidak nol, dan misalkan limit berikut ini ada di 1. jika r



0 maka



2. jika r



0 , jika



: r



lim



n



an bn



a konvergen absolut jhj



b konvergen absolut.



n 1 n



n 1 n



b konvergen absolut maka



a konvergen absolut.



n 1 n



n 1 n



Bukti: langsung dari test perbandingan limit. 2.2.4 Test Akar. Misalkan an 1. jika r



n 1



, r 1, n 0



2. jika n 0



shg an



adalah barisan real shg an



1/ n



1, n



1/ n



r, n



n 0 maka



n 0 maka



a konvergen absolut.



n 1 n



a divergen.



n 1 n



Bukti : bartle, hal 257 2.2.5 Akibat. Misalkan an 1. jika r 1 maka 2. jika r 1 maka



n 1



adalah barisan real dan misalkan r



lim an



n



1/ n



ada di



maka



a konvergen absolut.



n 1 n



a divergen.



n 1 n



Catatan kuliah ini dapat di download di : http://math-76.co.nr kalau ada koreksi bisa kirim ke email: [email protected]



3



2.2.6 Test Rasio. Misalkan an 1. jika r



n 1



adalah barisan real tidak nol.



, dengan 0 < r 1, n 0



2. jika n 0



shg



an 1 an



2.2.7 Akibat. Misalkan an



1, n



n 1



shg



an 1 an



r, n



n 0 maka



a konvergen absolut.



n 1 n



a divergen.



n 0 maka



n 1 n



adalah barisan real tidak nol dan misalkan r



lim



n



an 1 ada di an



maka



a konvergen absolut.



1. jika r 1 maka



n 1 n



a divergen.



2. jika r 1 maka



n 1 n



2.2.8 Test Integral. Misalkan f adalah fungsi tak turun dan positif pada t : t



1 . Maka deret



n 1



f (k )



konvergen jhj b



f (t )dt 1



lim f (t )dt ada.



b



1



Dalam kasus kekonvergenan, jumlah parsial s n f (t )dt



s



sn



n 1



n k 1



f (k ) dan s



k 1



f (k ) memenuhi perkiraan:



f (t )dt n



Bukti: bartle, hal 259 2.2.9 Contoh Soal. Kerjakan dulu sebelum kuliah. 1 1 1. konvergen. (gunakan test perbandingan limit, bandingkan dg yang konvergen) n 1 2 n 1 n n (n 1) 1 2. konvergen jika p > 1. (gunakan test integral) n 1 p n 3. periksa kekonvergenan deret dengan suku ke-n nya sbb: 1 e. (n (n 1) 1/ 2 a. (n 1)( n 2) f. ( n 2 ( n 1) 1/ 2 n n! b. g. (n 1)( n 2) n c. d.



2 1/ n n 2n



h.



( 1) n n n 1



p



4. Jika a dan b positif, maka



n 1



(an b )



konvergen jika p > 1 dan divergen jika p 1 .



Catatan kuliah ini dapat di download di : http://math-76.co.nr kalau ada koreksi bisa kirim ke email: [email protected]



4