Deret Tak Hingga, Uji Kekonvergenan Deret, Deret Taylor Dan Deret Maclaurin (9 [PDF]

Citation preview

MAKALAH DERET TAK HINGGA, UJI KEKONVERGENAN DERET, DERET TAYLOR DAN DERET MACLAURIN



Disusun untuk memenuhi tugas matakuliah: KalkulusLanjut 1 Dosen Pengampu: Dra. Emi PujiastutiM.Pd



DisusunOleh: Kelompok 9 1. NovianaPramudiyanti



4101409071



2. JenyRahmawati



4101409079



3. Adi Tri Arifin



4101409087



4. SantiNoviyanti



4101409076



5. DevySeptianaIrawati



4101409131



JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2010 1 Kalkulus Lanjut 1 Kelompok 9



BAB I PENDAHULUAN



A.



LATAR BELAKANG Pemahaman tentang definisi, teorema, dan konsep-konsep mengenai Deret tak hingga, Uji kekonvergenan deret, Deret Taylor, dan Deret Maclaurin sangat penting untuk dipelajari. Beserta dengan operasi dari deret-deret tersebut. Karena materi ini merupakan pengantar untuk materi Kalkukus Lanjut 2 yang akan kita pelajari selanjutnya.



B.



RUMUSAN MASALAH 1. Bagaimana konsep deret tak hingga? 2. Bagaimana konsep uji kekonvergenan deret? 3. Bagaimana konsep deret Taylor dan deret Maclaurin? 4. Bagaimana deret Maclaurin yang penting? 5. Bagaimana operasi terhadap deret-deret di atas?



C.



TUJUAN PENULISAN Tujuan penulisan makalah ini adalah unutk memenuhi tugas mata kuliah Kalkulus Lanjut 1 serta sebagai bahan pembelajaran dan referensi.



2 Kalkulus Lanjut 1 Kelompok 9



BAB II DERET TAK HINGGA, UJI KEKONVERGENAN DERET, DERET TAYLOR, DAN DERET MACLAURIN



A. PENGANTAR a) Deret Berhingga Dan Deret Tak Hingga Dari setiap barisan bilangan dapat di buat suatu barisan baru dengan menjumlahkan suku-sukunya secara parsial. Misalnya pada barisan dengan suku-suku a1 , a2 , a3 , a4  dapat dibentuk ”jumlah parsial” berikut.



Jumlah satu suku pertama adalah S1  a1 Jumlah dua suku pertama adalah S 2  a1  a2 Jumlah tiga suku pertama adalah S3  a1  a2  a3 Jumlah empat suku pertama adalah S 4  a1  a2  a3  a4 Pada umumnya, sebuah deret berhingga dinyatakan dalam bentuk: a1  a2  a3  a4    an , dimana an adalah bilangan atau fungsi yang diberikan oleh



rumus. Sedangkan sebuah deret tak hingga dapat dinyatakan dalam bentuk: a1  a2  a3  a4    an   Tiga titik pada akhir bentuk di atas mempunyai arti



bahwa deret tersebut tidak akan pernah berhenti. Kita dapat menuliskan deret pada bentuk yang lebih pendek dengan menggunakan bentuk penjumlahan ∑ berikut dengan rumus untuk suku ke n. Contohnya adalah sebagai berikut: 



a). 1  2  3  4    n     n 2 2



2



2



2



2



n 1



(dibaca: jumlah dari n2 dari n = 1 sampai ) x  x2 



b).



 x3 (1) n1 x n (1) n 1 x n     2 (n  1)! n 1 ( n  1)!



(dibaca: jumlah dari



(1) n 1 x n dari n = 1 sampai ) (n  1)!



3 Kalkulus Lanjut 1 Kelompok 9



b) Deret Pangkat Hingga saat ini kita telah mempelajari deret-deret konstanta yang berbentuk ∑ Un, dengan Un sebuah bilangan. Sekarang kita akan mempelajari deret fungsi suatu deret yang berbentuk ∑ Un (x). suatu contoh deret adalah: ∞



𝑛=1



sin 𝑛𝑥 sin 𝑥 sin 4𝑥 sin 3𝑥 = + + +⋯ 𝑛2 1 4 9



Ada banyak deret, namun pada bagian ini kita akan menjelaskan sebuah deret di mana suku ke n adalah perkalian konstanta a dengan xn atau perkalian konstanta a dengan (x - a)n. Hal ini disebut dengan deret pangkat, karena suku-sukunya adalah perkalian pangkat dari x atau (x - a). Dari definisi di atas, deret pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk: 



a n 0



n



x n  a0  a1 x  a 2 x 2  a3 x 3  



Atau 



a n 0



n



( x  a) n  a0  a1 ( x  a)  a2 ( x  a) 2  a3 ( x  a) 3  



dimana an adalah konstanta. Berikut adalah beberapa contoh deret pangkat: a).



1



x x2 x3 (  x) n    n  2 4 8 2



b).



x



x2 x3 x4 (1) n 1 x n     2 3 4 n



c).



x



x3 x5 x7 (1) n1 x 2 n1     3! 5! 7! (2n  1)!



d). 1 



( x  2) 2







( x  2) 2 3



 ... 



( x  2) n n 1



 ...



4 Kalkulus Lanjut 1 Kelompok 9



Pendiferensialan dan Pengintegralan suku demi suku; TEOREMA Andaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret pangkat pada sebuah selang I; Jadi: ∞



𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑎0 +𝑎1 𝑥+𝑎2 𝑥 2 +𝑎3 𝑥 3 + ⋯



𝑆 𝑥 = 𝑛 =0



Maka apabila x ada di dalam I, berlakulah; 1. 𝑆 𝑥 = 2.



∞ 𝑆 𝑛=0



∞ 𝑛=1 𝐷𝑥



𝑡 𝑑𝑡 =



𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑥 ∞ 𝑛=1 0



∞ 𝑛 −1 𝑛=1 𝑛𝑎𝑛 𝑥



𝑎𝑛 𝑡 𝑛 𝑑𝑡 =



= 𝑎1 + 2𝑎2 𝑥 + 3𝑎3 𝑥 2 + ⋯



𝑎𝑛 ∞ 𝑛 +1 𝑛=0 𝑛+1 𝑥



1 1 1 = 𝑎0 𝑥 + 𝑎1 𝑥 2 + 𝑎2 𝑥 3 + 𝑎3 𝑥 4 + ⋯ 2 3 4 c) Deret Berganti Tanda Deret berganti tanda (alternating series), yaitu deret yang berbentuk 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 + ⋯ di mana 𝑎𝑛 > 0 untuk seluruh 𝑛. Sebuah contoh yang penting adalah deret harmonik berganti tanda (alternating harmonic series) 1 1 1 1− + − +⋯ 2 3 4 Kita telah melihat bahwa deret harmonik divergen, tetapi berikut ini kita akan melihat bahwa deret harmonik berganti tanda bersifat konvergen.



Teorema Uji Deret Berganti Tanda Misalkan 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 + ⋯ Adalah deret berganti dengan 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 > 0. Jika lim𝑛 →∞ 𝑎𝑛 = 0, maka deret tersebut konvergen. Di samping itu, kesalahan yang dibuat dengan menggunakan jumlah 𝑠𝑛 dari 𝑛 suku pertama untuk menghampiri jumlah 𝑆 dari deret tersebut tidak lebih dari 𝑎𝑛+1 . 5 Kalkulus Lanjut 1 Kelompok 9



B. UJI KEKONVERGENAN DERET Dari penjelasan sebelumnya, kita dapat memperoleh jumlah n suku pertama adalah



Sn=a1+a2+a3+a4+…+an=



n k=1 ak



Jika ada suatu bilangan real S sedemikian hingga lim𝑛 →∞ 𝑆𝑛 = 𝑆 maka ∞ n=1 ankonvergen



dikatakan bahwa deret takhingga ini dituliskan dengan ∞ n=1 anjuga dikatakan



∞ n=1 an=



dan mempunya jumlah S. Hal



S. Sebaliknya jika lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 divergen maka deret



divergen.



Contoh: Perhatikan Deret Geometri



∞ 𝑘 𝑘=0 𝑟 ∞ 𝑘=0 1



a) Jika r=1 jelas bahwa deret



= ∞. Jadi deret geometri dengan rasio r=1



adalah divergen. b) Jika



1



𝑟 < 1 berlaku lim𝑛→∞ 𝑟 𝑛+1 = 0 maka lim𝑛 →∞ 𝑆𝑛 = 1−𝑟 . Dengan



demikian jika 𝑟 < 1 maka



∞ 𝑘 𝑘=0 𝑟



1



= 1−𝑟 .



c) Jika r > 1 maka lim𝑛 →∞ 𝑟 𝑛+1 = ∞ dan jika r 1,lim𝑛→∞ 𝑟 𝑛+1 tidak ada. Jadi jika 𝑟 > 1 maka



∞ 𝑘 𝑘=0 𝑟 divergen.



Contoh diatas merupakan bukti teorema berikut Teorema Jika x adalah bilangan real dimana 𝑥 > 1 maka deret geometri



∞ 𝑘 𝑘=0 𝑥



1



konvergen dan mempunyai jumlah (1−𝑥). Deret geometri ini penting karena terkadang dapat dipakai untuk menentukan jumlah suku-suku deret lain seperti contoh-contoh berikut, 1) Penggantian x dengan x2 diperoleh: 1 + 𝑥2 + 𝑥4 + 𝑥6 + 𝑥8 + ⋯ =



1 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑥 < 1. (1 − 𝑥 2 )



2) Untuk menghitung jumlah suku-suku dengan pangkat ganjil diperoleh dengan mengalikan setiap sukunya dengan x, sehingga: 𝑥 𝑥 + 𝑥3 + 𝑥5 + 𝑥7 + 𝑥9 + ⋯ = 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑥 < 1. (1 + 𝑥 2 )



6 Kalkulus Lanjut 1 Kelompok 9



3) Jika x diganti dengan –x diperoleh: 1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 − ⋯ =



1 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑥 < 1. (1 + 𝑥)



4) Penggantian x dengan –x2 diperoleh: 1 − 𝑥2 + 𝑥4 − 𝑥6 + 𝑥8 − ⋯ =



1 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑥 < 1. (1 + 𝑥 2 )



5) Penggantian x dengan 2x diperoleh: 1 + 4𝑥 2 + 16𝑥 4 + ⋯ + 4𝑘 𝑥 2𝑘 + ⋯ = Semua deret yang berbentuk



1 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 2𝑥 < 1. (1 − 4𝑥 2 )



𝑎𝑘 𝑥𝑘 dinamakan Deret Kuasa. Dalam hal ini



merupakan peubah sedangkan a1 , a2 , a3 , a4  masing-masing disebut koefisien dari deret kuasa tersebut. 1) Deret dengan suku-suku positif Kekonvergenan suatu deret khusus ∑ak ditentukan dengan cara menyelidiki apakah barisan jumlah parsial Sn mempunyai limit untuk𝑛 → ∞. Dalam deret khusus, seperti deret geometri, jumlah parsial Sn dapat dirumuskan sehingga limit Sn untuk 𝑛 → ∞ mudah ditentukan. Pada umumnya rumus untuk Sn sukar dicari, sehingga perlu adanya suatu uji kekonvergenan yang tidak menggunakan jumlah parsialnya. Teorema (Uji Kedivergenan) Jika deret ∑ak konvergen, maka lim𝑘→∞ 𝑎𝑘 = 0. Bukti Misalkan 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 dan lim𝑛 →∞ 𝑆𝑛 = 𝑆. Karena 𝑎𝑘 = 𝑆𝑘 − 𝑆𝑘−1 maka lim𝑘→∞ 𝑎𝑘 = lim𝑘→∞ (𝑆𝑘 − 𝑆𝑘−1 ) = lim𝑘→∞ 𝑆𝑘 − lim𝑘→∞ 𝑆𝑘−1 = 𝑆 − 𝑆 = 0. Terbukti. Teorema ini hanya digunakan untuk membuktikan kedivergenan suatu deret yakni dengan memanfaatkan kontraposisisnya yakni, “jika lim𝑘→∞ 𝑎𝑘 ≠ 0 maka deret



𝑎𝑘 divergen.”



Teorema



7 Kalkulus Lanjut 1 Kelompok 9



Andaikan 𝑎𝑘 ≥ 0 untuk setiap 𝑘 ≥ 1 maka deret



𝑎𝑘 konvergen jika dan hanya



jika barisan jumlah parsial Sn terbatas atas. Bukti Andaikan barisan Sn terbatas atas. Karena 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 dan 𝑎𝑘 ≥ 0 maka Sn adalah barisan tak turun dan terbatas atas. Akibatnya barisan Sn konvergen sehingga deret



𝑎𝑘 juga konvergen. 𝑎𝑘 konvergen berarti lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 = 𝑆. Karena 𝑆𝑛 ≥ 𝑆𝑛−1



Sebaliknya apabila deret



berarti barisan Sn merupakan barisan tak turun dan terbatas atas S. Terbukti Contoh Kita akan menentukan kekonvergenan deret 1



1



∞ 1 𝑘=1 2



berlaku𝑘! ≤ (2)𝑘−1 . Akibatnya karena 𝑆𝑛 =



1 𝑛 𝑘=1 𝑘!




1 sedangkan lim𝑥→∞ 𝑥 −𝑝 = ∞ untuk p1 dan divergen bila p 1. Selanjutnya



𝑎𝑁+1 > 𝑎𝑁 , 𝑎𝑁+2 > 𝑎𝑁+1 > 𝑎𝑁 , 𝑎𝑁+3 > 𝑎𝑁 ,… Jadi untuk setiap 𝑘 ≥ 𝑁 maka berlaku 𝑎𝑘 > 𝑎𝑁 > 0. Berarti lim𝑘→∞ 𝑎𝑘 ≠ 0 (>aN atau tidak ada)sehingga deret iii.



Deret Harmonik



1 𝑘



∞ 𝑘=1 𝑎𝑘



divergen dan deret-p



divergen.



1 𝑘2



konvergen sedangkan keduanya



mempunyai nilai𝜌 = 1. Contoh Perhatikan deret 𝜌 = lim𝑘→∞



𝑎 𝑘 +1 𝑎𝑘



∞ 3𝑘 𝑘=1 𝑘! .



Kemudian



= lim𝑘→∞



3𝑘 𝑘+1



÷ !



3𝑘 𝑘!



= lim𝑘→∞



3 𝑘+1



= 0(