04 Kel 4 Harapan Matematik [PDF]

Citation preview

TUGAS STATISTIK II PROBABILITAS (HARAPAN MATEMATIS)



Disusun Oleh : Evinia Rahma Putri



(1603501016)



Firda Rizqa Nurjannah



(1603500993)



Hafsotunnisa



(1602500854)



Halimatusa'diah



( 1502500845)



Marshadea



(1603501026)



Weliya Pesti



(1603501002)



STIE MUHAMMADIYAH JAKARTA



i



KATA PENGANTAR



Puji syukur kami ucapkan kepada yang maha pemberi nikmat kesehatan jasmani dan rohani yakni Allah SWT, karena dengan nikmat-Nya saya dapat menyelesaikan tugas makalah dengan pokok bahasan “Harapan Matematis”. Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Statistik Matematika II. Tidak lupa penulis ucapkan kepada Bapak Dosen Statistik Matematika II, yang telah mengarahkan dan membimbing mata kuliah Statistik Matematika II. Penulis menyadari bahwa keterbatasan pengetahuan dan pemahaman tentang konsep. Harapan Matematis menjadikan keterbatasan itu pula untuk memberikan penjabaran yang lebih dalam tentang masalah ini, kiranya mohon dimaklumi apabila banyak terdapat kekurangan dan kesalahan dalam penyusunan makalah ini. Sebagai harapan semoga makalah ini membawa manfaat bagi kita, setidaknya untuk sekadar membuka cakrawala berpikir kita tentang konsep dari harapan matematis dalam kehidupan kita.



Jakarta, 5 Maret 2018



PENULIS



ii



DAFTAR ISI



BAB I......................................................................................................................................................1 PENDAHULUAN..................................................................................................................................1 A.



LATAR BELAKANG..................................................................................................................1



B.



RUMUSAN MASALAH............................................................................................................1



BAB II....................................................................................................................................................2 PEMBAHASAN....................................................................................................................................2 A.



Pengertian Nilai Ekspektasi.........................................................................................................2



B.



Nilai Harapan dari Peubah acak..................................................................................................4



C.



Distribusi probabilitas.................................................................................................................5



D.



Kovariansi...................................................................................................................................8



BAB III.................................................................................................................................................12 PENUTUP............................................................................................................................................12 A.



KESIMPULAN.........................................................................................................................12



DAFTAR PUSTAKA...........................................................................................................................13



iii



BAB I PENDAHULUAN



A. LATAR BELAKANG Distribusi probabilitas memiliki berbagai sifat atau karakteristik yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi suatu distribusi. Karakteristik yang biasa digunakan antara lain ratarata hitung yang biasa disebut “harapan matematis” (nilai harapan) dan variansi. Harapan matematis ini menentukan tendensisentral dari distribusi probabilitas. Sering kali kita menjumpai data pengamatan yang memuat perubah acak tidak tunggal. Misalnya, X dan Y perubah acak, maka nilai harapan dinyatakan, Variansi dari X dan Y dinyatakan, dan kovariansi dari perubah acak X dan Y dinyatakan.



B. RUMUSAN MASALAH Ada pun pokok permasalahan dalam pembuatan makalah ini adalah : 1. 2. 3. 4.



Bagaimanakah pengertian dan konsep dari nilai harapan dari peubah acak? Bagaimanakan pengertian dan konsep dari variansi dan kovariansi? Bagaimanakah kegunaan dari harapan matematis? Bagaimanakah pengertian fungsi distribusi probabilitas?



1



BAB II PEMBAHASAN



A. Pengertian Nilai Ekspektasi Ekspektasi matematika atau harga harapan atau mean(rata- rata) atau sering disebut ekspektasi saja, adalah satu konsep penting dalam teori dasar statistika. Jika X adalah sembarang variabel radon, maka ekspektasi matematika dari variabel radom X biasanya dinotasikan dengan E(X) atau µ. Nilai ekspektasi matematika adaIah suatu nilai yang dapat dipakai untuk mewakili kualitas data dalam bentuk range nilai. Ekspektasi matematika dibagai menjadi dua bagian, yaitu : Ekspektasi pertama dan Ekspektasi kedua. 1.



Ekspektasi pertama berupa nilai pemusatan. Dalam hal itu, ekspektasi pertama dinyatakan sebagai nilai rata-rata dan dituliskan dengan :



Selain rata-rata, nilai pemusatan yang banyak digunakan adalah nilai median (tengah). Nilai median dapat ditentukan dengan menggunakan aturan berikut :



dengan m sebagai nilai median. 2. Ekspektasi kedua berupa nilai penyebaran. Dalam hal itu, ekspektasi kedua dinyatakan sebagai nilai varians. Dengan istilah lain, ekspektasi kedua adalah rata-rata penyebaran di sekitar nilai rata-rata. 2



Contoh : 1. Dari jumlah pelanggan yang melakukan transaksi pembelian computer setiap harinya di toko XYZ selama 10 hari, diketahui data sebagai berikut : 1430321123 Nilai rata-rata : Varians



Ruang solusinya adalah : S = {0,1,2,3,4} Histogram dari data tersebut adalah : H (0) = 1 H (1) = 3 H (2) = 2 H (3) = 3 H (4) = 1 Fungsi kepadatan probabilitasnya adalah : f (0) =1/10 f (1) = 3/10 f (2) = 2/10 f (3) = 3/10 f (4) = 1/10 Mediannya dapat dihitung dengan : f(0) + f(1) = 0,4 f(0) + f(1) + f(2) = 0,6 Jadi, mediannya adalah 2



3



Cara lain menentukan median adalah dengan mengurutkan data lalu data yang berada di posisi tengah itulah mediannya : 0 1 1 1 2 2 3 3 3 1



B. Nilai Harapan dari Peubah acak



Nilai harapan perubah acak X atau rata-rata distribusi peluang X ditulis atau dalam statistik rata-rata ini disebut harapan matematik, dinyatakan sebagai E(X). Rata-rata atau nilai harapan dari perubah acak X ini menggambarkan letak pusat distribusi probabilitas. Variabel random adalah fungsi pemetaan yang menandai dari hasil suatu eksperimen sebagai suatu nilai numerik. Nilai numerik ini banyaknya dapat terhitung maupun tak hingga, tergantung eksperimen dan ruang sampelnya. Ada dua jenis variabel random : 1. Variabel acak diskrit adalah variabel random yang hanya dapat mengambil nilai sebanyak terhitung. 2. Variabel acak kantin adalah variabel random yang dapat mengambil tak hingga banyak nilai numerik Contoh: Tiga mobil dipilih secara acak dan setiap kategori memiliki mesin disel (D) atau tidak memiliki mesin disel (F). jika X (variabel acak) = jumlah mobil dengan mesin disel, daftarkan masing-masing hasil ke dalam S dan nilai X yang terkait. Penjelasan: Kamu harus memilih tiga mobil berdisel (D) dan tidak berdisel (F). Karena jumlah mobil tidak disebutkan dan hanya tiga mobil yang dipilih, mobil yang terpilih adalah 2 mobil disel dan satu mobil tidak berdisel, tiga mobil disel dan nol mobil tidak berdisel, dan seterusnya. Oleh karena itu, semua hasil yang mungkin adalah: S = { (D,D,D), (D,D,F), (D,F,F), (F,F,F), (D,F,D), (F,F,D), (F,D,F), (F,D,D) } Sekarang, beri tanda '3' untuk hasil yang menunjukkan tiga mobil disel beri tanda '2' untuk hasil yang menunjukkan dua mobil disel 4



beri tanda '1' untuk hasil yang menunjukkan satu mobil disel beri tanda '0' untuk hasil yang menunjukkan nol mobil disel Oleh karena itu, variabel random X adalah



X = 3, 2, 1, 0, 2, 1, 1, 2



Sifat-sifat nilai harapan: - Jika a dan b konstanta, X dan Y peubah acak, maka E(aX+b) = a E(X) + b. - Jika b suatu konstanta maka E(b ) = b - Jika peubah acak X dikalikan dengan konstanta c, maka E(cX) = c E(X) - Jika X dan Y peubah acak maka E (X–Y) = E (X) – E (Y) - Jika X dan Y peubah acak yang bebas, maka E(X,Y) = E(X) E(Y) C. Distribusi probabilitas Distribusi probabilitas adalah suatu distribusi yang mengambarkan peluang dari sekumpulan variat sebagai pengganti frekuensinya. Distribusi probabilitas dibagi menjadi 2 : 1. Distribusi probabilitas diskrit 2. Distribusi probabilitas kontinu A. Variansi dan kovariansi 1. Variansi - nilai harapan peubah acakX seringkali disebut rataan (mean) dan dilambangkan dengan μ - Tetapi, rataan tidak memberikan gambaran dispersi ataupencaran data. Rataan dari masingmasing peubah acak berbeda mungkin sama, meskipun distribusinya tidak sama. Oleh karena itu diperlukan besaran lain yang menggambarkan sebaran data. - Selain rataan, besaran lain yang sangat penting dalamprobstat adalah variansi, simpangan baku, dan kovariansi. Definisi. Misalkan X adalah variabel random dengan distribusi peluang f(X) dan rataan μ. Variansi dari X adalah:



jika X diskrit, dan



5



jika X kontinu. Akar kuadrat dari variansi disebut dengan deviasi standar atau simpangan baku dari X dan dilambangkan dengan σ Interpretasi: Nilai x – μ disebut penyimpangan suatu pengamatan dari rataannya. Karena penyimpangan ini dikuadratkan lalu dirata-ratakan, maka σ2 akan lebih kecil untuk kelompok nilai x yang dekat μ dibandingkan dengan kelompok nilai x yang jauh dari μ. Dengan kata lain, jika nilai-nilai x cenderngterkonsentrasi di dekat rataannya, maka variansinya kecil. Sedangkan jika jauh dari rataan maka variansinya besar.



Perhatikan bahwa variansi selalu positif (mengapa?), dan simpangan baku adalah akar positif dari variansi.



Variansikecil Variansibesar



Contoh 1. Diberikan disribusi peluang sbb:



6



x



1



2



3



f(x)



0.3



0.4



0.3



Hitunglah variansi dari X. Jawaban:



Variansi juga dapat dihitung dengan rumus lain yang lebih mudah, yaitu: σ2 = E(X2) – μ2



Contoh 2. Misalkan X menyatakan banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin bila 3 suku cadang diambil secara acak dari proses produksi. Distribusi peluang X:. x f(x)



0



1 0.51



2 0.38



3 0.10



0.01



Hitunglah variansi dari X Jawaban: μ = E(X)=(0)(0.51) + (1)(0.38) + (2)(0.10) + (3)(0.01) = 0.61 E(X2) = (0)(0.51) + (1)(0.38) + (4)(0.10) + (9)(0.01) = 0.87 Jadi, σ2 = 0.87 – (0.61)2 = 0.4979



D. Kovariansi Misalkan X dan Y adalah variabel random dengan distribusi peluang gabungan f(x, y). Kovariansi dari X dan Y adalah 7



jika X dan Y diskrit, dan



Jika X dan Y kontinu Interpretasi: Kovariansi antara dua peubah acak menunjukkan sifat asosiasi (hubungan) antara keduanya;



Jika kedua peubah tersebut bergerak kearah yang sama (X membesar dan Y membesar) maka hasil kali (X - μx)(Y μy) cenderung bernilai positif;



Jika bergerak kearah berlawanan (X membesar dan Y mengecil), maka hasil kali (X - μx)(Y μy) cenderung akan bernilai negatif. Tanda kovariansi (+ atau -) menunjukkan apakah hubungan antara kedua peubah acak positif atau negatif. Kovariansi juga dapat dihitung bila dengan rumus yang lebih mudah sebagai berikut:



Contoh 1. Misalkan X = jumlah ballpoint warna biru, dan Y = jumlah ballpoint warna merah. Bila dua ballpoint diambil secara acak dari kotak, distribusi peluang gabungannya sudah dihitung pada contoh terdahulu, yaitu: f(x,y)



x=0



x=1



x=2



h(y)



y=0



2/28



9/28



3/28



15/28



y=1



3/14



3/14



3/7 8



y=2



1/28



g(x)



5/14



1/28 5/18



3/28



1



Hitunglah kovariansi dari X dan Y Jawaban:



Sehingga diperoleh



Contoh 2. X bagian pelari pria dan Y bagian pelari wanita yang menempuh lomba maraton mempunyai distribusi peluang gabungan



Hitunglah kovariansi X dan Y Jawaban: Distribusi marginal X dan Y adalah



Dari fungsi peluang diatas diperoleh



9



sehingga



Sifat-Sifat Variansi Teorema 1. Jika a dan b adalah konstanta maka : σ2aX + b = a2σ2X = a2σ2 Akibat 1: Jika a = 1, maka σ2X + b = σ2X = σ2 Akibat 2: Jika b = 0, maka σ2 aX = a2σ2X = a2 σ2 Teorema 2. Jika X dan Y adalah peubah acak dengan distribusi peluang f(x,y) maka : σ2aX+bY = a2σ2X + b2σ2Y + 2abσXY Akibat 1: Jika X dan Y peubah acak saling bebas, maka: σ2aX + bY = a2σ2X + b2σ2Y Akibat 2: Jika X dan Y variabel random saling bebas, maka: σ2aX - bY = a2σ2X + b2σ2Y Contoh 1. Jika X dan Y adalah peubah acak dengan variansi σ2X = 2, σ2Y = 4 dan kovariansi σXY = -2, hitunglah variansi dari peubah acak Z = 3X – 4Y + 8. Jawaban: σ2Z = σ23X-4Y+8 = σ23X-4Y



(menurut Akibat 1 Teorema 1)



= 9σ2X + 16σ2Y - 24σX Y = 130



10



BAB III PENUTUP



A. KESIMPULAN -



Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan (rata- rata) perubah acak X adalah 11



-



Jika X suatu peubah acak dengan fungsi massa peluang f(x), dengan rata-rata, maka



-



variansi X adalah Kovariansi dua perubah acak X dan Y dengan rata-rata dan diberikan oleh rumus Variansi peubah acak X dapat dihitung dari turunan fpm M(t) untuk t =0, yaitu



DAFTAR PUSTAKA



Tiro, Arif, Muhammad. 2008. PENGANTAR TEORI PELUANG. Makassar :Andira Publisher. www.google.co.id/search



12