08 - Titik Stasioner Dan Jenisnya [PDF]

Citation preview

APLIKASI TURUNAN FUNGSI



TITIK STASIONER DAN JENISNYA Oleh :



Saptana Surahmat



Pada pembahasan tentang fungsi naik dan fungsi turun telah disinggung bahwa kondisi naik dan turun dari fungsi dapat ditentukan dengan mengamati nilai turunan pertama dari fungsi tersebut. Bila fungsi dimaksud adalah f(x) dan turunannya f ‘(x), maka f(x) dikatakan naik bila f ‘(x) > 0 dan turun bila f ’(x) < 0. Bagaimana keadaanya bila nilai dari f ’(x) = 0 ? Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita perhatikan kembali grafik dari fungsi f(x) dan keadaan garis singgungnya yang dapat dilihat dari nilai f ’(x).



Gambar 2.



Dari gambar di atas tampak bahwa tepat di titik B terjadi perubahan nilai dari f ‘(x) positif menuju f ‘(x) negatif. Nilai f ‘(x) di titik B tersebut dapat dipastikan adalah nol. Keadaan garis singgung di titik B adalah mendatar (sejajar dengan sumbu X). Dalam hal ini fungsi tidak naik dan juga tidak turun. Kondisi ini disebut sebagai kondisi stasioner (kritis). Titiktitik yang mengalami kondisi stasioner dinamakan titik stasioner. Dengan mengamati gambar 2, terlihat bahwa titik stasioner B, C dan D berbeda keadaanya. Titik B dapat dikatakan sebagai titik yang memiliki nilai fungsi (harga y) tertinggi dan titik D sebaliknya, yaitu memiliki nilai fungsi terendah. Berdasarkan kedaan seperti itu, maka titik B disebut sebagai titik maksimum dan titik D sebagai titik minimum. Selanjutnya, titik C bukanlah titik maksimum maupun minimum. Kondisi yang kurva titik C disebut sebagai belok. Karena itu, titik C disebut sebagai titik belok. Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa titik stasioner dapat dibagi ke dalam tiga jenis, yaitu titik maksimum, titik belok dan titik mini-mum. Pada fungsi dengan kurva yang lebih komplek, terdapat juga titik maksimum dan minimum relatif. Kondisi relatif terjadi jika kurva memiliki lebih dari satu titik maksimum atau minimum.



MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN



1



APLIKASI TURUNAN FUNGSI



Untuk mengetahui jenis dari suatu titik stasioner dapat diamati dengan melihat nilai dari f ‘(x) di kiri dan kanan titik stasioner. Pedoman yang dapat digunakan adalah sbb. : Titik Maksimum



Titik Belok



Titik Minimum



atau



Contoh 1. Tentukan koordinat titik stasioner fungsi f(x) = x2 – 4x – 5 dan jenisnya. Penyelesaian : f(x) = x2 – x – 6 → f ‘(x) = 2x – 4 Untuk memperoleh kondisi stasioner dibuat f ‘(x) = 0. f ‘(x) = 2x – 4 = 0 → x = 2 Kondisi stasioner diperoleh jika x = 2. Nilai y dari titik stasioner yang ditemukan dapat dihitung dengan memasukan (substitusi) nilai x = 2 ke fungsi f(x). y = f(2) = 22 – 4(2) – 5 = 4 – 8 – 5 = -9 Dari hasil perhitungan di atas diperoleh koordinat titik stasioner, yaitu (2, -9). Jenis titik stasioner yang ditemukan dapat ditentukan dengan me-ngamati nilai f ’(x) di kiri-kanan titik stasioner. Misalkan diambil x = 1 (nilai disebelah kiri x = 2), maka : f ‘(1) = 2(1) – 4 = -2 → Pada interval x < 2 diperoleh f ‘(x) < 0. Diambil x = 3 (nilai disebelah kanan x = 2), maka : f ‘(3) = 2(3) – 4 = 2 → Pada interval x > 2 diperoleh f ‘(x) > 0. Penggambaran dalam bentuk garis bilangan diperoleh bentuk :



Dengan melihat perubahan harga f ‘(x) disekitar titik stasioner, maka dapat disimpulkan bahwa titik stasioner yang ditemukan berjenis titik minimum.



MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN



2



APLIKASI TURUNAN FUNGSI



Contoh 2. Tentukan koordinat titik stasioner fungsi f(x) = 3x5 – 5x3 dan ten-tukan pula jenisnya. Penyelesaian : f(x) = 3x5 – 5x3 → f ‘(x) = 15x4 – 15x2 f ‘(x) = 15x4 – 15x2 = 15x2(x2 – 1) = 15x2(x – 1)(x + 1) = 0 Diperoleh x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1 Koordinat titik stasioner : Untuk x = -1 diperoleh y = f(-1) = 3(-1)5 – 5(-1)3 = 2 → A(-1, 2) Untuk x = 0 diperoleh y = f(0) = 3(0)5 – 5(0)3 = 0 → B(0, 0) Untuk x = 1 diperoleh y = f(1) = 3(1)5 – 5(1)3 = -2 → C(1, -2) Dari hasil perhitungan di atas, tampak terdapat tiga buah titik stasioner yang masing-masing memiliki koordinat A(-1, 2), B(0,0) dan C(1, -2). Untuk menentukan jenis masing-masing titik stasioner dapat dilakukan dengan mengamati keadaan nilai f ‘(x) disekitar titik stasioner. Ambil x = -2 → f ‘(-2) = 15(-2)2((-2)2 – 1) = 180 > 0 Ambil x = − Ambil x =



1 1 1 1 45 → f ‘( − ) = 15( − )2(( − )2 – 1) = −