3 Lim-Kontinu [PDF]

Citation preview

3 Limit dan Kontinuitas 1.Pengertian Limit fungsi di suatu titik 2. Sifat-sifat limit 3. Limit Sepihak (kiri & kanan) 4. Hubungan limit dan limit sepihak 5. Kekontinuan fungsi dan sketsa grafik 6. Jenis-jenis kekontinuan fungsi 7. Contoh / ilustrasi



Limit Cermati dengan saksama ANIMASI berikut



Perhatikan bahwa jika x dekat dengan c, dan x≠ c , maka f(x) dekat dengan L



Definisi Limit



Dengan kata lain , Untuk sembarang  >0 yang dipilih selalu terdapat  >0 sedemikian sehingga f(x) mendekati L bila x dekat ke c, x ≠c Perhatikan bahwa ekivalen dengan ekivalen dengan



Cermati dengan saksama tahapan2 animasi berikut f(x)



f(x)



f(x)



f(x) L + 



 



L c c



x



  x



x C- c C+  



c



x



Ilustrasi Tunjukkan Solusi : Apakah



bahwa



Perhatikan bahwa



Jawaban dari pertanyaan diatas adalah ya, kita dapat memilih



atau yang lebih kecil dariyang menjamin



Dalam hal ini, misalnya pilih =0.01, maka diperoleh  =0.01/2=0.005



Contoh lain : Solusi: Akan ditunjukkan bahwa >0, >0 sedmikian sehingga Now



yang memenuhi kondisi diatas



Kembali contoh hal 35-36 or 5152 Solus i:



Hal dapat pula dilakukan dengan membuat tabel untuk beberapa nilai x disekitar 1 x



0



0.5



0.9



1



1.75 2.70



0.99 0.999



1



1.001 1.01 1.1



2.97 2.997



3



3.003 3.03 3.31 4.75 6



1.5



2



Sifat-sifat Limit



Soal Bonus di a). Tentukan nilai kelas



(



limit dari (b). Tentukan nilai limit dari c). Tunjukkan bahwa Solusi



(**)



a) b) c). Akan ditunjukkan bahwa



 >0,  >0 sedmikian sehingga



Sekarang , untuk x≠2



Maka dapat dipilih



atau



yang memenuhi kondisi diatas.



Soal Mandiri Tunjukkan bahwa



Petunjuk : (a)



(b) Pilih



,



maka



,



akibatnya



Limit Sepihak (Kiri dan Kanan) Jika x mendekati c dari sebelah kanan, maka f(x) mendekati L Jika x mendekati c dari sebelah kiri, maka f(x) mendekati L



x Teore ma



c



x



Contoh 3, hal 38 Tentuka or 60 Solusi



n



f(x)



karena 0



x



Contoh 2.14, hal 41 or 64 Tentuka n Solusi Pembagian wilayah (domain) fungsi digambarkan sebagai berikut



x



x di titik Limit kanan ≠ limit kiri a) di titik b)



f(x)



3



1 1



-1 -1



Baca penjelasan hal 41 or 64



x



Contoh 2.15, hal 44 or hal 87 Diketahu i



Solusi Sederhanakan f(x) menjadi



atau



Syarat (i) dipenuhi (diketahui dari persamaan fungsi f)



Syarat (ii) dipenuhi



Syarat kekontiuan (ii) dilanggar (tidak terpenuhi)



(a) Kesimpulan : Fungsi f tidak kontinu (diskontinu) di x = 1 y



(b). Sketsa grafik f



1 1/ 2 0



1



x



Akibatnya, f kontinu dimana-mana (untuk semua bilangan riil x). Dan Grafiknya menjadi



y



1 0 1 / 2



1



x



Soal Bonus : Perhatikan grafik fungsi f berikut: a) b)



f(x )



e) f)



c)



g)



d)



h)



x



Soal limit hal 42 ( Mandiri ) or hal 67 Lihat nomor urut soal



Nomor : 7 ; 9 ; 11 ; 12 ; 13; 14; 16



Jawaban Tugas mandiri hal 42 or 14) a). 67



0 b). Tdk ada c). 1 d). 1 Grafik



13) 2



1



2



1 0 1 Grafik soal



16) 2 dan -2



Kontinuitas (Kekontinuan fungsi) Definisi: Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika



Jadi fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika memenuhi 3 syarat :



Jika salah satu syarat kekontinuan dilanggar, maka dikatakan fungsi f diskontinu di c



Perhatikan situasi Trio gambar berikut y y a b



c



x



c



x



y



c



c



x



Contoh



(soal latihan hal.46 No.7 & 8) Matdas



Selidiki kekontinuan fungsi f di titik t=3



7) .



(i) (ii)



(iii)



Kesimpulan: fungsi 8)



Diskontinu (syarat (iii) tidak dipenuhi)



Bagaimana dengan



y



0 x Definis iFungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a,b) jika fungsi f kontinu disetiap titik pada (a,b) Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tertutup [a,b] jika fungsi f kontinu pada selang buka (a,b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b.



Berdasarkan definisi ini, Fungsi f(x)=√x kontinu pada Domainnya [0, ) karena fungsi f kontinu pada selang buka (0,), dan f kontinu kanan di 0. Kekontinuan fungsi ini pada daerah asalnya diperoleh berdasarkan



Jenis-jenis Ketakkontinuan fungsi Limit fungsi f di c ada, namun tidak sama dengan f(c) , kasusnya dinamakan “ketakkontinuan terhapuskan” atau ketakkontinuan yang dapat dihapuskan. Dalam hal ini f dapat dibuat kontinu dengan cara mengganti f(c) oleh nilai fungsi di c. Lihat gambar Trio (b) Limit kiri dan limit kanan fungsi f di c ada, namun tidak sama , kasusnya dinamakan “ketakkontinuan loncat” , Lihat gambar trio (a)



Soal Bonus Kakap



entukan nilai a dan b agar f kontinu dimana-mana, dan sketsa grafiknya Jawaban 1 0



1 -1



Selidiki kekontinuan fungsi f di titik c=1, dan sketsa grafiknya



a



b



c



Soal Diberikan fungsi f dengan persamaan Diskusi (a) Tuliskan fungsi f tanpa mengandung tanda nilai mutlak (b) Selidiki kekontinuan fungsi di titik x = 0, x = 2, dan sebutkan jenis kekontinuannya (c) Sketsa grafik fungsi f (d) Bagaimana memanipulasi fungsi bagian kedua (parabola) agar fungsi f kontinu dimana-mana



Solusi (a) Karena Pembagian domain fungsi dapat digambarkan sebagai



(b) di titik x = 0



0



2



Kesimpulan : (i). (ii) dan (iii) terpenuhi, maka



Fungsi f kontinu di titik x=o



Di titik x = 2



Kesimpulan



Fungsi f tidak kontinu (diskontinu) di x = 2 Jenisnya, disebut ketakkontinuan loncat, karena limit kiri ada dan limit kanan ada, tetapi nilainya tidak sama (c) Sketsa grafik 2



0



2



0



2



(d). Agar f kontinu dimana-mana, maka limit f di x = 2 harus ada dan haruslah sama dengan 2, untuk memenuhi hal tersebut, salah satu cara adalah fungsi (parabola) haruslah ditambah 2, yaitu , sehingga persamaan fungsi menjad



dan f menjadi kontinu dimana-mana, dan grfiknya menjadi



2



0



2



KUNCI Soal latihan kontinuitas hal 46 Selidiki kekontinuan fungsi di x=3 dan jelaskan alasannya Kontinu karena Kontinu karena Diskontinu karna Diskontinu, karena



( likir =1≠ likan =-1)



Diskontinu, karena limit fungsi ada tetapi nilai fungsi f(3) tidak ada Diskontinu, karena limit fungsi ada tetapi nilai fungsi f(3) tidak ada



Kontinu, karena