9 0 738 KB
3 Limit dan Kontinuitas 1.Pengertian Limit fungsi di suatu titik 2. Sifat-sifat limit 3. Limit Sepihak (kiri & kanan) 4. Hubungan limit dan limit sepihak 5. Kekontinuan fungsi dan sketsa grafik 6. Jenis-jenis kekontinuan fungsi 7. Contoh / ilustrasi
Limit Cermati dengan saksama ANIMASI berikut
Perhatikan bahwa jika x dekat dengan c, dan x≠ c , maka f(x) dekat dengan L
Definisi Limit
Dengan kata lain , Untuk sembarang >0 yang dipilih selalu terdapat >0 sedemikian sehingga f(x) mendekati L bila x dekat ke c, x ≠c Perhatikan bahwa ekivalen dengan ekivalen dengan
Cermati dengan saksama tahapan2 animasi berikut f(x)
f(x)
f(x)
f(x) L +
L c c
x
x
x C- c C+
c
x
Ilustrasi Tunjukkan Solusi : Apakah
bahwa
Perhatikan bahwa
Jawaban dari pertanyaan diatas adalah ya, kita dapat memilih
atau yang lebih kecil dariyang menjamin
Dalam hal ini, misalnya pilih =0.01, maka diperoleh =0.01/2=0.005
Contoh lain : Solusi: Akan ditunjukkan bahwa >0, >0 sedmikian sehingga Now
yang memenuhi kondisi diatas
Kembali contoh hal 35-36 or 5152 Solus i:
Hal dapat pula dilakukan dengan membuat tabel untuk beberapa nilai x disekitar 1 x
0
0.5
0.9
1
1.75 2.70
0.99 0.999
1
1.001 1.01 1.1
2.97 2.997
3
3.003 3.03 3.31 4.75 6
1.5
2
Sifat-sifat Limit
Soal Bonus di a). Tentukan nilai kelas
(
limit dari (b). Tentukan nilai limit dari c). Tunjukkan bahwa Solusi
(**)
a) b) c). Akan ditunjukkan bahwa
>0, >0 sedmikian sehingga
Sekarang , untuk x≠2
Maka dapat dipilih
atau
yang memenuhi kondisi diatas.
Soal Mandiri Tunjukkan bahwa
Petunjuk : (a)
(b) Pilih
,
maka
,
akibatnya
Limit Sepihak (Kiri dan Kanan) Jika x mendekati c dari sebelah kanan, maka f(x) mendekati L Jika x mendekati c dari sebelah kiri, maka f(x) mendekati L
x Teore ma
c
x
Contoh 3, hal 38 Tentuka or 60 Solusi
n
f(x)
karena 0
x
Contoh 2.14, hal 41 or 64 Tentuka n Solusi Pembagian wilayah (domain) fungsi digambarkan sebagai berikut
x
x di titik Limit kanan ≠ limit kiri a) di titik b)
f(x)
3
1 1
-1 -1
Baca penjelasan hal 41 or 64
x
Contoh 2.15, hal 44 or hal 87 Diketahu i
Solusi Sederhanakan f(x) menjadi
atau
Syarat (i) dipenuhi (diketahui dari persamaan fungsi f)
Syarat (ii) dipenuhi
Syarat kekontiuan (ii) dilanggar (tidak terpenuhi)
(a) Kesimpulan : Fungsi f tidak kontinu (diskontinu) di x = 1 y
(b). Sketsa grafik f
1 1/ 2 0
1
x
Akibatnya, f kontinu dimana-mana (untuk semua bilangan riil x). Dan Grafiknya menjadi
y
1 0 1 / 2
1
x
Soal Bonus : Perhatikan grafik fungsi f berikut: a) b)
f(x )
e) f)
c)
g)
d)
h)
x
Soal limit hal 42 ( Mandiri ) or hal 67 Lihat nomor urut soal
Nomor : 7 ; 9 ; 11 ; 12 ; 13; 14; 16
Jawaban Tugas mandiri hal 42 or 14) a). 67
0 b). Tdk ada c). 1 d). 1 Grafik
13) 2
1
2
1 0 1 Grafik soal
16) 2 dan -2
Kontinuitas (Kekontinuan fungsi) Definisi: Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika
Jadi fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika memenuhi 3 syarat :
Jika salah satu syarat kekontinuan dilanggar, maka dikatakan fungsi f diskontinu di c
Perhatikan situasi Trio gambar berikut y y a b
c
x
c
x
y
c
c
x
Contoh
(soal latihan hal.46 No.7 & 8) Matdas
Selidiki kekontinuan fungsi f di titik t=3
7) .
(i) (ii)
(iii)
Kesimpulan: fungsi 8)
Diskontinu (syarat (iii) tidak dipenuhi)
Bagaimana dengan
y
0 x Definis iFungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a,b) jika fungsi f kontinu disetiap titik pada (a,b) Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tertutup [a,b] jika fungsi f kontinu pada selang buka (a,b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b.
Berdasarkan definisi ini, Fungsi f(x)=√x kontinu pada Domainnya [0, ) karena fungsi f kontinu pada selang buka (0,), dan f kontinu kanan di 0. Kekontinuan fungsi ini pada daerah asalnya diperoleh berdasarkan
Jenis-jenis Ketakkontinuan fungsi Limit fungsi f di c ada, namun tidak sama dengan f(c) , kasusnya dinamakan “ketakkontinuan terhapuskan” atau ketakkontinuan yang dapat dihapuskan. Dalam hal ini f dapat dibuat kontinu dengan cara mengganti f(c) oleh nilai fungsi di c. Lihat gambar Trio (b) Limit kiri dan limit kanan fungsi f di c ada, namun tidak sama , kasusnya dinamakan “ketakkontinuan loncat” , Lihat gambar trio (a)
Soal Bonus Kakap
entukan nilai a dan b agar f kontinu dimana-mana, dan sketsa grafiknya Jawaban 1 0
1 -1
Selidiki kekontinuan fungsi f di titik c=1, dan sketsa grafiknya
a
b
c
Soal Diberikan fungsi f dengan persamaan Diskusi (a) Tuliskan fungsi f tanpa mengandung tanda nilai mutlak (b) Selidiki kekontinuan fungsi di titik x = 0, x = 2, dan sebutkan jenis kekontinuannya (c) Sketsa grafik fungsi f (d) Bagaimana memanipulasi fungsi bagian kedua (parabola) agar fungsi f kontinu dimana-mana
Solusi (a) Karena Pembagian domain fungsi dapat digambarkan sebagai
(b) di titik x = 0
0
2
Kesimpulan : (i). (ii) dan (iii) terpenuhi, maka
Fungsi f kontinu di titik x=o
Di titik x = 2
Kesimpulan
Fungsi f tidak kontinu (diskontinu) di x = 2 Jenisnya, disebut ketakkontinuan loncat, karena limit kiri ada dan limit kanan ada, tetapi nilainya tidak sama (c) Sketsa grafik 2
0
2
0
2
(d). Agar f kontinu dimana-mana, maka limit f di x = 2 harus ada dan haruslah sama dengan 2, untuk memenuhi hal tersebut, salah satu cara adalah fungsi (parabola) haruslah ditambah 2, yaitu , sehingga persamaan fungsi menjad
dan f menjadi kontinu dimana-mana, dan grfiknya menjadi
2
0
2
KUNCI Soal latihan kontinuitas hal 46 Selidiki kekontinuan fungsi di x=3 dan jelaskan alasannya Kontinu karena Kontinu karena Diskontinu karna Diskontinu, karena
( likir =1≠ likan =-1)
Diskontinu, karena limit fungsi ada tetapi nilai fungsi f(3) tidak ada Diskontinu, karena limit fungsi ada tetapi nilai fungsi f(3) tidak ada
Kontinu, karena