5 HP Bersyarat - Kondisi [PDF]

Citation preview

MK. HITUNG PERATAAN



HITUNG PERATAAN (HP) BERSYARAT / KONDISI



Pertemuan Ke 5 Armijon - 197304102008011008 - T. Geodesi dan Geomatika FT - Unila



I. PERSAMAAN DASAR & PENYELESAIANNYA … (1) D



C l3



l6



l4



l2



l5



l1



• Menentukan beda tinggi antara titik A,B,C dan D • Cukup dilakukan pengukuran beda tinggi dari A ke B, B ke C dan C ke D, atau 𝓁1 , 𝓁2 , dan 𝓁3 (3 ukuran) • Dilakukan 6 pengukuran, sehingga terdapat 6 - 3 = 3 pengukuran lebih



B



A



• Terbentuk 5 jalur tertutup, yaitu – – – – –



ABCDA, ABCA, BCDB, CDAC, ABDA



I. PERSAMAAN DASAR & PENYELESAIANNYA … (2) D



C l3



l6



l4



l2



l5



l1



A



B



❑ (d) = (a) - (b), dan (e) = (a) - (c)



❑ syarat (d) dan (e) bergantung linier terhadap syarat (a), (b) dan (c) ❑ Sedangkan syarat (a), (b) dan (c) merupakan 3 persamaan syarat yang saling tidak bergantungan ❑ Persamaan syarat lain yang tidak bergantungan adalah kelompok (a), (b), (e), kelompok (b), (c), (e), kelompok (b), (c), (d), kelompok (b), (d), (e), kelompok (c), (d), (e) ❑ Maka dari 3 pengukuran lebih pada jaring pengukuran sipat datar tersebut dapat disusun menjadi 3 syarat yang saling tidak bergantungan



3



I. PERSAMAAN DASAR & PENYELESAIANNYA … (3) • Sebuah segitiga terdapat 3 unsur l sudut dan 3 unsur sisi. l l • Untuk menentukan bentuk segitiga cukup dilakukan pengukuran 2 l l unsur sudut B A l • jika dilakukan pengukuran semua sudut segitiga • maka pengukuran tersebut harus memenuhi syarat jumlah sudut dalam segitiga, yaitu C



3



4



5



1



2



6



𝓁ത1 + 𝓁ത 2 + 𝓁ത 3 − 180𝑜 = 0



• Bentuk dan besar segitiga ditentukan oleh 3 unsur • yaitu 2 unsur sudut dan 1 unsur sisi, atau 1 unsur sudut dan 2 unsur sisi, atau 3 unsur sisi



I. PERSAMAAN DASAR & PENYELESAIANNYA … (4) C l3 l4



l5



l1 A



l2 l6



B



• Jika dilakukan pengukuran 2 unsur sudut dan 2 unsur sisi, maka terjadi pengukuran lebih 1 sisi • Maka menimbulkan satu syarat sinus pada segitiga • Misalkan dilakukan pengukuran sudut 𝓁1 , 𝓁2 dan sisi 𝓁4 , 𝓁5



• maka syarat sisi yang harus dipenuhi dari data pengukuran yang tidak dihinggapi kesalahan adalah; 𝓁ത 5 sin 𝓁ത1 − 𝓁ത 4 sin 𝓁ത 2 = 0



• Apabila dilakukan pengukuran semua unsur-unsur segitiga, jadi banyak pengukuran yang dilakukan adalah 6, maka banyak pengukuran lebih adalah (6-3) = 3



I. PERSAMAAN DASAR & PENYELESAIANNYA … (5) C l3 l4



l5



l1 A



l2 l6



B



• Dari 4 syarat tersebut di atas syarat (𝑏), (𝑐) dan (𝑑) saling bergantungan, karena: (𝑑) − (𝑏) = (𝑐) • Ini menunjukan 3 pengukuran lebih menghasilkan 3 persamaan syarat yang tidak saling bergantungan, yang terdiri dari :



• Dari pengukuran ini terbentuk syarat-syarat berikut 𝑎 . 𝓁ത1 + 𝓁ത 2 + 𝓁ത 3 − 180𝑜 = 0 𝑏 . 𝓁ത 5 sin 𝓁ത1 + 𝓁ത 4 sin 𝓁ത 2 = 0 𝑐 . 𝓁ത 6 sin 𝓁ത1 + 𝓁ത 4 sin 𝓁ത 3 = 0 𝑑 . 𝓁ത 6 sin 𝓁ത 2 + 𝓁ത 5 sin 𝓁ത 3 = 0



I. PERSAMAAN DASAR & PENYELESAIANNYA … (6) • • • •



C l3 l4



l5



l1 A



l2 l6



B



kelompok (𝑎), (𝑏), (𝑐) kelompok (𝑎), (𝑏), 𝑑 kelompok (𝑎), (𝑐), (𝑑) Jadi dari 3 kelompok persamaan tersebut dipilih salah satu yang akan dipergunakan



• Dari pengukuran ini terbentuk syarat-syarat berikut 𝑎 . 𝓁ത1 + 𝓁ത 2 + 𝓁ത 3 − 180𝑜 = 0 𝑏 . 𝓁ത 5 sin 𝓁ത1 + 𝓁ത 4 sin 𝓁ത 2 = 0 𝑐 . 𝓁ത 6 sin 𝓁ത1 + 𝓁ത 4 sin 𝓁ത 3 = 0 𝑑 . 𝓁ത 6 sin 𝓁ത 2 + 𝓁ത 5 sin 𝓁ത 3 = 0



I. PERSAMAAN DASAR & PENYELESAIANNYA … (7) KESIMPULAN • Bahwa banyak pengukuran yang dilakukan adalah 𝒏 • Sedangkan banyak pengukuran yang diperlukan adalah 𝒖 • Sehingga terjadi banyak pengukuran lebih 𝒓 • Dimana 𝒓 = (𝒏 − 𝒖) , • Maka dapat disusun 𝒓 persamaan syarat yang saling tidak bergantungan.



I. PERSAMAAN DASAR & PENYELESAIANNYA … (8) • Pada contoh jaring sipat datar persamaan yang terbentuk merupakan fungsi linier, sedangkan pada contoh pengukuran semua unsur segitiga akan membentuk fungsi linier dan tak linier. Andaikan dari 𝑛 pengukuran terdapat 𝑟 pengukuran lebih yang dapat disusun menurut persamaan syarat tak linier berikut: 𝑓1 𝓁ത1 , 𝓁ത 2 , … … , 𝓁ത 𝑛 = 0 𝑓2 𝓁ത 1 , 𝓁ത 2 , … … , 𝓁ത 𝑛 = 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑓𝑟 𝓁ത1 , 𝓁ത 2 , … … , 𝓁ത 𝑛 = 0 • Atau 𝒇 𝑳 =𝟎 • Dimana 𝑨ഥ 𝑳 + 𝑨𝒐 = 𝟎



I. PERSAMAAN DASAR & PENYELESAIANNYA … (9) • Karena



𝓁ത𝑗 = 𝓁𝑗 + 𝑣𝑗 • dimana 𝑗 merupakan bilangan bulat mulai dari 1 sampai dengan 𝑛, maka dengan proses linierisasi setiap persamaan ke-𝑖 menghasilkan; 𝜕𝑓𝑖 𝜕𝑓𝑖 𝜕𝑓𝑖 𝜕𝑓𝑖 𝑣1 + 𝑣2 + ⋯ + 𝑣𝑗 + ⋯ + 𝑣𝑛 + 𝑓1 𝓁ത1 , 𝓁ത 2 , … … , 𝓁ത 𝑛 = 0 𝜕𝓁1 𝜕𝓁2 𝜕𝓁𝑗 𝜕𝓁𝑛



• Dengan mengandaikan



𝜕𝑓𝑖 𝜕𝓁𝑗



= 𝑎𝑖𝑗



𝑎11 𝑣1 + 𝑎12 𝑣2 + ⋯ + 𝑎1𝑗 𝑣𝑗 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑣𝑛 + 𝑤1 𝑎21 𝑣1 + 𝑎22 𝑣2 + ⋯ + 𝑎2𝑗 𝑣𝑗 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑣𝑛 + 𝑤2 ⋮ 𝑎𝑖1 𝑣1 + 𝑎𝑖2 𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑗 𝑣𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑣𝑛 + 𝑤𝑖 ⋮ 𝑎𝑟1 𝑣1 + 𝑎𝑟2 𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑗 𝑣𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛 𝑣𝑛 + 𝑤𝑟



= = ⋮ = ⋮ =



0 0 ⋮ 0 ⋮ 0



I. PERSAMAAN DASAR & PENYELESAIANNYA … (10) • dengan 𝑤𝑖 = 𝑓1 𝓁ത1 , 𝓁ത 2 , … … , 𝓁ത 𝑛 dan selanjutnya dalam penulisan matriks 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑗 … 𝑎1𝑛 𝑣1 𝑤1 0 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑗 … 𝑎2𝑛 𝑣2 𝑤2 0 ⋮ ⋮ … ⋮ … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑗 … 𝑎𝑖𝑛 𝑣𝑗 + 𝑤𝑖 = 0 ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ … ⋮ ⋮ ⋮ 𝑤𝑟 𝑎𝑟1 𝑎𝑟2 … 𝑎𝑟𝑗 … 𝑎𝑟𝑛 𝑟 0 • ini selanjutnya disebut matrik persamaan syarat yang dirumuskan menjadi; 𝑨𝑽 + 𝑾 = 𝟎



I. PERSAMAAN DASAR & PENYELESAIANNYA … (11) • 𝑨 disebut matriks koefisien dengan dimensi (𝑟 𝑥 𝑛), sedangkan 𝑽 adalah matriks koreksi dengan dimensi (𝑛 𝑥 1). Karena; 𝒌𝒐𝒓𝒆𝒌𝒔𝒊 = − 𝒌𝒆𝒔𝒂𝒍𝒂𝒉𝒂𝒏 • matriks 𝑾 merupakan matriks kesalahan dan disebut kesalahan penutup, yang berukuran (𝑟 𝑥 1). Setiap unsur matriks 𝑾 merupakan fungsi dari semua data pengukuran 𝓁𝑗 . Jadi matriks ini merupakan matriks yang diketahui, begitu juga matriks koefisien 𝑨. Jadi matriks koreksi 𝑽 merupakan matriks anu (tak diketahui). Matriks 𝑽 ini ditentukan dengan menggunakan prinsip minimum, yaitu 𝑽𝑻 𝑷 𝑽 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒖𝒎, dengan 𝑷 matriks berat pengukuran yang berdimensi (𝑛 𝑥 𝑛). Ambil matriks pengali (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑜𝑟) 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑲 yang berukuran (𝑟 𝑥 1), sehingga 𝑐 𝑲𝑻 𝑨𝑽 + 𝑾 = 𝟎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑐 ≠ 0



I. PERSAMAAN DASAR & PENYELESAIANNYA … (12) • Karena 𝑽𝑻 𝑷 𝑽 memberikan hasil sebuah skalar yang mempunyai nilai 𝛟 dan dalam hal ini 𝒄 = 𝟐, akan tetap memberikan hasil minimum 𝛟 , jadi 𝑽𝑻 𝑷 𝑽 + 𝟐 𝑲𝑻 𝑨𝑽 + 𝑾 = 𝛟 → minimum Dan dihasilkan matrik 𝑽 (matrik koreksi) 𝑽 = − 𝑷−𝟏 𝑨𝑻 𝑲 • Karena 𝑷−𝟏 = 𝑸 , Maka; 𝑽 = − 𝑸 𝑨𝑻 𝑲 • Didapatkan persamaan yang disebut persamaan normal 𝑵𝑲−𝑾=𝟎 • Matriks 𝑲 yang disebut juga matriks korelat dimana 𝑲= 𝑨



−𝟏 −𝟏 𝑻 𝑷 𝑨



𝑾



I. PERSAMAAN DASAR & PENYELESAIANNYA … (13) • (𝑽𝑻 𝑷 𝑽) dapat ditentukan dengan 𝑽𝑻 𝑷 𝑽 = 𝑾𝑻 𝑵−𝟏 𝑾 • Variansi baku 𝝈𝟐𝒐 ditentukan dari; 𝑻 𝑽 𝑷𝑽 𝟐 𝝈𝒐 = 𝒓 • Hasil ukuran setelah perataan ditentukan dari; ത =𝑳+𝑽 𝑳 • Parameter 𝑿 dapat pula ditentukan berdasarkan hasil ത setelah perataan dimana 𝑿 merupakan fungsi dari 𝑳 dimana; ത 𝑿=𝑿 𝑳



SEKIAN …. Banyak – Banyak berlatih Soal !



SELANJUTNYA Untuk Minggu Depan



“ PERATAAN BERSYARAT Kofaktor dan variansi , kovariansi unsur-unsur setelah perataan”



15