530 - Geometri Bidang [PDF]

Citation preview

MAKALAH GEOMETRI BIDANG ( TEMPAT KEDUDUKAN ) Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas kelompok matakuliah Geometri Bidang. Ismail SalehNasution, S,Pd, M,Pd



KELOMPOK 6: 1. Aulia Mawaddah ( 1602030053 ) 2. Cici Novian Sari ( 1602030021 ) 3. Isnaina ( 1602030027 ) 4. Riska Handayani (1602030028 ) 5. Riski Audiva ( 1602030054 ) 6. Syaibatul Marwiyah ( 1602030019 ) 7. Vivi ( 1602030009 ) KELAS: 2 A PAGI, PEND. MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA TA : 2016 / 2017



KATA PENGANTAR



Alhamdulillah, segala puji bagi Allah SWT yang dengan perkenan-Nya maka makalah “TEMPAT KEDUDUKAN dalam GEOMETRI BIDANG “ dapat terselesaikan dalam bentuk yang sangat sederhana ini. Makalah ini penulis susun berdasarkan kebutuhan Perkuliahan sebagai tugas mata kuliah “ Geometri Bidang”. Dengan harapan makalah ini dapat dipergunakan sebaik mungkin. Makalah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, terkhusus kepada Dosen Pembimbing mata kuliah“GEOMETRI BIDANG“. Semoga makalah ini dapat menjadi inspirasi bagi para pembacanya dan memberikan manfaat dalam pengembangan khazamah keilmuan, khususnya dalam peningkatan kualitas pengetahuan Matematika pada jenjang pendidikan dasar. Penulis menyadari bahwa makalah ini jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu, dengan penuh kerendahan hati penulis menerima segala perbaikan dari pembaca. Akhirnya,mudah –mudahan Tuhan Yang Maha Esa tetap mencurahkan rahmat-Nya kepada kita Amiin.



Medan,



April 2017



Penyusun



DAFTAR ISI



Kata Pengantar...................................................................................



i



Daftar Isi .............................................................................................



ii



BAB I Pendahuluan............................................................................



1



A. Latar Belakang ...................................................................................... B. Rumusan Masalah.................................................................................. C. Tujuan....................................................................................................



1 1 1



BAB II Pembahasan...........................................................................



2



Pengertian Tempat Kedudukan............................................................. Grafik Persamaan.................................................................................. Perpotongan Antar kurva...................................................................... Menemukan Persamaan Tempat Kedudukan....................................... Tempat Kedudukan Titik Pada Persamaan Lingkaran.........................



2 3 4 6 8



BAB III Penutup ...............................................................................



12



Kesimpulan ..........................................................................................



12



Saran.....................................................................................................



12



Daftar Pustaka....................................................................................



13



1.1 2.1 3.1 4.1 5.1



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Keterangan yang dipakai sebagai aturan untuk menentukan letak suatu titik di bidang datar dinyatakan dengan pasangan bilangan. Keterangan melalui pasangan bilangan riil itu dinyatakan terhadap susunan kordinat Cartesian, baik susunan kordinat miring ataupun ortogonal. Pasangan bilangan itu masing-masing menyatakan jarak-jarak ke masing-masing sumbu kordinat. Dengan ditemukannya sistem kordinat itu maka penggolongan kurva-kurva dapat diadakan. Dan melalui itu pula maka persamaan beberapa kurva dapat disederhanakan. Penafsiran geometri dari kurva adalah sebagai tempat kedudukan titik-titik atau sebagai envelop dari garis-garis tangen. Lebih lanjut sebagai unsur dasar dalam besaran geometri dapat juga dipakai lingkaran. Karena pada susunan kordinat Cartesian lingkaran ditentukan oleh kordinat titik pada lingkaran itu dan titik pusatnya, berarti diperlukan pasangan tiga bilangan untuk menjadi unsur dasar besaran geometri. Buah pikiran inilah yang membawa pengembangan teori dimensi. Dimensi dari suatu geometri ialah banyaknya kordinat yang diperlukan untuk menentukan suatu unsur dasar dari geometri itu. Dengan konsep ini, bidang datar dikatakan dua dimensi dalam titik, dua dimensi dalam garis, tetapi tiga dimensi dalam lingkaran. Jadi dimensi itu tergantung pada unsur dasar yang dipakai sebagai besaran geometrinya. B. Rumusan Masalah 1. Apa itu tempat kedudukan ? 2. Bagaimana tempat kedudukan titik pada lingkaran ? C. Tujuan Penulisan 1. Mengetahui pengertian tempat kedudukan 2. Memahami tempat kedudukan titik pada lingkaran



BAB II PEMBAHASAN



2.1. Pengertian Tempat kedudukan Tempat kedudukan (locus) adalah himpunan titik-titik yang memenuhi suatu syarat tertentu yang diberikan. Atau bisa juga diartikan sebagai lintasan dari sebuah titik yang bergerak yang dibatasi oleh satu atau beberapa syarat. Dalam geometri bidang tempat kedudukan biasanya berupa sebuah kurva, meskipun kadang-kadang merupakan susunan lebih dari satu kurva dan kadang-kadang memuat satu atau beberapa titik terisolasi. Jadi, misalnya tempat kedudukan dari titik-titik yang berjarak 5 satuan dari titik asal adalah lingkaran dengan pusat di titik asal dan dengan radius 5. Syarat yang ditentukan pada titik dalam tempat kedudukan bisa dinyatakan secara analitik dengan sebuah persamaan yang mana koordinatkoordinat titik tersebut harus memenuhi persamaan. Persamaan ini disebut persamaan tempat kedudukan, sebaliknya tempat kedudukannya disebut tempat kedudukan dari persamaan. Secara umum prinsip dasar geometri analitik adalah : Jika koordinat suatu titik memenuhi sebuah persamaan, maka titik tersebut berada pada tempat kedudukan persamaan. Jika sebuah titik berada pada tempat kedudukan dari sebuah persamaan, maka koordinat titik tersebut akan memenuhi persamaan.



2.2. Grafik Persamaan Kurva atau tempat kedudukan suatu persamaan disebut grafik dari persamaan. Grafik dari suatu persamaan dalam dua variabel x dan y secara sederhana adalah himpunan semua titik (x, y) pada bidang yang memenuhi persamaan yang diberikan. Menggambar grafik suatu persamaan adalah salah satu masalah pokok dari geometri analitik. Salah satu cara sederhana yang bisa dilakukan dalam menggambar grafik suatu persamaan adalah membuat plot beberapa titik tertentu kemudian dilakukan penghalusan gambar/grafik. Cara penggambaran grafik seperti di atas untuk beberapa kasus memang memudahkan, misalnya pada garis lurus. Tetapi untuk grafik dari persamaan yang lebih umum cara di atas sangat tidak memuaskan. Untuk memperoleh grafik yang ideal biasanya dipelajari karakteristik dari persamaan yang diberikan kemudian menentukan titik-titik tertentu yang merupakan karakteristik tertentu dari persamaan. Dalam hal ini aljabar menjadi sangat dominan dalam menentukan karakteristik suatu persamaan. Misalkan informasi tentang titik-titik di mana grafik berlaku ekstrim. Jadi yang perlu di pelajari hanyalah titik-titik yang merupakan titik ekstrim saja untuk kemudian dapat dibuat sketsa grafiknya.



2.3. Perpotongan Antar Kurva Jika tempat kedudukan dua persamaan berpotongan, maka koordinat masing-masing titik potongnya harus memenuhi kedua persamaan tersebut. Oleh karena itu dalam menemukan titik-titik potong kedua kurva dikenal sebagai persamaan simultan dan menyelesaikannya dengan metoda aljabar yang telah dikenal. Koordinat titik potong kurva tersebut akan berupa pasangan penyelesaian real. Penyelesaian imajiner meskipun valid secara aljabar, tetapi tidak dapat diterima dalam pengertian geometrik, karena koordinat semua titik adalah bilangan real. Contoh : Tentukan titik-titik potong dari tempat kedudukan dengan persamaan x2 + y2 = 25



4x2 – 9y = 0



(1), dan



(2)



Jawab: Untuk menyelesaikan persamaan simultan di atas, dapat dilakukan dengan beberapa metoda yang dikenal dalam aljabar seperti eleminasi atau substitusi variabel. Misalkan dilakukan dengan cara eleminasi maka kalikan 4 pada masing-masing ruas persamaan (1) dan kurangkan persamaan (2): 4  (1)



4x2 + 4y2 = 100



(2)



4x2 – 9y =



4  (1) – (2)



4y2 + 9y = 100



0



Persamaan kuadrat yang terjadi, 4y2 + 9y – 100 = 0, dapat diselesaikan dengan pemfaktoran yaitu; 4y2 + 9y – 100 = 0 



(y – 4)(4y + 25) = 0



1.3. Koordinat Cartesius  57







y



=



4



atau



y



=



–



25 4



Dengan substitusi y = 4 pada salah satu dari persamaan (1) atau (2) diperoleh x =  3. Sedangkan dengan substitusi y = – 15 4



25 4



diperoleh x = 



i. Jadi penyelesaian dari persamaan simultan (1) dan (2) adalah (3, 4),



(–3, 4),



(



15 4



i, –



25 4



),



(–



15 4



i, –



25 4



).



Dua jawaban pertama merupakan titik potong dari kurva yaitu (3, 4) dan (–3, 4), dan dua jawaban terakhir karena imajiner tidak tampak pada grafik.



1.3. Koordinat Cartesius  58



2.4. Menemukan Persamaan Tempat Kedudukan Masalah mendasar yang kedua dalam geometri analitik adalah menentukan persamaan tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi suatu syarat yang diberikan. Prosedur umum untuk menyelesaikan masalah di atas adalah sebagai berikut: –



Buatlah gambar yang menunjukkan data dan asumsikan bahwa P(x, y) adalah sembarang titik pada tempat kedudukan.



–



Tuliskan hubungan atau syarat yang diberikan.



–



Nyatakan kondisi ini dalam bentuk koordinat x dan y pada titik P kemudian sederhanakan persamaan yang terjadi.



Contoh 1: Tentukan persamaan tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap titik (–4, 0) adalah sama dengan jarak titik tersebut dari sumbu-y. Jawab: Misalkan P(x, y) sembarang titik pada tempat kedudukan. Misalkan A menyatakan titik (–4, 0) dan B titik proyeksi tegak lurus titik P pada sumbuy. Perhatikan gambar 2.1. berikut: Y P(x, y) B Gambar 2.1:



X A(–4, 0)



O



Maka syarat yang diberikan adalah PA = PB.................(1)



1.3. Koordinat Cartesius  59



Dengan rumus jarak seperti pada teorema 1.1. maka,



PA =



√( x−(−4 ))2+ y 2



=



√( x+4 )2+ y 2



.............(2)



Dengan definisi absis, maka jarak titik P dari sumbu-y adalah x. Oleh karena itu panjang PB adalah B = |x|..............(3) Dengan menggunakan (1) , (2), dan (3) diperoleh



√( x+4 )2+ y 2



= |x|...................(4)



Kemudian kuadratkan kedua ruas dan dengan penyederhanaan secara aljabar akan diperoleh persamaan tempat kedudukan yang dicari yaitu y2 + 8x + 16 = 0..............(5) Setiap titik yang memenuhi syarat yang diberikan, yaitu setiap titik pada tempat kedudukan, akan mempunyai koordinat yang memenuhi persamaan (5) di atas. Sebaliknya, dengan menelusuri ulang langkah-langkah pada penurunan persamaan, kita dapat membuktikan bahwa setiap titik yang koordinatnya memenuhi persamaan akan berada pada tempat kedudukan dengan syarat yang diberikan.



1.3. Koordinat Cartesius  60



2.5. Tempat Kedudukan Titik Pada Persamaan lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik yang jaraknya sama dan sebuah titik tertentu. Titik ini disebut titik pusat dan jarak itu adalah jari-jari lingkaran. Dari pokok bahasan lalu. kita telah mempelajari bahwa grafik dari |(x-a, y-b)| = r sedang r non negatif adalah lingkaran yang pusatnya (a,b) sedang jari-jarinya r. Dari |(x-a, y-b)| = r karena r non negatif maka kita mendapatkan √¿ ¿



( x−a ¿ 2+¿                                            rumus (1) ialah persamaan lingkaran yang pusatnya (a,b) dan jari-jarinya r. Jika a = b = 0 maka kita mendapatkan x 2+ y 2=r 2                                            rumus (2) ialah persamaan lingkaran yang pusatnya (0,0) dan jari-jarinya r. Contoh 1: (a) ¿ adalah persamaan lingkaran yang pusatnya (2, -3) dan jari-jarinya 3. (b) x 2+ ¿ adalah persamaan lingkaran yang pusatnya



(0, -4) dan jari-



jarinya 1. (c) Persamaan lingkaran yang pusatnya (-4, 0) sedang jari-jarinya 0,5 adalah ¿ .



Contoh 2:



1.3. Koordinat Cartesius  61



Tentukanlah persamaan lingkaran yang melalui titik (-2, 3) dan pusatnya (4, -3)  ! Misalnya jari-jari lingkaran itu r, maka lingkarannya adalah ¿ . Lingkaran ini melalui titik (-2, 3), jadi ¿ Jadi persamaan lingkarannya adalah ¿ (jari-jarinya √ 72=6 √ 2 ¿



Contoh 3: Tentukanlah koordinat titik potong lingkaran-lingkaran ¿ dan ¿ Secara geometri titik potong kedua lingkaran tersebut diperoleh dengan jalan lukisan (Gambar 1-19). Sedang secara aljabar, titik potong kedua lingkaran itu diperoleh dengan menyelesaikan persamaan-persamaannya. Dengan melenyapkan salah satu variabel (x atau y) dari kedua persamaan lingkaran itu, kita mendapatkan sebuah persamaan dengan satu variabel. dari ¿ diperoleh x 2+ y 2+ 4 x−21=0 (i), sedang dari ¿ diperoleh x 2+ y 2−8 x+ 3=0 (ii). Jika (ii) diperkurang2kan dari (i) maka diperoleh 12 x−24=0 ↔ x=2 (iii) ialah koordinat −x dari titik potong yang kita tentukan. Dan penyelesaian persamaan (iii) dengan persamaan (i) atau (ii) kita mendapatkan koordinat -y dari titik potong itu.



1.3. Koordinat Cartesius  62



Penyelesaian (i) dan (iii) memberikan persamaan 4 + y 2 +8−21=0 ↔ y 2=9 ↔ y=3 atau y = -3. Jadi titik-titik potongnya adalah (2, 3) atau (2, -3). Contoh 4: Hitunglah p dari Gambar 1-20.



Kita pilih sumbu-sumbu koordinat seperti pada gambar itu. Dengan demikian titik pusat dari lingkaran itu adalah (3,225; 3,75) dan karena jarijari lingkaran itu 2,5 maka persamaan lingkaran ini adalah ¿ . Lingkaran ini melalui titik C (5,225; p), dengan perkataan lain C di lingkaran ini, maka ¿ 5 atau ↔ 4+ ¿ 1,5 p−3,375=−1,5 ↔ p=4,875 T ↔ atau p=1,875 . Jadi p = 1,875. (Mengapa bukan 4,875?). Contoh 5: Hitunglah p dan Gambar 1- 21. Kita pilih persumbuan seperti pada gambar itu. Untuk 1ingkaran di sebelah kanan karena pusatnya (6,9; 0) dan jari-jarinya 2 maka persamaannya ¿ . Lingkaran ini melalui titik A(a; -1,2) maka ¿



1.3. Koordinat Cartesius  63



atau a−6,9=−1,6 . a=8,5 . ataua=5,3. Kita pilih a = 5,3 (Mengapa bukan 8,5?). Jadi A (5,3; -1,2). Untuk lingkaran disebelah kiri misalnya pusatnya (b, 0) maka persamaannya ¿ Lingkaran ini melalui B(-2,7 : -0,5) maka ¿ atau -2,7-b = -1,2; b = -3,9 atau b = -1,5. Kita pilih b = -3,9 (Mengapa?). Jadi persamaan lingkaran ini adalah ¿ Karena lingkaran ini melalui titik C(c; -1,2) maka ¿ atau c +3,9=−0,5 ↔c =−3,4 atau c = -4,4. Kita pilib c = -3,4 (Mengapa?). Jadi C(-3,4; -1,2). Karena A(7,3; -1,2) dan C(-3,4; -1,2) maka AC = 10,7.



DAFTAR PUSTAKA



1.3. Koordinat Cartesius  64



Tempat



kedudukan



titik



(2016)



blog



matematika



teknik.https://mathetek.blogspot.co.id/2016/10/persamaanlingkaran.html/0nApril`2017



1.3. Koordinat Cartesius  65