8586 Simetri Dan Kemiringan [PDF]

Citation preview

BAB V MOMEN, KEMIRINGAN DAN KURTOSIS



5.1Momen Misalkan diberikan variable x dengan harga-harga: x1, x2, x3, …, xn. Jika A = sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, …, n, maka momen ke-r sekitar A, disingkat mr’ , didefinisikan oleh hubungan: mr



'



 X 



 A



i



r



……………………………………………………………… (5.1)



n



Untuk A = 0 didapat momen ke-r sekitar nol atau disingkat momen ke-r.



momen ke  r



'



X 



r i



n



………………………………………………………. (5.2)



Dari persamaan (5.6), maka untuk r = 1 didapat rata-rata x Jika A  x kita peroleh momen ke-r sekitar rata-rata, biasa disingkat mr.



mr



'



X 



i



 X



n



r



……………………………………………………………… (5.3) 2



Untuk r = 2, persamaan (5.2) memberikan varians s . Untuk membedakan apakah momen itu untuk sampel atau untuk populasi, maka dipakai simbol: mr dan mr’ untuk momen sampel  r dan  r ' untuk momen populasi.



Jadi mr dan mr’ adalah statistik sedangkan  dan  ' merupakan parameter. r r



Jika data telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka persamaan-persamaan di atas berturut-turut berbentuk:



23



'



mr 



mr



'



 fX



r



 A



r



……………………………………………………………… (5.4)



n



 f x  i



i



……………………………………………………………… (5.5)



n



momen ke  r



mr



 A



i



'



 f x  i



i



'



fx  i



n



 x



r i



………………………………………………………… (5.6)



r



……………………………………………………………… (5.7)



n



dengan n   f i , xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan xi. Dengan menggunakan cara sandi persamaan (5.7) menjadi:



fc 



mr  p r 



i



'







n











r



 ……………………………………………………………… (5.8) 



i







p = panjang jelas interval, ci = variabel sandi Harga mr ditentukan berdasarkan hubungan: '



'



'



'



'



'



'



'



'



'



m2  m2  (m1 ) 2 ………………………………………………………………... (5.9a) m3  m3  3m1 m2  2(m1 ) 3 ………………………………………….……..…... (5.9b) '



'



m4  m4  4m1 m3  6(m1 ) 3 m2  3(m1 ) 4 ………………………………………. (5.9b) Contoh: Untuk menghitung empat buah momen sekitar rata-rata untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut: DATA 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74 Jumlah



fi 5 18 42 27 8 100



ci -2 -1 0 1 2 -



fi ci -10 -18 0 27 16 15



fi ci2 20 18 0 27 32 97



fi ci3 -40 -18 0 27 64 33



f i ci4 80 18 0 27 128 253



23



Dengan menggunakan persamaan (5.8), maka:



Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas:



 



m 2  m ' 2  m '1



2



 8,73  (0,45) 2  8,53



 



m3  m ' 3  3m '1 m ' 2  2 m '1



3



 8,91  3(0,45)(8,73)  2(0,45) 3  2,69



 



 



2



m 4  m ' 4  4 m ' 1 m ' 3  6 m '1 m ' 2  3 m ' 1



4



 204,93  4(0,45)(8,91)  6(0,45) 2 (8,73)  3(0,45) 4  199,38 2



Dari hasil ini didapat varians s =m2 = 8,53



5.2KEMIRINGAN Kita sudah mengenal kurva halus atau model yang bentuknya bisa positif, negatif, atau simetrik. Model positif terjadi bila kurvanya mempunyai ekor yang memanjang ke sebelah kanan. Sebaliknya, jika ekornya memanjang ke sebelah kiri didapat model negatif. Dalam kedua hal terjadi sifat taksimetris. Untuk mengetahui derajat taksimetri sebuah model, digunakan ukuran kemiringan yang ditentukan oleh:



23



Kemiringan 



Rata  rata  Modus Simpangan Baku



…………………………………………… (5.10)



Rumus empirik untuk kemiringan, adalah: Kemiringan 



3( Rata  rata  Median) ……………………………………….. (5.11) Simpangan Baku



Persamaan 5.10 dan 5.11 berturut-turut dinamakan koefisien kemiringan Pearson tipe pertama dan tipe kedua. Kita katakan model positif jika kemiringan positif, negatif jika kemiringan negatif dan simetrik jika kemiringan dengan nol yang semuanya dapat dilihat pada Gambar 5.1, 5.2, dan 5.3. Contoh: Data nilai ujian statistika dasar 80 mahasiswa telah menghasilkan x  76,62 ; Me = 77,3; Mo = 77,17 dan simpangan baku s = 13,07. Kemiringan 



Rata  rata  Modus Simpangan baku



Kemiringan 



76,62  77,17  0,04 13,07



Karena kemiringan negatip dan dekat dengan nol, maka modelnya sedikit miring ke kiri, ini dapat dilihat dari grafiknya. 1. Kemiringan negatif (kiri) 2. Kemiringan nol (simetris) 3. Kemiringan positif (kanan)



23



Gambar 3.1. Kemiringan negatif (kiri)



Gambar 3.2. Kemiringan nol (simetris)



Gambar 3.3. Kemiringan positif (kanan)



5.3Kurtosis Bertitik tolak dari kurva model normal atau distribusi normal, tinggi rendahnya atau runcing datarnya bentuk kurva disebut kurtosis, dapat ditentukan. Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu runcing atau tidak terlalu datar, dinamakan mesokurtik. Kurva yang runcing dinamakan leptokurtik, sedangkan yang datar disebut platikurtik. Bentuk Kurtosis 1. Leptokurtik (leptokurtic)



23



2. Platikurtik (platykurtic)



3. Mesokurtik (mesokurtic) atau bentuk kurva normal



Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis, diberi simbol a4, ditentukan oleh rumus:  m4 a    m2



2















……………………………………………………………………… (5.12)



Dengan m2 dan m4 didapat dari persamaan 5.2 Kriteria yang didapat dari persamaan ini ialah: a) a4 > 3  distribusi leptokurtik b) a4 = 3  distribusi normal c) a4 < 3  distribusi platikurtik



23



Gambar. Leptokurtik,mesokurtik dan platikurtik



Untuk menyelidiki apakah distribusi normla atau tidak, sering pula dipakai koefisien kurtosis Persentil, diberi simbol Κ, (kappa) yang persamaannya: 1 ( K 3  K1 ) SK ……………………………………………………… k 2 P90  P10 P90  P10



(5.13) Dengan: SK = rentang semi antar kuartil K1 = kuartil pertama K3 = kuartil ketiga P10 = persentil kesepuluh P90 = persentil ke-90 P90-P10 = rentang 10 - 90 persentil Untuk Model distribusi normal, harga Κ = 0,263 Contoh 1: Untuk contoh data dalam Bagian 2, bab ini, telah dihitung: m2 = 8,53; m3 = -2,69; dan m4 =199,38. Dengan persamaan 2.2.3, koefisien kurtosis besarnya:  m a 4   4  m2



2















 199,38     8,53 



2



 2,74



23



Dan ini kurang dari nilai 3, maka kurvanya cenderung akan platikurtik. Contoh 2: Terdapat data upah untuk 65 karyawan. Telah dihitung K1 = Rp 68,25 dan K2 = Rp 90,75. Jika juga dihitung, maka didapat: P10 = Rp 58,12 dan P90 = Rp 101,00. Dengan angka-angka ini koefisien kurtosis persentil besarnya: 1 1   90,75  68,25 K 3  K1  SK k 2  2  0,262 P90  P10 P90  P10 101,00  58,12



TUGAS -4 Tentukan bentuk kurva data pada tugas-1 berdasarkan ukuran kemiringan dan kurtosisnya.



23