Aljabar Linear [PDF]

Citation preview

Polinom mempunyai turunan yang kontinu pada semua derajat. jadi Pn adalah suatu subruang dari T). Hirarki dari sub-ruang sub-ruang yang didiskusikan dalam contoh ini digambarkan pada Gambar 4. A



KOMENTAR. Pada contoh di atas kita berfokus pada selang (-∞ , ∞ ). Jika kita berfokus pada suatu selang tertutup [a,b], maka sub-ruang yang berpadanan dengan sub-ruang yang k x didefinisikan pada contoh di atas akan dinyatakan dengan C[a,b], C [ a , b ] , C [ a , b ] . Demikian juga, pada suatu selang terbuka (a,b) sub-ruang terseut akan dinyatakan dengan C(a,b), C k (a , b) ,C x (a ,b).



RUANG-RUANG PENYELESAIAN UNTUK SISTEM.SISTEM HOMOGEN Jika A x b adalah suatu sistem persamaan linear. Maka setiap sektor x yang memenuhi persamaan ini disebut suatu vektor penyelesaian dari sistem tersebut. Teorama berikut menunjukan bahwa vektor penyelesaian dari suatu sistem linier homogen membentuk suatu ruang vektor yang akan kita sebut sebagai ruang penyelesaian dari sistem tersebut. Teorama 5.2.2. Jika A x O adalah suatu sistem linier homogen dari m persamaan dalam n peubah, maka himpunan vektor penyelesaiannya adalah suatu sub-ruang dari R” Bukti. Anggap W adalah himpunan vektor penyelesaian. Paling tidak ada satu vektor dalam W, yaitu 0. Untuk menunjukan bahwa W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, kita harus menunjukan bahwa jika x dan x’ adalah vektor-vektor penyelesaian, maka



Ax = 0 dan Ax’ = 0 Yang daripadanya kita dapatkan bahwa



A(x + x’) = Ax + Ax’ = 0 + 0 = 0 Dan



A(kx) = kAx = k0 = 0 Yang membuktikan bahwa x + x’ dan kx adalah vektor-vektor penyelesaian.



Contoh 7. Tinjau sistem linear 280



1 −2 3 x 0 (a) 2 −4 6 y = 0 3 −6 9 z 0



1 −2 3 x 0 (b) −3 7 −8 y = 0 −2 4 −6 z 0



1 −2 3 x 0 (c) −3 7 −8 y = 0 4 1 2 z 0



0 0 0 x 0 (d) 0 0 0 y = 0 0 0 0 z 0



[ [



][ ] [ ] ][ ] [ ]



[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]



Masing-masing sistem ini mempunyai tiga peubah, sehingga penyelesaiannya membentuk Sub-ruang dari R'. Secara geometris, hal ini berani bahwa setiap ruang penyelesaian haruslah suatu garis lurus yang melalui titik asal, suatu bidang yang melalui titik asal, titik asal saja, atau semua anggota R’. Sekarang kita akan membuktikan bahwa demikianlah adanya (menyerahkan kepada pembaca untuk menyelesaikan sistemnya).



Penyelesaian (a) Penyelesaiannya adalah



x = 2x – 3t,



y = x,



z=t



yang daripadanya kita dapatkan bahwa



x = 2y – 3z



atau



x – 2y + 3z = 0



ini adalah persamaan bidang yang melalui titik asal dengan n = ( 1,-2, 3 ) sebagai suatu vektor normalnya. (b) Penyelesaiannya adalah



x = -5t,



y = -t,



z=t



ini merupakan persamaan parametrik untuk garis yang melalui titik asal yang sejajar dengan vektor v = ( -5, -1, 1 ). (c) Penyelesainnya adalah x = 0, y = 0, z = 0, sehingga ruang penyelesaiannya hanyalah titik asal, yaitu, {0}. (d) Penyelesaiannya adalah



x = r,



y = s,



z=t



dimana r, s dan t mempunyai nilai-nilai seberang, sehingga ruang penyelesaiannya adalah sebagai anggota R’.



281



KOMBINASI LINEAR VEKTOR-VEKTOR Pada bagian 1 .3 kami memperkenalkan konsep suatu kombinasi linear dari vektor-vektor kolom. Definisi berikut ini memperluas gagasan ini ke vektor-vektor yang lebih umum. Definisi. Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linear dari vektor-vektor vl, v2 , . . . . . , vr , jika bisa dinyatakan dalam bentuk



w = k1v1 + k2v2 + ..... + krvr dengan k1, k2, . . . . , kr adalah skalar



KOMENTAR. Jika r = l, maka persamaan dalam definisi di atas menjadi w = k1v1 ; yaitu, w adalah suatu kombinasi linear dari suatu vektor tunggal v1 jika w adalah suatu penggandaan skalar dari v1. Contoh 8. Setiap vektor v = (a, b, c) dalam R’ bisa dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor basis standar



i = (1,0,0),



j = (0,1,0),



k = (0,0,1)



karena



v = (a,b,c) = a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1) = ai + bj + ck Contoh 9. Tinjau vektor u = (l, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) dalam R’. Tunjukkan bahwa w = (9, 2, 7) adalah kombinasi linear dari u dan v dan bahwa w’ = (4, - l, 8) bukanlah kombinasi linear dari u dan v. Penyelësaian. Agar w menjadi suatu kombinasi linear dari u dan v, haruslah ada skalar k1 dan k2 sedemikian sehingga w = k1u + k2v; yaitu



(9. 2, 7) = k1(1, 2, -1) + k2 (6,4,2) atau



(9, 2, 7) = (k1 + 6k2, 2k1 + 4k2, -k1 + 2k2) Dcngan menyamakan komponen-komponen yang berpadanan kita akan mendapatkan



k1 + 6k2 = 9 2k1 + 4k2 = 2 -k1 + 2k2 = 7 Menyelesaikan sistem ini akan menghasilkan k1 - 3, k2, sehingga



w = -3u + 2v



282



Demikian juga, agar w' menjadi suatu kombinasi linear dari u dan v, harus ada skalar k1, dan k2, sedemikian sehingga w' = k1u + k2v, yaitu,



(4, -l, 8) = kl (l, 2, -1) + k2 (6, 4, 2) atau



(4, -1, 8) = (k1 + 6k2, 2k1 + 4k2, -k1 + 2k2) Dengan menyamakan kompnen-komponen yang berpadanan kita akan mendapatkan



k1 + 6k2 = 4 2k1 + 4k2 = -1 -k1 + 2k2 = 8 Sistem persamaan ini tidak konsisten (buktikan), sehingga tidak ada skalar k1, dan k2 yang memenuhinya. Akibatnya, bukanlah suatu kombinasi linear dari u dan v. Jİka v1, v2, . . . . . . , vr adalah vektor-veklor dalam suatu ruang vektor V, maka secara umum beberapa vektor dalam V mungkİn merupakan kombinasİ linear dari v1, v1, . . . . . . ,v, dan yang lainnya mungkin tidak. Teorem berikut ini menunjukan bahwa jika kita menyusun suatu hirnpunan W yang terdiri dari semua vektor-vektor yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v1, v2 , . . . .. . . , v , itu, maka W membentuk suatu sub-ruang dari V. Teorema 5.2.3. Jika v1, v2, . . . . ,vr adalah vektor-vektor dalam sub-ruang vektor V, maka: (a) Himpunan semua kombinasi linear dari v1, v2, . . . , vr merupakan suatu sub-ruang dari V. (b) W adalah sub-ruang terkecil dari yang berisi v1, v2, . . . .,vr dalam pengerlitan bahwa setiap sub-ruang lain dari V berisi v1, v2, . . . . . ,vr pasti mengandung W.



Bukti(a). Untuk menunjukkan bahwa W adalah suatu sub-ruang dari V, kita harus membuktikan bahwa W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar. Paling tidak ada satu vektor dalam W, yaitu 0, karena 0 = 0v1 + 0v2 + . . . . + 0vr. Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam W, maka



u = c1v1 + c2v2 + . . . . + crvr dan



v = k1v1 + k2v2 + . . . . + krvr



283



dengan c1, c2, . . . . , cr, k1, k2, . . . . , kr adalah skalar. Oleh karena itu



u + v = (c1 + k1) v1 + (c2 + k2) v2 + . . . . + (cr + kr) vr dan, untuk sebarang skalar k,



ku = (kc1) v1 + (kc2) v2 + . . . . + (kcr) vr Jadi, u + v dan ku adalah kombinasi linear dari v1, v2, . . . . , vr dan oleh karena iłu terletak dałam W. Dengan demikian, W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar. Bukti(b). Setiap vektor v1, adalah suatu kombinasi linier dari v1, v2, . . . . , vr karena kita bisa menuliskan



v1 = 0v1 + 0v2 + . . . . + 1v1 + . . . . + 0vr Oleh karena itu, sub-ruang W mengandung masing-masing vektor v1, v2, . . . . , vr. Anggap W adalah sebarang sub-ruang lainnya yang mengandung v1, v2, . . . . , vr, karena W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, maka pasti mengandung semua kombinasi linear dari v1, v2, . . . . , vr . Jadi, W mengandung setiap vektor dari W. Kami membuat definisi berikut ini. Definisi. Jika S = {v1, v2, . . . . , vr } adalah suatu himpunan vektor dałam suatu ruang vektor V, maka sub-ruang W dari yang mengandung semua kombinasi linear dari vektorvektor dałam S disebut ruang terentang oleh v1, v2, . . . . , vr dan kita katakan bahwa vektor-vektor v1, v2, . . . . , v r adalah rentang W. Untuk menunjukkan bahwa adalah ruang terentang oleh vektor-vektor dałam himpunan S = { v1, v2, . . . . , vr } kita tuliskan



W = rent(S) atau W = rent {v1, v2, . . . . , vr}



Contoh 10. Jika v1 dan v2 adalah vektor-vektor tak-kolinear dałam R’ dengan titik-titik pangkal di titik asal, maka rent{v1, v2}, yang berisi semua kombinasi linear k1v1 + k2v2 adalah bidang yang ditentukan oleh v1 dan v2 (Gambar 5a). Demikian juga, jika v adalah suatu vektor tak-nol R2 dan R3 , maka rent {v} yang merupakan himpunan semua penggandaan skalar kv, adalah garis yang dibentuk oleh v (Gambar 5b) Contoh 11. Polinom 1, x, x2, . . . ., xn merentangkan ruang vektor Pn yang didefinisikan dalam contoh 5 karena setiap polinom p dalam Pn bisa ditulis sebagai



p = an + a1x + . . . . + anxn



284



Rent [v1, v2] adalah bidang yang melalui titik asal yang dibentuk oleh v1 dan v2



Rent {v} adalah garis yang melalui titik asal yang dibentuk oleh v



Yang merupakan suatu kombinasi linear dari 1, x, x2, . . . ., xn. Kita bisa menyatakan ini dengan menuliskan Contoh 12. Tentukan apakah v1 = (l, 1, 2), v2 = (1,0,1), v3 (2,1,3) merentangkan ruang vektor R’. Penyelesaian. Kita harus menentukan apakah suatu vektor sebarang b = (b1, b2, b3) dalam R’ bisa dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear



b = k1v1 + k2v2 + k3v3 dari vektor-vektor v1, v2, dan v3. Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponen-komponen akan didapatkan



(b1, b2, b3) = k1 (1,1,2) + k2 (1,0,1) + k3 (2,1,3) atau



(b1, b2, b3) = (k1 + k2 + 2k3, k1 + k3, 2k1 + k2 + 3k3) atau



k1 + k2 + 2k3 = b1 k1



+



k3 = b2



2k1 + k2 + 3k3 = b3 Dengan demikian masalahnya berkurang menjadi menentukan apakah sistem ini konsisten untuk semua nilai b1, b2, dan b3. Berdasarkan Teorema 4.3.4 bagian (a) dan (e), sistem ini konsisten untuk semua b1, b2, dan b3, jika dan hanya jika matriks koefisien 1 1 2 A=¿ 1 0 1 2 1 3



[ ] 285



dapat dibalik. Tetapi det(A) = 0 (tunjukkan), sehingga A tidak bisa dibalik; akibat. nya, v1, v2, dan tidak merentangkan R’. Himpunan yang terentang tidaklah unik. Misalnya sebarang dua vektor tak-kolinear yang terletak pada bidang yang ditunjukkan pada Gambar 5 akan merentangkan bidang yang sama, dan sebarang vektor tak-nol pada garis dalam gambar itu akan merentangkan garis yang sama. Kami tinggalkan bukti dari teorema berguna berikut ini sebagai latihan. Teorama 5.2.4. Jika S = {v1, v2, . . . . , vr} dan Sn = { w1, w2, . . . . , wk} adalah dua himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka rent {v1, v2, . . . . , vr} = rent {w1, w2, . . . . , wk} jika dan hanya jika setiap vektor dalam S adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S, dan sebaliknya setiap vektor dalam S adalah suatu kombinasi linear dari vektorvektor dalam S



HIMPUNAN LATIHAN 5.2 l. Gunakan Teorema 5.2.1 untuk menentukan manakah dari yang berikut ini adalah sub-ruang dari R’. (a) semua vektor berbentuk (a, 0, 0) (b) semua vektor berbentuk (a, l, 1) (c) semua vektor berbentuk (a, b, c), dengan b = a + c (d) semua vektor berbentuk (a, b, c), dengan b = a + c + 1 2. Gunakan Teorema 5.2.1 untuk menentukan manakah dari yang berikut ini adalah subruang dari Mn. (a) semua matriks 2 x 2 dengan anggota-anggota bilangan bulat (b) semua matriks



[ ac bd ] dimana a + b + c + d = 0



(c) semua matriks A, 2 x 2 sedemikian sehingga det(A) = 0 3. Gunakan Teorema 5.2.1 untuk menentukan manakah dari yang berikut ini adalah subruang dari Pn . (a) semua polinom an + a1x + a2x2 + a3x3 dimana an = 0 (b) semua polinom an + a1x + a2x2 + a3x3 dimana an + a1 + a2 + a3 = 0 (c) semua polinom an + a1x + a2x2 + a3x3 dimana an, a1, a2, dan a3 adalah bilanganbilangan bulat (d) semua polinom berbentuk an + a1x1 dimana an dan a1 adalah bilangan-bilangan real 286



4. Gunakan Teorema 5.2.1 untuk menentukan manakah dari yang berikut ini adalah subruang dari ruang F (−∞ , ∞ ) . (a) semua f sedemikian sehingga f(x) ≤ 0 untuk semua x (b) semua f sedemikian sehingga f(0) = 0 (c) semua f sedemikian sehingga f(0) = 2 (d) semua fungsi konstan (e) semua f berbentuk k1, k2sin x, di mana k1 dan k2 adalah bilangan-bilangan real 5. Gunakan Teorema 5.2.1 untuk menentukan manakah dari yang berikut ini adaiah subruang dari Mm. (a) semua matriks A, n × n, sedemikian sehingga tr (A) = 0 (b) semua matriks A, n × n, sedemikian sehingga AT = -A (c) semua matriks A, n x n, sedemikian sehingga sistem linear Ax = 0 hanya mempunyai penyelesaian trivial. 6. Tentukan apakah ruang penyelesaian dari sistem Ax = 0 adalah suatu garis lurus yang melalui titik asal, suatu bidang yang melalui titik asal, atau hanya titik asal. Jika penyelesaian tersebut adalah suatu bidang, cari suatu persamaan itu bidang tersebut ; jika penyelesaian tersebut adalah suatu garis, cari persamaan parametrik garis tersebut. −1 1 1 (a) A= 3 −1 0 2 −4 −5



[ [



1 1 −6 (d) A= 1 4 4 3 10 6



1 −2 3 9 (b) A= −3 6 −2 4 −6



]



[ [



1 −1 1 (e) A= 2 −1 4 3 1 11



]



]



1 2 3 (c) A= 2 5 3 1 0 8



[ ] [ ]



1 −3 1 (f) A= 1 −6 2 3 −9 3



]



7. Manakah dari yang berikut ini adalah kombinasi linier dari u = (0, -2, 2) dan v = (1, 3, -1)? (a) (2,



2, 2)



(b) (3,



1, 5)



(c) (0,



4, 5)



(d) (0,



0, 0)



8. Nyatakan yang berikut ini sebagai kombinasi linear dari u = (2, 1, 4) v = (1, -1, 3) dan w = (3, 2, 5). (a) (-9, -7, -15)



(b) (6, 11, 6)



(c) (0, 0, 0)



(d) (7, 8, 9)



9. Nyatakan yang berikut ini sebagai kombinasi linear dari p1 = 2 + x + 4x2, p2 = 1 – x + 3x2, dan p3 = 3 + 2x + 5x2.



287



(a) -9 -7x -15x2



(b) 6 + 11x + 6x2



(d) 7 + 8x + 9x2



(c) 0



10. Manakah dari yang berikut ini adalah kombinasi linear dari



[−24 −20 ] ,



A=



( a ) 6 −8 −1 −8



[



B=



[ 12 −13 ] ,



(b ) 0 0 0 0



]



C=



(c ) 6 0 3 8



[ ]



[ ]



[01 42] ? ( d ) −1 5 7 1



[



]



11. Pada setiap bagian tentukan apakah vektor-vektor yang diberikan merentangkan R’. (a) v1 = (2, 2, 2), v2 = (0, 0, 3), v3 = (0, 1, 1) (b) v1 = (2, -1, 3), v2 = (4, 1, 2), v3 = (8, -1, 8) (c) v1 = (3, 1, 4), v2 = (2, -3, 5), v3 = (5, -2, 9), v4 = (1, 4, -1) (d) v1 = (1, 2, 6), v2 = (3, 4, 1), v3 = (4, 3, 1), v4 = (3, 3, 1) 12. Anggap f = cos2x dan g = sin2x. Manakah dari yang berikut ini terletak pada ruang yang terentang oleh f dan g? (a) cos 2x



(b) 3 + x2



(c) 1



(d) sin x



(e) 0



13. Tentukan apakah plinom berikut ini merentangkan P2.



P1 = 1 – x + 2x2, P3 = 5 – x + 4x2,



P2 = 3 + x, P4 = -2 – 2x + 2x2



14. Anggap v1 = (2, 1, 0, 3), v2 = (3, -1, 5, 2), dan v3 = (-1, 0, 2, 1). Manakah dari vektor-vektor berikut ini yang berada dalam rent {v1, v2, v3}?



(a) (2, 3, -7, 3)



(b) (0, 0, 0, 0)



(c) (1, 1, 1, 1)



(d) (-4, 6, -13, 4)



15. Cari suatu persamaan untuk bidang yang terentang oleh vektor u = (-1, 1, 1) dan



v = (3, 4, 4) 16. Cari persamaan parametrik untuk garis yang terentang oleh vektor u = (3, -2, 5) 17. Tunjukkan bahwa vektor-vektor penyelesaian dari suatu sistem tak-homogen yang konsisten m persamaan linear dalam n peubah tidak membentuk suatu sub-ruang dari Rn. 18. Buktikan Teorema 5.2.4. 19. Gunakan Teorema 5.2.4 untuk menunjukkan bahwa 288



V1 = (1, 6, 4),



V2 = (2, 4, -1),



V3 = (-1, 2, 5)



Dan



W1 = (1, -2, -5)



W2 = (0, 8, 9)



Merentangkan sub-ruang yang sama dari R’. 20. Sebuah garis L yang melalui titik asal dalam R’ bisa dinyatakan dalam persamaan parametrik berbentuk x = at, y = bt, dan z = ct. Gunakan persamaan-persamaan ini untuk menunjukkan bahwa L adalah suatu sub-ruang dari R’, yaitu, jika v1 = (x1, y1, z1) dan v2 = (x2, y2, z2) adalah titik-titik pada L dan k adalah sebarangg bilangan real, maka kv1 dan v1 + v2 juga merupakan titik-titik pada L. 21. (Untuk para pembaca yang telah mempelajari kalkulus). Tunjukkan bahwa himpunanhimpunan fungsi berikut ini adalah sub-ruang dari F(-∞, ∞). (a) semua fungsi yang kontinu dimana-mana (b) semua fungsi yang dapat diturunkan dimana-mana (c) semua fungsi yang dapat diturunkan dimana-mana yang memenuhi f’ + 2f = 0 22. (Untuk para pembaca yang telah mempelajari kalkulus). Tunjukkan bahwa himpunan fungsi-fungsi kontinu f = f(x) pada [a,b] sedemikian sehingga h



∫ f ( x ) dx=0 u



Adalah suatu sub-ruang dari C[a,b]



5.3 KEBEBASAN LINIER DEFINISI KEBEBASAN LINIER Pada bagian sebelumnya kita belajar bahwa suatu himpunan vektor S = {v1, v2, . . . ., vr} merentangkan suatu ruang vektor V yang diberikan jika setiap vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S. Secara umum, mungkin ada lebih dari satu cara untuk menyatakan suatu vektor dalam V sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam suatu rentang. Dalam bagian ini kita akan mempelajari syarat-syarat di mana setiap vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor rentang dalam tepat satu cara. Himpunan-himpunan rentang dengan sifat ini memainkan peran mendasar dalam tela’ah ruang-ruang vektor.



289



Definisi. Jika S = {v1, v2, . . . ., vr} adalah suatu himpunan vektor-vektor tak-kosong, maka persamaan vektor



k1v1 + k2v2 + . . . . + krvr = 0 Mempunyai paling tidak satu penyelesaian, yaitu



k1 = 0, k2 = 0, . . . ., kr = 0 Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka S disebut suatu himpunan yang bebas secara linier. Jika ada penyelesaian-penyelesaian lainnya, maka S disebut himpunan yang tak-bebas secara linear.



Contoh 1. Jika v1 = (2, -1, 0, 3), v2 = (1, 2, 5, -1), dan v3 = (7, -1, 5, 8), maka himpunan vektor-vektor S = {v1, v2, v3} tak-bebas secara linier, karena 3v1 + v2 – v3 = 0 Contoh 2. Polinom



P1 = 1 – x, P2 = 5 + 3x – 2x2, P3 = 1 + 3x – x2 Membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear dalam P2 karena 3p1 – p2 + 2p3 = 0 Contoh 3. Tinjau vektor i = (l, 0, 0), j = (0, l, 0), dan k (0, 0, l) dalam R’. Dalam bentuk komponen, persamaan vektor



k1i + k2j + k3k = 0 menjadi



k1 (1,0,0) + k2 (0,1,0) + k3 (0,0,1) = (0,0,0) atau secara ekuivalen



(k1, k2, k3) = (0,0,0) Ini berimplikasi bahwa k1 = 0, k2 = 0, dan k3 = 0, sehingga himpunan S = {i, j, k} bebas secara linear. Suatu uraian serupa bisa digunakan untuk menunjukkan bahwa vektor-vektor



e1 = (1,0,0, . . . .,0), e2 = (0,1,0, . . . .,0), en = (0,0,0, . . . .,1) membentuk suatu himpunan yang bebas secara linear dalam R'. Contoh 4. Tentukan apakah vektor-vektor



V1 = (1,-2,3)



V2 = (5,6,-1)



V3 = (3,2,1)



Membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear atau himpunan yang bebas secara linear. Penyelesaian. Dalam bentuk komponen, persamaan vektor



k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 290



menjadi



k1(1,-2,3) + k2 (5,6,-1) + k3 (3,2,1) = (0,0,0) atau secara ekuivalen,



(k1 + 5k2 +3k3, -2k1 + 6k2 + 2k3, 3k1 – k2 + k3) = (0,0,0) Dengan menyamakan komponen-komponen yang berpadanan kita akan mendapatkan



k1 + 5k2 + 3k3 = 0 -2k1 + 6k2 +2k3 = 0 3k1 – k2 + k3 = 0 Jadi, v1, v2 dan v3 membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear jika sistem ini mempunyai suatu penyelesaian yang tak-trivial, atau suatu himpunan yang bebas secara linear jika sistem ini hanya mempunyai penyelesaian trivial. Dengan menyelesaikan sistem ini kita akan mendapatkan k1 ¿



1 t 2



1 t 2



k2 ¿



k3 ¿t



Jadi, sistem tersebut mempunyai penyelesaian tak-trivial v1, v2 dan v3 dan membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear. Atau, kita bisa menunjukkan keberadaan penyelesaian tak-trivial tanpa menyelesaikan sistemnya dengan menunjukkan matriks koefisiennya mempunyai determinan nol dan akibatnyzi tidak dapat dibalik (tunjukkan). Contoh 5. Tunjukkan bahwa polinom



1, x, x2, . . . ., xn membentuk suatu himpunan vektor-vektor yang bebas secara linear dalam Pn Penyelesaian, Anggap



P0 = 1, P1 = x, P2 = x2, . . . ., Pn = xn dan asumsikan bahwa suatu kombinasi linear dari polinom-polinom ini adalah nol. katakanlah



a0p0 + a1p1 + a2p2 + . . . ., anpn = 0



291