ANUITAS [PDF]

Citation preview

ANUITAS



Anuitas adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan dalam selang waktu yang sama. Pembayaran dapat dilakukan tiap bulan, 3 bulan, 6 bulan atau tahunan. Besar pembayaran tiap periode bisa sama yang disebut anuitas datar bisa juga tidak sama yang disebut anuitas berubah. Pada bagian ini akan dipelajari beberapa anuitas hidup dengan pembayaran datar berupa pembayaran tahunan dan pembayaran beberapa kali setahun maupun pembayaran berubah.



1. Anuitas Hidup Anuitas hidup adalah anuitas yang pembayarannya dikaitkan dengan mati hidupnya seseorang.Pembayaran dilakukan jika orang yang memiliki anuitas masih hidup. Berdasarkan besar pembayaran anuitas hidup terdiri dari anuitas datar dan anuitas berubah. Sedangkan berdasarkan jangka waktu pembayaran anuitas hidup terdiri dari pembayaran tahunan dan pembayaran beberapa kali setahun. Beberapa macam anuitas hidup yang dipelajari adalah anuitas seumur hidup, endowmen murni, anuitas berjangka dan anuitas ditunda.



1.1. Anuitas Datar Besar pembayaran anuitas hidup yang sama tiap periode dinamakan anuitas hidup datar. Pembayaran anuitas hidup ini bisa dilakukan tahunan maupun beberapa kali setahun yang masing-masing terdiri dari anuitas seumur hidup, endowmen murni, anuitas berjangka dan anuitas ditunda.



1.1.1. Pembayaran Tahunan Anuitas dengan pembayaran tahunan adalah anuitas dengan pembayaran sekali dalam setahun selama jangka waktu yang ditentukan. a. Anuitas Seumur Hidup Anuitas seumur hidup adalah rangkaian pembayaran yang dilakukan selama seseorang masih hidup pada waktu jatuhnya pembayaran. Pembayaran bisa dilakukan tiap awal tahun yang disebut anuitas awal seumur hidup maupun dilakukan tiap akhir tahun yang disebut anuitas akhir seumur hidup. Misal nilai tunai anuitas awal seumur hidup untuk seseorang yang berusia x disimbolkan dengan simbol ax dan nilai tunai anuitas akhir seumur hidup untuk



1



seseorang yang berusia x disimbolkan dengan ax, maka diperoleh hubungan antara ax dan ax seperti terlihat pada Gambar 1



1



1 1



x



x+1



1 1



1 1



x+2



anuitas awal anuitas akhir



w



usia



Gambar 1



Hubungan antara ax dan ax adalah



ax = 1 + ax



(1)



Seseorang berusia 𝑥 tahun membeli anuitas seumur hidup dengan cara membayar nilai tunai sebesar 𝑎𝑥 dengan harapan setiap akhir tahun dia akan menerima uang sebesar Rp. 1. Peluang orang tersebut hidup satu tahun lagi adalah



1 𝑝𝑥 ,



sehingga jika orang



tersebut mencapai usia 𝑥 + 1 maka dia akan menerima Rp. 1 beserta bunganya sebesar 𝑣.



1 𝑝𝑥 .



Peluang orang tersebut hidup dua tahun lagi adalah



2 𝑝𝑥 ,



jika orang tersebut



mencapai usia 𝑥 + 2 maka dia akan menerima Rp. 1 beserta bunganya sebesar 𝑣 2.



2 𝑝𝑥



dan seterusnya. Sehingga nilai tunai anuitas akhir atau premi tunggal bersih



adalah 𝑎𝑥 = 1. 𝑣 1 .



1 𝑝𝑥



+ 1. 𝑣 2 .



2 𝑝𝑥



+ 1. 𝑣 3 .



3 𝑝𝑥



+ ⋯ + 1. 𝑣 𝑤−𝑥 .



𝑤−𝑥 𝑝𝑥



𝑣. 𝑙𝑥+1 𝑣 2 . 𝑙𝑥+2 𝑣 3 . 𝑙𝑥+3 𝑣 𝑤−𝑥 . 𝑙𝑤 = + + + ⋯+ 𝑙𝑥 𝑙𝑥 𝑙𝑥 𝑙𝑥 =



𝑣 𝑥+1 . 𝑙𝑥+1 + 𝑣 𝑥+2 . 𝑙𝑥+2 + 𝑣 𝑥+3 . 𝑙𝑥+3 + ⋯ + 𝑣 𝑤 . 𝑙𝑤 𝑣 𝑥 𝑙𝑥



=



𝐷𝑥+1 + 𝐷𝑥+2 + 𝐷𝑥+3 + ⋯ + 𝐷𝑤 𝐷𝑥



=



N x 1 Dx



(2)



Dari (1) diperoleh nilai tunai anuitas awal



ax



= 1 + ax = 1 +



N x 1 D  N x 1 N = x = x Dx Dx Dx



(3)



Contoh 1 : Amir pensiun pada waktu berusia 55 tahun dan menerima pesangon sebesar 40 juta rupiah. Uang ini kemudian dibelikan anuitas seumur hidup. Berapa besar penerimaan yang akan dia terima tiap awal tahun mulai usia 55 ? 2



Jawab : Misal besar uang yang diterima Amir tiap awal tahun adalah B rupiah, maka



40.000.000  a55 40.000.000 = B



N 55 D55 193940,61



B = 40.000.000 (2754768,79) = 2.816.070,963 Jadi tiap awal tahun seumur hidup Amir akan menerima uang sebesar Rp. 2.816.070,963 Apabila pada contoh Amir menerimanya pada tiap akhir tahun, hitung besar uang yang diterimanya.



b. Endowmen Murni Endowmen murni adalah suatu pembayaran yang dilakukan pada akhir suatu jangka waktu tertentu bagi seseorang bila dia hidup mencapai akhir jangka waktu tersebut. Jika orang tersebut meninggal sebelum akhir jangka waktu maka tidak ada pembayaran. Nilai tunai suatu endowmen murni yang dikeluarkan bagi seseorang yang berusia x selama jangka waktu n tahun dinyatakan dengan simbol



nEx.



Jika orang ini meninggal sebelum berusia x+n tahun



maka ia tidak akan menerima pembayaran, tetapi jika ia mencapai usia x+n tahun ia akan menerima pembayaran sebesar Rp. 1. Sehingga jika diilustrasikan pada Gambar 2 terlihat bahwa nEx seperti anuitas awal yang ditunda n tahun dan dibayarkan sekali. musibah tidak menerima Rp. 1



x



dibayarkan Rp. 1 bila x mencapai usia x+n



x+n Gambar 2



nEx



adalah nilai tunai dari 1.vn, dengan peluang dibayarkan jika x mencapai usia x+n tahun



(npx). Jadi



D v x  n .l x  n v n .l x  n = = xn nEx = v .npx = x lx Dx v lx n



(4)



3



Contoh 2 : Ali usia 42 tahun membeli endowment murni dengan maksud jika dia masih hidup pada waktu berusia 60 tahun dia akan memperoleh uang sebesar 25 juta rupiah. Hitung besar uang yang harus dibayar Ali untuk membeli endowment murni tersebut.



Jawab : Besar uang untuk membeli endowment murni tersebut adalah: 18E42



= 25.000.000



D60 154046,23 = 25.000.000 (309145,51)= 12.457.420,917 D 42



c. Anuitas Berjangka Anuitas berjangka adalah rangkaian pembayaran berkala paling lama n tahun. Jika nilai tunai anuitas akhir bagi seorang berusia x dengan pembayaran paling lama n tahun ditulis dengan simbol ax:n. Sedangkan nilai tunai anuitas awal bagi seorang berusia x dengan pembayaran paling lama n tahun ditulis dengan simbol ax:n , maka diperoleh hubungan antara ax:n dan ax:n seperti terlihat pada gambar berikut 1



x



1 1



1 1



x+1



x+2



1 1 x+n-1



1



anuitas awal anuitas akhir



x+n



Gambar 3



Jadi hubungan antara ax:n dan ax:n adalah



ax:n = 1 + ax:n-1



(5)



ax:n ini dapat dipandang sebagai jumlahan dari endowmen murni tiap tahun bagi orang berusia x selama n tahun, yaitu ax:n = 1Ex + 2Ex + . . . + nEx Jika digambarkan adalah sebagai berikut nEx



... E 2 x 1Ex 1 x



1 x+1



1



1



x+2



x+n Gambar 4



4



Sehingga



D D D x 1 + x2 + . . . + x  n Dx Dx Dx



ax:n =



=



Dx 1  Dx  2  ...  Dx  n Dx



=



N x 1  N x  n1 Dx



(6)



Atau apabila menggunakan Gambar 3, maka 𝑎𝑥:𝑛 = 1. 𝑣 1 .



1 𝑝𝑥



+ 1. 𝑣 2 .



2 𝑝𝑥



+ 1. 𝑣 3 .



3 𝑝𝑥



+ ⋯ + 1. 𝑣 𝑛 .



𝑛 𝑝𝑥



𝑣. 𝑙𝑥+1 𝑣 2 . 𝑙𝑥+2 𝑣 3 . 𝑙𝑥+3 𝑣 𝑛 . 𝑙𝑥+𝑛 = + + + ⋯+ 𝑙𝑥 𝑙𝑥 𝑙𝑥 𝑙𝑥



v x 1 .l x 1  v x  2 .l x  2  v x 3 .l x 3  ...  v x  n .l x  n v xlx



=



=



Dx 1  Dx  2  Dx 3  ...  Dx  n Dx



=



N x 1  N x  n1 Dx



(6)



Dari (5)



ax:n = 1 + ax:n-1 = 1 +



Dx  N x 1  N x  n N x 1  N x  n N  N xn = = x Dx Dx Dx



(7)



Contoh 3 : Bima berusia 35 tahun membeli anuitas berjangka dengan maksud setiap akhir tahun menerima uang sebesar 1,5 juta rupiah selama 30 tahun. Berapa besar uang yang dibayar Bima untuk membeli anuitas tersebut?



Jawab : Besar uang yang diterima Bima tiap akhir tahun adalah 1,5 juta rupiah, maka 𝑎35:30 = 1.500.000



= 1.500.000



N 36  N 66 D35



8128447,43 − 1056041,64 381995,63



= 27.771.544,935 Jadi besar uang untuk membeli anuitas berjangka tersebut adalah Rp. 27.771.554,935 5



Apabila pada contoh Bima menerimanya pada tiap awal tahun, hitung besar uang untuk membeli anuitas tersebut.



d. Anuitas Ditunda Anuitas ditunda adalah rangkaian pembayaran secara berkala yang ditunda selama jangka waktu tertentu.Nilai tunai anuitas akhir bagi seseorang berusia x ditunda n tahun dinyatakan dengan simbol n|ax.Sedangkan nilai tunai anuitas awal bagi seseorang berusia x ditunda n tahun dinyatakan dengan simbol n| ax



n|ax



ditunda



x



x+1



x+2



x+n



1



1



x+n+1



w



Gambar 5



Gambar 5 adalah ilustrasi dari anuitas akhir bagi seseorang yang berusia x yang pembayarannya ditunda selama n tahun. Jadi pembayaran dilakukan mulai akhir tahun ia berusia x+n sampai seumur hidup. Sedangkan hubungan antara anuitas akhir seumur hidup, anuitas akhir berjangka dan anuitas akhir tunda dapat digambarkan sebagai berikut



1



x



1



1



1



1



1



x+1



x+2



x+n-1



1 1



1 x+n



x+n+1



berjangka 1 ditunda 1 seumur hidup w



Gambar 6



Jika dinyatakan dalam bentuk rumus adalah ax:n + n|ax = ax



(8)



Dari (8) diperoleh n|ax



= ax - ax:n =



N N x 1 N x 1  N x  n1 = x  n 1 Dx Dx Dx



(9)



Sama seperti pada anuitas akhir, pada anuitas awalpun dapat diperoleh hubungan antara anuitas seumur hidup, anuitas berjangka dan anuitas ditunda, yaitu



ax:n + n| ax = ax



(10) 6



Sehingga



x n| a



= ax - ax:n =



N x  N xn N Nx = xn Dx Dx Dx



(11)



Selanjutnya nilai tunai anuitas akhir bagi seseorang berusia x ditunda m tahun pembayaran paling lama n tahun dinyatakan dengan simbol



m|nax.



Dan nilai tunai anuitas awal bagi



seseorang berusia x ditunda m tahun pembayaran paling lama n tahun dinyatakan dengan simbol m| n ax . m|nax ini dapat dipandang sebagai jumlahan dari endowmen murni



m+nEx



... m+2Ex m+1Ex



x



1



x+1



x+2



x+m



1



x+m+1 x+m+2



1



x+m+n



Gambar 7



Sehingga m|nax= m+1Ex



x m| n a



+ m+2Ex + . . . + m+nEx



=



D D Dx  m1 + xm2 + . . . + xmn Dx Dx Dx



=



N x m1  N x  m n1 Dx



=



m-1|nax



=



(12)



N x  m  N x  m n Dx



(13)



Contoh 4 : Pada saat Novi berusia 30 tahun dia membeli anuitas. Dia ingin pada waktu berusia 50 tahun tiap akhir tahun memperoleh uang sebesar Rp. 3.000.000 selama 10 tahun, maka nilai tunai yang harus dibayar Novi adalah 20|10a30=



3.000.000



N 51  N 61 D30



= 3.000.000



3613562,55  1711567,35 440800,58



= 12.944.596,3978



7



Jadi Novi harus membayar sebesar Rp. 12.944.596,3978 pada waktu berusia 30 tahun agar pada waktu mulai usia 50 tahun setiap akhir tahun memperoleh uang sebesar Rp. 3.000.000 selama 10 tahun



1.1.2. Pembayaran Beberapa Kali Setahun Selain pembayaran setahun sekali anuitas bisa juga dilakukan dengan pembayaran beberapa tahun sekali, misal k kali setahun. a. Anuitas Seumur Hidup Misal a (k)x menyatakan nilai tunai anuitas awal seumur hidup bagi seseorang berusia x dengan pembayaran k kali setahun dengan pembayaran Rp. 1 setahun. Jadi pembayaran tiap periode adalah Rp.



1 selamaseumur hidup, seperti terlihat pada gambar berikut k



…



1/k1/k



1/k1/k1/k



x



…



1/k



1/k 1/k …



x+1



1/k



x+2



w



Gambar 9



Untuk menghitung nilai tunai digunakan cara sebagai berikut



1



k.



1



1...



1



1



1



1... 1 1



1



1 ...



1



a (k)x x



1/k



x+1



1



1



x



x+1



x+2



w



1



a x 1



x+2 1



w 1



 x 1/k| a x



x+1 1



x+2 1



w 1



 x 2/k a x



x+1



x+2



w



... 1



1



1



 x (k-1)/k a x



x+1



x+2



Jadi k. a (k)x = a x + 1/k| a x + 2/k| a x + . . . + (k-1/|k| a x 8



w



(15)



Untuk menghitung ruas kanan digunakan interpolasi linier, yaitu



 x 0| a



= a x - 0, 1| a x= a x – 1



a x



 x 1/k| a



 x 1| a



x 1/k tahun



Jadi



 x~ 1/k| a  x 2/k| a



x+1



a x - 1/k



~ a x – 2/k ...



 x h/k| a



~ a x – h/k



Sehingga (15) menjadi 1  2  k. a (k)x ~ a x +  a   +  a   + . . . + k  k 



= k. a x -



1 ( 1 + 2 + . . . + k-1 ) k



= k. a x -



k 1 2



Jadi a (k)x = a x -



k 1   a   k  



k 1 2k



(16)



Rumus ini adalah rumus hampiran Misal a(k)x menyatakan nilai tunai anuitas akhir seumur hidup bagi seseorang berusia x dengan pembayaran k kali setahun dengan pembayaran Rp. a(k)x = a (k)x . = a x -



1 k



k 1 1 2k k



= ax + 1 = ax +



1 tiap periode, maka k



k 1 1 2k k



k 1 2k



(17)



9



b. Anuitas Ditunda Misal m| a (k)x menyatakan nilai tunai anuitas awal seumur hidup bagi seseorang berusia x dengan pembayaran kkali setahun dengan pembayaran Rp.



1 tiap periode ditunda m tahun k



dan m|a(k)x menyatakan nilai tunai anuitas akhir seumur hidup bagi seseorang berusia x dengan pembayaran k kali setahun dengan pembayaran Rp.



 m| a



(k) x



1 tiap periode ditunda m tahun, maka k



= mEx a (k)x+m k 1  = mEx  ax  m   2k  



(k) x



m|a



(18)



= mEx a(k)x+m k 1  = mEx  a x  m   2k  



(19)



c. Anuitas Berjangka Misal nilai tunai anuitas awal seumur hidup bagi seseorang berusia x dengan pembayaran kkali setahun dengan pembayaran Rp. dengan simbol a



(k) x:n



1 tiap periode selama n tahun dinyatakan k



dan nilai tunai anuitas akhir seumur hidup bagi seseorang berusia x



dengan pembayaran k kali setahun dengan pembayaran Rp.



1 tiap periode selama n tahun k



dinyatakan dengan simbol a (k)x:n, maka



a (k)x:n = a (k)x - n| a (k)x = a x -



k 1 k 1  - nEx  ax  n   2k 2k  



= a x - nEx a x+n = a x - n| a x = a x:n dan a(k)x:n = ax:n +



k 1 (1- nEx) 2k



k 1 (1- nEx) 2k



k 1 (1- nEx) 2k



(20)



k 1 (1- nEx) 2k



(21)



10



Contoh 7 : Ida berusia 35 tahun membeli anuitas seumur hidup sebesar Rp. 25.000.000. Berapa yang akan diterimanya tiap akhir 3 bulan ?



Misal uang yang akan diterima Ida tiap akhir tahun adalah B, maka 3



25.000.000 = B ( a35 + 8 ) 25.000.000 = B ( B



=



8510443,06 381995,63



3



+8)



1.103.562,742 4



Jadi Ida tiap akhir 3 bulan akan menerima uang sebesar Rp.



1.103.562,742 4



= Rp. …..



Contoh 8 : Sugeng berusia 28 tahun. Setiap akhir bulan dia menyisihkan uangnya sebesar 100 ribu selama 22 tahun untuk membeli anuitas, supaya pada waktu pensiun yaitu usia 55 tahun setiap awal bulan akan menerima uang seumur hidup. Hitung besar uang yang akan diterimanya setiap awal bulan mulai usia 55 tahun.



Terlihat bahwa Sugeng membeli anuitas seumur hidup ditunda dengan menggunakan sistem anuitas berjangka. Misal uang yang akan diterima Sugeng tiap awal tahun adalah B, maka Beli = Terima a(12)28:22 = a28:22 +



11 (1- 22E28) = 24



 27| a



(12) 28



 



55 27E28  a







11   24 



 N  N 51 11  D50  D  N 11    B  55  55   (100.000)(12) 29  1  24  D28   D28  D28  D55 24  11047642,22  3613562,55 11  235925,04   193940,61  2754768,79 11  1200000  1      B   466211,03 24  466211,03   466211,03  193940,61 24  



19.406.561,23 = B (5,718181622) B = 3.393.834,354 (setiap awal tahun) B = 282.819,5295 (setiap awal bulan) 12



11



Jadi Sugeng mulai usia 55 tahun setiap awal bulan akan menerima uang sebesar 282.819,5295 rupiah seumur hidup



1.2. Anuitas Berubah Selain anuitas dengan pembayaran sama tiap periode, pembayaran dapat dilakukan tidak sama/berubah tiap periode bisa membesar ataupun mengecil. a. Anuitas Seumur Hidup Misal (I a )x menyatakan nilai tunai anuitas seumur hidup membesar bagi seseorang berusia x dengan pembayaran pertama Rp.1, kedua Rp.2, ketiga Rp.3 dan seterusnya naik Rp.1 tiap tahun seumur hidup, maka (I a )x = 1 + 2 v.px + 3 v2.2px + . . . + (w – x + 1)vw-xw-xpx = 1 + 2v



l l x 1 l + 3v2 x  2 + . . . + (w – x + 1)vw-x w lx lx lx



=



( w  x  1)v w l w 3v x  2 l x  2 2v x 1l x 1 v xlx + + + . . . + v xlx v xlx v xlx v xlx



=



1 ( Dx + 2Dx+1 + 3Dx+2 + . . . + (w – x + 1) Dw ) Dx



=



1 {( Dx + Dx+1 + Dx+2 + . . . + Dw ) + ( Dx+1 + Dx+2 + . . . + Dw ) + ( Dx+2 + . . . + Dx



Dw ) + . . . + Dw } =



1 { Nx + Nx+1 + Nx+2 + . . . + Nw } Dx



=



S 1  N x i = x D x i 0 Dx



(22)



b. Anuitas Berjangka Misal (I a )x:nmenyatakan nilai tunai anuitas membesar bagi seseorang berusia x dengan pembayaran pertama Rp. 1, kedua Rp.2, ketiga Rp.3 dan seterusnyan naik Rp1 tiap tahun sampai pembayaran ke-n sebesar Rp. n, maka (I a )x:n = 1 + 2 v.px + 3 v2.2px + . . . + n vn-1.n-1px =



1 ( Dx + 2Dx+1 + 3Dx+2 + . . . + nDx+n-1 ) Dx



12



=



1 {( Dx + Dx+1 + Dx+2 + ...+ Dx+n-1) + ( Dx+1 + Dx+2 + ... + Dx+n-1) + ( Dx+2 + Dx



... + Dx+n-1) + . . . + Dx+n-1} =



1 { (Nx – Nx+n) + (Nx+1 – Nx+n) + (Nx+2 – Nx+n) + . . . + (Nx+n-1 – Nx+n)} Dx



=



1 { Nx + Nx+1 + Nx+2 + . . . + Nx+n-1 – nNx+n } Dx



=



1 { Sx – Sx+n – n Nx+n } Dx



(23)



c. Anuitas Ditunda Misal



 )xmenyatakan m|(I a



nilai tunai anuitas membesar yang ditunda mtahun bagi



seseorang berusia x dengan pembayaran tahun ke-x+n Rp. 1, tahun ke-x+m+1 Rp.2, tahun ke-x+m+2 Rp.3 dan seterusnyan naik Rp1 tiap tahun seumur hidup, maka



 )x m|(I a



=



S 1 ( Dx+m + 2Dx+m+1 + . . . ) = x  m Dx Dx



(24)



Misal m|(I a )x:nmenyatakan nilai tunai anuitas membesar yang ditunda m tahun bagi seseorang berusia x dengan pembayaran tahun ke-x+m Rp. 1, tahun ke-x+m+1 Rp.2, tahun kex+m+2 Rp.3 dan seterusnya naik Rp1 tiap tahun sampai tahun ke-x+m+n sebesar Rp. n, maka



 )x:n m|(I a



=



1 ( Dx+m + 2Dx+m+1 + . . . + nDx+m+n-1 ) Dx



=



1 { Sx+m – Sx+m+n – n Nx+m+n } Dx



(25)



Soal-Soal : 1. Seorang yang berusia 27 tahun membeli anuitas seumur hidup sebesar 12 juta rupiah. Hitung berapa jumlah yang dia terima tiap : a. awal tahun b. akhir tahun 2. Seorang yang berusia 32 tahun membeli anuitas sebesar 15 juta rupiah. Hitung besaruang yang dia terima tiap awal tahun, jika anuitas yang dibelinya adalah: a. anuitas seumur hidup b. anuitas jangka waktu 30 tahun 13



c. anuitas jangka waktu 20 tahun ditunda 10 tahun d. anuitas seumur hidup ditunda 10 tahun 3. Seorang berusia 34 tahun membeli anuitas jangka waktu 15 tahun dengan menerima sebesar 1 juta tiap akhir tahun. Hitung besar uang yang digunakan untuk membeli anuitas tersebut. 4. Seorang berusia 29 tahun membeli anuitas jangka waktu 21 tahun dengan menerima setiap akhir tahun sebesar 1,5 juta. Setelah membayar ternyata dia berubah pikiran ingin menerimanya seumur hidup tiap awal tahun. Hitung besar uang yang diterimanya tiap awal tahun seumur hidup. 5. Seorang berusia 33 tahun membeli anuitas dengan cara membayar setiap akhir tahun selama 17 tahun dengan maksud mulai usia 55 tahun (saat dia pensiun) setiap awal tahun menerima uang sebesar 2 juta. Hitung uang yang harus dibayar untuk membeli anuitas tsb. 6. Hitung jumlah uang yang akan diterima 22 tahun lagi (jika dia masih hidup) seorang berusia 28 tahun yang membeli endowment murni jangka waktu 22 tahun sebesar 30 juta rupiah. 7. Seorang berusia 38 tahun membeli endowment murni jangka waktu 22 tahun dengan cara membayar tahunan selama 7 tahun sebesar 2 juta tiap akhir tahun. Hitung besar uang yang dia terima 22 tahun lagi, jika dia masih hidup. 8. Seorang berusia 31 tahun membeli anuitas sebesar 12 juta dengan maksud mulai usia 50 tahun setiap awal tahun memperoleh uang seumur hidup. Hitung besar uang yang diperolehnya. 9. Seorang berusia 42 tahun membeli endowment murni jangka waktu 23 tahun dengan cara membayar tahunan selama 8 tahun tiap awal tahun. Jika 23 tahun lagi dia masih hidup akanmenerima uang sebesar 30 juta rupiah, hitung besar uang yang dia bayar tiap awal tahun selama 8 tahun. 10. Seorang yang berusia 36 tahun membeli anuitas, dengan maksud setiap akhir tahun menerima uang sebesar 1 juta rupiah. Hitung besaruang yang dia bayar untuk membeli anuitas, jika anuitas yang dibelinya adalah: a. anuitas seumur hidup b. anuitas jangka waktu 29 tahun c. anuitas jangka waktu 20 tahun ditunda 8 tahun d. anuitas seumur hidup ditunda 8 tahun 11. Seorang berusia 50 tahun membeli anuitas yang akan dia peroleh tiap awal bulan sebesar 300 ribu. Hitung besar uang yang harus dia bayar jika anuitasnya : 14



a. seumur hidup b. jangka waktu 27 tahun 12. Seorang berusia 40 tahun membeli anuitas sebesar 15 juta. Berapa besar uang yang akan dia peroleh setiap akhir 3 bulan mulai usia 55 tahun : a. seumur hidup b. selama 20 tahun 13. Seorang berusia 34 tahun membeli anuitas seumur hidup setiap awal semester yang akan dia terima mulai usia 55 tahun. Untuk itu dia harus membayar sebesar 300 ribu tiap akhir 3 bulan selama 10 tahun. Hitung besar uang yang dia terima tiap awal semester seumur hidup. 14. Hitunglah nilai tunai suatu anuitas awal tahunan berjangka 10 tahun sebesar 1,2 juta tiap awal tahun dilanjutkan dengan anuitas awal seumur hidup bagi seseorang berusia 40 tahun dengan pembayaran bulanan 100 ribu. 15. Seorang berusia 24 tahun membeli anuitas seumur hidup yang akan dia terima mulai usia 50 tahun sebesar 1,5 juta rupiahsetiap akhir3 bulan. Untuk itu dia harus membayar tiap awal bulan selama 10 tahun. Hitung besar uang yang harus dia bayar setiap awal bulan. 16. Seorang berusia 27 tahun membeli anuitas jangka waktu 15 tahun sebesar 2 juta tiap awal 3 bulan dilanjutkan 800 ribu tiap awal bulan seumur hidup yang mulai diterima pada usia 45 tahun. Jia untuk membeli anuitas tersebut dia harus membayar setiap akhir bulan selama 10 tahun, hitung besar uang yang dia bayar tiap akhir bulan. 17. Seorang yang berusia 40 tahun membeli anuitas berjangka dengan pembayaran 1000000 pada waktu berusia 40 tahun, 1100000 pada waktu berusia 41 tahun dan seterusnya naik 100000 tiap tahun sampai berusia 50 tahun. Hitunglah nilai tunai anuitas tersebut. 18. X berusia 37 tahun membeli anuitas dengan maksud memperoleh uang sebesar 1,5 juta pada waktu berusia 37 tahun, 1,75juta pada waktu berusia 38 tahun dan seterusnya naik 250ribu tiap tahun seumur hidup. Hitunglah besar uang yang harus dibayar X untuk membeli anuitas tersebut. 19. Seorang yang berusia 35 tahun membeli anuitas berjangka dengan pembayaran 1000000 pada waktu berusia 40 tahun, 1100000 pada waktu berusia 41 tahun dan seterusnya naik 100000 tiap tahun sampai berusia 50 tahun. Hitunglah nilai tunai anuitas tersebut. 20. Idem soal no 19. Jika untuk membeli anuitas tersebut dia harus membayar tiap akhir tahun selama 5 tahun,hitunglah besar uang yang harus dibayarnya tiap akhir tahun.



15