Makalah Anuitas [PDF]

Citation preview

ANNUITAS



OLEH: IBNU TAHMIAH PUTRI HUMAIRA MAYA SARI BUDI ARYONO NUSAIBAH KHOLILAH NENI PEPIKA NURINA



PENDIDIKAN MATEMATIKA II D FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUSLIM NUSANTARA AL - WASHLIYAH MEDAN 2013



BAB I PENDAHULUAN



1.1 Latar Belakang Anuitas dapat didefenisikan pembayaran premi asuransi, pembayaran hipotik, pembayaran bunga atas obligasi, pembayaran sewa, pembayaran secara cicilan, pembayaran uang pensiun adalah beberapa contoh daripada sebagai suatu rangkaian pembayaran atau penerimaan berkala atau periodik dari sejumlah uang yang sama besarnya dan dibayar atau diterima pada setiap periode waktu yang sama selama jangka waktu tertentu pembayaran atau penerimaan secara anuitas. Berdasarkan jangka waktu, anuitas dapat dibagi dua yaitu: anuitas yang jangka waktu pembayarannya sudah pasti (annuity certain) dan anuitas yang jangka waktu pembayarannya tergantung kepada beberapa peristiwa yang bersifat tidak pasti (contingen annuity). Jika dilihat dari waktu pembayarannya, anuitas dapat dibagi dua yaitu anuitas biasa (ordinary annuity) dan anuitas dimuka (annuity due). Anuitas biasa adalah suatu anuitas yang dibayar pada setiap akhir periode pembayaran, sedangkan anuitas dimuka adalah suatu anuitas yang dibayar pada setiap awal periode pembayaran. Berdasarkan ketepatan antara periode pembayaran anuitas dengan periode perhitungan bunga anuitas tersebut, anuitas dapat dibagi dua yaitu anuitas sederhana



(simple annuity) dan anuitas



umum



(general



annuity).



Anuitas



sederhana adalah suatu anuitas dimana periode pembayarannya adalah bertepatan atau bersamaan dengan periode perhitungan bunga anuitas tersebut. Anuitas umum adalah suatu anuitas dimana periode pembayarannya tidak bertepatan atau tidak bersamaan dengan periode perhitungan bunga anuitas tersebut.



1.2 Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud dengan anuitas? 2. Bagaimana cara menghitung anuitas? 3. Bagaimana cara menghitung besar sisa pinjaman? 4. Bagaimana cara menghitung anuitas yang dibulatkan? 5. Bagaimana cara menghitung rencana angsuran dengan sistem pembulatan?



2



1.3 Tujuan 1. Untuk mengetahui pengertian anuitas. 2. Untuk mengetahui cara menghitung anuitas. 3. Untuk mengetahui cara menghitung besar sisa pinjaman. 4. Untuk mengetahui cara menghitung anuitas yang dibulatkan. 5. Untuk mengetahui cara menghitung rencana angsuran dengan sistem pembulatan.



3



BAB II PEMBAHASAN



2.1 Pengertian Anuitas Apabila suatu pinjaman dilunasi dengan pembayaran yang tetap besarnya dalam satu periode tertentu, maka pembayaran yang tetap besarnya ini disebut anuitas. Dalam setiap pembayaran yang besarnya tetap (anuitas) ini, terhitung untuk membayar bunga (atas dasar bunga majemuk) dan untuk mengangsur pinjaman. Bagian dari anuitas yang dipakai membayar bunga disebut bagian bunga dan bagian yang dipakai untuk mengangsur pinjaman disebut bagian angsuran. Apabila anuitas adalah 𝐴, bunga pinjaman periode ke-n adalah 𝑏𝑛 dan angsuran ke-n adalah 𝑎𝑛 , maka: 𝐴 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 , 𝑛 = 1,2,3, … Contoh: Sebagai seorang pegawai negeri, pak Dody mendapatkan fasilitas kredit perumahan dariBank Tabungan Negara di kompleks perumahan tasbih setia budi Medan. Di samping pembayaran uang muka, pak Dody mempunyai kewajiban untuk melunasi kredit dengan cara angsuran. Pembayaran dilakukan secara teratur setiap bulan sebesar Rp 165.725,00. Sistem (cara) pembayaran yang dilakukan oleh pak Dody itu merupakan contoh dari anuitas. Dalam sistem pembayaran tersebut terdapat dua hal yang perlu diperhatikan yaitu: 1.



Jumlah uang yang dibayarkan adalah tetap.



2.



Selang waktu pembayarannnya juga tetap. Jadi, anuitas (annuity) adalah suatu rangkaian pembayaran/ penerimaan



sejumlah uang umumnya sama besar, dengan periode waktu yang sama untuk setiap pembayaran. Anuitas secara garis besar dapat dibagi menjadi 3 macam yaitu : 1.



Anuitas biasa (ordinary annuity), yaitu jika pembayaran dilakukan setiap akhir periode (mulai satu periode lagi).



4



2.



Anuitas muka (annuity due), yaitu jika pembayaran dilakukan setiap awal periode(pembayaran mulai hari ini).



3.



Anuitas ditunda (deferred annuity), yaitu jika pembayaran dilakukan setelah bebrapa periode.



1.



Anuitas Biasa (ordinary annuity atau annuity in arrears)



di mana: A = besar pembayaran/penerimaan setiap periode n = jumlah periode i = tingkat bunga per periode Contoh : Berapa nilai sekarang dari aliran uang sebesar Rp 18.000.000 setiap tahun selama 10 kali mulai tahun depan jika tingkat bunga adalah 10% p.a.?



Jawab :



Dengan menggunakan kalkulator ilmiah (scientific calculator) 10 digit, kita akanmendapatkan: PV = Rp 110.602.207,9



2.



Anuitas di muka (annuity due atau annuity in advance)



5



Contoh : Berapa nilai sekarang dari aliran uang sebesar Rp 16.000.000 setiap tahun selama 10 kali mulai hari ini jika tingkat bunga adalah 10% p.a.? Jawab :



3.



Anuitas ditunda (deferred annuity)



di mana 𝑚 adalah jumlah periode penundaan. Pertama, kita mencari nilai sekarang pada periode (𝑚 − 1) atau 𝑃𝑉𝑚−1 dari aliran kas mulai 𝑚 periode lagi dengan menggunakan persamaan anuitas biasa. Kemudian kita kembali mendiskontokan nilai ini untuk mendapatkan nilai sekarang pada periode 0 atau nilai hari ini dengan menggunakan faktor diskonto 1/((1 + i) m-1).



Contoh : Berapa nilai sekarang dari aliran uang sebesar Rp 40.000.000 setiap tahun selama 4 kali mulai 5 tahun lagi jika tingkat bunga adalah 10% p.a.? Jawab : m=5 i = 10% = 0,1 n=4 A = Rp 40.000.000



6



2.2 Nilai Anuitas 2.2.1 Mencari Besar Angsuran dalam Anuitas Biasa Pada sub sebelumnya telah dibahas bagaimana cara menghitung nilai sekarang dari suatu angsuran. Nilai anuitas dapat diperoleh dengan mengunakan persamaaan untuk mencari nilai sekarang dari suatu angsuran (PV) sebagai berikut:



Contoh: Sepasang pengantin baru membeli sebuah rumah berharga Rp 400.000.000 dengan membayar uang muka Rp 100.000.000 (25%) dan sisanya dengan KPR. Jika tingkatbunga efektif adalah 18% p.a. atau 1,5% per bulan dan pengantin itu ingin melunasipinjamannya dalam 10 tahun, berapa angsuran bulanan yang harus dibayarkan mulai satu bulan lagi?



Jawab :



7



2.2.2 Mencari Besar Angsuran dalam Anuitas Di Muka Untuk kredit kendaraan bermotor dan alat-alat elektronik, sangat sering pembayaran pertama harus dilakukan pada hari transaksi bersamaan dengan uang muka. Jika demikian, maka kita akan mencari besar angsuran dengan memanipulasi persamaan nilai sekarang (PV) dari anuitas di muka sebagai berikut:



Contoh permasalahan : Sebuah mobil minibus berharga tunai Rp 80.000.000. Untuk pembelian kredit, pembeli harus menyiapkan uang muka sebesar 20% dan melunasi sisanya dalam 36 angsuran bulanan dengan bunga efektif 21% p.a. Jika angsuran pertama harus dibayarkan bersamaan dengan uang muka, berapa angsuran per bulan?



Jawab : Besar kredit (PV)



= 80% x Rp 80.000.000 = Rp 64.000.000



i



= 1,75% per bulan



n



= 36



8



2.3 Sisa Angsuran Anuitas biasa digunakan untuk pelunasan hutang yang relatif besar dengan jangka waktu yang relatif lama. Tetapi dalam kenyatannya seringkali si peminjam melunasi sisa pinjamannya sebelum waktu cicilan berakhir. Untuk melunasi sisa pinjaman itu tentu perlu diketahui sisa pinjaman yang belum terbayar. Jika kita sudah menyusun tabel pelunasan maka sisa pinjaman dapat diketahui dari tabel tersebut. Selain dengan mempergunakan tabel, kita juga dapat menentukan besarnya sisa pinjaman dengan cara sebagai berikut. Misalkan sisa pinjaman dari anuitas pertama sampai dengan anuitas ke-p adalah S1, S2, S3, ......,Sp. Berikut adalah beberapa cara menghitung sisa pinjaman. Cara I Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-m adalah sama dengan pokok pinjaman dikurangi jumlah 𝑚 angsuran yang sudah dibayar. 𝑆𝑚 = 𝑀 − ( 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + . . . . + 𝑎𝑚 ) 𝑆𝑚 = 𝑀 − (𝑎1 + 𝑎1 ( 1 + 𝑖 ) + 𝑎1 ( 1 + 𝑖 )2+ . . . . . + 𝑎1 (1 + 𝑖) 𝑚 − 1) 𝑆𝑚 = 𝑀 − 𝑎1 ( 1 + ( 1 + 𝑖 ) + ( 1 + 𝑖 ) + ( 1 + 𝑖 )2 + . . . + ( 1 + 𝑖 )𝑚 – 1 Sehingga 𝑚−1



𝑆𝑚 = 𝑀 − 𝑎1 [1 + ∑ (1 + 𝑖)𝑘 ] 𝑘=1



Cara II Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-m ialah sama dengan jumlah semua angsuran yang masih harus dibayar.



9



Sm



= am+1 + am+2 + am+3 + ... + an



Sm



= a1 (1 + i)m + a1 (1 + i)m+1 + a1 (1 + i)m+2 + ... + a1 (1 + i)n-1 𝑛−1



𝑚−1 𝑘



𝑆𝑚 = 𝑎1 [∑(1 + 𝑖) − ∑ (1 + 𝑖)𝑘 ] 𝑘=1



𝑘=1



Cara III Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-m adalah sama dengan nilai dari semua anuitas yang belum dibayarkan, dihitung pada akhir tahun ke-m. 𝐴



𝐴



Sm



= (1+𝑖) +



Sm



= A x [(1+𝑖) +



(1+𝑖)2



1



𝐴



+



+⋯ +



(1+𝑖)3



1 (1+𝑖)2



+



1 (1+𝑖)3



𝐴 (1+𝑖)𝑛−𝑚



+ …+



1 (1+𝑖)𝑛−𝑚



]



𝑛−𝑚



𝑆𝑚 = 𝐴 × ∑ (1 + 𝑖)−𝑘 𝑘=1



Cara IV Sisa pinjaman dapat dihitung sebagai berikut : b1



=ixM



b2



= i x S1



b3



= i x S2



.



.



.



.



.



.



bm+1 = i x Sm 𝑆𝑚 =



𝑏𝑚+1 𝑖



2.4 Anuitas Yang Dibulatkan 2.4.1 Anuitas Yang Dibulatkan Ke Atas Pinjaman sebesar M dilunasi dengan anuitas selama n periode, dengan suku bunga I = p% setiap periode. Apabila anuitas dibulatkan ke atas menjadi (A+). Kelebihan tiap periode K = (A+)-A dan jumlah kelebihan sampai n periode adalah d, maka:



10



Pembayaran pada anuitas ke-n = (A+)-d Jumlah kelebihan sampai n periode (d) dapat dihitung dengan dua cara, yaitu: 1.



d = jumlah angsuran sampai n periode – besar pinjaman, yang dirumuskan: 𝑑 = (𝑎1 + 𝑎1 × 𝑑𝑎𝑓𝑡𝑎𝑟 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑖% 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 (𝑛 − 1)) − 𝑀 (a1 = angsuran ke-1 setelah anuitas dibulatkan)



2.



Jika 𝐿 = 𝐴+ − 𝐴 maka nilai akhir kelebihan dari anuitas pertama sampai anuitas terakhir yaitu: 𝑑 = 𝐿 + 𝐿 × 𝑑𝑎𝑓𝑡𝑎𝑟 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑖% 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 (𝑛 − 1)



Contoh: Pinjaman sebesar Rp 1.000.000,00 akan dilunasi dengan 30 anuitas bulanan, berdasarkan bunga 3,5% sebulan. Anuitas tepat menurut perhitungan, matematika dibulatkan ke atas sampai kelipatan Rp 100,00 terdekat. Hitunglah besar pembayaran terakhir! Jawab: M = 1.000.000; i = 3,5% = 0,35; n = 30 Jadi anuitas yang dibulatkan ke atas adalah (A+) = 54.400,00 K = (A+)-A = 54.400 – 54.371,33 = 28,67 d kita cari dengan cara II Jadi pembayaran terakhir = (A+) – d = 54.400 – 1.480,02 = Rp 52.919,98



2.4.2 Anuitas Yang Dibulatkan Ke Bawah Pinjaman sebesar M dilunasi dengan anuitas A selama n periode dengan suku bunga i = p% setiap periode. Apabila anuitas dibulatkan ke bawah menjadi (A-), kekurangan tiap periode K = A-(A-) dan jumlah kekurangan sampai n periode adalah d, maka: Pembayaran pada anuitas ke-n = (A-) + d Jumlah kekurangan sampai n periode (d) dapat dihitung dengan 2 cara, yaitu:



11



1. d = besar pinjaman – jumlah angsuran sampai n periode, yang dirumuskan: 𝑑 = 𝑀 − (𝑎1 + 𝑎1 × 𝑑𝑎𝑓𝑡𝑎𝑟 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑖% 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 (𝑛 − 1)) (a1 = angsuran ke-1 setelah anuitas dibulatkan) 2. Jika K= 𝐴 − 𝐴− maka nilai akhir kelebihan dari anuitas pertama sampai anuitas terakhir yaitu: 𝑑 = 𝐾 + 𝐾 × 𝑑𝑎𝑓𝑡𝑎𝑟 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑖% 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 (𝑛 − 1) (K- kekurangan tiap periode) Contoh: Pinjaman sebesar Rp 1.000.000,00 akan dilunasi dengan 20 anuitas tahunan, berdasarkan bunga 5% setahun. Anuitas dibulatkan ke bawah sampai kelipatan Rp 1.000,00 yang terdekat. Berapakah besar pembayaran pada anuitas ke-20? Jawab: M = 1.000.000; i =5%=0,05; = 20 Jadi anuitas yang dibulatkan ke bawah adalah (A-) = Rp 80.000,00 K = A – (A-) = 80.242,59 – 80.000 = 242,59 D kita cari dengan cara II Jadi pembayaran pada anuitas ke-20 = (A-) + d = Rp 80.000,00 + Rp 8021,47 = Rp88,021,47



12