![Aplikasi Metode Matriks Untuk Analisis Struktur Balok [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/aplikasi-metode-matriks-untuk-analisis-struktur-balok.jpg)
4 0 597 KB
ANALISIS METODE MATRIKS DAN ELEMEN HINGGA PTA 2021-2022 Calvin Syatauw, ST.,MT
METODE MATRIKS APLIKASI METODE MATRIKS UNTUK ANALISIS STRUKTUR BALOK PENGERTIAN UMUM
Metode matrik adalah suatu pemikiran baru pada analisa struktur, yang berkembang bersamaan dengan populernya penggunaan computer otomatis untuk operasi perhitungan aritmatika.
Hal utama dalam analisis untuk menenentukan baik itu deformasi ataupun stress pada struktur, ialah sampai jauh mana sudah diketahui sifat karakteristik hubungan gaya dan deformasi dari elemen-elemen struktur, dan memaksakan terpenuhinya syarat-syarat kompatibiliti dan kesetimbangan.
Ada tiga hal yang mendasari analisis ini, yaitu:
kesetimbangan
hubungan stress dan strain, atau gaya dalam dan deformasi
kompatibiliti, atau kontinuitas dari deformasi
Dalam analisis matriks dikenal ada dua cara : METODE KEKAKUAN (STIFFNESS METHOD, ATAU DISPLACEMENT METHOD )
METODE FLEKSIBILITAS (FLEXIBILITY METHOD, ATAU FORCE METHOD)
Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) • Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisa struktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan, matriks perpindahan, dan matriks gaya. Dengan menggunakan hubungan : { P } = [ K ] { U } • dimana : { P } = matriks gaya [ K ] = matriks kekakuan { U } = matriks perpindahan Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitu dengan menggunakan Metode Kekakuan.
Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) • Pada Metode Kekakuan, variable yang tidak diketahui besarnya adalah : perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi) -------sudah tertentu/pasti. Jadi jumlah variable dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaktentuan kinematis struktur. • Metode Kekakuan dikembangkan dari persamaan kesetimbangan titik simpul yang ditulis dalam : “ Koefisien Kekakuan “ dan “ Perpindahan titik simpul yang tidak diketahui “.
METODE KEKAKUAN Dengan metode kekakuan ini sebenarnya dicari hubungan gaya dengan lendutan, dinyatakan secara matematis :
Q = K D Q = gaya yang timbul pada titik-titik diskrit akibat adanya lendutan.
D = lendutan pada titik-titik diskrit
K = menyatakan kekakuan dari struktur
Metode Kekakuan Ini Juga Disebut Metode Lendutan (Displacement Method), Karena Analisa Dimulai Dengan “ Lendutan” Sehingga Dengan Demikian Urutan Kerjanya Secara Garis Besar Adalah Sebagai Berikut :
• kompabiliti; yaitu mencari hubungan antara deformasi dengan lendutan, atau secara tegasnya mencari deformasi apa yang terjadi pada elemen-elemen dititik-titik diskrit akibat diberikannya lendutan pada struktur dititik-titik tersebut. • persamaan hubungan stress dan strain, yaitu mencari hubungan mengenai gaya-gaya dalam yang timbul sebagai akibat adanya deformasi pada elemen-elemen pada struktur tersebut. • kesetimbangan, langkah terakhir yang menyatakan hubungan gaya luar dititik diskrit dengan gaya-gaya dalam atau mencari berapa besar gaya luar di ujung elemen-elemen yang tepat diimbangi oleh gayagaya dalam elemen titik-titik diskrit.
Metode Kekakuan Ialah suatu cara untuk menganalisis struktur dimana dalam proses perumusan dari analisanya diambil lendutan di titik-titik diskrit sebagai besaraan “anu” yang hendak dicari. Dalam proses menganalisis akan mengenal beberapa matrix yang penting sebagai berikut :
1.
Matrik deformasi A suatu matrik yang menyatakan hubungan kompatibiliti atau hubungan deformasi dan lendutan :
d = AD dimana :
d = menyatakan deformasi dari elemen struktur A D
= adalah matrik deformasi = menyatakan lendutan ditik diskrit
2. Matrik kekokohan internen S , suatu matrix yang memenuhi hokum hooke dalam mana dinyatakan hubungan antara gaya dan deformasi :
H = S d
dimana :
H S
d
= menyatakan gaya dalam elemen =
adalah matrix elemen
kekokohan
= menyatakan deformasi elemen
intern
Matrix statis B , suatu matrix yang menyatakan
3.
kesetimbangan antara gaya luar dan gaya dalam : =
Q
BH
dimana :
Q
= menytakan gaya luar yang bekerja dititik diskrit
B
= matrix statis
H
= gaya dalam elemen
Maka ketiga matrix di atas digabungkan, maka akan didapatkan hubungan :
Q = B H Q = B S d Q = B S AD Q = K D
Dimana K adalah matrix kekakuan struktur, dengan pengertian :
K = B S A
Jadi salah satu tujuan terminal yang penting adalah proses analisa ini ialah dapat menurunkan matrik kekakuan struktur K
Selanjutnya akan mudah dicapai tujuan akhir, yaitu analisis lendutan dan gaya dalam elemen.
DERAJAT KETIDAK-TENTUAN KINEMATIS • Untuk analisis ini akan dimulai dengan mengambil lendutan di titik-titik diskrit sebagai sasaran yang harus dihitung. • Untuk mengetahui dimana harus “dipasang” besaran lendutan yang akan dicari tersebut, maka harus diketahui dahulu beberapa derajat ketidak tentuan kinematis atau istilah lainnya derajat kebebasan (degree of freedom) dari struktur. • Derajat ketidak-tentuan kinematis ialah suatu besaran yang menyatakan jumlah komponen bebas dari lendutan dititik diskrit yang mungkin terjadi yang berhubungan dengan diberikannya suatu pembebanan pada struktur. Di bawah ini diberikan beberapa macam struktur bidang yang akan ditujukkan berapa derajat ketidak-tentuan kinematisnya.
struktur
Komponen bebas dari lendutan di titik pertemuan
Derajat kinematis
ketidak-tentuan
0 (a)
D1
D2
2 (b)
D1
D2
2 (c)
Derajat ketidaktentuan kinematis
Komponen bebas dari lendutan di titik pertemuan
struktur
D5
D2 D3 D1
D4
6
D6
(d) D1
D3 3 Dengan mengabaikan deformasi aksial dari eleme
D2
(e) D5 D3 D1
D4 D6
7
D7
(f)
D4
D2 D1
D6
D3 D5
D7
(g)
D8
D9 D10
D11
D12
12
Gambar 1.1 derajat ketidaktentuan kinematis dari struktur ditunjukkan oleh banyaknya vector lendutan yang mungkin terjadi di titik bebas, dimana arah vector pada gambar menunjukkan arah vector yang positif.
DASAR PERHITUNGAN Dalam bab ini, akan dijelaskan secara mendetail urut-urutan analisis dari suatu konstruksi bidang (dua dimensi) dengan berdasarkan pada metode kekakuan. Sekarang terlihat satu konstruksi seperti seperti ditunjukkan pada gambar 2.(a) selanjutnya akan diikuti urutan dari proses analisis.
(a) gambar konstruksi statis tak tentu
D3
D2
D1
(b) Derajat ketidak-tentuan kinematis : 3
Q1
Q2
Q3 D3
D2
D1
(c) Diagram gaya luar ekivalen Q yang koresponding dengan lendutan D sebagai pengganti dari sistem pembebanan pada gambar (a)
EI1
EI2
EI3
L1
L2
L3
(d) Struktur dasar yang merupakan struktur yang dikekang
d2
d3 D1
(e) diberikan D1 = 1 satuan d4
(f) diberikan
d5 D2
D2 =1 satuan d6
(g) diberikan
D3
=1 satuan
D3
d1 H1
d5
d3 H2
H6
H4 H3
d2
H5
d4
d6
(h) diagram H-d Dimana H merupakan reaksi elemen yang dikekang terhadap diberikannya deformasi.
Q1
Q2 H4
H2
H5
H6
Q3
H3
(i) diagram kesetimbangan Gambar 1. 2 Analisis balok di atas beberapa perletakan.
• Konstruksi Ini Ialah Balok Menerus Di Atas Empat Perletakan, Satu Jepit Dan Tiga Sendi, Merupakan Suatu Konstruksi Dengan Derajat Ketidak-tentuan Kinematis Sebesar 3 (Gambar 2.B) • Langkah pertama ialah menyelidiki kompatibilitas dari struktur, dengan jalan memberikan berturut-turut lendutan D1 = 1, D2 = 1 dan D3 = 1 (gambar 2.e, 2.f, dan 2.g). • Mudah dapat kita lihat, bahwa : d 2 = d 3 = D1 d 4 = d 5 = D2 d 6 = D3 d1 = 0
atau disusun secara sistematis : d1
=
d2
=
D1
d3
=
D1
d4
=
D2
d5
=
D2
d6
=
D3
bila dinyatakan dalam hubungan matrix : d1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6
atau
0 1 1 = 0 0 0
d = AD
0 0 0 1 1 0
0 0 D1 0 D2 0 D3 0 1
0 1 1 A = 0 0 0 D1 = 1
0 0 0 1 1 0 D2 = 1
0 d1 0 d2 0 d3 0 d4 0 d5 1 d6 D3 = 1
Langkah kedua ialah menyelidiki hubungan gaya dalam dan deformasi dengan melihat tiap-tiap elemen sebagai bagian yang diskrit, seperti pada gambar 2.h.
Dari sifat elastis elemen, didapatkan hubungan : d1 H1
d5
d3 H2
H6
H4 H3
d2
d4
1 H1L1 1 H 2 L1 d1 = − 3 EI1 6 EI1 1 H1L1 1 H 2 L1 d2 = − + 6 EI1 3 EI1
H5 d6
dimana :
d1
= menyatakan deformasi yang terjadi di ujung elemen
H
= menyatakan gaya dalam yang ada di ujung elemen, dalam hal ini momen lentur
diinverskan, akan didapat :
4 EI1 2 EI1 H1 = d1 + d2 L1 L1
2 EI1 4 EI1 H2 = d1 + d2 L1 L1
4 EI1 2 EI 2 H3 = d3 + d4 L2 L2
2 EI 2 4 EI 2 H4 = d3 + d4 L2 L2
4 EI 3 2 EI 3 H5 = d5 + d6 L3 L3
H6 =
2 EI 3 4 EI 3 d5 + d6 L3 L3
Bila hubungan ini dinyatakan dalam bentuk matrix, maka :
4 EI1 L 1 2 EI1 H1 H L1 2 0 H3 = H 4 0 H 5 H 6 0 0
2 EI1 L1 4 EI1 L1 0 0
0
0
0
0
0
0
4 EI 2 L2 2 EI 2 L2
2 EI 2 L2 4 EI 2 L2
0
0
0
0
0
0
0 0 4 EI 3 L3 2 EI 3 L3
0 0 d1 d 2 0 d 3 0 d 4 d5 2 EI 3 d6 L3 4 EI 3 L3
atau : H = S d dimana matrix S merupakan matrix :
S
4 EI1 L 1 2 EI1 L1 0 = 0 0 0
2 EI1 L1 4 EI1 L1 0 0
0
0
0
0
0
0
4 EI 2 L2 2 EI 2 L2
2 EI 2 L2 4 EI 2 L2
0 0 4 EI 3 L3 2 EI 3 L3
0 0 0 2 EI 3 L3 4 EI 3 L3 0
0
0
0
0
0
0
d1
d2
d3
d4
d5
d6
S H Jadi Sebenarnya Matrix Besar Gaya Dalam
Ialah Suatu Matrix Yang Menyatakan Berapa
d Yang Timbul Diujung Elemen Bila Di Titik-titik
Tersebut Diberikan Satu Satuan Deformasi . Langkah ketiga adalah menyelidiki tentang kesetimbangan gaya luar dan gaya dalam : Melihat gambar :
Q1 = H 2 + H 5 Q2 = H 4 + H 5 Q3 = H 6
Bila dinyatakan secara matrik : H1 H 2 Q1 0 1 1 0 0 0 H3 Q = 0 0 0 1 1 0 2 H Q 0 0 0 0 0 1 4 3 H 5 H 6
atau :
Q = B H
dimana :
0 0 B = 0
1 0
1 0
0 1
0 1
0
0
0
0
0 Q1 0 Q2 1 Q3
H 1
H2
H3
H4
H5
H6
Satu hubungan terminal, adalah mendapatkan hubungan :
Q = K D Dimana :
K = B S A untuk mendapatkan lendutan, maka sebagai :
dapat diinverskan
D = K Q −1
.
dimana :
Q
=
menyatakan gaya-gaya luar yang bekerja di titik-titik diskrit.
D = menyatakan
lendutan di titik bersangkutan berkoresponding dengan gaya Q
yang
ternyata didapatkan :
B = A
T
prinsip kerja virtual.
Q*
a.gaya luar virtual D
b. lendutan aktuil
Gambar 1.3 konstruksi balok menerus pada mana dikerjakan gaya virtual.
Misalnya pada konstruksi yang sedang dibahas tersebut dikerjakan gaya virtual Q gambar (1.3a ) sehingga timbul gaya dalam H
pada elemennya, maka dari prinsip kerja virtuil akan didapatkan hubungan (yang dinyatakan dalam perkalian matrix).
Q D = H d T
dengan melihat :
d = AD Q = BH T Q = H T BT
T
maka persamaan ( ) bisa ditulis ;
H B D = H AD T
T
T
Bila disederhanakan, akan memberikan :
B T = A B = AT
Dengan demikian persamaan, bisa ditulis :
K = AT S A
Dengan demikian persamaan telah dipermudahkan, yaitu untuk menurunkan matrix kekakuan K cukup hanya menurunkan dua matrik penbentuknya, yaitu matrix deformasi A dan matrix kekokohanS intern elemen Untuk menghitung gaya dalam digunakan hubungan :
H = S d
.
atau
H = S AD dimana :
D = matrik lendutan dititik diskrit.
