Aturan Pencacahan Dan Peluang [PDF]

Citation preview

MAKALAH MATEMATIKA Aturan Pencacahan dan Peluang



Disusun Oleh: Kelompok 4 Alfi Nurmuftihah Arista Sitanggang Jessica Stephanie Lewins Efrina P Merlin Widyawati S Nurhalida Velia F Selma Patrisia N Sri Anggraini Tia Serlina Utami



XI IPA 5 SMAN 5 BATAM



Aturan Pencacahan dan Peluang A. Aturan Pencacahan Adalah suatu cara atau aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Aturan pencacahan membantu dalam memecahkan masalah untuk menghitung berapa banyaknya cara yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan. Aturan pencacahan meliputi aturan pengisian tempat atau aturan perkalian, faktorial, permutasi dan kombinasi.



1. Aturan Perkalian Aturan perkalian disebut juga aturan pengisian tempat (Filling slots). Jika terdapat k tempat yang tersedia dengan: n1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama. n2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah tempat pertama terisi. n3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah tempat terisi, dan



pertama



nk = banyaknya cara mengisi tempat ke – k, setelah tempat-tempat terisi.



dan



kedua



sebelumnya



Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia adalah n1 x n2 x n3 x … x nk.



 Contoh Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi). Pada perlombaan tersebut disediakan dua hadiah. Ada berapakah susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan? Jawab: Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul, dapat kita susun yaitu: AB,AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC. Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara umum mengikuti aturan sebagai berikut:



Langkah 1: Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai juara pertama. Langkah 2: Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua. Jadi seluruhnya ada 4x3 =12 susunan pemenang yang mungkin terjadi.  Contoh 2 Amalia memiliki 4 buah kemeja, 2 buah celana panjang dan 3 sepatu. Ada berpa cara ia dapat berpakaian lengkap? Jawab: Kemeja yang dapat dipilih Amalia ada 4 cara, celana panjang 2 cara dan sepatu 3 cara. Jadi ada 4x2x3=24 cara Amalia dapat berpakaian dengan lengkap.



2. Faktorial Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari n sampai dengan 1. Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan: n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 3 x 2 x 1 Lambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial. n= Hitunglah : a. 7! b. 17! / 0!16! c. 12! / 2!8! d. 8! / 5!



𝑛! (𝑛−𝑟)!



Penyelesaian



Contoh soal Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam faktorial: a. 157 × 156 × 155 b. 8!(9 × 10) c. n(n – 1)(n – 2) Penyelesaian



3. Permutasi dari Unsur-Unsur yang Berbeda Permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda (r  n) adalah banyak susunan berbeda dari r unsur yang diambil dari n unsur dengan memperhatikan urutannya. Permutasi r unsur dari n unsur dinotasikan dengan nPr , P(n,r) , Prn , atau Pn,r dan dirumuskan dengan n Pr



=



𝑛! (𝑛−𝑟)!



Contoh Tiga orang wiraniaga dicalonkan untuk mengisi kekosongan jabatan kepala cabang di dua kota. Tentukan banyak cara untuk memilih dua kepala cabang dari tiga orang wiraniaga tersebut, dengan menggunakan rumus permutasi.



Jawaban P(3, 2), dengan n = 3 (banyak wiraniaga) dan k = 2 (banyak wiraniaga terpilih).



Jadi, terdapat 6 cara.



4. Permutasi dari Beberapa Unsur yang Sama Jika dalam suatu permutasi terdapat beberapa unsur yang sama, maka permutasi tersebut disebut permutasi dengan pengulangan. Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m unsur yang sama dapat ditentukan dengan:



P( unsur_ sama) 



n! k!l!m!



Contoh Berapa banyak kata yang dapat disusun dari kata AGUSTUS? Jawab Pada kata AGUSTUS banyaknya huruf (n) = 7, banyaknya S = 2, banyaknya U = 2



P(unsur_ sama)  P( unsur _ sama) 



n! k!l!m! 7! 2!2!







7  6  5  4  3  2! 2!2  1



 7  6  5  2  3  1.260 Contoh Tentukan permutasi atas semua unsur yang dapat dibuat dari kata-kata berikut. a. JAYAPURA b. MATEMATIKA Pembahasan a. Pada kata "JAYAPURA", terdapat 3 buah A yang sama sehingga permutasinya adalah P(8, 3) =



8!



= 6.720.



3!



b. Pada kata "MATEMATIKA" terdapat 2 buah M, 3 buah A, dan 2 buah T yang sama sehingga permutasinya adalah :



5. Permutasi Siklis Permutasi siklis adalah permutasi yang cara menyusunnya melingkar, sehingga banyaknya menyusun n unsur yang berlainan dalam lingkaran ditulis:



P( n ,siklis)  (n  1)! Contoh Soal a. Delapan orang ilmuwan duduk melingkar di sebuah meja bundar untuk membahas sebuah proyek tertentu. Berapa banyak cara agar para ilmuwan dapat duduk melingkar dengan urutan yang berbeda? b. Dua puluh lima mutiara akan dibuat sebuah kalung. Ada berapa cara mutiaramutiara itu dapat disusun?



Pembahasan a. Susunan kedelapan ilmuwan itu adalah (8–1)! = 7! = 5.040 cara. b. Banyaknya cara mutiara itu dapat disusun menjadi sebuah kalung adalah : (25-1) / 2 = 24!/2 cara



6. Kombinasi Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan. Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C(n, r), adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen



C (n, r ) 



n(n  1)( n  2)...( n  (r  1)) r!







n! r!(n  r )!



Hubungan permutasi dan kombinasi :



n Pr



𝑛𝑃𝑟



= nCr . r! atau nCr = (𝑟)!



Contoh Soal Kerjakan soal-soal berikut. a. Diketahui , tentukanlah nilai n. b. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim sepakbola yang terdiri atas 11 orang. Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut. Pembahasan



1.



Oleh karena n ≥ r maka yang memenuhi adalah n = 9. b. Pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan. Banyak cara memilih 11 orang siswa dari 20 siswa, yaitu



.



Contoh Soal Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang undangan. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi dalam pertemuan itu adalah ....



Jawaban Banyak jabat tangan = C(15,2) 15!/(2!13!) = 105 Contoh Soal Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7 titik tanpa ada tiga titik yang terletak segaris adalah .... Jawab Membuat segitiga dengan memilih 3 titik dari 7 titik yang tersedia adalah masalah kombinasi C(7, 3). Jadi, banyaknya segitiga = C(7,3)



B. Peluang Suatu Kejadian 1. Percobaan Statistika, Ruang Sampel, Titik Sampel, dan Kejadian  Percobaan Statistika Setiap kegiatan yang menghasilkan data disebut percobaan statistika. Contoh percobaan antara lain melambungkan sekeping uang logam. Setiap jenis percobaan mempunyai beberapa kemungkinan hasil atau kejadian yang akan terjadi.  Ruang Sampel Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Ruang sampel dilambangkan dengan S  Titik Sampel Titik sampel adalah anggota dari ruang sampel. Banyak titik sampel dinyatakan dengan n(S)  Kejadian Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau bagian dari hasil percobaan yang diinginkan.



2. Menentukan Peluang Kejadian Misalnya S adalah ruang sampel dari suatu percobaan dengan setiap anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama. Andaikan A adalah suatu kejadian dengan A  S, maka peluang kejadian A adalah



P(A) =



𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆)



n(A) : banyak anggota dalam kejadian A n(S) : banyak anggota dalam himpunan ruang sampel S Contoh: Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang muncul: a. ketiganya sisi gambar; b. satu gambar dan dua angka.



Penyelesaian: a. S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} Maka n(S) = 8 Misal kejadian ketiganya sisi gambar adalah A. A = {GGG}, maka n(A) = 1 n(A) 1 P(A) = ——— =—— n(S ) 8 b. Misal kejadian satu gambar dan dua angka adalah B. B = {AAG, AGA, GAA}, maka n(B) = 3 n(B) 3 P(B) = ——— =—— n(S ) 8 Contoh: Andi mengikuti acara Jalan Santai dengan doorprize 5 buah sepeda motor. Jika jalan santai tersebut diikuti oleh 1000 orang, berapakah peluang Andi mendapatkan doorprize sepeda motor? Penyelesaian: S = semua peserta jalan santai n(S) = 1000 Misal kejadian Andi mendapatkan motor adalah A. A = {Motor1, Motor2, Motor3, Motor4, Motor5} maka n(A) = 5 n(A) 5 1 P(A) = ——— = ——— = —— n(S ) 1000 200 1 Jadi peluang Andi mendapatkan doorprize sepeda motor —— 200



3. Peluang Komplemen Suatu Kejadian Jika peluang kejadian A adalah P(A) maka peluang komplemen kejadian A adalah P(A’) atau P(Ac). Jumlah peluang kejadian dan peluang komplemen adalah 1. Maka P(A) + p(A’) = 1 atau P(A’) = 1 – P(A) Contoh : Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang munculnya paling sedikit satu angka !



Penyelesaian : Cara biasa S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, maka n(S) = 8 Misal kejadian paling sedikit satu angka adalah A. A = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA}, maka n(A) = 7 n(A) 7 P(A) = ——— =—— n(S ) 8 Cara komplemen S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, maka n(S) = 8 Misal kejadian paling sedikit satu angka adalah A. Ac = {GGG}, maka n(Ac) =1 n(Ac) 1 P(Ac) = ——— =—— n(S ) 8 1 7 P(A) = 1 – P(Ac) = 1 – —— = —— 8 8



4. Kisaran Nilai Peluang Kisaran nilai peluang terletak dalam interval 0 sampai dengan 1. Kejadian dengan nilai peluang 0 disebut kejadian yang mustahil (kemustahilan). Kejadian dengan nilai peluang 1 disebut kejadian yang pasti terjadi (kepastian). Kisaran nilai peluang adalah 0  P(A)  1. Contoh: Sebuah dadu dilemparkan sekali, tentukan peluang munculnya: a. Mata dadu 8 b. Mata dadu kurang dari 7 Penyelesaian: a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 misal kejadian muncul mata dadu 8 adalah A A = { }, n(A) = 0 n(A) 0 P(A) = ——— = — = 0 n(S ) 6 Kejadian muncul mata dadu 8 adalah kejadian mustahil, P(A) = 0



b. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 misal kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 adalah B B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6 n(B) 6 P(B) = ——— = = 1 n(S ) 6 Kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 adalah kejadian pasti, P(A) = 1 Jadi kisaran nilai peluang: 0 ≤ P(A) ≤ 1



5. Frekuensi Harapan Frekuensi harapan adalah banyak kejadian yang diharapkan dalam suatu percobaan. F(A) = n x P(A) F(A) = Frekuensi harapan kejadian A n = banyak percobaan P(A) = Peluang kejadian A Contoh Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya dua gambar dan satu angka. Penyelesaian S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} ⇒ n(S) = 8 A = {AGG, GAG, GGA} ⇒ n(A) = 3 n(A) 3 Fh(A) = n × P(A) = 240 × —— = 240 × —— = 90 kali n(S) 8



C. Peluang Kejadian Majemuk Kejadian majemuk adalah kejadian yang terdiri dari beberapa kejadian. Misalnya kejadian muncul dadu prima atau genap dalam pada pelemparan sebuah dadu.



1. Peluang Gabungan Dua Kejadian Gabungan dua kejadian dapat di bedakan menjadi 2, yaitu kejadian yang saling lepas dan kejadian tidak saling lepas.  Kejadian saling lepas S



A



B



Dikatakan saling lepas jika anggota kejadian A tidak ada yang sama dengan anggota kejadian B. P(AB) = P(A) + P(B)  Kejadian tidak saling lepas S



A



B



Dikatakan tidak saling lepas jika anggota kejadian A ada yang sama dengan anggota kejadian B. P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)



Contoh Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima! Penyelesaian S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6 B = bilangan prima : {2, 3, 5} → P(B) =3/6 A∩B = {3, 5} → P{A∩B} = 2/6 P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3 Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima adalah 2/3 Contoh: Diambil sebuah kartu dari 1 set kartu bridge, tentukan peluang terambilnya kartu As atau kartu Hati! Penyelesaian: n(S) = 52 (karena banyaknya kartu dalam 1 set kartu bridge 52) A = kartu As, n(A) = 4 (Banyaknya kartu As dalam1 set kartu bridge 4) 4 P(A) = —— 52 B = kartu Hati, n(B) = 13 (Banyaknya kartu Hati dalam1 set kartu bridge 13) 13 P(B) = —— 52 n(A∩B) = 1 (Banyaknya Kartu As dan Hati dalam1 set kartu bridge 1) 1 P(A∩B) = —— 52 4 13 1 16 P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = —— + —— – —— = —— 52 52 52 52 16 Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As atau Hati adalah —— 52



2. Peluang Irisan Dua Kejadian Jika kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya, atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B maka kedua kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Hal ini seperti digambarkan pada pelemparan dua buah dadu sekaligus. A adalah kejadian munculnya dadu pertama angka 3 dan B adalah kejadian munculnya dadu kedua angka 5, maka kejadian A dan B merupakan dua kejadian yang saling bebas. Peluang kejadian ini dapat di rumuskan : P(AB) = P(A) x P(B)



Contoh Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama, tentukan peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5 pada dadu kedua! Penyelesaian Kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama tidak terpengaruh kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua jadi ini adalah dua kejadian yang saling bebas S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ….., (6, 6)} → n(S) = 36 Misal kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama adalah A, maka: 6 1 A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} → n(A) = 6 P(A) = —— = —— 36 6 Misal kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua adalah B, maka: 6 1 B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} → n(B) = 6 P(B) = —— = —— 36 6 1 1 1 P(A∩B) = P(A) × P(B) = —— × —— = —— 6 6 36 Jadi peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5 1 pada dadu kedua = —— 36



Contoh Kotak A berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning sedangkan Kotak B berisi 5 bola merah dan 2 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak dari masing-masing kotak. Tentukan peluang terambilnya bola merah dari kotak A dan terambilnya bola kuning dari kotak B! Penyelesaian Kotak A 8! 8! 8 . 7! n(S) = 8C1 = ———— = ———— = ——— = 8 1!(8- 1)! 1 . 7! 7! Misal kejadian terambilnya bola merah dari kotak A adalah A, maka: 5! 5! n(A) 5 n(A) = 5C1 = ———— = —— = 5, P(A) = ——— = —— 1!(5 - 1)! 4! n(S) 8 Kotak B 7! 7! 7 . 6! n(S) = 7C1 = ———— = ———— = ——— = 7 1!(7- 1)! 1 . 6! 6! Misal kejadian terambilnya bola kuning dari kotak B adalah B, maka: 2! 2! n(B) 2 n(B) = 2C1 = ———— = —— = 2, P(B) = ——— = —— 1!(2 - 1)! 1! n(S) 7 5 2 5 P(A∩B) = P(A) × P(B) = —— × —— = —— 8 7 28