Aturan Simpson Dan Aturan Boole [PDF]

Citation preview

Aturan Simpson dan Aturan Boole 1. Aturan Simpson Terdapat dua macam : a. Aturan Simpson 1/3 adalah kaidah yang mencocokkan polinomial derajat 2 pada tiga titik data diskrit yang mempunyai jarak yang sama. Apabila fungsi f ( x ) dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2 grafiknya akan berbentuk parabola. Luas daerah dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah  parabola (Gambar ).Untuk itu, dibutuhkan 3 buah titik data, misalkan 0 , f ( 0 ) , h , f ( h ) , dan 2h , f ( 2 h ) . ( )( ) ( )



Gambar diatas Aturan Simpson 1/3 Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga buah titik tersebut adalah : x ( x−h ) 2 x ( x −h ) 2 x P2 ( x ) =f ( x 0 ) + ∆ f ( x 0 ) + ∆ f ( x 0 ) =f 0 + x ∆ f 0+ ∆ f0 2 h 2!h 2! h 2 Intregrasikan P2 ( x ) didalam selang [0,2h]: 2h



2h



I ≈ ∫ f ( x ) dx ≈ ∫ P2 ( x ) dx 0



0



2h



(



≈∫ f 0 0



x (x−h) 2 x ∆ f 0+ ∆ f 0 dx h 2 ! h2



)



≈ f 0x+



1 2 x3 x2 2 x ∆ f 0+ − ∆ f0 2h 6 h2 4 h



(



)



x = 2h x=0



4 h2 8 h3 4 h2 2 ≈ 2 h f 0+ ∆ f 0+ − ∆ f0 2h 6 h2 4 h



(



)



( 43h −h) ∆ f



≈ 2 h f 0 +2 h ∆ f 0 +



2



0



h ≈ 2 h f 0 +2 h ∆ f 0 + ∆ 2 f 0 3 Ingat :



∆ f 0=f 1−f 0 ,



Sedangkan untuk : ∆ 2 f 0=∆ f 1−∆ f 0 =( f 2−f 1) −( f 1−f 0 )=f 2−2 f 1+ f 0 Maka : ≈ 2 h f 0 +2 h ( f 1−f 0 ) +



I



h ( f −2 f 1 + f 0 ¿ 3 2



h 2h h ≈ 2 h f 0 +2 h f 1+2 h f 0+ f 2 − f 1 + f 0 3 3 3 ≈



h 4h h f 0− f 1+ f 2 3 3 3



h ≈ ¿ ¿) ……………….[1] 3



Persamaan [1] disebut aturan simpson 1/3 karena didalam persamaan terdapat factor 1/3. Untuk Aturan simpson 1/3 gabungan, jumlah seluruh intregal. Apabila terdapat kurva fungsi sepanjang selang intregrasi [a,b] kita bagi menjadi n+1 buah titik diskrit x0 , x1, x2, ……,xn dengan n genap, dan setiap tiga buah titik (atau 2 pasang upselang)di kurva dihampiran dengan parabola (polinom interpolasi derajat 2), maka kita akan mempunyai n/2 buah potongan parabola. Bila masing-masing polinom derajat 2 tersebut kita intergralkan didalam upselang (sub-interval) intregrasinya. x2



b



Itot



x4



xn



= ∫ f ( x ) dx ≈∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx+ …+ ∫ f ( x ) dx a



x0



x2



xn−2



h h h ≈ (f ¿ ¿ 0−4 f 1 + f 2)+ (f ¿ ¿2−4 f 3 + f 4 )+…+ ¿ ¿ ¿ ¿) 3 3 3 h ≈ (f ¿ ¿ 0−4 f 1 +2 f 2 + 4 f 3+ 2 f 4 +…+ 2 f n−2−4 f n−1+ f n )¿ 3 n−1



n−2



h ≈ f 0+ 4 ∑ f i +2 ∑ f i+ f n 3 i=1,3,5 i=2,4,6



(



)



……………[2]



Persamaan ini mudah dihafalkan dengan mengingat pola koefesien suku-sukunya. 1,4,2,4,2….,2,4,1 Namun pengunaan aturan simpson 1/3 mensyaratkan jumlah upselang (n) harus genap, ini berbeda dengan kaidah trapezium yang tidak memiliki persyaratan mengenai jumlah selang.



Algoritma Metode Intregrasi Simpson 1/3: 1. Mendefisikan fungsi yang akan diintregrasikan y = f(x) 2. Menentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)intregasi 3. Menentukan jumlah segmen atau pias n dengan syarat n genap b−a 4. Menghitung lebar segmen yaitu h= n 5. Buatlh tabel aturan simpson 1/3 6. Menentukan nilai intregrasimenggunakan aturan simpson 1\3 b



n−1



n−2



h I =∫ f ( x ) dx ≈ f 0+ 4 ∑ f i +2 ∑ f i +f n 3 i=1,3,5 i=2,4,6 a 7. Menentukan nilai intregrasi sejatinya



(



)



b. Aturan Simpson 3/8 Seperti halnya kaidah simpson 1/3, hampiran nilai intregrasi yang lebih teliti dapat ditingkatkan terus dengan menggunakan polinom interpolasi berderajat lebih tinggi pula. Misalkan sekarang fungsi f(x) kita hampiri dengan polinom interpolasi derajat 3. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai intregrasi adalah daerah dibawah kurva polinom derajat 3 tersebut parabola (gambar). Untuk membentuk polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 buah titik data, misalkan titik tersebut (0,f(0)),(h,f(h)),(2h,f(2h)), dan (3h,f(3h)),



Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 3 yang mealui keempat buah titik itu adalah x ( x−h ) 2 x ( x−h )( x−2 h ) 3 x P3 ( x ) =f ( x ¿¿ 0)+ ∆ f ( x 0 ) + ∆ f ( x0 )+ ∆ f ( x0 ) ¿ 2 h 2!h 3 ! h3 x ( x−h ) 2 x ( x−h )( x−2 h ) 3 x ¿ f 0+ ∆ f ( x 0 ) + ∆ f 0+ ∆ f0 2 h 2! h 3 ! h3 Intregrasikan P3 (x) didalam selan [0,3h] adalah 3h



3h



I ≈ ∫ f ( x ) dx ≈∫ P3 ( x ) dx 0



0



3h



x (x−h) 2 x ( x−h ) ( x−2 h ) 3 x ≈∫ f 0+ ∆ f 0+ ∆ f 0+ ∆ f 0 dx 2 h 2!h 3 ! h3 0



[ ∫[ 3h



≈



0



x x 2−xh 2 x3 −3 x2 h+2 x h 2 3 f 0+ ∆ f 0+ ∆ f + ∆ f0 0 h 2 h2 6 h3



] ]



3h x2 x3 x 2 h 2 x4 3 x 3 h x 2 h2 3 ≈ x f 0+ ∆ f 0+ − ∆ f 0+ − + ∆ f0 2h 6 h2 4 h2 24 h3 18 h3 6 h3



(



)



(



)



9 h2 27 h3 9 h3 2 81 h4 81 h 4 9h 4 3 ≈ 3 h f 0+ ∆ f 0+ − ∆ f 0+ − − ∆ f 0−0 2h 6 h2 4 h 2 24 h3 18 h 3 6 h3



(



) (



)



≈ 3 h f 0+



9h 27 h 9 h 2 81 h 81h 9 h 3 ∆ f 0+ − ∆ f 0+ − − ∆ f0 2 6 4 24 18 6



≈ 3 h f 0+



9h 27 h 2 27 h 3 ∆ f 0+ ∆ f 0+ ∆ f0 2 12 72



(



)



(



)



Ingat ∆ f 0=f 1−f 0 ∆ 2 f 0=∆ f 1−∆ f 0 =( f 2−f 1) −( f 1−f 0 )=f 2−2 f 1+ f 0



Dan :



0



∆ 3 f 0=∆2 f 1−∆2 f 0 ¿ ( ∆ f 2−∆ f 1 ) −(f 2−2 f 1 + f 0 )



¿(( f ¿ ¿ 3−f 2)−( f 2−f 1))−( f 2−2 f 1+ f 0 ) ¿ ¿( f ¿ ¿ 3−2 f 2 +f 1 )−(f ¿ ¿ 2−2 f 1 +f 0)¿ ¿ ¿ f 3−3 f 2 +3 f 1−f 0



Maka selanjutnya: ≈ 3 h f 0+



9h 27 h 27 h (f 1−f 0)+ (f 2−2 f 1 + f 0)+ ¿) 2 12 72



≈ 3 h f 0+



9h 9h 27 h 54 h 27 h 27 h 81 h 81 h 27 h f 1− f + f 2− f 1+ f + f 3− f 2+ f − f 2 2 0 12 12 12 0 72 72 72 1 72 0



(



≈ 3 h−



9 h 27 h 27 h 9 h 54 h 81h 27 h 81 h 27 h + + f 0+ − + f 1+ − f 2+ f 2 12 12 2 12 72 12 72 72 3



) (



) (



≈



27 h 81h + 81h 27 h f + f f + f 72 0 72 1 72 2 72 3



≈



3h 9h 9h 3h f + f + f + f 8 0 8 1 8 2 8 3 ≈



)



3h (f ¿ ¿ 0+3 f 1+ 3 f 2 + f 3)¿ ……………[2] 8



Sedangkan untuk aturan simpson 3/8 gabungan b



∫ f ( x ) dx ≈ 38h ¿ ¿¿ a



3h I≈ f +3 8 0



(



n−3



n−1



∑



i =1 i=3,6,9



f i +2



∫



i=3,6,9



f i+ f n



)



…………..[3]



Persamaan [3] ini mudah dihafalkan dengan mengingat pola suku-sukunya: 1,3,3,2



3,3,2



3,3,2,….,2,3,3,1



Namun penggunaan aturan simpson 3/8 mensyaratkan jumlah upselang (n)harus kelipatan 3.



Aturan simpson 3/8memiliki orde galat yang sama dengan orde galat aturan simpson 1/3 namun dalam praktek, kaidah simpson 1/3 lebih disukai daripada aturan simpson 3/8, karena dengan tiga titik(simpson 1/3) sudah diperoleh orde ketelitian yang sama dengan 4 titik (simpson 3/8). Tetapi untuk n kelipatan 3, kita hanya dapat menggunakan aturan simpson 3/8, dan bukan simpson 1/3.



Algoritma Metode Itegrasi Simpson 3/8: 1. Mendefinisikan fungsi yang akan diintegrasikan y = f(x) 2. Menentukan batas bawah (a)dab batas atas (b) itegrasi 3. Menentukan jumlah segmen atau pias n dengan syarat n kelipatan 3 b−a 4. Menghitung lebar segmen yaitu h= n 5. Buat tabel aturan simpson 3/8 6. Menentukan nilai intregrasi menggunakan aturan simpson 3/8 3h I≈ f +3 8 0



(



n−3



n−1



∑



i =1 i=3,6,9



f i +2



∫



f i+ f n



i=3,6,9



)



7. Menentukan nilai intregrasi sejatinya



Contoh Soal: Hitunglah Intregal dari 1,125



∫ 0



1 dx 1+ x



Dengan mengunakan aturaan simpson 1/3 dan simpson 3/8 gunakan jarak antar titik h = 0,125 Penyelesaian : 1. Fungsi integrasinya adalah f ( x )= 2. Batas bawah (a)



=0



1 1+ x



Batas atass (b) 3. Jumlah pias adalah b−a n= h 0,125−0 ¿ =8 0,125 4. h = 0,125



=1



5. Tabel aturan simpson 1/3 dan aturan simpson 3/8 I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9



xi 0 0,125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000 1.125



f (xi) 1 0.88889 0.80000 0.72727 0.66667 0.61538 0.57143 0.53333 0.50000 0.47059



6. Nilai integrasi aturan simpson 1/3 dan simpson 3/8 a. Aturan Simpson 1/3 1,125



I= ∫ 0



n−1



n−2



1 h dx=¿ f 0 + 4 ∑ f i+ 2 ∑ f i + f n ¿ 1+ x 3 i=1,3,5 i=2,4,6



(



)



0.125 ( 1+ 4 ( 0.8889 ) +2 ( 0.80000 ) +4 ( 0.72727 )+ 2 ( 0.66667 )+ 4 ( 0.61538 )+ 2 ( 0.57143 ) + 4 ( 0.53333 ) +2 ( 3 ¿ 0.04167 ( 1+3.55556+1.60000+2.90908+1.33334+ 2.46152+1.14286+ 2.13332+ 1.00000+ 0.47059 ) ¿ 0.04167 ( 17.60627 ) ¿ 0.73365 ¿



b. Aturan simpson 3/8



1,125



I= ∫ 0



1 3h dx=¿ f +3 1+ x 8 0



(



n −3



n−1



∑



i=1 i=3,6,9



f i+ 2



∫



)



f i+f n ¿



i=3,6,9



3 ( 0.125 ) ( 1+3 ( 0.88889 ) +3 ( 0.80000 ) +2 ( 0.72727 ) +3 ( 0.66667 ) +3 ( 0.61538 ) +2 ( 0.57143 ) +3 ( 0.53333 ) 8 0.375 ¿ ( 1+2.66667+2.40000+1.45454 +2.00001+ 1.84614+1.14286+1.59999+1.50000+0.47059 ) 8 ¿ 0.04687 ( 16.0808 ) ¿ 0.75371 ¿



7. Nilai integrasi sejatinya 1,125 1,125 ∫ 1+1 x dx=¿ ln ( 1+ x ) ¿ 0 ¿ 0 = ln 2,125 + ln 1 = 0.75377 – 0 = 0.75377 2. Aturan Boole



Aturan boole merupakan salah satu dari penyelesaian permasalahan dari integrasi numeric dalam sebuah pendekatan dengan intregral dari f(x) lebih [x0,x4]aturan boole. Namun tidak berbeda jauh dari aturan-aturan sebelumnya yang diantaranya : Simpson 1/3 dan Simpson 3/8 hanya yang membedakan aturan boole dan aturan simpson 1/3 nilai derajat keakuratannya 2 dan simpson 3/8 nilai derajjat keakuratannya 3, sedangkan aturan boole nilai derajat keakuratanya adalah 5 yang sangat menentukan hasil yang akurat, karena semakin besar derajat keakuratannya akan semakin akurat. Dengan menggunakan teorema dasar analisis numeric, dibawah ini dapat membuktikan rumus aturan boole:



2 3 4 n2 n 2 n2 ∆ f ( x 0 ) n4 n 5 3 4 11 3 3 2 ∆ f ( x0 ) 2 ∆ f ( x0 ) I =h nf ( x 0 ) + ∆ f ( x 0 ) + − + −n +n + − n + n −3 n 2 3 2 2! 4 3! 5 2 3 4!



[



(



)



(



)



(



……[1] Dengan menempatkan n dengan nilai-nilai yang berbedaberbagai formula yang digunakan untuk memecahkanya. Diturunkan dengan menempatkan n = 4 dalam rumus kuadratur umum n = 4 berarti f(x) dapat didekati dengan polynomial dari 4th derajat sehingga kelima dan lebih tinggi perbedaan pesanan Vanishes dalam rumus kuadratur umum. b



x4



I =∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx , dimana x i=a+ih dan h= a



a



b−a 4



)



Mengganti n =4 dalam persamaan [1] a +4 h



I=



∫ a



∆2 f (a) ∆3 f (a) 1024 64 704 f ( x ) dx=h 4 f ( a ) +8 ∆ f ( a ) + −8 ( 64−6+16 ) + −384+ −48 3 2! 3! 5 3



[



(



)



(



)



I =¿ I=



h [14 f ( a ) +64 f ( a+h )+ 24 f ( a+ 2h )+ 64 f ( a+3 h )+ 14 f (a+4 h)] 45



I=



2h [ 7 f ( a )+32 f ( a+h ) +12 f ( a+2 h ) +32 f ( a+ 3 h ) +7 f ( a+4 h)] 45



I=



2h ¿ 45



Aturan composite Boole Apabila kisaran intregrasi dari ke + nh = b aturannya boole dapat ditingkatkan dengan membagi interval (a,b) dalam subinterval kecil 4h lebar dan menerapkan masingmasing aturan boole tersebut. Jumlah bidang semua subinterval adalah integral dari interval (a,b). hal ini dikenal sebagai aturan composite boole. a +nh



xn



x4



x5



xn



I = ∫ f ( x ) dx =∫ f ( x ) dx =∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx +…+ ∫ f ( x ) dx a



a +nh



x0



x0



a+4 h



x4



a +8 h



I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx= ∫ f ( x ) dx+ …+ a



a



a+ 4 h



xn−1



a+nh



∫



f ( x ) dx



a+(n−4 )



I=



2h 2h 7 f ( a )+32 f ( a+h ) +12 f ( a+2 h ) +32 f ( a+ 3 h ) +7 f ( a+ 4 h ) ] + [ 7 f ( a+ ( n−4 ) h ) +32 f ( a+ ( n− [ 45 45



I=



2h ¿ 45



I=



2h [7 { f a +f b } +32 { f 1 + f 3+ f 5 +…+ f n−1 } +12 { f 2+ f 6 + f 10+ …+ f n−6+ f n −2 } +14 { f 4 +f 8+ f 12+ …+ f n−8 45



Contoh Soal: f(x) = Cos x2 1



Tentukan ∫ f ( x ) dx 0



Jawab : h=



1−0 4



= 0,25 x1 = 0 + 0,25 = 0,25 x2 = 0,25+0,25 = 0,50 x3 = 0,50 + 0,25= 0,75 b



I =∫ p4 ( x )= a



=



2h ( 7 f a +32 f 1 +12 f 1 +32 f 3 +7 f b ) 45



2.0,25 (7 ( 0 ) +32 ( 0,998 )+12 ( 0,968 ) +32 ( 0,845 ) +7 ( 0,540 ) ) 45



= 0,011 (7+31,937+11,626+27,04+6,48) = 0,92491



Daftar Pustaka Munir,R.(2010). Metode Numerik. Bandung: Informatika. https://www.academia.edu/35591739/Pembuktian_rumus_dan_contoh_soal_simpson_1_ 3_dan_simpson_3_8.docx (diunduh pada tanggal 30 November 2019 pukul 19:00)



https://www.researchgate.net/publication/289643150_Numerical_Solution_of_Boole's_R ule_in_Numerical_Integration_by_Using_General_Quadrature_Formula/link/59a4325da 6fdcc773a373467/download (diunduh pada tanggal 9 Desember 2019 pukul 13:00)