Bab 1 Osilasi Harmonis [PDF]

Citation preview

1



OSILASI HARMONIS



A. PENDAHULUAN Dunia ini dipenuhi oleh benda-benda yang bergarak. Gerakannya dapat dikategorikan ke dalam dua kelompok, yaitu 1) benda yang begerak di sekitar satu tempat dan 2) benda yang bergerak berpindah dari satu tempat ke tempat lain. Benda yang bergerak disekitar suatu tempat disebut dengan bergetar atau berosilasi. Contoh dari osilasi adalah gerak osilasi pendulum, getaran dawai gitar, gerakan elektron pada suatu atom. Contoh dari benda yang bergerak berpindah adalah gelombang laut menuju pantai, penjalaran cahaya, dan gelombang yang merambat sepanjang tali. Kita mulai dengan mempelajari gerak jenis pertama yaitu gerak osilasi. Pada gerak osilasi materi dari sistem sederhana memiliki satu atau dua jenis bentuk dasar gerak. Gerak osilasi secara umum merupakan gerakan objek disekitar titik kesetimbangannya. Simpangan terbesar disekitar titik kesetimbangan yang mampu dicapai objek disebut amplitudo. Perulangan gerakan osilasi ada yang teratur dan ada yang tidak. Osilasi yang beraturan disebut dengan osilasi harmonis. Simpangan (



 ) pada gerakan osilasi hanya bergantung pada waktu, sebab gerakannya tidak berpindah tempat. Sehingga fungsi dari simpangan hanya bergantung pada waktu, yang



 (t ). dapat diungkapkan dengan Pada gerak jenis kedua kita akan menemukan bahwa gerak sistem lebih kompleks dari yang pertama. Gerakannya merupakan campuran dari gerak-gerak osilasi yang berpindah. Perpaduan gerak semacam ini disebut dengan gelombang. Simpangan pada gelombang bergantung pada kedudukan atau posisi (



r



) dan



waktu (



t



). Dengan demikian fungsi simpangan pada gelombang dapat dituliskan



 (r , t ) sebagai Gerakan osilasi dapat terjadi pada 1, 2 dan 3 derajat kebebasan atau 1, 2 dan 3 dimensi. Contoh satu derajat kebebasan adalah osilasi pendulum, osilasi massa pegas, dan rangkaian LC. B. SISTEM OSILASI HARMONIS Kita dapat mulai dengan osilasi benda-benda yang berada pada satu dimensi atau satu derajat kebebasan. Contohnya sistem sederhana seperti osilasi pendulum, osilasi massa pegas, dan rangkaian LC. Bentuk dari sistem osilasi satu derajat kebebasan dapat dilihat pada Gambar 1.1 di bawah ini:



Gambar 1.1 Sistem dengan satu derajat kebebasan. Untuk semua osilasi dengan satu derajat kebebasan, dapat dirumuskan:



 (t )  Ao cos(t   ) (1.1)







Ao = simpangan,



konstanta fase.



= amplitudo,







 = frekuensi sudut,



=



Sifat getaran atau osilasi diwakili oleh persamaan (1). Untuk massa yang



 berosilasi



seperti



pada



sistem



masa



pegas



dan



pendulum,



dapat



 melambangkan perpindahan massa benda dari posisi titik kesetimbangannya ( pada bandul = θ = simpangan bandul dari kedudukan setimbang). Untuk osilasi



 rangkaian LC,



melambangkan arus induksi yang terjadi pada induktor.



Sedangkan φ merupakan konstanta fase/fase awal yang dilihat pada saat t = 0. Bila konstatanta fase = 0 maka persamaan (1) dapat dirubah menjadi:  (t) = A cos (ωt)



(1.2)



Ataupun  (t) = A sin (ωt)



(1.3)



Penentuan cos atau sin tergantung pada posisi awal dari simpangan saat t = 0. Beberapa besaran lain yang sering ditemukan dalam membahas osilasi adalah frekuensi (f), perioda (T) dengan hubungan T



1 f



(1.4)



Osilasi dipengaruhi oleh dua macam besaran yang selalu berlawanan yaitu gaya pulih dan inersia. Gaya pulih mencoba untuk mengembabalikan  ke posisi setimbang atau nol. Sedangkan inersia melawan setiap perubahan gangguan tersebut terhadap waktu (d







/dt) atau dikatakan sistem memberikan sebuah kecepatan yang cocok



(d/dt) untuk bagian yang berpindah. Untuk  yang lebih besar, gaya pulihnya juga lebih kuat. Pada osilasi rangkaian LC, gaya pulih disebabkan oleh gaya tolak diantara elektron, yang membuat elektron memilih untuk tidak berdesakan ke satu lempeng kapasitor. Untuk osilasi pada rangkaian LC, inersia disebabkan oleh induktansi L, yang menentang arus induksi pada induktor. Arus disebabkan oleh perubahan jumlah muatan



pada kapasitor yaitu dq/dt ( untuk kapasitor merupakan muatan kapasitor yang dapat diganti dengan q). 1. Osilasi Pada Bandul a. Persamaan OHS pada bandul



Gambar 1.2. Osilasi pada bandul Kita mulai dengan ketentuan bahwa sebelah kanan titik setimbang A, berharga positif dan sebelah kirinya negatif. Simpangan = θ (radian) dan perubahan simpangan terhadap waktu merupakan kecepatan sudut



  d / dt



(1.5)



sedangkan percepatan sudut diberikan oleh :



  d / dt  d 2 / dt 2



(1.6)



Hubungan kecepatan sudut dengan kecepatan tangensial atau kecepatan linier adalah:



  v/L



atau



v  L



(1.7)



Hubungan percepatan sudut dengan percepatan tangansial atau percepatan linier adalah:



a  dv / dt  L(d / dt ) a  L( d 2 / dt 2 )  L (1.8) Selanjutnya kita masuk pada gerakan bandul. Bila bandul titarik dengan gaya F kearah B sejauh θ, maka saat itu



d / dt



adalah nol. Karena bandul punya



massa m, maka gaya berat diberikan oleh: w  mg



(1.9) Gaya pulih akan membawa bandul pada posisi setimbang di A. Gaya pulih Fp besarnya sama dengan F namun arahnya berlawanan. Besar gaya pulih adalah:



F   mg sin  p



(1.10) Tanda negatif berarti gaya pulih berlawanan dengan perubahan θ. Menurut hukum II Newton



F  ma



 mg sin 



=



(1.11)



Sehingga



a



  g sin 



(1.12)



Saat ini gaya pulih menyebabkan adanya kecepatan sudut (



d / dt



percepatan linier yang memberikan



) berharga negatif (arah ke kiri). Sesampai di A,



gaya pulih = 0, percepatan = 0, kecepatan sudut berharga maksimum (bertanda negatif). Kecepatan sudut yang maksimum akan menggerakkan bandul menuju posisi C. Sesampai di C, kecepatan sudut = 0, namun percepatan berharga maksimum. Dan gaya pulih Fp kembali maksimum. Selanjutnya gaya pulih membawa bandul pada posisi setimbang namun inersia akan melawannya dengan menggerakkan benda pada simpangan semula.



Bila dalam gerakan tidak terjadi gesekan maka gerakan bolak-balik yang terjadi dari B-A-C-A-B akan mempunyai simpangan yang konstan dan memiliki frekuensi gerak tertentu. Gerak yang demikian disebut gerak harmonik sederhana atau osilasi harmonik sederhana (OHS). Besar frekuensi osilasi bergantung pada panjang tali yaitu:



  2f (1.13)



 1  2 2



f 



2 



g L



g L



(1.14)



Menurut hukum II Newton,  mg sin 



ma 



d 2 mL 2   mg sin  dt d 2 g   sin    2 sin  2 L dt d 2   2 sin   0 2 dt



(1.15)



Persamaan ini dikenal dengan persamaan OHS. Sehingga untuk mencari solusi dapat digunakan operator turunan yaitu: D2 



Untuk







d2 dt 2



maka



sin   



, sehingga diperoleh:



D 2   2  0 ( D 2   2 ) (t )  0 (1.16) solusi persamaan OHS ini secara umum sering ditulis:



 (t )  o cos(t   ) (1.17)



Dalam bentuk kompleks ditulis sebagai:



 (t )   o ei (t  ) (1.18)



b. Pertukaran Energi Pada Bandul



Gambar 1.3. Pertukaran energi pada bandul



v



Pada simpangan terbesar di B dan C, kecepatan



= 0. Bandul memiliki



energi potensial Ep maksimum yaitu: E p  mgh  mg ( L  L cos )



Untuk







ω02



(1.56)



maka: 2 2 T  0



T2 T



=



 (t )  C1e



( T T )t



 C2 e



( T  T



(1.57) )t



 (t )  C1eo  C2e 2Tt  C1  C2e  2Tt



(1.58)



Dari persamaan ini terlihat bahwa pada redaman kuat tidak terjadi osilasi tapi langsung teredam dengan kuat. c. Kasus redaman kritis Untuk kasus redaman kritis kita ambil



T 2  o



2



(1.59) sehingga berlaku persamaan



T  2



2 0



0



 (t )  e Tt (C1e o  C2e o )  (t )  (C1  C2 )e Tt



(1.60)



Dari persamaan memperlihatkan bahwa tidak terjadi osilasi bahkan langsung diredam dalam waktu yang singkat. Ilustrasi bentuk redaman kritis dan redaman kuat dapat dilihat pada gambar berikut ini:



Gambar 1.. Osilasi teredam kuat dan teredam kritis 2. Osolasi teredam pada rangkaian RLC Berikutnya kita lihat osilasi teredam pada rangkaian RLC.



Gambar 1., Rangkaian RLC VC Jika pada rangkaian diketahui besarnya VC  VR  VL (1.61) q di  iR  L C dt



i Karena



dq dt



q dq d 2q  RL 2 C dt dt



Maka



L



d 2q dq q R  0 2 dt dt C 1 )q  0 C



( LD 2  RD 



(1.62)



Dalam hal ini konstanta redaman adalah R. Untuk mencari penyelesaian persamaan ini harus dicari harga akar-akarnya.



D12 



 R  R 2  4L / C 2L



akar – akar persamaan ini adalah :



12 (1.63)







R 2L



 R    2L 



 



2







1 LC



Bila



R T 2L



1 LC dan ω0 =



12  T



, maka: 2 2 T  0







(1.64) Solusinya adalah: q (t )  C1e



( T 



T 2   o2



)t



 C2 e



( T  T 2   o2



)t (1.65)



Secara umum dapat ditulis:



 (t )  C1e



( T 



T 2  o2



)t



 C2 e



( T  T 2   o2



)t (1.66)



D. Osilasi Teredam dengan Gaya Pemicu (Osilasi Harmonik teredam Terpaksa) Perhatikanlah gambar berikut ini:



k m ω0 =



T=



b 2m



Gambar 1.7. Osilasi harmonik terpaksa Dari gambar 1.7 di atas terlihat bahwa dalam gerakan osilasi diberikan gaya pemicu untuk memaksa gerakan sebesar : F (t )  Fo cos(t   ) (1.67) SehinggapPersamaan gerak osilasinya dapat dituliskan:



m



d 2 d b  k  2 dt dt



Fo cos(T   ) (1.68)



Solusinya berbentuk:



 (t )   p (t )   k (t ) ................................(1.69)



 p (t ) dimana:



merupakan solusi persamaan differensial homogen, dan



 k (t ) merupakan solusi khusus. untuk T2