7) Bab 3 Osilasi Harmonik Terpaksa [PDF]

Citation preview

Bab 3. Osilator Terpaksa Semester 114



Osilasi terpaksa Sebuah sistem diam yang diberi gangguan/gaya luar yang periodik sehingga berosilasi/bergetar melalui posisi kesetimbangannya secara terus menerus dibawah pengaruh gaya periodik tersebut. Bandul



Gambar 3.1



Ingat kembali materi vektor  Sebuah vector A atau A Dapat dituliskan dalam bentuk 



Gambar 3.2



Ax = A cos  = proyeksi Panjang vector A di sumbu x Ay = A sin  = proyeksi Panjang vector A di sumbu y



tan  



Ay Ax



Dan



  A  Ax  Ay  A  Ax iˆ  Ay ˆj  A  A cos  iˆ  A sin  ˆj



 Panjang vektor A dituliskan sebagai A  A  Ax2  Ay2



Operator i



 1  i; i  1 i    (i) vektor r = r  a  ib  r   r cos    i  r sin    r  r  cos   i sin    r  re i  Panjang vektor r dituliskan sebagai r  r 



Gambar 3.4



Gambar 3.3 2



a b



2



dan



b tan   a



(ii) K onjugate kom plek vektor r    r* = r *  a  ib  r *  r  cos   i sin    r *  r e  i  P anjang vektor r * sam a d en gan r  r C att :  = S earah putaran jarum jam   = B e rlaw a nan arah dengan putaran jarum jam



Contoh  (i) Jika  =0 dan r=1; maka r  1(Cos0  i sin  )  1  (ii) Jika  = dan r=1; maka r  1(Cos  i sin  )  1   (iii) Jika  = dan r=1; maka r  1(Cos   i sin  )  i 2 2 2  (iv) Jika r  i, berapakan r dan φ?



Rangkaian LRC dengan sumber luar Dengan menerapkan KVL dan KCL pada rangkaian di samping, akan diperoleh dI q L  RI   Va, Subtitusikan I  Io eit dan q   Idt dt C  dI o eit  1 it it L + RI e + I e dt = Va  o o  C  dt  1 L i I o e + RI o e + I o eit = Va iC 1  it  1 I o e  i L + R +  = Va  -i  i iC   i   I o eit  i L + R   = Va dapat ditulis C  







it







it



IZ e = V



Gambar 3.5



Impedansi elektrik Z e adalah impedansi elektrik i  1    Z e =  i L+ R   = R  i L   .............................(3.1) C  C    Z e = Z e ei  Z e  cos   i sin   Z e adalah nilai dari impedansi elektrik ( Z e ) Magnitudo Z e yaitu 2



1   Ze  R    L  dengan satuan Ohm  C   1 1 L  L  C ; atau gunakan sin   C ; atau tan   R Ze 2



R c os  Ze



Penjumlahan vector resistif dan reaktif



Gambar 3.6



R



= Komponen resistif dari Ze



1   L   = Komponen reaktif dari Ze C  



Hukum Ohm pada rangkaian RLC Menurut Hukum Ohm V = I Ze



Gambar 3.7



Jika



V  Vo eit



dan



Ze  Zee



i



V Vo e i t   Maka I =   Ioe i Ze Zee it



OHS Terpaksa pada pegas Pada osilasi pegas selain gaya gesekan dan gaya pemulih, bekerja gaya luar, misal: Fo Cos t



Gambar 3.8



Dari hukum II Newton diperoleh: mx  rx  kx  Vo cos t (3.2) m, r dan k = constant



Solusi komplit untuk x Solusi untuk persamaan 3.2 terdiri dari dua kondisi 1. Transien • Anggap bahwa gaya luar (pendorong) = Nol • Persamaan (3.2) kembali seperti persamaan (2.1), Yaitu



mx  rx  kx  0 • Langkah-langkan penyelesaian = Bab 2 (OHS teredam) 2.



Steady state Menyesuaikan dengan bentuk fungsi gaya luar (pendorong)



Kondisi Steady State Gaya pendorong pada Gambar 3.8 adalah F0 cost, dapat diubah menjadi F0eit . Sehingga solusi persamaan x harus sesuai dengan bentuk fungsi gaya pendorongnya dipilihlah :



it



x  Ae , A dapat berbentuk bilangan kompleks



Substitusi x ke persamaan mx  rx  kx  F0eit Akan diperoleh :



 mA2eit  irAeit  kAeit  F0eit











m2  ir + k Aeit  F0eit ...........(3.3)



dari persamaan 3.3 dapat dicari A F0 F0 F0 A   2 2  1   m  i r + k i r  k  m i  r  k  m  i    F0 iF0 iF0 iF0 i A     1 k   r  i k  m  r  i m  k   Zm  r   m       i   Zm =r  i m  k =Impedansi mekanik  k m   2  Zm =Z m ei dengan Z m  r 2  m  k ; dan tan    r iF0 it iF0 it it Subtitusi A ke x  Ae menjadi x  e  e i  Zm  Zme iF0 eit    x ..........................(3.4) Zm



































  



























Perhatikan persamaan 3.4 i t  



iF0 e x Zm



..........................(3.4)



1). Bahwa terjadi perbedaan fasa sebesar  antara x dan gaya karena bagian reaktif







m  k











2). Karena faktor - i maka antara x dan gaya terjadi tambahan perbedaan fasa sebesar -90 , meskipun   0. 0



F0 3). x mempunyai amplitudo maksimum sebesar Zm



Kecepatan iF0 e  x Zm



i t  



v = x 



i  i  F0e 



i t  



Zm



F0 e   Zm



i t  



........(3.5)



Resume: 1. Tidak ada faktor I pada amplitude, sehingga kecepatan v dan gaya hanya berbeda fasa sebesar . 2. Ketika  = 0 kecepatan dan gaya berada dalam satu fase. 3. Amplitudo kecepatan adalah F0/Zm



Karena gaya luar pada contoh adalah Fo cos t sedangkan pendekatan yang digunakan adalah F0 eit maka kita sesuaikan dengan hanya mengambil solusi real saja, sehingga iF0 eit   iF0 cos t     i sin t    x  Zm Zm  F0 i cos t     sin t    x Zm x



iF0 cos t   



Zm



F0  sin t    Zm



Ambil bagian real: x



F0 sin t    Zm



Sedangkan beda fasa



 =arctan



dan m  k r



v=







F0 cos t    Zm



Behavior of Velocity Magnitude and Phase versus Driving Force Frequency Sesuai persamaan (3.5) amplitudo dari v adalah



F0



Zm



F0 F0  1 2 2 Zm  2  k r  m      Terlihat bahwa besarnya kecepatan akan bervariasi terhadap frekuensi  m  k  k 2  m











• Pada frekuensi rendah, impedansi dikontrol oleh kekakuan (stiffness controlled) • Pada frekuensi tinggi, impedansi dikendalikan oleh massa (mass controlled)



Pada frekuensi =0 , tercapai ketika m0 = k



:



0 #impedansi memiliki nilai minimum Zm  r dikatakan zero reactance F0 F0 #Karena Zm bernilai minimum, maka = akan maksimum Zm r #0 dikatakan sebagai frekuensi resonansi kecepatan



#Pada saat resonansi kecepatan terjadi  nilai tan   0 , kecepatan akan sefasa dengan gaya



Since xma= F0=/’r at resonance, the amplitude at resonance is kept low by increasing r and the variation of x with for different values of r is shown in Figure 3.7. A negligible value of r produces a large amplification at resonance: this is the basis of high selectivity in a tuned radio circuit (see the section in this chapter on Q as an amplification factor). Keeping the resonance amplitude low is the principle of vibration insulation.