Bab 1 Titik Berat Bidang Surya Sebayang [PDF]

Citation preview

Commented [A1]: Bab 1



I. TITIK BERAT BIDANG DATAR 1. Pendahuluan Bidang yang dimaksud disini adalah bidang datar yang secara umum merupakan gambaran dari penampang. Penampang tersebut berupa potongan tegak lurus sebatang balok, kolom (tiang), pelat, dan sebagainya.



Penampang balok berupa bidang datar segi empat



penampang balok berupa bidang datar lingkaran



Gambar 1.1. Penampang Balok 2. Rumus Titik Berat Titik berat bidang datar secara matematis dapat ditentukan sebagai berikut:



y



dA A x titik berat bidang X y Y



x Gambar 1.2. Titik Berat Bidang Suatu bidang datar seperti pada Gambar 1.2 diatas, dengan luas bidang datar A. Koordinat dA yaitu (x,y) sedangkan koordinat titik berat bidang yaitu (X,Y). Berdasarkan data-data ini dapat ditentukan suatu hubungan:



2



 xdA YA =  ydA XA =



(1.1) (1.2)



Pengertian integral disini adalah perjumlahan, sehingga Persamaan 1.1 dan Persamaan 1.2 diatas dapat juga ditulis dalam bentuk Persamaan 1.3 dan Persamaan 1.4. XA = x1A1 + x2A2 + x3A3 + ………..+ xnAn



(1.3)



YA = y1A1 + y2A2 + y3A3 + ………..+ ynAn



(1.4)



3. Contoh-Contoh Contoh 1 Tentukan koordinat titik berat suatu bidang segiempat dengan lebar b, dan tinggi h seperti pada gambar dibawah. y



dA



dy h



y x



b Penyelesaian: Dari Persamaan 1.2. YA =



 ydA



Commented [A2]: Bentuk penjumlahan Ym.Xm + Yn.Xn + dst



dA = bdy h



YA =



 ybdy 0



YA = ½by 2 0



h



Y bh = ½bh2 Y=½h



3 Dengan cara yang sama dapat pula ditentukan absis X dengan Persamaan 1.1, akan tetapi luasan bidang kecil dA dibuat sejajar dengan sumbu y XA =



 xdA



dA = hdx h



XA =



 xhdx 0



XA = ½hx 2 0 b



X bh = ½hb2 X=½b Sehingga koordinat titik berat bidang segi empat sebesar (½ b, ½ h) Contoh 2 Tentukan koordinat titik berat suatu bidang segitiga dengan lebar b, dan tinggi h seperti pada gambar dibawah



y



dA



dy h



y x b’ b



Penyelesaian: YA =



 ydA



b: b’ = h: (h-y) b(h  y ) b’ = h dA = b’dy



4 b(h  y ) dA = dy h



by ( h  y ) dy h 0



h



YA = 



h



YA =  by  0



YA = ½by2-



by 2 dy h 1 3



h



by 3 h



0



YA =½bh2- 13 bh2 Y ½bh = 16 bh2 Y = 13 h Dengan cara yang sama dapat ditentukan absis X Sehingga koordinat titik berat bidang segi tiga sebesar ( 13 b, 13 h ) Contoh 3 Tentukan koordinat titik berat suatu bidang setengah lingkaran dengan jari-jari r seperti pada gambar berikut. y d







dA d 



Penyelesaian: YA =



 ydA



YA =



 



YA =



r







0



0



r







0



0



 



 sin  d d 2sin d d



x



5 r 







YA = 13 3



0



sin d



0



YA = 13 r3 (- cos  )







0



YA = 13 r3 ( 1 + 1 ) Y ½ r2 = Y=



2



3



r3



4r 3



Sehingga koordinat titik berat bidang setengah lingkaran sebesar (0,



4r 3



)



Contoh 4 Tentukan koordinat titik berat suatu penampang baja siku seperti pada gambar berikut



12,7 mm 152 mm



12,7 mm 102 mm



Penyelesaian: Tempatkan salib sumbu seperti pada gambar dibawah. Dalam hal ini bidang penampang berada dalam kwadran pertama, sehingga nilai dan ordinat bernilai positip. Bidang penampang dibagi dalam 2 bagian: bagian 1 dan bagian 2.



Y



12,7 mm 1 152 mm 12,7 mm 2



X



102 mm Sesuai dengan persamaan 1.4: YA = y1A1 + y2A2 Y (12,7. 152 + 12,7 . 89,3) = 76.12,7.152 + 12,7.89,3. 6,35 153911,9985 = 50,22 mm 3064,51 Sesuai dengan Persamaan 1.3



Y=



XA = x1A1 + x2A2 X. 3064,51 = 12,7. 152. 6,35 + 12,7. 89,3. 57,35 X = 25,22 mm Sehingga koordinat titik berat bidang penampang baja siku sebesar (27,57 mm, 50,22 mm)



Contoh 5xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Tentukan koordinat titik berat suatu penampang baja seperti pada gambar berikut



25 mm



225 mm



25 mm 150 mm



25 mm



Penyelesaian: Berhubung bidang tersebut mempunyai sumbu simetri yaitu sumbu y, maka salib sumbu dapat digambarkan seperti pada gambar dibawah. Bidang penampang dibagi menjadi 3 bagian. y



1



2



25 mm



2 225 mm



x



25 mm



150 mm



25 mm



Dalam hal ini nilai absis tidak perlu dihitung, karena titik berat terletak pada sumbu y, sehingga x = 0 YA = y1A1 + y2A2 Y (200. 25 + 2. 225. 25) = 200.25.237,5 + 2. 225. 25. 112,5 2453125 Y= = 150,96 mm 16250 Maka koordinat titik berat (0 mm, 150,96 mm)



8



Soal-soal: 1. Tentukan koordinat titik berat bidang trapezium berikut ini: 50 mm



120 mm



90 mm 2. Tentukan titik berat bidang kombinasi segi empat dengan setengah lingkaran berikut ini



60 mm



60 mm



120 mm



3. Tentukan titik berat bidang berikut ini 10 mm 80 mm



120 mm



10 mm