Bab 10 Perluasan Konsep Limit-2020 [PDF]

Citation preview

Perluasan Konsep Limit



BAB 10 PERLUASAN KONSEP LIMIT 10.1 Limit Satu Sisi (Limit Kanan dan Limit Kiri) Sering suatu fungsi f boleh jadi tidak mempunyai limit di titik c, demikian halnya limitnya tidak ada jika fungsi tersebut dibatasi untuk selang pada satu sisi dari titik limit c. Definisi 10.1 Misalkan A  R dan f : A  R . 1. Jika c  R titik limit A  c,   x  A x  c, maka bilangan real L disebut limit kanan f di c, ditulis lim f x   L , x c



jika dan hanya jika untuk setiap   0 , terdapat   0 , sehingga untuk setiap x  A , dengan 0  x  c   atau c  x  c   , berlaku f x   L   .



2. Jika c  R titik limit A   , c   x  A x  c, maka bilangan real L disebut limit kiri f di c, ditulis lim f x   L , x c



jika dan hanya jika untuk setiap   0 , terdapat   0 , sehingga untuk setiap x  A , dengan 0  c  x   atau c    x  c , berlaku f x   L   .



Teorema 10.1 (Kriteria barisan untuk limit satu sisi) Misalkan A  R , fungsi f : A  R , 1. Jika c titik limit A  c,   x  A x  c, maka lim f x   L jika dan hanya jika untuk setiap barisan xn  di dalam A x c



dengan xn  c, n  N dan xn   c , berlaku  f xn   L .



2. Jika c titik limit A   , c   x  A x  c, maka lim f  x   L jika dan hanya jika untuk setiap barisan xn  di dalam A dengan x c 



xn  c, n  N dan xn   c , berlaku  f xn   L .



Analisis Real I - Aris Thobirin Suwarno Banach



91



Perluasan Konsep Limit



Jika A  R , fungsi f : A  R , dan c titik limit dua A  c,   x  A : x  c dan A   , c   x  A : x  c, maka lim f x   L  lim f x   lim f x   L . xc



xc



himpunan



xc



Tuliskan kriteria divergensi limit satu sisi! Contoh 10.1 Diberikan f x   sgnx  . Telah diuraikan pada bagian sebelumnya bahwa sgnx  tidak mempunyai limit di 0. Buktikan lim sgnx   1 dan lim sgnx   1 . x 0



x 0



Bukti a. Ditunjukkan lim sgnx   1 x 0



Ambil sembarang   0 , ambil pula   0 , untuk setiap x  R , dengan sifat 0  x  0   , berlaku sgnx   1  1  1  0   . Terbukti lim sgnx   1 . x 0



b. Ditunjukkan lim sgnx   1 x 0



Ambil sembarang   0 , ambil pula   0 , untuk setiap x  R , dengan sifat 0    x  0 , berlaku sgnx    1   1  1  0   . Terbukti lim sgnx   1 . x 0



Contoh 10.2 1



f x   e x , x  0 . Dalam kasus ini akan ditunjukkan bahwa f tidak mempunyai limit kanan, akan tetapi f mempunyai limit kiri. Bukti Akan ditunjukkan bahwa lim e x 0



1



x



tidak ada.



Dapat dimengerti bahwa



0  t  e t , untuk t  0 . 1 Sehingga, jika x  0 , yang berakibat  0 , maka dari (1), diperoleh x 1 1 0   ex . x 1 Jika diambil suatu barisan xn   , n  N , maka dari (2), diperoleh n Analisis Real I - Aris Thobirin Suwarno Banach



(1)



(2)



92



Perluasan Konsep Limit 1 1 n



1 e 1 n n 0  n  e , n  N . Oleh karena n  suatu barisan divergen, akibatnya g xn   e n  suatu barisan 0



divergen. Terbukti lim e x 0 



1



x



tidak ada.



Akan ditunjukkan bahwa lim e



1



x 0



x



 0.



1  0 , oleh karenanya dari (1), x



Jika x  0 , maka  x  0 , berlaku pula  diperoleh 1



 1 0 e x. x Jika x  0 , maka dari (3), berakibat



(3)



1 x



0  e  x . Dengan menggunakan Teorema Squeeze untuk limit fungsi, diperoleh 1 x



lim 0  lim e   lim x



x 0



x 0



x 0



1 x



0  lim e  0 . x 0



Terbukti lim e x 0



1



x



 0.



1



Grafik Fungsi f x   e x , x  0



Analisis Real I - Aris Thobirin Suwarno Banach



93



Perluasan Konsep Limit



Contoh 10.3 1 , untuk x  0 . f x   1 e x 1 Dalam kasus ini akan ditunjukkan bahwa f x  



1 1



e x 1 dan mempunyai limit kiri, akan tetapi nilainya tidak sama. Bukti Ditunjukkan bahwa lim x 0



1



mempunyai limit kanan



 0.



1 x



e 1



Berdasarkan bukti pada Contoh 10.2, jika x  0 , maka



1  0 , sehingga x



1



1 1 0   e x atau 0  1  x , x ex



akibatnya



1



0



1 x







1 1 x



 x.



e 1 e Dengan penerapan Teorema Squeeze, diperoleh 1 lim 0  lim 1  lim x . x 0



Terbukti lim x 0



1 1 x



x 0



ex 1



x 0



 0.



e 1



Ditunjukkan bahwa lim x 0



1 1 x



 1.



e 1



Berdasarkan bukti pada Contoh 10.2, diperoleh bahwa lim e x 0



1



x



 0 . Oleh



1  1  karenanya lim  e x  1   1  0 dan e x  1  0 , untuk x  0 . Dengan demikian x 0   diperoleh lim 1 1 1 x 0 lim 1    1. 1 x 0 1   e x  1 lim  e x  1   x 0    1  1. Terbukti lim 1 x 0



ex 1 Analisis Real I - Aris Thobirin Suwarno Banach



94



Perluasan Konsep Limit



Grafik Fungsi f x  



1 e



1



x



1



, untuk x  0



10.2 Limit tak Berhingga Limit tak Berhingga Tipe 1 Definisi 10.2 Misalkan f : (a, )  R . Bilangan real L disebut limit f(x), untuk x   , ditulis lim f x   L , jika dan hanya jika untuk setiap   0 , terdapat positif K x 



sehingga untuk setiap x  K , berlaku f x   L   . Contoh 10.4 x 1 x x  1



Buktikan lim



Definisi 10.3 Misalkan f : (, a)  R . Bilangan real L disebut limit f(x), untuk x   , ditulis lim f x   L , jika dan hanya jika untuk setiap   0 , terdapat negatif K x 



sehingga untuk setiap x  K , berlaku f x   L   . Contoh 10.5 1 , x  0 dengan menggunakan definisi limit tak berhingga x2 1 1 buktikan lim 2  0 dan lim 2  0 x x x x



Misalkan



f ( x) 



Analisis Real I - Aris Thobirin Suwarno Banach



95



Perluasan Konsep Limit



Limit tak Berhingga Tipe 2 Definisi 10.4 Misalkan A  R , f : A  R , dan c titik limit A. 1. Fungsi f   , untuk x  c , ditulis lim f (x)   jika dan hanya jika untuk x c



setiap K  0 , terdapat 0  x  c   , berlaku



  0 , sehingga untuk setiap



x  A , dengan



f x   K .



2. Fungsi f   , untuk x  c , di tulis lim f (x)   jika dan hanya jika x c



untuk setiap L  0 , terdapat   0 , sehingga untuk setiap x  A , dengan 0  x  c   , berlaku f x   L . Contoh 10.6



1 . x0 x 2



Buktikan lim



Bukti



Diberikan sebarang bilangan K  0 , dapat diambil  



1 , maka untuk setiap K



x  R , dengan 0  x  0   , berlaku 1 1 x K K 1  1   x  x  0 K  K  1 x2   0 K 1 x2  K 1 K x2 f x   K . 



1 . □ x0 x 2



Terbukti lim



Analisis Real I - Aris Thobirin Suwarno Banach



96



Perluasan Konsep Limit



Grafik Fungsi f x  



1 , x2



x0



Contoh 10.7



1 Selidiki kelakuan fungsi gx   , x  0 untuk x  0 . x Bukti Perhatikan, jika K  0 , maka g x  K , x  0 . Jadi fungsi g tidak menuju  , untuk x  0 . Demikian halnya, jika L  0 , maka g x  L, x  0 , Jadi fungsi g tidak menuju   , untuk x  0 .



1 1   dan lim   x0 x x0 x



Kesimpulannya lim



1 Grafik Fungsi gx   , x  0 x Analisis Real I - Aris Thobirin Suwarno Banach



97



Perluasan Konsep Limit



Selanjutnya diberikan definisi limit tak berhingga satu sisi. Definisi 10.5 1. Misalkan f : A  R , dan c titik limit A  c,   x  A : x  c . Fungsi f   , untuk x  c  , ditulis lim f x    x c



jika dan hanya jika untuk setiap K  0 , terdapat   0 , sehingga untuk setiap x  A , dengan c  x  c   , berlaku f x   K . 2. Misalkan f : A  R , dan c titik limit A   , c   x  A : x  c. Fungsi f   , untuk x  c  , ditulis lim f x    x c



jika dan hanya jika untuk setiap K  0 , terdapat   0 , sehingga untuk setiap x  A , dengan c    x  c , berlaku f x   K . 3. Misalkan f : A  R , dan c titik limit A  c,   x  A : x  c . Fungsi f   , untuk x  c  , ditulis lim f x    x c



jika dan hanya jika untuk setiap L  0 , terdapat   0 , sehingga untuk setiap x  A , dengan c  x  c   , berlaku f x   L . 4. Misalkan f : A  R , dan c titik limit A   , c   x  A : x  c. Fungsi f   , untuk x  c  , ditulis lim f x    x c



jika dan hanya jika untuk setiap L  0 , terdapat   0 , sehingga untuk setiap x  A , dengan c    x  c , berlaku f x   L . Limit tak Berhingga Tipe 3 Definisi 10.6 Misalkan f : (a, )  R . 1. f   , untuk x   , ditulis lim f x    x 



jika dan hanya jika setiap K  0 , terdapat x0  a , sehingga untuk setiap x  x0 , berlaku Analisis Real I - Aris Thobirin Suwarno Banach



98



f x   K .



Perluasan Konsep Limit



2. f   , untuk x   , ditulis lim f  x    x  jika dan hanya jika setiap L  0 , terdapat x0  a , sehingga untuk setiap x  x0 , berlaku f x   L . Definisi 10.7 Misalkan f : (, a)  R . 1. f   , untuk x   , ditulis lim f  x    x  



jika dan hanya jika setiap K  0 , terdapat x0  a , sehingga untuk setiap x  x0 , berlaku f x   K .



f x    2. f   , untuk x   , ditulis xlim  jika dan hanya jika setiap L  0 , terdapat x0  a , sehingga untuk setiap x  x0 , berlaku f x   L .



_________________________ Materi diringkas dari: 1. Julan Hernadi, 2016, Analisis Real Elementer dengan Ilustrasi Grafis dan Numeris, Erlangga. Jakarta. Halaman 107 – 115. 2. Tutut Herawan dan Aris Thobirin, 2012. Analisis Real I, Edisi I, FMIPA UAD dan Padi Pressindo, Yogyakarta.



Analisis Real I - Aris Thobirin Suwarno Banach



99