Bab 3 Grup Siklik [PDF]

Citation preview

Grup Siklik



BAB 3 GRUP SIKLIK Pada bagian ini akan kita bicarakan suatu grup khusus yang disebut dengan grup siklik ( Cyclic Group ), yaitu suatu grup yang setiap unsurnya dapat dinyatakan sebagai perpangkatan ( kelipatan jika operasi dari grup tersebut berupa operasi penjumlahan ) dari suatu unsure tertentu pada grup tersebut. Sebelum kita membicarakan grup siklik tersebut, kita terlebih dahulu memahami pengertian orde seperti yang definisikan pada pasal berikut. 3.1 Orde Dari Suatu Unsur Andaikan G adalah suatu grup dan misalkan a  G . Untuk sebarang unsur a  G perhatikan bahwa bila terdapat m  Z sehingga a m  e , maka terdapat



bilangan bulat positif n  Z sehingga a n  e . Tentu saja bila m  0 , maka kita dapat mengambil



m  n , sebaliknya jika



m  0 kita dapat mengambil



n  m , sehingga



a n  a  m  (a m ) 1  e .



Selanjutnya kita definisikan orde dari suatu unsure sepertipada definisi berikut. Definisi 3.1.1 Andaikan G adalah suatu grup dan misalkan a  G . Bila terdapat m  Z sehingga a m  e , maka orde unsur



sehingga berlaku



a didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil n



a n  e , dan dinotasikan dengan ord (a ) . Bila tidak terdapat



bilangan m sehingga a m  e , maka dikatakan a berorde tak hingga. Catatan : Pada definisi diatas, bila operasi biner pada grup G adalah penjumlahan, maka a n  e diganti dengan na  0 . Jelas bahwa ord ( a )  1 jika dan hannya jika



33



a  e.



Grup Siklik



Contoh 3.1.2 1. Misalkan grup G   e, a, b, c, r , s, t , u di sajikan seperti pada Tabel 3.1 (Tabel Cayley). Pandang unsur a  G , diperoleh bahwa a 1  a, a 2  b, a 3  c dan a 4  e . Karena 4 adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga a 4  e , maka ord (a )  4 . Dengan cara yang sama diperoleh ord (c)  4 . Perhatikan bahwa b 4  r 4  s 4  t 4  u 4  e , tetapi juga b 2  r 2  s 2  t 2  u 2  e dan karena



2  4 , maka menurut definisi ord (b)  ord (r )  ord ( s )  ord (t )  ord (u )  2. Apakah yang dapat Anda simpulkan tentang orde dari suatu grup hingga G dan orde dari setiap unsur didalamnya?



e a b c r s t u



e e a b c r s t u



a a b c e t u s r



b b c e a s r u t



c c e a b u t r s



r r u s t e b c a



s s t r u b e a c



t t r u s a c e b



u u s t t c a b e



Tabel 3.1 2. Pandang grup bilangan bulat Z dengan operasi penjumlahan biasa. Untuk setiap a  Z , dengan a  0 , tidak terdapat bilangan m  Z sehingga   mbuah  . ma  a  a    a  0



Jadi setiap a  Z berorde tak hingga. Sifat sifat orde suatu unsur dari suatu grup berorde hingga dan grup berorde tak hingga dinyatakan dlam beberapa teorema di bawah ini. Teorema 3.1.3 Andaikan G adalah suatu grup dan misalkan a  G . Jika terdapat tepat n perpangkatan dari a , yakni a 0  e, a 1 , a 2 , , a n 1 .



34



a berorde n, maka



Grup Siklik



Bukti : Ada dua hal yang harus diperlihatkan. Pertama harus diperlihatkan untuk setiap m  Z , a m adalah salah satu dari a 0  e, a 1 , a 2 ,  , a n 1 . Kedua, harus diperlihatkan



bahwa untuk setiap bilangan bulat positif k , l  n, dengan k  l , berlaku a k  a l , yakni semua unsure a 0  e, a 1 , a 2 ,  , a n 1



adalah berbeda.



Akan diperlihatkan bahwa untuk setiap m  Z , a m adalah salah satu dari a 0  e, a 1 , a 2 ,  , a n 1 .



Dengan menggunakan algoritma pembagian, untuk setiap



bilangan bulat m dan n terdapat bilangan bulat q dan r sehingga m  qn  r , dengan 0  r  n . Karena itu a m  a qn  r  a qn a r  (a n ) q a r  e q a r  a r .



0rn



Karena



dan



am  ar ,



maka



am



adalah



salah



satu



dari



a 0  e, a 1 , a 2 ,  , a n 1 .



Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa a 0  e, a 1 , a 2 , , a n 1 adalah berbeda, yakni untuk setiap bilangan bulat positif k , l  n, dengan k  l , berlaku a k  a l . Andaikan k  l , tanpa kehilangan keumuman pembuktian , misalkan saja k  l , sehingga 0  l  k  n . Misalkan sebaliknya bahwa a k  a l . Hal ini berakibat bahwa a l a k  a k a k  e a l k  e



Hal ini tidak mungkin, sebab 0  l  k  n ( ingat bahwa n adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga a n  e ). Jadi haruslah a k  a l . Bila kita perhatikan kembali contoh 2.1.2 bagian 1, orde dari unsur b adalah 2, tentu saja b 2  e dan juga b 2  (b 2 ) 1  e . Hal ini menimbulkan suatu dugaan bahwa bila l adlah kelipatan 2, maka b l  e . Teorema berikut ini menyatakan bahwa dugaan



tersebut adalah benar, dan juga konversnya adalah benar. Teorema 3.1.4



35



Grup Siklik



Andaikan G adalah suatu grup dan misalkan a  G berorde n . Maka a k  e jika dan hannya jika k adalah kelipatan dari



n.



Bukti : Jelaskan bahwa bila k  qn , maka c k  a qn (a n ) a  e q  e .



Sebaliknya kita akan memperlihatkan a k  e , maka k adalah kelipan dari Dengan menggunakan algoritma pembagian, terdapat bilangan bulan q dan



n.



r,



0  r  n sehingga k  qn  r . Selanjutnya diperlihatkan r  0 sehingga k  qn ,



yakni k adalah kelipatan dari n . Karena k  qn  r a k  a qn  r  a qn a r  (a n ) q a r  e q a r  a r  e .



Tetapi a berorde n dan 0  r  n sehingga a r  e terjadi hanya bila r  0 . Jadi sekarang kita peroleh k  qn . Bila G adalah suatu grup dan unsur a  G berorde tak hingga, maka teorema berikut ini menjamin bahwa a i  a j jika i  j . Teorema 3.1.5 Andaikan G adalah suatu grup dan misalkan a  G berorde tak hingga. Bila m dan



n adalah dua bilangan bulat yang berbeda, maka



am  an .



Bukti. Kita akan membuktikan teorema ini dengan menggunakan kontra positifnya. Perhatikan bahwa pernyataan pada teorema di atas ekivalen dengan pernyataan “ bila a m  a n , maka



m  n ”. Bila



a m  a n , maka a m a n  a n a n a a m  n  a n (a n ) 1



a m n  e



Tetapi a berorde tak hingga, sehingga a m  n  e dipenuhi hanya bila m  n  0 , yakni



mn



3.2 Grup Siklik



36



Grup Siklik



Andaikan G adalah suatu grup dan misalkan a  G . Teorema 2.4.8 meperlihatkan bahwa himpunan H   a m : m  Z  adalah subgrup siklik dari G yang dibangun oleh



a . Bila terdapat suatu unsur



a  G sehingga G   a m : m  Z  , maka grup G kita



sebut sebagai grup siklik yang dibangun oleh unsur



a . Unsur a disebut sebagai



unsur pembangun dari G dan grup siklik G kita notasikan dengan G   a . Tentu saja bila operasi biner pada grup G adalah operasi penjumlahan, notasi



am



berubah menjadi   mbuah  ma  a  a  ...  a.



Contoh 3.2.1 Perhatikan grup bilangan bulat modulo 6,



z 6   0,1,2,3,4, 5 dengan operasi



penjumlahan modulo 6. Salah satu unsur pembangun dari Z 6 adalah unsure 1. Karena 1 = 1 2 = 1+1 3 = 1+1+1 4 = 1+1+1+1 5 = 1+1+1+1+1 0 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, yakni semua unsur Z 6



dapat dibangun dengan menggunakan unsur 1.



Tidaklah sulit untuk memperlihatkan bahwa unsur 5  Z 6 adalah unsur pembangun dari Z 6 , tetapi unsur 2,3,4  Z 6 . Secara umum suatu grup siklik mempunyai lebih dari satu unsur pembangun. Contoh 3.2.2



 Z , 



adalah suatu grup siklik tak hingga. Unsur 1 dan unsur -1 keduanya



adalah unsur pembangun dari Z . Berikut ini kitas diskusikan beberapa fakta tentang grup siklik.



37



Grup Siklik



Teorema 3.2.3 Setiap grup siklik adalah grup komutatif. Bukti. Adaikan G adalah grup siklik yang dibangun oleh unsur unsur di G adalah merupakan perpangkatan dari unsur



a . Maka setiap



a . Untuk setiap



am , an  G ,



diperoleh a m a n  a m . n  a nm  anam



Sehingga G adalah suatu grup komutatif. Konvers dari Teorema 3.2.3 adalah tidak benar, yakni suatu grup komutatif belum tentu



merupakan



suatu



grup



siklik.



Sebagai



contoh



penyangkal,



grup



U (8)  {1, 3, 5, 7} adalah grup komutatif. Karena untuk setiap a  U (8) dengan



a  1,



a adalah suatu unsur yang berorde 2, maka



U (8) tidak mempunyai unsur



pembangun. Sehingga U (8) bukan suatu grup siklik. Teorema 3.2.4 Bila G adalah suatu grup siklik, maka setiap subgrup dari G adalah siklik. Bukti. Andaikan H adalah subgrup dari grup siklik G . Karena semua unsur di G adalah dalam bentuk a m , m  Z , setiap unsur di H adalah juga perpangkatan dari a , yakni H  {a k : k  Z } . Andaikan  adalah bilangan bulat positip terkecil sehingga a   H . Bila a n  H , kita perlihatkan bahwa a n a adalah perpangkatan dari a  ,



yakni a n  (a  ) q . Yaitu, n haruslah kelipatan dari  . Dengan algoritma pembagian, untuk setiap n terdapat bilangan bulat q dan n  q  r .



Hal ini berakibat. a n  a q e  a q a r atau a r  a n (a lq ) 1  a n (a  l ) q .



38



r,



dengan 0  r   sehingga



Grup Siklik



Karena a   H , maka



(a  l ) q  H . Ini berakibat



a r  a n ( a  l ) q  H . Tetapi



0  r   dan l adalah bilangan bulat terkecil sehingga a   H , hal ini berakibat r 0.



Sehingga n  lq . Jadi a n  (a l ) q dan H adalah subgrup siklik. Contoh 3.2.5 Perhatikan grup siklik Z 12 dengan Tabel Cayley seperti pada Tabel 3.2. Dari Tabel 3.2 kita dapat melihat bahwa himpunan bagian H 1   0,2,4,6,8,10 , H 2   0,3,6,9 , H 3   0,4,8



dan



H 4   0,6



masing-masing



subgrup



Z 12 .



dari



Karena



H 1  2  , H 2  3  ,



H 3  4  dan



H 4  6  , maka setiap subgrup dari Z 12



adalah juga siklik. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11



0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11



1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0



2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1



3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2



4 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3



5 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4



6 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5



7 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6



8 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7



9 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8



10 10 11 0 `1 2 3 4 5 6 7 8 9



11 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



Tabel 3.2 Konvers dari Teorema 3.2.4 adalah tidak benar. Yakni, bila setiap subgrup dari suatu grup G adalah siklik, tidaklah perlu G adalah grup siklik. Sebagai contoh penyangkal kembali kita perhatikan grup U (8) pada contoh 3.3.2. Subgrup U (8) adalah



H 1  1,3 , H 2  1,5 dan



H 3  1,7 yang kesemuanya adalah subgrup siklik,



tetapi grup U (8) itu sendiri bukanlah grup siklik. Teorema berikut ini menyatakan hubungan antara orde dari suatu grup siklik dengan orde dari subgrup-subgrupnya, yakni orde dari suatu subgrup dari grup siklik



39



Grup Siklik



adalah pembagi dari orde dari grup siklik tersebut. Satu hal yang perlu dicatat bahwa orde dari suatu grup siklik sama dengan orde dari unsur pembangunnya. Teorema 3.2.6 Andaikan G adalah grup siklik berorde adalah pembagi dari



n , maka orde dari setiap subgrup



G



n.



Bukti : Andaikan H adalah subgrup dari G  a  . Teorema 5.2.4 menyatakan bahwa r H  a r  . Misalkan ord (a )  m . Karena



(a r ) n  (a n ) r  e r  e ,



r , atau r



Maka Teorema 3.1.4 menjamin bahwa n adalah kelipatan dari



adalah



pembagi dari n .Ini berarti orde dari sunbgrup H adalah pembagi dari n . Contoh 5.2.7 Perhatikan grup siklik berorde 12, Z 12 pada contoh 5.2.5. Subgrup-subgrup dari Z 12 adalah



H 1   0,2,4,6,8,10 berorde 6, H 2   0,3,6,9 berorde 4, H 3   0,4,8



berorde 3 dan H 4   0,6 berorde 2. Sehingga orde dari setiap subgrup dari Z 12 adalah pembagi orde dari Z 12 . Lebih lanjut teorema 5.2.8 berikut ini mempertegas bahwa bila G adalah suatu grup siklik berorde



n , maka untuk setiap factor



k dari



n terdapat subgrup



n . Bila



k adalah pembagi



berorde k .



Teorema 3.2.7 Andaikan G  a  adalah suatu grup siklik berorde dari



n , maka terdapat tepat satu subgrup berorde



Bukti :



40



k , yakni



a



n



k



.



Grup Siklik



Pertama, akan diperlihatkan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif k pembagi dari



n.



Terdapat subgrup siklik berorde k . Untuk itu, misalkan n  kt atau t  n , maka



k



a n  ( a t ) k  (a n k ) k  e .



Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif s  k , maka ts  n dan (a n k ) s  e .



Hal ini berakibat bahwa k adalah bilangan bulat terkecil sehingga (a n k ) k  e . Jadi



a



n



k



 adalah subgrup siklik dari



G yang berorde k .



Selanjutnya, andaikan H adalah subgrup siklik dari G yang berorde k . Akan kita perlihatkan H  a m  dengan



H  a n k  .



Teorema 3.2.4 menjamin bahwa



m adalah bilangan bulat terkecil sehingga EM EM EM



algoritma pembagian terdapat bilangan bulat l dan



r



sehingga n  ml  r , dengan



0  r  m . Sehingga a n  a ml  r  a ml a r  e .



Jadi a r  a  ml  (a m ) l  H . Karena m adalah bilangan bulat terkecil sehingga am  H



maka r  0 . Akibatnya n  ml . Tetapi k adalah orde dari H  a m  , maka k  l . Karenanya m  n k dan  a m  a n k  .



Pada contoh 3.2.1 telah dinyatakan bahwa unsur 1 dan unsur 5 masingmasing adalah unsure pembangun dari Z 6 , tetapi unsur 2,3,4  Z 6 bukanlah unsur pembangun dari Z 6 . Teorema berikut ini memperlihatakan kriteria suatu unsur dalam grup siklik yang dapat dijadikan sebagai suatu unsur pembangun. Teorema 3.2.8



n dengan unsur pembangun a. a r jika dan hanya jika r dan n adalah dua



Andaikan G adalah suatu grup siklik berorde adalah unsure pembangun dari grup G bilangan yang prima relative.



41



Grup Siklik



Bukti. Andaikan r dan n adalah prima relatif . Kita akan memperlihatkan a r  G adalah unsur pembangun dari G , yakni G   a r   ( a r ) k : k  Z







Kita cukup memperlihatkan bahwa a   a r  , sehingga semua perpangkatan dari berada di  a r  yang berarti G   a r  . Karena



r



dan



a



n adalah prima relatif, maka



Teorema 3.2.9 menjamin terdapat bilangan bulat k dan l sehingga kr  nl  1 . Jadi a  a1  a kr  nl  a kr a nl  ( a r ) k ( a n ) l  ( a r ) k (e) l  (a r ) k



Karena a dapat dinyatakan sebagai perpangkatan dari a r , kita dapat menyimpulkan bahwa a   a r  . Jadi G   a r  . Sebaliknya



andaikan



r



ar



adalah unsur pembangun dari



G,



kita akan



n adalah prima relatif. Untuk itu, kita perlihatkan kotrapositip dari pernyataan ini. Yakni bila r dan n tidak prima relative, maka a r memperlihatkan



dan



bukan unsur pembangun dari G . Misalkan d  1 adalah pembagi persekutuan terbesar dari



r



dan n , dan misalkan r  ds dan n  dt . Hal ini berakibat bahwa



(a n ) s  ( a dt ) s  ( a ds ) t  ( a r ) t



Ingat bahwa a



berorde n sehingga (a n ) s  e dan akibatnya (a r ) t  e .



Karena t adalah pembagi dari



n , maka



0  t  n . Perhatikan sekarang bahwa



( a r ) t  e , 0  t  n dan G berorde



n . Tetapi



( a r ) t  e yang berarti orde dari a r



adalah pembagi dari t . Karena t  n , maka a r berorde lebih kecil dari n yang berakibat bahwa a r bukanlah unsur pembangun G . Sebagai akibat dari Teorema 3.2.8 kita peroleh kenyataan berikut ini . Akibat 3.2.9 Suatu bilangan k  Z n adalah unsur pembangun dari Z n , jika dan hanya jika k dan n



adalah prima relatif..



42



Grup Siklik



Bukti: Untuk setiap k  Z n maka



  k buah  dimana 1  Z adalah unsur pembangun n k  111



dari Z n .Salah satu keunggulan dari Teorema 3.2.8 adalah dengan mengetahui satu unsur pembangun dari suatu grup siklik kita dapat mengetahui semua unsur pembangun



dari



grup



siklik



tersebut.



Sebagai



contoh,



perhatikan



grup



U ( 26)  1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25 dengan operasi perkalian modulo 26.



Maka grup U (26) adalah grup siklik berorde 12, dimana 7  U ( 26) adalah unsur pembangunnya. Karena 5,7 dan 11 adalah prima relatif terhadap 12, maka 7 5 mod 26  11 7 7 mod 26  19 711 mod 26  15



masing-masing adalah unsur pembangun dari U (26) . Perhatikan bahwa 111 mod 26  11



117 mod 26  15



11 2 mod 26  17



118 mod 26  9



113 mod 26  5



119 mod 26  21



11 4 mod 26  3



1110 mod 26  23



115 mod 26  7



1111 mod 26  19



116 mod 26  25



1112 mod 26  1



Dengan cara yang sama dapat diperlihatkan bahwa U (26)  11  15 . Soal-soal Latihan 01. Carilah orde dari setiap elemen dalam grup Z 5 , Z 12 , dan Z 15 02.



Tentukanlah



semua



unsur



pembangun



dari



masing-masing



grup



Z 5 , Z 12 , dan Z 15



03. Andaikan  a ,  b  dan  c  masing-masing adalah suatu grup siklik yang berorde 5,12 dan 15. Tentukan semua unsur pembangun dari masing-masing grup  a ,  b  dan  c  . 04. Andaikan G adalah suatu grup dan misalkan a  G . Bila orde dari unsur



a adalah



43



Grup Siklik



21, cari orde dari a. a 3 , a 6 , a 9 , a 12 , a 15 , a 18 b. a 7 , a 14 c. a 2 , a 4 , a 5 , a 8 , a 10 , a 11 , a 13 , a 16 , a 17 , a 19 , a 20 05. a. Tuliskan semua unsur subgrup siklik dan subgrup siklik dalam Z 20 b. Tuliskan semua unsur dari subgrup siklik dan dalam Z 18 . Apakah yang dapat anda simpulkan dari kedua persoalan diatas? 06. Andaikan G adalah suatu subgrup dan a  G . Perlihatkan bahwa a. ord(a)=ord(a-1 ). b.  a  a 1  . 07. Andaikan G adalah suatu grup hingga . Untuk setiap a  G perlihatkan bahwa terdapat m  Z sehingga a m  e . 08.



Jika G adalah sutau grup dengan banyak anggota pq , dimana p dan q



bilanganbilangan prima , tunjukkan bahwa setiap subgrup sejati (proper subgrup) dari G pasti merupakan subgrup siklik. 09. Andaikan adalah suatu grup dan a  G , jika grup G berorde



n dan juga



am  e ,



perlihatkan bahwa



nm



.



10. Jika G adalah suatu grup komutatif dan berhingga maka tunjukkan bahwa ord(ab) adalah pembagi persekutuan terkecil dari ord(a), ord(b). 11. Jika dalam suatu grup G berlaku a 5  e, aba 1  b 2 untuk semua a, b  G , maka perlihatkan bahwa ord (b)  31 . 12. Buktikan bahwa sebarang subgrup dari suatu grup siklik adalah subgrup siklik. 13. Buktikan bahwa suatu grup siklik adalah komutatif. 14. Andaikan G adalah suatu grup berhingga yang ordenya tidak dapat dibagi oleh 3. Anggap bahwa (ab) 3  a 3 b 3 untuk semua a, b  G , tunjukkan bahwa G adalah komutatif.



44



Grup Siklik



15. Andaikan G adalah grup berhingga, maka tunjukkan bahwa orde dari sebarang elemen dari G membagi orde dari G .



45