Modul 4 Grup Siklik Ok [PDF]

Citation preview

MODUL 4 TEORI GRUP



1



Web-based form Modul 4: Nama Modul : Modul 4 (Grup Siklik) Pengajar : Sri Suryanti, S.Pd. M. Si. Capaian Pembelajaran : Mahasiswa mampu menganalisis struktur sebuah Grup serta mengaplikasikannya dalam pemecahan masalah secara tepat dan konsisten. Sub Capaian Pembelajaran : Mahasiswa mampu Menganalisis Grup Siklik 1. Mendefinisikan grup siklik (C1) Indikator 2. Mendefiniskan order sebuah grup dan order elemen grup (C1) 3. Menentukan order grup dan order elemen grup 4. Mendefinisikan generator grup (C1) 5. Menentukan generator grup siklik (C3) 6. Menganalisis sebuah grup merupakan grup siklik (C4, A5, P3) 7. Membangun sebuah grup menggunakan generator dari grup siklik. (C4, A5, P3) Materi Grup siklik, order grup dan order elemen grup, generator, analisis grup siklik Web-based Learning & Teks modul, Asesmen dan Kuis akan diupload di web spada Resources UMG (www.spada.umg.ac.id ) Bentuk interaksi dan komunikasi



Aktivitas belajar mahasiswa



Sumber belajar (URL)



Alokasi waktu



MODUL 4 TEORI GRUP



-



Forum diskusi online melalui sistem e-learning UMG, yaitu www.spada.umg.ac.id



-



Chat pada jam perkuliahan dengan dosen pengajar



-



Membaca dan mempelajari modul yang telah disediakan dalam sistem e-learning UMG



-



Membaca referensi tambahan secara online



-



Mengerjakan kuis yang diberikan secara online



-



Melakukan diskusi melalui forum diskusi



Buku ajar: Suryanti,S. 2017. Teori Grup (Struktur Aljabar 1). UMG Press. Bab 4 halaman 99-112 Buku referensi “Algebra An Approach via Module Theory”. William A.Adkins Steven H. Weintraub. 2 x 3 x 50 menit



2



Kegiatan Belajar 4: Grup Siklik 1.1.Pendahuluan A. Deskripsi singkat Modul 4 ini mempelajari tentang definisi Grup Siklik, karakteristik grup siklik, contohcontoh grup siklik dan algoritma pembagian B. Capaian pembelajaran CP MK: Mahasiswa mampu menganalisis struktur sebuah Grup serta mengaplikasikannya dalam pemecahan masalah secara tepat dan konsisten Sub CP MK pada kegiatan belajar 4 adalah Mahasiswa mampu mampu menganalisis grup siklik. C. Indicator capaian pembelajaran 



Mendefinisikan grup siklik (C1)







Mendefiniskan order sebuah grup dan order elemen grup (C1)







Menentukan order grup dan order elemen grup







Mendefinisikan generator grup (C1)







Menentukan generator grup siklik (C3)







Menganalisis sebuah grup merupakan grup siklik (C4, A5, P3)







Membangun sebuah grup menggunakan generator dari grup siklik. (C4, A5, P3)



1.2.Penyajian A. Uraian Materi Definisi 4.1. jika G sebuah grup, dan Selanjutnya dapat ditulis



= 〈 〉,



∈ . G dinamakan Grup siklik jika ={ | ∈ } dinamakan generator dari G.



Contoh 4.1 ( , +) adalah grup siklik dengan generator 1 atau 5 Contoh 4.2



MODUL 4 TEORI GRUP



3



= {3 | ∈ } = {… , −6, −3,0,3,6 … } adalah Grup siklik dengan generator 3. Sehingga dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa sembarang bilangan bulat n membentuk grup siklik dengan generator Contoh 4.3 ( , +) adalah grup siklik yang dibangun oleh 1 dan -1. Begitu juga dengan Himpunan bilangan bulat modulo n =< 1 > Contoh 4.4. Untuk setiap



∈



dengan



relatif prima, himpunan bilangan bulat modulo n,



=
adalah bilangan prima, temukan banyaknya generator dari grup siklik bilangan bulat ≥ 1



=_



dimana + adalah



Kunci Jawaban soal Latihan 1. Tentukan grup bagian dari a. $F yang dibangun oleh 4 $F = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17} Subgrup yang dibangun oleh 4 adalah: 〈4〉 = {4,8,12,16,2,6,10,14,0} = {0,2,4,6,8,10,12,14,16} b.



yang dibangun oleh " = { , , ", &, , H} Subgrup yang dibangun oleh 〈 "〉 = { ", , }



"



adalah:



$I



c.



yang dibangun oleh 8 $I = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Subgrup yang dibangun oleh 8 adalah: 〈8〉 = {8,6,4,2,0} = {0,2,4,6,8}



d.



yang dibangun oleh 3 = {0, ±1, ±2, ±3, … } Subgrup yang dibangun oleh 3 adalah: 3 = {0, ±3, ±6, ±9, … }



2. Dapatkan grup ' yang dibangun oleh elemen ( ) ' = '".& = { , (, ( " , ), (), ( " )}



3. Dapatkan grup ( × ) yang dibangun oleh elemen (0,1)



4. Buktikan bahwa % tidak siklik Jawab. Jelas bahwa tidak ada elemen pembangun di Q 0 1 0 0 0 1 5. Diketahui matriks M = N1 0 0O , 3 B+@ , P = N0 1 0O 0 0 1 1 0 0 Tentukan order dari A, B dan AB! Jawab.



MODUL 4 TEORI GRUP



8



1 0 Order dari A ditulis |M| adalah n sedemikian hingga M = d , dimana d = N0 1 0 0 0 1 0 M$ = M = N1 0 0O 0 0 1 0 1 M" = M × M = N1 0 0 0 ∴ |M| 1 ℎ2



0 0 0O × N1 1 0



1 0 1 0 0O = N 0 0 1 0



0 0 1 0O = d 0 1



Selanjutnya mencari order B



1 Order dari B ditulis |P| adalah n sedemikian hingga P = d , dimana d = N0 0 0 0 1 P$ = P = N0 1 0O 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 " P = P × P = N 0 1 0O × N 0 1 0O = N 0 1 0O = d 1 0 0 1 0 0 0 0 1



∴ |P|



0 0O 1



0 0 1 0O 0 1



1 ℎ2



6. Tentukan semua subgrup dari grup siklik yang berorder 20 yang dibangun oleh ! Jawab. Grup siklik yang beroder 20 yang dibangun oleh adalah: " & , , , H , , J , F , G , $I , $$ , $" , $& , $ , $H , "I = 〈 〉 = { , $J $F $G , , , } "I



Berdasarkan teorema 4.3 (iii), maka subgrup siklik dari pembagi dari 20. Pembagi dari 20 adalah 1,2,4,5 dan10 Jadi semua subgrup dari



"I



8" = 〈



$H



, }



,



F



8$ = 〈



8& = 〈 8 =〈



"I 〉



={ }



H〉



={



H



,



$I



"〉



={



"



,



,



〉={



8H = 〈 〉 = { ,



, "



F



,



,



,



&



,



$"



,



,



H



D〉



dengan



=



.



, dan s adalah



adalah:



$



,



adalah 〈



$



,



, } $I



,



,



$" J



,



,



$H



$



F



,



,



, $



, ,



G



$



,



, ,



$I



$J



$F



, } , ,



$$



$F



, $& , , }=



$"



$G



$



"I



7. Tentukan banyaknya elemen dari masing-masing grup siklik berikut: MODUL 4 TEORI GRUP



9



a. Subgrup siklik dari &I yang dibangun oleh 25 〈25〉 = {25,20,15,10,5,0} = {0,5,10,15,20,25} Jadi banyaknya elemen dari subgrup siklik yang dibangun oleh 25 adalah 6 b. Subgrup siklik dari



"



yang dibangun oleh 30 〈30〉 = {30,18,6,24,12,0} = {0,6,12,18,24,30,36} Jadi banyaknya elemen dari subgrup siklik yang dibangun oleh 30 adalah 7



8. Dari masing-masing grup berikut, tentukan semua subgrupnya: a. $" Subgrup dari $" dapat dibangun oleh elemen-elemen dari 〈0〉 = {0} 〈1〉 = {1,2,3,4,5,0} = 〈2〉 = {2,4,6,8,10,0} = {0,2,4,6,8,10} 〈3〉 = {3,6,9,0} = {0,3,6,9} 〈4〉 = {4,8,0} = {0,4,8} 〈6〉 = {0,6} b.



$J



Subgrup dari $J hanya ada 2 yaitu: 〈0〉 = {0} 〈1〉 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0} = c.



$"



$J



F



Subgrup dari F adalah sebagai berikut: 〈0〉 = {0} 〈1〉 = {0,1,2,3,4,5,6,7} = F 〈2〉 = {0,2,4,6} 〈4〉 = {0,4}



MODUL 4 TEORI GRUP



10



D. Tindak lanjut Cocokkanlah jawaban anda dengan kunci jawaban soal latihan yang terdapat pada bagian akhir modul ini kemudian hitunglah banyaknya jawaban anda yang benar. Kemudian hitunglah tingkat penguasaan anda dengan menggunakan rumus berikut: e@ *



B>



*2 ,



=



!



)



) f g ! ! ! ) ) ,K 1



+



× 100%



Setelah mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi pada modul ini, lanjutkan dengan mengerjakan tes formatif kemudian konsultasikan dengan dosen anda. Arti tingkat penguasaan yang anda capai: 90% - 100% : Baik sekali 80% - 89% : Baik 70% - 79% : Sedang : Kurang ≤ 69% Catatan: jika anda mencapai tingkat penguasaan ≥ 80%, maka anda dapat melanjutkan ke bab berikutnya. Tetapi jika nilai anda dibawah 80%, maka sebaiknya anda mengulangi modul ini terutama bagian yang belum anda kuasai.



MODUL 4 TEORI GRUP



11