Bab 5 Persamaan Beda [PDF]

Citation preview

PERSAMAAN BEDA  Sistem Rekursif dan Nonrekursif  Persamaan Beda Koefisien Konstan  Jawab Persamaan Beda  Respon Impuls dari Sistem LTI rekursif



 Output sistem dengan respon impuls h(n) yang mendapat input x(n) dapat dinyatakan dengan konvolusi y( n ) 







 h (k ) x (n  k )



k  



 Sistem FIR  Dapat langsung diimplementasikan  Penjumlahan, perkalian dan memori terbatas



 Sistem IIR  Tidak dapat diimplementasikan  Penjumlahan, perkalian dan memori tak terbatas  Apakah sistem IIR dapat diimplementasikan dengan cara lain ?



 SISTEM REKURSIF DAN NONREKURSIF  Sistem Nonrekursif  Output hanya dinyatakan dengan input sekarang dan input yang lalu  Konvolusi  Rata-rata kumulatip (cumulative average)



1 n y( n )  x (k )  n  1 k 0



n  0, 1, 2, 



 Untuk menghitung y(n) diperlukan :  n memori  n perjumlahan  1 perkalian



1 n y( n )  x (k )  n  1 k 0 1 y(n  1)  n n



n 1



k 0



k 0



(n  1) y(n ) 



n 1



 x (k ) k 0



n



 x (k ) k 0



n y(n  1) 



n 1



 x (k ) k 0



 x (k )   x (k )  x (n )  ny(n  1)  x (n )  (n  1) y(n ) n 1 y( n )  y(n  1)  x (n ) n 1 n 1



 Sistem Rekursif  Output sekarang dapat dinyatakan dengan output – output yang lalu



n 1 y( n )  y(n  1)  x (n ) n 1 n 1



 Untuk menghitung y(n) diperlukan :  1 memori  1 perjumlahan  2 perkalian



1 A   s n   s n 1  2 s n 1 



n  0, 1, 



 Square-Root Algorithm  A = bilangan positip  Sn-1 = tebakan awal  Iterasi konvergen  Sn  Sn-1



1 A s n   s n   2 sn 







A sn  sn







Sn = A







sn 



A



 Sistem Rekursif untuk menghitung akar kuadrat 1 x (n )  y(n)   y(n  1)  2 y(n  1) 



x (n )  2



y(1)  1



y(1)  1,4166667











3 y(0)  2



y(2)  1,4142157  1,4142136 



2



y(n )  Fy(n  1),  y(n  N), x (n ), x (n  1),  x (n  M)



 Sistem rekursif  Untuk menghitung y(n) harus terlebih dahulu menghitung y(0), y(1), …., y(n-1)



y(n)  Fx (n ), x(n  1), x (n  2),  x (n  M)



 Sistem nonrekursif  Untuk menghitung y(n) tidak harus terlebih dahulu menghitung y(0), y(1), …., y(n-1)



 PERSAMAAN BEDA KOEFISIEN KONSTAN  Persamaan beda orde pertama y(n)  a y(n  1)  x(n)



Koefisien konstan



Linear Time Invariant System



n 1 y( n )  y(n  1)  x (n ) n 1 n 1



Koefisien tidak konstan



Linear Time Variant System



y(n)  a y(n  1)  x(n) y(0)  a y(1)  x(0)



y(1)  a y(0)  x(1)  a[ay(1)  x(0)]  x(1)  a 2 y(n  1)  ax(0)  x(1) y(2)  a y(1)  x (2)  a[a 2 y(1)  ax(0)  x (1)]  x (2)  a 3 y(1)  a 2 x (0)  ax(1)  x (2) y(n)  a y(n  1)  x(n)



 a n 1y(1)  a n x(0)  a n 1x(1)    a ( x  1)  x(n) y(n )  a n 1 y(1) 



n



k a  x (n  k ) k 0



y(n )  a n 1 y(1) 



n



k a  x (n  k ) k 0



y(1)  0







n



y zs (n ) a k x (n  k )



n0



k 0



Sistem relaks  yzs = zero-state response = forced response



x (n )  0







y zi (n )  a n 1 y(1)



n0



Tanpa input  yzi = zero-input response = natural response



Total response



y(n )  y zi (n )  y zs (n )



y(n)  a y(n  1)  x(n)



Orde pertama



N



y( n )    a k y( n  k ) 



Orde ke-N



k 1



N



y( n )   a k y( n  k )  k 1



(1) y(n  0) 



k 0



k b  x (n  k ) k 0



 a k y( n  k )  k 1



 a k y( n  k )  k 0



k b  x (n  k )



M



N



N



M



M



k b  x (n  k ) k 0



M



k b  x (n  k ) k 0



a0  1



 JAWAB PERSAMAAN BEDA  Metoda Tidak Langsung  Transformasi Z



 Metoda Langsung



y( n )  y h ( n )  y p ( n )



yh = Jawab homogen yp = Jawab khusus (particular solution) x (n )  0







N



a k 0



k



y h (n  k )  0



Seperti persamaan diferensial biasa : y h (n )  n



a0  1



y h (n )  



n



N



 a k y h (n  k )  0 k 0



N



n k a   k 0 k 0



n  a 1n 1  a 2 n  2    a N n  N  0 n  N (N  a 1N 1  a 2 N  2   a N 1  a N )  0 N  a 1N 1  a 2 N  2   a N 1  a N  0 Persamaan karakteristik pangkat N  akar-akarnya ada N



1 ,  2 ,  ,  N



y h (n )  C1n1  C 2 n2    C N nN



Contoh Soal 5.1 Diketahui persamaan beda orde kedua : y(n)  3y(n  1)  4y(n  2)  0



Tentukan zero-input responnya



Jawab : 2  3  4  0







1  1



y h (n )  C1 (1) n  C 2 (4) n



2  4



y(n)  3y(n  1)  4y(n  2)  0 y(n)  3y(n  1)  4y(n  2)



y(0)  3y(1)  4 y(2) y(1)  3y(0)  4 y(1)  3[3y(1)  4 y(2)]  4 y(1)  13y(1)  12y(2) y h (n )  C1 (1) n  C 2 (4) n



y(0)  C1  C2 y(1)  C1  4C2



C1  C2  3y(1)  4y(2)  C1  4C2  13y(1)  12y(2) 1 4 C1   y(1)  y(2) 5 5 16 16 C2  y(1)  y(2) 5 5 y h (n )  C1 (1) n  C 2 (4) n



y zi (n )  (1)(1) n  (16)(4) n  (1) n 1  (4) n  2



y(1)  0 C1  1



y(2)  5 C 2  16



Contoh Soal 5.2 Diketahui persamaan beda orde kedua : y(n)  3y(n  1)  4y(n  2)  x(n)  2x(n  1) x (n )  4 n u (n )



Tentukan jawab totalnya



Jawab : 2  3  4  0







1  1



y h (n )  C1 (1) n  C 2 (4) n



2  4



x(n)



yp(n)



A



K



A Mn



K Mn



A nM



KonM + K1nM-1+…..+KM



An nM



An (KonM + K1nM-1+…..+KM)



A cos on



K1 cos on + K2 sin on



A sin on



K1 cos on + K2 sin on



x(n)  4n u(n)







yp (n)  K(4)n u(n)



y h (n )  C1 (1) n  C 2 (4) n



yp (n)  Kn (4)n u(n)



y(n)  3y(n  1)  4y(n  2)  x(n)  2x(n  1)



x(n)  4n u(n)







yp (n)  Kn (4)n u(n)



Kn (4) n u (n )  3K(n  1)(4) n 1 u (n  1)  4K(n  2)(4) n  2 u (n  2)  (4) n u (n )  2(4) n 1 u (n  1)



Semua suku tidak nol  n = 2 6 K 5



6 y p (n )  n (4) n u (n ) 5







6 y(n )  C1 (1)  C2 (4)  n (4) n u (n ) 5 n



n