BAB 8 Kontras Helmert [PDF]

Citation preview

Kismiantini, Ph.D. Universitas Negeri Yogyakarta



8. BAB 8. Kontras Helmert Pada bab ini dipelajari perbandingan terencana menggunakan kontras Helmert. Hays (1981) menunjukkan bahwa ANOVA univariat memiliki uji lebih kuasa (powerful) jika perbandingan itu terencana. Hal ini berlaku juga pada MANOVA.



Grup Kontrol



T1



𝜇1



T2



𝜇2



𝜇3



1) Apakah grup kontrol berbeda dari rata-rata grup-grup perlakuan pada sekumpulan variabel? 𝛍 +𝛍 𝛙1 = 𝛍1 − 2 2 3 2) Apakah kedua perlakuan berbeda secara efektif pada sekumpulan variabel? 𝛙2 = 𝛍2 − 𝛍3 Kontras Helmert Multivariat Misal Grup 1: kontrol, Grup 2: perlakuan 1, Grup 3: perlakuan 2. 𝛍 +𝛍 1) 𝛙1 = 𝛍1 − 2 2 3 (Apakah grup kontrol berbeda dari rata-rata grup-grup perlakuan pada



sekumpulan variabel) 2) 𝛙2 = 𝛍2 − 𝛍3 (Apakah kedua perlakuan berbeda secara efektif pada sekumpulan variabel) Grup 1



Rata-rata



Grup 2



Grup 3



Y1



Y2



Y1



Y2



Y1



Y2



5



6



2



2



4



3



6



7



3



3



6



7



6



7



4



4



3



3



4



5



3



2



5



5



5



4



2



1



5



5



5.2



5.8



2.8



2.4



4.6



4.6



1



Kismiantini, Ph.D. Universitas Negeri Yogyakarta



Hipotesis: 𝐻0 : 𝚿 = 𝟎 𝐻1 : 𝚿 ≠ 𝟎 Atau 𝛍 +𝛍 𝛍 +𝛍 1) 𝐻0 : 𝛍1 − 2 3 = 𝟎 vs 𝐻1 : 𝛍1 − 2 3 ≠ 𝟎 2



2



2) 𝐻0 : 𝛍2 − 𝛍3 = 𝟎 vs 𝐻1 : 𝛍2 − 𝛍3 ≠ 𝟎 𝑐2



Statistik uji: 𝑇 2 = (∑𝑘𝑖=1 𝑛𝑖 )



−1



𝑖



̂ ′ 𝐒𝐩−1 𝚿 ̂ ditransformasi menjadi 𝐹 = (𝑁−𝑘−𝑝+1) 𝑇 2 𝚿 (𝑁−𝑘)𝑝



Kriteria penolakan: Tolak H0 jika F > 𝐹𝛼 (𝑝, 𝑁 − 𝑘 − 𝑝 + 1)



̂ = 𝑐1 𝐱̅1 + 𝑐2 𝐱̅2 + ⋯ + 𝑐𝑘 𝐱̅𝑘 ; 𝐱̅1 , … , 𝐱̅𝑘 adalah dengan 𝐒𝑝 adalah matriks kovarians gabungan, 𝚿 vektor rata-rata sampel; 𝑁= banyaknya pengamatan, 𝑘 = banyaknya grup, 𝑝= banyaknya variabel dependen. Grup



Kontras



1



2



3



Grup 1 vs lainnya



1



-1/2



-1/2



Grup 2 vs grup 3



0



1



-1



Bagi Y1 μ̂ + μ̂3 2.8 + 4.6 ̂ 1 = μ̂1 − 2 ψ = 5.2 − = 1.5 2 2 ̂ 2 = μ̂2 − μ̂3 = 2.8 − 4.6 = −1.8 ψ



Bagi Y2



μ̂ + μ̂3 2.4 + 4.6 ̂ 1 = μ̂1 − 2 ψ = 5.8 − = 2.3 2 2 ̂ 2 = μ̂2 − μ̂3 = 2.4 − 4.6 = −2.2 ψ Kontras Helmert multivariat: grup 1 versus grup lainnya Hipotesis: 𝛍 +𝛍 𝐻0 : 𝛍1 − 2 2 3 = 𝟎 𝐻1 : 𝛍1 −



𝛍2 +𝛍3 2



≠𝟎



Taraf signifikansi: 𝛼 = 0.05 Statistik uji: 𝐹 =



(𝑁−𝑘−𝑝+1) 2 𝑇 (𝑁−𝑘)𝑝



𝑐2



−1



dengan 𝑇 2 = (∑𝑘𝑖=1 𝑛𝑖 ) 𝑖



̂ ′ 𝐒𝒑−1 𝚿 ̂ 𝚿



Kriteria keputusan: 𝑝 = 2, 𝑘 = 3, 𝑁 = 15, 𝑑𝑓1 = 𝑝 = 2, 𝑑𝑓2 = 𝑁 − 𝑘 − 𝑝 + 1 = 15 − 3 − 1 + 1 = 11 𝐹0.05(2,11) = 3.982 𝐻0 ditolak jika 𝐹 > 3.982. > qf(p=0.95,df1=2,df2=11) [1] 3.982298 2



Kismiantini, Ph.D. Universitas Negeri Yogyakarta



Hitungan −1



𝑐2



𝑇 2 = (∑𝑘𝑖=1 𝑛𝑖 ) 𝑖



12



(−1/2)2



5



5



=( +



̂ ′ 𝐒𝒑−1 𝚿 ̂ 𝚿 +



(−1/2)2 5



−1



)



(2.8 + 4.6)/2 ′ 4.631 5.2 [( ) − ( )] [ (2.4 + 4.6)/2 5.8 −2.755



1.5 ′ 4.631 −2.755 1.5 ] [ ] [ ] = 9.389222 2.3 −2.755 2.156 2.3 2 𝑇 9.389222 9.389222 Hotellings: 𝑁−𝑘 = 15−3 = 12 = 0.7824351. 1.5 −1



=(5)



𝐹=



(2.8 + 4.6)/2 −2.755 5.2 ] [( ) − ( )] (2.4 + 4.6)/2 2.156 5.8



[



(𝑁−𝑘−𝑝+1) 2 𝑇 (𝑁−𝑘)𝑝



=



15−3−2+1 (9.389222) (15−3)2



11



= 24 (9.389222) = 4.303393



> p_value p_value [1] 0.04163174 Kesimpulan Oleh karena F=4.303 > 3.982 (atau p-value = 0.042 < 0.05) maka 𝐻0 ditolak sehingga pada taraf signifikansi 0.05 dapat disimpulkan bahwa kontras multivariat 𝛙1 = 𝛍1 −



(𝛍2 +𝛍𝟑 ) 2



adalah signifikan.



Grup kontrol berbeda secara signifikan dari rata-rata dua grup perlakuan terhadap sekumpulan dari dua variabel.



Berikut adalah fungsi Hot.hel() untuk menghitung nilai 𝑇 2 , Hotellings, statistik F dan p-value untuk kontras multivariat. Hot.hel xbar1 xbar2 xbar3 xbar # grup 1 vs grup lain > ni contrast constanta psi N k p Hot.hel(constanta,psi,Sp,N,k,p) T2 Hotellings Fstat df1 df2 p.value 9.389222 0.7824351 4.303393 2 11 0.04163173 Atau untuk hipotesis 𝐻0 : 2𝛍1 − (𝛍2 + 𝛍3 ) = 𝟎 vs 𝐻1 : 2𝛍1 − (𝛍2 + 𝛍3 ) ≠ 𝟎 > > > > > > > > >



# grup 1 vs grup lain ni 𝐹(1,𝑁−𝑘) (𝛼)



Misal Grup 1: kontrol, Grup 2: perlakuan 1, Grup 3: perlakuan 2. μ +μ 1) ψ1 = μ1 − 2 2 3 (Apakah grup kontrol berbeda dari rata-rata grup-grup perlakuan terhadap suatu variabel) 2) ψ2 = μ2 − μ3 (Apakah kedua perlakuan berbeda secara efektif terhadap suatu variabel)



Grup 1



Grup 2



Grup 3



Y1



Y2



Y1



Y2



Y1



Y2



5



6



2



2



4



3



6



7



3



3



6



7



6



7



4



4



3



3



4



5



3



2



5



5



5



4



2



1



5



5



Kontras pada kasus ini adalah Kontras



Grup 1



2



3



Grup 1 vs lainnya



1



-1/2



-1/2



Grup 2 vs grup 3



0



1



-1



6



Kismiantini, Ph.D. Universitas Negeri Yogyakarta



Berikut adalah fungsi Hot.hel.univ() di program R untuk memperoleh statistik t, F, dan p-value. Hot.hel.univ sum_mod.fit MSw # subset data per group > grup1 grup2 grup3 # means for each group > xbar1 xbar2 xbar3 xbar # grup 1 vs grup lain > ni contrast constanta psi N k Hot.hel.univ(constanta,psi,MSw,N,k) t Fstat df1 df2 p.value 2.886751 8.333333 1 12 0.01365828 > > > > > > > >



# grup 2 vs grup 3 ni sum_mod.fit MSw # subset data per group > grup1 grup2 grup3 # means for each group > xbar1 xbar2 xbar3 xbar # grup 1 vs grup lain > ni contrast constanta psi N k Hot.hel.univ(constanta,psi,MSw,N,k) t Fstat df1 df2 p.value 3.020048 9.12069 1 12 0.01066197 > > > > > > > >



# grup 2 vs grup 3 ni