Bab4 1AnalisisTransient [PDF]

Citation preview

Bab 4: Analisis Sistem Kendali



EL303 Sistem Kendali



ANALISIS SISTEM KENDALI



o



PENDAHULUAN



o



ANALISIS WAKTU ALIH ♦ Tanggapan Waktu Alih Orde 1 ♦ Tanggapan Waktu Alih Orde 2 ♦ Spesifikasi Tanggapan Waktu Alih ♦ Penurunan Rumus Spesifikasi ♦ Tanggapan Waktu Alih Orde Tinggi



o



ANALISIS GALAT KEADAAN TUNAK ♦ Klasifikasi Sistem Kendali ♦ Konstanta Galat Statik



o



ANALISIS KEPEKAAN



o



ANALISIS KESTABILAN ♦ Prinsip Dasar Kestabilan ♦ Metoda Kestabilan Routh Hurwitz



Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4-1 _______________________________________________________________________________



Bab 4: Analisis Sistem Kendali



EL303 Sistem Kendali



o PENDAHULUAN ♦ Langkah pertama analisis : penurunan model matematis sistem. ♦ Ada beberapa metoda analisis unjuk kerja sistem : − Analisis Kestabilan : Routh Hurwith, Root Locus, Bode Plot, Nyquist Plot. − Analisis Waktu Alih : spesifikasi koefisien redaman dan frekuensi natural. − Analisis Keadaan Tunak : Kosntanta tunak statik − Analisis Kepekaan ♦ Untuk memudahkan analisis, digunakan beberapa sinyal uji dengan fungsi waktu sederhana. ♦ Sinyal-Sinyal Pengujian : − fungsi step : ganguan yang muncul tiba-tiba − fungsi ramp : fungsi berubah bertahap terhadap waktu − fungsi percepatan − fungsi impuls : gangguan sesaat yang muncul tiba-tiba − fungsi sinusoidal : linearitas sistem ♦ Pemilihan sinyal uji harus mendekati bentuk input sistem pada kondisi kerjanya. ♦ Tanggapan waktu : − waktu alih : keadaan awal hingga keadaan akhir. − keadaan tunah : tanggapan pada waktu t → ∼ ♦ Kriteria Unjuk Kerja Sistem Kendali : ♦ Kestabilan mutlak : sistem stabil bila keluarannya dapat kembali ke nilai semula setelah ada gangguan. ♦ Kestabilan relatif (tanggapan waktu alih) : sistem harus cukup cepat tanggapannya terhadap perubahan masukan dan kembali ke keadaan mantapnya. ♦ Galat keadaan mantap : perbedaan antara keluaran dengan masukan yang menunjukkan ketelitian sistem. ♦ Kepekaan sistem terhadap perubahan karakteristik komponennya.



Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4-2 _______________________________________________________________________________



Bab 4: Analisis Sistem Kendali



EL303 Sistem Kendali



o ANALISIS WAKTU ALIH Fungsi alih sistem linear invarian waktu : Y ( s) X ( s)



G ( s) =



sehingga



Y ( s) = G ( s) X ( s)



Dalam domain waktu t



y ( t ) = ∫ x ( τ ) g ( t − τ ) dτ 0 t



= ∫ g( τ ) x ( t − τ ) dτ 0



dengan



g(t) = x(t) = 0 untuk t < 0



(kondisi mula = 0)



Tanggapan Impuls : X(s) = 1 Y(s) = G(s) atau y(t) = g(t) = fungsi tanggapan impuls.



Kesimpulan : • Informasi lengkap tentang karakteristik dinamis sistem dapat diperoleh dengan mengukur tanggapan sistem tersebut terhadap impuls. • Pembangkitan Impuls secara praktis dilakukan dengan membuat pulsa dengan lebar yang sangat sempit dibandingkan dengan konstanta waktu sistem.



memadai untuk t1 < 0,1 T



Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4-3 _______________________________________________________________________________



Bab 4: Analisis Sistem Kendali



EL303 Sistem Kendali



♦ Tanggapan Waktu Alih Sistem Orde –1



Fungsi alih :



C( s) 1 = R( s) Ts + 1



♦ untuk input unit step : R ( s) = C(s) =



T 1 1 T ⋅ = − Ts + 1 s s Ts + 1



1 s



(



)



sehingga c(t ) = 1 − e − t / T u(t )



• Untuk t = T : C(T) = 0,632 • Makin kecil T, makin cepat tanggapan sistem • Kemiringan kurva pada t = 0 :



dc 1 = dt T



• Galat lebih kecil 2 % dicapai pada t=4T • Bila Kurva log c(t ) − c(~) ≡ garis lurus, maka sistem orde-1 • Konstanta waktu T ditentukan dari c(T ) − c(~) = 0,368[ c(0) − c(~)]



Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4-4 _______________________________________________________________________________



Bab 4: Analisis Sistem Kendali



EL303 Sistem Kendali



♦ Untuk input unit ramp R (s) = C(s) =



1 s2



(



)



1 1 1 T T2 −t / T u(t ) ⋅ 2= 2− + sehingga c(t ) = t − T + Te Ts + 1 s s Ts + 1 s



Galat keadaan mantap : e(~)=T



♦ Untuk input unit Impuls : R(s) = 1 C ( s) =



1 Ts + 1



sehingga 1  C (t ) =  e − t / T  u (t ) T 



Sifat Penting Sistem Linear Invarian-Waktu : Fungsi Singular.



( ) Tanggapan unit step : C (t ) = (1 − e t / T )u(t ) (turunkan dari tanggapan unit ramp) Tanggapan unit ramp: C (t ) = t − T + Te −t / T u(t ) 1 T







Tanggapan unit impuls: C (t ) =  e − t / T  u(t ) (turunkan dari tanggapan unit step)  



Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4-5 _______________________________________________________________________________



Bab 4: Analisis Sistem Kendali



EL303 Sistem Kendali



♦ Tanggapan Waktu alih Sistem Orde-2 • Sistem Kendali Posisi



Error Detector : er = K 0 r



ec = K 0 c



dengan K0 = konstanta proporsionalitas arm detector Torsi motor : T = K2 i a dengan K2 = konstanta torsi motor ia = arus jangkar Rangkaian jangkar : La



dia dθ + Ra i a + K 3 = K1e dt dt



(1)



dengan K3 = konstanta back emf motor θ = sudut putaran poros motor Persamaan Torsi : (2)



dengan : J0 = momen inersi motor + beban + roda gigi terhadap poros motor b0 = koefisien gesekan motor + beban + roda gigi terhadap poros motor Dari (1) dan (2) diperoleh :



Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4-6 _______________________________________________________________________________



Bab 4: Analisis Sistem Kendali



EL303 Sistem Kendali



Output :



Dengan



Maka :



Mengingat La = kecil, maka diperoleh penjabaran sebagai berkut



Daya penyederhanaan diperoleh : G ( s) =



K 2



Js + Bs



Atau :



Definisikan : ω n = frekuensi natural tak teredam Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4-7 _______________________________________________________________________________



Bab 4: Analisis Sistem Kendali σ ζ



EL303 Sistem Kendali



= redaman (attenuation)



= faktor / koefisien redaman B B ζ= = Bc 2 JK



Diperoleh :



K = ω n2 J



dan



B = 2ζω n = 2σ J



Sehingga diperoleh bentuk umum fungsi alih orde-2 balikan satuan :



ω n2 C ( s) = R( s) s 2 + 2ζω n s + ω n2 Perilaku dinamis sistem orde-2 dapat dijelaskan melalui ζ dan ω n .



Tiga kasus tanggapan : 1. Teredam kurang 2. Teredam kritis 3. Teredam lebih



(0 < ζ < 1) (ζ = 1) (ζ > 1)



• Teredam kurang C ( s) ωn2 = R( s) ( s + ζωn + jωd )( s + ζωn + jωd )



dengan ωd = ωn 1 − ζ 2



= frekuensi natural teredam jωd



X



σ



− ξωn



Untuk input unit step :



X



− jωd



Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4-8 _______________________________________________________________________________



Bab 4: Analisis Sistem Kendali



C ( s) = =



EL303 Sistem Kendali



ωn2



( s2 + 2ζωns + ωn2 )s 1 s + ζωn ζωn − − 2 2 s ( s + ζω ) + ω ( s + ζωn )2 + ωd2 n d



sehingga 



c(t )



= 1 − e −ζωn t  cos ωd t  



= 1−



 + sin ωd t   2 1−ζ  ζ



 1 − ζ 2  sin  ωd t + tan −1  ζ  1−ζ2 



e−ζωn t



(t ≥ 0)



• Waktu setting tercepat bila 0,5 < ζ < 0,8 • sistem teredam kritis lebih cepat dari pada sistem dengan ζ > 1. • Sistem orde-2 dengan ζ sama dan ωn berbeda : bertanggapan sama untuk simpangan dan pola osilasi, disebut memiliki kestabilan relatif sama. • Sinyal galat : e( t ) = r ( t ) − c( t )



  ζ = e−ζω n t  cos ωd t + sin ωd t    1− ζ2  



( t ≥ 0)



untuk ζ = 0 : sistem berosilasi pada amplitudo tetap c( t ) = 1 − cos ωnt t≥0



Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4-9 _______________________________________________________________________________



Bab 4: Analisis Sistem Kendali



‚



EL303 Sistem Kendali



Teredam Kritis jω bid-s



σ − ωn



Respon unit step : C ( s) =



ωn2



( s + ωn )2 s



sehingga c( t ) = 1 − e −ω n t (1 + ωnt )



t≥0



Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 410 _______________________________________________________________________________



Bab 4: Analisis Sistem Kendali



EL303 Sistem Kendali



ƒ Teredam lebih jω



Letak pole-pole



bid-s



σ − s1 = − ζω n − ω n ζ 2 − 1



− s2 = − ζω n + ωn ζ 2 − 1



Respon unit step :



sehingga



dengan



s1 =  ζ + ζ 2 − 1 ω n s2 =  ζ − ζ 2 − 1 ω n



Bila s2 1, c(t ) =



ωn 2 ζ −1 2



e (ζ −



ζ 2 −1)



−



ωn 2 ζ −1 2



e −(ζ −



ζ 2 −1)ωn t



( t ≥ 0)



Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 417 _______________________________________________________________________________



Bab 4: Analisis Sistem Kendali



EL303 Sistem Kendali



Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 418 _______________________________________________________________________________