Bag 4 (Dasar Stiffness) PDF [PDF]

Citation preview

PRINSIP METODE KEKAKUAN q



2



L , EI



1



M1



Contoh problem : Balok 12 (jepit-sendi) : panjang L, modulus elastis E, inersia tampang I, beban-luar q ke bawah. Akan dihitung : perpindahan (pada joint), gayadalam elemen, dan reaksi tumpuan (R1, M1, R2) LANGKAH 1



θ2



R1



Prediksi ‘deformed shape’ (bentuk batang setelah deformasi) akibat beban-luar



R2



Y Node 1



Node 2



elemen



Z



θ2



X



Diskretisasi struktur → pemodelan sebagai sebuah elemen, dengan dua buah node (node-1 dan node-2).



Kinematic indeterminacy (d.o.f) → orde 1 , berupa rotasi lentur mengelilingi sumbu Z di node 2 (diberi notasi θ2). Besaran θ2 merupakan komponen perpindahan-bebas sbg. primary unknown yang akan dihitung dari sistem persamaan struktur.



Prinsip metode kekakuan (lanjutan) Langkah 2 : Struktur diubah menjadi struktur kinematistertentu (restrained structure, kedua node dijepit) dan dikerjakan gaya-luar kepadanya → disebut “struktur primer”



q (ke bawah)



M1,q



M2,q R1,q



R2,q



Akibat gaya-luar (q), pada kedua “tumpuan jepit” timbul reaksi : M1,q = 1/12 . q . L2 : berlawanan arah jarum jam M2,q = - 1/12 . q . L2 : searah jarum jam R1,q = ½ . q . L : ke atas R2,q = ½ . q . L : ke atas  Perhatikan arah gaya reaksi yang timbul (why ?) Asumsi penggunaan tanda POSITIF : Untuk gaya → bila searah sumbu utama Untuk momen → bila berlawanan arah jarum jam



Prinsip metode kekakuan (lanjutan) Langkah 3 : M2, θ



M1,θ



θ2 R1, θ



R2, θ



Dibentuk “struktur sekunder” → yaitu masing2 komponen perpindahan (dalam kasus ini hanya θ2 saja) dikerjakan pada restrained structure tanpa gaya-luar Artinya → pada node 2 dipaksa berotasi (kekangan rotasi dilepas) sebesar θ2 dengan arah positif, tentunya dengan “gaya” (aksi) M2,θ sebesar :  M2,θ = (4.E.I.θ2) / L



Akibat “aksi” M2,θ , maka akan timbul “reaksi2” :  R1,θ = 6.E.I.θ2 / L2



(arah ke atas)



 R2,θ = - 6.E.I.θ2 / L2 (arah ke bawah)  M1,θ = 2.E.I.θ2 / L



(berlawanan arah jarum jam)



Prinsip metode kekakuan (lanjutan)



Langkah 4 → Superposisi struktur primer dan sekunder : 



Prinsip keseimbangan gaya diterapkan pada setiap komponen perpindahan bebas sbg. primary unknown (lihat langkah 1).







dalam soal ini hanya pada komponen rotasi lentur di node 2 (yaitu θ2), menghasilkan persamaan sbb :



M2 = 0 M2,q + M2,θ = 0



Rotasi θ2 “selaras” dengan momen lentur M2 . Karena node-2 berupa tumpuan sendi → maka prinsip keseimbangan menyatakan  M2 = 0



- (1/12).q.L2 + 4.EI.θ2 / L = 0 Diperoleh primary unknown :



Persamaan ini dapat dipandang dalam bentuk :



θ2 = + (1/48).q.L3 / (EI)



(1/12).q.L2 = (4.EI / L) . θ2



(node-2 berotasi berlawanan arah jarum jam dengan nilai tsb)



{F} gaya



=



[K] kekakuan



{D} perpindahan



Prinsip metode kekakuan (lanjutan)



Langkah 5 : Nilai primary unknown yang telah diperoleh, yaitu θ2=(1/48).q.L3 / (EI), disubstitusikan ke dalam persamaan (langkah 2 dan langkah 3) : M1 = M1,q + M1,θ



 diperoleh



M1 = (1/8).q.L2



M2 = M2,q + M2,θ



 diperoleh



M2 = 0



R1 = R1,q + R1,θ



 diperoleh



R1 = (5/8).q.L



R2 = R2,q + R2, θ



 diperoleh



R2 = (3/8).q.L



Merupakan nilai2 akhir dari gaya-ujung elemen (pada node 1 dan 2)  digambarkan sebagai free body diagram Untuk mengetahui nilai2 gaya-dalam pada setiap posisi elemen, perlu digambarkan BMD dan SFD



Prinsip metode kekakuan (lanjutan)



(1/8).q.L2



Free body diagram



(5/8).q.L



Shearing Force Diagram (SFD)



(3/8).q.L



(5/8).q.L



(3/8).q.L x



Bending Moment Diagram (BMD)



BMD hasil analisis gaya ujung elemen



Momen negatif



(1/8).q.L2



+ L/2



BMD dari asumsi statis tertentu (simple beam)



Momen positif



(1/8).q.L2 = x BMD akhir (netto) Hasil superposisi



Momen positif maksimum (pada posisi SFD=0)



METODE KEKAKUAN LANGSUNG ( Direct Stiffness Method ) berorientasi pada program komputer 



Metode kekakuan (prinsip dasar) yang telah dibahas dikembangkan atas dasar superposisi gaya pada setiap koordinat degree of freedom. Cara pembentukan matriks dan proses solusi persamaannya tidak cocok diaplikasikan pada program komputer.







Dikembangkan dengan menambahkan beberapa teknik yang berorientasi pada program komputer → direct stiffness method







Dalam direct stiffness method, formulasi kekakuan batang secara lengkap berperan sangat penting dalam analisis.







Sebagai batasan/penyederhanaan, hanya ditinjau untuk kasus batang prismatis dan akibat pengaruh beban-luar.







(Kasus2 : batang non-prismatis, perubahan suhu, prategang, perpindahan tumpuan, dan pengaruh lain tidak dibahas dalam kuliah ini)



TAHAPAN DASAR dalam DIRECT STIFFNESS METHOD 1)



Identifikasi data struktural 



2)



Jumlah batang, jumlah node, jumlah degree of freedom (d.o.f), karakteristik bahan, data penampang



Pembentukan matriks kekakuan   



Matriks kekakuan merupakan “sifat bawaan” struktur Hanya didasarkan pada data struktural saja Matriks kekakuan meliputi 2 macam :  



3)



Matriks kekakuan batang (masing2 elemen struktur) Matriks kekakuan struktur (penjumlahan dari semua matriks kekakuan batang)



Identifikasi data beban-luar, dapat terdiri 2 jenis :  



4) 5)



Beban pada titik-simpul (joint load) Beban pada bentangan / batang (span load) → harus diubah menjadi equivalent joint load Pembentukan vektor beban → gabungan antara joint load dan equivalent joint load



Analisis berdasarkan persamaan : {Gaya} = [Kekakuan] {Perpindahan}   



Perpindahan titik-simpul (joint displacement) Gaya-ujung masing2 batang → gaya-dalam batang (internal forces) Reaksi tumpuan



MATRIKS KEKAKUAN BATANG LENGKAP



Kasus pada PORTAL RUANG (space frame) → 12 d.o.f. per batang y



Potongan lintang batang portal 11



5



y 2



8



J



I



1



4



7 3



6



A,E,G,I,J L



9 12



10



Sb. major



x



z Sb. minor



z Notasi :



Batang dengan 2 node → I = node awal , J = node akhir Sumbu kartesius x,y,z → sumbu lokal, sumbu x searah sumbu batang (dari I ke J) Jumlah d.o.f. ada 12 per batang, dengan urutan mengikat : d.o.f. 1 & 7 → translasi aksial searah sumbu x d.o.f. 2 & 8 → translasi lintang (major) searah sumbu y d.o.f. 3 & 9 → translasi lintang (minor) searah sumbu z d.o.f. 4 & 10 → rotasi torsi mengelilingi sumbu x d.o.f. 5 & 11 → rotasi lentur (minor) mengelilingi sumbu y d.o.f. 6 & 12 → rotasi lentur (major) mengelilingi sumbu z



PROSES PENENTUAN KOEFISIEN KEKAKUAN kmn Format matriks kekakuan elemen space frame (dalam sumbu lokal)



Nomor kolom (n) / index d.o.f.



[k] =



1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



12



k11



k12



k13



k14



k15



k16



k17



k18



k19



k1.10



k1.11



k1.12



1



k21



k22



k23



k24



k25



k26



k27



k28



k29



k2.10



k2.11



k2.12



2



k31



k32



k33



k34



k35



k36



k37



k38



k39



k3.10



k3.11



k3.12



3



k41



k42



k43



k44



k45



k46



k47



k48



k49



k4.10



k4.11



k4.12



4



k51



k52



k53



k54



k55



k56



k57



k58



k59



k5.10



k5.11



k5.12



5



k61



k62



k63



k64



k65



k66



k67



k68



k69



k6.10



k6.11



k6.12



6



k71



k72



k73



k74



k75



k76



k77



k78



k79



k7.10



k7.11



k7.12



7



k81



k82



k83



k84



k85



k86



k87



k88



k89



k8.10



k8.11



k8.12



8



k91



k92



k93



k94



k95



k96



k97



k98



k99



k9.10



k9.11



k9.12



9



k10.1



k10.2



k10.3



k10.4



k10.5



k10.6



k10.7



k10.8



k10.9



k10.10



k10.11



k10.12



10



k11.1



k11.2



k11.3



k11.4



k11.5



k11.6



k11.7



k11.8



k11.9



k11.10



k11.11



k11.12



11



k12.1



k12.2



k12.3



k12.4



k12.5



k12.6



k12.7



k12.8



k12.9



k12.10



k12.11



k12.12



12



Nomor baris (m) / index d.o.f.



PROSES PENENTUAN KOEFISIEN KEKAKUAN kmn [d.o.f. 1] : Node I diberi translasi dx = 1 satuan → menghasilkan komponen kolom ke-1 dari matriks [k] y



k11



k71



x



z



k11 = EAx / L k71 = - EAx / L km1 lainnya = 0



1



[d.o.f. 2] : Node I diberi translasi dy = 1 satuan → menghasilkan komponen kolom ke-2 dari matriks [k] y



k82



1



x



k62 z



k22



k12.2



k22 = 12.EIz / L3 k62 = 6.EIz / L2 k82 = - 12.EIz / L3 k12.2 = 6.EIz / L2 km2 lainnya = 0



PROSES PENENTUAN KOEFISIEN KEKAKUAN (lanjutan) [d.o.f. 3] : Node I diberi translasi dz = 1 satuan → menghasilkan komponen kolom ke-3 dari matriks [k] y



k53



k33 = 12.EIy / L3 k53 = - 6.EIy / L2 k93 = - 12.EIy / L3 k11.3 = - 6.EIy / L2 km3 lainnya = 0



k11.3 x



1



k93



k33



z



[d.o.f. 4] : Node I diberi rotasi puntir θx = 1 satuan → menghasilkan komponen kolom ke-4 dari matriks [k] 1



k44 z



y



k10.4



x



k44 = GJ / L K10.4 = - GJ / L km4 lainnya = 0



PROSES PENENTUAN KOEFISIEN KEKAKUAN (lanjutan) [d.o.f. 5] : Node I diberi rotasi lentur θy = 1 satuan → menghasilkan komponen kolom ke-5 dari matriks [k] y



k55 = 4.EIy / L k35 = - 6.EIy / L2 k95 = 6.EIy / L2 k11.5 = 2.EIy / L km5 lainnya = 0



k11.5



k55



x



k35 z



k95



1



[d.o.f. 6] : Node I diberi rotasi lentur θz = 1 satuan → menghasilkan komponen kolom ke-6 dari matriks [k] 1



y



k86



k26



x z



k66



K12.6



k66 = 4.EIz / L k26 = 6.EIz / L2 k86 = - 6.EIz / L2 k12.6 = 2.EIz / L km6 lainnya = 0



Selanjutnya, dengan cara yang sama dilakukan 6 langkah tersebut pada node J



Hasil MATRIKS KEKAKUAN ELEMEN SPACE FRAME dalam sumbu lokal (sumbu elemen)



[k] = 1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



12



EAx/L



0



0



0



0



0



-EAx/L



0



0



0



0



0



0



12EIz/L3



0



0



0



6EIz/L2



0



-12EIz/L3



0



0



0



6EIz/L2



0



0



12EIy/L3



0



-6EIy/L2



0



0



0



-12EIy/L3



0



-6EIy/L2



0



0



0



0



GJ/L



0



0



0



0



0



-GJ/L



0



0



4



0



0



-6EIy/L2



0



4EIy/L



0



0



0



6EIy/L2



0



2EIy/L



0



5



0



6EIz/L2



0



0



0



4EIz/L



0



-6EIz/L2



0



0



0



2EIz/L



6



-EAx/L



0



0



0



0



0



EAx/L



0



0



0



0



0



7



0



-12EIz/L3



0



0



0



-6EIz/L2



0



12EIz/L3



0



0



0



-6EIz/L2



8



0



0



-12EIy/L3



0



6EIy/L2



0



0



0



12EIy/L3



0



6EIy/L



0



9



0



0



0



-GJ/L



0



0



0



0



0



GJ/L



0



0



0



0



-6EIy/L2



0



2EIy/L



0



0



0



6EIy/L2



0



4EIy/L



0



0



6EIz/L2



0



0



0



2EIz/L



0



-6EIz/L2



0



0



0



4EIz/L



1 2 3



10 11 12



Keterangan tentang matriks kekakuan 



Matriks bersifat simetri (terhadap diagonal utama)







Koefisien pada diagonal utama selalu bernilai positif







Matriks kekakuan elemen space frame merupakan bentuk matriks kekakuan paling lengkap bagi jenis struktur rangka







Matriks kekakuan jenis struktur rangka lainnya (yang lebih sederhana) dapat disusun dengan cara mereduksi komponen baris / kolom sesuai indeks d.o.f. yang direduksi







Notasi :      



E = modulus elastis G = modulus geser A = luas irisan lintang I = inersia tampang lintang J = konstanta torsi tampang lintang L = panjang elemen



Contoh reduksi menjadi Matriks Kekakuan Elemen Plane Frame (misal kasus frame pada bidang XY) dalam sumbu lokal



[k] =



1



2



6



7



8



12



EAx/L



0



0



-EAx/L



0



0



1



0



12EIz/L3



6EIz/L2



0



-12EIz/L3



6EIz/L2



2



0



6EIz/L2



4EIz/L



0



-6EIz/L2



2EIz/L



6



-EAx/L



0



0



EAx/L



0



0



7



0



-12EIz/L3



-6EIz/L2



0



12EIz/L3



-6EIz/L2



8



0



6EIz/L2



2EIz/L



0



-6EIz/L2



4EIz/L



12



y Bidang XY



8



2 1



7 6



z



y x



A,E



x



12 L



z



Contoh reduksi menjadi Matriks Kekakuan Elemen Beam tanpa deformasi aksial (misal pada bidang XY)



[k] =



2



6



8



12



12EIz/L3



6EIz/L2



-12EIz/L3



6EIz/L2



2



6EIz/L2



4EIz/L



-6EIz/L2



2EIz/L



6



-12EIz/L3



-6EIz/L2



12EIz/L3



-6EIz/L2



8



6EIz/L2



2EIz/L



-6EIz/L2



4EIz/L



12



y Bidang XY



8



2 6 z



y x



A,E



x



12 L



z



Contoh reduksi menjadi Matriks Kekakuan Elemen Plane Truss (misal kasus truss pada bidang XY) dalam sumbu lokal



[k] =



1



7



EAx / L



-EAx / L



1



-EAx / L



EAx / L



7



y



Bidang XY



y 1



7 A,E



z



L



x



x z



Contoh reduksi menjadi Matriks Kekakuan Elemen Grid (misal kasus grid pada bidang XZ) dalam sumbu lokal 2



4



6



8



10



12



12EIz/L3



0



6EIz/L2



-12EIz/L3



0



6EIz/L2



2



0



GJ/L



0



0



-GJ/L



0



4



6EIz/L2



0



4EIz/L



-6EIz/L2



0



2EIz/L



6



-12EIz/L3



0



-6EIz/L2



12EIz/L3



0



-6EIz/L2



8



0



-GJ/L



0



0



GJ/L



0



10



6EIz/L2



0



2EIz/L



-6EIz/L2



0



4EIz/L



12



[k] =



y 10



4 6 z



y



8



2 A,E,G,I,J L



12



x



x z



Bidang XZ