Bagi 'Mekanika Bahan Jilid 1.PDF' [PDF]

Citation preview

GEFIE



&



TIMDSHENKD



MEKANIKA E3AHA N _11LICJ 1



ECJISI



KEEMPAT



EDISI KE-4



MEKANIKA BAHAN JILID 1



JAMES M. GERE Profesor Emeritus Stanford University



STEPHEN P. TIMOSHENKO Mantan Dosen Stanford University



�



PENERRIT ERL4NGGA



Jl. H. Baping Raya No. 100 Ciracas, Jakarta 1 3740 e-mail: [email protected] (Anggota I KAPI)



(1878-1972)



DAFTAR ISI Pengantar ix Simbol xm Huruf Yunani xvi TARIK TEKAN DAN GESER



1 .1 1 .2 1 .3 1 .4 1 .5 1 .6 1 .7 1 .8



1



Pengantar Tegangan dan Regangan Normal 3 Besaran Mekanis Bahan 9 Elastisitas, Plastisitas, dan Rangkak 18 Elastisitas Linier, hukum Hooke, dan Rasio Poisson Tegangan dan Regangan Geser 26 Tegangan Izin dan Beban Izin 35 Desain untuk Beban Aksial dan Geser Langsung Soal-soal



20



40



44



ELEMEN STRU KTUR YANG DIBEBANI SECARA AKS IA L



2.1 2.2



Pengantar 60 Perubahan Panjang pada Elemen Struktur yang Dibebani Secara Aksial 61 2.3 Perubahan Panjang Batang yang Tidak Seragam 68 2.4 Struktur Statis Tak Tentu 74 2.5 Efek Termal 84 2.6 Tegangan pada Potongan Miring 91 2.7 Energi Regangan 1 00 *2.8 Beban Kejut 1 11 *2.9 Beban Berulang dan Fatik 120 *2.1 0 Konsentrasi Tegangan 1 23 *2.1 1 Perilaku Nonlinier 1 28 *2.1 2 Analisis Elastoplastis 134 Soa/-soal



*Asterik menandai bagian opsional



138



60



vi



Daftar /si



TORSI



167



3.1



Pengantar 1 67 Deformasi Torsional Batang Lingkaran 1 68 Batang Lingkaran dari Bahan yang Elastis Linier 171 Torsi Tak Seragam 1 80 3.5 Tegangan dan Regangan pacta Geser Murni 1 86 3.6 Hubungan antara Modulus Elastisitas E dan G 1 92 3.7 Penyaluran Daya oleh Batang Lingkaran 193 3.8 Elemen Struktur Torsional Statis Tak Tentu 197 3.9 Energi Regangan pacta Kondisi Torsi dan Geser Murni 200 3.1 0 Tabung Berdinding Tipis 207 *3.1 1 Konsentrasi Tegangan dalam Keadaaan Torsi 214 *3.1 2 Torsi Nonlinear pacta Batang Lingkaran 216 3.2 3.3 3.4



Soal-soal



220



GAYA GESER DAN MOMEN LENTUR



4.1 4.2 4.3 4.4 4.5



236 Pengantar Jenis-jenis Balok, Beban, dan Reaksi 236 Gaya Geser dan Momen Lentur 240 Hubungan antara Beban, Gaya Geser, dan Momen Lentur Diagram Gaya Geser dan Momen Lentur 250 So a l-so al



5



I



236



258



TEGANGAN Dl BALOK (TOPIK DASA R)



5.1 5.2 5.3 5.5 5.4 5.6 5.7



266



Pengantar 266 Lentur Mu rni dan Lentur Tak Seragam 267 Kelengkungan Balok 267 Tegangan Normal di Balok (Bahan Elastis Linier) Regangan Longitudinal di Balok Lentur269 Desain Balok terhadap Tegangan 281



272



Balok Nonprismatis 288 Tegangan Geser di Balok dengan Penampang Persegi Panjang 5.9 Tegangan Geser di Balok dengan Penampang Lingkaran 5.1 0 Tegangan Geser di Badan Ba1ok yang mempunyai Flens 5.1 1 Balok Tersusun dan Aliran Geser 306 5.1 2 Balok dengan Beban Aksial 309 5.1 3 Konsentrasi 315 Soal-soal Tegangan 317pacta Kondisi Lentur 5.8



I



TEGANGAN Dl BALOK (TOPIK LANJUT) 340



6.1 6.2 6.3 6.4 6.5



246



Pendahuluan 340 Balok Komposit 340 348 Metode Penampang Tertransformasi Balok Simetris Ganda dengan Beban Miring Lentur pacta Balok Tak Simetris 358



352



29 1 300 30 I



Mekanika Bahan 6.6 6.7 6.8 6.9 6.1 0



Konsep Pusat Geser 365 Tegangan Geser di Balok dengan Penampang Terbuka di Dinding Tipis 367 Pusat Penampang Terbuka 373 LenturGeser Elastoplastis 380 Berdinding Tipis Lentur Nonlinier Soal-soal



388 395



R eferensi dan Catatan Sejarah



410



Lampiran A Sistem dan Faktor Konversi A.1 A.2 A.3 A.4 A.5



Sistem Satuan 418 Satuan SI 419 Satuan Umum Amerika Serikat Satuan Temperatur 427 Konversi anta�;a Satuan 42 8



B.2 B.3 B.4 B.5



418



425



Lampiran B Pemecahan Soal B .1



431



Jenis Soal 431 Langkah-l angkah Pemecahan Soal Homogenitas Dimensional 433 Angka Penting 434 Pembulatan Bilangan 436



432



Lampiran C Rumus-rumus Matematika Lampiran D



Besaran Luas Bidang



441



Lampiran E



Besaran Profil Baja Struktural



Lampiran F



Besaran Kayu Struktural



453



Lampiran G Defleksi dan Kemiringan Balok Lampiran H



Besaran Bahan



Jawab Soal



•f



vii



465



460



454



PENGANTAR



Dengan mengambil mata kuliah mekanika bahan, mahasiswa mempelajari topik teknik dasar sekaligus juga mengembangkan kemampuan analitis dan pemecahan masalah. Selama persiapan Edisi Keempat ini, penulis selalu mengingat tuj uan-tujuan tersebut. Fakta-fakta dan teori-teori mekanika disaj ikan sedemikian rupa sehingga mudah dalam proses belajar mengajar, dengan pembahasan yang mendalam dan contoh yang banyak, supaya mahasiswa dapat segera menguasai suatu pokok bahasan. Selain itu, penekanan diberikan pada bagaimana menganalisis sistem mekanis dan struktural, dan banyak soal yang mengharuskan mahasiswa melakukan pemikiran orisinal. Buku ini meliputi semua topik dasar mengenai mekanika bahan, yang disajikan pada level yang cocok untuk mahasiswa teknik tingkat dua dan tiga. Topik-topik utama adalah analisis dan desain elemen struktural yang mengalami tarik, tekan, torsi, dan lentur, termasuk konsep-konsep dasar seperti tegangan, regangan, perilaku elastis, perilaku inelastis, dan energi regangan. Topik-topik lain yang menarik adalah transformasi tegangan dan regangan, pembebanan gabungan, konsentrasi tegangan, defleksi balok, dan stabilitas kolom. Topik-topik yang lebih khusus adalah efek termal, pembebanan dinamis, elemen nonprismatis, balok dua bahan, pusat geser, bej ana tekan, dan balok statis tak tentu. Untuk kelengkapan dan ruj ukan kerja, topik-topik dasar seperti gaya geser, momen lentur, pusat berat, dan momen inersia juga disajikan di dalam buku ini. Buku ini membahas materi yang jauh lebih banyak daripada yang dapat dibahas dalam satu mata kuliah sehingga dosen mempu nyai kesempatan untuk memilih topik yang menurutnya paling mendasar dan relevan. Topik-topik lanj ut di dalam suatu subbab diberi kode bintang (*). Dosen juga dapat memanfaatkan ratusan soal baru (dengan total lebih dari 1100 soal) yang tersedia sebagai pekerjaan rumah dan diskusi ke\as. Soa\- soal diletakkan di akhir setiap bab agar mudah dicari dan tidak menyela penyajian suatu bab. (Soal yang sangat sulit atau panjang diberi kode satu atau lebih tanda bintang di dekat nomor soal.) Baik Sistem Satuan lntemasional (SI) atau U.S. Customary System (USCS) digunakan dalam contoh-contoh dan soa\-soal numerik.



Mekanika Bahan



ix



Pembahasan tentang kedua sistem dan tabel faktor konversi diberikan dalam lampiran. Untuk soal-soal dengan solusi numerik, soal bernomor ganjil menggunakan satuan dan soal bernomor genap uses menggunakan satuan SI. Satu-satunya pengecualian adalah pada soal dan contoh yang melibatkan tabel besaran untuk profil baja strnktural karena tabel untuk profil ini hanya tersedia dalam satuan Jawaban soal dicantumkan di bagian belakang bukuuses. ini, sehingga mahasiswa dapat memeriksa hasil pekerjaannya. Rujukan dan catatan sejarah juga dikumpulkan di bagian belakang buku ini. Rujukan dan catatan ini terdiri atas sumber asli pokok bahasan dan catatan biografis mengenai insinyu r, ilmuwan, dan matematikawan pelopor yang menemukan pokok bahasan mekanika bahan. Indeks nama yang terpisah akan mempermudah pencarian masing-masing tokoh sejarah ini. Buku ini dirampungkan dengan indeks subjek yang dipersiapkan secara ekstensif dan hati-hati sehingga setiap topik, konsep, kata kunci, atau definisi dapat ditemukan dengan cepat. Edisi Keempat dari Mekanika Bahan ini telah ditulis ulang secara hati-hati dengan diskusi yang diperluas, tokoh-tokoh barn, contohcontoh dan soal-soal barn, serta banyak pernbahan dalam pengaturannya agar buku ini lebih berguna di dalam ruangan kelas. Semua pernbahan dalam pengaturan dan penyajian ini diajukan oleh para dosen dan mahasiswa yang telah mengenal baik Edisi Ketiga. Usaha yang keras telah dilakukan dalam memeriksa dan membaca ulang teks agar dapat menghilangkan kesalahan, namun apabila pembaca menemukannya, betapapun kecilnya, beritahulah penulis di Department of Civil Engineering, Stanford University, Stanford, California 94305- 4020, U.S .A. (email [email protected]), atau kontaklah penerbit (semua surat akan dibalas).



• Penghargaan



Edisi pertama buku ini, diterbitkan pada tahun 1972 dan ditulis o1eh penulis sekarang, mernpakan pengembangan dari buku terdahulu yang disusun oleh Profesor Stephen P. Timoshenko ( 1878-1972), yang menggunakan judul Strength of Materials. Timoshenko adalah perintis yang paling dihormati dalam bidang mekanika terapan. Melalui penelitian dan buku- bukunya, ia merevolusi cara pengajaran mekanika, bukan hanya di Amerika Serikat melainkaQ juga di selurnh dunia. (Pembaca dapat menemukan biografi ringkas dari Timoshenko di dalam rnjukan pertama di bagian belakang buku ini.) Penulis menyadari bahwa untuk menyampaikan penghargaan kepada semua orang yang berkontribusi dalam penyusunan buku ini adalah sesuatu yang tidak mungkin. Penulis hanya bisa menyampaikan penghargaan kepada mantan dosen Stanford penulis, termasuk raksasa-raksasa mekanika, Wilhelm Fliigge, James Norman Goodier, Mikl6s Hetenyi, Nicholas J. Hoff, dan Donovan H. Young. Penulis juga menghargai kolega Stanford- khususnya Tom Kane, Anne Kiremidjian, Helmut Krawinkler, Kincho Law, Peter Pinsky, Haresh Shah, Sheri Sheppard, Allison Smith, dan almarhum Bill Weaver-yang telah membahas filosofi pendidikan dan mekanika dengan penulis pada banyak kesempatan. Selain itu, banyak



X



Pengantar



komentar dan ide yang berguna yang disumbangkan oleh Thalia Anagnos dari San Jose State University, Jo hn Burgess dari University of Hawaii , dan Aron Zaslavsky dari Technion. Penelaah berikut ini telah membaca kesel uruhan Edisi Keempat dalam bentuk konsep dan telah memberikan baik komentar umum mau pun khusus untuk perubahan dan perbaikan. Saran-saran mereka terbukti sangat berguna, dan penulis sangat menghargai telaahan dan ke telitian mereka. Terima kasih pe nulis sampaikan kepada: Maj id R. Chitsaz dari Pennsylvania State U niversity; Robert D. Cook dari Uniwrsi t;. of WisconsinMadison; Janak Dave dari University of Cincinnati; Sergey Drabkin dari Polytechnic U niversity of New York; Raghu Echempati dari Cni\'ersity of Mississippi ; Harvey Lipkin dari Georgia Institute of Technolog;.: Douglas Nims dari University of Toledo; Douglas B. Rigby dari Hong Kong University of S cience adn Technology; dan P.D. S carlatos dari Florida Atlantic U niversity. Selain itu, penelaah berikut ini telah memberikan komentar terhadap Edisi Ketiga dalam telaah sebelum perbaikan. Saran-saran mereka s angat menentukan dalam pe mbe ntukan Ed isi Keempat, dan pen ul is sangat menghargai ide-ide mereka. Terima kasih penulis sampaikan kepada: Hojj at Adeli dari Ohio State University; Kevyan Ahdut dari Uni\ ers ity of the District of Colu mbia; John B. Brunski dan Robert H. P. Dunn, keduanya dari Rensselaer Polytechnic Institute; Ted A. Conway dari University of Akron; Xiao min Deng dari U ni v er si ty of So uth Carolina; Arya Ebrahimpour dari Pennsylvania S tate Universi ty; M. Elgaaly dan Anisur Rahman, keduanya dari Drexel University; Ahmed lbrahim dari S tate University of New York at Farmi ngdal e: Norman F. Kn ig ht dan Ramamurthy Prabhakaran, keduanya dari Old Dominion University; Gladius Lewis dari University of Memphis. Zhong Ming Liang dari Purdue Uni versi ty; E.L. Parker dari Valley Forge Mil itary Colege; Edwin Powers dari Catonsv ille Community College: Charles Rondeau dari Jamestown Community Col lege; Michael Schwartz dari University of St. Tho mas; Sheri S he ppard dari S tanford; R. S ierakowski dari Ohio S tate Un iversity; L.T.D. Topoleski dari University of Mary land at Bal timore; Morteza Torkamani dari University of Pittsburgh, dan Manoochehr Zoghi dari University of Dayton. Pen ulis dibantu dalam pengolahan kata ( word processing) dan persiapan naskah, pembacaan ulang oleh Due Wong, yang telah bekerja dengan perhatian dan ketelitian penuh. Selain i tu, mahasiswa pascasarjana berikut ini telah memberikan bantuan keahliannya dalam membaca ulang dan menyiapkan solusi soal: Yih-Lin S helley Cheng, K ris ta Marie Donaldson, Denise M. Fennell, Jamie Hsieh, Peter I. Huang, Chao-Hua ( Eric) Lin, Angela Chia-Lin Teng, dan May Min-Chiao Wong. Penyuntingan dan produksi di laksanakan secara trampil dan efisien oleh s taf PWS Publishing Company, termas uk Jonathan Plant, Mary Thomas Stone, dan Helen M. Walden. Penulis se cara khusus berterima kasih pada Mary Thomas Stone, yang merupakan penyunting untuk buku ini dan memberikan komentar, pandangan, dan bantuan yang jauh melebihi yang penulis duga. Semangat bekerja sama dan bersahabat yang di tunj ukkan oleh semuanya di PWS menjadikan pekerjaan i ni suatu kebahagiaan . Akhirnya, penulis sangat menghargai kesabaran dan dorongan yang diberikan oleh keluarga penulis, khususnya istri penulis, Jani ce, di seluruh proyek ini.



Mekanika Bahan



xi



Kepada masing-masing orang baik ini, penulis dengan gembira menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya. James 1\1. Gere



• Alat Bantu Tambahan Edisi Keempat menyertakan juga disket 3.5" yang mengandung program komputer yang berguna dan mudah-Mathcad™ Engine 5.0 for Windows©-dan sekumpulan lembar kerja untuk memecahkan soal-soal mekanika bahan. Lembar kerja tersebut diperiksa silang terhadap contohcontoh dan soal-soal teks yang sesuai dengan ikon bergambar disket. Ikon ini menunjukkan jenis soal atau contoh yang sesuai dengan Jembar kerja tersebut. Semua soal dan contoh di dalam teks dimaksu dkan untuk dipecahkan sesuai pilihan dosen dan mahasiswa dan tidak di desain untuk perangkat hitung tertentu. Juga tersedia paket baru yang unik berupa buku kerja dan CD-ROM,



Visual Mechanics. Dikembangkan di University of Washington oleh Oregory R. Miller dan Stephen C. Cooper, paket ini terdiri atas CD-ROM dengan dua program (disebut Dr. Beam dan Dr. Stress), dan sebuah buku pegangan dengan lembar kelja, latihan, dan contoh-contoh, yang terpusat pada lentur balok dan analisis kondisi tegangan. Perangkat lunak dan bahan instruksional pendukungnya memberikan mahasiswa laboratorium virtual yang mudah dipakai untuk memvisualisasikan perilaku balok, memahami model matematika, dan mengeksplorasi teori mekanika bahan dan metode desain. Kedua alat bantu yang di dasarkan atas perangkat lunak ini ditujukan sebagai pelengkap; buku teks ini dapat digunakan dengan efektif secara tersendiri. Instructor's Solution Manual dengan solusi lengkap untuk semua soal tersedia untuk pengguna buku ini. PWS Publishing Company



SIMBOL



A A ,. Aw a,



b,



Luas/area/daerah Luas sayap (jlens) Luas badan (web)



c



Dimensi (ukuran), jarak



c



Pusat berat (centroid), konstanta integral, gaya tekan



c



Jarak dari su mbu netral ke permukaan luar balok



D



D iameter



d



Diameter, dimensi , ukuran jarak (distance)



E



Modu lus elastisitas



E,



Modulus elastisitas reduksi



E,



Modulu s elastisitas tangensial



e



Eksentrisitas, dimensi (ukuran), jarak, perubahan volume satuan ( dilatasi)



F



Gaya



f



Aliran geser, faktor bentuk untuk lentur p lastis, tleksibi litas, frekuensi (Hz) Fleksibilitas torsional batang



fr G



Modu lus elastisitas dalm kondi si geser



g



Percepatan gravitasi



H



Tinggi, jarak, gaya, reaksi , tenaga kuda



h



Ti nggi, dimensi (ukuran) Momen inersia (atau momen kedua) dari sebuah luas bi dang



l,, /v' /:



/



o a



Rh Sigma



V



Ta Upsilo



r



u



I K



Iota Kappa A



A-



Lambda M J1 Mu



cp X IJ' Q



If/ Q)



n Phi Chi Psi Omega



1 TARIK, TEKAN, DAN GESER



PENGANTAR MEKANI KA BAHAN Mekanika bahan actalah cabang dari mekanika terapan yang membahas perilaku bencta pactat yang mengalami berbagai pembebanan. Nama-nama lain untuk bictang ilmu ini actalah kekuatan bahan ctan mekanika benda yang dapat berdeformasi. Bencta pactat yang ctitinjau ctalam buku ini meliputi batang (bars) ctengan beban aksial, poros (shafts) yang mengalami torsi, balok (beams) yang mengalami lentur, ctan kolom (columns) yang mengalami tekan. Tujuan utama mekanika bahan actalah untuk menentukan tegangan (stress), regangan (strain) ctan peralihan (displacement) pada struktur ctan komponen-komponennya akibat beban-beban yang bekerja pactanya. Apabila kita ctapat memperoleh besaran-besaran ini untuk semua harga beban hingga mencapai beban yang menyebabkan kegagalan, maka kita akan ctapat mempunyai gambaran lengkap mengenai perilaku mekanis pacta struktur tersebut. Pemahaman perilaku mekanis sangat penting untuk ctesain yang aman bagi semua jenis struktur, baik i tu berupa pesawat terbang ctan antena, gectung ctan jembatan, mesin ctan motor, maupun kapal laut dan pesawat luar angkasa. ltulah sebabnya mekanika bahan actalah materi ctasar pacta begitu banyak cabang ilmu teknik. Statika ctan ctinamika juga penting, tetapi keduanya terutama membahas gaya ctan gerak yang berkaitan ctengan partikel ctan bencta tegar. Dalam mekanika bahan kita melangkah lebih jauh dengan mempelajari tegangan ctan regangan cti ctalam bencta nyata, yaitu bencta ctengan ctimensi terbatas yang bercteformasi akibat pembebanan. Untuk menentukan tegangan ctan regangan, kita menggunakan besaran-besaran fisik material selain juga berbagai aturan ctan konsep teoretis. Analisis teoretis ctan basil eksperimen mempunyai peranan yang sama p entingnya cti ctalam mekanika bahan. Seringkali kita m enggunakan teori untuk menurunkan rumus ctan persamaan untuk memprectiksi perilaku mekanis, tetapi semua ini tictak ctapat ctigunakan ctalam desain praktis kecuali apabila besaran fisik ctari material diketahui. Besaran seperti ini hanya ctapat diperoleh ctari basil eksperimen yang cermat cti laboratorium. Lebih jauh lagi, banyak masalah praktis yang tictak ctapat ctiterangkan ctengan analisis teoretis saja, dan ctalam kasus seperti ini pengujian fisik merupakan keharusan.



2



Bab 1 Tarik. Tekan. dan Geser



Riwayat perkembangan mekan ika bahan merupakan kombinasi yang menarik antara teori dan eksperimen-teori telah menunj ukkan jalan ke hasil eksperimen yang berguna, begitu pula sebaliknya. Orang-o rang terkenal sepe rti Leonardo da Yinci ( 1452 - 1 5 19) dan Galileo Galilei ( 1564 - 1642) telah melakukan eksperimen untuk menentukan kekuatan kawat, batang, dan balok, meskipun mereka tidak menge mbangkan teori yang me madai ( berdasarkan standar masa kini) un tuk menjelaskan hasil penguj ian mereka. Sebaliknya, matematikawan temama Leonhard Euler



(1707- 1783) mengembangkan teori mate matis tentang kolom (column) dan menghitung beban kritis sebuah kolom pada tahun 17-+4. jauh sebelum adanya bu kti eksperimental untuk memperlihatkan sign ifikan si hasilnya. Tanpa adanya pengujian yang memadai untuk mendukung hasilnya, teori Euler sempat tidak digunakan selama lebih dari I 00 tahun . sekalipun saat ini teori te rsebut me rupakan dasar untuk desain dan analisis hampir semua kolom.· Dalam mempelajari mekanika bahan, pembaca akan mendapatkan bahwa usaha yang dibutuhkan terbagi atas dua bagian. yaitu: pertama, memahami pengembangan logis konsep-konsepnya, dan kedua. menerapkan konsep-konsep tersebut ke dalam si tuasi praktis. Bagian pe rtama tercapai dengan mempelajari penurunan rumus, pe mbahasan dan contohcontoh yang ada di setiap bab sedangkan bagian kedua te rcapai dengan memecahkan soal-soal di akhir setiap bab. Beberapa soal mengg unakan angka (numerik) dan lainnya mengg unakan simbol (aljabar). Keuntungan dari soal numerik adalah bahwa semua besarannya terlihat jelas di setiap tahap perhitungan sehingga memberikan kesempatan untuk men ilai apakah harga n umerik te rsebut masuk aka! atau tidak. Ke untungan utama dari soal simbolik adalah bah wa hasilnya be rupa rumus yang serba guna. S uatu rumus menunj ukkan variabe l-variabel yang mempengaruhi hasil akhir; sebagai contoh, kadang-kadang suatu besaran tidak muncul di dalam solusi, suatu fakta yang tidak terlihat jelas dalam solusi numerik. Selain itu, solusi alj abar menunj ukkan bagaimana masing-masing variabel mempengaruhi hasil, seperti ketika satu variabel muncul di pembilang dan variabel lain muncul di penyebut. Lebih jauh lagi, solusi s imbolik membe rikan kesempatan untuk mengecek dimensi pada setiap tahap perhitungan. Akhirnya, alasan paling penting unt uk memecahkan secara aljabar adalah untuk mendapatkan rumus umum yang dapat digunakan pada be rbagai soal yang berbeda. Sebaliknya, solusi numerik hanya berlaku pada satu set kondisi. Karena seorang insinyur harus terbiasa dengan kedua jenis solusi tersebut, maka di dalam buku ini disajikan perpaduan antara soal numerik dan soal simbolik. Soal-soal numerik mengharuskan pembaca bekerja dengan satuan pengukuran yang khusus. Agar sesuai dengan kondisi di dalam praktek, bu ku ini menggunakan Sistem Internasional (SI) dan Sistem U mum Amerika Se rikat (USCS). Pembahasan mengenai kedua sistem ini diberikan dalam Lampiran A yang meliputi banyak tabel yang berguna termasuk tabel faktor konversi. Semua soal terdapat di akhir setiap bab, dengan nomor soal yang menunjukkan subbab asal soal-soal tersebut. Untuk soal-soal yang membutuhkan solusi numerik, soal yang bemomor ganj il mempunyai satuan USCS dan soal yang be rnomor genap mempunyai satuan S I. Satu-satuny di batang tcr ·ebut dengan rnemperh i t u n gk a n b 'r.ll �cndiri batang tersebut. (b) Hitunglah tegangan maksimum j t kn L = 40 1 0 , t1 mm, dan W = 1,5 kN. =



Mekanika Bahan



9



Solusi



(a) Gaya aksial maksimum F'""*' di batang terjadi di ujung alas dan sama dengan berat W ditambah berat dari W0 batang itu sendiri. Berat sendiri batang sama dengan berat jenis y baja dikalikan volume batang V, atau



% = y\1= yAL



dengan A adalah luas penampang batang. Dengan demikian, rumus untuk tegangan a



d - .. -



F = maks W + yAL =



maks



=



W



+



( 1 -5) ..



maksimum (dari Persamaan 1-1) menjadi A maksimum, A A (b) Untuk menghitung tegangan k.ita masukkan harga-harga numerik dengan 8 mm, dandiberatjenis baja y= 77,0 k.N/m (dari Tabel 1 di Lampiran ruP/4, ke dalamd = persamaan atas. Luas penampang me lintang samaHdengan 3 H). Jadi



G ambar



(77,0 k.N/m )(40 m)



1-6 Contoh l -2. Batang



1 • 5 kN n-(8 mm)2 /4



bulat dari baja yang memikul beban w. =



3



+



I



29,84 MPa + 3. 1 MPa = 33,0 MPa



..



Di dalam contoh ini, berat batang berkontribusi secara signifikan terhadap tegangan maksimum dan sebaiknya tidak diabaikan.



BESARAN MEKANIS BAHAN



Untuk mendesain mesin dan struktur agar keduanya berfungsi secara me­ madai kita harus memahami perilaku mekanis dari material (bahan) yang digunakan. Biasanya, satu-satunya cara untuk menentukan bagaimana suatu bahan berperilaku apabila mengalami pembebanan adalah dengan melakukan eksperimen di laboratorium. Prosedur yang biasa a�alah dengan meletakkan benda uji kecil dari material tersebut pacta mesin penguji, menerapkan beban, dan selanj utnya mengukur deformasinya (seperti misalnya perubahan panjang dan perubahan diameter). Hampir semua laboratorium pengujian bahan diperlengkapi dengan mesin-mesin yang mampu membebani benda uji dengan berbagai cara, termasuk pembebanan statik dan dinamik, baik tarik maupun tekan. Mcsin uji tarik tipikal ditunjukkan dalam Gambar 1-7. Benda uji dipasang di antara kedua penjepit besar dari mesin uji dan selanj utnya dibebani tarik. Alat pengukur akan mencatat deformasi, sementara sistem kontrol otomatis serta pengolah data (di kiri foto) membuat tabel dan grafik dari hasil pengujian. Foto yang lebih detail dari benda uji tarik ditunjukkan dalam Gambar 1 -8. Ujung benda uji bundar mempunyai penampang yang lebih besar di dekat penjepit agar kegagalan tidak akan terjadi di dekat penjepit. Suatu kegagalan di ujung tidak dapat menghasilkan informasi yang diharapkan tentang bahan karena distribusi tegangan di dekat penjepit tidak terbagi rata sebagaimana telah dibahas dalam Subbab Pacta benda uji yang didesain dengan baik, kegagalan akan terjadi di 1 .2. bagian prismatis dari benda uji di mana distribusi tegangan terbagi rata dan batang tersebut



10



Bab 1 Tarik, Tekan, dan Geser



Gambar 1 ·7 Mesin uji tarik dengan sistem pengolahan data (Atas izin MTS System Corpora- tion)



hanya mengalami tarik murni. Situasi ini ditunj ukkan dalam Gambar 1-8, di mana benda uji baja baru saja terputus akibat dibebani. Alat di kiri, yang dihubu ngkan oleh dua buah lengan ke benda uji, adalah extensom- cter untuk mengukur perpanjangan selama pembebanan. Agar hasil pengujian dapat dibandingkan, maka dimensi benda uji dan metode penerapan beban telah distandarisasi. Organisasi pembuat standar yang paling utama adalah American Society for Testing and Ma- terials (ASTM), suatu badan teknis nasional yang menerbitkan spesifikasi dan standar untuk bahan dan pengujian. Organisasi lain yang sejenis di Amerika Serikat adalah American Standa rds Association (ASA), dan National Institute of Standards and Institute (NIST), yang sebelumnya bernama National Bureau of Standards (NBS). Organisasi serupa ada di negara-negara lain. Benda uji tarik menurut standar ASTM mempunyai diameter 0,505 in. dan panjang terukur 2,0 in. di antara tanda-tanda pengukuran, yang merupakan titik-titik di mana lengan extensometer dipasang ke benda uji (Gambar l -8). Selama benda uji ditarik, beban aksial diukur dan dicatat, baik secara otomatis atau dengan membacanya dari dial. Perpanjangan di seluruh panjang terukur diukur secara simultan baik dengan menggunakan pengukur mekanis seperti terlihat dalam Gambar 1-8 atau dengan meng- gunakan pengukur regangan tahanan elektris. Di dalam uj i statik, beban diterapkan perlahan-lahan dan laju pembebanan yang teliti bukan merupakan ha! yang penting karena tidak mempengaruhi perilaku benda



Mekanika Bahan



11



Pnnjang



teru k u r



B enda uji tarik tipi kal dengan extensometer yang terpasang padanya; benda uji baru saja terputus karena tarik (Atas izin MTS System Corporation) G a m b a r 1-8



uji. Tetapi, dalam uji dinamis beban diterapkan secara cepat dan kadang- kadang dengan cara siklus. Karena sifat beban dinamis mempengaruhi besaran bahan, maka laju pembebanan perlu juga dicatat. l lji tekan pada metal biasanya dilakukan pacta benda uji kecil yang berbentuk kubus atau silinder. Kubus biasanya mempunyai sisi 2,0 in. dan silinder biasanya mempunyai diameter sekitar in. dan panjangnya I sampai 12 in. Besarnya beban1 yang diterapkan dan besarnya perpendekan benda uji dapat diukur. Perpendekan sebaiknya diukur di seluruh panjang terukur yang kurang dari panjang total dari benda uj i agar tidak ada efek ujung. Beton diuji tekan pada setiap proyek konstruksi yang penting untuk menjamin bahwa kekuatan yang dibutuhkan telah dicapai. Benda uji menurut standar ASTM mempunyai diameter 6 in dan panjang 12 in, serta mempunyai umur 28 hari (umur beton merupakan ha! yang penting karena beton meningkat kekuatannya apabila mengering). Benda uji serupa yang agak lebih kecil digunakan dalam melakukan uji tekan pada batuan (Gambar 1 -9). • Diagram Tegangan-Regangan



Hasil-hasil pengujian biasanya bergantung pacta ukuran benda uji. Karena sangat kecil kemungkinannya bahwa kita menggunakan struktur yang ukurannya sama dengan ukuran benda uji, maka kita perlu menyatakan



12



Bab 1 Tarik, Tekan, dan Geser



Gambar 1 -9 Benda uji batuan yang diuji tekan. (Atas izin MTS System Corporation)



hasil pengujian dalam bentuk yang dapat diterapkan pada elemen struktur yang berukuran berapapun. Cara sederhana untuk mencapai tujuan ini adalah dengan mengkonversikan hasil pengujian tersebut ke tegangan dan regangan. pada benda uji dihitung dengan membagi Tegangan aksial er beban P aksial dengan luas penampang A (lihat Persamaan l-1 ). Jika luas awal disebut tcgangan nominal tegangan konvensional benda uji digunakan dalam perhitungan, maka tegangan yang diperoleh (nama lainnya adalah dan tegangan teknik). Harga tegangan aksial yang lebih eksak, yang tcga ngan scbenarn� a, disehut dapat dihitung dengan menggunakan luas penampang batang sebenarnya pada saat kegagalan terjadi. Karena luas aktual dalam pengujian tarik selalu lebih kecil daripada luas awal (sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 1-8), maka tegangan sebenarnya selalu lebih besar daripada tegangan nominal. perpanjangan diukur 8 antara tanda-tanda dengan Reganganyang aksial rata-rata £ pada benda ujipengukuran diperoleh dengan membagi panjangLa(lihat wal dGambar igunakan1 -8 dalam perhitunganJ -2). (misalnya 2,0 in.), maka terukur dan Persamaan Jika panjang terukur r cg a n g a n n o r m a l . Karenajarak antara tanda-tanda pengukuran pada saat beban tarik diterapkan, maka kita dapat menghitung regangan bertambah didapatkan



Mekanika Bahan



13



sebenarnya (atau regangan a/ami) pacta setiap harga beban dengan menggunakan jarak aktual antara tanda-tanda larik, regangan



sebenarnya



selalu



lebih



pengukuran.



kecil



daripada



Dalam



keadaan



regangan



normal.



Sekalipun demikian, untuk penggunaan dalam bidang teknik, tegangan nominal dan regangan nominal sudah cukup memadai, sebagaimana akan diuraikan dalarn bagian lain subbab ini. Sesudah melakukan uji tarik atau tekan dan menentukan tegangan dan regangan pacta berbagai taraf beban, kita dapat memplot diagram tegangan



versus



regangan.



Diagram



tegangan-regangan



seperti



ini



merupakan karakteristik dari bahan yang diuji dan memberikan informasi penting tentang besaran mekanis dan jenis perilaku.* Bahan pertama yang akan kita bahas adalah baja struktural, yang juga dikenal dengari baja lunak atau baja karbon



rendah. Baja struktural



adalah salah satu bahan metal yang paling banyak digunakan untuk gedung, jembatan, lain.



crane, kapal, menara, kendaraan, dan berbagai jenis struktur



Diagram



tegangan-regangan



untuk



baja struktural



tipikal yang



mengalami tarik ditunjukkan dalam Gambar 1 -1 0. Regangan diplot pada sumbu horizontal dan tegangan pacta sumbu vertikal. (Untuk menunjukkan semua hal penting dari bahan ini, sumbu regangan dalam Gambar digambar tanpa skala.)



1-10



Diagram tersebut dimulai dengan garis lurus dari pusat sumbu 0 ke A, yang berarti bahwa hubungan antara tega.ngan dan regangan pacta daerah awal ini bukan saja linier melainkan juga proporsional. Melewati titik A, titik



••



proporsionalitas antara tegangan dan regangan tidak acta lagi; jadi tegangan di



A disebut



limH



Untuk baja berkarbon rendah,



limit ini berada pacta selang 30 sampai 50 ksi (210 sampai 350 MPa), tetapi baja berkekuatan tinggi (dengan kandungan karbon lebih tinggi ditambah unsur paduan lain) dapat mempunyai batas proporsional lebih



80 ksi (550 MPa). Kemiringan garis lurus dari 0 ke A disebut modulus clastisitas. Karena kemiringan mempunyai satuan tegangan dibagi



dari



£' - - ·



Te ga ngan ultiH oa tc



..



Tegangan -luluh Limit / proporsional



Gambar 1-10 Diagram teganganregangan untuk baja struktural



tipikal yang mengalami tarik (tidak berskala)



Luluh atau plastisitas sempurna



Daerah linier



Strain hardening



Necking



·I iagt dill lc �(x) akan bervariasi secara linier terhadap ujung-ujungnya. Sekarang tinjaulah elemen batang antara dua penampang yang jaraknya satu sama lain dx (Gambar 3-+a . Elemen ini ditunjukkan terisolasi di dalam Gambar 3-4b. Di permukaan luarnya kita identifikasi elemen kecil abed, dengan sisi-sisi ab dan cd yang semula sejajar sumbu longitudinal. Selama terjadi puntir pada batang. penampang kanan berotasi terhadap penampang kiri dengan sudut puntir kecil dlf>, sehingga titik b dan c masing-masing bergerak ke b' dan c ' . Panjang sisi elemen, yang sekarang elemen ab'c'd, tidak berubah selama rotasi kecil ini. Namun, sudut-sudut di pojok tidak lagi sama dengan 90°. Jadi, elemen ini ada dalam keadaan geser murni (lihat Subbab 1.6 .dan besar regangan geser Ymaks (Gambar 3-4b) sama dengan berkurangnya sudut di titik a, yang berarti berkurangnya sudut bad. Dari gambar tersebut. kita lihat bahwa berkurangnya sudut adalah



Ymaks



bb' ab



di mana Ymaks dinyatakan dalam radian, bb' adalah jarak yang dilalui gerakan titik b, dan ab adalah panjang elemen (sama dengan dx). Apabila r menunjukkan jari-jari batang, maka kita dapat menyatakan jarak pb' sebagai rdlf>, di mana dlf> juga dinyatakan dal am radian. Jadi, persamaan di atas dapat ditulis menjadi



Ymaks



r dlf> dx



(a)



Persamaan ini menghubungkan regangan geser di permukaan luar batang dengan sudut puntir. Besaran dlf>ldx adalah besarnya perubahan sudut puntir lf> terhadap jarak x yang diukur di sepanjang sumbu batang. Kita akan menuliskan dlf>l



(a)



Ymaks



3-4 Deformasi suatu elemen sepanjang dxyang dipotong dari sebuah batang yang mengalami torsi Gambar



�dx-1 (b)



�dx-1 (c)



1 70



Bab 3 Tarsi



dx dengan menggunakan simbole dan menyebute sebagai sudut puntir per panjang satuan, atau laju puntiran:



(3- 1) Dengan menggunakan notasi ini, kita dapat menuliskan persamaan untuk regangan geser di permukaan luar (Persamaan a) sebagai berikut:



(3-2) Pada umumnya, baik 1/J maupunebervariasi terhadap xdi sepanjang sumbu batang. Namun, pada kasus khusus berupa torsi mumi, laju puntiran adalah konstan dan sama dengan sudut puntir total i/J dibagi dengan panjang L batang, jadi 8 = 1/JL . Dengan demikian, untuk torsi mumi saja, kita dapatkan (3-3) Persamaan ini dapat dip eroleh secara langsung dari Gambar 3-3 dengan melihat bahwa jarak qq ' sama dengan ri/J dan bahwa sudut Ymaks adalah '



'



sudut antara garis-garis pq dan pq , yaitu sudut qpq . Jadi, ri/J = YmaksL. Regangan geser di bagian dalam (interior) batang dapat diperoleh dengan menggunakan metode yang sama dengan yang digunakan untuk mendapatkan regangan geser Ymaks di permukaan. Karena jari-jari penampang batang tetap lurus dan tak terdistorsi selama mengalami puntir, maka kita dapat melihat bahwa pembahasan di atas untuk elemen abed di permukaan luar (Gambar 3-4b) juga berlaku untuk elemen serupa yang terletak pada permukaan silinder dalam yang berjari-jari p(Gambar 3-4c). Jadi, elemen interior juga mengalami geser dengan regangan geser yang dinyatakan dengan persamaan (bandingkan dengan Persamaan 3-2 dan 3-3): (3-4)



Ymaks



Ymin



Persamaan ini menunjukkan bahwa regangan geser pada batang lingkaran bervariasi secara linier terhadap jarak radial pdari pusat, dengan regangan berharga nol di pusat dan mencapai maksimum di permukaan terluar. Tinjauan pembahasan di atas akan menunjukkan bahwa persamaan untuk regangan geser (Persamaan 3-1 sampai 3-4) berlaku pada batang tabung lingkaran (Gambar 3-5) dan pada batang lingkaran. Gambar 3-5 menunjukkan variasi linier pada tegangan geser antara regangan maksimum di permukaan luar dan regangan minimum di permukaan dalam. Regangan minimum berhubungan dengan regangan maksimum melalui persamaan



Ymin = Gambar 3-5 Variasi regangan



geser pada tabung Iingkaran



rl r2



-ymaks



(3-5)



di mana r1 dan r2 masing-masing adalah jari-jari dalam dan luar penampang tabung.



Mekanika Bahan



171



Akhirnya, kita rnengamati bahwa persamaan-persamaan di atas untuk regangan pada batang hanya didasarkan atas tinjauan geometri. Dengan demikian, persamaan-persamaan tersebut berlaku untuk sembarang bahan, entah yang berperilaku elastis maupun inelastis, linier maupun tidak linier. Namun, persamaan-persamaan tersebut terbatas pada batang yang mempunyai sudut puntir kecil dan regangan kecil.



BATANG LINGKARAN DARI BAHAN YANG ELASTIS LINIER Karena kita telah menyelidiki regangan geser pada batang lingkaran yang mengalami torsi (Gambar 3-4 dan 3-5 ). maka kita sudah siap untuk menentukan arah dan besar tegangan gesernya. Arab tegangan dapat ditentukan dengan mudah seperti terlihat dalam Gambar 3-6a. Kita lihat bahwa torsi T cenderung untuk memutarkan ujung kanan batang berlawanan jarum jam apabila dilihat dari kanan sehingga tegangan geser r bekerja dalam arah seperti terlihat dalam gambar tersebut. Untuk jelasnya, elemen tegangan di sisi batang ( Gambar 3-6a) diperbesar dalam Gambar 3-6b, di mana regangan geser dan tegangar geser ditunjukkan. Sebagaimana telah diuraikan dalam Subbab 2.6, kita biasanya menggambar elemen tegangan dalam dua dimensi, seperti terliha dalam Gambar 3-6b, tetapi kita harus selalu ingat bahwa elemen teganga: sebenarnya adalah benda tiga dimensi dengan suatu ketebalan yang tega: lurus bidang gambar.



(a)



Gambar 3-6 Tegangan geser pada batang lingkaran yang mengalami torsi



(b)



(c)



Besar tegangan geser dapat ditentukan dari hubungan teganganregangan untuk bahan pembentuk batang tersebut. Jika bahannya elastis linier, maka kita dapat menggunakan hukum Hooke untuk geser (lihat Persamaan 1-17): r = Gy



(3-6)



di mana G adalah modulus geser elastisitas dan y adalah regangan geser yang dinyatakan dalam radian. Dengan menggabungkan persamaan ini dengan persamaan untuk regangan geser (Persamaan 3-2 dan 3-4), kita dapatkan (3-7a,b)



1 72



Bab 3 Torsi



di mana rmaks adalah tegangan geser di permukaan luar batang Gari-jari r), r adalah tegangan geser di titik interior Gari-jari p), dan () adalah laju



Gambar 3·7 Tegangan geser longitudinal dan transversal pada batang lingkaran



puntiran (perhatikan bahwa () mempunyai satuan radian per satuan panjang). Persamaan ini menunjukkan bahwa tegangan geser bervariasi secara linier terhadap jarak dari pusat batang, sebagaimana digambarkan dengan tegangan segitiga dalam Gambar 3-6c. (Variasi linier pacta tegangan ini merupakan konsekuensi dari hukum Hooke. Jika hubungan teganganregangannya tidak linier. maka metode analisis lain dibutuhkan sebagaimana akan dibahas dalam Subbab 3. 1 .2.) Tegangan geser yang bekerja di bidang penampang disertai dengan tegangan geser yang besarnya sama yang bekerja pacta bidang longitudinal (Gambar 3-7). Kesimpulan ini berasal dari fakta bahwa tegangan geser yang sama selalu acta pacta bidang-bidang yang saling tegak lurus, seperti diterangkan dalam Subbab 1.6. Jika bahan batang lemah terhadap geser pacta arah longitudinal dibandingkan dengan pacta bidang penampang, seperti yang tetjadi pacta kayu dengan serat yang berarah sumbu batang, maka retak pertama akibat torsi akan muncul pacta permukaan dalam arah longitudinal. Keadaan geser mumi di permukaan batang (Gambar 3-6b) adalah ekivalen dengan tegangan tarik dan tekan yang sama yang bekerja di suatu elemen yang berorientasi 45°. sebagaimana diterangkan dalam Subbab 3.5. Dengan demikian, elemen persegi panjang dengan sisi-sisi 45° terhadap sumbu batang akan mengalarni tegangan tarik dan tekan, seperti terlihat dalam Gambar 3-8. Jika bahan batang yang mengalami torsi adalah bahan yang lemah terhadap tarik dibandingkan dengan terhadap geser, maka kegagalan akan terjadi secara tarik di sepanjang spiral yang miringnya 45° terhadap sumbu batang. Pembaca dapat mengamati hal ini dengan memuntir sepotong kapur.



• Rumus Torsi



Gambar 3-8 Tegangan tarik dan tekan yang bekerja pada elemen tegangan yang berorientasi 45° terhadap sumbu longitudinal



Langkah selanjutnya dalam analisis kita adalah menentukan hubungan antara tegangan geser dan torsi T. Setelah ini diperoleh, kita akan dapat menghitung tegangan dan regangan di suatu batang akibat sekumpulan torsi. Distribusi tegangan geser yang bekerja pacta suatu penampang ditunjukkan dalam Gambar 3-6c dan 3-7. Karena tegangan ini bekerja secara kontinu di sekeliling penampang, maka resultannya membentuk momen-yaitu momen yang sama dengan torsi T yang beketja pacta batang. Untuk menentukan resultan ini, kita tinjau elemen luas dA yang terletak pacta jarak radial p dari sumbu batang (Gambar 3-9). Gaya geser yang bekerja di elemen ini sama dengan r dA, di mana r adalah tegangan geser pacta radius p. Momen dari gaya ini terhadap sumbu batang sama dengan gaya dikalikan jarak dari pusat, atau rp dA. Dengan memasukkan tegangan geser r dari Persamaan (3-7b), kita dapat menyatakan momen elemental sebagai dM



=



rp dA =



rmaks



r



2 p dA



Momen resultan (yang sama dengan puntir T) adalah perjumlahan momen elemental di seluruh luas penampang: Gambar 3-9 Penentuan resultan



tegangan geser yang bekerja pada suatu penampang



A



r



A



r



P



(3-8)



Mekanika Bahan



1 73



di mana (3-9) adalah momen inersia polar untuk penampang lingkaran. Untuk lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d, momen inersia polar adalah



(3- 10) seperti yang diberikan pada Lampiran D. Kasus 9. Perhatikan bahwa * momen inersia mempunyai satuan panjang pangkat empat. Rumus untuk tegangan geser maksimum dapat diperoleh dengan menyusun kembali Persamaan (3-8) sebagai berikut :



(3-11) Persamaan ini, yang dikenal dengan rumus torsi, menunjukkan bahwa tegangan geser sebanding dengan puntir T yang bekerja dan berbanding terbalik dengan momen inersia polar JP. Satuan tipikal yang digunakan pada rumus torsi adalah sebagai berikut. Dalam SI, puntir T biasanya dinyatakan dalam newton meter (N.m), jari4 jari r dalam meter (m), momen inersia P dalam (m J), dan tegangan geser r dalam (Pa). Jika USCS digunakan, T sering dinyatakan dalam (lb-ft) atau 4 r dalam inci (in.), J dalam in. , danr dalam poundlin2 (psi). (lb-in), P



Dengan memasukkan r =d/2 dan JP =ntl'/32 ke dalam rumus torsi, kita dapatkan rumus berikut untuk tegangan maksimum:



(3- 12) Persamaan ini berlaku penampang lingkaran solid, sedangkan rumus torsi (Persamaan 3- 1 1) berlaku untuk solid akan diterangkan Persamaan (3- 1 2) menunjukkan bahwa tegangan geser berbanding terbalik dengan diameter (atau jari-jari) pangkat tiga. Jadi, jika diameter menjadi dua kali, maka tegangan akan berkurang dengan faktor delapan. Dengan mengetahui besarnya torsi dan diameter batang, kita dapat menggunakan rumus torsi standar (Persamaan 3-1 1) atau versi altematifnya (Persamaan 3-12) untuk menghitung tegangan geser maksimum. Jika tegangan geser izin diberikan, maka kita dapat menggunakan Persamaan (3- 1 2) untuk mendapatkan puntir izin (jika diameter diketahui) atau diameter yang dibutuhkan (jika torsi diketahui). Ide ini digambarkan dalam Contoh 3-1 dan 3-2 di akhir subbab ini.



*Momen inersia polar dibahas di bab 12 subbab 12.6



174



Bab 3 Tarsi



Tegangan geser pada jarak p dari pusat batang adalah



Tp r = E. _ rmaks = r



(3- 13)



IP



yang diperoleh dengan menggabungkan Persamaan ( 3-7b) dengan rumus torsi (Persamaan 3- 11 ). Sekali lagi, kita lihat bahwa tegangan geser bervariasi secara linier terhadap jarak radial dari pusat batang. • Sudut Puntir



Sudut puntir suatu batang yang terbuat dari bahan elastis linier dapat dihubungkan dengan torsi T yang bekerja. Dengan menggabungkan Persamaan (3-7a) dengan rumus torsi, kita dapatkan (3- 14) yang menunjukkan bahwa laju puntiran 8 sebanding dengan torsi T dan berbanding terbalik dengan hasil kali GIP, yang dikenal dengan rigiditas torsional batang tersebut. Untuk sebuah batang yang mengalami torsi mumi, sudut puntir total lfJ sama dengan laju puntiran dikalikan panjang batang (artinya-l/J-�=lf[)�ac�-�·



··



-



·



(3-15) di mana lfJ dinyatakan dalam radian. Penggunaan persamaan-persamaan Ci!gambarkan dalam Contoh 3- 1 dan 3-2. ini dalam analisis dan Besaran GI /L disebut kekakuan torsional batang, yaitu tarsi yang diperlukan untuk menghasilkan satu sudut rotasi. adalah kebalikan dari kekakuan, atau UGI , dan didefinisikan sebagai sudut rotasi yang dihasilkan oleh tarsi satuan. Jadi, kita mempunyai rumus berikut: fr



=



L



GIp



(3- l 6a,b)



Besaran ini analog dengan kekakuan aksial k = EA/L, dan fleksibilitas aksial fUEA dari suatu batang yang mengalami tarik atau tekan (bandingkan dengan Persamaan 2-4a dan 2-4b). Kekakuan dan fleksibilitas merupakan sesuatu yang penting dalam analisis struktural, khususnya apabila struktumya besar dan rumit sedemikian hingga metode analisis yang berorientasi komputer digunakan. Persamaan untuk sudut puntir (Persamaan 3-15) dapat digunakan untuk menentukan modulus elastisitas geser G untuk bahan. Dengan melakukan uji tarsi pada batang lingkaran, kita dapat mengukur sudut puntir lfJ yang dihasilkan oleh tarsi T yang diketahui. Selanjutnya G dapat dihitung dari Persamaan (3-15). =



• Tabung Lingkaran



Tabung lingkaran lebih efisien dibandingkan dengan batang solid dalam menahan beban torsional. Seperti kita ketahui, tegangan geser pada batang



Mekanika Bahan r ,



t�



Gambar 3-10 Tabung lingkaran



yang mengalami tarik



1 75



lingkaran solid mencapai maksimum di tepi luar dari penampang dan berharga nol di pusat. Dengan demikian, sebagian besar bahan pada batang solid mengalami tegangan yang sangat jauh lebih kecil daripada tegangan geser maksimum. Selain itu, tegangan di dekat pusat penampang mempunyai lengan momen pyang lebih kecil dalam menentukan momen torsi. Sebaliknya, pada tabung berlubang, sebagian besar bahan ada di dekat tepi luar penampang di mana tegangan geser dan lengan momen adalah yang terbesar (Gambar 3- 1 0). Jadi, jika reduksi berat dan penghematan bahan merupakan hal penting, maka disarankan penggunaan tabung lingkaran. Sebagai contoh, batang penggerak. batang propeller, dan batang pembangkit biasanya mempunyai penampang lingkaran berlubang. Analisis torsi pada tabung lingkaran hampir identik dengan pada batang solid. Rumus dasar yang sama untuk tegangan geser masih dapat digunakan (misalnya, Persamaan 3-7a dan 3-7b 1. Tentu saja, jarak radial r1 dibatasi dalam selang r1 p sampai r2, di mana adalah jari-jari dalam dan r2 adalah jari-jari luar dari batang (Gambar 3-101. Hubungan antara torsi T dan tegangan maksimum masih dapat dinyatakan dengan Persamaan (3-8), tetapi batas-batas integrasi untuk momen inersia polar (Persamaan 3-9) adalah p r1 dan p = r2• Dengan demikian, momen inersia polar untuk penampang tabung adalah =



(3- 17) Jika tebal dinding t (Gambar 3- 10) kecil dibandingkan dengan j ari-jari, maka rumus pendekatan berikut ini (lihat Lampiran D. Kasus 22) dapat digunakan untuk momen inersia polar .,



IP " " 2Trr t



Trd 3 t



= -



4



(3- 1 8)



Dalam persamaan ini, besaran r dan d masing-masing adalah j ari-jari ratarata dan diameter rata-rata. Sebagai ukuran ketelitian Persamaan (3- 1 8), kita perhatikan bahwa jika tebal t lebih kecil daripada seperempat dari j ari-jari luar (tlr2 = TUGJpA sebagaimana diharapkan. Untuk harga f3 yang lebih besar daripada I, sudut rotasi berkurang karena diameter terbesar di ujung B menghasilkan peningkatan kekakuan torsional (dibandingkan dengan batang prismatis 1 .



TEGANGAN DAN REGANGAN PADA GESER MURNI Apabila suatu batang lingkaran, baik yang solid maupun yang berlubang, mengalami torsi, maka tegangan geser akan terj adi di bidang-bidang penampang dan longitudinal, sebagaimana diterangkan dalam Subbab 3.3. Sekarang kita tinjau secara rinci tegangan dan regangan yang dihasilkan selama puntir suatu batang. Kita mulai dengan elemen tegangan abed yang dipotong antara dua penampang dan antara dua bidang longitudinal (Gambar 3-20a dan b). Elemen ini berada dalam geser murni (pure shear) karena tegangan yang bekerja padanya hanyalah tegangan geser di keempat muka (lihat pembahasan geser mumi di Subbab 1.6).



3-20 Tegangan yang bekerja pada elemen yang dipotong dari batang yang mengalami torsi (geser murni) Gambar



(a)



(b)



Arah tegangan geser bergantung pada arah torsi T yang bekerja. Dalam pembahasan ini, kita asumsikan bahwa torsi akan memutarkan ujung kanan batang searah jarum jam apabila dilihat dari kanan (Gambar 320a) sehingga tegangan geser yang bekerja pada elemen mempunyai arah seperti terlihat dalam gambar tersebut. Keadaan tegangan seperti ini terjadi pada elemen yang dipotong dari interior batang, kecuali bahwa besar tegangan geser lebih kecil karena jarak radial ke elemen lebih kecil. Seperti yang akan kita lihat pada paragraf berikut, arah torsi dipilih sedemikian hingga tegangan gesemya adalah positif. • Tegangan pada Potongan Miring



Gambar dua dimensi elemen tegangan yang mengalami geser mumi terlihat dalam Gambar 3-21a. Sebagaimana diterangkan dalam Subbab 2.6, kita biasanya menggambar hanya tinj auan dua dimensi elemen tegangan tetapi kita harus selalu ingat bahwa elemen ini mempunyai dimensi ketiga (ketebalan) dalam arah tegak lurus bidang gambar. Dalam gambar dua dimensi, sumbu .xy mempunyai orientasi sejajar sisi-sisi elemen, dengan



Mekanika Bahan



1 87



sumbu xsejajar dengan sumbu longitudinal batang. Dengan demikian, semua tegangan yang terlihat dalam Gambar 3-2la adalah tegangan positif menurut peijanjian tanda untuk tegangan geser, yang telah diterangkan dalam Subbab 1 .6 dan diulang di sini. Tegangan geser yang bekerja pada muka positif suatu elemen adalah positif jika bekeija dalam arah positif dari satu sumbu koordinat dan negatifjika bekeija dalam arah negatif dari suatu sumbu. Sebaliknya, tegangan geser yang bekeija pada muka negatif dari suatu elemen adalah positif jika bekeija dalam arah negatif dari satu sumbu koordinat dan negatif jika bekeija dalam arah positif suatu sumbu.



..



Gambar 3-21 Analisis tegangan pada bidang miring: (a) elemen yang mengalami geser murni, (b) tegangan yang bekerja pada elemen tegangan segitiga, dan (c) gayagaya yang bekerja pada elemen tegangan segitiga (diagram benda bebas)



't



1A0tan 6



't



(b)



(a)



(b



Kita sekarang membuat potongan dari elemen tegangan bidang (Gambar 3-2 l a) sedemikian hingga kita dapatkan elemen tegangan segitiga yang satu mukanya berorientasi sudut () terhadap berbentuk cr8 dan tegangan geserr8 bekerja (Gambar 3-21 b). Tegangan normal sumbu pada bidang miring ini dan ditunjukkan dalam arah positif di dalam gambar tersebut. (lngat dari pembahasan tentang elemen tegangan dalam Subbab 2.6 bahwa tegangan normalcr8 adalah positifjika berupa tarik dan geser r8 adalah positif jika menghasilkan rotasi bahan dalam arah tegangan x



berlawanan jarum jam.) Muka horizontal dan vertikal elemen dalam Gambar 3-2 lb mempunyai tegangan geserryang bekerja padanya, dan muka depan dan belakang tidak mengalami tegangan. Tegangan yang bekeija pada muka miring dapat ditentukan dari ke- seimbangan elemen segitiga. Gaya-gaya yang bekeija pada ketiga muka samping dapat diperoleh dengan mengalikan tegangan dengan luas di mana tegangan tersebut bekerja. Sebagai contoh, gaya di muka kiri sama dengan rA0 di mana A0 adalah luas muka samping vertikal. Gaya ini bekerja dalam arah y negatif dan ditunjukkan dalam diagram benda bebas dalam Gambar 3-21c. Karena tebal elemenz dalam arah konstan, kitaluas muka bawah adalah A0 tan () dan luas muka miring lihat bahwa adalahA0 sec 8. Dengan mengalikan tegangan dengan luas di mana tegang- an tersebut bekerja, maka akan diperoleh gaya di setiap muka elemen (Gambar 3-2 lc). Kita sekarang dapat menuliskan dua persamaan keseimbangan untuk elemen, satu dalam arah Dalam cr8 arah dan satu lagi rdalam (J' menuliskan kedua persamaan tersebut, gaya-gaya yang bekeija di muka kiri dan bawah harus diuraikan ke dalam komponen dalam arah cr8 dan r(J' Jadi, persamaanyang diperoleh dengan menjumlahkan gaya-gaya dalam pertama, adalah cr8A0 sec () =rA0 sin () + rA0 tan () cos () arah cr8 atau (3-29a) = 2r sin () cos () cr8



1 88



Bab 3 Tarsi



Persamaan kectua ctiperoleh ctengan menjumlahkan gaya-gaya dalam arah re:



reAo sec 8 = rA0 cos 8 - r A0 tan 8 sin 8 re = r(cos2 8 - sin2 8)



atau



(329b)



Kedua persamaan m1 dapat ditulis dalam bentuk yang lebih secterhana dengan menggunakan rumus trigonometri (lihat Lampiran C): sin



2 8 = 2 sin 8 cos 8



cos 2 8 = cos2 8 - sin2 8



Dengan demikian. persamaan untuk CJe dan re menjadi (3-30a,b)



Gambar 3-22 Grafik tegangan normal CJ8 dan tegangan geser r8 versus sudut bidang miring (}



Persamaan (3-30a dan b) memberikan tegangan normal dan geser yang bekerja pada sembarang bidang miring yang dinyatakan dalam tegangan geser T ang bekerja pacta bidang X dan y (Gambar 3-2 la) ctan sudut 8 yang mendefinisikan orientasi bidang miring (Gambar 3-2 lb). Bagaimana tegangan CJe dan re. berubah terhadap orientasi bidang miring ditunjukkan dalam grafik pada Gambar 3-22, yang merupakan plot Persamaan (3-30a dan b). Kita lihat bahwa untuk 8 = 0, yang merupakan muka kanan dari elemen tegangan dalam Gambar 3-21 a, grafik tersebut menghasilkan CJe = 0 dan re· = r, sebagaimana diharapkan. Untuk muka atas elemen (8 = 90°), kita ctapatkan CJe = 0 dan re = -r. Tanda minus untuk tegangan geser berarti bahwa tegangan tersebut bekerja dalam arah re negatif, artinya tegangan tersebut bekerja ke kanan dari muka ab (Gambar 3-2l a). Perhatikan bahwa tegangan geser yang terbesar secara numerik terjacti pada bictang-bictang ini. Dari grafik terlihat bahwa tegangan normal CJe mencapai harga maksimum pacta 8 = 45°. Pada suctut tersebut, tegangan actalah positif (tarik) dan sama secara numerik dengan tegangan geser r. Juga, CJe mempunyai harga minimum (yang merupakan tekan) pacta 8 = -45°. Pada kedua sudut 45° ini, tegangan geser r8 sama dengan nol. Jadi, pada suatu elemen tegangan yang berorientasi 45° (Gambar 3-23b) bekerja tegangan tarik dan tekan yang sama dan saling tegak lurus, dan tidak acta tegangan geser. Perhatikan bahwa tegangan normal yang terlihat dalam Gambar 323b berkaitan ctengan elemen yang mengalami geser murni yang ctiakibatkan oleh tegangan geser yang bekerja dalam arah seperti terlihat ctalam Gambar 3-23a. Jika tegangan geser yang bekerja pacta elemen ctalam Gambar 3-23a mempunyai arah sebaliknya, maka tegangan normal yang bekerja pacta bidang 45° juga akan berubah arah.



T



r



Gambar 3-23 Elemen tegangan



yang berorientasi sudut e = 0 dan e = 45° untuk geser mumi



(a)



(b)



Mekanika Bahan



1 89



Jika suatu elemen tegangan mempunyai sudut orientasi bukan 45°, maka tegangan normal dan tegangan geser akan ada di muka miring tersebut (lihat Persamaan 3-30). Elemen tegangan yang mengalami kondisi yang lebih umum ini dibahas secara rinci dalam Bab 7. Persamaan-persamaan yang diturunkan dalam subbab ini berlaku untuk elemen tegangan pada kasus geser murni, apakah elemen tersebut merupakan potongan dari suatu batang ang mengalami torsi atau dari elemen struktural lainnya. Juga, karena Persamaan (3-30) diturunkan hanya dari keseimbangan, maka persamaan tersebut berlaku untuk sembarang bahan, apakah elastis linier maupun bukan . Adanya tegangan tarikmaksimum pada bidang yang membentuk sudut 45° dengan sumbu x (Gambar 3-23b) menjelaskan mengapa batang yang mengalami torsi yang terbuat dari bahan yang getas dan lemah terhadap tarik akan gaga! dengan retak di sepanjang permukaan spiral 45° (Gambar 3-24). Sebagaimana disebutkan dalam Subbab 3.3. jenis kegagalan seperti ini dapat dengan mudah ditunjukkan dengan memuntir sepotong kapur yang ada di dalam kelas.



Gambar 3-24 Kegagalan torsi pada bahan getas di mana tarik menyebabkan retak di sepanjang permukaan spiral 45°



• Regangan pada Geser Murn i



Sekarang kita tinjau regangan yang ada pada elemen yang mengalami geser mumi. Sebagai contoh, tinjaulah elemen yang mengalami geser mumi yang terlihat dalam Gambar 3-23a. Regangan gesemya ditunjukkan dalam Gambar 3-25a, di mana deformasi digambarkan dengan sangat diperbesar. Regangan geser y adalah perubahan sudut antara dua garis yang semula saling tegak lurus, sebagaimana telah dibahas dalam Subbab 1.6. Jadi, berkurangnya sudut di pojok kiri bawah elemen adalah regangan geser y(diukur dalam radian), Perubahan yang sama juga terjadi di pojok kanan atas, di mana sudut berkurang, dan di kedua pojok lain, di mana sudutnya bertambah. Namun, panjang sisi-sisi elemen, termasuk ketebalan tegak lurus bidang kertas, tidak berubah pada saat deformasi geser ini terjadi. Dengan demikian, elemen berubah bentuk dari persegi panj ang



T



Gambar 3-25 Regangan pada



geser mumi: (a) distorsi geser suatu elemen yang berorientasi e = 0, dan (b) distorsi suatu elemen yang berorientasi e 45° =



(a)



(b)



1 90



Bab 3 Torsi



(Gambar 3-23a) menjadi jajaran genjang (Gambar 3-25a). Perubahan bentuk ini disebut distorsi geser. Jika bahan bersifat elastis linier, maka regangan geser untuk elemen yang berorientasi = 0 (Gambar 3-25a) berkaitan dengan () regangan geser menurut hukum Hooke pada masalah geser: (3-31) di mana, seperti biasa, simbol G menunjukkan modulus geser elastisitas. Selanjutnya, tinjau regangan yang teijadi di elemen yang berorientasi () = 45° (Gambar 3-25b). Tegangan tarik yang bekeija pada sudut 45° cenderung memperpanjang elemen dalam arah tersebut. Karena adanya efek Poisson, maka tegangan tersebut cenderung memperpendek ukuran dalam arah yang tegak lurus (arah di mana 135° atau --45°). () = pada 135° cenderung Serupa dengan itu, tegangan tekan yang bekerja untuk mem- perpendek elemen dalam arah tersebut dan memperpanjang dalam arah 45 °. Perubahan dimensional ini terlihat dalam Gambar 3-25b, di mana garis putus menunjukkan elemen semula. Karena tidak ada distorsi geser, maka elemen tetap berbentuk persegi panjang meskipun dimensinya telah berubah. Jika suatu bahan bersifat elastis linier dan mengikuti hukum Hooke, maka kita dapat memperoleh persamaan yang menghubungkan regangan dengan tegangan untuk elemen pada () 45° (Gambar 3-25b). = Tegangan tarik O'maks yang bekerja pada () = 45° menimbulkan regangan positif /E. Karena = -r normal dalam arah tersebut yang sama dengan



O'maks



O'maks ,



maka kita juga dapat menyatakan regangan ini sebagai -r/£. Tegangan juga menimbulkan regangan negatif dalam arah tegak lurus, yang O'maks



tegangan min = --r (pada () = 1 35°) menimbulkan regangan negatif yang sama itu, dengan -v-r!E, di mana v adalah rasio Poisson. Serupa dengan



O'



sama dengan --r/E dalam arah tersebut dan regangan positif dalam arah tegak lurus (arah 45°) yang sama dengan v-r!E. Dengan dernikian, regangandalam arah 45° normal adala h V'r 'r 'r



Cmaks = E + E = E (l + v)



(3-32)



yang bertanda positif (berarti perpanjangan). Regangan dalam arah tegak lurus adalah regangan negatif yang besarnya sama. Dengan perkataan lain, geser mumi menimbulkan perpanjangan dalam arah 45° dan per- pendekan dalam arah 1 35°. Regangan ini konsisten dengan bentuk elemen yang berdeformasi dalam Gambar 3-25a karena diagonal 45° telah memanjang dan diagonal 135° telah memendek. Di dalam subbab berikut kita akan menggunakan geometri elemen yang telah berdeformasi untuk menghubungkan regangan geser y(Gambar 3-25a) dengan regangan normal emaks dalam arah 45° (Gambar 3-25b). Dari geometri tersebut kita akan mendapatkan hubungan sebagai berikut (333)



Persamaan ini, bersama dengan Persamaan (3-31), dapat digunakan untuk menghitung regangan geser maksimum dan regangan normal maksimum dalam torsi mumi apabila tegangan geser -r diketahui.



Mekanika Bahan



1 91



• Contoh 3.6 Sebuah tabung lingkaran yang mempunyai diameter luar 80 mm dan diameter dalam 60 mm mengalami torsi T = 4.0 k."-'.m (Gambar 3-26). Tabung ini terbuat dari bahan paduan aluminium 7075-T6. (a) Tentukan tegangan geser, tekan, dan tarik maksimum di tabung tersebut dan tunjukkan tegangan-tegangan tersebut pada sketsa elemen tegangan dengan orientasi yang benar. (b) Tentukan regangan maksimum di tabung tersebut.



Solusi (a) Tegangan maksimum. Harga-harga maksimum dari ketiga tegangan (tarik, tekan, dan geser) secara numerik adalah sama namun ketiganya bekerja pada Gambar



3-26



Contoh 3-4.



Tabung lingkaran yang mengalami torsi



r maks



= Tr =



(4000 N·m)(0.040 m 1



= � 8. 2 MPa -



·



bidang yang berbeda. Besamya dapat dihitung dari rumus torsi:



1P Tegangan geser maksimum bekerja di bidang potongan melintang dan longitudinal, seperti terlihat pada elemen tegangan dalam Gambar 3-27a, di mana sumbu x adalah sejajar dengan sumbu longitudinal batang tabung. Tegangan tarik dan tekan maksimum adalah a1 58,2 MPa ac = -58,2 MPa =



Tegangan-tegangan ini terjadi pada bidang yang membentuk sudut 45° dengan sumbu x (Gambar 3-27b). (b) Regangan maksimum. Regangan geser maksimum di dalam tabung dapat diperoleh dari Persamaan (3-3 1 ). Modulus geser elastisitas yang diperoleh dari Tabel H-2, Lampiran H, adalah G 27 GPa. Dengan demikian, regangan geser = maksimum adalah



Ymaks



G



' 27 GPa Regangan ini mempunyai arah seperti terlihat dalam Gambar 3-27c.



!r = mk a s



5 8,2 MPa



Gambar 3-27 Elemen tegangan dan regangan untuk tabung dalam Contoh 3-6



(a)



(b)



(c)



(d)



1 92



Bab 3 Torsi



Besar regangan normal maksimum (dari Persamaan 3-33) adalah £maks



Y maks 2



=



=



0 '0011



Jadi, regangan tarik dan tekan maksimum adalah £1 = 0,001 1



ec



=



-0,00 1 1



Regangan-regangan ini digambarkan dalam Gambar 3-27d untuk elemen dengan sisi-sisi satu satuan.



-� 1



HUBUNGAN ANTARA MODULUS ELASTISITAS E DAN G



Hubungan penting antara E dan G dapat diperoleh dari persamaanpersamaan yang telah diturunkan dalam subbab sebelum ini. Untuk itu, tinjaulah elemen tegangan abed yang terlihat dalam Gambar 3-28a. Muka depan dari elemen ini diasumsikan sebagai bujur sangkar dengan panjang setiap sisi ditulis sebagai h. Apabila elemen ini mengalami geser mumi dengan tegangan r, muka depan berdistorsi menjadi jajaran genjang (Gambar 3-28b) dengan sisi-sisi yang panjangnya h dan dengan regangan geser y = riG. Karena distorsi ini maka diagonal bd memanjang dan diagonal ac memendek. Panjang diagonal bd sama dengan panjang e ak e .f2h ' semula dikalikan faktor 1 + akm s di mana m s adalah regangan normal dalam arah 45°; jadi, (a) Panjang ini dapat dihubungkan dengan regangan geser ydengan meninjau geometri elemen yang telah berdeformasi (Gambar 328b). b



r



jr Gambar 3-28 Geometri



elemen yang berdeformasi akibat geser mumi



'r d



b !!_ _ I_ 4



d



2



!maks Ktmaks =



r



(a)



(b)



(c)



Untuk mendapatkan hubungan geometris, tinjau segitiga abd (Gambar 3-28c) yang menyatakan setengah dari jajaran genjang yang ditunjukkan dalam Gambar 3-28b. Sisi bd dari segitiga mempunyai panjang Lbd (Persamaan a), dan sisi lainnya mempunyai panjang h. Sudut adb dari segitiga ini sama dengan setengah sudut adc dari jajaran genjang, atau n/4 - y/2. Sudut abd pacta segitiga sama. Jadi, sudut dab pacta segitiga sama dengan n/2 + y. Sekarang dengan menggunakan rumus cosinus (lihat Lampiran C) untuk segitiga abd kita dapatkan



Dengan memasukkan Lbd dari Persamaan (a) dan menyederhanakannya kita dapatkan



Mekanika Bahan



(1



(



+ emaks )2 = 1 - cos



+



r



1 93



)



Dengan menyederhanakan suku di sebelah kiri, dan juga memperhatikan bahwa cos (7r/2 +



1 + 2t:maks + e� = 1 + sin r n = -sin y, kita dapatkan aks



Karena emaks dan y merupakan regangan yang sangat kecil, maka kita dapat mengabaikan e2maks dibandingkan dengan 2 emaks dan kita dapat menggantikan sin y dengan Rumus yang dihasilkan adalah y: y



emaks = 2



(3-34) yang menunjukkan hubungan yang telah disebutkan dalam Subbab 3.5 dalam Persamaan (3-33). Regangan geser yyang terlihat dalam Persamaan sama (3-34) dengan riG dengan hukum Hooke (Persamaan 3-3 1) dan regangan normal t:maks +sama dengan 'l(1 v)IE dengan Persamaan (3-32). Dengan memasukkan keduanya ke dalam Persamaan (3-34) kita peroleh (3-35) Kita lihat bahwa E, G, dan bukan merupakan besaran yang independen v pada bahan elastis linier. Jika dua di antaranya diketahui, maka yang ketiga dapat dihitung dari Persamaan (3-35). Harga khas untuk E, G, dan * v dicantumkan dalam Tabel H-2, Lampiran H. PENYALURAN DAYA OLEH BATANG LINGKARAN



Penggunaan batang (poros) lingkaran yang paling penting adalah untuk menyalurkan daya mekanis dari satu alat atau mesin ke lainnya, seperti pada batang penggerak pacta suatu mobil, batang propeller pada suatu kapal laut, atau as sepeda. Daya disalurkan melalui gerakan berputar pacta batang, dan besar daya yang disalurkan bergantung pacta besar torsi dan laju rotasi. Masalah desain yang umum adalah menentukan ukuran yang dibutuhkan untuk batang sedemikian rupa sehingga batang tersebut dapat menyalurkan besar daya yang ditetapkan pacta laju rotasional yang ditentukan tanpa melebihi tegangan izin bahan. Bayangkan bahwa batang yang digerakkan motor (Gambar 3-29) berputar pada laju sudutw,yang diukur dalam radian per detik (rad/s). Batang tersebut menyalurkan torsi T ke mesin (tidak ditunjukkan dalam gambar) yang akan melakukan kerja. (Torsi yang terlihat dalam gambar adalah torsi yang dikenakan pada batang oleh mesin.) Pada umumnya, kerja W yang dilakukan oleh torsi yang besarnya konstan adalah sama dengan basil kali torsi dan sudut rotasi yang dilaluinya, yaitu (3-36) di mana ' adalah ¥ sudut rotasi yang dinyatakan dalam radian.



Persamaan (3-35) diturunkan pertama kali oleh Poisson dengan menggunakan harga untuk lihat *Ref. 3-3. 1/4



v,



1 94



Bat! 3 Torsi



3-29 Batang yang ::nyalurkan torsi konstan T pada !aju sudut ro



Ga m ba r



Daya adalah laju perubahan kerja, atau dlJI p dW =



dt



= T



dt



(3-37)



di mana P adalah simbol untuk daya dan t menunjukkan waktu. Laju perubahan d'f'!dt dari peralihan sudut lJI adalah laju sudut w, sehingga persamaan sebelum ini menjadi



P = Tw



(w = rad/s)



(3-38)



Rumus ini, yang dikenal pada fisika dasar, memberikan daya yang disalurkan dengan memutarkan sebuah batang dengan torsi konstan T. Satuan yang digunakan dalam Persamaan (3-38) adalah sebagai berikut. Jika torsi T dinyatakan dalam newton meter, maka daya dinyatakan dalam watt (W). Satu watt sama dengan satu newton meter per detik (atau satu joule per detik). Jika T dinyatakan dalam pound feet, maka daya dinyatakan dalam feet-pound per detik.* Laju sudut sering dinyatakan dalam frekuensi f dari suatu rotasi, yang menunjukkan banyak putaran per satuan waktu. Satuan frekuensi adalah hertz (Hz), yang sama dengan satu putaran per detik (detik-1). Karena satu putaran berarti 2n rad, maka kita dapatkan w = 2nf (w = rad/s, f = Hz = s-' ) (3-39) Dengan demikian, rumus untuk daya (Persamaan 3-38) menjadi P = 2nfT (f = Hz = s- 1 )



(3-40)



Satuan lain yang umum digunakan adalah banyak putaran per menit (rpm), yang diberi notasi n. Dengan demikian, kita juga mempunyai hubungan sebagai berikut:



n = 60f dan



p



=



2nnT 60



(n = rpm)



(3-41) (3-42)



Dalam Persamaan (3-40) dan (3-42), besaran P dan T mempunyai satuan yang sama dengan yang ada di dalam Persamaan (3-38); artinya, P mempunyai satuan watt jika T mempunyai satuan newton meter dan P mempunyai satuan lb/detik jika T mempunyai satuan pound-feet. Dalam praktek di AS, daya sering dinyatakan dalam tenaga kuda (hp), suatu satuan yang sama dengan 550 ft-lb/s. Dengan demikian, tenaga kuda H yang disalurkan oleh batang yang berputar adalah



*Lihat Tabel A- I, Lampiran A tentang satuan kerja dan daya.



Mekanika Bahan



H =



2nnT 33.00 0



2nnT 60(550 )



(n = rpm, T = lb-ft, H = hp)



1 95



(3-43)



Satu tenaga kuda sama dengan sekitar 746 watt. Persamaan di atas menghubungkan antara torsi yang beketja pada batang dan daya yang disalurkan oleh batang. Apabila torsi diketahui, maka kita dapat menentukan tegangan geser, regangan geser, sudut puntir, dan besaran lain yang dikehendaki dengan metode yang diuraikan dalam Subbab 3.2 sampai 3 .5. Contoh berikut ini menggambarkan beberapa prosedur untuk menganalisis batang yang berputar. • Contoh 3-7 Sebuah motor yang menggerakkan batang baja lingkaran solid menyalurkan 40 hp ke gigi di B (Gambar 3-30). Tegangan geser izin untuk baja adalah 6000 psi. (a) Berapa diameter d yang diperlukan untuk batang tersebut jika akan dioperasikan pada 500 rpm? (b) Berapa diameter d yang diperlukan jika batang tersebut dioperasikan pada 4000 rpm?



Gambar 3-30 Contoh 3-7



Solusi (a) Motor yang beroperasi pada 500 rpm. Dengan diketahuinya tenaga kuda dan laju rotasi, kita dapatmencari T yang bekerja pada batang dengan Persamaan Dengan memecahkan persamaan tersebut untuk mencari T, menggunakan maka



(3-43). T=



=



=



420,2 lb-ft



=



5042 !b-in.



Torsi ini disalurkan oleh batang dari motor ke gigi. Tegangan geser maksimum di batang dapat diperoleh dari rumus torsi yang dimodifikasi (Persamaan 3- 12):



Dengan memecahkan persamaan tersebut untuk mencari diameter d, dan juga memasukkan rizin untuk rmaks• kita dapatkan



n rizin



7r(6000 psi)



sehingga d



=



1,62 in.



•



Diameter batang hams sedikitnya sebesar ini agar tegangan geser izin tidak dilampaui. (b) Motor yang beroperasi pada 4000 rpm. Dengan mengikuti prosedur yang sama dengan di bagian (a) kita dapatkan



1 96



Ba!J 3 Torsi



27rn



'



27r(4000 rpm)



t



-



'



m.



16(630,3 !b-in.) 16 T = 0,5350 in.c f = 7r(6000 psi) 3



d = 0,8 1 in.



..



yang besamya setengah dari diameter yang didapatkan pacta bagian (a). Contoh ini menunjukkan bahwa semakin besar laju rotasi, akan semakin kecil ukuran batang yang diperlukan (untuk daya yang sama dan tegangan izin yang sama).



• Contoh 3-8 Batang baja solid ABC yang diameternya 50 mm (Gambar 3-3 1 a) digerakkan di A oleh motor yang menyalurkan 50 kW ke batang pacta 10 Hz. Gigi di B dan C menggerakkan mesin yang membutuhkan daya sebesar masing-masing 35 kW dan r maks di batang dan sudut puntir 15 kW. Bandingkan tegangan geser maksimum cf!A c antara motor di A dan gigi di C. (Gunakan G = 80 GPa.)



Motor



J .o m -



rl



- 1 .2 m



l



TA = 796 N·m



TB = 557 N·m



Tc = 239 N·m



c



Gambar 3-31 Contoh 3-8



Solusi Tarsi yang bekerja pada batang. Kita mulai analisis dengan menentukan torsi yang diterapkan pacta batang oleh motor dan kedua gigi. Karena motor memberikan 50 kW pacta 10 Hz, maka akan terjadi torsi TA di ujung A dari batang (Gambar 33 1 b) yang dapat kita hitung dengan Persamaan (3-40). TA



p =



27rf



=



50 kW - 796 N · m 27r(IO Hz)



Dengan cara sama, kita dapat menghitung torsi TB dan Tc yang diterapkan oleh gigi ke batang:



p



c



27rf



T - _ -



27rf



35 kW = 557 N·m 27r(10 Hz) 15 kW - 239 N·m 27r(IO Hz)



Torsi ini ditunjukkan dalam diagram benda bebas batang (Gambar 3-3 1 b). Perhatikan bahwa torsi yang diterapkan oleh gigi adalah berlawanan arah dengan torsi yang diterapkan oleh motor. (Jika kita berpikir bahwa TA sebagai "beban" yang diterapkan ke batang oleh motor, maka torsi TB dan Tc adalah "reaksi" gigi.) Torsi internal di kedua segmen batang diperoleh dengan menggunakan diagram benda bebas dalam Gambar 3-3 1b: TAB = 796 N·m



TBc = 239 N·m



Kedua torsi internal ini bekerja dengan arah yang sama sehingga sudut puntir di segmen AB dan BC saling menjumlahkan dalam mencari sudut puntir total.



Mekanika Bahan



1 97



(Jelasnya, kedua torsi adalah positif menurut perjanjian tanda yang diuraikan dalam Subbab 3.4.) Tegangan geser dan sudut puntir. Tegangan geser dan sudut puntir di segmen AB dari batang diperoleh dengan cara biasa dari Persamaan (3- 12) dan (3- 15):



7r(SO mm(



1rd3 1/JAB



GIP (SO GPa)



( / )-Q 4 32 7 r



'



= 0,01 62 rad



mm)



Besaran tersebut untuk segmen BC adalah BC



1/J



BC



-



1rd3 TBc LBc



GIP



-



7r(50 mm)3



' =



(80



0.0058 rad



mm)4



Jadi, tegangan geser maksimum di batang terjadi di segmen AB dan sama dengan



rmaks = 32,4 MPa



1/JA c = 1/JAB + 1/JB c



0,0 1 62 rad + 0,0058 rad = 0,0220 rad



•



1 ,26°



•



Sebagaimana telah diterangkan, baik gigi maupun batang berputar pada arah yang sama sehingga sudut puntir saling memperbesar.



ELEMEN STRUKTUR TORSIONAL STATIS TAK TENTU



Batang yang dibahas pada subbab-subbab sebelumnya dalam bab ini adalah statis tertentu karena semua torsi internal dan semua reaksi dapat diperoleh dari diagram benda bebas dan persamaan keseimbangan. Jika kekangan lain, seperti tumpuan jepit, ditambahkan ke batang, maka persamaan ke- seimbangan tidak lagi memadai untuk menentukan torsi. Batang demikian disebut statis tak tentu. Elemen torsional seperti ini dapat dianalisis dengan menggunakan persamaan keseimbangan yang dilengkapi dengan persamaan keserasian yang berkaitan dengan peralihan rotasional. Jadi, metode umum untuk menganalisis elemen torsional statis tak tentu sama dengan yang diuraikan dalam Subbab 24 untuk batang statis tak tentu dengan beban aksial. Langkah pertama adalah menuliskan persamaan keseimbangan (equations of equilibrium) dengan menggunakan diagram benda bebas yang diperoleh dari situasi fisik yang diketahui. Besaran anu di dalam persamaan keseimbangan adalah torsi, apakah torsi internal atau torsi reaksi. Langkah kedua di dalam analisis adalah memformulasikan persamaan keserasian (equations compatibility) yang didasarkan atas kondisi fisik yang berkaitan dengan sudut puntir. Dengan demikian, persamaan keserasian mengandung sudut puntir sebagai anu. Langkah ketiga adalah menghubungkan sudut puntirdengan torsi dengan menggunakan hubungan torsi-peralihan (torque-displacement relations) seperti 1/J TUGIP. Sesudah memasukkan hubungan ini ke dalam persamaan keserasian, maka akan didapatkan persamaan dengan torsi sebagai anu. Dengan demikian, =



1 98



Bab 3 Torsi



langkah terakhir adalah menyelesaikan secara simultan persamaan keseimbangan dan keserasian untuk mendapatkan torsi. Untuk menggambarkan metode solusi ini, kita akan menganalisis batang komposit AB yang terlihat dalam Gambar 3-23a dan b. Batang ini dijepit di ujung A dan dibebani torsi T di ujung B, Batang ini terdiri atas batang solid di dalam tabung, di mana batang solid dan tabung tersebut digabungkan pada plat ujung kaku di B. Untuk mudahnya, kita akan memberikan notasi batang solid dan tabung (serta besaranbesarannya) masing-masing sebagai bahan 1 dan 2. Sebagai contoh, diameter batang solid diberi notasi d1 dan diameter luar tabung diberi notasi d2• Ada celah kecil di antara batang dan tabung sehingga diameter dalam dari tabung sedikit lebih besar daripada d1• Apabila torsi T diterapkan pada ujung batang, maka plat ujung berotasi dengan sudut kecil uah balok ABCD dengan lengan C£ ditumpu



_



' _ - - -'-'"



.! 3- ' i '- .: : _ 1 :



P



q,



�J r



balok scdcrhana di A dan D ( l i hat gambar). kabel yang melalui katrol kecil terpa,ang di £.



A



ujung kabel terpasang di balok di titik B. Berapakah di kabcl jika momen kntur di balok sedikit di kiri ;



in. =



1 2,28 in. 3



Sebagaimana telah disebutkan sebelum ini, kita dapat memperoleh hasil yang sama jika kita menghitung momen pertama dari area di atas sumbu netral, tetapi perhitungan dengan cara ini akan sedikit lebih lama. Dengan memasukkan angka-angka ini ke dalam rumus geser, kita peroleh



rmaks



-



It



-



(69,65 in. 4 ) ( 1 in.)



7 O ps1



yang merupakan tegangan geser maksimum di balok. Distribusi parabolik tegangan geser ditunjukkan dalam Gambar 5-38b.



5·11 BALOK TERSUSUN DAN ALIRAN G ESERI



(a)



(b)



(c)



Gambar 5·39 Potongan melin-



tang balok tersusun: (a) kotak kayu, (b) balok glulam (kayu lapis yang dilem), dan (c) girder pelat



Balok tersusun dibuat dari dua atau lebih bagian bahan yang digabungkan untuk membentuk balok tunggal. Balok seperti ini dapat mempunyai berbagai bentuk untuk memenuhi kebutuhan arsitektural atau struktural dan untuk memberikan penampang yang lebih besar daripada yang biasanya tersedia. Gambar 5-39 menunjukkan beberapa balok berpenampang tersusun. Bagian (a) dari gambar ini menunjukkan balok boks kayu yang terbuat dari dua papan, yang berfungsi sebagai flens, dan dua badan kayu lapis. Bagian-bagian ini digabungkan satu sama lain dengan paku, sekrup, atau lem sedemikian rupa sehingga beraksi sebagai satu unit tunggal. Balok boks dapat juga terbuat dari bahan lain, termasuk baja, plastik, dan komposit. Contoh kedua adalah balok berlapis berlem (glulam beam) yang terbuat dari papan-papan yang dilem satu sama lain untuk membentuk balok yang jauh lebih besar daripada yang dapat dipotong dari sebuah pohon sebagai elemen struktur tunggal. Balok glulam banyak digunakan dalam konstruksi bangunan gedung kecil. Contoh ketiga adalah girder plat baja yang umumnya digunakan untuk jembatan dan bangunan-bangunan besar. Girder ini, terdiri dari tiga buah



Mekanika Bahan



307



plat baja yang disambung dengan pengelasan, dapat dibuat dalam ukuran yang jauh lebih besar daripada yang saat ini tersedia dengan plens lebar yang biasa ataupun balok-1. Balok tersusun harus didesain sedemikian rupa sehingga balok berperilaku sebagai elemen struktur tunggal. Karena itu, perhitungan desain meliputi dua tahap. Dalamtahap pertama, balok didesain seolaholah terbuat dari satu bagian, dengan memperhitungkan baik tegangan lentur maupun geser. Dalam tahap kedua, sambungan antara bagianbagian (seperti paku, baut, lasan, dan lem) didesain untuk menj amin bahwa balok memang berperilaku sebagai satu kesatuan tunggal. Khususnya, sambungannya harus cukup kuat untuk menyalurkan gaya geser horizontal yang bekerja antara bagian-bagian balok. Untuk mendapatkan gaya-gaya ini, kita menggunakan konsep aliran geser. • Aliran Geser (Shear Flow)



Untuk mendapatkan rumus gaya geser horizontal yang bekerja antara bagian-bagian balok, kita kembali meninjau penurunan rumus geser (lihat Gambar 5-28 dan 5-29 dalam Subbab 5.8). Dalam penurunan tersebut, kita memotong elemen mm1n1n dari suatu balok (Gambar 540a) dan meninjau keseimbangan horizontal subelemen mm1p1p (Gambar 5-40b). Dari keseimbangan horizontal subelemen tersebut, kita dapatkan gaya F3 (Gambar 5-40c) yang bekerja di permukaan bawah:



f



F3 =



ydA



(5-5 1 )



Persamaan ini diulang dari Persamaan (5-33) dari Subbab 5.8. Sekarang kita definisikan besaran baru yang disebut aliran geser f Aliran geser adalah gaya geser horizontal per satuan jarak di sepanjang sumbu longitudinal dari balok. Karena gaya F3 bekerja di sepanjang jarak dx, maka gaya geser per satuan jarak sama dengan F3 dibagi dx; jadi,



(a)



f=



F3



=



dx



( )f



dM ! .. dx I



ydA



Dengan mengganti dM/dx dengan gaya geser Vdan menulis integral dengan Q, kita dapatkan rumus aliran geser: I I c



xd



_ _



_



I I I



b( )



dx l



(c) Gambar 5-40 Gaya geser tegangan geser horizontal di sebuah balok. Gambar-gambar ini diulang dari Gambar 5-28 dan 5-29



VQ (5-52) I Persamaan ini memberikan aliran geser yang bekerja di bidang horizontal pp1 yang ditunjukkan dalam Gambar 5-40a. Besaran V, Q, dan I mempunyai arti yang sama dengan yang digunakan dalam rumus geser. Jika tegangan geser di bidang pp 1 terdistribusi terbagi rata, sebagaimana kita asumsikan untuk balok persegi panjang dan balok sayap lebar, aliran geser f akan sama dengan rb. Dalam kasus tersebut, rumus aliran geser akan menjadi rumus geser (Persamaan 5-38). Namun, penurunan Persamaan (5-5 1) untuk gaya F3 tidak melibatkan asumsi apapun tentang distribusi tegangan geser di balok. Sebaliknya, gaya F3 diperoleh hanya dari keseimbangan horizontal subelemen (Gambar 540c). Dengan demikian, kita sekarang dapat menginterpretasikan subelemen dan gaya F3 dalam bentuk yang lebih umum daripada sebelumnya. Subelemen dapat berupa sebarang blok prismatis antara potongan melintang mn dan m1n1 (Gambar 5-40a). Subelemen ini tidak harus f =



308



Bab 5 Tegangan Di Balok (Topik Dasar)



diperoleh dengan membuat potongan horizontal tunggal (seperti



pp1) melalui balok. Juga, karena gaya F3 adalah gaya geser horizontal



a



a



total yang bekerja antara subelemen dan bagian lain dari balok, maka gaya ini dapat terdistribusi di sisi-sisi manapun dari subelemen, tidak hanya di permukaan bawah. Komentar yang sama ini berlaku untuk aliran geserf, karena ini hampir serupa dengan gaya F3 per satuan jarak. Sekarang kita kembali ke rumus aliran geser f = VQ/1 (Persamaan 55 2). Besaran V dan I mempunyai arti sebagaimana biasa dan tidak dipengaruhi oleh pemilihan subelemen. Namun, momen pertama Q adalah besaran dari muka potongan melintang subelemen. Untuk menggambarkan bagaimana Q ditentukan, kita akan meninjau tiga contoh khusus tentang balok tersusun (Gambar 5-41). • Daerah yang Digunakan Untuk Menghitung Momen Pertama Q



(a)



(b)



z



0 (c



Gambar 5-41 Luas yang di-



gunakan dalam menghitung momen pertama Q



Contoh pertama balok tersusun adalah girder plat baja yang dilas (Gambar 5-4 l a). Las harus dapat menyalurkan gaya geser horizontal yang bekerja antara sayap dan badan. Di sayap atas, gaya geser horizontal (per satuan jarak di sepanjang sumbu balok) adalah aliran di geser sepanjang permuka- an kontak aa. Aliran geser ini dapat dihitung dengan mengambil Q sebagai momen pertama dari luas potongan melintang di atas permukaan kontak aa. Dengan perkataan lain, Q adalah momen pertama dari luas flens (terlihat digelapkan dalam Gambar 5-41 a), yang dihitung terhadap sumbu netral. Sesudah menghitung aliran geser, kita dapat secara langsung menentukan jumlah las yang diperlukan untuk menahan gaya geser, karena kekuatan las biasanya ditetapkan dalam gaya per satuan jarak di sepanjang las. Contoh kedua adalah balok sayap lebar yang diperkuat dengan profil kanal yang dikeling ke masing-masing flens (Gambar 5-4 l b). Gaya geser horizontal yang bekerja antara setiap kanal dan balok utama harus disalurkan oleh paku keling. Gaya ini dihitung dari rumus aliran geser dengan menggunakan Q sebagai momen pertama keseluruhan kanal (terlihat digelapkan dalam gambar). Aliran geser yang diperoleh adalah gaya lon- gitudinal per satuan jarak yang bekerja di sepanjang permukaan kontak bb, dan paku keling harus mempunyai ukuran dan jarak longitudinal yang memadai untuk menahan gaya ini. Contoh terakhir adalah balok boks kayu dengan dua flens dan dua badan yang disambung oleh paku atau sekrup (Gambar 5-4 l e). Gaya geser horizontal total antara flens atas dan badan adalah aliran geseryang bekerja di sepanjang permukaan kontak dan dd, dan karenanya, momen pertama Qccdihitung untuk flens atas (daerah yang digelapkan). Dengan kata lain, aliran geser yang dihitung dari rumus f = VQ/1 adalah aliran geser total di sepanjang semua permukaan kontak yang mengelilingi area yang digunakan untuk menghitung Q. Dalam hal ini, aliran geserf ditahan oleh maupun aksi gabungan dari paku-paku kedua sisi balok, yaitu baik dd, sebagaimana digambarkan dalam contoh berikut. pada cc • Contoh 5-1 4 Balok boks kayu (Gambar 5-42) terbuat dari dua papan, masing-masing mempunyai potongan melintang 40 mm x 1 80 mm, yang berfungsi sebagai flens dan dua badan kayu lapis, yang tebalnya 15 mm. Tinggi total balok adalah 280 mm. Kayu lapis ini disambung ke flens dengan menggunakan sekrup kayu yang mempunyai



Mekanika Bahan



Potongan melintang



Gambar 5-42 Contoh 5-14.



Tampak samping (b)



(a)



Balok kotak (boks) kayu



309



beban izin geser F = 11 00 N untuk satu sekrup. Jika gaya geser V yang bekerja di penampang adalah 10,5 kN, tentukan jarak longitudinal izin maksimum sekrup s (Gambar 5-42b).



Solusi Aliran geser. Gaya geser horizontal yang disalurkan antara flens atas dan kedua



badan dapat diperoleh dari rumus aliran geser f = VQ/I, di mana Q adalah momen pertama dari luas flens tersebut. Untuk mendapatkan momen pertama, kita kalikan luas At dari flens dengan jarak dt dari pusat beratnya ke sumbu netral: 2 dt = 1 20 mm At = 40 mm x 180 mm = 7200 mm



Q = A;Jt = (7200 mm2)(1 20 mm) = 864 x 1 03 mm3 Momen inersia keseluruhan penampang terhadap sumbu netral sama dengan momen inersia persegi panjang yang luar dikurangi momen inersia "lubang" (persegi panjang dalam): 1 1 I = }2 (210 mm)(280 mm)3 - 12 (180 mm)(200 mm)3 = 264,2



x



106 mm4



Dengan memasukkan V, Q, dan I ke dalam rumus aliran geser (Persamaan 5-52), kita peroleh I



264,2 x 106 mm4



'



yang merupakan gaya geser per mm panjang yang harus disalurkan antara flens dan kedua badan. Jarak sekrup. Karena jarak longitudinal sekrup adalah s, dan karena ada dua garis sekrup (satu di masing-masing sisi flens), maka kapasitas beban sekrup adalah 2F per jarak s di sepanjang balok. Dengan demikian, kapasitas sekrup per jarak satuan di sepanjang balok adalah 2F/s. Dengan menyamakan 2F/s dengan s, aliran geser f dan memecahkan jarak kita dapatkan 2F



2( 1100 N) = = 64'1 mm f 34,3 N/mm Harga s ini adalah jarak izin maksimum antara sekrup, berdasarkan atas beban izin per sekrup. Setiap jarak yang lebih besar daripada 64, 1 mm akan menyebabkan sekrup kelebihan beban. Untuk memudahkan pembuatan, dan agar aman, jarak s = 60 mm akan dipilih.



s=



5· 1 2



I BALOK DENGAN BEBAN AKSIAL Elemen struktural sering mengalami aksi simultan beban lentur ctan beban aksial. Ini teijacti, sebagai contoh, pacta rangkapesawat, kolom pacta gectung, mesin, bagian-bagian kapal, ctan pesawat luar angkasa. Jika elemen struktur



31 0



Bab 5 Tegangan Di Balok (Topik Dasar)



Q +- -



p



(a)



(b)



8:l



8:l



8:l



8:l



8:l



Gambar 5-43 normal(g) (d) Tegangan (e) ( c) (f)



di balok kantilever yang mengalami beban lentur dan beban aksial: (a) balok dengan beban P yang bekerja di ujung bebas, (b) resultan tegangan yang bekerja di potongan melintang



x pada jarak dari tumpuan, (c) tegang-an tarik akibat gaya aksial N yang bekerja sendiri, (d) tegangan tarik dan tekan akibat momen Jentur M yang bekerja sendiri, dan (e), (f) (g) distri-busi tegangan akhir yang mungkin , akibat efek gabungan N dan M



tidak terlalu ramping, maka tegangan gabungan dapat diperoleh dengan superposisi tegangan lentur dan tegangan aksial. Untuk melihat bagaimana hal ini dicapai, tinjau balok kantilever yang terlihat dalam Gambar 5-43a. Satu-satunya beban di balok adalah gaya miring P yang bekerja melalui pusat berat penampang terakhir. Beban ini dapat diuraikan menjadi dua komponen, beban lateral Q dan beban aksial S. Kedua beban ini menghasilkan resultan tegangan dalam bentuk momen lentur M, gaya geser V, dan gaya aksial N di seluruh bagian balok (Gambar 5-43b). Pacta potongan melintang yang khas, jarak x dari tumpuan, resultan tegangan ini adalah M = Q(L - x) N=S V = -Q di mana L adalah panjang balok. Tegangan yang berkaitan dengan masing- masing resultan tegangan ini dapat ditentukan di sembarang titik pacta penampang dengan menggunakan rumus yanag tepat (a = -My/1, r = VQ/ lb, dan a = N/A). Karena baik gaya aksial N maupun momen lentur M menimbulkan tegangan normal, maka kita perlu menggabungkan tegangan tersebut untuk mendapatkan distribusi tegangan Gaya aksial akhir. (apabila bekerja sendiri) menghasilkan distribusi tegangan terbagi rata a = NIA di seluruh bagian penampang, sebagaimana ditunjukkan oleh diagram tegangan dalam Gambar 5-43c. Dalam contoh khusus ini, tegangan a adalah tarik, sebagaimana ditunjukkan dengan tanda positif di dalam diagram. Momen lentur menghasilkan tegangan yang bervariasi secara linier a = -My// (Gambar 5-43d) dengan tekan di bagian atas balok dan tarik di bagian bawah. Jarak y diukur dari sumbuz, yang melalui pusat berat penampang. Distribusi akhir tegangan normal diperoleh dengan menggabungkan tegangan-tegangan yang dihasilkan oleh gaya aksial dan momen lentur, sebagai berikut: (5-53) Perhatikan bahwa N adalah positif apabila menimbulkan tarik dan M adalah positif menurut perjanjian tanda momen lentur (momen lentur positif menghasilkan tekan di bagian atas balok dan tarik di bagian bawah). Juga, sumbu y adalah positif ke atas. Selama kita menggunakan perjanjian tanda ini dalam Persamaan (5-53), tegangan normal a akan positif untuk tarik dan negatif untuk tekan. Distribusi tegangan akhir bergantung pacta harga aljabar relatif dari suku-suku dalam Persamaan (5-53). Untuk contoh ini, ketiga kemungkinan ditunjukkan dalam Gambar 5-43e, f, dan g. Jika tegangan lentur di atas balok (Gambar 5-43d) secara numerik lebih kecil daripada tegangan aksial (Gambar 5-43c), keseluruhan penampang akan mengalami tarik, seperti terlihat dalam Gambar 543e. Jika tegangan lentur di atas sama dengan tegangan aksial, maka distribusinya akan segitiga (Gambar 5-43f), dan jika tegangan lentur secara numerik lebih besar daripada tegangan aksial, maka sebagian penampang tersebut akan mengalami tekan dan sisanya mengalami tarik (Gambar 5-43g). Tentu saja, jika gaya aksial adalah gaya tekan, atau jika momen lentur berlawanan arah, distribusi tegangan akan berubah juga. Kapan saja beban aksial da'l lentur bekerja bersamaan, maka sumbu netral (y .1itu garis di penampang di mana tegangan normal sama dengan



Mekanika Bahan



31 1



nol) tidak lagi melalui pusat berat penampang. Seperti terlihat dalam Gambar 5-43e, f, dan g, berturut-turut, sumbu netral dapat berada di luar, di tepi, atau di dalam penampang. Penggunaan Persamaan (5-53) untuk menentukan tegangan di balok dengan beban aksial digambarkan dalam Contoh 5-15. • Beban Aksial Eksentris Beban aksial eksentris adalah gaya aksial yang tidak bekerja melalui



pusat berat penampang. Contohnya terlihat dalam Gambar 5-44a, di mana balok kantilever AB mengalami beban P tarik yang bekerja e pada jarak x dari sumbu x (sumbu melalui pusat berat penampang). Jarak e, yang x disebut beban, adalah positif di arah positif eksentrisitas sumbu y. Beban eksentris P secara statis ekivalen dengan beban aksial P dan momen lentur bekerja di sepanjang sumbuyang x Pe yang bekerja sumbu z (Gambar 5-44b). Perhatikan bahwa momenPe adalah terhadap momen lentur negatif. Tampak potongan melintang balok (Gambar 5-44c) menunjukkan melalui pusat berat sumbu y dan z C penampang. Beban eksentris berpotongan dengan sumbu y, yang merupakan sumbu simetri. P Karena gaya aksial N di sembarang penampang sama dengan P, dan karena momen lentur M sama dengan -Pe, maka tegangan normal di sembarang titik di batang (dari Persamaan 5-53) adalah



(a)



(b)



(5-54)



8



(d) Gambar 5-44 (a) Balok



kantilever dengan beban aksial eksentris (b) beban dan P,



P



Pe



ekivalen, (c) potongan melintang balok, dan (d) distribusi tegangan normal di potongan melintang



di mana A adalah luas penampang dan I adalah momen inersia terhadap sumbu z. Distribusi tegangan yang diperoleh dari Persamaan (5-54), untuk kasus di mana P dan e positif, terlihat dalam Gambar 5-44d. Posisi sumbu netral nn (Gambar 5-44c) dapat diperoleh dari Persamaan (5-54) dengan mengatur tegangan sama dengan nol dan Cf memecahkan koordinat y, yang sekarang kita sebut y0 • Hasilnya adalah Koordinat y0 diukur dari akibat



I Yo = - Ae sumbu (yang merupakan



(5-55) sumbu netral



z



lentur mumi) ke garis nn yang bertegangan nol (sumbu netral akibat beban lentur dan aksial). Karena y 0 adalah positif dalam arah sumbu y (ke atas dalam Gambar 5-44c), maka ini diberi label -y0 apabila digambarkan ke bawah dalam gambar. Dari Persamaan (5-55) kita lihat bahwa sumbu netral terletak di bawah sumbu apabila z e positif dan di atas sumbuz apabila e negatif. Jika eksentrisitas berkurang, makajarak y0 bertambah dan sumbu netral bergerak menjauhi pusat berat. Limitnya, apabilae mendekati nol, adalah beban bekerja di pusat berat, sumbu netral terletak pacta jarak tak hingga, dan distribusi tegangan terbagi rata. Jika eksentrisitas bertambah, maka jarak y0 berkurang dan sumbu netral bergerak menuju pusat berat. Limit lain terjadi apabilae menjadi sangat besar, berarti beban bekerja pada jarak tak hingga, sumbu netral melalui pusat berat, dan distribusi tegangan sama dengan yang terdapat pada kasus lentur mumi. Beban aksial eksentris dianalisis pada beberapa soal di akhir bab ini (lihat Soal 5. 12-13 sampai 5. 12-19).



31 2



Bab 5 Tegangan Di Balok (TopikDasar)



• lnti Penampang



(a)



(b) Gambar 5-45 Beban tekan P yang bekerja di kolom persegi panjang



Jika beban aksial bekerja dengan eksentrisitas kecil, maka sumbu netral dapat berada di luar balok, sebagaimana diterangkan dalam bab sebelum ini. Pada saat ini terjadi, tegangan normal akan mempunyai tanda sama di seluruh penampang, dan balok akan seluruhnya mengalami tarik atau seluruhnya mengalarni tekan. Kondisi ini penting, sebagai contoh, apabila beban tekan bekerja di bahan yang sangat lemah terhadap tarik, seperti beton, batu, atau keramik. Pada bahan tersebut kita harus yakin bahwa beban menghasilkan hanya tekan di penampang. Untuk melihat bagaimana ini dicapai, tinjau contoh dalam Gambar 5-45a. Di dalam contoh ini, beban aksial tekan P bekerja dengan eksentrisitas e di kolom persegi panjang dengan lebar b dan tinggi h. Apabila e kecil, maka sumbu netral nn terletak di luar kolom dalam arah y (Gambar 5-45b) dan seluruh penampang mengalami tekan. Apabila beban bergerak dalam arah y positif dan eksentrisitas e bertambah, maka sumbu netral bergerak mendekati tepi penampang. Pada saat sumbu netral mencapai tepi penampang (y0 = -h/2, atau -y0 = -h/2), distribusi tegangan menjadi segitiga tetapi seluruhnya masih berupa tekan. Dengan semakin meningkatnya e, sumbu netral akan bergerak ke dalam penampang dan bagian dari kolom ini sekarang berada dalam keadaan tarik. Harga maksimum dari eksentrisitas agar semua kolom mengalami tekan terjadi apabila sumbu netral berada di tepi penampang, yaitu pada saat y0 sama dengan -h/2. Harga eksentrisitas e1 tersebut diperoleh dari Persamaan (5-55):



bh3/12 h (5-56) 6 (bh)(h/2) Jadi, selama eksentrisitas lebih kecil daripada h/6, seluruh penampang I



A(-h/2)



akan mengalarni tekan. (lngat bahwa hasil ini berlaku hanya pada balok dengan penampang persegi panjang.) Analisis yang sama dapat dilakukan untuk beban tekan yang bekerja di sepanjang sumbu y negatif. Dalam hal ini, sumbu netral ada di sisi kolom di mana y adalah positif dan harga eksentrisitas yang membatasi adalah e1 = -h/6. Dengan demikian, kita sampai pada kesimpulan berikut: Jika



beban P diterapkan pada sumbu y dengan eksentrisitas antara h/6 dan -h/6, maka seluruh penampang akan mengalami tekan. Karena selang harga ini menandakan bahwa P terletak di dalam sepertiga tinggi h, maka kalimat tersebut dikenal dengan aturan sepertiga tengah. Aturan ini berlaku hanya pada penampang persegi panjang; untuk penampang berbentuk lain, eksentrisitas yang membatasi akan mempunyai harga yang berbeda. Analisis yang sama dengan yang disebutkan di atas dapat dilakukan untuk kolom persegi panjang dalam Gambar 5-45 apabila beban P bekerja disebuah titik pada sumbu Selanjutnya kita dapatkan z. bahwa seluruh kolom mengalarni tekan selama bebannya bekerja dengan eksentrisitas antara b/6 dan -b/6. Jadi, kita simpulkan bahwa ada daerah kecil yang mengelilingi pusat berat sedemikian rupa sehingga seluruh elemen Cstruktur berada dalam keadaan tekan selama beban bekerja di dalam daerah tersebut. Daerah ini disebut inti atau kern dari penampang. Dengan pertolongan aturan sepertiga tengah dan beberapa analisis tambahan, adalah mungkin untuk membuktikan bahwa inti persegi panjang adalah rhombus



Mekanika Bahan



31 3



dengan diagonal yang panjangnya h/3 dan b/3 (Gambar 5-46).* Inti dari bentuk penampang lainnya ditentukan dalam Soal 5.12-20 sampai 5. 1 2-24 di akhir bab ini. • Pembatasan



1



-



b�



Gambar 5-46



Inti penampang persegi panjang



Analisis terdahulu mengenai balok dengan beban aksial didasarkan atas asumsi bahwa momen lentur dapat dihitung tanpa meninjau defleksi balok. Dengan perkataan lain, dalam menentukan momen lentur M untuk di- gunakan dalam Persamaan (5-53), kita harus dapat menggunakan dimensi semula dari balok-dimensi sebelum terjadinya deformasi atau defleksi. Penggunaan dimensi semula adalah sah asalkan balok relatif kaku terhadap lentur, supaya defleksi yang terjadi sangat kecil. Jadi, dalam menganalisis suatu balok dengan beban aksial, adalah penting untuk membedakan antara balok gemuk, yang relatif pendek sehingga mempunyai tahanan besar terhadap lentur. dan balok langsing, yang relatif panjang sehingga sangat fleksibel. Dalam hal balok gemuk, defleksi lateralnya sedemikian kecil sehingga tidak ada efek signifikan terhadap garis kerja gaya aksial. Akibatnya, momen lentur tidak akan bergantung pada defleksi dan tegangan dapat diperoleh dari Persamaan (5-53). Dalam hal balok langsing, defleksi lateral (meskipun kecil) cukup besar untuk mengubah garis kerja gaya aksial. Apabila hal ini terjadi, momen lentur tambahan, yang sama dengan hasil kali gaya aksial dan defleksi lateral, muncul di setiap penampang. Dengan perkataan lain ada interaksi, antara efek aksial atau kopel dan efek lentur. Jenis perilaku ini dibahas dalam B ab 11 mengenai kolom. Pembedaan antara balok gemuk dan balok langsing jelaslah tidak tepat. Pada umumnya, satu-satunya cara untuk mengetahui apakah efek interaksi penting adalah dengan menganalisis balok dengan atau tanpa interaksi dan memperhatikan apakah hasilnya sangat berbeda. Namun, prosedur ini mungkin membutuhkan perhitungan yang cukup panjang. Karenanya, sebagai pedoman praktis, kita biasanya memandang sebuah balok dengan rasio panjang terhadap tinggi sebesar 10 atau kurang sebagai balok gemuk. Hanya balok gemuklah yang ditinjau dalam contoh-contoh dan soal-soal dalam bab ini. Contoh 5-15 Sebuah balok tabung A CB yang panjangnya L = 60 in. ditumpu sendi di ujungujungnya dan dibebani oleh gaya miring P di tengah-tinggi (Gambar 5-47a). Jarak dari titik bekerjanya beban P ke sumbu longitudinal tabung adalah d = 5,5 in. Penampang tabung ini adalah bujursangkar (Gambar 5-47b) dengan dimensi luar 2 momen inersia I = 86,67 in. Tentukan 4 b= 6,0 in., luas A = 20,0 in. , dan tegangan tarik dan tekan maksimum di balok akibat beban P = 1 000 lb.



Solusi Balok dan pembebanan. Kita mulai dengan menyatakan balok dan bebannya dalam bentuk yang diidealkan untuk maksud analisis (Gambar 5-48a). Karena tumpuan di ujung A menahan baik peralihan horizontal maupun vertikal, maka ini direpresentasikan sebagai tumpuan sendi. Tumpuan di B mencegah peralihan vertikal tetapi tidak menahan peralihan horizontal, sehingga ditunjukkan sebagai tumpuan rol. *Konsep tentang inti suatu penampang diperkena1kan o1eh insinyur Perancis J.A.C. Bresse pada tahun 1854; 1ihat Ref. 5- 12.



Bab 5 Tegangan Di Balok (Topik Dasar)



31 4



=



30 in.



= 30 in.



b = 6 in.



z



-1



1- t



b = 6 in.



(b)



(a)



Gambar 5-47 Contoh 5-15



Beban miring P diuraikan atas komponen horizontal Ph dan vertikal Pv. Ph = P sin 60° = (1 000 lb)(sin 60°) = 866 lb Pv = P cos 60° = (1 000 lb)(cos 60°)



=



500 lb



Komponen horizontal Ph dipindahkan ke sumbu balok dengan menambahkan momen M0 (Gambar 5-48a):



M0 = Phd = (866,0 lb)(5,5 in.) = 4760 !b-in. Perhatikan bahwa beban Ph, Pv, dan M0 yang bekerja di titik tengah C dari balok secara statis ekivalen dengan beban P semula. Reaksi dan resu/tan tegangan. Reaksi balok (Rh, RA, dan R8) ditunjukkan dalam Gambar 5-48a. Juga, diagram gaya aksial N, gaya geser V, dan momen lentur M ditunjukkan dalam Gambar 5-48b, c, dan d. Semua besaran ini diperoleh dari diagram benda bebas dan persamaan kesetimbangan dengan menggunakan cara-cara yang telah diuraikan dalam Bab 4. Tegangan di balok. Tegangan tarik maksimum di balok terjadi di bawah balok (y-3,0 in.) sedikit di kiri titik tengah C. Kita sampai pada kesimpulan ini dengan mengingat bahwa di titik ini pada balok tegangan tarik akibat gaya aksial menambah tegangan tarik akibat momen Jentur terbesar. Jadi, dari Persamaan (553), kita dapatkan



(a)



=



(b) 329 lb



V 0



(c)



A



-171 lb



9870 !b-in.



My



(9870 lb-in.)(-3,0 in.) 866 lb 20,0 in. 2 86,67 in.4 = 43 psi + 342 psi = 385 psi N _



, , ,



I



Tegangan tarik maksimum terjadi di atas balok (y = 3,0 in.) di kiri titik C atau di atas balok di kanan titik C. Kedua tegangan ini dihitung sebagai berikut: N



A_



(d)



My I



866 lb 20,0 in.2



(987086,67 lb-in.)(-3,0 in.4 in.)



= 43 psi - 342 psi = -299 psi Gambar 5-48 Solusi Contoh 5-15. (a) Balok dan pembebanan yang diidealisasi, (b) diagram gaya aksial, (c) diagram gaya geser, dan (d) diagram momen lentur



A



86,67 in. 4



I



'



Jadi, tegangan tekan maksimum adalah



(aclmaks = -299 psi dan terjadi di atas balok di kiri titik C. Contoh ini menunjukkan bagaimana tegangan normal di suatu balok akibat gabungan antara lentur dan beban aksial dapat ditentukan. Tegangan geser yang bekerja di penampang balok (akibat gaya geserV) dapat ditentukan secara independen dari tegangan normal, sebagaimana telah dibahas sebelum ini di dalam bab ini. Nanti, di dalam Bab 7, kita akan melihat bagaimana menentukan tegangan di bidang miring apabila kita mengetahui tegangan normal dan tegangan geser yang bekerja di bidang-bidang penampang.



Mekanika Bahan



315



*5·13 I KONSENTRASI TEGANGAN PADA KONDISI LENTUR



M



M



(



)



(a)



M



M



(



)



(b) Gambar 5-49 Distribusi tegangan di sebuah balok yang mengalami lentur murni dengan lubang lingkaran di sumbu netral. (Balok ini mempunyai penampang persegi panjang dengan tinggi h dan tebal b.)



Rumus lentur dan geser yang dibahas dalam subbab-subbab terdahulu di dalam bab ini belaku untuk balok tanpa lubang, takikan, atau perubahan dimensi mendadak. Manakala diskontinuitas seperti ini ada, tegangan lokal yang tinggi akan terjadi. Konsentrasi tegangan seperti ini dapat menjadi sangat penting pada elemen struktur yang terbuat dari bahan getas atau yang mengalami beban dinamis. (Lihat Bab 2, Subbab 2. 10 untuk pembahasan tentang kondisi di mana konsentrasi tegangan merupakan hal penting.) Untuk ilustrasi, dua kasus konsentrasi tegangan di balok dibahas di dalam subbab ini. Kasus pertama adalah balok dengan penampang persegi panjang dengan 1ubang di sumbu netral (Gambar 5-49). Balok ini mempunyai tinggi h dan tebal b (tegak lurus bidang gambar) dan mengalarni lentur mumi akibat aksi momen lentur M. Apabila diameter d lubang adalah kecil dibandingkan dengan tinggi h, maka distribusi tegangan di potongan melintang yang melalui lubang kurang lebih seperti terlihat dalam Gambar 5-49a. Di titik B pada tepi lubang, tegangannya jauh lebih besar daripada tegangan yang dapat ada di titik tersebut seandainya tidak ada lubang. (Garis putus-putus di dalam gambar tersebut menunjukkan distribusi tegangan tanpa lubang.) Namun, apabila kita berjalan menuju tepi luar balok (menuju titik A), distribusi tegangan bervariasi secara linier terhadap jarak dari sumbu netral dan hanya sedikit dipengaruhi oleh adanya lubang. Apabila lubangnya relatif besar, maka pola tegangan kurang lebih seperti terlihat da1am Gambar 5-49b. Ada peningkatan tegangan di titik B dan hanya sedikit perubahan tegangan di titik A dibandingkan dengan distribusi tegangan di balok tanpa lubang (sekali lagi, ini ditunjukkan dengan garis putus-putus). Tegangan di titik lebih besar daripada tegangan di A tetapi lebih kecil daripada tegangan di C B. Penyelidikan lebih da1am telah menunjukkan bahwa tegangan di tepi lubang (titik B) kurang lebih dua kali tegangan nominal di titik tersebut. Tegangan nominal dihitung dari rumus lentur dengan cara standar, yaitu, CJ = My//, di mana y adalah jarak d/2 dari sumbu netra1 ke titik B dan I adalah momen inersia penampang neto di lokasi lubang. Jadi, kita mempunyai rumus pendekatan berikut untuk tegangan di titik B: (5-57) Di tepi luar balok (di titik C), tegangan kurang lebih sama dengan tegangan nominal (bukan tegangan aktual) di titik A (di mana y = h/2): (5-58) Pacta dua persamaan terakhir ini kita lihat bahwa rasio CJsfCJc kurang lebih sebesar 2d/h. Jadi kita simpulkan bahwa apabila rasio antara d!h diameter terhadap tinggi balok melebihi 1/2, maka tegangan terbesar terjadi di titik d!h B. Apabila kurang dari 1/2, maka tegangan terbesar terjadi di titik C. Kasus kedua yang akan kita bahas adalah balok persegi panjang dengan takik (Gambar 5-50). Ba1ok pacta gambar tersebut mengalarni lentur mumi dan mempunyai tinggi h dan tebal b (tegak 1urus bidang gambar).



316



Bab 5 Tegangan Di Balok (Topik Dasar)



Juga, tinggi neto balok (yaitu, jarak antara dasar masing-masing takikan) adalah h1 dan radius di dasar masing-masing takikan adalah R. Tegangan maksimum untuk balok ini terjadi di dasar takikan dan dapat jauh lebih besar daripada tegangan nominal di titik yang sama. Tegangan nominal dihitung dari rumus lentur dengan y h /2 dan I = bhf/12; jadi, =



M (]nom = y = 6M I bh2I -



(5-59)



-



Tegangan maksimum sama dengan faktor konsentrasi tegangan K dikalikan tegangan nominal: (5-60)



·



;\



�- -- - �



-- �-



B E B A N AKSIAL EKSENTRIS



·



--



5 . 1 2- 1 3



·



Dua kabel, masing-masing memikul gaya tarik P = 1200 lb, dibaut ke blok baja (lihat gambar). Blok tersebut mempunyai tcbal t = 1 in. dan lebar b = 3 in. (a) Jika diameter d kabel adalah 0,25 in., berapa tarik maksimum dan tegangan tekan a, dan a, di blok tersebut? (b) Jika diameter kabel diperbesar (tanpa merubah gaya P), apa yang terjadi pada tegangan tarik dan tekan maksimum?



b�



p



-- 1



,,



1a1



--- , I, 1\



lp



! -- ,



(b



p _ _



5.1 2-1 6



_ .



'



5.1 2-1 4 Sebuah tiang lingkaran dan tiang perscgi panjang ditekan oleh beban-bcban yang menghasilkan gaya resul tan P yang bekerja di tepi penampang (li hat gambar). Diameter tiang lingkaran dan tinggi tiang persegi



Sebuah kolom pendek dari profil sayap lebar



mengalami beban tekan yang menyebabkan gaya resultan P = 60 kN yang bekerja di titik tengah satu sayap (lihat gambar). (a) Tentukan tegangan tarik maksimum am uk' dan tekan maksimum amin di kolom tersebut. (b) Tentukan lokasi sumbu netral akibal kondisi beban ini.



panjang sama. (a) Untuk lebar b drui tiang persegi panjang berapakah tegangan tarik maksimum akan sama di kedua tiang? (b) Pada kondisi yang disebutkan dalam bagian (a). tiang manakah yang mengalami tegangan tekan lebih besar?



I' rt111 l



12 111111 .1



5.1 2-17 x



=



Sebuah batang AB memikul beban P yang bekerja di pusat berat penampang ujung (lihat gambar).



1 1 I I _



i



200 mm _



1 60



Sebuah kolom pendek dari profil sayap lebar 30 mengalami beban tekan yang menyebabkan gaya resultan P 12 k yang bekerja di titik tengah satu sayap (lihat gambar). (a) Tentukan tegangan tarik maksimum amak> dan tekan maksimum ami n di kolom tersebut. (b) Tentukan lokasi sumbu netral akibat kondisi beban ini . WI0



5.1 2-1 5



�



--.----



3J8



Bab 5 Tegangan Di Balok (Topik Dasar)



P = l � k /Y



Tentukan inti untuk profil baja struktural W 10 x 30 (lihat gambar). 5. 1 2-21



5.1 2-1 8 Balok T yang terlihat dalam gambar mengalami gaya tekan P yang garis kerjanya melalui titik tengah flens. (a) Tentukan persamaan sumbu netral kondisi pembebanan ini. (b) Jika tegangan izin tarik dan tekan 5.1 2-22



beban izin maksimum P



ma



W 12 x



leL' I I Il�!k. a l l dtq1dl llll' n g lu t u n.� I L'g