Bahan Ajar KD 3.3 [PDF]

Citation preview

BAB III SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL A. Konsep SPLTV Definisi 3.1 : sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear dengan tiga variabel. B. Bentuk umum Bentuk umum SPLTV adalah sebagai berikut :



Contoh : Manakah persamaan berikut yang merupakan persamaan linear tiga variabel ? 1. 2𝑝 − 𝑟 = 2 2𝑝 + 3𝑞 − 𝑟 = 6 𝑝 + 3𝑞 = 3 Bukan merupakan SPLTV karena pers. Tersebut tidak menyatu membentuk satu sistem persamaan dan juga tidak memiliki tiga variabel yang saling membentuk sistem persamaan linear tiga variabel 2. 𝑥 = −2, 𝑦 = 5 𝑑𝑎𝑛 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 8 dapat dikatakan SPLTV karena ketiga persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : 𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = −2 0𝑥 + 𝑦 + 0𝑧 = 5 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 8 Selain itu juga ketiga variabelnya saling terkait membentuk sistem persamaan linear tiga variabel. C. Metode penyelesaian SPLTV (literasi) Dua persamaan linier atau lebih dikatakan membentuk sistem persamaan linier jika dan hanya jika variabel-variabelnya saling terkait dan variabel yang sama memiliki nilai yang sama sebagai penyelesaian setiap persamaan linier pada sistem tersebut. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier adalah suatu himpunan semua pasangan terurut yang memenuhi system tersebut. Perbedaan antara sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) dengan sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV) terletak pada banyak persamaan dan variabel yang digunakan. Oleh karena itu, penentuan himpunan penyelesaian SPLTV dilakukan dengan cara atau metode yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik. Syarat penyelesaian SPLTV : a. Apabila penyelesaian SPLTV tidak semuanya nol, maka SPLTV itu memiliki penyelesaian yang tidak trivial (pasangan berurut) MN Jenis-jenis penyelesaian SPLTV didasarkan pada kedudukan tiga bidang dari persamaan penyusun SPLTV: 1. Jika ketiga bidang saling sejajar, maka SPLTV tidak memiliki penyelesaian Contoh: x +y+z =2 2x +2y+2z = 3 x+y+z=3 2. Jika ketiga bidang saling berpotongan, maka SPLTV memiliki tak hingga penyelesaian Contoh: x=1 Y=1 x + y= 2 3. Jika ketiga bidang saling berpotongan pada sebuah titik, maka SPLTV memiliki satu penyelesaian. Contoh: x - 2y + z = 6 3x +y -2z = 4 7x -6y - z = 10 Penyelesaiannya : x=5 y=3 z=7 Umumnya persamaan linier tiga variabel dapat diselesaikan dengan cara : 1. Metode eliminasi metode eliminasi merupakan metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara menghilangkan salah satu peubah sehingga dihasilkan sistem persamaan linear dengan jumlah peubah lebih sedikit. Langkah penyelesaiannya : a. Pilihlah salah satu dari persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y. b. Subtitusikan x atau y atau z yang diperoleh langkah 1 ke dalam persamaan lainya sehingga didapat SPLDV. c. Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2. Contoh : 1.) Selesaikan persamaan berikut ini, untuk menentukan himpunan penyelesaian dari X, Y, dan Z. 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −3 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −4 Penyelesaian ; 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −3 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −4



pers.1 2 3



Eliminasi persamaan 2 dan 3 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −3 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −4 𝑦 +𝑧 =1



pers.4



Eliminasi pers. 1 dan 3 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5



×1



𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −4 × 2



2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5 2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = −4



5𝑦 − 3𝑧 = 13 pers.5 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠 4 𝑑𝑎𝑛 5 𝑦 +𝑧 =1 × 3 3𝑦 + 3𝑧 = 3 5𝑦 − 3𝑧 = 13 × 1 5𝑦 − 3𝑧 = 13 + 8𝑦 = 16 𝑦 =2 Subtitusi nilai y ke pers. 4 𝑦 +𝑧 =1 2 + 𝑧 = 1 , 𝑧 = −1 , setelah mendapat nilai y dan z subtitusikan ke pers.1: 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5 2𝑥 + 2 + 1 = 5, 2𝑥 = 5 − 3, 𝑥 = 1 Jadi, himpunan penyelasaian atau nilai dari 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ {1,2, −1} 2.) Tentukan nilai dari 𝑥 2 + 2𝑦 − 𝑧 = ⋯ dari persamaan berikut ini : 𝑥 + 𝑧 = 2𝑦 𝑥+𝑦+𝑧 =6 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5 Penyelesaian : 𝑥 + 𝑧 = 2𝑦 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 𝑥+𝑦+𝑧 = 6 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5 (siswa diminta mengerjakan lanjutannya di papan tulis ) Eliminasi pers 1 dan 2 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 𝑥+𝑦+𝑧 =6 −3𝑦 = −6 , 𝑦 = 2 Subtitusikan nilai y ke pers. 1dan 3 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 , 𝑥 − 2(2) + 𝑧 = 0 , 𝑥 − 4 + 𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑧 = 4 𝑝𝑒𝑟𝑠. 4 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5, 𝑥 − 2 + 2𝑧 = 5, 𝑥 + 2𝑧 = 5 + 2, 𝑥 + 2𝑧 = 7 𝑝𝑒𝑟𝑠. 5 Eliminasi pers. 4 dan 5 𝑥+𝑧 =4 𝑥 + 2𝑧 = 7 𝑧=3



Subtitusi nilai y dan z ke pers.1 : 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0, 𝑥 − 2(2) + 3 = 0, 𝑥 = 1 Sehingga nilai dari 𝑥 2 + 2𝑦 − 𝑧 = ⋯ 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 12 + 2(2) − 3 = 2 3.) tentukan nilai 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = ⋯ dari persamaan berikut ini : 1 1 + =2 𝑥 𝑦 2 1 + 𝑧 = −3 𝑦 1 1 −𝑧=2 𝑥



Penyelesaian : 1 1 1 Misalkan 𝑎 = 𝑥 , 𝑏 = 𝑦 , 𝑐 = 𝑧, sehingga persamaan dapat dirubah menjadi : 𝑎+𝑏 =2 2𝑎 − 𝑐 = −3 𝑎+𝑐 =2 Eliminasi pers 2 dan 3 : 2𝑎 − 𝑐 = −3 𝑎+ 𝑐 =2 + 𝑎 + 2𝑏 = −1 pers. 4 Eliminasi pers 1 dan 4 𝑎+𝑏 =2 𝑎 + 2𝑏 = −1 −𝑏 = 3, 𝑏 = −3



-



Subtitusi nilai b ke pers.1 : 𝑎 + 𝑏 = 2, 𝑎 − 3 = 2, 𝑎 = 2 + 3, 𝑎 = 5 Subtitusi nilai a ke pers.3 : 𝑎 + 𝑐 = 2, 5 + 𝑐 = 2, 𝑐 = 2 − 5, 𝑐 = −3 1 5



1 3



1 3



Jadi nilai dari 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = ⋯ adalah : − − = 2.



7 15



Metode subtitusi Metode subtitusi merupakan suatu metode yang digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dengan cara mengganti salah satu variabelnya. Metode penyelesaiannya sbb : a.) pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana. b.) Nyatakan salah satu peubah sebagai fungsi peubah lain (misal x sebagai fungsi y dan z) c.) Subtitusikan peubah pada langkah kedua ke dua persamaan lainnya. d.) Selesaikan SPLDV menggunakan metode subtitusi. Contoh : 1.) Selesaiakan persamaan berikut ini,untuk menentukan nilai dari x, y dan z 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5 (1) 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −3 (2) 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −4 (3) Penyelesaian : Langkah awal kita memilih salah satu persamaan yang paling sederhana, untuk salah satu peubah sebagai fungsi peubah lainnya. Kita memilih pers.1



2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5 𝑧 = −5 + 2𝑥 + 𝑦, 𝑝𝑒𝑟𝑠 4 Subtitusikan pers.4 ke pers. 2 dan pers. 3 Pers .2 : 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −3 𝑥 − 𝑦 + 2(−5 + 2𝑥 + 𝑦) = −3 , 𝑥 − 𝑦 − 10 + 4𝑥 + 2𝑦 = −3, 5𝑥 + 𝑦 = −3 + 10, 5𝑥 + 𝑦 = 7, 𝑝𝑒𝑟𝑠. 5 Pers.3. : 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −4 𝑥 − 2𝑦 − 5 + 2𝑥 + 𝑦 = −4 3𝑥 − 𝑦 = −4 + 5, 3𝑥 − 𝑦 = 1, 𝑝𝑒𝑟𝑠. 6 Eliminasi pers.5 dan 6. 5𝑥 + 𝑦 = 7 3𝑥 − 𝑦 = 1 + 8𝑥 = 8, 𝑥 = 1 Subtitusikan nilai x ke pers.5 5𝑥 + 𝑦 = 7 : 5(1) + 𝑦 = 7, 𝑦 = 2 Subtitusikan nilai x dan y ke pers.1 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5 , 2(1) + 2 − 𝑧 = 5, 𝑧 = −1 Sehingga himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah : {1, 2, -1). 2.) Tentukan nilai dari 3𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = ⋯ dari persamaan berikut ini :



3.



Kerjakan sendiri di papan/di buku catatan Metode campuran (eliminasi dan subtitusi) Metode campuran merupakan metode gabungan dari metode eliminasi dan subtitusi pada sistem persamaan linear. Langkah penyelesaiannya sbb : a. Mengeliminasikan sebuah variabel dari dua persamaan b. Selesaikan hasil yang diperoleh, yaitu sistem persamaan dengan dua variabel dengan metode subtitusi atau eliminasi atau eliminasi-subtitusi c. Subtitusikan variabel-variabel yang di peroleh pada langkah diatas ke persamaan awal untuk memperoleh nilai variabel lainnya. Contoh : 1. Selesaikan sistem persamaan berikut ini : 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −4 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −5 3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −6 Penyelesaian Eliminasi pers. 1 dan 2 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −4 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −5 + 3𝑥 + 3𝑧 = −9 , 𝑥 + 𝑧 = −3, 𝑝𝑒𝑟𝑠. 4 Eliminasi pers, 2 dan 3 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −5 3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −6 + 5𝑥 + 𝑧 = −11, 𝑝𝑒𝑟𝑠. 5 Menyelesaikan kedua persamaan yaitu Pers. 4 dan 5. eliminasi-subtitusi.



Dengan menggunakan metode



𝑥 + 𝑧 = −3 5𝑥 + 𝑧 = −11 8 −4𝑥 = 8, 𝑥 = − 4 , 𝑥 = −2 Subtitusikan nilai x ke pers. 4 : 𝑥 + 𝑧 = −3, −2 + 𝑧 = −3, 𝑧 = −3 + 2, 𝑧 = −1 Subtitusikan nilai x dan z ke pers. 1 : 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −4, −2 − 𝑦 − 1 = −4, 𝑦 = −4 + 3, 𝑦 = −1 Himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -1, -1} D. Merancang model matematika yang berkaitan dengan SPLTV Dalam perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, seringkali suatu masalah dapat diterjemahkan dalam model matematika yang berbentuk sistem persamaan. Langkah pertamaa yang kita perlukan adalah mengidentifikasikan masalah tersebut termasuk SPLDV atau SPLTV . metode penyelesaiannya sebagai berikut : a. Nyatakan besaran dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf) b. Rumuskan sistem persamaan yang merupakan model matematika dari masalah c. Tentukan penyelesaian dari model matematika yang diperoleh . d. Tafsirkan hasil yang diperoleh dan sesuaikan dengan masalah semula. Contoh : 1. Ali, beni dan carli berbelanja disebuah toko buku. Ali membeli 2 buku tulis, 1 pensil dan 1 penghapus dan harus membayar Rp 4.700,-. Dan beni membeli 1 buku tulis, 2 pensil dan 1 penghapus sehingga ia harus membayar Rp 4.300,-. Sedangkan carli membeli 3 buku tulis, 2 pensil, dan 1 penghapus dan harus membayar Rp 7.100,- berapa harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil dan sebuh penghapus ? Penyelesaian : Diketahui : Misalkan : x = harga sebuah buku tulis, y =harga sebuah pensil dan z = harga sebuah penghapus Ditanya : nilai x, y, z Model matematika yang sesuai dengan masalah diatas adalah : 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4.700 (1) 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4.300 (2) 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 7.100 (3) Sehingga persamaan diatas merupakan SPLTV dengan variabel x,y, dan z. Penyelesaian model matematika diatas adalah sb : Eliminasi pers. 1 dan 2 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4.700 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4.300 𝑥 − 𝑦 = 400 (4) Eliminasi pers. 2 dan 3 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4.300 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 7.100 −2𝑥 = −2800, 𝑥 = 1400 Subtitusikan nilai x ke pers.4 : 𝑥 − 𝑦 = 400, 1400 − 𝑦 = 400 , 𝑦 = 1000 Subtitusikan nilai x, y ke pers. 1 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4.700, 2(1400) + 1000 + 𝑧 = 4700 3800 + 𝑧 = 4700, 𝑧 = 4700 − 3800 = 900



Jadi harga untuk sebuah buku tulis adalah Rp 1400, harga sebuah pensil adalah Rp 1000, dan harga sebuah penghapus adalah Rp900. 2. Jumlah tiga biilangan sama dengan 45. Bilangan pertama ditambah 4 sama dengan bilangan kedua, dan bilangan ketiga dikurangi 17 sama dengan bilangan pertama. Tentukan masingmasing bilangan tersebut. Penyelesaian : Diketahui : Misalkan x =bilangan pertama, y= bilangan kedua dan z= bilangan ke tiga Ditanya : nilai x, y, dan z Penyelesaian : Model matematika dari persoalan diatas adalah : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 45 (1) 𝑥+4=𝑦 𝑥 − 𝑦 = −4 (2) 𝑧 − 17 = 𝑥 𝑥 − 𝑧 = −17 (3) Eliminasi pers 1 dan 2 : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 45 𝑥−𝑦 = −4 + 2𝑥 + 𝑧 = 41 (4) 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠. 3 𝑑𝑎𝑛 4 𝑥 − 𝑧 = −17 2𝑥 + 𝑧 = 41 + 3𝑥 = 24, 𝑥 = 8 Subtitusi nilai x ke pers. 2 dan 3 Pers. 2 𝑥 + 4 = 𝑦, 8 + 4 = 𝑦, 𝑦 = 12 pers,3 : 𝑥 − 𝑧 = −17, 8 − 𝑧 = −17, 𝑧 = 25 dengan demikian bilangan pertama (x) = 8, bilangan kedua (y) = 12 dnn bilangan ketiga (z) = 25 TUGAS (DIBERIKAN PADA AKHIR BAB) KERJAKAN DI FOLIO BERGARIS 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan metode eliminasi untuk menentukan nilai x, y, dan z 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 22 4𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 16 3𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 10



2. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan mengggunakan metode subtitusi untuk menentukan nilai dari 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = ⋯ 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 10 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV dengan menggunakan metode gabungan untuk menentukan nilai dari 2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = ⋯ 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 9 2𝑥 + 4𝑦 − 3𝑧 = 1 3𝑥 + 6𝑦 − 5𝑧 = 0



4. Rina, Dewi dan Rifal berbelanja di toko yang sama. Rina membeli dua baju, dua rok dan tiga pasang sandal jepit dengan total harga Rp 315.000,00. Dewi dengan uang Rp 345.000,00 membeli dua baju, tiga rok dan dua pasang sandal jepit. Sedangkan Rifal membeli empat baju dan sepasang sandal jepit dengan total harga Rp 195.000,00. Berapakah harga masing-masing baju, rok, dan sepasang sandal jepit? 5. Selisih umur doni dan dona adalah 6 tahun. Delapan belas tahun lagi jumlah umur mereka sama dengan umur ayah. Empat tahun yang lalu jumlah umur mereka sama dengan setengah umur ayah. Berapakah umur dona ?