Bahan Ajar Matematika Rekayasa [PDF]

Citation preview

BAHAN AJAR



MATEMATIKA REKAYASA I



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS WARMADEWA DENPASAR 2011/2012



BAHAN AJAR MATEMATIKA REKAYASA I SILABUS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.



Aturan Dasar dan Hukum-hukum matematika Turunan / Deferensial Penerapan Deferensial Deferensial Parsial Integral Integral Rangkap Koordinat Kutub



ATURAN DASAR DAN HUKUM-HUKUM MATEMATIKA 1) Identitas Aljabar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( (



)( )( )(



) ) )



2) Identitas Trigonometri a)



b)



( ( (



) ) )



(



)



(



)



c)



d) Penjumlahan



Matematika Rekayasa I | 1



(



e.



)



(



(



)



(



)



(



)



) (



) (



(



) )



f. Sudut Negatif ( ) ( ) ( ) g. Kurva-kurva baku 1. garis Lurus Kemiringan (slope) : Sudut antar dua garis :



Persamaan Garis Lurus (kemiringan = m) - yang memotong sumbu y rill di C ) - yang melalui ( ( ) ( ) - yang melalui ( )



2. Lingkaran - Berpusat dititik asal dengan jari-jari - Berpusat di (n,k) dengan jari-jari (



)



(



)



Hukum-hukum matematika a) Hokum Asosiatif ( untuk penjumlahan dan perkalian ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) Hukum kumulatif (untuk penjumlahan dan perkalian)



c) Hukum distribusi (untuk perkalian dan pembagian) ( ) (



) Matematika Rekayasa I | 2



TURUNAN/DEFERENSIAL Koefisien Deferensial Baku



( )



NO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



Contoh : 1.



2. 3.



√



√



Fungsi dari Suatu Fungsi adalah fungsi , karena harga tergantung pada sudut , demikian pula ( ) adalah fungsi sudut ( ) yaitu ( ) adalah fungsi dari ( ), tetapi ( ) itu merupakan fungsi , karena harganya bergantung kepada . Jadi kedua pernyataan ( ) adalah fungsi dari ( ) dan ini, kita gabungkan dapat kita lakukan bahwa ( ) adalah fungsi dari fungsi , jadi ( ) adalah fungsi dari fungsi dan secara umum ungkapan ini sering dikatakan sebagai fungsi sudut fungsi. Matematika Rekayasa I | 3



Contoh (



)



Jawab : Missal : =



(



)



(



)



PERKALIAN DUA FUNGSI Jika



dengan



Contoh : 1. Jawab :



(



adalah fungsi , maka :



, deferensialkan terhadap !



)



Semua cara sama untuk mendeferensialkan suatu perkalian adalah : 1. Tuliskanlah fungsi yang pertama dan deferensialkanlah fungsi yang kedua, 2. Tuliskanlah fungsi yang kedua dan deferensialkalah fungsi yang pertama



PEMBAGIAN DUA FUNGSI



Dimana u dan v adalah fungsi x maka :



Matematika Rekayasa I | 4



Contoh: 1.



deferensialkan terhadap x!



Jawab



(



)( (



) ( )



)( )



Deferensial Logaritmik Jika ada lebih dari dua fungsi dengan berbagai susunan atas atau bawah, koefisien deferensial, lebih baik dicari melalui apa yang kita kenal sebagai Deferensial Logaritmik.



{



}



{



}



{



}



Contoh : 1.



deferensialkanlah terhadap x!



Jawab { *



(



)



+



+



Matematika Rekayasa I | 5



*



+



FUNGSU IMPLISIT Jika dan terdeteksi sepenuhnya oleh dan disebut sebagai fungsi eksplisit dari . Jika kaitan antara dan sangat ketat, ada kalanya kita tidak dapat memisahkan di ruas kiri sendiri, misalnya , dalam hal semacam ini, ( ) tersirat di dalamnya. disebut fungsi implisit karena hubungannya dalam bentuk



Contah 1. jika



, tentukanlah



dititik



!



Jawab



(



)



Matematika Rekayasa I | 6



(



)(



)



(



)(



( ( (



)( ) ( )(



) (



) (



)(



)



) ( )



)( )



PERSAMAAN PARAMETRIK



Dalam hal ini sebuah harga tertentu akan memberikan pasangan harga variable ketiga yaitu disebut parameter dan kedua pernyataan untuk dan disebut persamaan parametrik. Contoh : 1.



!



(



)



PENERAPAN DEFERENSIAL Persamaan Garis Lurus yang melalui :



0



y x



C 0



Matematika Rekayasa I | 7



Persamaan dasar sudut garis lurus : dengan : kemiringan d d C = Perpotongan dengan sumbu Jika skala



riil



identik, maka



Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui P(3,2) dan Q(-2,1)! y 5 4 3 P



2 1



x -5



-4



-3



-2



-1 0



1



2



3



4



5



6



7



Jawab (



)



(



)



(



)



Persamaan (1) dan (2) dieliminasi



Untuk



substitusikan ke persamaan (1)



Sebagai persamaan garisnya :



(



)



Bila harga m tertentu dan titik yang dilalui (x,y) tertentu maka persamaan garisnya: (



)



Contoh Garis melalui titik (5,3) dengan kemiringan 2, maka persamaan garisnya adalah : ( (



)



Matematika Rekayasa I | 8



Persamaan garis yang melalui titik yang sama dn saling tegak lurus :



Contoh : Garis melalui titik (4,3) dengan m=2. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis tersebut! Jawab



Persamaan garisnya : ( (



) (



)



Garis Singgung Dan Garis Normal



P



T y=f(x)



 Kemiringan kurva singgung di titik p



( ) disebuah titik p pada kurva ditentukan oleh kemiringan garis



 Kemiringan di tentukan oleh harga



di titik p yang dapat dihitung bila persamaan kurvanya



diketahui.



Matematika Rekayasa I | 9



Contoh 1. Tentukan persamaan garis singgung kurva



di titik P(1,0)



Jawab: Kemiringan (m) = P(1,0)= m =



Persamaan garis (



)



(



)



Menentukan garis normal di P Didefenisikan sebagai garis yang melalui titik P dan tegak lurus kepada garis singgung di P Kemiringan garis normal Unutk soal di atas Persamaan garis normalnya (



)



6



2. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik



untuk persamaan parametric kurva



: (



) (



(



(



)



) ) (



(



)



(



)



( ) )



(



(



)



(



)



(



)



)



Untuk M garis singgung Matematika Rekayasa I | 10



M garis normal



Menentukan garis singgung dan garis normalnya : Untuk memperoleh persamaan garis singgung dan garis normal kita harus mengetahui harga x dan y yang di lalui :



Persamaan garis singgung ( (



) )



Persamaan garis normal : ( (



) )



Harga maksimum dan minimum (titik balik) Contoh :



Titik balik terjadi bila :



Matematika Rekayasa I | 11



(



)(



)



Untuk menentukan jenis masing-masing titk balik substitusikan nilai x kedalam



Dititik dititik



Titik belok Contoh



(



)



untuk titik belok



(



)



Uji perubahan tanda untuk (



) (



(



) (



)



( )( )( ) )



( )( )( )



untuk (



) (



)



( )( )( ) (



) (



)



( )( )( )



Matematika Rekayasa I | 12



jadi satu-satunya titik belok yang ada terjadi pada



yaitu pada titik



DIDEFERENSIAL PARSIAL Contoh



Tinjaulah hubungan



Pernyataan



sendiri masih merupakan fungsi x dan y karena itu kita dapat mencari koefisien



diferensial parsialnya terhadap x maupun y. i.



Jika bila dideferensialkan secara parsial terhadap x kita peroleh {



ii.



(



}



)



Jikat kita deferensialkan secara parsial terhadap y, kita peroleh : {



(



}



)



Tentu saja kita dapat juga melakukuan hal yang sama terhadap hasil



diatas dan ini memberikan



: (



) (



)



PERTAMBAHAN KECIL Contoh : dengan V



1. Jika



250 volt dan R



50Ω. Tentukan perubahan I jika V bertambah sebesar 1



volt dan R bertambah sebesar 5Ω (



)



Sehingga untuk ( )



(



) Matematika Rekayasa I | 13



Yakni turun sebesar 0,03 ampere.



2. Jika



, tentukanlah presentasi pertambahan , jika



persen, dan



bertambah 2 persen, berkurang 3



bertambah 1 persen.



Jawab:



(



(



)



)



{ {



(



)



(



)



(



(



)



)



} }



Jadi, turun sebesar 11 persen.



Matematika Rekayasa I | 14



Integral Integral integral baku: Deferensial (



)



( (



(



∫ ∫



)



∫



)



(



Integral



)



∫



)



∫



(



)



∫



(



)



∫



(



)



∫



(



)



∫



(



)



∫



(



)



(



)



(



)



∫



√(



)



√(



)



∫



)



√( √(



)



√(



)



√(



)



∫



(



)



(



)



(



)



√(



)



√(



)



∫ ∫ ∫



Contoh soal: 1.∫ √



∫



3. ∫



√(



)



=2 2. ∫



4. ∫



+c



Matematika Rekayasa I | 15



∫(



)



(



)



(



∫



(



)



(



)



)



∫



+C



Fungsi dari suatu fungsi linear dalam x: (



∫



(



)



)



Serupa juga dengan: 1. ∫



∫



2. ∫



(



∫



3. ∫



(



∫



4. ∫



) (



)



)



(



)



+c



∫



5. ∫



∫



Contoh soal: 1. ∫



(



)



(



2. ∫ 3.



(



∫



) (



4. ∫



(



)



5. ∫(



) (



)



Integral dalam bentuk ∫



) (



)



(



)



)



(



)



( ) ( )



Contoh: ∫



(



∫



)



(



)



∫



(



∫



Integral dalam bentuk ∫ ( )



)



∫



∫



( )



∫ ∫(



)(



)



(



)



Integral suatu perkalian integral per bagian (parsial) ∫



∫



Contoh Matematika Rekayasa I | 16



1. ∫



∫



∫ ∫



(



)



2. ∫



∫



∫



∫



∫ ∫ *



∫



*



+in



∫ *



+



*



{



+



+



}



INTEGRAL DENGAN PECAHAN PARSIAL Kaidah pecahan parsial :  Pembilang dari fungsi yang di berikan harus lebih rendahderajadnya dari pada derajad penyebutnya. Jika tidak demikian maka kita harus membaginya dahulu dengan pembagian biasa. Matematika Rekayasa I | 17



 Faktorkanlah penyebutnya menjadi factor-faktor prima.  Factor linear (



) akan memberikan pecahan parsial yang berbentuk



 Factor (



) akan memberikan pecahan parsial :



 Factor (



) akan memberikan pecahan parsial



 Factor kuadrat (



+(



) (



)



+



(



)



) akan memberikan pecahan parsial



Contoh ∫ ∫ Missal : U= dV= 1. ∫



∫ ∫ (



= =



(



) )



Integral Fungsi Trigonometri 1



Pokok bahasan materi ini adalah tentang Integran fungsi trigonometri. Kita masih ingat turunan fungsi trigonometri berikut ini : No 1 2 3 4 5 6



f(x) sin x cos x tan x cot x sec x csc x



f ‘( ) cos x - sin x sec2x -csc2x tan x sec x -cot x csc x



Karena integral merupakan invers turunan, maka dari tabel ini diperoleh bahwa : Karena integral merupakan invers turunan, maka dari tabel ini diperoleh bahwa : 1.



sin x dx = - cos x + C



2.



cos x dx = sin x + C



3.



sec2x dx = tan x + C



4.



csc2x dx = - cot x+ C



5.



tan x . sec x dx = sec x + C



6.



cot x. csc x dx = - csc x + C Matematika Rekayasa I | 18



Ingat juga bahwa tan2A = sec2A – 1 dan cot2x = csc2x - 1 Contoh 1 Tentukanlah



( 8 + 4 sin x – 3 tan x . sec x) dx



Jawab : ( 8 + 4 sin x – 3 tan x . sec x) dx = 8x – 4 cos x – 3 sec x + C Contoh 2



Tentukanlah



( 3 sin x – 4 tan2x – 6)dx



Jawab : 1 + tan 2 x = sec 2x sehingga tan2x = sec2x – 1 ( 3 sin x – 4 tan2x – 6)dx



=



(3 sin x – 4(sec2x – 1) – 6)dx



=



(3 sin x – 4 sec2x + 4 – 6) dx



=



(3 sin x – 4 sec2x – 2) dx



= - 3 cos x – 4 tan x – 2x + C



Turunan Fungsi Trigonometri 2



Selain bentuk – bentuk di atas kita juga masih ingat turunan fungsi trigonometri berikut ini : F(x)



f ’( )



sin (ax + b)



a cos (ax + b)



cos (ax + b)



- a sin (ax + b)



tan (ax + b)



a sec2(ax + b)



f( )



Matematika Rekayasa I | 19



cotg (ax + b)



- a cosec2(ax + b)



sec (ax + b)



a tan (ax + b) sec (ax + b)



cosec (ax + b)



- a cotg (ax + b) cosec (ax + b)



Dari tabel tersebut dapat diperoleh bahwa :



1.



∫ cos (a + b) d



2.



∫ sin (a + b) d



3.



∫ sec2(ax + b) dx =



4



∫ cosec2(ax + b) dx = -



5.



∫ tan (a + b) sec (a + b) d



6.



∫ cotg (a + b) cosec (a + b) d



sin (ax + b) + C



-



cos (ax + b) + C



tan (ax + b) + C



cotg (ax + b) + C



sec (ax + b) + C



–



cosec (ax + b) + C



Seringkali dalam menyelesaikan integral fungsi trigonometri, bagian integrannya perlu diubah dengan menggunakan identitas trigonometri agar bentuknya lebih sederhana dan integralnya segera dapat ditemukan.Oleh karena itu perlu diingat bahwa : 2 sin A . sin B = cos (A – B) – cos (A + B) 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A – B)



sin2A =



, cos2A =



, sin 2x = 2 sin x cos x



Ada 4 Identitas yang perlu digunakan : 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B) 2 cos A cos B = cos (A+B) + sin (A-B) 2 sin A sin B = cos (A-B) – cos (A+B)



Contoh : ∫ = ∫( = ∫*



) (



)



= ∫* = {-



(



)+



+ +



}+c Matematika Rekayasa I | 20



=



-



+c



∫ = ∫(



)



= ∫*



(



)



(



= ∫*



+



= {



+



=



-



-



)+



}+c



-



+c



Untuk mengintegrasikan sin2x dan cos2x, dinyatakan dengan cosinus sudut rangkap. Contoh : ∫



∫(



)



∫



∫(



)



Mengintegrasikan ∫



∫(



∫ ∫



)



∫



-Mengintegrasi sin5x dan cos5x Contoh : x . cos x dx = ∫(



Cos5x dx = ∫ = ∫( =∫



4



2



x)2 cos x dx



2



x + sin4x) cos x dx



x dx - 2∫



= sin x –



2



x . cos x dx + ∫



+



4



x . cos x dx



+c



Contoh soal penerapan Integral 1) Carilah luas di bawah kurva y= x2+2x+1 di antara x = 1 dan x = 2 Jawab : ∫ (



∫



) 0



1



0



1



0



1



2) Harga Mean Tentukanlah harga mean dari Jawab :



0



0



1 1 diantara x= -1 dan x = 2



∫



—



,



∫ (



) Matematika Rekayasa I | 21



,(



)



,



(



)-



-



3) Harga RMS Tentukan harga RMS dari y = - cos sin 200πt diantara t



0 dan t



Jawab :



(



)



( (



)



)



∫



(



[ [



)



] ]



√



√



Sentroid suatu bentuk bidang Contoh : Tentukanlah posisi sentroid dari gambar yang dibatasi oleh kurva y = 5 sin 2x, sumbu x, dan ordinat pada x = 0 dan x = Jawab : I1 = ∫



=5∫



Cari ̅ = (



=5[



)



)



=5[-



=5[- . . + √



I1 = 5 [ I2 = ∫



-



]=



=5[-



-



∫ √



] √



[



)



- ] - = - [ – 1] =



Matematika Rekayasa I | 22



√



√



̅= [



- ]. = [



- ]



= 0,8660 – 0,5236 ̅



Cari ӯ I3 = ∫ =



∫



=



[x–



=



[



=



0



=



,



=



,



=



(



) .



√



/



]



=> sin



= sin =



√



1 -



( (



) )



Integral lipat dua :



Contoh : Hitungan : 1.



∫ ∫



Matematika Rekayasa I | 23



∫ ∫



∫ ∫ ∫ 0



1



∫ (



)



2. Hitunglah ∫ ∫ ( -



∫ {(



)— )



,( (



1



)



∫ , ∫ (



0



) ) )(



)



Integral lipat tiga : Contoh: 1. Hitunglah



∫ ∫ ∫ (



)



∫ ∫ 0



1 )



∫ ,



(



+



∫ ∫ ( ∫ *( ,



) -



(



)



(



2. Hitunglah ∫ ∫ ∫



-



(



∫ (



)



)



)



∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .



/



∫ ∫ .



/



∫ ∫ .



/



∫ ∫ ∫ .



/



∫ (



)



∫ (



)



∫ (



)



(



(



) )



∫ . =(



/ )



(



)



(



) Matematika Rekayasa I | 24



(



)



(



)



Contoh Soal Lain : 1. Garis oleh



dan parabola dan ordinat



berpotong di . Tentukan luas daerah yang dilingkupi dengan menggunakan integral lipat dua?



Jawab: Dik : √ √ ∫ ∫



Dij :



∫ ( ) ∫ (



)



∫ .



/



∫ . .



/ /



. .



/



.



/



/



Matematika Rekayasa I | 25