![Bahan Kuliah Trigonometri [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/bahan-kuliah-trigonometri.jpg)
13 0 268 KB
Bab I Pendahuluan
A. Latar Belakang Seseorang yang ingin mengukur tinggi sebuah pohon, menara, gedung bertingkat ataupun sesuatu yang memiliki ketinggian tertentu maka tidaklah mungkin secara fisik akan mengukur dari bawah ke atas (puncak) obyeknya dengan menggunakan meteran. Salah satu cabang matematika yang dapat dipakai dalam membantu pengukuran ini adalah trigonometri.
Gb. 1.1. mengukur ketinggian
Gb. 1.2. Klinometer
Gambar 1.1 adalah gambar seorang pengamat yang ingin mengukur tinggi tiang bendera dengan menggunakan klinometer (Gb. 1.2) Dalam pengamatan akan didapat sudut dan jarak pengamat dengan tiang, kemudian dengan bantuan pengetahuan trigonometri maka akan dapat dihitung tinggi tiang tersebut. Kenyataan dalam kehidupan seharihari di berbagai bidang kehidupan banyak membutuhkan pengetahuan tentang trigonometri,
1
antara lain bidang keteknikan, bidang IPA, bidang penerbangan, bidang pelayaran dan sebagainya. Oleh karena itu topik tentang trigonometri perlu diajarkan B. Tujuan Bahan ajar tentang pembelajaran trigonometri ini disusun agar para tenaga kependidikan/guru: 1. Lebih menguasai materi pembelajaran trigonometri 2. Lebih memiliki kemampuan mengembangkan teknik, model dan strategi pembelajaran trigonometri C. Ruang Lingkup Bahan ajar ini membahas topiktopik sebagai berikut: 1. Pengertian perbandingan trigonometri 2. Rumus perbandingan trigonometri sudut yang berelasi 3. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri 4. Rumusrumus trigonometri
2
Bab II Trigonometri Studi tentang trigonometri sebagai cabang matematika, lepas dari astronomi pertama kali diberikan oleh Nashiruddin al-Tusi (1201-
at-Tusi Gb. 2.1. matematikawan
1274), lewat bukunya Treatise on the quadrilateral. Bahkan dalam buku ini ia untuk pertama kali memperlihatkan keenam perbandingan trigonometri lewat sebuah segitiga siku-siku (hanya masih dalam trigonometri sferis). Menurut O`Conners dan Robertson, mungkin ia pula yang pertama memperkenalkan Aturan Sinus (di bidang datar). Di
Arab
dan
kebanyakan
daerah
muslim,
trigonometri
berkembang dengan pesat tidak saja karena alasan astronomi tetapi juga untuk kebutuhan ibadah. Seperti diketahui, orang muslim jika melakukan ibadah sholat, harus menghadap ke arah Qiblat, suatu bangunan di kota Mekkah. Para matematikawan muslim lalu membuat tabel trigonometri untuk kebutuhan tersebut. Konsep trigonometri pada pembahasan ini diawali dengan perbandingan trigonometri suatu sudut pada segitiga sikusiku.
3
A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku Gambar di samping adalah segitiga
B a
c
C
siku-siku dengan titik sudut sikunya A
b Gb. 2.2. perbandingan trigonometri
di C. Panjang sisi di hadapan sudut A adalah a, panjang sisi di hadapan
sudut B adalah b, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c. Terhadap sudut : Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri terhadap sudut sebagai berikut: 1. sin
panjang sisi siku - siku di depan sudut A a panjang hipotenusa c
2. cos
panjang sisi siku - siku di dekat (berimpit) sudut A b panjang hipotenusa c
3. tan
panjang sisi siku - siku di depan sudut A a panjang sisi siku - siku di dekat sudut A b
4. csc
panjang hipotenusa c panjang sisi siku - siku di depan sudut A a
5. sec
panjang hipotenusa c panjang sisi siku - siku di dekat sudut A b
6. cot
panjang sisi siku - siku di dekat sudut A c panjang sisi siku - siku di depan sudut A a
Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:
4
tan
sin cos
sec
1 1 dan csc cos sin
dan cot
cos sin
Contoh: Pada gambar di samping segitiga B
sikusiku ABC dengan panjang a 24 a
c
C
dan c 25. Tentukan
keenam
perbandingan
A b Gb. 2.3. perbandingan trigonometri
trigonometri untuk . Penyelesaian: Nilai b dihitung dengan teorema Pythagoras b
25 2 24 2
625 576
49 7
sin
a 24 c 25
csc
c 25 a 24
cos
b 7 c 25
sec
c 25 b 7
tan
a 24 b 7
cot
c 7 a 24
B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa
5
Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0, 30, 45,60, dan 90. Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30, 45,dan 60. Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.
3 30
2
1
1
2 60
45
1
Gb. 2.4.b. sudut istimewa
Gb. 2.4.a. sudut istimewa
Dari gambar 2.4.a dapat ditentukan sin 45
cos 45
tan 45
1 1 2 2 2 1 1 2 2 2
1 1 1
csc 45
2 2 1
sec 45
2 2 1
cot 45
1 1 1
Dari gambar 2.4.b dapat ditentukan sin 30
cos 30
tan 30
csc 30
1 2 3 1 3 2 2
1 3
2 2 1
1 3 3
sin 60
3 1 3 2 2
cos 60
1 2
tan 60
3 3 1
csc 60
2 3
2 3 3
6
sec 30
cot 30
2 3
2 3 3
sec 60
3 3 1
cot 60
2 2 1
1 3
1 3 3
Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
0
30
sin
0
1 2
cos
1
1 2
3
tan
0
1 3
3
cot
tak terdefinisi
45 1 2
2
1 2
2
60 1 2
1
1
3 1 2
0 tak
1
3
90
3
1 3
terdefinisi
3
0
contoh: 1 1 1 2 2 2 2 2
1.
sin 30 cos 45
2.
sin 45 tan 60 cos 45 cot 60
1 1 1 2 3 2 3 2 2 3
1 1 4 2 6 6 6 6 2 6 6 3
C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran
7
Y
P(x,y) r
O
1
y
x
X
Gb. 2.5 P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius, sehingga XOP dapat bernilai
0 sampai dengan
90. Perlu diketahui bahwa OP
x2 y 2 r
dan r 0
Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut: ordinat P
y
absis P
x
1. sin α panjang OP r 2. cos α panjang OP r
panjang OP
r
4. csc α ordinat P y 5. sec α
panjang OP r absis P x
ordinat P y 3. tan α 6. cot α ordinat PP(x,y) y Y absis P x Y P(x,y) Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I, y r r kuadran II, kuadran IIIyatau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini. 2 1 x x O O X X absis P
Y
Y x y
O
x
3
X
O
r
4
x X r
y
P(x,y) P(x,y) Gb. 2.6. titik di berbagai kuadran
8
Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran: Perbandingan Trigonometri sin cos tan csc sec cot
Kuadran I + + + + + +
II + + -
III + +
IV + + -
D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ), (180 ), (360 ), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut
9
dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70. 1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - ) Y
y=x P1(x1,y1)
O
Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)
P(x,y)
y1
r1
Dari gambar 2.7 diketahui
akibat pencerminan garis y x,
r y (90-)
x1
sehingga diperoleh: X
x
Gb. 2.7. sudut yang berelasi
a. XOP = dan XOP1 = 90 - b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh: a.
y x sin 90 1 cos r1 r
b.
x y cos 90 1 sin r1 r
c.
y x tan 90 1 cot x1 y
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut: a. sin 90 cos d. csc 90 sec b. cos 90 sin
e. sec 90 cos ec
c. tan 90 cot
f. cot 90 tan
2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )
10
Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari
Y
titik P(x,y) akibat pencerminan
P1(x1,y1)
terhadap sumbu y, sehingga
r1
y1
a. XOP = dan XOP1 = 180 -
P(x,y) r (180-)
y
x1
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r maka diperoleh hubungan:
x
O
X
Gb. 2.8. sudut yang berelasi
a.
y y sin 180 1 sin r1 r
b.
x x cos 180 1 cos r1 r
c.
y y tan 180 1 tan x1 x
Dari hubungan di atas diperoleh rumus: a. sin 180 sin
d. csc 180 csc
b. cos 180 cos e. sec 180 sec c. tan 180 tan
f.
cot 180 cot
3. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + ) Y
Dari gambar 2.9 titik P1(x1,y1) adalah
P(x,y) r
bayangan dari titik P(x,y) akibat
(180+)
pencerminan terhadap garis y x, sehingga a. XOP = dan XOP1 = 180 + b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
y
x1 y1
O
x
X
r1
P1(x1,y1) Gb. 2.9. sudut yang berelasi
11
maka diperoleh hubungan: a.
y y sin 180 1 sin r1 r
b.
x x cos 180 1 cos r1 r
c.
y y y tan 180 1 tan x1 x x
Dari hubungan di atas diperoleh rumus: a. sin 180 sin
d. csc 180 csc
b. cos 180 cos
e. sec 180 sec
c. tan 180 tan
f. cot 180 cot
4. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- ) Dari gambar 2.10 diketahui P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat
pencerminan
terhadap
sumbu x, sehingga a. XOP = dan XOP1 = - b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
Y
titik
P(x,y) r (360-1)
O
-
y x x1 r1
y1
X
P1(x1,y1) Gb. 2.10. sudut yang berelasi
maka diperoleh hubungan a.
y y sin 1 sin r1 r
b.
x x cos 1 cos r1 r
12
y y tan 1 tan x1 x
c.
Dari hubungan di atas diperoleh rumus: a. sin sin
d. csc csc
b. cos cos
e. sec sec
c. tan tan
f. cot cot
Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360 , misalnya sin (360 ) sin . E. Menentukan Koordinat kartesius dan Koordinat Kutub Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutub. Y
P(x,y)
Y r
y O
x
P(r, )
X
Gb. 2.11. koordinat kartesius
O
x
y X
Gb. 2.12. koordinat kutub
Pada gambar 2.11 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam koordinat kutub dengan P(r, ) seperti pada gambar 2.12. Jika koordinat kutub titik P(r, ) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari dengan hubungan: cos
x x r cos r
13
sin
y y r sin r
jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik P(r, ) dapat dicari dengan hubungan: x2 y 2
r
tan
y y arc tan , arc tan adalah invers dari tan x x
Contoh: 1. Ubahlah menjadi koordinat kutub a. B(5,5)
b.
C( 4,4 3 )
2. Ubahlah P (12,60) menjadi koordinat kartesius
Penyelesaian: 1. a. B (5,5)
b.
x 5, y 5 (kuadran I) r
52 52
r
25 25 5 2
tan
jadi B 2. P (12,60)
x r cos 12 cos 60
4 2 4
tan
(kuadran II)
4 3
16 48
5 1 45 5
(5 2,45)
x 4, y
C( 4,4 3 )
3
2
64 8
4 3 3 120 4
jadi C (8, 120) diubah ke koordinat kartesius y r sin 12 sin 60
14
1 3 2
12(1/2)
12
x6
y 6
3
Jadi koordinat kartesiusnya P 6,6 3 F. Identitas Trigonometri Y
P(x, y) r
O
x
y X
Gb. 2.13. rumus identitas
Dari gambar di samping diperoleh cos
r
x2 y 2
. Sehingga sin 2 cos 2
y2 r2
x r
, sin
y r
x2 y 2
r2
dan
x2 r2
r2
r2
1
Jadi sin2 +cos2 1 G. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana Persamaan
trigonometri
adalah
persamaan
yang
memuat
perbandingan trigonometri suatu sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian. Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar. 1. Menyelesaikan persamaan sin x sin
15
Dengan mengingat rumus sin (180 - ) sin dan sin ( + k. 360) sin , maka diperoleh: Jika sin x sin maka x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B 2. Menyelesaikan persamaan cos x cos Dengan mengingat rumus cos cos dan cos ( + k. 360) cos , diperoleh
Jika cos x cos maka x + k. 360 atau x + k. 360, k B 3. Menyelesaikan persamaan tan x tan Dengan mengingat rumus tan (180 + ) tan dan tan ( + k. 360) tan , maka Jika tan x tan maka diperoleh: x + k. 180 , k B contoh: Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini untuk 0 x 360. a) sin x
1 2
b) cos x
1 3 2
c)
tan x 3
Penyelesaian: a)
sin x
1 sin x sin 30 2
16
x + k. 360 untuk k = 0 x 30 x (180 ) + k.360 untuk k = 0 x 180 30 150 b)
cos x
1 3 cos x cos 30 2
x + k. 360 untuk k = 0 x 30 x + k. 360 untuk k = 1 x 30 + 360 330 c)
tan x 3
tan x tan 120
x + k. 180 untuk k = 0 x 120 untuk k = 1 x 120 + 180 300
Catatan: satuan sudut selain derajat adalah radian, di mana satu radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran B
yang panjangnya sama dengan jari-jari. AOB = 1 rad
r O
r A
Hubungan radian dengan derajat 360 =
2r rad r
17
= 2 rad 180 = rad pendekatan 1 rad = 57,3. Dengan mengingat pengertian radian tersebut, maka bentuk penyelesaian persamaan trigonometri dapat pula
menggunakan
satuan radian, sebagai contoh untuk persamaan sin x sin A maka penyelesaiannya adalah: x A + k. 2 atau x ( A) + k. 2 , k B di mana x dan A masing-masing satuannya radian.
H. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut 1. Rumus cos ( + ) dan cos ( ) C
Pada
gambar
diketahui garis
di
samping
CD dan AF
G
keduanya adalah garis tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumus
A
F
Gb. 2.14
D E B
cos ( + ).
18
cos
AD AC
AD AC cos
Pada segitiga sikusiku CGF sin
GF GF CF sin CF
…………..(1)
Pada segitiga sikusiku AFC, sin
CF CF AC sin AC
…………..(2)
cos β
AF AF AC cos AC
…………..(3)
Pada segitiga sikusiku AEF, cos
AE AE AF cos AF
…………..(4)
Dari (1) dan (2) diperoleh GF AC sin sin Karena DE GF maka DE AC sin sin Dari (3) dan (4) diperoleh AE AC cos cos Sehingga
AD AE DE
AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin Jadi
cos ( + ) cos cos sin sin
19
Untuk menentukan
cos ( ) gantilah dengan lalu
disubstitusikan ke rumus cos ( + ). cos ( ) cos ( + ()) cos cos () sin sin () cos cos sin (sin ) cos cos + sin sin Jadi
cos ( ) cos cos + sin sin
2. Rumus sin ( + ) dan sin ( ) Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat rumus sebelumnya, yaitu:
sin (90 ) cos dan cos (90 ) sin
sin ( + ) cos (90 ( + )) cos ((90 ) ) cos (90 ) cos + sin (90 ) sin sin cos + cos sin Jadi
sin ( + ) sin cos + cos sin
Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ). sin ( ) sin ( + ( )) sin cos () + cos sin ()
20
sin cos + cos (sin ) sin cos cos sin Jadi
sin ( ) sin cos cos sin
3. Rumus tan ( + ) dan tan ( ) Dengan mengingat tan tan ( )
sin , maka cos
sin ( ) sin cos cos sin cos ( ) cos cos sin sin
sin cos cos sin sin sin cos cos cos cos tan ( ) cos cos sin sin sin sin 1 cos cos cos cos
Jadi
tan tan 1 tan tan tan tan tan ( ) 1 tan tan
Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu disubstitusikan ke tan ( + ). tan ( ) tan ( + ( ))
Jadi
tan tan (-) 1 tan tan (-)
tan tan () 1 tan ( tan )
tan tan 1 tan tan
tan ( )
tan tan 1 tan tan
21
I.
Rumus Trigonometri Sudut Rangkap Dari rumusrumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap. 1. sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos Jadi
sin 2 2 sin cos
2. cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos2 sin2 cos 2 cos2 sin2
Jadi
Rumusrumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan dengan mengingat rumus dasar cos2 + sin2 1. cos 2 cos2 sin2
cos 2 cos2 sin2
cos2 (1 cos2)
(1 sin2) sin2
2cos2 1
1 2 sin2
Sehingga
1) cos 2 cos2 sin2 2) cos 2 2cos2 1 3) cos 2 1 2 sin2
3.
tan 2 tan ( )
Jadi
tan 2
tan tan 2 tan 1 tan tan 1 tan 2 2 tan 1 tan 2
J. Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan 1. Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh: cos ( + ) cos cos sin sin 22
cos ( ) cos cos + sin sin
+
cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos Jadi
cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos
cos ( + ) cos cos sin sin cos ( ) cos cos + sin sin
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin Jadi
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin
2. Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh: sin ( + ) sin cos + cos sin sin ( ) sin cos cos sin
+
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos Jadi
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
sin ( + ) sin cos + cos sin sin ( ) sin cos cos sin
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos Jadi
sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin
K. Penerapan Rumus dan Persamaan Trigonometri Contoh soal aplikasi dalam keteknikan: 1. Dua buah tegangan pada arus bolak-balik mempunyai harga: V1 = 200 sin 120 dan V2 = 200 sin 210 23
Berapa Vtotal dari V1 dan V2 ? Penyelesaian: Vtotal = V1 + V2 = 200 sin 120 + 200 sin 210 = 200.
1 2
= 100
3
1 3 + 200. 2
–100
2. Sebuah balok terletak pada tangga dengan kemiringan = 37 (sudut antara tangga dengan lantai). Gaya
w sin
beratnya diuraikan dalam gaya w sin
w
dan w cos .
w cos
Gb. 15.a
Tentukan besar sudut dan ! Penyelesaian:
C
Gambar 15.a dapat direpresentasikan
dalam segitiga seperti pada gambar A 15.b. Dengan mengingat kembali sifat-
Gb. 15.b
B
D
sifat dari 2 segitiga yang sebangun (segitiga ADC dan segitiga CDB) akan diperoleh sudut = sudut = 37. Sehingga = 90 – = 90 – 37 = 53
24
L. Soal Latihan 1. Carilah nilai dari a. sin 120
c. tan 150
e. cot 330
b. cos 300
d. sec 210
f. csc 120
2. Nilai dari sin 45 cos 135 + tan 210 sec 60 = ….. 3. Jika cos =
4 dan 0 90 maka nilai tan adalah …… 5
4. Koordinat kutub dari titik (-10,10) adalah….. 5. Koordinat kartesius dari titik (9, 120) adalah …….
B
6. Hitunglah panjang AB gambar 2.15 disamping 7. Jika nilai tan =
1 maka nilai dari x
12 C
30
A
Gb. 2.15
cos2 - sin2 = ……….. 8. Himpunan penyelesaian dari sin x =
1 3 untuk 0 x 360 2
adalah ….. 9. Himpunan penyelesaian dari sin 2x = sin 30 untuk 0 x 360 adalah …….. 10. Tulislah rumus cos (2x + 3y)! 11. Jika dan sudut-sudut lancip dengan sin =
3 5 dan sin = , 5 13
hitunglah sin ( + ) 12. Sederhanakan bentuk
25
cos 100 cos 10 + sin100 sin 10 13. Persamaan sin x = cos x dipenuhi untuk x = …… 14. Buktikan 1 + tan2 = sec 2 15. Sederhanakan a. (1 – cos ) (1 + cos ) b. tan2 - sec2 16. Hitunglah kuat arus dengan persamaan I = 20 sin t , jika diketahui
=
rad/detik dan t = 2 detik. 6
17. Sebuah balok terletak pada tangga dengan kemiringan = 30. Gaya beratnya diuraikan dalam gaya w sin dan w cos .
F1= w sin
F = w cos
w 1 Tentukan besar gaya F1 dan F2 jika diketahui massa balok (m) = 14 kg dan gaya grafitasi (g) = 10 m/s2
26
Bab III Penutup A. Rangkuman 1. Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
0
30
sin
0
1 2
cos
1
1 2
3
tan
0
1 3
3
cot
tak terdefinisi
3
45 1 2
2
1 2
2
60 1 2
1
3 1 2
1
0
3
1 3
1
90
tak terdefinisi
3
0
2. Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri tiap kuadran 3.
Perbandingan Trigonometri
Kuadran
I II III Sin + + Cos + Tan + + Csc + + Sec + Cot + + Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi
IV + + -
Rumus
a. perbandingan trigonometri sudut dengan (90 - ) 1) sin 90 cos
4) csc 90 sec
2) cos 90 sin
5) sec 90 csc
3) tan 90 cot
6) cot 90 tan
b. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - ) 1) sin 180 sin 2) cos 180 cos
4) csc 180 csc 27 5) sec 180 sec
3) tan 180 tan
6) cot 180 cot
c. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + ) 1) sin 180 sin
4) csc 180 csc
2) cos 180 cos
5) sec 180 sec
3) tan 180 tan
6) cot 180 cot
d. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- ) 1) sin sin
4) cosec cosec
2) cos cos
5) sec sec
3) tan tan
6) cot cot
4. Menyelesaikan persamaan trigonometri a. Jika sin x sin maka x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B b. Jika cos x cos maka x + k. 360 atau x + k. 360, k B c. Jika tan x tan maka x + k. 180 k B 5. Rumus-rumus trigonometri a. Jumlah dan selisih dua sudut 1) cos ( + ) cos cos sin sin 2) cos ( ) cos cos + sin sin 3) sin ( + ) sin cos + cos sin 28
4) sin ( ) sin cos cos sin tan tan
5) tan ( ) 1 tan tan tan tan
6) tan ( ) 1 tan tan b. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap 1) sin 2 2 sin cos
3) tan 2
2 tan 1 tan 2
2) cos 2 cos2 sin2 cos 2 2cos2 1 cos 2 1 2 sin2 c. Mengubah Rumus Perkalian ke Penjumlahan/Pengurangan 1) cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos 2) cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin 3) sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos 4) sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin B. Saran Pemahaman
terhadap
rumusrumus
dasar
trigonometri
harus
betulbetul menjadi penekanan dalam proses pembelajaran sehingga siswa mampu mengaitkan dan menggunakan rumusrumus yang sesuai untuk menyelesaikan persoalan trigonometri. Semoga bahan ajar ini menjadi salah satu sumber bacaan bagi para guru dalam pembelajaran matematika di SMK. Penulis menyadari adanya keterbatasan dan kekurangan dalam penyusunan bahan ajar ini, sehingga kritik dan saran sangat diharapkan.
29
Daftar Pustaka
Bernadeta Etty W, Suparno & Hutomo. (1996). Bahan Ajar STM. Yogyakarta: PPPG Matematika. Hyatt, H.R. & Small,L. (1982). Trigonometry a Calculator Approach. Canada: John Wiley and Sons, Inc. Kenneth S. Miller & John B. Walsh. (1962). Elementary and Advanced Trigonometry. New York: Harper & Brothers Publisher. Richard G. Brown. (1994). Advanced Mathematics . California: Houghton Mifflin Company. Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika SMK. Yogyakarta: PPPG Matematika. Winarno& Al. Krismanto. (2001). Bahan Standarisasi SMU Trigonometri. Yogyakarta: PPPG Matematika.
30
Kunci Jawaban
1 3 2
1. a. cos 2 cos 2
b.
2 3 3
14. 1+ tan 2 =
sin 2 cos 2
1 2
c.
d.
1 3 3
e.
f.
2 3 3
3
=
sin2 cos 2 cos 2
=
1 cos 2
2 1 3 – 3 2
2.
=
sec 2
3 4
3.
15. a. 1 – cos2
= sin2 4. 10 2,135
9 9 3 2 2
5. ,
b. dari no 14.a. maka (sec 2x – 1) – sec2x = –
1 6. BC = 24 7.
x2 1 x2 1
8. {60, 120}
16. I = 10
3
17. F1 = 70
ampere 3
Newton
F2 = 70 Newton
9. {15, 75, 195, 255} 10. cos 2x cos 3y – sin 2x sin 3y
31
11.
56 65
12. 0 13. 45 dan 225
32
