Bidang Kuadratis (KONIKOIDA) GAR [PDF]

Citation preview

Tugas Meringkas



GEOMETRI ANALITIK RUANG “Bidang Kuadratis (Konikoida)”



Oleh : ZULFAIDIL A1I1 16 071



JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 2018



BIDANG KUADRATIS (KONIKOIDA)



Persamaan Konikoida Secara umum suatu konikoida dinyatakan oleh persamaan 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎11 𝑥 2 + 𝑎22 𝑦 2 + 𝑎33 𝑧 2 + 2𝑎12 𝑥𝑦 + 2𝑎13 𝑥𝑧 + 2𝑎23 𝑦𝑧 + 2𝑎14 𝑥 + 2𝑎24 𝑦 + 2𝑎34 𝑧 + 𝑎44 = 0 .............(*) atau secara matriks 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑉 𝑇 𝐴𝑉 + 2𝑏 𝑇 𝑉 + 𝑐 = 0 yaitu : 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑥 𝑥 [𝑥 𝑦 𝑧] [𝑎21 𝑎22 𝑎23 ] [𝑦] + 2[𝑎14 𝑎24 𝑎34 ] [𝑦] + [𝑎44 ] = 0 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑧 𝑧 Bagian 𝑉 𝑇 𝐴𝑉 disebut bagian homogen kuadratis, 2𝑏 𝑇 𝑉 disebut bagian linear dan c disebut konstanta dari konikoida persamaan umum konikoida dapat ditransformasikan (melalui transformasi koordinat) menjadi salah satu bentuk yang lebih sederhana (bentuk standar), sebagai berikut : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.



𝑥2



𝑦2



𝑧2



𝑦2



𝑧2



𝑦2



𝑧2



𝑦2



𝑧2



𝑦2



𝑧2



𝑦2



𝑧2



𝑦2



2𝑧



+ 𝑏2 + 𝑐 2 = 1 𝑎2 𝑥2 𝑎2 𝑥2 𝑎2 𝑥2



+ 𝑏2 + 𝑐 2 = −1 + 𝑏2 − 𝑐 2 = 1



− 𝑏2 − 𝑐 2 = 1 𝑎2 𝑥2 𝑎2 𝑥2 𝑎2 𝑥2



+ 𝑏2 + 𝑐 2 = 0 + 𝑏2 − 𝑐 2 = 0



+ 𝑏2 = 𝑎2 𝑥2 𝑎2 𝑥2 𝑎2 𝑥2



𝑦2



− 𝑏2 =



𝑐 2𝑧 𝑐



𝑦2



+ 𝑏2 = 1 𝑦2



− 𝑏2 = 1 𝑎2 𝑥2 𝑎2



𝑦2



+ 𝑏2 = −1



𝑦 2 = 4𝑎𝑥



: elipsoida (Gambar 1) : elipsoida khayal : hiperboloida daun satu (Gambar 2) : hiperboloida daun dua (Gambar 4) : kerucut khayal : kerucut (Gambar 3) : paraboloida eliptik (Gambar 6) : paraboloida hiperbolik (Gambar 5) : silinder eliptik (Gambar 7) : silinder hiperbolik (Gambar 9) : silinder khayal : silinder parabolik (Gambar 8)



13. 14.



𝑥2



𝑦2



− 𝑏2 = 0 𝑎2 𝑥2 𝑎2



: sepasang bidang rata berpotongan



𝑦2



+ 𝑏2 = 0



: sepasang bidang rata khayal berpotongan



15.



𝑦 2 = 𝑎2



: sepasang bidang rata sejajar



16.



𝑦 2 = −𝑎2



: sepasang bidang rata khayal sejajar



17.



𝑦2 = 0



: sepasang bidang rata berimpit



(a, b, dan c merupakan bilangan positif ≠ 0) Contoh 1 a. b. c.



𝑥2



𝑦2



+ 16 + 25 𝑥2 9 𝑥2 9



+ −



𝑦2 4 𝑦2 4



𝑧2 9



=1



𝑧2



− 16 = 1 𝑧2



− 16 = 1



: elipsoida : hiperboloida daun satu : hiperboloida daun dua



d.



9𝑥 2 + 4𝑦 2 = 16𝑧



: paraboloida eliptik



e.



𝑧 2 − 9𝑦 2 = −8𝑥



: paraboloida hiperbolik



f.



𝑥 2 − 9𝑦 2 − 16𝑧 2 = 0 : kerucut



g.



4𝑥 2 + 9𝑦 2 = 36



h.



𝑥 2 − 4𝑦 2 = 0,



: silinder eliptik



(𝑥 − 2𝑦)(𝑥 + 2𝑦) = 0 ⇒ 𝑥 − 2𝑦 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 + 2𝑦 = 0



: sepasang bidang rata nyata berpotongan.



Catatan (1) : Elipsoida dan hiperboloida mempunyai satu titik pusat. Mereka disebut KONIKOIDA SENTRAL Elipsoida :



𝒙𝟐 𝒂𝟐



𝒚𝟐



𝒛𝟐



+ 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 = 𝟏







Pusat (0,0,0)







Bidang-bidang simetri adalah bidang XOY, YOZ, dan XOZ







Garis potong 2 bidang simetri disebut sumbu simetri, yaitu sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z







Terlihat bahwa −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, −𝑏 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏, −𝑐 ≤ 𝑧 ≤ 𝑐. Elipsoida merupakan permukaan tertutup







Panjang 2a, 2b dan 2c disebut panjang sumbu elipsoida







Bola merupakan elipsoida yang panjang sumbu-sumbunya sama







Perpotongan sumbu simetri dengan elipsoida disebut puncak elipsoida. Jadi elipsoida mempunyai 6 puncak







Irisan dengan bidang rata sejajar bidang simetri merupakan elips



Hiperboloida Daun Satu :



𝒙𝟐 𝒂𝟐



𝒚𝟐



𝒛𝟐



+ 𝒃𝟐 − 𝒄𝟐 = 𝟏







Pusat hiperboloida (0,0,0)







Bidang-bidang simetrinya adalah XOY, YOZ dan XOZ







Sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z merupakan sumbu simetri. Sumbu X dan sumbu Y disebut sumbu nyata, sedangkan sumbu Z disebut sumbu khayal dari hiperboloida daun satu diatas







Panjang sumbu = 2a dan 2b







Irisan dengan bidang sejajar bidang XOY merupakan elips. Irisan dengan bidang sejajar bidang XOZ ataupun YOZ merupakan hiperbola







Punya 4 puncak.



Hiperboloida Daun Satu :



𝒙𝟐 𝒂𝟐



𝒚𝟐



𝒛𝟐



− 𝒃𝟐 − 𝒄𝟐 = 𝟏







Pusat hiperboloida (0,0,0)







Bidang-bidang XOY, YOZ dan XOZ merupakan bidang simetri







Sumbu X, sumbu Y maupun sumbu Z merupak sumbu simetri. Sumbu X merupakan sumbu nyata. Sumbu Y dan Z merupakan sumbu khayal







Panjang sumbu = 2a







Irisan dengan bidang sejajar bidang XOY atau XOZ merupakan hiperbola. Irisan dengan bidang sejajar bidang YOZ, yaitu bidang 𝑥 = 𝑘, 𝑘 ≥ 𝑎 atau 𝑘 ≤ −𝑎 merupakan elips







Punya 2 puncak



Kerucut :



𝒙𝟐



𝒚𝟐



𝒛𝟐



+ 𝒃𝟐 − 𝒄𝟐 = 𝟎 𝒂𝟐







Pusat kerucut berimpit dengan puncak yaitu (0,0,0)







Bidang-bidang XOY, YOZ dan XOZ merupakan bidang simetri







Sumbu X, Y, dan Z merupakan sumbu simetri







Irisan dengan bidang XOY merupakn titik, sedangkan dengan bidang-bidang lain yang sejajar bidang XOY merupakan elips







Irisan dengan bidang YOZ ataupun XOZ merupakan sepasang garis lurus sedangkan dengan bidang-bidang lain yang sejajar YOZ atau XOZ merupakan hiperbola Catatan (2) : Konikoida sentral, secara umum mereka dapat ditulis 𝑝𝑥 2 + 𝑞𝑦 2 + 𝑟 2 = 1



INGAT !!! *Syarat garis g : [𝑥, 𝑦, 𝑧] = [𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ] + 𝜆[𝑎, 𝑏, 𝑐] menyinggung konikoida di P(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) pada konikoida : 𝑝𝑥1 𝑎 + 𝑞𝑦1 𝑏 + 𝑟𝑧1 𝑐 = 0 *Persamaan bidang singgung di P(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) pada konikoida : 𝑝𝑥1 𝑥 + 𝑞𝑦1 𝑦 + 𝑟𝑧1 𝑧 = 1 *Syarat bidang rata 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 menyinggung konikoida :



𝐴2 𝑝



+



𝐵2 𝑞



+



𝐶2 𝑟



= 𝐷2



Contoh 2 Periksa apakah 4𝑥 + 20𝑦 − 21𝑧 = 13 merupakan bidang singgung konikoida 4𝑥 2 − 5𝑦 2 + 7𝑧 2 + 13 = 0. Jika benar, tentukan titik singgungnya ! Penyelesaian : Bidang 4𝑥 + 20𝑦 − 21𝑧 = 13 berarti A = 4, B = 20, C = 21, D = −13. Konikoida 4𝑥 2 − 4



5



7



4



5



7



5𝑦 2 + 7𝑧 2 + 13 = 0 maka − 13 𝑥 2 + 13 𝑦 2 − 13 𝑧 2 = 1, berarti p = − 13 , q = 13 , r = − 13 Ternyata



terpenuhi



𝐴2 𝑝



+



𝐵2 𝑞



+



𝐶2 𝑟



= 16 (−



13 )+ 4



13 5



400 ( ) + 441 (−



13 ) 7



= 169 = 𝐷 2.



Mencari titik singgung, bidang singgung konikoida pada titik (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) adalah 4𝑥1 𝑥 − 5𝑦1 𝑦 + 7𝑧1 𝑧 + 13 = 0 yang diidentikan dengan 4𝑥 + 20𝑦 − 21𝑧 = 13, berarti :



4𝑥1 = −4 ⇒ 𝑥1 = −1, 5𝑦1 = −20 ⇒ 𝑦1 = 4, dan 7𝑧1 = 21 ⇒ 𝑧1 = 3 atau (−1,4,3)



Contoh 3 Tentukan persamaan bidang singgung konikoida − lurus g : {



𝑥2 3



+



𝑦2 7



𝑧2



+ 21 = 1 yang melalui garis



𝑧=3 7𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0



Penyelesaian : Bidang W yang melalui g merupak berkas 7𝑥 − 6𝑦 + 9 + 𝜆(𝑧 − 3) = 0 atau 7𝑥 − 6𝑦 + 𝜆𝑧 + (9 − 3) = 0 supaya menyinggung konikoida maka ; 1



49(−3) + 36(7) + 𝛾 2 (21) = (9 − 3𝛾)2 ⇒ 𝛾1 = −4, 𝛾2 = − 2 1



1



Jadi bidang singgung : 7𝑥 − 6𝑦 − 4𝑧 + 21 = 0 serta 7𝑥 − 6𝑦 − 2 𝑧 + 10 2 = 0 Paraboloida eliptik :



𝒙𝟐



𝒚𝟐



+ 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐



𝟐𝒛 𝒄







Tidak mempunyai titik pusat puncak (0,0,0)







Bidang simetrinya adalah bidng XOZ dan YOZ







Sumbu simetrinya adalah sumbu Z







z > 0, maka paraboloida terletak diatas bidang XOY







Irisan dengan bidang sejajar bidang XOY, yaitu z = k, k > 0 merupakan elips. Irisan dengan bidang sejajar bidang XOZ ataupun YOZ merupakan parabola



Paraboloida Hiperbolik :



𝒙𝟐 𝒂𝟐



𝒚𝟐



− 𝒃𝟐 =



𝟐𝒛 𝒄







Tidak mempunyai titik pusat puncak (0,0,0)







Bidang simetrinya adalah bidng XOZ dan YOZ







Sumbu simetrinya adalah sumbu Z







Irisan dengan bidang XOY (yaitu z = 0) merupakan sepasang garis lurus yang berpotongan di (0,0,0). Irisan dengan z = k merupakan hiperbola Bila k > 0 : sumbu nyata hiperbola = sumbu x k < 0 : sumbu nyata hiperbola = sumbu y







Irisan dengan bidang sejajar bidang XOZ ataupun YOZ merupakan parabola.



Catatan (3) : Kedua macam paraboloida diatas dapat kita tulis secara umum : 𝑝𝑥 2 + 𝑞𝑦 2 = 2𝑟𝑧 



Persamaan bidang singgung di P(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) pada paraboloida : 𝑝𝑥1 𝑥 + 𝑞𝑦1 𝑦 = 𝑟(𝑧 + 𝑧1 )







Syarat supaya bidang 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 menyinggung paraboloida adalah : 𝐵2 𝑞



=



2𝐶𝐷 𝑟



𝐴2 𝑝



+



LAMPIRAN



Gambar 1 : Elipsoida



Gambar 2 : Hiperboloida Daun Satu



Gambar 3 : Kerucut



Gambar 4 : Hiperboloida Daun Dua



Gambar 5 : Paraboloida Hiperbolik



Gambar 6 : Paraboloida Eliptik



Gambar 7 : Silinder Eliptik



Gambar 8 : Silinder Parabolik



Gambar 9 : Silinder Hiperbolik