Bilangan Berpangkat Dan Logaritma [PDF]

Citation preview

Bilangan Berpangkat dan Logaritma Kegiatan Pembelajaran I Bilangan Berpangkat 1 Contoh bilangan berpangkat adalah : 52, (-3)7, ( )9 dan seterusnya. Lambang bilangan 2, 7 dan 9 4 1 dinamakan pangkat dan angka-angka 5, (-3), ( ) dinamakan bilangan pokok. 4 Perhatikan Tabel berikut ini ! Bentuk Bilangan Berpangkat 52



Faktor



5 pangkat dua



5 x 5 = 2 faktor



negatif tiga pangkat tujuh



-3 x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 7 faktor



1 9 ) 4



1 pangkat sembilan 4



1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x = 9 faktor 4 4 4 4 4 4 4 4 4



an



a pangkat n



a x a x a ….. x a = n faktor



(-3)7 (



Dibaca



Nilai



25 -2187



1 262144 an



Pangkat Nol dan Negatif Jika a ≠ o dan n bilangan bulat positif (- n adalah bilangan bulat negatif) maka ao = 1 dan a-n = Contoh : 30 = 1 1 3-1 = 1 3 1 3-2 = 2 3



1 3 1 = 9



1 an



=



dst



Formulasi Bilangan Berpangkat Problem 25 x 21



Faktor (2x2x2x2x2) x ( 2 ) 5 faktor



26 x 22



1 faktor



(2x2x2x2x2x2) x(2x2) 5 faktor



2m x 2n



Pengelompokan



26



5 faktor 1 faktor 2x2x2x2x2x2x2x2



28



2 faktor



( 2 x 2 x ….. x 2 ) x ( 2 x 2 x ….. x 2 ) m faktor



2x2x2x2x2x2



Nilai



n faktor



2 x 2 x 2 ….. x 2



2m+n



Definisi



:



am x a-n = am-n



a ≠ o, m dan n sebarang bilangan bulat.



Pembagian Bilangan Berpangkat dengan Bilangan Pokok Tetap dan Perpangkatan Bilangan Berpangkat Problem



Penulisan Lain



Nilai



57 = 51



57 51



57 . 5-1 = 57-1 = 56



57 = 52



57 5− 2



57 . 5-2 = 57-2 = 55



5m = 5n



5m 5n



5m . 5-n = 5m-n



Problem



Nilai



( 21 )3



21 . 21 . 21 = 2 . 2 . 2 = 23



( 23 )5



23 . 23 . 23 . 23 . 23



=



5 faktor



3 faktor =



Definisi



:



am : an =



(2 . 2 . 2) . (2 . 2 . 2) . . . (2 . 2 . 2) 3 faktor



3 faktor



15



2.2.2...2=2



am = am-n an



( am )n = am.n = amn Pangkat dari Perkalian dan Pembagian Suatu Bilangan Contoh : 1. (2 x 3 x 5)3 = 23 x 33 x 53 2. (a x b x c)8 = a8 x b8 x c8 Definisi



:



( a x b x c )n = an bn cn



a ≠ o, b ≠ o, dan c ≠ o



Contoh : 1.



2.



2   5 5 3



2



2   5 135 95



6



n



an a   = n b b



−1



=



22 52



 3 3.   5



=



26 56



9 4.    13 



=



−5



=



1



=



3 5



1



( 139 ) 5



=



Definisi



:



; a ≠ o dan b ≠ o



Pangkat Bilangan Pecahan am . an = am . an dan ( am ) n = amn untuk m dan n bilangan bulat Definisi diatas juga berlaku untuk m dan n bilangan pecahan. Jadi untuk m = p, q, r, s bilangan bulat dan q ≠ o, s ≠ o Contoh : 1. 2. 3.



1



16 2 = 1 − 16 2 =



(3 ) 2



1 3



=



4 sebab 42 = 16 dan 470 –4 2. 13



3



2



= 33



p r dan n = dengan q s



KEGIATAN BELAJAR 2 Terapan Bilangan Berpangkat, Notasi Baku ( Scientific Notation ) Setiap bilangan dapat ditulis dalam notasi baku, dan terapannya digunakan pada disipin ilmu kimia, fisika, anatomi, dan yang lain Definisi 9.9 Penulisannya dinyatakan dengan notasi baku : a x 10n dengan 1< a < 10 dan n bilangan bulat. Berikut contoh notasi baku 6,4 x 106 artinya 6.400.000 0,3 x 108 artinya 30.000.000 3,75 x 10-5 artinya 0,0000375 2,0 x 10-9 artinya 0,000000002 Bilangan negatif juga boleh ditulis dalam notasi baku Desinisi 9.10 Setiap bilangan negatif dapat dinyatakan dalam notasi baku : a x 10n dengan –10 < a < –1 dan n bilangan bulat



MODUL 9 KEGIATAN BELAJAR 3 Logaritma dan Terapannya Logaritma merupakan invers dari perpangkatan suatu bilangan. Materi ini sering digunakan dalam penyelesaian masalah fisika, kalkulus, persamaan diferensial dan lain-lain. Tabel Problem



Perpangkatan



1 243



1 = 3-5 35



1 81



-4 34 = 3



Logaritma



Hasil



3



log



1 = 3 log 3−5 243



-5



3



log



1 = 3 log 3−4 81



-4



1



Jika angka 3 Anda ganti dengan a maka dapatkan suatu bentuk umum : x = a ∩ ⇔ 3 log x = a log a ∩ = n Keterangan : a dinamakan bilangan pokok x bilangan yang ditarik logaritmanya n hasil penarikan logaritma Catatan : 1 = a0 ⇔ a = a0 ⇔



a a



log1 = 0 log a = 1



Contoh : 1 = 5-4 625 2. 64 = 2-6 1.



3. -6



= 5-4



⇔ ⇔ ⇔



1 5 −4 = log 5 = -4 625 2 2 6 log 64 = log 2 =6 1 = 2−6 64



5



log



SIFAT-SIFAT LOGARITMA Pembuktian formula-formula logaritma berikut ini menggunakan pendekatan dedukatif Sifat Jika p, x, dan y bilangan real positif dan p ≠ 1, maka 1. p log xy = p log x + p log y p 2. log



Bukti : Misalkan



x p p = log x − log y y



p



log xy = q dan p log y = r, maka x = p q dan y = pr x . y = pq . pr x . y = p q +r p log xy = q + r p



log xy =



p



log x + p log y → terbukti



Catatan : Jika bilangan pokok logaritma tidak ditulis, berarti bilangan pokok logaritmanya adalah 10 Contoh 9.9 1. 3 log18 =



3



(



)



log 2.32 = 3 log 2 + 3 log 32 = 3 log 2 + 2



1 3 1 3 3 + log 54 + log 162 – log 4 6 2 1 3 log + 3 log 2.33 + 3 log 2.34 – 3 log 32.2 −1 23 3 log 2 −1 + 3 log 3−1 + 3 log 2 + 3 log 33 + 3 log 2 + 3 log 34 3 log 2 −1 + (–1) + 3 log 3 + 3 + 3 log 2 + 4 – 2 – 3 log 2 −1 2 3 log 2 + 4



3 2. log



= = = =



Sifat p



log x n = n p log x :



Bukti Misalkan p log x = q ; maka x



p dan x bilangan real positif, p = 1 dan n bilangan rasional q = p



( )



xn = p q xn = p nq



n



Jika kedua ruas dilogaritmakan dengan bilangan pokok p maka p log x n = p log p nq p log x n = nq Jadi p log x n = n p x → terbukti



Contoh



Sederhanakan : 1 log y 5 + log y 2 – 3 log y ; untuk y = 0 Penyelesaian : 1 log y 5 + log y 2 – 3 log y = 5 log y + log y −2 – 3 log y = 5 log y – 2 log y – 2 log y = 0 Sifat p



log x =



log x : log p



x : p ∈ real positif dan p ≠ 1



Bukti Misal p log x = q ; maka x = p q log x = log p q log x = q log p log x q = log p log x p → terbukti log x = log p log x Jadi p log x = log p Contoh : Diketahui : e = 2,72 Hitunglah e log 16 Penyelesaian :



e



log 16 log e log 16 = log 2,72 1,2041 = 0,4346 = 2,7706



log 16 =



Catatan : Dua bilangan pokok yang umum dipakai : 1. Logaritma yang memakai bilangan pokok 10 2. Logaritma naturalis yang memakai bilangan pokok e = 2,72 biasa ditulis e log x = 1nx



Sifat 1. p log x.x log y = p log y 2. p log x = p log y ⇔ x = y 3.



pn



p, x, y elemen bilangan real positif m, n, ∈ q : p = 1; n = 0



m



log x m = p log x n



Bukti log x log y log y , = = p log y log y log x log p p x p Jadi log x . log y = log y 2. Misal p log x = ∂ ⇔ x = p ∂ p log x = p log y = ∂ maka p log = ∂ ⇔ y = p ∂ … (ii) Dari (i) dan (ii) didapat : x = p ∂ = y Jadi x = y → terbukti 1. p log x . x log y =



Penerapan Logaritma A. Model Bunga Majemuk 1.



0,1   Dengan rumus bunga majemuk biasa : Mt = Mo 1 +   360 



mt



a. Tanpa menggunakan logaritma 360 x 2



M2 = = = =



0,1   10.000.000 1 +   360  10.000.000 (1,0003) 720 10.000.000 (1,2411) 12.411.000



b. Dengan menggunakan logaritma M2 = 10.000.000 (1,0003) 360 x 2 log M2 = log107 + 720 log1,0003 = 7+0,0938 = 7,0938 M2 = 12.411.000 2.



Dengan rumus bunga majemuk sinambung = Mt = Μ 0 e



it



a. Tanpa menggunakan logaritma Mt Mt Mt Mt



= = = =



10.000.000 e 0,1( 2 ) 10.000.000 ( 2,7183) 0, 2 10.000.000 (1,2214) 12.214.000



b. Dengan menggunakan logaritma Mt = 10.000.000 e 0, 2 ln Mt = ln 10.000.000 + 0,2 ln e ln Mt = 16,1181 + 0,2 ln Mt = 16,3181 Mt = 12.214.000 Jadi jumlah pelunasan hutang sekitar Rp. 12.000.000,00 sampai Rp. 12.400.000,00