Contoh Grup [PDF]

Citation preview

Contoh Bukan Grup: Tunjukkan bahwa {𝐺 = [



𝑥 0



0 ] , 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 0} bukan merupakan grup untuk (G,×) 0



Bukti: Sifat tertutup 𝑥 0 𝑥 0 Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀2×2 , sebut [ 1 ]&[ 2 ] 0 0 0 0 𝑥 0 𝑥 0 Maka [ 1 ]×[ 2 ] 0 0 0 0 𝑥 𝑥 0 =[ 1 2 ] , 𝑥1 𝑥2 ∈ 𝑅 0 0 𝑥 𝑥 0 =[ 1 2 ] 0 0 Karena terbukti hasil kalinya menghasilkan nilai bilangan real maka telah terbukti ini operasi tertutup. Sifat asosoatif 𝑥 0 𝑥2 0 𝑥 0 Ambil 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑀2×2 , sebut [ 1 ],[ ]&[ 3 ] 0 0 0 0 0 0 Adit 𝑥 × (𝑦 × 𝑧) = (𝑥 × 𝑦) × 𝑧 𝑥 0 𝑥 0 𝑥 0 𝑥 0 𝑥 0 𝑥 0 ([ 1 ] × ([ 2 ]×[ 3 ])) = (( [ 1 ]×[ 2 ]) × [ 3 ]) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑥 0 𝑥 𝑥 0 𝑥 𝑥 0 𝑥 0 ([ 1 ] × ([ 2 3 ])) = (( [ 1 2 ]) × [ 3 ]) 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑥 𝑥 𝑥 0 𝑥 𝑥 𝑥 0 [ 1 2 3 ]=[ 1 2 3 ] , 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ∈ 𝑅 0 0 0 0 Dari hasil diatas didapatkan bahwa hasil perkaliannya sama sehingga berlsku untuk sifat asosiatif. Identitas 𝑥 0 Untuk matriks 𝐺 = [ ] tidak memiliki identitas untuk operasi perkslian sebab entri yang 0 0 1 0 dapat diubah hanya 𝑥 sedangkan matriks identitas memerlukan 𝐺 = [ ] 0 1 Contoh Grup: Himpunan bilangan rasional merupakan grup terhadap operasi +. Sistim ini dilambangkan dengan < Q ,+ > dengan Q = { a/b | a, b Z dan b 0}. Operasi penjumlahan didefinisikan dengan aturan a/b + c/d = (ad + bc)/(bd) akan dibuktikan bahwa Q grup berdasarkan sifatsifat bilangan bulat. Bukti: Hukum tertutup Misalkan a/b, c/d Q. Berdasarkan definisi operasi penjumlahan pada bilangan rasional didapat (ad + bc)/(bd). Karena operasi perkalian dan penjumlahan dalam bilangan bulat bersifat tertutup maka pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat. Karena b dan d tidak nol maka bd juga tidak nol. Berarti penjumlahan bilangan rasional bersifat tertutup. Hukum assosiatif. Misalkan a/b, c/d dan e/f Q. Akan ditunjukkan bahwa sifat assosiatif berlaku. (a/b + c/d) + e/f = (ad + bc)/(bd) + e/f = [(ad + bc)f + (bd)e] / (bd)f = [(ad)f + (bc)f + (bd)e] / (bd)f = [a(df) + b(cf) + b(de)] / b(df) = a/b + (cf+de) / (df) = a/b + (c/d + e/f).



Berarti sifat assosiatif berlaku. Hukum identitas Elemen 0/1 merupakan identitas karena 0/1 + a/b = (0.b + 1.a) / (1.b) = (0 + a) / b = a/b. Pada sisi lain, a/b + 0/1 = (a.1 + b.0) / (b.1) = (a + 0) / b = a/b. Hukum invers Untuk sebarang elemen a/b Q akan ditunjukkan bahwa (-a)/b merupakan inversnya. Jelas bahwa (-a)/b Q. Elemen (-a)/b merupakan invers a/b karena a/b + (-a)/b = ab + b(-a)/(bb) = (ab + (-a)b / (bb) = 0.b / (bb) =0/b = 0 / 1. Terbukti Q grup. Contoh Grup dan termasuk abelian 𝑥 0 Tunjukkan bahwa {𝐺 = [ ] , 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 0} bukan merupakan grup untuk (G,+) 0 0 Bukti: Sifat tertutup 𝑥 0 𝑥 0 Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀2×2 , sebut [ 1 ]&[ 2 ] 0 0 0 0 𝑥 0 𝑥 0 Maka [ 1 ]+[ 2 ] 0 0 0 0 𝑥 +𝑥 0 =[ 1 2 ] , 𝑥1 + 𝑥2 ∈ 𝑅 0 0 𝑥 +𝑥 0 =[ 1 2 ] 0 0 Karena terbukti hasil penjumlahannya menghasilkan nilai bilangan real maka telah terbukti ini operasi tertutup. Sifat asosoatif 𝑥 0 𝑥2 0 𝑥 0 Ambil 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑀2×2 , sebut [ 1 ],[ ]&[ 3 ] 0 0 0 0 0 0 Adit 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 𝑥 0 𝑥 0 𝑥 0 𝑥 0 𝑥 0 𝑥 0 ([ 1 ] + ([ 2 ]+[ 3 ])) = (( [ 1 ]+[ 2 ]) + [ 3 ]) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑥 + 𝑥3 0 𝑥 +𝑥 0 𝑥 0 ] + ([ 2 ])) = (( [ 1 2 ]) + [ 3 ]) 0 0 0 0 0 0 0 𝑥 +𝑥 +𝑥 0 𝑥 +𝑥 + 𝑥3 0 [ 1 2 3 ]=[ 1 2 ] , 𝑥1 +𝑥2 +𝑥3 ∈ 𝑅 0 0 0 0 Dari hasil diatas didapatkan bahwa hasil penjumlahannya sama sehingga berlsku untuk sifat asosiatif. Identitas 𝑥 0 Ambil 𝑎 ∈ 𝑀2×2 , sebut [ 1 ] 0 0 0 0 𝑒=[ ] 0 0 ([



𝑥1 0



Adit: 𝑎 + 𝑒 = 𝑎 𝑥 0 0 0 Maka [ 1 ]+[ ] 0 0 0 0 𝑥 +0 0 =[ 1 ] , 𝑥1 ∈ 𝑅 0 0 𝑥 0 =[ 1 ] 0 0 Dengan cara yang sama 𝑒+𝑎 =𝑎 𝑥 0 0 0 Maka [ ]+[ 1 ] 0 0 0 0 0 + 𝑥1 0 =[ ] , 𝑥1 ∈ 𝑅 0 0 𝑥 0 =[ 1 ] 0 0 Karena 𝑎 ∈ 𝑀2×2 ∋ 𝑎 + 𝑒 = 𝑒 + 𝑎 = 𝑎 Invers: 𝑥 0 Ambil 𝑎 ∈ 𝑀2×2 , sebut [ 1 ] 0 0 −1 −1 Adit: 𝑎 + 𝑎 = 𝑎 + 𝑎 = 𝑒 −𝑥 0 𝑎−1 = [ 1 ] 0 0 𝑎 + 𝑎−1 = 𝑎−1 + 𝑎 = 𝑒 𝑥 0 −𝑥 0 −𝑥 0 𝑥 0 [ 1 ]+[ 1 ]=[ 1 ]+[ 1 ] 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑥 − 𝑥1 0 −𝑥 + 𝑥1 0 [ 1 ]=[ 1 ] 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ]=[ ] 0 0 0 0 Karena 𝑎 ∈ 𝑀2×2 ∋ : 𝑎 + 𝑎−1 = 𝑎−1 + 𝑎 = 𝑒 Komutatif: 𝑥 0 𝑥 0 Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀2×2 , sebut [ 1 ]&[ 2 ] 0 0 0 0 Adit: 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 𝑥 0 𝑥 0 𝑥 0 𝑥 0 Maka [ 1 ]+[ 2 ]=[ 2 ]+[ 1 ] 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑥 +𝑥 0 𝑥 +𝑥 0 [ 1 2 ]=[ 2 1 ] 0 0 0 0 𝑥 +𝑥 0 𝑥 +𝑥 0 [ 1 2 ]=[ 1 2 ] 0 0 0 0 Karena penjumlahan 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 memiliki nilai yang sama sehingga himpunan ini bersifat komutatif. Contoh Grup tetspi bukan termasuk abelian 𝑥 0 Tunjukkan bahwa {𝐺 = [ ] , 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅; , 𝑥, 𝑦 ≠ 0} bukan merupakan grup untuk (G,×) 0 𝑦 Bukti: Sifat tertutup 𝑎 𝑏1 𝑎 𝑏2 Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀2×2 , sebut [ 1 ]&[ 2 ] 𝑐1 𝑑1 𝑐2 𝑑2 𝑎 𝑏1 𝑎 𝑏2 Maka [ 1 ]×[ 2 ] 𝑐1 𝑑1 𝑐2 𝑑2 𝑎 𝑎 + 𝑏1 𝑐2 𝑎1 𝑏2 + 𝑏1 𝑑2 =[ 1 2 ] 𝑐1 𝑎2 + 𝑑1 𝑐2 𝑐1 𝑏2 + 𝑑1 𝑑2



Karena terbukti hasil perkaliannya menghasilkan nilai bilangan real maka telah terbukti ini operasi tertutup. Sifat asosoatif 𝑎 𝑏3 𝑎 𝑏1 𝑎2 𝑏2 Ambil 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑀2×2 , sebut [ 1 ]′[ ]&[ 3 ] 𝑐1 𝑑1 𝑐2 𝑑2 𝑐3 𝑑3 Adit 𝑥 × (𝑦 × 𝑧) 𝑎 𝑏3 𝑎 𝑏1 𝑎 𝑏2 = ([ 1 ] × ([ 2 ]×[ 3 ])) 𝑐1 𝑑1 𝑐2 𝑑2 𝑐3 𝑑3 𝑎 𝑎 + 𝑏2 𝑐3 𝑎2 𝑏3 + 𝑏2 𝑑3 𝑎 𝑏1 = ([ 1 ] × ([ 2 3 ])) 𝑐1 𝑑1 𝑐2 𝑎3 + 𝑑2 𝑐3 𝑐2 𝑏3 + 𝑑2 𝑑3 =[



𝑎1 (𝑎2 𝑎3 + 𝑏2 𝑐3 ) + 𝑏1 (𝑐2 𝑎3 + 𝑑2 𝑐3 ) 𝑐1 (𝑎2 𝑎3 + 𝑏2 𝑐3 ) + 𝑑1 (𝑐2 𝑎3 + 𝑑2 𝑐3 )



𝑎1 (𝑎2 𝑏3 + 𝑏2 𝑑3 ) + 𝑏1 (𝑐2 𝑏3 + 𝑑2 𝑑3 ) ] 𝑐1 (𝑎2 𝑏3 + 𝑏2 𝑑3 ) + 𝑑1 (𝑐2 𝑏3 + 𝑑2 𝑑3 )



Dengan cara yang sama = (𝑥 × 𝑦) × 𝑧 = (( [



= (([



𝑎1 𝑐1



𝑏1 𝑎 ]×[ 2 𝑑1 𝑐2



𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑐2 𝑐1 𝑎2 + 𝑑1 𝑐2



𝑎 𝑏2 ]) × [ 3 𝑑2 𝑐3



𝑏3 ]) 𝑑3



𝑎 𝑎1 𝑏2 + 𝑏1 𝑑2 ]) × [ 3 𝑐1 𝑏2 + 𝑑1 𝑑2 𝑐3



𝑏3 ]) 𝑑3



(𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑐2 )𝑎3 + (𝑎1 𝑏2 + 𝑏1 𝑑2 )𝑐3 (𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑐2 )𝑏3 + (𝑎1 𝑏2 + 𝑏1 𝑑2 )𝑑3 ] (𝑐1 𝑎2 + 𝑑1 𝑐2 )𝑎3 + (𝑐1 𝑏2 + 𝑑1 𝑑2 )𝑐3 (𝑐1 𝑎2 + 𝑑1 𝑐2 )𝑏3 + (𝑐1 𝑏2 + 𝑑1 𝑑2 )𝑑3 Dari hasil diatas didapatkan bahwa hasil perkaliannya sama sehingga berlaku untuk sifat asosiatif. Identitas 𝑎 𝑏1 Ambil 𝑎 ∈ 𝑀2×2 , sebut [ 1 ] 𝑐1 𝑑1 1 0 𝑒=[ ] 0 1 Adit: 𝑎 × 𝑒 = 𝑎 𝑎 𝑏1 1 0 Maka [ 1 ]×[ ] 𝑐1 𝑑1 0 1 𝑎 × 1 𝑏1 × 1 =[ 1 ] 𝑐1 × 1 𝑑1 × 1 𝑎 𝑏1 =[ 1 ] 𝑐1 𝑑1 Dengan cara yang sama 𝑒×𝑎 =𝑎 𝑎 𝑏1 1 0 Maka [ ]×[ 1 ] 𝑐1 𝑑1 0 1 𝑎 × 1 𝑏1 × 1 =[ 1 ] 𝑐1 × 1 𝑑1 × 1 𝑎 𝑏1 =[ 1 ] 𝑐1 𝑑1 Karena 𝑎 ∈ 𝑀2×2 ∋ 𝑎 × 𝑒 = 𝑒 × 𝑎 = 𝑎 =[



Invers: 𝑎1 𝑏1 ] 𝑐1 𝑑1 Adit: 𝑎 × 𝑎−1 = 𝑎−1 × 𝑎 = 𝑒 𝑑 −𝑏1 1 𝑎−1 = 𝑎 𝑑 −𝑐 𝑏 [ 1 ] −𝑐 𝑎1 1 1 1 1 1 𝑎 × 𝑎−1 = 𝑎 −1 × 𝑎 = 𝑒 1 1 𝑎 𝑏1 𝑎 𝑏1 𝑑 −𝑏1 𝑑 −𝑏1 [ 1 ]× [ 1 ]= [ 1 ]×[ 1 ] 𝑐1 𝑑1 𝑐1 𝑑1 𝑎1 𝑑1 − 𝑐1 𝑏1 −𝑐1 𝑎1 𝑎1 𝑑1 − 𝑐1 𝑏1 −𝑐1 𝑎1 𝑎 𝑑 − 𝑏1 𝑐1 𝑎1 𝑏1 − 𝑎1 𝑏1 1 [ 1 1 ] = 𝑐1 𝑑1 − 𝑐1 𝑑1 −𝑏1 𝑐1 + 𝑎1 𝑑1 𝑎1 𝑑1 −𝑐1 𝑏1 𝑑1 𝑎1 − 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑏1 − 𝑑1 𝑏1 1 [ ] 𝑎1 𝑑1 −𝑐1 𝑏1 𝑎1 𝑐1 − 𝑎1 𝑐1 −𝑏1 𝑐1 + 𝑎1 𝑑1 1 0 1 0 [ ]=[ ] 0 1 0 1 −1 −1 Karena 𝑎 ∈ 𝑀2×2 ∋ : 𝑎 × 𝑎 = 𝑎 × 𝑎 = 𝑒 Komutatif: 𝑎 𝑏1 𝑎 𝑏2 Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀2×2 , sebut [ 1 ]&[ 2 ] 𝑐1 𝑑1 𝑐2 𝑑2 Adit: 𝑥 × 𝑦 = 𝑦 × 𝑥 𝑎 𝑏1 𝑎 𝑏2 𝑎 𝑏2 𝑎 𝑏1 Maka [ 1 ]×[ 2 ]=[ 2 ]×[ 1 ] 𝑐1 𝑑1 𝑐2 𝑑2 𝑐2 𝑑2 𝑐1 𝑑1 𝑎 𝑎 + 𝑏1 𝑐2 𝑎1 𝑏2 + 𝑏1 𝑑2 𝑎 𝑎 + 𝑏2 𝑐1 𝑎2 𝑏1 + 𝑏2 𝑑1 [ 1 2 ]=[ 2 1 ] 𝑐1 𝑎2 + 𝑑1 𝑐2 𝑐1 𝑏2 + 𝑑1 𝑑2 𝑐2 𝑎1 + 𝑑2 𝑐1 𝑐2 𝑏1 + 𝑑2 𝑑1 Karena perkalian 𝑥 × 𝑦 = 𝑦 × 𝑥 memiliki nilai yang tidak sama sehingga himpunan ini bersifat tidak bersifat komutatif. Ambil 𝑎 ∈ 𝑀2×2 , sebut [



Contoh Grup siklik: Diberikan grup (𝑀6 , +) dengan 𝑀6 = {0,1,2,3,4,5} Bukti: 1 = 1 ......................... 1 = 11 1+1=2 ....................... 2 = 12 1+1+1=3 .................. 3 = 13 1+1+1+1=4 .............. 4 =14 1+1+1+1+1=5 .......... 5 = 15 1+1+1+1+1=6 .......... 0 = 16 1 adalah generator karena membangkitkan semua elemen𝑀6 = {0,1,2,3,4,5} yang berarti 𝑀6 = 1 2 = 2 ......................... 2 = 21 2+2=4 ....................... 4 = 22 2+2+2=0 .................. 0 = 23 2+2+2+2=2 .............. 2 = 24 2+2+2+2+2=4 .......... 4 = 25 2+2+2+2+2+2=0 ...... 0 = 26 2 bukan merupakan generator dari 𝑀6 karena hanya membangkitkan 0,2,4 3 = 3 ......................... 3 = 31 3+3=0 ....................... 0 = 32 3+3+3=3 .................. 3 = 33 3+3+3+3=0 .............. 0 = 34 3+3+3+3+3=3 .......... 3 = 35



3+3+3+3+3+3=0 ...... 0 = 36 3 bukan merupakan generator dari 𝑀6 karena hanya membangkitkan 0 dan 3 4 = 4 ......................... 4 = 41 4+4=2 ....................... 2 = 42 4+4+4=0 .................. 0 = 43 4+4+4+4=4 .............. 4 = 44 4+4+4+4+4=2 .......... 2 = 45 4+4+4+4+4+4=0....... 0 = 46 4 bukan merupakan generator dari 𝑀6 karena hanya membangkitkan 0, 2, dan 4 5 = 5 ........................ 5 = 51 5+5=10 ..................... 4 = 52 5+5+5=15................. 3 = 53 5+5+5+5=20 ............ 2 = 54 5+5+5+5+5=25 ........ 1 = 55 5+5+5+5+5+5=0....... 0 = 56 5 merupakan generator dari 𝑀6 karena membangkitkan semua elemen 𝑀6 ={0,1,2,3,4,5} yang berarti 𝑀6 = 5 Jadi (𝑀6 , +) dengan 𝑀6 = {0,1,2,3,4,5} memiliki dua generator yaitu 1 dan 5 . Contoh Grup permutasi: Dalam 𝑆3 , dimana |𝑆3 | = 3! = 6, himpunan permutasi genap adalah A3 = {𝜌0 = elemen identitas, 𝜌1 = (1 2 3), 𝜌2 = (1 3 2)}. Bukti: Terlihat ada tepat sebanyak 3 pemutasi genap, jadi banyaknya permutasi ganjil dalam 𝑆3 adalah 6 − 3 = 3. Selanjutnya dalam 𝑆4 dimana |𝑆4 | = 4! = 24. Bila elemen di 𝐴4 ditulis sebagai produk sikel-sikel yang saling asing, didapat tiga permutasi yang yang mengubah semua elemen, yaitu 𝜎1 = (1 2)(3 4) 𝜎2 = (1 3)(2 4) 𝜎3 = (1 4)(2 3). Untuk i dengan 1 ≤ i ≤ 4 ada dua permutasi di 𝐴4 yang membuat i tetap. Sehingga ada delapan permutasi di 𝐴4 yang membuat tepat satu elemen tidak berubah (tetap) yaitu 𝜌1 = (2 3 4) 𝜌12 = (2 4 3) 1 tetap 𝜌2 = (1 3 4) 𝜌22 = (1 4 3) 2 tetap 2 𝜌3 = (1 2 4) 𝜌3 = (1 4 2) 3 tetap 𝜌4 = (1 2 3) 𝜌42 = (1 3 2) 4 tetap. Dalam 𝐴4 tidak ada permutasi yang membuat tetap dua elemen, elemen-elemen ini adalah sikel-2 yang tidak di 𝐴4 . Satu lagi elemen di A4 adalah elemen identitas. Jadi ada dua belas elemen di 𝐴4 : 𝐴4 = {𝜌0 = elemen identiats, 𝜌1 , 𝜌12 , 𝜌2 , 𝜌22 , 𝜌3 , 𝜌32 , 𝜌4 , 𝜌42 , 𝜎1 , 𝜎2 , 𝜎3 }. Pada pembahasan 𝐴3 dalam𝑆3 dan 𝐴4 dalam𝑆4 tepat separuh dari permutasinya adalah permutasi genap. Hal ini berlaku secara umum untuk 𝑆𝑛 dengan n ≥ 3.